Formule za korijene kvadratne jednadžbe. Razmatraju se slučajevi realnih, višestrukih i složenih korijena. Faktoriranje kvadratnog trinoma. Geometrijska interpretacija. Primjeri određivanja korijena i faktoringa.
SadržajVidi također: Rješavanje kvadratnih jednadžbi online
Osnovne formule
Razmotrimo kvadratnu jednačinu:
(1)
.
Korijeni kvadratne jednadžbe(1) određuju se formulama:
;
.
Ove formule mogu se kombinirati na sljedeći način:
.
Kada su korijeni kvadratne jednadžbe poznati, tada se polinom drugog stepena može predstaviti kao proizvod faktora (faktoriziranih):
.
Zatim pretpostavljamo da su to realni brojevi.
Hajde da razmotrimo diskriminanta kvadratne jednačine:
.
Ako je diskriminant pozitivan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva različita realna korijena:
;
.
Tada faktorizacija kvadratnog trinoma ima oblik:
.
Ako je diskriminant jednak nuli, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva višestruka (jednaka) realna korijena:
.
Faktorizacija:
.
Ako je diskriminanta negativna, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva kompleksna konjugirana korijena:
;
.
Ovdje je imaginarna jedinica, ;
i su stvarni i imaginarni dijelovi korijena:
;
.
Onda
.
Grafička interpretacija
Ako iscrtate funkciju
,
što je parabola, tada će tačke presjeka grafa sa osom biti korijeni jednadžbe
.
Kada je , graf siječe x-osu (os) u dvije točke ().
Kada je , graf dodiruje x-osu u jednoj tački ().
Kada je , graf ne siječe x-osu ().
Korisne formule vezane za kvadratnu jednačinu
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe
Izvodimo transformacije i primjenjujemo formule (f.1) i (f.3):
,
Gdje
;
.
Dakle, dobili smo formulu za polinom drugog stepena u obliku:
.
Ovo pokazuje da je jednadžba
izvedeno u
i .
To jest, i su korijeni kvadratne jednadžbe
.
Primjeri određivanja korijena kvadratne jednadžbe
Primjer 1
(1.1)
.
.
Upoređujući s našom jednadžbom (1.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalazimo diskriminanta:
.
Pošto je diskriminanta pozitivan, jednačina ima dva realna korijena:
;
;
.
Odavde dobijamo faktorizaciju kvadratnog trinoma:
.
Grafikon funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 siječe x-osu u dvije tačke.
Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Presijeca apscisnu osu (os) u dvije tačke:
i .
Ove tačke su korijeni originalne jednačine (1.1).
;
;
.
Primjer 2
Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(2.1)
.
Napišimo kvadratnu jednačinu u opštem obliku:
.
Upoređujući s originalnom jednadžbom (2.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalazimo diskriminanta:
.
Pošto je diskriminanta nula, jednačina ima dva višestruka (jednaka) korijena:
;
.
Tada faktorizacija trinoma ima oblik:
.
Grafikon funkcije y = x 2 - 4 x + 4 dodiruje x-osu u jednoj tački.
Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Dodiruje x-osu (os) u jednoj tački:
.
Ova tačka je korijen originalne jednačine (2.1). Zato što se ovaj korijen rastavlja dva puta:
,
tada se takav korijen obično naziva višestrukim. To jest, oni vjeruju da postoje dva jednaka korijena:
.
;
.
Primjer 3
Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(3.1)
.
Napišimo kvadratnu jednačinu u opštem obliku:
(1)
.
Prepišimo originalnu jednačinu (3.1):
.
Upoređujući sa (1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalazimo diskriminanta:
.
Diskriminant je negativan, . Stoga nema pravih korijena.
Možete pronaći složene korijene:
;
;
.
Onda
.
Grafikon funkcije ne prelazi x-osu. Nema pravih korena.
Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Ne siječe x-osu (os). Stoga nema pravih korijena.
Nema pravih korena. Složeni korijeni:
;
;
.
Neki problemi iz matematike zahtijevaju sposobnost izračunavanja vrijednosti kvadratnog korijena. Takvi problemi uključuju rješavanje jednačina drugog reda. U ovom članku ćemo predstaviti efikasan metod izračunavanje kvadratnih korijena i koristiti ga pri radu s formulama za korijene kvadratne jednadžbe.
Šta je kvadratni korijen?
U matematici, ovaj koncept odgovara simbolu √. Istorijski podaci govore da je prvi put korišćen oko prve polovine 16. veka u Nemačkoj (prvo nemačko delo o algebri Kristofa Rudolfa). Naučnici vjeruju da je simbol transformirano latinično slovo r (radix znači "korijen" na latinskom).
Korijen bilo kojeg broja jednak je vrijednosti čiji kvadrat odgovara radikalnom izrazu. U jeziku matematike, ova definicija će izgledati ovako: √x = y, ako je y 2 = x.
Korijen pozitivnog broja (x > 0) je također pozitivan broj (y > 0), ali ako uzmete korijen negativnog broja (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.
Evo dva jednostavna primjera:
√9 = 3, jer je 3 2 = 9; √(-9) = 3i, pošto je i 2 = -1.
Heronova iterativna formula za pronalaženje vrijednosti kvadratnih korijena
Gore navedeni primjeri su vrlo jednostavni, a izračunavanje korijena u njima nije teško. Poteškoće se počinju pojavljivati pri pronalaženju korijenskih vrijednosti za bilo koju vrijednost koja se ne može predstaviti kao kvadrat prirodni broj, na primjer √10, √11, √12, √13, a da ne spominjemo činjenicu da je u praksi potrebno pronaći korijene za necijele brojeve: na primjer √(12,15), √(8,5) i tako dalje.
U svim gore navedenim slučajevima treba koristiti posebnu metodu za izračunavanje kvadratnog korijena. Trenutno je poznato nekoliko takvih metoda: na primjer, proširenje Taylorovog niza, podjela stupaca i neke druge. Od svih poznatih metoda, možda je najjednostavnija i najefikasnija upotreba Heronove iterativne formule, koja je poznata i kao babilonska metoda određivanja kvadratnih korijena (postoje dokazi da su je stari Babilonci koristili u svojim praktičnim proračunima).
Neka je potrebno odrediti vrijednost √x. Formula za pronalaženje kvadratnog korijena je sljedeća:
a n+1 = 1/2(a n +x/a n), gdje je lim n->∞ (a n) => x.
Hajde da dešifrujemo ovu matematičku notaciju. Da biste izračunali √x, trebate uzeti određeni broj a 0 (može biti proizvoljan, ali da biste brzo dobili rezultat, trebali biste ga odabrati tako da (a 0) 2 bude što bliže x. Zatim ga zamijenite u naznačenu formulu za izračunavanje kvadratnog korijena i dobijete novi broj a 1, koji će već biti bliži željenoj vrijednosti. Nakon toga u izraz treba zamijeniti 1 i dobiti 2. Ovaj postupak treba ponavljati dok ne dobijete traženu vrijednost. dobija se tačnost.
Primjer korištenja Heronove iterativne formule
Gore opisani algoritam za dobivanje kvadratnog korijena datog broja može mnogima zvučati prilično komplicirano i zbunjujuće, ali u stvarnosti se sve ispostavilo da je mnogo jednostavnije, jer se ova formula vrlo brzo konvergira (naročito ako je odabran uspješan broj a 0) .
Dajemo jednostavan primjer: potrebno je izračunati √11. Odaberimo 0 = 3, pošto je 3 2 = 9, što je bliže 11 nego 4 2 = 16. Zamjenom u formulu dobijamo:
a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;
a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;
a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.
Nema smisla nastavljati proračune, jer smo otkrili da 2 i 3 počinju da se razlikuju tek na 5. decimalu. Dakle, bilo je dovoljno primijeniti formulu samo 2 puta da se izračuna √11 s tačnošću od 0,0001.
Danas se kalkulatori i računari široko koriste za izračunavanje korijena, međutim, korisno je zapamtiti označenu formulu kako biste mogli ručno izračunati njihovu tačnu vrijednost.
Jednačine drugog reda
Razumijevanje šta je kvadratni korijen i sposobnost njegovog izračunavanja koristi se u rješavanju kvadratnih jednačina. Ove jednačine se nazivaju jednakosti s jednom nepoznatom, čiji je opći oblik prikazan na donjoj slici.
Ovdje c, b i a predstavljaju neke brojeve, a a ne smije biti jednak nuli, a vrijednosti c i b mogu biti potpuno proizvoljne, uključujući jednake nuli.
Sve vrijednosti x koje zadovoljavaju jednakost prikazanu na slici nazivaju se njegovim korijenima (ovaj koncept ne treba brkati s kvadratnim korijenom √). Kako je jednadžba koja se razmatra 2. reda (x 2), onda za nju ne može postojati više od dva korijena. Pogledajmo dalje u članku kako pronaći ove korijene.
Pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe (formula)
Ova metoda rješavanja razmatrane vrste jednakosti naziva se i univerzalna metoda ili diskriminantna metoda. Može se koristiti za bilo koje kvadratne jednadžbe. Formula za diskriminanta i korijene kvadratne jednadžbe je sljedeća:
Pokazuje da korijeni zavise od vrijednosti svakog od tri koeficijenta jednadžbe. Štaviše, izračunavanje x 1 razlikuje se od izračunavanja x 2 samo po znaku ispred kvadratnog korijena. Radikalni izraz, koji je jednak b 2 - 4ac, nije ništa drugo do diskriminanta dotične jednakosti. Diskriminant u formuli za korijene kvadratne jednadžbe igra važnu ulogu jer određuje broj i vrstu rješenja. Dakle, ako je jednako nuli, tada će postojati samo jedno rješenje, ako je pozitivno, onda jednačina ima dva realna korijena, i konačno, negativna diskriminanta vodi do dva kompleksna korijena x 1 i x 2.
Vietin teorem ili neka svojstva korijena jednadžbi drugog reda
Krajem 16. veka, jedan od osnivača moderne algebre, Francuz, proučavajući jednačine drugog reda, uspeo je da dobije svojstva njenih korena. Matematički se mogu napisati ovako:
x 1 + x 2 = -b / a i x 1 * x 2 = c / a.
Obje jednakosti svatko može lako dobiti; da biste to učinili, samo trebate izvršiti odgovarajuće matematičke operacije s korijenima dobivenim kroz formulu s diskriminantom.
Kombinacija ova dva izraza s pravom se može nazvati drugom formulom za korijene kvadratne jednadžbe, koja omogućava pogađanje njenih rješenja bez upotrebe diskriminanta. Ovdje treba napomenuti da iako su oba izraza uvijek važeća, zgodno ih je koristiti za rješavanje jednačine samo ako se može faktorizirati.
Zadatak konsolidacije stečenog znanja
Hajde da riješimo matematički problem u kojem ćemo demonstrirati sve tehnike o kojima se govori u članku. Uslovi zadatka su sljedeći: potrebno je pronaći dva broja za koja je proizvod -13 i zbir 4.
Ovaj uslov nas odmah podsjeća na Vietin teorem; koristeći formule za zbroj kvadratnih korijena i njihovog proizvoda, pišemo:
x 1 + x 2 = -b / a = 4;
x 1 * x 2 = c / a = -13.
Ako pretpostavimo da je a = 1, onda je b = -4 i c = -13. Ovi koeficijenti nam omogućavaju da napravimo jednačinu drugog reda:
x 2 - 4x - 13 = 0.
Upotrijebimo formulu s diskriminantom i dobijemo sljedeće korijene:
x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Odnosno, problem se sveo na pronalaženje broja √68. Imajte na umu da je 68 = 4 * 17, a zatim, koristeći svojstvo kvadratnog korijena, dobijamo: √68 = 2√17.
Sada koristimo razmatranu formulu kvadratnog korijena: a 0 = 4, zatim:
a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;
a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.
Nema potrebe za izračunavanjem 3 jer se pronađene vrijednosti razlikuju samo za 0,02. Dakle, √68 = 8,246. Zamijenivši ga u formulu za x 1,2, dobijamo:
x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 i x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.
Kao što vidimo, zbir pronađenih brojeva je zaista jednak 4, ali ako pronađemo njihov proizvod, onda će biti jednak -12,999, što zadovoljava uslove zadatka sa tačnošću od 0,001.
Podsjećamo vas da je potpuna kvadratna jednadžba jednačina oblika:
Rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi je malo teže (samo malo) od ovih.
zapamti, Bilo koja kvadratna jednadžba se može riješiti korištenjem diskriminanta!
Čak i nepotpuna.
Druge metode će vam pomoći da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo savladajte rješenje pomoću diskriminanta.
1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminanta.
Rješavanje kvadratnih jednadžbi ovom metodom je vrlo jednostavno; glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.
Ako, onda jednačina ima 2 korijena. Morate obratiti posebnu pažnju na korak 2.
Diskriminant D nam govori o broju korijena jednadžbe.
- Ako, onda će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednačina će imati samo korijen.
- Ako, onda nećemo moći izvući korijen diskriminanta u koraku. Ovo ukazuje da jednačina nema korijena.
Okrenimo se geometrijskom značenju kvadratne jednačine.
Grafikon funkcije je parabola:
Vratimo se na naše jednadžbe i pogledajmo neke primjere.
Primjer 9
Riješite jednačinu
Korak 1 preskačemo.
Korak 2.
Pronalazimo diskriminanta:
To znači da jednačina ima dva korijena.
Korak 3.
odgovor:
Primjer 10
Riješite jednačinu
Jednačina je predstavljena u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.
Korak 2.
Pronalazimo diskriminanta:
To znači da jednačina ima jedan korijen.
odgovor:
Primjer 11
Riješite jednačinu
Jednačina je predstavljena u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.
Korak 2.
Pronalazimo diskriminanta:
To znači da nećemo moći izvući korijen diskriminanta. Ne postoje korijeni jednadžbe.
Sada znamo kako ispravno zapisati takve odgovore.
odgovor: nema korijena
2. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine teoreme
Ako se sjećate, postoji vrsta jednadžbe koja se zove redukovana (kada je koeficijent a jednak):
Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti korištenjem Vietine teoreme:
Zbir korijena dato kvadratna jednadžba je jednaka, a proizvod korijena jednak.
Potrebno je samo odabrati par brojeva čiji je proizvod jednak slobodnom članu jednačine, a zbir je jednak drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom.
Primjer 12
Riješite jednačinu
Ova jednačina se može riješiti korištenjem Vietine teoreme jer .
Zbir korijena jednačine je jednak, tj. dobijamo prvu jednačinu:
A proizvod je jednak:
Sastavimo i riješimo sistem:
- I. Iznos je jednak;
- I. Iznos je jednak;
- I. Iznos je jednak.
i su rješenje za sistem:
odgovor: ; .
Primjer 13
Riješite jednačinu
odgovor:
Primjer 14
Riješite jednačinu
Jednačina je data, što znači:
odgovor:
KVADRATNE JEDNAČINE. PROSJEČAN NIVO
Šta je kvadratna jednačina?
Drugim riječima, kvadratna jednačina je jednačina oblika, gdje je - nepoznato, - neki brojevi i.
Broj se naziva najvišim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, A - besplatni član.
Jer ako jednačina odmah postane linearna, jer će nestati.
U ovom slučaju, i može biti jednako nuli. U ovoj stolici jednačina se zove nepotpuno.
Ako su svi pojmovi na mjestu, to jest, jednačina je kompletan.
Metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi
Prvo, pogledajmo metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.
Možemo razlikovati sljedeće vrste jednačina:
I., u ovoj jednačini koeficijent i slobodni član su jednaki.
II. , u ovoj jednačini koeficijent je jednak.
III. , u ovoj jednačini slobodni član je jednak.
Pogledajmo sada rješenje za svaki od ovih podtipova.
Očigledno, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:
Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada pomnožite dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Zbog toga:
ako, onda jednačina nema rješenja;
ako imamo dva korena
Nema potrebe da se ove formule pamte. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.
Primjeri rješavanja kvadratnih jednačina
Primjer 15
odgovor:
Nikada ne zaboravite na korijene sa negativnim predznakom!
Primjer 16
Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da je jednačina
nema korijena.
Da bismo ukratko zapisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.
odgovor:
Primjer 17
Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.
odgovor:
Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:
Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednačina ima rješenje kada:
Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.
primjer:
Riješite jednačinu.
Rješenje:
Faktorimo lijevu stranu jednačine i pronađemo korijene:
odgovor:
Metode rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi
1. Diskriminant
Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, svaka kvadratna jednadžba se može riješiti korištenjem diskriminanta! Čak i nepotpuna.
Jeste li primijetili korijen od diskriminanta u formuli za korijene?
Ali diskriminant može biti negativan.
sta da radim?
Moramo obratiti posebnu pažnju na korak 2. Diskriminant nam govori o broju korijena jednačine.
- Ako, onda jednačina ima korijen:
- Ako, onda jednadžba ima iste korijene, a zapravo, jedan korijen:
Takvi korijeni se nazivaju dvostrukim korijenima.
- Ako, tada se korijen diskriminanta ne izdvaja. Ovo ukazuje da jednačina nema korijena.
Zašto su mogući različiti brojevi korijena?
Okrenimo se geometrijskom značenju kvadratne jednačine. Grafikon funkcije je parabola:
U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, .
To znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka sa osom apscise (osom).
Parabola možda uopće ne siječe osu, ili je može sjeći u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili dvije tačke.
Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, onda su grane parabole usmjerene prema gore, a ako, onda prema dolje.
4 primjera rješavanja kvadratnih jednadžbi
Primjer 18
odgovor:
Primjer 19
Odgovor: .
Primjer 20
odgovor:
Primjer 21
To znači da nema rješenja.
Odgovor: .
2. Vietin teorem
Upotreba Vietine teoreme je vrlo jednostavna.
Sve što ti je potrebno je pokupiti takav par brojeva, čiji je proizvod jednak slobodnom članu jednačine, a zbir je jednak drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom.
Važno je zapamtiti da se Vietina teorema može primijeniti samo u redukovane kvadratne jednadžbe ().
Pogledajmo nekoliko primjera:
Primjer 22
Riješite jednačinu.
Rješenje:
Ova jednačina se može riješiti korištenjem Vietine teoreme jer . Ostali koeficijenti: ; .
Zbir korijena jednadžbe je:
A proizvod je jednak:
Odaberimo parove brojeva čiji je proizvod jednak i provjerimo da li je njihov zbir jednak:
- I. Iznos je jednak;
- I. Iznos je jednak;
- I. Iznos je jednak.
i su rješenje za sistem:
Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.
Odgovor: ; .
Primjer 23
Rješenje:
Odaberimo parove brojeva koji daju u proizvodu, a zatim provjerimo da li je njihov zbir jednak:
i: daju ukupno.
i: daju ukupno. Da biste dobili, dovoljno je jednostavno promijeniti znakove navodnih korijena: i, na kraju krajeva, proizvoda.
odgovor:
Primjer 24
Rješenje:
Slobodni član jednadžbe je negativan, pa je stoga proizvod korijena negativan broj. Ovo je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Stoga je zbir korijena jednak razlike njihovih modula.
Odaberimo parove brojeva koji daju u proizvodu, a čija je razlika jednaka:
i: njihova razlika je jednaka - ne uklapa se;
i: - nije prikladno;
i: - nije prikladno;
i: - pogodan. Ostaje samo zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Pošto njihov zbir mora biti jednak, korijen sa manjim modulom mora biti negativan: . Provjeravamo:
odgovor:
Primjer 25
Riješite jednačinu.
Rješenje:
Jednačina je data, što znači:
Slobodni član je negativan, pa je stoga proizvod korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.
Odaberimo parove brojeva čiji je proizvod jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:
Očigledno, samo su korijeni i pogodni za prvi uvjet:
odgovor:
Primjer 26
Riješite jednačinu.
Rješenje:
Jednačina je data, što znači:
Zbir korijena je negativan, što znači da je barem jedan od korijena negativan. Ali budući da je njihov proizvod pozitivan, to znači da oba korijena imaju predznak minus.
Odaberimo parove brojeva čiji je proizvod jednak:
Očigledno, korijeni su brojevi i.
odgovor:
Slažete se, vrlo je zgodno doći do korijena usmeno, umjesto da brojite ovaj gadni diskriminator.
Pokušajte koristiti Vietinu teoremu što je češće moguće!
Ali Vietin teorem je potreban kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena.
Da biste imali koristi od njegove upotrebe, radnje morate dovesti do automatizma. A za ovo riješite još pet primjera.
Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminator! Samo Vietin teorem!
5 primjera Vietine teoreme za samostalan rad
Primjer 27
Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Prema Vietovoj teoremi:
Kao i obično, odabir počinjemo s komadom:
Nije prikladno zbog količine;
: iznos je upravo ono što vam treba.
Odgovor: ; .
Primjer 28
Zadatak 2.
I opet naša omiljena Vietina teorema: zbir mora biti jednak, a proizvod mora biti jednak.
Ali pošto mora biti ne, ali, mijenjamo znakove korijena: i (ukupno).
Odgovor: ; .
Primjer 29
Zadatak 3.
Hmm... Gdje je to?
Morate premjestiti sve pojmove u jedan dio:
Zbir korijena jednak je proizvodu.
Ok, stani! Jednačina nije data.
Ali Vietin teorem je primjenjiv samo u datim jednačinama.
Dakle, prvo morate dati jednačinu.
Ako ne možete voditi, odustanite od ove ideje i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminator).
Dozvolite mi da vas podsjetim da dati kvadratnu jednačinu znači učiniti vodeći koeficijent jednakim:
Tada je zbir korijena jednak proizvodu.
Ovdje je lako izabrati kruške: na kraju krajeva, to je prost broj (izvinite na tautologiji).
Odgovor: ; .
Primjer 30
Zadatak 4.
Slobodni član je negativan.
Šta je u ovome posebno?
A činjenica je da će korijeni imati različite znakove.
I sada, tokom odabira, ne provjeravamo zbir korijena, već razliku u njihovim modulima: ova razlika je jednaka, ali proizvod.
Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus.
Vietina teorema nam govori da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu suprotnog predznaka, tj.
To znači da će manji korijen imati minus: i, pošto.
Odgovor: ; .
Primjer 31
Zadatak 5.
Šta prvo treba da uradite?
Tako je, dajte jednačinu:
Opet: biramo faktore broja, a njihova razlika bi trebala biti jednaka:
Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbir bi trebao biti jednak, što znači da će minus imati veći korijen.
Odgovor: ; .
Sažmite
- Vietin teorem se koristi samo u datim kvadratnim jednačinama.
- Koristeći Vietin teorem, možete pronaći korijene odabirom, usmeno.
- Ako jednačina nije data ili nije pronađen odgovarajući par faktora slobodnog člana, onda nema cijelih korijena i morate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminanta).
3. Metoda za odabir cijelog kvadrata
Ako su svi pojmovi koji sadrže nepoznato predstavljeni u obliku pojmova iz skraćenih formula za množenje - kvadrata zbira ili razlike - tada se nakon zamjene varijabli jednačina može predstaviti u obliku nepotpune kvadratne jednačine tipa.
Na primjer:
Primjer 32
Riješite jednačinu: .
Rješenje:
odgovor:
Primjer 33
Riješite jednačinu: .
Rješenje:
odgovor:
Generalno, transformacija će izgledati ovako:
Ovo implicira: .
Ne podsjeća te ni na šta?
Ovo je diskriminatorna stvar! Upravo tako smo dobili diskriminantnu formulu.
KVADRATNE JEDNAČINE. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA
Kvadratna jednadžba- ovo je jednačina oblika, gdje je - nepoznato, - koeficijenti kvadratne jednačine, - slobodni član.
Potpuna kvadratna jednadžba- jednačina u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.
Redukovana kvadratna jednačina- jednačina u kojoj je koeficijent, odnosno: .
Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:
- ako je koeficijent, jednačina izgleda ovako: ,
- ako postoji slobodni član, jednačina ima oblik: ,
- ako i, jednačina izgleda ovako: .
1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednačina
1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :
1) Izrazimo nepoznato: ,
2) Provjerite predznak izraza:
- ako, onda jednačina nema rješenja,
- ako, onda jednačina ima dva korijena.
1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :
1) Uzmimo zajednički faktor iz zagrada: ,
2) Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:
1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:
Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .
2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednačina oblika gdje
2.1. Rješenje korištenjem diskriminanta
1) Smanjimo jednačinu na standardni pogled: ,
2) Izračunajmo diskriminant koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednačine:
3) Pronađite korijene jednačine:
- ako, onda jednadžba ima korijene, koji se nalaze po formuli:
- ako, onda jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
- ako, onda jednačina nema korijena.
2.2. Rješenje korištenjem Vietine teoreme
Zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe (jednačina oblika gdje) je jednak, a proizvod korijena jednak, tj. , A.
2.3. Rješenje metodom odabira cijelog kvadrata
“, odnosno jednačine prvog stepena. U ovoj lekciji ćemo pogledati ono što se zove kvadratna jednačina i kako to riješiti.
Šta je kvadratna jednačina?
Bitan!
Stepen jednačine je određen najvišim stepenom do kojeg stoji nepoznata.
Ako je maksimalna snaga u kojoj je nepoznata "2", onda imate kvadratnu jednačinu.
Primjeri kvadratnih jednadžbi
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Bitan! Opšti oblik kvadratne jednadžbe izgleda ovako:
A x 2 + b x + c = 0
“a”, “b” i “c” su dati brojevi.- “a” je prvi ili najviši koeficijent;
- “b” je drugi koeficijent;
- “c” je slobodan termin.
Da biste pronašli “a”, “b” i “c” potrebno je da uporedite svoju jednačinu sa opštim oblikom kvadratne jednačine “ax 2 + bx + c = 0”.
Vježbajmo određivanje koeficijenata "a", "b" i "c" u kvadratnim jednačinama.
| Jednačina | Odds | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- c =
1 3
- a = 1
- b = 0,25
- c = 0
- a = 1
- b = 0
- c = −8
Kako riješiti kvadratne jednadžbe
Za razliku od linearnih jednadžbi, za rješavanje kvadratnih jednadžbi koristi se posebna metoda. formula za pronalaženje korijena.
Zapamtite!
Za rješavanje kvadratne jednadžbe potrebno je:
- dovesti kvadratnu jednačinu u opšti oblik “ax 2 + bx + c = 0”. To jest, samo “0” treba da ostane na desnoj strani;
- koristite formulu za korijenje:
Pogledajmo primjer kako koristiti formulu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Rešimo kvadratnu jednačinu.
X 2 − 3x − 4 = 0
Jednačina “x 2 − 3x − 4 = 0” je već svedena na opći oblik “ax 2 + bx + c = 0” i ne zahtijeva dodatna pojednostavljenja. Da bismo to riješili, samo se trebamo prijaviti formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.
Odredimo koeficijente “a”, “b” i “c” za ovu jednačinu.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
Može se koristiti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.
U formuli “x 1;2 =” radikalni izraz se često zamjenjuje
“b 2 − 4ac” za slovo “D” i naziva se diskriminantnim. Koncept diskriminanta detaljnije je obrađen u lekciji „ Šta je diskriminant ».
Pogledajmo još jedan primjer kvadratne jednadžbe.
x 2 + 9 + x = 7x
U ovom obliku prilično je teško odrediti koeficijente “a”, “b” i “c”. Hajde da prvo svedemo jednačinu na opšti oblik “ax 2 + bx + c = 0”.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Sada možete koristiti formulu za korijene.
X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Odgovor: x = 3
Postoje slučajevi kada kvadratne jednadžbe nemaju korijen. Ova situacija se događa kada formula sadrži negativan broj ispod korijena.
