Kako odrediti udaljenost između tačaka koristeći koordinate. I

Svaka tačka A ravni je okarakterisana svojim koordinatama (x, y). One se poklapaju sa koordinatama vektora 0A koji izlazi iz tačke 0 - početka koordinata.

Neka su A i B proizvoljne tačke ravni sa koordinatama (x 1 y 1) i (x 2, y 2), respektivno.

Tada vektor AB očigledno ima koordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Poznato je da je kvadrat dužine vektora jednak zbroju kvadrata njegovih koordinata. Dakle, rastojanje d između tačaka A i B, ili, što je isto, dužina vektora AB, određuje se iz uslova

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Rezultirajuća formula vam omogućava da pronađete udaljenost između bilo koje dvije točke na ravni, ako su poznate samo koordinate ovih tačaka

Svaki put kada govorimo o koordinatama određene tačke na ravni, mislimo na dobro definisan koordinatni sistem x0y. Općenito, koordinatni sistem na ravni se može birati na različite načine. Dakle, umjesto koordinatnog sistema x0y, možemo uzeti u obzir koordinatni sistem xִy, koji se dobija kao rezultat rotacije starih koordinatnih osa oko početne tačke 0 suprotno od kazaljke na satu strelice na uglu α .

Ako je određena tačka ravni u koordinatnom sistemu x0y imala koordinate (x, y), onda će u novom koordinatnom sistemu xִy imati različite koordinate (x, y).

Kao primjer, razmotrite tačku M koja se nalazi na osi 0x i odvojena od tačke 0 na udaljenosti od 1.

Očigledno, u koordinatnom sistemu x0y ova tačka ima koordinate (cos α ,sin α ), au koordinatnom sistemu xִy koordinate su (1,0).

Koordinate bilo koje dvije tačke na ravni A i B zavise od toga kako je koordinatni sistem specificiran u ovoj ravni. I ovdje udaljenost između ovih tačaka ne zavisi od metode zadavanja koordinatnog sistema .

Ostali materijali Koristeći koordinate, određuje se lokacija objekta na globusu. Koordinate su označene zemljopisnom širinom i dužinom. Geografske širine se mjere od linije ekvatora na obje strane. Na sjevernoj hemisferi geografske širine su pozitivne, na južnoj su negativne. Geografska dužina se mjeri od početnog meridijana, istočna ili zapadna, odnosno istočna ili zapadna geografska dužina.

Prema opšteprihvaćenom stavu, za početni meridijan se uzima onaj koji prolazi kroz staru Greenwich opservatoriju u Greenwichu. Geografske koordinate lokacije mogu se dobiti pomoću GPS navigatora. Ovaj uređaj prima signale satelitskog sistema za pozicioniranje u koordinatnom sistemu WGS-84, jedinstvenom za cijeli svijet.

Modeli Navigatora razlikuju se po proizvođaču, funkcionalnosti i sučelju. Trenutno su ugrađeni GPS navigatori također dostupni u nekim modelima mobilnih telefona. Ali svaki model može snimiti i sačuvati koordinate tačke.

Udaljenost između GPS koordinata

Za rješavanje praktičnih i teorijskih problema u pojedinim industrijama potrebno je moći odrediti udaljenosti između tačaka njihovim koordinatama. Postoji nekoliko načina na koje to možete učiniti. Kanonski oblik predstavljanja geografskih koordinata: stepeni, minute, sekunde.

Na primjer, možete odrediti rastojanje između sljedećih koordinata: tačka br. 1 - geografska širina 55°45′07″ N, geografska dužina 37°36′56″ E; tačka br. 2 - geografska širina 58°00′02″ N, geografska dužina 102°39′42″ E.

Najlakši način je korištenje kalkulatora za izračunavanje dužine između dvije tačke. U pretraživaču pretraživača morate postaviti sljedeće parametre pretraživanja: online - za izračunavanje udaljenosti između dvije koordinate. U online kalkulatoru vrijednosti geografske širine i dužine unose se u polja upita za prvu i drugu koordinate. Prilikom izračunavanja, online kalkulator je dao rezultat - 3.800.619 m.

Sljedeća metoda je radno intenzivnija, ali i vizualnija. Morate koristiti bilo koji dostupni program za mapiranje ili navigaciju. Programi u kojima možete kreirati tačke koristeći koordinate i mjeriti udaljenosti između njih uključuju sljedeće aplikacije: BaseCamp (moderni analog programa MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Svi gore navedeni programi dostupni su svakom korisniku mreže. Na primjer, da biste izračunali udaljenost između dvije koordinate u Google Earthu, trebate kreirati dvije oznake koje označavaju koordinate prve i druge tačke. Zatim pomoću alata „Lenjir“ trebate povezati prvu i drugu oznaku linijom, program će automatski prikazati rezultat mjerenja i pokazati putanju na satelitskoj slici Zemlje.

U slučaju gore navedenog primjera, program Google Earth je vratio rezultat - dužina udaljenosti između tačke br. 1 i tačke br. 2 je 3.817.353 m.

Zašto postoji greška pri određivanju udaljenosti

Svi proračuni opsega između koordinata zasnivaju se na proračunu dužine luka. Radijus Zemlje je uključen u izračunavanje dužine luka. Ali budući da je oblik Zemlje blizak spljoštenom elipsoidu, radijus Zemlje varira u određenim tačkama. Za izračunavanje udaljenosti između koordinata uzima se prosječna vrijednost Zemljinog radijusa, što daje grešku u mjerenju. Što je veća udaljenost koja se mjeri, veća je greška.

Ovdje će biti kalkulator

Udaljenost između dvije tačke na pravoj

Razmislite o koordinatnoj liniji na kojoj su označene 2 tačke: AA A I B B B. Da biste pronašli udaljenost između ovih tačaka, morate pronaći dužinu segmenta A B AB A B. To se radi pomoću sljedeće formule:

Udaljenost između dvije tačke na pravoj

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣a−b∣,

Gdje a , b a, b a, b- koordinate ovih tačaka na pravoj liniji (koordinatna linija).

Zbog činjenice da formula sadrži modul, pri njenom rješavanju nije bitno koju koordinatu oduzeti od koje (pošto se uzima apsolutna vrijednost ove razlike).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣a−b ∣ =∣ b −a∣

Pogledajmo primjer kako bismo bolje razumjeli rješenje takvih problema.

Primjer 1

Tačke su označene na koordinatnoj liniji AA A, čija je koordinata jednaka 9 9 9 i tačka B B B sa koordinatom − 1 -1 − 1 . Moramo pronaći udaljenost između ove dvije tačke.

Rješenje

Evo a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 a =9 , b =− 1

Koristimo formulu i zamjenjujemo vrijednosti:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣a−b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Odgovori

Udaljenost između dvije tačke na ravni

Razmotrimo dvije tačke date na ravni. Iz svake tačke označene na ravni, morate spustiti dvije okomice: Na osu O X OX O X i na osovini O Y OY OY. Tada se razmatra trougao A B C ABC A B C. Pošto je pravougaona ( B C BC B C okomito A C AC A C), zatim pronađite segment A B AB A B, što je ujedno i udaljenost između tačaka, može se uraditi pomoću Pitagorine teoreme. Imamo:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Ali, na osnovu činjenice da je dužina A C AC A C jednak x B − x A x_B-x_A x B​ − x A​ , i dužina B C BC B C jednak y B − y A y_B-y_A y B​ − y A​ , ova formula se može prepisati na sljedeći način:

Udaljenost između dvije tačke na ravni

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 ​ ,

Gdje x A , y A x_A, y_A x A​ , y A​ I x B , y B x_B, y_B x B​ , y B​ - koordinate tačaka AA A I B B B respektivno.

Primjer 2

Potrebno je pronaći rastojanje između tačaka C C C I F F F, ako su koordinate prvog (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , a drugo - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Rješenje

X C = 8 x_C=8 x C​ = 8
y C = − 1 y_C=-1 y C​ = − 1
x F = 4 x_F=4 x F​ = 4
y F = 2 y_F=2 y F​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(x F​ − x C​ ) 2 + (y F​ − y C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Odgovori

Udaljenost između dvije tačke u prostoru

Pronalaženje udaljenosti između dvije tačke u ovom slučaju je slično prethodnom, osim što su koordinate tačke u prostoru određene sa tri broja, shodno tome se formuli mora dodati i koordinata aplikativne ose. Formula će izgledati ovako:

Udaljenost između dvije tačke u prostoru

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 + (z B​ − zA​ ) 2 ​

Primjer 3

Pronađite dužinu segmenta FK FKFK u prostoru ako su koordinate tačaka na njegovim krajevima sljedeće: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) I (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Zaokružite odgovor na najbliži cijeli broj.

Rješenje

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K=(-3;6;0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x^{K-x^{F{)}^{2+(y^{K-y^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Prema uslovima zadatka, odgovor treba zaokružiti na cijeli broj.

Neka , (slika 2.3). Obavezno pronaći.

Slika 2.3. Udaljenost između dvije tačke.

Od pravougaonika prema Pitagorinoj teoremi imamo

To je ,

Ova formula vrijedi za bilo koju lokaciju točaka i .

II. Podjela segmenta u ovom pogledu:

Neka , . Potrebno je pronaći , koji leži na segmentu i dijeli ga u datom omjeru (slika 2.4.).

Slika 2.4. Podjela segmenta u ovom pogledu.

Od sličnosti ~, odnosno odakle. Isto tako.

dakle,

– formula za dijeljenje segmenta u odnosu na .

Ako onda

– koordinate sredine segmenta.

Komentar. Izvedene formule mogu se generalizirati na slučaj prostornog pravougaonog kartezijanskog koordinatnog sistema. Neka točke , . Onda

- formula za pronalaženje udaljenosti između tačaka i .

Formula za dijeljenje segmenta u odnosu.

Pored kartezijanskih, na ravni i u prostoru se može konstruisati veliki broj drugih koordinatnih sistema, odnosno načina da se karakteriše položaj tačke na ravni ili u prostoru pomoću dva ili tri numerička parametra (koordinate). Razmotrimo neke od postojećih koordinatnih sistema.

U avionu je moguće odrediti polarni koordinatni sistem , koji se koristi, posebno, u proučavanju rotacijskih pokreta.

Slika 2.5. Polarni koordinatni sistem.

Popravimo tačku na ravni i polupravu koja izlazi iz nje, a također izaberemo jedinicu mjerila (slika 2.5). Tačka se zove pole , pola linije – polarnu os . Dodijelimo dva broja proizvoljnoj tački:

– polarni radijus , jednako udaljenosti od tačke M do pola O;

– polarni ugao , jednak kutu između polarne ose i poluprave.

Izmjereno u radijanima, pozitivni smjer vrijednosti se računa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, što se obično pretpostavlja.

Polarni radijus odgovara polu; polarni ugao za njega nije definisan.

Nađimo odnos između pravokutnih i polarnih koordinata (slika 2.6).

Slika 2.6. Odnos pravougaonog i polarnog koordinatnog sistema.

Početak pravougaonog koordinatnog sistema ćemo smatrati pol, a zraku ćemo uzeti kao polarnu os. Neka - u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu i - u polarnom koordinatnom sistemu. Nađimo odnos između pravokutnih i polarnih koordinata.

Od pravougaonog, i od pravougaonog. Dakle, formule

izraziti pravougaone koordinate tačke u smislu njenih polarnih koordinata.

Inverzni odnos se izražava formulama

Komentar. Polarni ugao se također može odrediti iz formule, nakon što se prethodno odredi iz pravokutnih koordinata u kojem kvadrantu leži tačka.

Primjer 1. Pronađite polarne koordinate tačke.

Rješenje. Računamo ; Polarni ugao se nalazi iz uslova:

Stoga, , dakle.

Primjer 2. Pronađite pravougaone koordinate tačke.

Rješenje. Računamo

Dobijamo.

U trodimenzionalnom prostoru, pored pravougaonog kartezijanskog koordinatnog sistema, često se koriste cilindrični i sferni koordinatni sistemi.

Cilindrični koordinatni sistem je polarni koordinatni sistem u ravni, kojem se dodaje prostorna os okomita na ovu ravan (slika 2.7). Položaj bilo koje tačke karakterišu tri broja - njene cilindrične koordinate: , gde su i polarne koordinate (polarni radijus i polarni ugao) projekcije tačke na ravan u kojoj je izabran polarni koordinatni sistem - aplikacija, koja je jednaka udaljenosti od tačke do navedene ravni.

Slika 2.7. Cilindrični koordinatni sistem

Da bismo uspostavili odnos između pravougaonog kartezijanskog koordinatnog sistema i cilindričnog, pozicioniramo ih jedno u odnosu na drugo kao na slici 2.8 (ravninu postavljamo u ravan, a polarna os se poklapa sa pozitivnim smerom ose, osa je uobičajen u oba koordinatna sistema).

Neka su pravougaone koordinate tačke, biti cilindrične koordinate ove tačke i biti projekcija tačke na ravan. Onda

formule koje povezuju pravougaone i cilindrične koordinate tačke.

Slika 2.8. Odnos između pravougaonog kartezijanskog

i cilindrični koordinatni sistemi

Komentar. Cilindrične koordinate se često koriste kada se razmatraju tijela rotacije, pri čemu se os nalazi duž ose rotacije.

Sferni koordinatni sistem može se konstruisati na sledeći način. Odaberimo polarnu osu u ravnini. Kroz tačku povlačimo pravu liniju okomitu na ravan (normalnu). Tada se svaka tačka u prostoru može povezati sa tri realna broja, gde je rastojanje od tačke do, ugao između ose i projekcije segmenta na ravan, i ugao između normale i segmenta. Obratite pažnju da , , .

Ako pozicioniramo ravan u ravninu, i izaberemo polarnu os da se poklapa sa pozitivnim smjerom ose, i izaberemo os kao normalu (slika 2.9), dobićemo formule koje povezuju ova dva koordinatna sistema

Slika 2.9. Odnos sfernog i pravougaonog kartezijanskog

koordinatni sistemi

Skalarne veličine, ili skalare u potpunosti karakterizira njihova brojčana vrijednost u odabranom sistemu jedinica. Vektorske količine ili vektori, osim svoje numeričke vrijednosti, imaju i smjer. Na primjer, ako kažemo da vjetar duva brzinom od 10 m/sec, tada ćemo uvesti skalarnu vrijednost brzine vjetra, ali ako kažemo da jugozapadni vjetar duva brzinom od 10 m/sec, tada će u ovom slučaju brzina vjetra već biti vektorska.

Vector naziva se usmjereni segment određene dužine, tj. segment određene dužine, u kojem se jedna od graničnih tačaka uzima kao početak, a druga - kao kraj. Vektor ćemo označiti ili ili (slika 2.10).

Dužina vektora je označena simbolom ili i naziva se modulom vektora. Poziva se vektor čija je dužina 1 single . Vektor se zove nula , ako se njegov početak i kraj podudaraju, i označava se sa θ ili . Nulti vektor nema određeni smjer i ima dužinu jednaku nuli. Vektori koji se nalaze na istoj liniji ili na paralelnim linijama nazivaju se kolinearno . Dva vektora se nazivaju jednaka , ako su kolinearni, imaju istu dužinu i isti smjer. Svi nulti vektori se smatraju jednakim.

Zovu se dva kolinearna vektora, različita od nule, jednakih veličina, ali suprotnih smjerova suprotno . Vektor suprotan je označen sa , za suprotni vektor.

Na broj linearne operacije nad vektorima spadaju operacije sabiranja, oduzimanja vektora i množenja vektora brojem, tj. operacije čiji je rezultat vektor.

Definirajmo naznačene operacije na vektorima. Neka su dva vektora i. Uzmimo proizvoljnu tačku O i konstruirajmo vektor, i nacrtajmo vektor iz tačke A. Tada se zove vektor koji povezuje početak prvog člana vektora sa krajem drugog iznos ovi vektori su označeni sa . Razmatrano pravilo za pronalaženje zbira vektora se zove pravila trougla (Slika 2.11).

Isti zbir vektora može se dobiti i na drugi način (slika 2.12). Nacrtajmo vektor i vektor iz tačke. Konstruirajmo paralelogram na ovim vektorima kao i na stranicama. Vektor, koji je dijagonala paralelograma povučen iz vrha, biće zbir. Ovo pravilo za pronalaženje sume se zove pravila paralelograma .

Zbir bilo kojeg konačnog broja vektora može se dobiti pomoću pravila izlomljene linije (slika 2.13). Iz proizvoljne tačke crtamo vektor, zatim crtamo vektor, itd. Vektor koji povezuje početak prvog sa krajem posljednjeg je zbir

vektori podataka, tj. . Očigledno, ako se kraj posljednjeg člana vektora poklapa s početkom prvog, tada je zbir vektora jednak nultom vektoru.

Po razlici dva vektora i naziva se takav vektor, čiji zbir sa oduzetim vektorom daje vektor. Odavde pravilo za konstruisanje vektora razlike(Slika 2.14). Iz tačke crtamo vektor i vektor . Vektor koji povezuje krajeve minuend vektora i subtrahend vektor i usmjeren od subtrahend do minuend vektora je razlika.

Proizvod vektora za realan broj λ je vektor koji je kolinearan vektoru i ima dužinu i isti smjer kao vektor ako , i smjer suprotan vektoru ako .

Ušao linearne operacije preko vektora imaju svojstva :

10 . Komutativnost sabiranja: .

20 . Asocijativnost sabiranja: .

trideset . Postojanje neutralnog elementa dodavanjem: .

4 0 . Postojanje suprotnog elementa dodavanjem:

50 . Distributivnost množenja brojem u odnosu na sabiranje vektora: .

6 0 . Distributivnost množenja vektora zbirom dva broja:

7 0 . Svojstvo asocijativnosti u vezi sa množenjem vektora proizvodom brojeva: .

Neka je zadan sistem vektora:

Poziva se izraz gdje su λ i (i = 1,2,…, n) neki brojevi linearna kombinacija sistemi vektora (2.1). Sistem vektora (2.1) se zove linearno zavisna , ako je njihova linearna kombinacija jednaka nuli, pod uslovom da nisu svi brojevi λ 1, λ 2, ..., λ n jednaki nuli. Sistem vektora (2.1) se zove linearno nezavisna , ako je njihova linearna kombinacija jednaka nuli samo ako su svi brojevi λ i = 0 (). Možemo dati još jednu definiciju linearne zavisnosti vektora. Sistem vektora (2.1) se zove linearno zavisna , ako je bilo koji vektor ovog sistema linearno izražen u terminima ostalih, u suprotnom sistem vektora (2.1) linearno nezavisna .

Za vektore koji leže u ravni, tačni su sljedeći iskazi.

10 . Bilo koja tri vektora na ravni su linearno zavisna.

20 . Ako je broj ovih vektora na ravni veći od tri, onda su i oni linearno zavisni.

trideset . Da bi dva vektora na ravni bila linearno nezavisna, potrebno je i dovoljno da nisu kolinearni.

Dakle, maksimalni broj linearno nezavisnih vektora na ravni je dva.

Vektori se nazivaju komplanarno , ako leže u istoj ravni ili su paralelni sa istom ravninom. Sljedeće tvrdnje su istinite za vektore prostora.

10 . Svaka četiri vektora prostora su linearno zavisna.

20 . Ako je broj ovih vektora u prostoru veći od četiri, onda su i oni linearno zavisni.

trideset . Da bi tri vektora bila linearno nezavisna, potrebno je i dovoljno da budu nekoplanarni.

Dakle, maksimalni broj linearno nezavisnih vektora u prostoru je tri.

Poziva se svaki maksimalni podsistem linearno nezavisnih vektora kroz koji je izražen bilo koji vektor ovog sistema osnovu onaj koji se razmatra vektorski sistemi . Lako je zaključiti da se baza na ravni sastoji od dva nekolinearna vektora, a baza u prostoru se sastoji od tri nekoplanarna vektora. Broj baznih vektora se naziva rang vektorski sistemi. Zovu se koeficijenti proširenja vektora u bazne vektore vektorske koordinate u ovoj osnovi.

Neka vektori formiraju bazu i neka , tada su brojevi λ 1, λ 2, λ 3 koordinate vektora u bazi. U ovom slučaju napišite Može se pokazati da je dekompozicija vektora u bazi jedinstvena . Glavno značenje osnove je da linearne operacije nad vektorima postaju obične linearne operacije nad brojevima - koordinatama ovih vektora. Koristeći svojstva linearnih operacija na vektorima, možemo dokazati sljedeću teoremu.

Teorema. Kada se dodaju dva vektora, dodaju se njihove odgovarajuće koordinate. Kada se vektor pomnoži sa brojem, sve njegove koordinate se pomnože s tim brojem.

Dakle, ako i , Tada , gdje , i gdje , λ je određeni broj.

Tipično, skup svih vektora u ravni, svedenih na zajednički početak, sa uvedenim linearnim operacijama, označava se sa V 2, a skup svih vektora u prostoru, svedenih na zajednički početak, označava se sa V 3. Skupovi V 2 i V 3 se nazivaju prostori geometrijskih vektora.

Ugao između vektora i naziva se najmanji ugao () za koji se jedan od vektora mora rotirati dok se ne poklopi sa drugim nakon dovođenja ovih vektora u zajedničko ishodište.

Dot product dva vektora je broj jednak proizvodu modula ovih vektora i kosinusa ugla između njih. Skalarni proizvod vektora i označava se sa , ili

Ako je kut između vektora i jednak , tada

Sa geometrijske tačke gledišta, skalarni proizvod vektora jednak je proizvodu modula jednog vektora i projekcije drugog vektora na njega. Iz jednakosti (2.2) slijedi da

Odavde uslov ortogonalnosti dva vektora: dva vektora I su ortogonalne ako i samo ako je njihov skalarni proizvod jednak nuli, tj. .

Tačkasti proizvod vektora nije linearna operacija jer je njen rezultat broj, a ne vektor.

Svojstva skalarnog proizvoda.

1º. – komutativnost.

2º. – distributivnost.

3º. – asocijativnost u odnosu na brojčani faktor.

4º. - svojstvo skalarnog kvadrata.

Iz svojstva 4º slijedi definicija dužina vektora :

Neka je data baza u prostoru V 3, gdje su vektori jedinični vektori (oni se nazivaju jedinični vektori), smjer svakog od njih poklapa se sa pozitivnim smjerom koordinatnih osa Ox, Oy, Oz pravokutne kartezijanske koordinate sistem.

Proširimo vektor prostora V 3 prema ovoj osnovi (slika 2.15):

Vektori se nazivaju vektorske komponente duž koordinatnih osa, ili komponente, brojevi a x, a y, a z– pravougaone kartezijanske koordinate vektora A. Smjer vektora je određen uglovima α, β, γ koje on formira sa koordinatnim linijama. Kosinus ovih uglova naziva se vektor pravca. Tada se kosinusi smjera određuju formulama:

Lako je to pokazati

Izrazimo skalarni proizvod u koordinatnom obliku.

Neka bude. Množenjem ovih vektora kao polinoma i uzimajući u obzir da dobijemo izraz za pronalaženje skalarni proizvod u koordinatnom obliku:

one. skalarni proizvod dva vektora jednak je zbiru uparenih proizvoda istoimenih koordinata.

Iz (2.6) i (2.4) slijedi formula za pronalaženje dužina vektora :

Iz (2.6) i (2.7) dobijamo formulu za određivanje ugao između vektora:

Trojka vektora se naziva uređena ako je naznačeno koji se od njih smatra prvim, koji se smatra drugim, a koji trećim.

Naručeno tri vektora pozvao u pravu , ako se nakon dovođenja u zajedničko ishodište sa kraja trećeg vektora, najkraći okret od prvog do drugog vektora napravi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Inače, naziva se trojka vektora lijevo . Na primjer, na slici 2.15, vektori , , formiraju desnu trojku vektora, a vektori , , tvore lijevu trojku vektora.

Na sličan način se uvodi pojam desnog i lijevog koordinatnog sistema u trodimenzionalnom prostoru.

Vector artwork vektor po vektor je vektor (druga oznaka) koji:

1) ima dužinu , gdje je ugao između vektora i ;

2) okomito na vektore i (), tj. je okomita na ravan u kojoj su vektori i ;

Po definiciji, nalazimo vektorski proizvod vektora koordinatnih jedinica , , :

Ako , , tada su koordinate vektorskog proizvoda vektora i vektora određene formulom:

Iz definicije to slijedi geometrijsko značenje vektorske umjetnosti : veličina vektora jednaka je površini paralelograma izgrađenog na vektorima i .

Svojstva vektorskog proizvoda:

4 0 . , ako su vektori i kolinearni, ili je jedan od ovih vektora nula.

Primjer 3. Paralelogram je izgrađen na vektorima i , gdje je , , . Izračunajte dužinu dijagonala ovog paralelograma, ugao između dijagonala i površinu paralelograma.

Rješenje. Konstrukcija vektora i prikazana je na slici 2.16, konstrukcija paralelograma na ovim vektorima je prikazana na slici 2.17.

Hajde da izvršimo analitičko rešenje ovog problema. Izrazimo vektore koji definiraju dijagonale konstruiranog paralelograma kroz vektore i , a zatim kroz i . Mi nalazimo , . Zatim, nalazimo dužine dijagonala paralelograma kao dužine konstruisanih vektora

Ugao između dijagonala paralelograma je označen sa . Tada iz formule za skalarni proizvod vektora imamo:

Dakle, .

Koristeći svojstva vektorskog proizvoda, izračunavamo površinu paralelograma:

Neka tri vektora , i , dati. Zamislimo da se vektor vektorski pomnoži sa vektorom i rezultujući vektor skalarno pomnoži sa vektorom, čime se određuje broj. Zove se vektorsko-skalarni ili mješoviti rad tri vektora , i . Označeno sa ili.

Saznajmo geometrijsko značenje mješovitog proizvoda (Slika 2.18). Neka , , nije komplanarno. Napravimo paralelepiped na ovim vektorima kao na ivicama. Unakrsni proizvod je vektor čiji je modul jednak površini paralelograma (osnova paralelopipeda), izgrađen na vektorima i usmjeren je okomito na ravan paralelograma.

Dot product (jednak proizvodu modula vektora i projekcije na ). Visina konstruisanog paralelepipeda je apsolutna vrijednost ove projekcije. Prema tome, apsolutna vrijednost mješovitog proizvoda tri vektora jednaka je zapremini paralelepipeda izgrađenog na vektorima , i , tj. .

Odavde se volumen trokutaste piramide gradi na vektorima i izračunava se po formuli.

Zabilježimo još neke svojstva mješovitog proizvoda vektori.

1 o. Predznak proizvoda je pozitivan ako vektori , , i čine sistem istog imena kao i glavni, a negativan u suprotnom.

Zaista, skalarni proizvod je pozitivan ako je kut između i oštar i negativan ako je ugao tup. Sa oštrim kutom između i , vektori i se nalaze na jednoj strani u odnosu na bazu paralelepipeda, pa će stoga, s kraja vektora, rotacija od do biti vidljiva na isti način kao i s kraja vektora, tj. u pozitivnom smjeru (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu).

Pod tupim uglom, oba vektora i nalaze se na različitim stranama u odnosu na ravninu paralelograma koji leži na bazi paralelepipeda, pa je stoga, s kraja vektora, rotacija od do vidljiva u negativnom smjeru ( u smeru kazaljke na satu).

2 o Mješoviti proizvod se ne mijenja kada su njegovi faktori kružno raspoređeni: .

3 o Kada se bilo koja dva vektora preurede, mješoviti proizvod mijenja samo predznak. Na primjer, , . , . - nepoznati sistemi.

Sistem(3.1) se zove homogena , ako su svi članovi slobodni . Sistem (3.1) se zove heterogena , ako je barem jedan od slobodnih članova .

Sistemsko rješenje naziva se skup brojeva, kada se zameni u jednačine sistema umesto odgovarajućih nepoznanica, svaka jednačina sistema pretvara se u identitet. Sistem koji nema rješenja naziva se nespojivo, ili kontroverzno . Sistem koji ima barem jedno rješenje naziva se joint .

Zglobni sistem se zove siguran , ako ima jedinstveno rješenje. Ako konzistentan sistem ima više od jednog rješenja, onda se zove neizvjesno . Homogeni sistem je uvijek konzistentan, jer ima barem nulto rješenje. Poziva se izraz za nepoznanice iz kojeg se može dobiti bilo koje specifično rješenje sistema opšta odluka , a svako specifično rješenje sistema je njegovo privatno rešenje . Dva sistema sa istim nepoznanicama ekvivalentno (ekvivalentno ), ako je svako rješenje jednog od njih rješenje drugog ili su oba sistema nekonzistentna.

Razmotrimo metode za rješavanje sistema linearnih jednačina.

Jedna od glavnih metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina je Gaussova metoda, ili sekvencijalna metoda isključivanje nepoznatih. Suština ove metode je da se sistem linearnih jednačina svede na stepenasti oblik. U ovom slučaju potrebno je izvršiti sljedeće jednačine: elementarne transformacije :

1. Preuređenje jednačina sistema.

2. Dodavanje još jedne jednačine jednoj jednačini.

3. Množenje obje strane jednačine brojem koji nije nula.

Kao rezultat, sistem će poprimiti oblik:

Nastavljajući ovaj proces dalje, eliminišemo nepoznato iz svih jednačina, počevši od treće. Da biste to učinili, pomnožite drugu jednačinu brojevima i dodajte trećoj, ..., do -toj jednačini sistema. Sljedeći koraci Gaussove metode izvode se na sličan način. Ako kao rezultat transformacija dobijemo identičnu jednačinu, onda je brišemo iz sistema. Ako se u nekom koraku Gaussove metode dobije jednačina oblika:

tada je sistem koji se razmatra nekonzistentan i njegovo dalje rješavanje prestaje. Ako se pri izvođenju elementarnih transformacija ne susreće jednačina oblika (3.2), tada će se za najviše - koraka sistem (3.1) transformirati u postupni oblik:

Da bi se dobilo određeno rješenje sistema, bit će potrebno dodijeliti određene vrijednosti slobodnim varijablama u (3.4).

Imajte na umu da se u Gaussovoj metodi sve transformacije izvode na koeficijentima nepoznatih jednačina i slobodnih članova, u praksi se ova metoda obično primjenjuje na matricu sastavljenu od koeficijenata nepoznatih i stupca slobodnih članova. Ova matrica se naziva proširena. Koristeći elementarne transformacije, ova matrica se svodi na postupni oblik. Zatim, koristeći rezultujuću matricu, sistem se rekonstruiše i na njega se primenjuju sva prethodna razmišljanja.

Primjer 1. Riješite sistem:

Rješenje. Kreiramo proširenu matricu i svodimo je na postupni oblik:

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - drugi red je pomnožen sa, a treći red je precrtan.

Neka je zadan pravougaoni koordinatni sistem.

Teorema 1.1. Za bilo koje dvije tačke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2) ravnine, udaljenost d između njih izražava se formulom

Dokaz. Ispustimo okomite M 1 B i M 2 A iz tačaka M 1 i M 2, respektivno

na osi Oy i Ox i označimo sa K tačku preseka pravih M 1 B i M 2 A (slika 1.4). Mogući su sljedeći slučajevi:

1) Tačke M 1, M 2 i K su različite. Očigledno, tačka K ima koordinate (x 2; y 1). Lako je vidjeti da je M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôu 2 – y 1 ô. Jer ∆M 1 KM 2 je pravougaona, tada po Pitagorinoj teoremi d = M 1 M 2 = = .

2) Tačka K se poklapa sa tačkom M 2, ali je različita od tačke M 1 (slika 1.5). U ovom slučaju y 2 = y 1

i d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) Tačka K se poklapa sa tačkom M 1, ali je različita od tačke M 2. U ovom slučaju x 2 = x 1 i d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôu 2 - y 1 ô= = .

4) Tačka M 2 poklapa se sa tačkom M 1. Tada je x 1 = x 2, y 1 = y 2 i

d = M 1 M 2 = O = .

Podjela segmenta u ovom pogledu.

Neka je na ravni dat proizvoljni segment M 1 M 2 i neka je M ─ bilo koja tačka ovog

segment različit od tačke M 2 (slika 1.6). Broj l, definiran jednakošću l = , zvao stav, u kojoj tački M dijeli segment M 1 M 2.

Teorema 1.2. Ako tačka M(x;y) dijeli segment M 1 M 2 u odnosu na l, tada su koordinate ove tačke određene formulama

x = , y = , (4)

gdje je (x 1;y 1) ─ koordinate tačke M 1, (x 2;y 2) ─ koordinate tačke M 2.

Dokaz. Dokažimo prvu od formula (4). Druga formula je dokazana na sličan način. Postoje dva moguća slučaja.

x = x 1 = = = .

2) Prava M 1 M 2 nije okomita na osu Ox (slika 1.6). Spustimo okomice iz tačaka M 1, M, M 2 na osu Ox i označimo tačke njihovog preseka sa osom Ox kao P 1, P, P 2, respektivno. Po teoremi o proporcionalnim segmentima = l.

Jer P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô i brojevi (x – x 1) i (x 2 – x) imaju isti predznak (na x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 su negativni), onda

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Posljedica 1.2.1. Ako su M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2) dvije proizvoljne tačke i tačka M(x;y) je sredina segmenta M 1 M 2, tada

x = , y = (5)

Dokaz. Kako je M 1 M = M 2 M, onda je l = 1 i pomoću formula (4) dobijamo formule (5).

Površina trougla.

Teorema 1.3. Za bilo koje tačke A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) i C(x 3;y 3) koje ne leže na istoj

prava linija, površina S trougla ABC je izražena formulom

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Dokaz. Površina ∆ ABC prikazana na sl. 1.7, računamo na sljedeći način

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Izračunavamo površinu trapeza:

S ADEC =
,

S BCEF =

Sada imamo

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Za drugu lokaciju ∆ ABC, formula (6) se dokazuje na sličan način, ali može ispasti sa znakom “-”. Stoga su u formulu (6) stavili znak modula.

Predavanje 2.

Jednačina prave na ravni: jednačina prave sa glavnim koeficijentom, opšta jednačina prave, jednačina prave u segmentima, jednačina prave koja prolazi kroz dve tačke. Ugao između pravih, uslovi paralelnosti i okomitosti pravih na ravni.

2.1. Neka je na ravni dat pravougaoni koordinatni sistem i neka prava L.

Definicija 2.1. Jednačina oblika F(x;y) = 0, koja povezuje varijable x i y, naziva se jednačina linije L(u datom koordinatnom sistemu), ako ovu jednačinu zadovoljavaju koordinate bilo koje tačke koja leži na pravoj L, a ne koordinate bilo koje tačke koja ne leži na ovoj pravoj.

Primjeri jednadžbi pravih na ravni.

1) Razmotrimo pravu liniju paralelnu sa Oy osi pravougaonog koordinatnog sistema (slika 2.1). Označimo slovom A tačku preseka ove prave sa osom Ox, (a;o) ─ njen or-

Dinata. Jednačina x = a je jednačina date linije. Zaista, ovu jednačinu zadovoljavaju koordinate bilo koje tačke M(a;y) ove prave i ne zadovoljavaju je koordinate bilo koje tačke koja ne leži na pravoj. Ako je a = 0, tada se prava linija poklapa sa osom Oy, koja ima jednadžbu x = 0.

2) Jednačina x - y = 0 definiše skup tačaka ravni koje čine simetrale I i III koordinatnog ugla.

3) Jednačina x 2 - y 2 = 0 ─ je jednačina dvije simetrale koordinatnih uglova.

4) Jednačina x 2 + y 2 = 0 definiše jednu tačku O(0;0) na ravni.

5) Jednačina x 2 + y 2 = 25 ─ jednačina kružnice poluprečnika 5 sa centrom u početku.