Metode rješavanja sistema jednačina
Za početak, prisjetimo se ukratko koje metode općenito postoje za rješavanje sistema jednačina.
Postoji četiri glavna načina rješenja sistema jednačina:
Metoda supstitucije: uzmite bilo koju od datih jednačina i izrazite $y$ u terminima $x$, a zatim se $y$ supstituira u sistemsku jednačinu, odakle se nalazi varijabla $x.$.Nakon toga možemo lako izračunati varijabla $y.$
Metoda sabiranja: U ovoj metodi, trebate pomnožiti jednu ili obje jednačine takvim brojevima da kada obje zbrojite, jedna od varijabli „nestane“.
Grafička metoda: obje jednačine sistema su prikazane na koordinatnoj ravni i pronađena je tačka njihovog presjeka.
Metoda uvođenja novih varijabli: u ovoj metodi zamjenjujemo neke izraze kako bismo pojednostavili sistem, a zatim koristimo jednu od gore navedenih metoda.
Sistemi eksponencijalnih jednačina
Definicija 1
Sistemi jednačina koji se sastoje od eksponencijalnih jednačina nazivaju se sistemi eksponencijalnih jednačina.
Razmotrit ćemo rješavanje sistema eksponencijalnih jednačina na primjerima.
Primjer 1
Riješiti sistem jednačina
Slika 1.
Rješenje.
Koristićemo prvi metod da rešimo ovaj sistem. Prvo, izrazimo $y$ u prvoj jednačini u terminima $x$.
Slika 2.
Zamijenimo $y$ u drugu jednačinu:
\ \ \[-2-x=2\] \ \
odgovor: $(-4,6)$.
Primjer 2
Riješiti sistem jednačina
Slika 3.
Rješenje.
Ovaj sistem je ekvivalentan sistemu
Slika 4.
Primijenimo četvrti metod rješavanja jednačina. Neka $2^x=u\ (u >0)$, i $3^y=v\ (v >0)$, dobijamo:
Slika 5.
Rešimo dobijeni sistem metodom sabiranja. Hajde da saberemo jednačine:
\ \
Onda iz druge jednačine dobijamo to
Vraćajući se na zamjenu, dobio sam novi sistem eksponencijalnih jednačina:
Slika 6.
Dobijamo:
Slika 7.
odgovor: $(0,1)$.
Sistemi eksponencijalnih nejednakosti
Definicija 2
Sistemi nejednačina koji se sastoje od eksponencijalnih jednačina nazivaju se sistemima eksponencijalnih nejednačina.
Razmotrit ćemo rješavanje sistema eksponencijalnih nejednačina na primjerima.
Primjer 3
Riješite sistem nejednačina
Slika 8.
Rješenje:
Ovaj sistem nejednakosti je ekvivalentan sistemu
Slika 9.
Da biste riješili prvu nejednakost, prisjetite se sljedeće teoreme o ekvivalenciji eksponencijalnih nejednakosti:
Teorema 1. Nejednakost $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, gdje je $a >0,a\ne 1$ ekvivalentna kolekciji dva sistema
\}
