Svojstva jednakokračnog trougla izražavaju sljedeće teoreme.
Teorema 1. U jednakokrakom trouglu uglovi u osnovi su jednaki.
Teorema 2. U jednakokračnom trouglu, simetrala povučena do osnove je medijana i visina.
Teorema 3. U jednakokračnom trouglu, medijana povučena do osnove je simetrala i visina.
Teorema 4. U jednakokračnom trouglu visina povučena do osnove je simetrala i medijana.
Dokažimo jednu od njih, na primjer, teoremu 2.5.
Dokaz. Razmotrimo jednakokraki trougao ABC sa osnovom BC i dokažemo da je ∠ B = ∠ C. Neka je AD simetrala trougla ABC (slika 1). Trouglovi ABD i ACD jednaki su prema prvom znaku jednakosti trouglova (AB = AC po uslovu, AD je zajednička stranica, ∠ 1 = ∠ 2, pošto je AD simetrala). Iz jednakosti ovih trouglova slijedi da je ∠ B = ∠ C. Teorema je dokazana.
Koristeći teoremu 1, utvrđujemo sljedeću teoremu.
Teorema 5. Treći kriterij jednakosti trouglova. Ako su tri strane jednog trougla respektivno jednake trima stranicama drugog trougla, onda su ti trouglovi jednaki (slika 2).
Komentar. Rečenice utvrđene u primjerima 1 i 2 izražavaju svojstva simetrale okomite na segment. Iz ovih prijedloga proizilazi da okomite simetrale stranica trougla seku se u jednoj tački.
Primjer 1 Dokazati da tačka ravni jednako udaljena od krajeva segmenta leži na okomitoj simetrali na ovaj segment.
Rješenje. Neka je tačka M jednako udaljena od krajeva segmenta AB (slika 3), tj. AM = VM.
Tada je ΔAMV jednakokračan. Povučemo pravu p kroz tačku M i sredinu O segmenta AB. Po konstrukciji, odsječak MO je medijana jednakokračnog trougla AMB, te je prema tome (teorema 3), a visina, odnosno prava MO, je simetrala okomita na segment AB.
Primjer 2 Dokazati da je svaka tačka simetrale okomice segmenta jednako udaljena od njegovih krajeva.
Rješenje. Neka je p okomita simetrala na segment AB, a tačka O središte segmenta AB (vidi sliku 3).
Razmotrimo proizvoljnu tačku M koja leži na pravoj p. Nacrtajmo segmente AM i VM. Trouglovi AOM i VOM su jednaki, jer su im uglovi pri vrhu O ravni, krak OM je zajednički, a krak OA po uslovu jednak kraku OB. Iz jednakosti trouglova AOM i BOM slijedi da je AM = BM.
Primjer 3 U trokutu ABC (vidi sliku 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; u trokutu DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Uporedite trouglove ABC i DEF. Pronađite odgovarajuće jednake uglove.
Rješenje. Ovi trouglovi su jednaki u trećem kriterijumu. Prema tome, jednaki uglovi: A i E (leže nasuprot jednakih stranica BC i FD), B i F (leže nasuprot jednakih stranica AC i DE), C i D (leže nasuprot jednakih stranica AB i EF).
Primjer 4 Na slici 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Pronađite ugao D.
Rješenje. Razmotrimo trouglove ABC i ADC. Oni su jednaki u trećoj osobini (AB = DC, BC = AD po uslovu i strana AC je zajednička). Iz jednakosti ovih trouglova slijedi da je ∠ B = ∠ D, ali je ugao B 100°, pa je ugao D 100°.
Primjer 5 U jednakokračnom trouglu ABC sa osnovom AC, spoljašnji ugao u vrhu C je 123°. Pronađite ugao ABC. Odgovor dajte u stepenima.
Video rješenje.
Prvi istoričari naše civilizacije - stari Grci - spominju Egipat kao rodno mesto geometrije. Teško je ne složiti se s njima, znajući sa kakvom su neverovatnom tačnošću podignute divovske grobnice faraona. Međusobni raspored ravni piramida, njihove proporcije, orijentacija na kardinalne tačke - bilo bi nezamislivo postići takvo savršenstvo bez poznavanja osnova geometrije.
Sama riječ "geometrija" može se prevesti kao "mjerenje zemlje". Štaviše, riječ "zemlja" se ne pojavljuje kao planeta - dio Sunčevog sistema, već kao ravan. Označavanje područja za poljoprivredu, najvjerovatnije, je vrlo originalna osnova nauke o geometrijskim oblicima, njihovim vrstama i svojstvima.
Trokut je najjednostavnija prostorna figura planimetrije, koja sadrži samo tri tačke - vrhove (nema manje). Temelj temelja je, možda, razlog zašto se čini da je nešto tajanstveno i drevno u njemu. Svevideće oko unutar trougla jedan je od najranijih poznatih okultnih znakova, a geografija njegove distribucije i vremenski okvir su jednostavno nevjerovatni. Od drevnih egipatskih, sumerskih, astečkih i drugih civilizacija do modernijih zajednica ljubitelja okultizma raštrkanih širom svijeta.
Šta su trouglovi
Običan trokut je zatvorena geometrijska figura, koja se sastoji od tri segmenta različitih dužina i tri ugla, od kojih nijedan nije ravan. Osim toga, postoji nekoliko posebnih vrsta.
Oštar trougao ima sve uglove manje od 90 stepeni. Drugim riječima, svi uglovi takvog trougla su oštri.
Pravougaoni trougao, nad kojim su školarci stalno plakali zbog obilja teorema, ima jedan ugao od 90 stepeni, ili, kako ga još nazivaju, pravi.
Tupokutni trokut razlikuje se po tome što je jedan od njegovih uglova tup, odnosno njegova vrijednost je veća od 90 stepeni.
Jednakostranični trougao ima tri stranice iste dužine. Na takvoj slici svi uglovi su također jednaki.
I konačno, u jednakokračnom trouglu od tri strane, dvije su jedna drugoj jednake.
Prepoznatljive karakteristike
Svojstva jednakokračnog trokuta također određuju njegovu glavnu, glavnu razliku - jednakost dviju strana. Ove jednake strane se obično nazivaju kukovi (ili, češće, strane), ali se treća strana naziva „baza“.
Na slici koja se razmatra, a = b.
Drugi znak jednakokračnog trougla slijedi iz teoreme sinusa. Kako su stranice a i b jednake, jednaki su i sinusi njihovih suprotnih uglova:
a/sin γ = b/sin α, odakle imamo: sin γ = sin α.
Iz jednakosti sinusa slijedi jednakost uglova: γ = α.
Dakle, drugi znak jednakokračnog trokuta je jednakost dvaju uglova koji su susedni bazi.
Treći znak. U trokutu se razlikuju elementi kao što su visina, simetrala i medijana.
Ako se u procesu rješavanja zadatka pokaže da se u trouglu koji se razmatra, bilo koja dva od ovih elemenata poklapaju: visina sa simetralom; simetrala sa medijanom; medijana sa visinom - definitivno možemo zaključiti da je trokut jednakokrak.
Geometrijska svojstva figure
1. Svojstva jednakokračnog trougla. Jedna od karakterističnih osobina figure je jednakost uglova uz bazu:
<ВАС = <ВСА.
2. Još jedno svojstvo o kojem smo gore govorili: medijana, simetrala i visina u jednakokračnom trouglu su isti ako su izgrađeni od njegovog vrha do osnove.
3. Jednakost simetrala povučenih iz vrhova na bazi:
Ako je AE simetrala ugla BAC, a CD simetrala ugla BCA, onda je: AE = DC.
4. Svojstva jednakokračnog trougla također obezbjeđuju jednakost visina koje su povučene iz vrhova u osnovi.
Ako izgradimo visine trougla ABC (gdje je AB = BC) iz vrhova A i C, tada će rezultujući segmenti CD i AE biti jednaki.
5. Medijani povučeni iz uglova na bazi će također biti jednaki.
Dakle, ako su AE i DC medijane, odnosno AD = DB, i BE = EC, onda je AE = DC.
Visina jednakokračnog trougla
Jednakost stranica i uglova kod njih uvodi neke karakteristike u izračunavanje dužina elemenata dotične figure.
Visina u jednakokračnom trokutu dijeli figuru na 2 simetrična pravokutna trougla, čije su hipotenuze stranice. Visina se u ovom slučaju određuje prema Pitagorinoj teoremi, kao noga.
Trougao može imati sve tri strane jednake, tada će se zvati jednakostraničan. Visina u jednakostraničnom trokutu određuje se na sličan način, samo za proračune je dovoljno znati samo jednu vrijednost - dužinu stranice ovog trokuta.
Visinu možete odrediti na drugi način, na primjer, znajući bazu i kut uz nju.
Medijan jednakokračnog trougla
Tip trokuta koji se razmatra, zbog geometrijskih karakteristika, rešava se prilično jednostavno minimalnim skupom početnih podataka. Budući da je medijan u jednakokračnom trokutu jednak i njegovoj visini i simetrali, algoritam za njegovo određivanje se ne razlikuje od redoslijeda kojim se ti elementi izračunavaju.
Na primjer, možete odrediti dužinu medijane prema poznatoj bočnoj strani i vrijednosti ugla na vrhu.
Kako odrediti perimetar
Budući da razmatrana planimetrijska figura ima dvije strane uvijek jednake, za određivanje perimetra dovoljno je znati dužinu osnove i dužinu jedne od stranica.
Razmotrimo primjer kada trebate odrediti obim trokuta s obzirom na poznatu osnovu i visinu.
Obim je jednak zbiru osnove i dvostrukoj dužini stranice. Bočna strana se, pak, određuje pomoću Pitagorine teoreme kao hipotenuze pravokutnog trokuta. Njegova dužina jednaka je kvadratnom korijenu zbira kvadrata visine i kvadrata polovine baze.
Površina jednakokračnog trougla
U pravilu ne uzrokuje poteškoće i izračunavanje površine jednakokračnog trokuta. Univerzalno pravilo za određivanje površine trokuta kao pola proizvoda baze i njegove visine primjenjivo je, naravno, u našem slučaju. Međutim, svojstva jednakokračnog trokuta opet olakšavaju zadatak.
Pretpostavimo da znamo visinu i ugao uz bazu. Morate odrediti površinu figure. Možete to učiniti na ovaj način.
Budući da je zbir uglova bilo kojeg trougla 180°, nije teško odrediti veličinu ugla. Nadalje, koristeći proporciju sastavljenu prema teoremu sinusa, određuje se dužina osnove trokuta. Sve, baza i visina - dovoljno podataka za određivanje površine - je dostupno.
Ostala svojstva jednakokračnog trougla
Položaj centra kružnice opisane oko jednakokračnog trougla zavisi od ugla vrha. Dakle, ako je jednakokraki trokut pod oštrim uglom, središte kruga se nalazi unutar figure.
Središte kružnice opisane oko tupougla jednakokračnog trougla nalazi se izvan njega. I, konačno, ako je ugao na vrhu 90°, centar leži tačno u sredini baze, a prečnik kruga prolazi kroz samu bazu.
Da bi se odredio polumjer kružnice opisane oko jednakokračnog trougla, dovoljno je podijeliti dužinu bočne strane dvostrukim kosinusom polovine ugla u vrhu.
Među svim trouglovima postoje dva posebna tipa: pravougli trouglovi i jednakokraki trouglovi. Zašto su ove vrste trouglova tako posebne? Pa, prvo, takvi se trouglovi vrlo često ispostavljaju kao glavni akteri u zadacima Jedinstvenog državnog ispita prvog dijela. I drugo, probleme oko pravokutnih i jednakokračnih trouglova je mnogo lakše riješiti nego druge probleme iz geometrije. Samo trebate znati nekoliko pravila i svojstava. O svemu najzanimljivijem raspravlja se u odgovarajućoj temi, a sada ćemo razmotriti jednakokračne trokute. I prije svega, šta je jednakokraki trougao. Ili, kako kažu matematičari, koja je definicija jednakokračnog trougla?
Pogledajte kako to izgleda:
Kao i pravougli trokut, jednakokraki trokut ima posebne nazive za svoje stranice. Zovu se dvije jednake strane strane, i treća strana osnovu.
I opet, pogledajte sliku:
Moglo bi, naravno, ovako:
Zato budite oprezni: bočna strana - jedna od dvije jednake strane u jednakokračnom trouglu, i osnova je treća strana.
Zašto je jednakokraki trougao tako dobar? Da bismo ovo razumjeli, nacrtajmo visinu do baze. Sjećate li se koja je visina?
Šta se desilo? Iz jednog jednakokračnog trougla ispala su dva pravougaona.
Ovo je već dobro, ali to će se dogoditi u bilo kojem, najokošenijem trouglu.
Koja je razlika između slike za jednakokraki trokut? pogledaj ponovo:
Pa, prvo, naravno, ovim čudnim matematičarima nije dovoljno da samo vide – oni svakako moraju dokazati. A onda su odjednom ovi trouglovi malo drugačiji, a mi ćemo ih smatrati istim.
Ali ne brinite: u ovom slučaju, dokazivanje je gotovo jednako lako kao i vidjeti.
Hoćemo li početi? Pogledajte pažljivo, imamo:
I zbog toga,! Zašto? Da, upravo nalazimo i, i iz Pitagorine teoreme (sećajući se istovremeno da)
Jesi li siguran? Pa, sada imamo
I na tri strane - najlakši (treći) znak jednakosti trokuta.
Pa, naš jednakokraki trokut podijeljen je na dva identična pravokutna.
Vidite kako zanimljivo? Ispostavilo se da:
Kako je uobičajeno da matematičari govore o tome? Idemo redom:
(Ovdje se prisjećamo da je medijana prava povučena iz temena koja dijeli stranu, a simetrala je ugao.)
Pa, ovdje smo raspravljali o tome šta se dobro može vidjeti ako se dobije jednakokraki trougao. Zaključili smo da su u jednakokračnom trouglu uglovi u osnovi jednaki, a visina, simetrala i medijana povučeni bazi su isti.
I sada se postavlja drugo pitanje: kako prepoznati jednakokraki trokut? To je, kako matematičari kažu, šta su znakovi jednakokračnog trougla?
I ispostavilo se da samo trebate "okrenuti" sve izjave naprotiv. To se, naravno, ne dešava uvek, ali jednakokraki trougao je i dalje odlična stvar! Šta se dešava nakon "preokreta"?
Pa pogledajte ovdje:
Ako su visina i medijan isti, tada:
Ako su visina i simetrala iste, onda: 
Ako su simetrala i medijana isti, onda:
Pa, ne zaboravite i koristite:
- Ako je dat jednakokraki trougao, slobodno nacrtajte visinu, dobijete dva pravougaona trougla i riješite problem već o pravokutnom trokutu.
- Ako se to da dva ugla su jednaka, zatim trougao upravo jednakokračan i možete nacrtati visinu i .... (Kuća koju je Jack sagradio ...).
- Ako se ispostavi da je visina podijeljena na pola sa strane, onda je trokut jednakokračan sa svim dodatnim bonusima.
- Ako se ispostavilo da visina dijeli ugao na podove - također jednakokračan!
- Ako je simetrala podijelila stranu na pola ili medijanu - ugao, onda se i to događa samo u jednakokračnom trouglu
Pogledajmo kako to izgleda u zadacima.
Zadatak 1(najjednostavniji)
U trouglu, strane i su jednake, a. Nađi.
Odlučujemo:
Prvo crtež.
Šta je ovde osnova? Naravno, .
Podsjećamo da ako, onda i.
Ažurirani crtež:
Odredimo za. Koliki je zbir uglova trougla? ?
Koristimo:
To je odgovor: .
Lako, zar ne? Nisam ni morao da idem visoko.
Zadatak 2(Također nije teško, ali morate ponoviti temu)
u trouglu, Nađi.
Odlučujemo:
Trougao je jednakokraki! Crtamo visinu (ovo je fokus, uz pomoć kojeg će se sada sve odlučiti).
Sada "brišemo iz života", razmotrićemo samo.
Dakle, imamo:
Prisjećamo se tabličnih vrijednosti kosinusa (pa, ili pogledajte cheat sheet...)
Ostaje da se pronađe: .
odgovor: .
Imajte na umu da smo ovdje vrlo potrebno znanje o pravokutnom trokutu i "tabelarnim" sinusima i kosinusima. Vrlo često se to dešava: teme, “jednakokraki trougao” i zagonetke idu u pakete, ali nisu baš prijateljski nastrojeni s drugim temama.
Jednakokraki trougao. Prosječan nivo.
Ove dvije jednake strane pozvao strane, a treća stranica je osnova jednakokračnog trougla.
Pogledajte sliku: i - stranice, - osnova jednakokračnog trougla.
Pogledajmo na jednoj slici zašto je to tako. Nacrtajte visinu iz tačke.
To znači da su svi odgovarajući elementi jednaki.
Sve! Jednim zamahom (visina) sve tvrdnje su dokazane odjednom.
I zapamtite: da biste riješili problem jednakokračnog trougla, često je vrlo korisno spustiti visinu do osnove jednakokračnog trougla i podijeliti ga na dva jednaka pravougla trougla.
Znakovi jednakokračnog trougla
Tačne su i suprotne tvrdnje:
Gotovo sve ove tvrdnje opet se mogu dokazati "jednom potezom".
1. Dakle, neka je v ispalo jednako i.
Uzmimo visinu. Onda
2. a) Neka sada unesemo neki trougao iste visine i simetrale.
2. b) I ako su visina i medijan isti? Sve je skoro isto, ništa komplikovanije!
 |
- na dve noge |
2. c) Ali ako nema visine, koji je spušten na osnovu jednakokračnog trougla, tada nema inicijalno pravokutnih trokuta. Loše!
Ali postoji izlaz - pročitajte ga na sljedećem nivou teorije, jer je ovdje dokaz složeniji, ali za sada samo zapamtite da ako se medijana i simetrala poklapaju, onda će i trokut biti jednakokračan, a visina će i dalje se poklapaju sa ovim simetralom i medijanom.
Da rezimiramo:
- Ako je trokut jednakokračan, tada su uglovi u osnovi jednaki, a visina, simetrala i medijana povučeni bazi su isti.
- Ako u nekom trokutu postoje dva jednaka ugla, ili se neke dvije od tri prave (simetrala, medijana, visina) poklapaju, onda je takav trokut jednakokrak.
Jednakokraki trougao. Kratak opis i osnovne formule
Jednakokraki trokut je trokut koji ima dvije jednake stranice.
Znakovi jednakokračnog trougla:
- Ako trokut ima dva jednaka ugla, onda je jednakokrak.
- Ako se u nekom trokutu poklapaju:
a) visina i simetrala ili
b) visina i medijan ili
u) medijana i simetrala,
povučen na jednu stranu, onda je takav trokut jednakokračan.
PREOSTALE 2/3 ČLANKA DOSTUPNE SAMO YOUCLEVER STUDENTIMA!
Postanite student YouClevera,
Pripremite se za OGE ili USE iz matematike po cijeni "šoljica kafe mjesečno",
I također dobijte neograničen pristup udžbeniku "YouClever", programu obuke "100gia" (knjiga rješenja), neograničenom probnom USE i OGE, 6000 zadataka s analizom rješenja i drugim YouClever i 100gia servisima.
