U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na krivolinijsko kretanje, odnosno ravnomjerno kretanje tijela u krugu. Naučit ćemo što je linearna brzina, centripetalno ubrzanje kada se tijelo kreće u krug. Uvešćemo i veličine koje karakterišu rotaciono kretanje (period rotacije, frekvenciju rotacije, ugaonu brzinu) i povezati ove veličine jedne s drugima.
Pod ravnomjernim kružnim kretanjem podrazumijevamo da se tijelo rotira pod istim uglom tokom bilo kojeg jednakog vremenskog perioda (vidi sliku 6).
Rice. 6. Ujednačeno kretanje u krugu
Odnosno, modul trenutne brzine se ne mijenja:
Ova brzina se zove linearno.
Iako se veličina brzine ne mijenja, smjer brzine se kontinuirano mijenja. Razmotrimo vektore brzina u tačkama A I B(vidi sliku 7). Oni su usmjereni u različitim smjerovima, pa nisu jednaki. Ako oduzmemo od brzine u tački B brzina u tački A, dobijamo vektor .
Rice. 7. Vektori brzine
Omjer promjene brzine () i vremena tokom kojeg se ova promjena dogodila () je ubrzanje.
Stoga se svako krivolinijsko kretanje ubrzava.
Ako uzmemo u obzir trokut brzine dobijen na slici 7, onda sa vrlo bliskim rasporedom tačaka A I B jedan prema drugom, ugao (α) između vektora brzine će biti blizu nule:
Također je poznato da je ovaj trokut jednakokračan, pa su moduli brzina jednaki (jednoliko kretanje):
Dakle, oba ugla u osnovi ovog trokuta su beskonačno bliska:
To znači da je ubrzanje, koje je usmjereno duž vektora, zapravo okomito na tangentu. Poznato je da je prava u krugu okomita na tangentu, dakle, radijus ubrzanje je usmjereno duž radijusa prema centru kružnice. Ovo ubrzanje se naziva centripetalno.
Slika 8 prikazuje prethodno razmatrani trokut brzine i jednakokraki trougao(dve strane su poluprečniki kruga). Ovi trokuti su slični jer imaju jednake uglove formirane međusobno okomitim linijama (poluprečnik i vektor su okomiti na tangentu).
Rice. 8. Ilustracija za izvođenje formule za centripetalno ubrzanje
Segment linije AB je move(). Razmatramo ravnomjerno kretanje u krugu, dakle:
Zamijenimo rezultirajući izraz za AB u formulu sličnosti trokuta:
Koncepti "linearna brzina", "ubrzanje", "koordinata" nisu dovoljni da opisuju kretanje duž zakrivljene putanje. Stoga je potrebno uvesti veličine koje karakteriziraju rotacijsko kretanje.
1. Period rotacije (T ) se zove vrijeme jedne pune revolucije. Mjereno u SI jedinicama u sekundama.
Primjeri perioda: Zemlja rotira oko svoje ose za 24 sata (), a oko Sunca - za 1 godinu ().
Formula za izračunavanje perioda:
Gdje - puno vrijeme rotacija; - broj obrtaja.
2. Frekvencija rotacije (n ) - broj okretaja koje tijelo napravi u jedinici vremena. Mjereno u SI jedinicama u recipročnim sekundama.
Formula za pronalaženje frekvencije:
gdje je ukupno vrijeme rotacije; - broj obrtaja
Učestalost i period su obrnuto proporcionalne veličine:
3. Ugaona brzina () nazovimo omjer promjene ugla kroz koji se tijelo okrenulo prema vremenu tokom kojeg je došlo do ove rotacije. Mjereno u SI jedinicama u radijanima podijeljeno sa sekundama.
Formula za pronalaženje ugaona brzina:
gdje je promjena ugla; - vrijeme tokom kojeg je došlo do skretanja kroz ugao.
Kako linearna brzina ravnomjerno mijenja smjer, kružno kretanje se ne može nazvati ravnomjernim, ono je jednoliko ubrzano.
Ugaona brzina
Odaberimo tačku na kružnici 1 . Napravimo radijus. U jedinici vremena, tačka će se pomeriti do tačke 2 . U ovom slučaju, radijus opisuje ugao. Kutna brzina je numerički jednaka kutu rotacije polumjera u jedinici vremena.
Period i učestalost
Period rotacije T- ovo je vrijeme tokom kojeg tijelo napravi jednu revoluciju.
Frekvencija rotacije je broj obrtaja u sekundi.
Učestalost i period su međusobno povezani odnosom
Odnos sa ugaonom brzinom
Linearna brzina
Svaka tačka na kružnici kreće se određenom brzinom. Ova brzina se zove linearna. Pravac vektora linearne brzine uvek se poklapa sa tangentom na kružnicu. Na primjer, iskre ispod mašine za mljevenje se kreću, ponavljajući smjer trenutne brzine.
Zamislite tačku na kružnici koja čini jedan okret, vrijeme provedeno je period T Putanja kojom prelazi tačka je obim.
Centripetalno ubrzanje
Kada se krećete u krugu, vektor ubrzanja je uvijek okomit na vektor brzine, usmjeren prema centru kružnice.
Koristeći prethodne formule, možemo izvesti sljedeće odnose
Tačke koje leže na istoj pravoj liniji koja izlazi iz središta kruga (na primjer, to mogu biti tačke koje leže na žbici točka) imat će iste ugaone brzine, period i frekvenciju. Odnosno, rotirati će se na isti način, ali s različitim linearnim brzinama. Što je tačka dalje od centra, to će se brže kretati.
Zakon sabiranja brzina također vrijedi za rotaciono kretanje. Ako kretanje tijela ili referentnog okvira nije ravnomjerno, tada se zakon primjenjuje na trenutne brzine. Na primjer, brzina osobe koja hoda po rubu rotirajuće vrtuljke jednaka je vektorskom zbroju linearne brzine rotacije ruba vrtuljka i brzine osobe.
Zemlja učestvuje u dva glavna rotaciona kretanja: dnevnom (oko svoje ose) i orbitalnom (oko Sunca). Period rotacije Zemlje oko Sunca je 1 godina ili 365 dana. Zemlja rotira oko svoje ose od zapada prema istoku, period ove rotacije je 1 dan ili 24 sata. Geografska širina je ugao između ravni ekvatora i pravca od centra Zemlje do tačke na njenoj površini.
Prema drugom Newtonovom zakonu, uzrok svakog ubrzanja je sila. Ako tijelo koje se kreće doživljava centripetalno ubrzanje, tada priroda sila koje uzrokuju ovo ubrzanje može biti drugačija. Na primjer, ako se tijelo kreće u krug na užetu vezanom za njega, tada je sila koja djeluje elastična sila.
Ako tijelo koje leži na disku rotira s diskom oko svoje ose, tada je takva sila sila trenja. Ako sila zaustavi svoje djelovanje, tada će se tijelo nastaviti kretati pravolinijski
Razmotrimo kretanje tačke na kružnici od A do B. Linearna brzina je jednaka
Sada pređimo na stacionarni sistem povezan sa zemljom. Ukupno ubrzanje tačke A će ostati isto i po veličini i po pravcu, jer se pri kretanju iz jednog inercijalnog referentnog sistema u drugi, ubrzanje ne menja. Sa stanovišta stacionarnog posmatrača, putanja tačke A više nije kružnica, već složenija kriva (cikloida), duž koje se tačka kreće neravnomerno.
1.Ujednačeno kretanje u krugu
2. Ugaona brzina rotacionog kretanja.
3. Period rotacije.
4. Brzina rotacije.
5. Odnos između linearne brzine i ugaone brzine.
6.Centripetalno ubrzanje.
7. Jednako naizmjenična kretanja u krugu.
8. Kutno ubrzanje u ravnomjernom kružnom kretanju.
9.Tangencijalno ubrzanje.
10. Zakon ravnomjerno ubrzanog kretanja u krugu.
11. Prosječna ugaona brzina pri ravnomjerno ubrzanom kretanju u krugu.
12. Formule koje uspostavljaju odnos između ugaone brzine, ugaonog ubrzanja i ugla rotacije pri ravnomerno ubrzanom kretanju u krugu.
1.Ujednačeno kretanje po krugu– kretanje u kojem materijalna tačka prolazi jednake segmente kružnog luka u jednakim vremenskim intervalima, tj. tačka se kreće u krug konstantnom apsolutnom brzinom. U ovom slučaju brzina je jednaka omjeru luka kružnice koju prelazi tačka i vremena kretanja, tj.
i naziva se linearna brzina kretanja u krugu.
Kao i kod krivolinijskog kretanja, vektor brzine je usmjeren tangencijalno na kružnicu u smjeru kretanja (slika 25).
2. Ugaona brzina u ravnomerno kretanje po obodu– omjer ugla rotacije radijusa i vremena rotacije:
U ravnomjernom kružnom kretanju, ugaona brzina je konstantna. U SI sistemu, ugaona brzina se meri u (rad/s). Jedan radijan - rad je središnji ugao koji podupire luk kružnice dužine jednake poluprečniku. Pun ugao sadrži radijane, tj. po obrtaju radijus se rotira za ugao od radijana.
3. Period rotacije– vremenski interval T, tokom kojeg materijalna tačka pravi jedan puni okret. U SI sistemu period se mjeri u sekundama.
4. Frekvencija rotacije– broj obrtaja napravljenih u jednoj sekundi. U SI sistemu frekvencija se mjeri u hercima (1Hz = 1). Jedan herc je frekvencija na kojoj se jedna revolucija završi u jednoj sekundi. Lako je to zamisliti
Ako za vrijeme t tačka napravi n okretaja oko kruga onda .
Poznavajući period i frekvenciju rotacije, kutna brzina se može izračunati pomoću formule:
5 Odnos linearne brzine i ugaone brzine. Dužina luka kružnice jednaka je gdje je središnji ugao, izražen u radijanima, polumjer kružnice koja spaja luk. Sada zapisujemo linearnu brzinu u formu
Često je zgodno koristiti formule: ili Ugaona brzina se često naziva cikličkom frekvencijom, a frekvencija linearnom frekvencijom.
6. Centripetalno ubrzanje. U ravnomjernom kretanju oko kruga, modul brzine ostaje nepromijenjen, ali se njegov smjer kontinuirano mijenja (slika 26). To znači da tijelo koje se ravnomjerno kreće po kružnici doživljava ubrzanje koje je usmjereno prema centru i naziva se centripetalno ubrzanje.
Neka pređe udaljenost jednaka luku kružnice u određenom vremenskom periodu. Pomaknimo vektor, ostavljajući ga paralelnim sa samim sobom, tako da se njegov početak poklopi sa početkom vektora u tački B. Modul promjene brzine je jednak , a modul centripetalnog ubrzanja je jednak
Na slici 26 trouglovi AOB i DVS su jednakokraki, a uglovi na vrhovima O i B su jednaki, kao i uglovi sa međusobno okomitim stranicama AO i OB. To znači da su trouglovi AOB i DVS slični. Dakle, ako, to jest, vremenski interval uzima proizvoljno male vrijednosti, tada se luk može približno smatrati jednakim tetivi AB, tj. . Dakle, možemo napisati S obzirom da je VD = , OA = R dobijamo Množenjem obje strane posljednje jednakosti sa , dalje dobijamo izraz za modul centripetalnog ubrzanja pri ravnomjernom kretanju u krugu: . S obzirom da dobijamo dvije često korištene formule:
Dakle, u ravnomjernom kretanju oko kruga, centripetalno ubrzanje je konstantne veličine.
Lako je razumjeti da je u granici na , kut . To znači da uglovi u osnovi DS trougla ICE teže vrijednosti , a vektor promjene brzine postaje okomit na vektor brzine, tj. usmjerena radijalno prema centru kruga.
7. Jednako naizmjenični kružni pokreti– kružno kretanje u kojem se ugaona brzina mijenja za isti iznos u jednakim vremenskim intervalima.
8. Kutno ubrzanje u ravnomjernom kružnom kretanju– odnos promene ugaone brzine i vremenskog intervala tokom kojeg se ta promena dogodila, tj.
gdje je početna vrijednost ugaone brzine, konačna vrijednost ugaone brzine, ugaono ubrzanje, u SI sistemu se mjeri u . Iz posljednje jednakosti dobijamo formule za izračunavanje ugaone brzine
I ako .
Množenjem obje strane ovih jednakosti sa i uzimajući u obzir da , je tangencijalno ubrzanje, tj. ubrzanje usmjereno tangencijalno na kružnicu, dobivamo formule za izračunavanje linearne brzine:
I ako .
9. Tangencijalno ubrzanje brojčano jednak promjeni brzine u jedinici vremena i usmjeren duž tangente na kružnicu. Ako je >0, >0, tada je kretanje ravnomjerno ubrzano. Ako<0 и <0 – движение.
10. Zakon jednoliko ubrzanog kretanja u krugu. Put koji se putuje oko kruga u vremenu u ravnomjerno ubrzanom kretanju izračunava se po formuli:
Zamjenom , , i smanjenjem za , dobivamo zakon jednoliko ubrzanog kretanja u krugu:
Ili ako.
Ako je kretanje ravnomjerno sporo, tj.<0, то
11.Ukupno ubrzanje u ravnomjerno ubrzanom kružnom kretanju. Kod ravnomjerno ubrzanog kretanja u krugu, centripetalno ubrzanje raste s vremenom, jer Zbog tangencijalnog ubrzanja raste linearna brzina. Vrlo često se centripetalno ubrzanje naziva normalnim i označava kao. Pošto je ukupno ubrzanje u datom trenutku određeno Pitagorinom teoremom (slika 27).
12. Prosječna ugaona brzina pri ravnomjerno ubrzanom kretanju u krugu. Prosječna linearna brzina u ravnomjerno ubrzanom kretanju u krugu je jednaka . Zamjenom ovdje i i smanjenjem dobijamo
Ako onda.
12. Formule koje uspostavljaju odnos između ugaone brzine, ugaonog ubrzanja i ugla rotacije pri ravnomerno ubrzanom kretanju u krugu.
Zamjena količina , , , , u formulu
i smanjenje za , dobivamo
Predavanje 4. Dinamika.
1. Dinamika
2. Interakcija tijela.
3. Inercija. Princip inercije.
4. Prvi Newtonov zakon.
5. Slobodan materijalni bod.
6. Inercijski referentni sistem.
7. Neinercijalni referentni sistem.
8. Galilejev princip relativnosti.
9. Galilejeve transformacije.
11. Sabiranje snaga.
13. Gustina supstanci.
14. Centar mase.
15. Newtonov drugi zakon.
16. Jedinica sile.
17. Njutnov treći zakon
1. Dynamics postoji grana mehanike koja proučava mehaničko kretanje, ovisno o silama koje uzrokuju promjenu tog kretanja.
2.Interakcije tijela. Tijela mogu komunicirati u direktnom kontaktu i na daljinu kroz posebnu vrstu materije koja se zove fizičko polje.
Na primjer, sva tijela se privlače jedno prema drugom i to privlačenje se odvija kroz gravitacijsko polje, a sile privlačenja nazivaju se gravitacijskim.
Tijela koja nose električni naboj međusobno djeluju kroz električno polje. Električne struje međusobno djeluju kroz magnetsko polje. Ove sile se nazivaju elektromagnetne.
Elementarne čestice međusobno djeluju kroz nuklearna polja i te sile se nazivaju nuklearnim.
3. Inercija. U 4. veku. BC e. Grčki filozof Aristotel je tvrdio da je uzrok kretanja tijela sila koja djeluje iz drugog tijela ili tijela. Istovremeno, prema Aristotelovom kretanju, stalna sila daje tijelu konstantnu brzinu i prestankom djelovanja sile prestaje kretanje.
U 16. veku Italijanski fizičar Galileo Galilei, koji je provodio eksperimente s tijelima koja se kotrljaju niz nagnutu ravan i s tijelima koja padaju, pokazao je da stalna sila (u ovom slučaju težina tijela) daje ubrzanje tijelu.
Dakle, na osnovu eksperimenata, Galileo je pokazao da je sila uzrok ubrzanja tijela. Hajde da predstavimo Galilejevo rezonovanje. Pustite da se veoma glatka lopta kotrlja duž glatke horizontalne ravni. Ako ništa ne ometa loptu, onda se može kotrljati koliko god želite. Ako se na stazu kugle izlije tanak sloj pijeska, vrlo brzo će se zaustaviti, jer na njega je djelovala sila trenja pijeska.
Tako je Galileo došao do formulacije principa inercije, prema kojem materijalno tijelo održava stanje mirovanja ili ravnomjernog linearnog kretanja ako na njega ne djeluju vanjske sile. Ovo svojstvo materije se često naziva inercijom, a kretanje tela bez spoljašnjih uticaja naziva se kretanje po inerciji.
4. Prvi Newtonov zakon. Godine 1687, na osnovu Galileovog principa inercije, Newton je formulisao prvi zakon dinamike - prvi Newtonov zakon:
Materijalna tačka (telo) je u stanju mirovanja ili ravnomernog linearnog kretanja ako na nju ne deluju druga tela, ili su sile koje deluju iz drugih tela uravnotežene, tj. kompenzirano.
5.Besplatan materijalni bod- materijalna tačka na koju ne utiču druga tela. Ponekad kažu - izolirana materijalna tačka.
6. Inercijski referentni sistem (IRS)– referentni sistem u odnosu na koji se izolovana materijalna tačka kreće pravolinijski i jednoliko, ili miruje.
Svaki referentni sistem koji se kreće jednoliko i pravolinijski u odnosu na ISO je inercijalan,
Hajde da damo još jednu formulaciju Njutnovog prvog zakona: Postoje referentni sistemi u odnosu na koje se slobodna materijalna tačka kreće pravolinijsko i jednoliko, ili miruje. Takvi referentni sistemi se nazivaju inercijskim. Prvi Newtonov zakon se često naziva zakon inercije.
Njutnovom prvom zakonu se takođe može dati sledeća formulacija: svako materijalno telo se opire promeni svoje brzine. Ovo svojstvo materije naziva se inercija.
Sa manifestacijama ovog zakona se svakodnevno susrećemo u gradskom saobraćaju. Kada autobus naglo ubrza, mi smo pritisnuti na naslon sjedala. Kada autobus uspori, naše tijelo klizi u pravcu autobusa.
7. Neinercijalni referentni sistem – referentni sistem koji se kreće neravnomjerno u odnosu na ISO.
Tijelo koje se, u odnosu na ISO, nalazi u stanju mirovanja ili ravnomjernog linearnog kretanja. Kreće se neravnomjerno u odnosu na neinercijalni referentni okvir.
Svaki rotirajući referentni sistem je neinercijalni referentni sistem, jer u ovom sistemu tijelo doživljava centripetalno ubrzanje.
U prirodi ili tehnologiji ne postoje tijela koja bi mogla poslužiti kao ISO. Na primjer, Zemlja rotira oko svoje ose i svako tijelo na njenoj površini doživljava centripetalno ubrzanje. Međutim, za prilično kratke vremenske periode, referentni sistem povezan sa Zemljinom površinom može se, do neke aproksimacije, smatrati ISO.
8.Galilejev princip relativnosti. ISO može biti soli koliko želite. Stoga se postavlja pitanje: kako izgledaju iste mehaničke pojave u različitim ISO? Da li je moguće, koristeći mehaničke pojave, otkriti kretanje ISO u kojem se one posmatraju.
Odgovor na ova pitanja daje princip relativnosti klasične mehanike, koji je otkrio Galileo.
Značenje principa relativnosti klasične mehanike je izjava: sve mehaničke pojave se odvijaju potpuno na isti način u svim inercijalnim referentnim okvirima.
Ovaj princip se može formulirati na sljedeći način: svi zakoni klasične mehanike izraženi su istim matematičkim formulama. Drugim riječima, nikakvi mehanički eksperimenti nam neće pomoći da otkrijemo kretanje ISO. To znači da je pokušaj detekcije ISO pokreta besmislen.
Sa manifestacijom principa relativnosti susreli smo se dok smo putovali u vozovima. U trenutku kada naš voz stoji na stanici, a voz koji stoji na susjednoj pruzi polako počinje da se kreće, tada nam se u prvim trenucima čini da se naš voz kreće. Ali dešava se i obrnuto, kada naš voz lagano ubrzava, čini nam se da je susjedni voz krenuo.
U gornjem primjeru, princip relativnosti se manifestira u malim vremenskim intervalima. Kako se brzina povećava, počinjemo osjećati udarce i ljuljanje automobila, odnosno naš referentni sistem postaje neinercijalan.
Dakle, pokušaj detekcije ISO pokreta je besmislen. Shodno tome, apsolutno je svejedno koji se ISO smatra stacionarnim, a koji pokretnim.
9. Galilejeve transformacije. Neka se dva ISO-a kreću relativno jedan u odnosu na drugi brzinom. U skladu sa principom relativnosti, možemo pretpostaviti da je ISO K stacionaran, a da se ISO kreće relativno brzinom. Radi jednostavnosti, pretpostavljamo da su odgovarajuće koordinatne ose sistema i paralelne, a ose i poklapaju. Neka se sistemi poklapaju u trenutku početka, a kretanje se dešava duž osa i , tj. (Sl.28)
11. Sabiranje snaga. Ako se na česticu primjenjuju dvije sile, onda je rezultirajuća sila jednaka njihovoj vektorskoj sili, tj. dijagonale paralelograma izgrađenog na vektorima i (slika 29).
Isto pravilo vrijedi kada se data sila rastavlja na dvije komponente sile. Da bi se to postiglo, paralelogram se konstruira na vektoru date sile, kao na dijagonali, čije se stranice poklapaju sa smjerom komponenti sila koje se primjenjuju na datu česticu.
Ako se na česticu primjenjuje nekoliko sila, tada je rezultirajuća sila jednaka geometrijskom zbroju svih sila:
12.Težina. Iskustvo je pokazalo da je omjer modula sile i modula ubrzanja, koji ova sila daje tijelu, konstantna vrijednost za dato tijelo i naziva se masa tijela:
Iz posljednje jednakosti slijedi da što je veća masa tijela, to se mora primijeniti veća sila da bi se promijenila njegova brzina. Posljedično, što je masa tijela veća, to je ono inertnije, tj. masa je mjera inercije tijela. Ovako određena masa naziva se inercijska masa.
U SI sistemu, masa se mjeri u kilogramima (kg). Jedan kilogram je masa destilovane vode u zapremini od jednog kubnog decimetra uzeta na temperaturi
13. Gustina materije– masa supstance sadržane u jedinici zapremine ili odnos telesne mase i zapremine
Gustina se mjeri u () u SI sistemu. Poznavajući gustinu tijela i njegovu zapreminu, možete izračunati njegovu masu koristeći formulu. Poznavajući gustinu i masu tijela, njegov volumen se izračunava pomoću formule.
14.Centar mase- tačka tijela koja ima svojstvo da ako smjer sile prolazi kroz ovu tačku tijelo se kreće translacijsko. Ako smjer djelovanja ne prolazi kroz centar mase, tada se tijelo kreće dok istovremeno rotira oko svog centra mase
15. Njutnov drugi zakon. U ISO, zbir sila koje djeluju na tijelo jednak je umnošku mase tijela i ubrzanja koje mu daje ta sila
16.Jedinica sile. U SI sistemu, sila se mjeri u njutnima. Jedan njutn (n) je sila koja, djelujući na tijelo teško jedan kilogram, daje mu ubrzanje. Zbog toga .
17. Njutnov treći zakon. Sile kojima dva tijela djeluju jedno na drugo jednake su po veličini, suprotnog smjera i djeluju duž jedne prave linije koja povezuje ova tijela.
