Kako pronaći bočnu površinu piramide. Pronađite površinu pravilne trokutaste piramide

je višestruka figura, čija je osnova poligon, a preostala lica su predstavljena trouglovima sa zajedničkim vrhom.

Ako je osnova kvadrat, onda se piramida zove četvorougaona, ako je trougao – onda trouglasti. Visina piramide povučena je od njenog vrha okomito na osnovu. Također se koristi za izračunavanje površine apothem– visina bočne strane, spuštena sa njenog vrha.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbir površina njenih bočnih strana, koje su međusobno jednake. Međutim, ovaj način izračunavanja se koristi vrlo rijetko. U osnovi, površina piramide se izračunava kroz perimetar baze i apoteme:

Razmotrimo primjer izračunavanja površine bočne površine piramide.

Neka je data piramida sa osnovom ABCDE i vrhom F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotema a = 5 cm Nađite površinu bočne površine piramide.
Nađimo perimetar. Pošto su sve ivice baze jednake, obim petougla će biti jednak:
Sada možete pronaći bočnu površinu piramide:

Površina pravilne trouglaste piramide

Pravilna trouglasta piramida sastoji se od osnove u kojoj leži pravilan trokut i tri bočne strane koje su jednake po površini.
Formula za bočnu površinu pravilne trokutaste piramide može se izračunati Različiti putevi. Možete primijeniti uobičajenu formulu za izračunavanje pomoću perimetra i apoteme, ili možete pronaći površinu jednog lica i pomnožiti je sa tri. Budući da je lice piramide trokut, primjenjujemo formulu za površinu trokuta. To će zahtijevati apotemu i dužinu baze. Razmotrimo primjer izračunavanja bočne površine pravilne trokutaste piramide.

Zadata je piramida sa apotemom a = 4 cm i osnovnom površinom b = 2 cm. Nađite površinu bočne površine piramide.
Prvo pronađite površinu jedne od bočnih strana. U ovom slučaju to će biti:
Zamijenite vrijednosti u formulu:
Kako su u pravilnoj piramidi sve stranice iste, površina bočne površine piramide bit će jednaka zbiru površina triju strana. odnosno:

Područje skraćene piramide

Truncated Piramida je poliedar koji je formiran od piramide čiji je poprečni presjek paralelan s bazom.
Formula za bočnu površinu krnje piramide je vrlo jednostavna. Površina je jednaka umnošku polovine zbira opsega baza i apoteme:

Cilindar je geometrijsko tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravnima i cilindričnom površinom. U članku ćemo govoriti o tome kako pronaći površinu cilindra i, koristeći formulu, riješit ćemo nekoliko problema kao primjer.

Cilindar ima tri površine: gornju, bazu i bočnu površinu.

Vrh i baza cilindra su krugovi i lako ih je prepoznati.

Poznato je da je površina kruga jednaka πr 2. Stoga će formula za površinu dva kruga (vrh i baza cilindra) biti πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Treća, bočna površina cilindra, je zakrivljeni zid cilindra. Kako bismo što bolje zamislili ovu površinu, pokušajmo je transformirati da dobije prepoznatljiv oblik. Zamislite da je cilindar obična limena limenka koja nema gornji ili donji poklopac. Napravimo okomiti rez na bočnom zidu od vrha do dna limenke (korak 1 na slici) i pokušajmo otvoriti (ispraviti) rezultirajuću figuru što je više moguće (korak 2).

Nakon što se dobijena staklenka potpuno otvori, vidjet ćemo poznatu figuru (korak 3), ovo je pravougaonik. Površinu pravougaonika je lako izračunati. Ali prije toga, vratimo se na trenutak originalnom cilindru. Vrh originalnog cilindra je krug, a znamo da se obim izračunava po formuli: L = 2πr. Na slici je označeno crvenom bojom.

Kada se bočna stijenka cilindra potpuno otvori, vidimo da obim postaje dužina rezultirajućeg pravokutnika. Stranice ovog pravougaonika biće obim (L = 2πr) i visina cilindra (h). Površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegovih stranica - S = dužina x širina = L x h = 2πr x h = 2πrh. Kao rezultat toga, dobili smo formulu za izračunavanje površine bočne površine cilindra.

Formula za bočnu površinu cilindra
S strana = 2πrh

Ukupna površina cilindra

Konačno, ako zbrojimo površinu sve tri površine, dobićemo formulu za ukupnu površinu cilindra. Površina cilindra jednaka je površini vrha cilindra + površini osnove cilindra + površini bočne površine cilindra ili S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ponekad se ovaj izraz piše identično formuli 2πr (r + h).

Formula za ukupnu površinu cilindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – poluprečnik cilindra, h – visina cilindra

Primjeri izračunavanja površine cilindra

Da bismo razumjeli gornje formule, pokušajmo izračunati površinu cilindra koristeći primjere.

1. Poluprečnik osnove cilindra je 2, visina 3. Odredite površinu bočne površine cilindra.

Ukupna površina se izračunava pomoću formule: S strana. = 2πrh

S strana = 2 * 3,14 * 2 * 34,6. Ukupno primljenih ocjena: 990.

U okviru školskog predmeta stereometrija proučavaju se svojstva različitih prostornih figura. Jedna od njih je piramida. Ovaj članak je posvećen pitanju kako pronaći bočnu površinu piramide. Također se razmatra pitanje određivanja ove površine za krnju piramidu.

Šta je piramida?

Mnogi ljudi, nakon što čuju riječ "piramida", odmah zamisle grandiozne strukture starog Egipta. Zaista, grobnice Keopsa i Hafrea su pravilne četvorougaone piramide. Međutim, piramida je također tetraedar, figura s peterokutnom, šesterokutnom ili n-kutnom osnovom.

Možda će vas zanimati:

U geometriji je pojam piramide jasno definisan. Ova figura se shvata kao objekat u prostoru koji nastaje kao rezultat povezivanja određene tačke sa uglovima ravnog n-ugla, gde je n ceo broj. Slika ispod prikazuje četiri piramide sa različitim brojem uglova u osnovi.

Tačka na koju su povezani svi vrhovi uglova baze ne leži u njenoj ravni. Zove se vrh piramide. Ako od njega povučemo okomicu na bazu, dobićemo visinu. Figura u kojoj visina siječe bazu u geometrijskom centru naziva se prava linija. Ponekad ravna piramida ima pravilnu osnovu, kao što je kvadrat, jednakostranični trokut i tako dalje. U ovom slučaju se naziva ispravnim.

Prilikom izračunavanja bočne površine piramide, prikladno je raditi s ispravnim figurama.

Površina bočne figure

Kako pronaći bočnu površinu piramide? To možete razumjeti ako uvedete odgovarajuću definiciju i razmotrite razvoj u ravni za ovu figuru.

Bilo koju piramidu formiraju lica koja su međusobno odvojena ivicama. Osnova je lice koje formira n-ugao. Sva ostala lica su trouglovi. Ima ih n, a zajedno čine bočnu površinu figure.

Ako isečete površinu duž bočne ivice i rasklopite je na ravni, dobit ćete razvoj piramide. Na primjer, ispod je prikazan razvoj heksagonalne piramide.

Može se vidjeti da bočnu površinu čini šest identičnih trokuta.

Sada nije teško pogoditi kako pronaći bočnu površinu piramide. Da biste to učinili, zbrojite površine svih trouglova. U slučaju n-ugaone pravilne piramide, čija je stranica osnove jednaka a, za razmatranu površinu možemo napisati formulu:

Ovdje je hb apotema piramide. To jest, visina trokuta, spuštena od vrha figure do strane baze. Ako je apotema nepoznata, onda se može izračunati poznavanjem parametara n-ugla i vrijednosti visine h figure.

Krnja piramida i njena površina

Kao što možete pretpostaviti iz imena, skraćena piramida se može dobiti od obične figure. Da biste to učinili, trebate odrezati vrh ravninom koja je paralelna s bazom. Slika ispod pokazuje ovaj proces za heksagonalni oblik.

Njegova bočna površina je zbir površina identičnih jednakokračnih trapeza. Formula za bočnu površinu krnje piramide (pravilne) je:

Sb = hb*n*(a1 + a2)/2

Ovdje je hb apotema figure, što je visina trapeza. Veličine a1 i a2 su dužine osnova stranica.

Proračun bočne površine za trokutastu piramidu

Pokazat ćemo vam kako pronaći bočnu površinu piramide. Recimo da imamo običan trouglasti, pogledajmo primjer konkretnog problema. Poznato je da je stranica osnove, koja je jednakostranični trokut, 10 cm, a visina figure 15 cm.

Razvoj ove piramide prikazan je na slici. Da biste koristili formulu za Sb, prvo morate pronaći apotemu hb. Uzimajući u obzir pravokutni trokut unutar piramide, izgrađen na stranicama hb i h, jednakost se može napisati na sljedeći način:

hb = √(h2+a2/12)

Zamijenimo podatke i nađemo da je hb≈15,275 cm.

Sada možete koristiti formulu za Sb:

Sb = n*a*hb/2 = 3*10*15,275/2 = 229,125 cm2

Imajte na umu da osnovu trokutaste piramide, kao i njena bočna strana, čini trokut. Međutim, ovaj trokut se ne uzima u obzir pri izračunavanju površine Sb.

Definicija piramide

Piramida je poliedar čija je osnova poligon, a njegove strane su trouglovi.

Online kalkulator

Vrijedi se zadržati na definiciji nekih komponenti piramide.

Ona, kao i drugi poliedri, ima rebra. Konvergiraju se u jednu tačku tzv top piramide. Može se zasnivati na proizvoljnom poligonu. Edge je geometrijska figura koju čine jedna od strana baze i dvije najbliže ivice. U našem slučaju to je trougao. Visina piramida je udaljenost od ravni u kojoj leži njena osnova do vrha poliedra. Za pravilnu piramidu postoji i koncept apothems- ovo je okomica koja se spušta od vrha piramide do njene osnove.

Vrste piramida

Postoje 3 vrste piramida:

Pravougaona- onaj u kojem bilo koja ivica formira pravi ugao sa bazom.
Tačno- njegova osnova je pravilna geometrijska figura, a sam vrh poligona je projekcija centra baze.
Tetrahedron- piramida sastavljena od trouglova. Štaviše, svaki od njih se može uzeti kao osnova.

Formula za površinu piramide

Da biste pronašli ukupnu površinu piramide, morate dodati površinu bočne površine i površinu baze.

Najjednostavniji slučaj je slučaj pravilne piramide, pa ćemo se time baviti. Izračunajmo ukupnu površinu takve piramide. Bočna površina je:

S strana = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pS strana = 2 1 ⋅ l ⋅str

Ll l- apotema piramide;
p str str- obim osnove piramide.

Ukupna površina piramide:

S = S strana + S glavna S=S_(\text(side))+S_(\text(main))S=S strana + S osnovni

S strana S_(\tekst(strana)) S strana - površina bočne površine piramide;
S glavni S_(\text(basic)) S osnovni - površina osnove piramide.

Primjer rješavanja problema.

Primjer

Nađite ukupnu površinu trokutaste piramide ako je njen apotem 8 (cm), a u osnovi je jednakostranični trokut sa stranicom 3 (cm)

Rješenje

L = 8 l=8 l =8
a = 3 a=3 a =3

Nađimo obim baze. Pošto je osnova jednakostraničan trokut sa stranicom aa a, zatim njegov perimetar p str str(zbir svih njegovih strana):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9p =a +a +a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

Tada je bočna površina piramide:

S strana = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36S strana = 2 1 ⋅ l ⋅p =2 1 ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (vidi sq.)

Sada pronađimo površinu osnove piramide, odnosno površinu trokuta. U našem slučaju, trokut je jednakostraničan i njegova površina se može izračunati pomoću formule:

S main = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)S osnovni = 4 3 ⋅ a 2

Aa a- strana trougla.

Dobijamo:

S main = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3,9 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3) )\cdot 3^2)(4)\približno 3.9S osnovni = 4 3 ⋅ a 2 = 4 3 ⋅ 3 2 ≈ 3 . 9 (vidi sq.)

Ukupna površina:

S = S strana + S glavna ≈ 36 + 3,9 = 39,9 S=S_(\text(side))+S_(\text(main))\approx36+3,9=39,9S=S strana + S osnovni ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (vidi sq.)

odgovor: 39,9 cm sq.

Još jedan primjer, malo složeniji.

Primjer

Osnova piramide je kvadrat površine 36 (cm2). Apotem poliedra je 3 puta veći od stranice baze aa a. Pronađite ukupnu površinu ove figure.

Rješenje

S quad = 36 S_(\text(quad))=36S quad = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3 ⋅ a

Nađimo stranu baze, odnosno stranu kvadrata. Njegova površina i dužina stranice su povezane:

S quad = a 2 S_(\text(quad))=a^2S quad = a 2
36 = a 2 36=a^2 3 6 = a 2
a = 6 a=6 a =6

Nađimo obim osnove piramide (tj. opseg kvadrata):

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p =a +a +a +a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

Nađimo dužinu apoteme:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

u našem slučaju:

S quad = S glavni S_(\text(quad))=S_(\text(basic))S quad = S osnovni

Ostaje samo pronaći površinu bočne površine. prema formuli:

S strana = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216S strana = 2 1 ⋅ l ⋅p =2 1 ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (vidi sq.)

Ukupna površina:

$S=S_(\text(side))+S_(\text(main))=216+36=252$

odgovor: 252 cm sq.

U pravilnoj trouglastoj piramidi SABC R- sredina rebra AB, S- top.
To je poznato SR = 6, a bočna površina je jednaka 36 .
Pronađite dužinu segmenta B.C..

Hajde da napravimo crtež. U pravilnoj piramidi, bočne strane su jednakokraki trouglovi.

Segment linije S.R.- medijana spuštena na osnovu, a time i visina bočne strane.

Bočna površina pravilne trokutaste piramide jednaka je zbiru površina
tri jednake bočne strane S strana = 3 S ABS. Odavde S ABS = 36: 3 = 12- područje lica.

Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegove osnove i visine
S ABS = 0,5 AB SR. Znajući površinu i visinu, nalazimo stranu baze AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Odgovori: 4

Problemu možete pristupiti s druge strane. Pustite osnovnu stranu AB = BC = a.
Zatim područje lica S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

Površina svakog od tri lica je jednaka 3a, površina tri lica je jednaka 9a.
Prema uslovima zadatka, površina bočne površine piramide je 36.
S strana = 9a = 36.
Odavde a = 4.