Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.
Число c является n -ной степенью числа a когда:
Операции со степенями.
1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:
a m ·a n = a m + n .
2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:
(a/b) n = a n /b n .
5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:
(a m) n = a m n .
Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.
Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .
Операции с корнями.
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:
3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:
5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:
Формулу a m :a n =a m - n можно использовать не только при m > n , но и при m < n .
Например . a 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .
Чтобы формула a m :a n =a m - n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.
Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .
Основные свойства степеней
"Свойства степеней" - довольно популярный запрос в поисковых системах, что показывает большой интерес к свойствам степени. Мы собрали для вас все свойства степени (свойства степени с натуральным показателем, свойства степени с рациональным показателем, свойства степени с целым показателем) в одном месте. Вы можете скачать краткую версию шпаргалки "Свойства степеней" в формате.pdf, чтобы при необходимости легко их вспомнить, или ознакомиться со свойствами степеней прямо на сайте. Более подробно свойства степеней с примерами рассмотрены ниже.
Скачать шпаргалку "Свойства степеней" (формат. pdf )
Свойства степеней (кратко)
a 0=1, если a ≠0
a 1=a
(−a )n =an , если n - четное
(−a )n =−an , если n - нечетное
(a ⋅b )n =an ⋅bn
(ab )n =anbn
a −n =1an
(ab )−n =(ba )n
an ⋅am =an +m
anam =an −m
(an )m =an ⋅m
Свойства степеней (с примерами)
1-е свойство степени Любое число отличное от нуля в нулевой степени равно единице. a 0=1, если a ≠0 Например: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1
2-е свойство степени Любое число в первой степени равно самому числу. a 1=a Например: 231=23, (−9,3)1=−9,3
3-е свойство степени Любое число в четной степени положительно. an =an , если n - четное (делящееся на 2) целое число (−a )n =an , если n - четное (делящееся на 2) целое число Например: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1
4-е свойство степени Любое число в нечетной степени сохраняет свой знак. an =an , если n - нечетное (не делящееся на 2) целое число (−a )n =−an , если n - нечетное (не делящееся на 2) целое число Например: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1
5-е свойство степени Произведение чисел, возведенное в степень, можно представить как произведение чисел возведенных в эту степень (и наоборот). (a ⋅b )n =an ⋅bn , при этом a , b , n Например: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5
6-е свойство степени Частное (деление) чисел, возведенное в степень, можно представить как частное чисел возведенных в эту степень (и наоборот). (ab )n =anbn , при этом a , b , n - любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1
7-е свойство степени Любое число в отрицательной степени равно обратному числу в этой степени. (Обратное число это число на которое нужно умножить данное число, чтобы получить единицу.) a −n =1an , при этом a и n - любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: 7−2=172=149
8-е свойство степени Любая дробь в отрицательной степени равна обратной дроби в этой степени. (ab )−n =(ba )n , при этом a , b , n - любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64
9-е свойство степени При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются, а основание остается прежним. an ⋅am =an +m , при этом a , n , m - любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: 23⋅25=23+5=28, обратите внимание, что это свойство степени сохраняется и для отрицательных значений степеней 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+(−3)=47−3=44
10-е свойство степени При делении степеней с одинаковым основанием показатели степени вычитаются, а основание остается прежним. anam =an −m , при этом a , n , m - любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (1,4)2(1,4)3=1,42+3=1,45, обратите внимание, как применяется это свойство степени к отрицательным значения степеней3−236=3−2−6=3−8, 474−3=47−(−3)=47+3=410
11-е свойство степени При возведении степени в степень степени перемножаются. (an )m =an ⋅m Например: (23)2=23⋅2=26=64
Таблица степеней до 10
Мало кому удается запомнить всю таблицу степеней, да и кому это нужно когда ее так легко найти? Наша таблица степеней включает в себя как популярные таблицы квадратов и кубов (от 1 до 10), так и таблицы других степеней, которые встречаются реже. В столбцах таблицы степеней указываются основания степени (число, которое нужно возвести в степень), в строках – показатели степени (степень, в которую нужно возвести число), на пересечении нужного столбца и нужной строки находится результат возведения нужного числа в заданную степень. Существуют несколько типов задач, решаемых с помощью таблицы степеней. Прямая задача – это вычислить n -ю степень числа. Обратная задача, которая так же может быть решена с помощью таблицы степеней, может звучать так: "в какую степень нужно возвести число a , чтобы получить число b ?" или "Какое число в степени n дает число b ?".
Таблица степеней до 10
|
1 n |
2 n |
3 n |
4 n |
5 n |
6 n |
7 n |
8 n |
9 n |
10 n |
|
Как пользоваться таблицей степеней
Рассмотрим несколько примеров использования таблицы степеней.
Пример 1. Какое число получится в результате возведения числа 6 в 8 степень? В таблице степеней ищем столбец 6n , так как по условию задачи число 6 возводится в степень. Затем в таблице степеней ищем строку 8, так как заданное число необходимо возвести в степень 8. На пересечении смотрим ответ: 1679616.
Пример 2. В какую степень нужно возвести число 9, чтобы получить 729? В таблице степеней ищем колонку 9n и спускаемся по ней вниз до числа 729 (третья строчка нашей таблицы степеней). Номер строчки и есть искомая степень, то есть ответ: 3.
Пример 3. Какое число нужно возвести в степень 7, чтобы получить 2187? В таблице степеней ищем строку 7, затем двигаемся по ней вправо до числа 2187. От найденного числа поднимаемся вверх и узнаем, что заголовок этого столбца 3n , что означает, что ответ: 3.
Пример 4. В какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 63? В таблице степеней находим столбец 2n и спускаемся по нему до тех пор, пока не встретим 63... Но этого не произойдет. Число 63 мы никогда не встретим ни в этом столбце, ни в любом другом столбце таблицы степеней, а это означает, что никакое целое число от 1 до 10 не дает число 63 при возведении в целую степень от 1 до 10. Таким образом, ответа нет.
Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие - нет? Как число умножить на степень?
В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:
1) если степени имеют одинаковые основания;
2) если степени имеют одинаковые показатели.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели - сложить:
При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:
Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.
Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней - учитывают:
При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:
В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.
Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом - умножение:
www.algebraclass.ru
Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней
Сложение и вычитание степеней
Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .
Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .
Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.
Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .
Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.
Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.
Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .
Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.
Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.
Или:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6
Умножение степеней
Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.
Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.
Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .
Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.
Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.
Так, a n .a m = a m+n .
Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;
И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;
Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.
Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1
Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .
Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .
1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть
Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.
Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.
Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .
Деление степеней
Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.
Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .
Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac $. Но это равно a 2 . В ряде чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице
показателей делимых чисел.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. .
Так, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac = y$.
И a n+1:a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac = a^n$.
Или:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Правило также справедливо и для чисел с отрицательными
значениями степеней.
Результат деления a -5 на a -3 , равен a -2 .
Также, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.
Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями
1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.
2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.
3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .
4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .
5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.
6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).
7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .
8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.
Свойства степени
Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.
Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.
Свойство № 1
Произведение степеней
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
a m · a n = a m + n , где « a » - любое число, а « m », « n » - любые натуральные числа.
Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.
Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243
Свойство № 2
Частное степеней
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8: t = 3 4
Ответ: t = 3 4 = 81
Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.
-
Пример. Упростить выражение.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.
Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4
Свойство № 3
Возведение степени в степень
При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
(a n) m = a n · m , где « a » - любое число, а « m », « n » - любые натуральные числа.
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.
(a n · b n)= (a · b) n
То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.
Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
Пример возведения в степень десятичной дроби.
4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4
Свойства 5
Степень частного (дроби)
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
(a: b) n = a n: b n , где « a », « b » - любые рациональные числа, b ≠ 0, n - любое натуральное число.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.
Степени и корни
Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,
нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.
Операции со степенями.
1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
a m · a n = a m + n .
2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .
3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.
4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):
(a / b ) n = a n / b n .
5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:
Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.
П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:
3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:
5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:
Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:
Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .
П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m — n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.
П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а:
О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.
где a ≠ 0 , не существует.
В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x , т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0
— любое число.
В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.
0 0 — любое число.
Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:
1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению
2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,
что x – любое число; но принимая во внимание, что в
нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;
Правила умножения степеней с разным основанием
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV
§ 69. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями
Теорема 1. Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, достаточно показатели степеней сложить, а основание оставить прежним , то есть
Доказательство. По определению степени
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Мы рассмотрели произведение двух степеней. На самом же деле доказанное свойство верно для любого числа степеней с одинаковыми основаниями.
Теорема 2. Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, когда показатель делимого больше показателя делителя, достаточно из показателя делимого вычесть показатель делителя, а основание оставить прежним, то есть при т > п
(a =/= 0)
Доказательство. Напомним, что частным от деления одного числа на другое называется число, которое при умножении на делитель дает делимое. Поэтому доказать формулу , где a =/= 0, это все равно, что доказать формулу
Если т > п , то число т - п будет натуральным; следовательно, по теореме 1
Теорема 2 доказана.
Следует обратить внимание на то, что формула
доказана нами лишь в предположении, что т > п . Поэтому из доказанного пока нельзя делать, например, таких выводов:
К тому же степени с отрицательными показателями нами еще не рассматривались и мы пока что не знаем, какой смысл можно придать выражению 3 - 2 .
Теорема 3. Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели, оставив основание степени прежним , то есть
Доказательство. Используя определение степени и теорему 1 этого параграфа, получаем:
что и требовалось доказать.
Например, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (Устно.) Определить х из уравнений:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .
519. (У с т н о.) Упростить:
520. (У с т н о.) Упростить:
521. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми основаниями:
1) 32 и 64; 3) 8 5 и 16 3 ; 5) 4 100 и 32 50 ;
2) -1000 и 100; 4) -27 и -243; 6) 81 75 8 200 и 3 600 4 150 .
Если умножаются (или делятся) две степени, у которых разные основания, но одинаковые показатели, то их основания можно перемножить (или поделить), а показатель степени у результата оставить таким же как у множителей (или делимого и делителя).
В общем виде на математическом языке эти правила записываются так:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m
При делении b не может быть равно 0, то есть второе правило надо дополнить условием b ≠ 0.
Примеры:
2 3 × 3 3 = (2 × 3) 3 = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32
Теперь на этих конкретных примерах докажем, что правила-свойства степеней с одинаковыми показателями верны. Решим данные примеры так, как будто мы не знаем о свойствах степеней:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
Как мы видим, ответы совпали с теми, которые были получены, когда использовались правила. Знание этих правил позволяет упростить вычисления.
Обратите внимание, что выражение 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 можно представить в таком виде:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).
Это выражение в свою очередь есть нечто иное как (2 × 3) 3. то есть 6 3 .
Рассмотренные свойства степеней с одинаковыми показателями могут быть использованы в обратную сторону. Например, сколько будет 18 2 ?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324
Свойства степеней также используются при решении примеров:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 (100 + 8) = 10800 + 864 = 11664
Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,
нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.
Операции со степенями.
1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :
a m · a n = a m + n .
2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .
3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.
( abc … ) n = a n · b n · c n …
4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):
( a / b ) n = a n / b n .
5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:
(a m ) n = a m n .
Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.
П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:
3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:
5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:
Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:
Т еперь формула a m : a n = a m - n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .
П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .
Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m - n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.
П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :
О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений. любое число.
В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.
Случай 3.
0 0 - любое число.
Действительно,
Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:
1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению
(Почему?).
2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,
что x – любое число; но принимая во внимание, что в
Нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;
3) при x < 0 получаем: – x / x = 1, т. e . –1 = 1, следовательно,
В этом случае нет решения.
Таким образом, x > 0.
