Formler for rødderne af en andengradsligning. Tilfældene af reelle, multiple og komplekse rødder overvejes. Faktorering af et kvadratisk trinomium. Geometrisk fortolkning. Eksempler på at bestemme rødder og factoring.
IndholdSe også: Løsning af andengradsligninger online
Grundlæggende formler
Overvej andengradsligningen:
(1)
.
Rødder af en andengradsligning(1) bestemmes af formlerne:
;
.
Disse formler kan kombineres således:
.
Når rødderne af en andengradsligning er kendt, så kan et polynomium af anden grad repræsenteres som et produkt af faktorer (faktoreret):
.
Dernæst antager vi, at det er reelle tal.
Lad os overveje diskriminant af en andengradsligning:
.
Hvis diskriminanten er positiv, så har andengradsligningen (1) to forskellige reelle rødder:
;
.
Så har faktoriseringen af det kvadratiske trinomium formen:
.
Hvis diskriminanten er lig nul, så har andengradsligningen (1) to multiple (lige) reelle rødder:
.
Faktorisering:
.
Hvis diskriminanten er negativ, har andengradsligningen (1) to komplekse konjugerede rødder:
;
.
Her er den imaginære enhed, ;
og er de virkelige og imaginære dele af rødderne:
;
.
Derefter
.
Grafisk fortolkning
Hvis du plotter funktionen
,
som er en parabel, så vil skæringspunkterne for grafen med aksen være ligningens rødder
.
Når , skærer grafen x-aksen (aksen) i to punkter ().
Når , rører grafen x-aksen i et punkt ().
Når , skærer grafen ikke x-aksen ().
Nyttige formler relateret til andengradsligning
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Afledning af formlen for rødderne af en andengradsligning
Vi udfører transformationer og anvender formler (f.1) og (f.3):
,
Hvor
;
.
Så vi fik formlen for et polynomium af anden grad i formen:
.
Dette viser, at ligningen
udført kl
Og .
Det vil sige, og er rødderne til andengradsligningen
.
Eksempler på at bestemme rødderne til en andengradsligning
Eksempel 1
(1.1)
.
.
Ved at sammenligne med vores ligning (1.1) finder vi værdierne af koefficienterne:
.
Vi finder diskriminanten:
.
Da diskriminanten er positiv, har ligningen to reelle rødder:
;
;
.
Herfra får vi faktoriseringen af det kvadratiske trinomium:
.
Graf for funktionen y = 2 x 2 + 7 x + 3 skærer x-aksen i to punkter.
Lad os plotte funktionen
.
Grafen for denne funktion er en parabel. Den krydser abscisseaksen (aksen) på to punkter:
Og .
Disse punkter er rødderne til den oprindelige ligning (1.1).
;
;
.
Eksempel 2
Find rødderne til en andengradsligning:
(2.1)
.
Lad os skrive andengradsligningen i generel form:
.
Ved at sammenligne med den oprindelige ligning (2.1) finder vi værdierne af koefficienterne:
.
Vi finder diskriminanten:
.
Da diskriminanten er nul, har ligningen to multiple (lige) rødder:
;
.
Så har faktoriseringen af trinomialet formen:
.
Graf for funktionen y = x 2 - 4 x + 4 rører x-aksen på et punkt.
Lad os plotte funktionen
.
Grafen for denne funktion er en parabel. Den berører x-aksen (aksen) på et tidspunkt:
.
Dette punkt er roden af den oprindelige ligning (2.1). Fordi denne rod er faktoriseret to gange:
,
så kaldes en sådan rod sædvanligvis et multiplum. Det vil sige, de mener, at der er to lige store rødder:
.
;
.
Eksempel 3
Find rødderne til en andengradsligning:
(3.1)
.
Lad os skrive andengradsligningen i generel form:
(1)
.
Lad os omskrive den oprindelige ligning (3.1):
.
Ved at sammenligne med (1) finder vi værdierne af koefficienterne:
.
Vi finder diskriminanten:
.
Diskriminanten er negativ, . Derfor er der ingen rigtige rødder.
Du kan finde komplekse rødder:
;
;
.
Derefter
.
Grafen for funktionen krydser ikke x-aksen. Der er ingen rigtige rødder.
Lad os plotte funktionen
.
Grafen for denne funktion er en parabel. Den skærer ikke x-aksen (aksen). Derfor er der ingen rigtige rødder.
Der er ingen rigtige rødder. Komplekse rødder:
;
;
.
Nogle problemer i matematik kræver evnen til at beregne værdien af kvadratroden. Sådanne problemer omfatter løsning af andenordens ligninger. I denne artikel vil vi præsentere effektiv metode udregning af kvadratrødder og brug det, når du arbejder med formler for rødderne af en andengradsligning.
Hvad er en kvadratrod?
I matematik svarer dette begreb til symbolet √. Historiske data siger, at det først blev brugt omkring første halvdel af det 16. århundrede i Tyskland (det første tyske værk om algebra af Christoph Rudolf). Forskere mener, at symbolet er et forvandlet latinsk bogstav r (radix betyder "rod" på latin).
Roden af ethvert tal er lig med den værdi, hvis kvadrat svarer til det radikale udtryk. På matematiksproget vil denne definition se således ud: √x = y, hvis y 2 = x.
Roden af et positivt tal (x > 0) er også et positivt tal (y > 0), men hvis du tager roden af et negativt tal (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.
Her er to simple eksempler:
√9 = 3, da 3 2 = 9; √(-9) = 3i, da i2 = -1.
Herons iterative formel til at finde værdierne af kvadratrødder
Ovenstående eksempler er meget enkle, og det er ikke svært at beregne rødderne i dem. Vanskeligheder begynder at dukke op, når man finder rodværdier for enhver værdi, der ikke kan repræsenteres som en kvadrat naturligt tal, for eksempel √10, √11, √12, √13, for ikke at nævne det faktum, at det i praksis er nødvendigt at finde rødder til ikke-heltallige tal: for eksempel √(12,15), √(8,5) og så videre.
I alle ovenstående tilfælde bør der anvendes en særlig metode til beregning af kvadratroden. I øjeblikket er flere sådanne metoder kendt: for eksempel Taylor-serieudvidelse, kolonneopdeling og nogle andre. Af alle de kendte metoder er den måske enkleste og mest effektive brugen af Herons iterative formel, som også er kendt som den babylonske metode til at bestemme kvadratrødder (der er bevis for, at de gamle babyloniere brugte den i deres praktiske beregninger).
Lad det være nødvendigt at bestemme værdien af √x. Formlen for at finde kvadratroden er som følger:
a n+1 = 1/2(a n +x/a n), hvor lim n->∞ (a n) => x.
Lad os dechifrere denne matematiske notation. For at beregne √x skal du tage et bestemt tal a 0 (det kan være vilkårligt, men for hurtigt at få resultatet, bør du vælge det, så (a 0) 2 er så tæt som muligt på x. Erstat det derefter i angivne formel til at beregne kvadratroden og få et nyt tal a 1, som allerede vil være tættere på den ønskede værdi. Herefter skal du erstatte et 1 i udtrykket og få et 2. Denne procedure skal gentages indtil den nødvendige nøjagtighed opnås.
Et eksempel på brug af Herons iterative formel
Den ovenfor beskrevne algoritme til at opnå kvadratroden af et givet tal kan lyde ret kompliceret og forvirrende for mange, men i virkeligheden viser alt sig at være meget enklere, da denne formel konvergerer meget hurtigt (især hvis et vellykket tal a 0 er valgt) .
Lad os give et simpelt eksempel: du skal beregne √11. Lad os vælge en 0 = 3, da 3 2 = 9, som er tættere på 11 end 4 2 = 16. Ved at indsætte i formlen får vi:
a1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;
a2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;
a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.
Det nytter ikke at fortsætte beregningerne, da vi fandt ud af, at en 2'er og en 3'er kun begynder at afvige med 5. decimal. Således var det nok kun at anvende formlen 2 gange for at beregne √11 med en nøjagtighed på 0,0001.
I dag er lommeregnere og computere meget brugt til at beregne rødder, men det er nyttigt at huske den markerede formel for manuelt at kunne beregne deres nøjagtige værdi.
Anden ordens ligninger
Forståelse af, hvad en kvadratrod er, og evnen til at beregne den, bruges til at løse andengradsligninger. Disse ligninger kaldes ligheder med én ukendt, hvis generelle form er vist i figuren nedenfor.
Her repræsenterer c, b og a nogle tal, og a må ikke være lig med nul, og værdierne af c og b kan være fuldstændig vilkårlige, inklusive lig med nul.
Enhver værdi af x, der opfylder ligheden angivet i figuren, kaldes dens rødder (dette begreb skal ikke forveksles med kvadratroden √). Da den betragtede ligning er af 2. orden (x 2), så kan der ikke være mere end to rødder til den. Lad os se videre i artiklen på, hvordan man finder disse rødder.
Find rødderne til en andengradsligning (formel)
Denne metode til at løse den type ligheder, der overvejes, kaldes også den universelle metode eller diskriminantmetoden. Det kan bruges til alle andengradsligninger. Formlen for diskriminanten og rødderne af andengradsligningen er som følger:
Det viser, at rødderne afhænger af værdien af hver af de tre koefficienter i ligningen. Desuden adskiller beregningen af x 1 sig kun fra beregningen af x 2 ved tegnet foran kvadratroden. Det radikale udtryk, som er lig med b 2 - 4ac, er ikke andet end diskriminanten af den pågældende ligestilling. Diskriminanten i formlen for rødderne af en andengradsligning spiller en vigtig rolle, fordi den bestemmer antallet og typen af løsninger. Så hvis den er lig med nul, så vil der kun være én løsning, hvis den er positiv, så har ligningen to reelle rødder, og endelig fører en negativ diskriminant til to komplekse rødder x 1 og x 2.
Vietas sætning eller nogle egenskaber ved rødderne af andenordens ligninger
I slutningen af det 16. århundrede var en af grundlæggerne af moderne algebra, en franskmand, der studerede andenordens ligninger, i stand til at opnå egenskaberne ved sine rødder. Matematisk kan de skrives sådan:
x 1 + x 2 = -b/a og x 1 * x 2 = c/a.
Begge ligheder kan let opnås af enhver; for at gøre dette skal du blot udføre de passende matematiske operationer med rødderne opnået gennem formlen med diskriminanten.
Kombinationen af disse to udtryk kan med rette kaldes den anden formel for rødderne af en andengradsligning, som gør det muligt at gætte dens løsninger uden at bruge en diskriminant. Her skal det bemærkes, at selvom begge udtryk altid er gyldige, er det praktisk kun at bruge dem til at løse en ligning, hvis den kan faktoriseres.
Opgaven med at konsolidere den tilegnede viden
Lad os løse et matematisk problem, hvor vi vil demonstrere alle de teknikker, der er diskuteret i artiklen. Betingelserne for problemet er som følger: du skal finde to tal, for hvilke produktet er -13 og summen er 4.
Denne tilstand minder os straks om Vietas sætning; ved at bruge formlerne for summen af kvadratrødder og deres produkt skriver vi:
xl + x2 = -b/a = 4;
x 1 * x 2 = c/a = -13.
Hvis vi antager, at a = 1, så er b = -4 og c = -13. Disse koefficienter giver os mulighed for at skabe en andenordens ligning:
x 2 - 4x - 13 = 0.
Lad os bruge formlen med diskriminanten og få følgende rødder:
x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Det vil sige, at problemet blev reduceret til at finde tallet √68. Bemærk, at 68 = 4 * 17, så får vi ved hjælp af kvadratrodsegenskaben: √68 = 2√17.
Lad os nu bruge den betragtede kvadratrodsformel: a 0 = 4, så:
a1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;
a 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.
Der er ingen grund til at beregne en 3, da de fundne værdier kun afviger med 0,02. Således er √68 = 8,246. Hvis vi erstatter det med formlen for x 1,2, får vi:
x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 og x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.
Som vi kan se, er summen af de fundne tal egentlig lig med 4, men hvis vi finder deres produkt, så vil det være lig med -12,999, hvilket opfylder betingelserne for problemet med en nøjagtighed på 0,001.
Vi minder dig om, at en komplet andengradsligning er en ligning af formen:
At løse komplette andengradsligninger er lidt sværere (bare lidt) end disse.
Husk, Enhver andengradsligning kan løses ved hjælp af en diskriminant!
Selv ufuldstændig.
De andre metoder vil hjælpe dig med at gøre det hurtigere, men hvis du har problemer med andengradsligninger, skal du først mestre løsningen ved hjælp af diskriminanten.
1. Løsning af andengradsligninger ved hjælp af en diskriminant.
Løsning af kvadratiske ligninger ved hjælp af denne metode er meget enkel; det vigtigste er at huske rækkefølgen af handlinger og et par formler.
Hvis, så har ligningen 2 rødder. Du skal være særlig opmærksom på trin 2.
Diskriminanten D fortæller os antallet af rødder i ligningen.
- Hvis, så vil formlen i trinnet blive reduceret til. Således vil ligningen kun have en rod.
- Hvis, så vil vi ikke være i stand til at udvinde roden af diskriminanten på trinnet. Dette indikerer, at ligningen ikke har nogen rødder.
Lad os vende os til den geometriske betydning af andengradsligningen.
Grafen for funktionen er en parabel:
Lad os gå tilbage til vores ligninger og se på nogle eksempler.
Eksempel 9
Løs ligningen
Trin 1 vi springer over.
Trin 2.
Vi finder diskriminanten:
Det betyder, at ligningen har to rødder.
Trin 3.
Svar:
Eksempel 10
Løs ligningen
Ligningen er præsenteret i standardform, så Trin 1 vi springer over.
Trin 2.
Vi finder diskriminanten:
Det betyder, at ligningen har én rod.
Svar:
Eksempel 11
Løs ligningen
Ligningen er præsenteret i standardform, så Trin 1 vi springer over.
Trin 2.
Vi finder diskriminanten:
Det betyder, at vi ikke vil være i stand til at udvinde roden til diskriminanten. Der er ingen rødder til ligningen.
Nu ved vi, hvordan man korrekt skriver sådanne svar ned.
Svar: ingen rødder
2. Løsning af andengradsligninger ved hjælp af Vietas sætning
Hvis du husker, er der en form for ligning, der kaldes reduceret (når koefficienten a er lig med):
Sådanne ligninger er meget nemme at løse ved hjælp af Vietas sætning:
Summen af rødder givet andengradsligningen er lig, og produktet af rødderne er lig.
Du skal bare vælge et par tal, hvis produkt er lig med ligningens frie led, og summen er lig med den anden koefficient, taget med det modsatte fortegn.
Eksempel 12
Løs ligningen
Denne ligning kan løses ved hjælp af Vietas sætning pga .
Summen af ligningens rødder er lig, dvs. vi får den første ligning:
Og produktet er lig med:
Lad os sammensætte og løse systemet:
- Og. Beløbet er lig med;
- Og. Beløbet er lig med;
- Og. Beløbet er lige meget.
og er løsningen på systemet:
Svar: ; .
Eksempel 13
Løs ligningen
Svar:
Eksempel 14
Løs ligningen
Ligningen er givet, hvilket betyder:
Svar:
KVADRATISKE LIGNINGER. GENNEMSNIVEAU
Hvad er en andengradsligning?
Med andre ord er en andengradsligning en ligning af formen, hvor - det ukendte, - nogle tal, og.
Nummeret kaldes det højeste eller første koefficient andengradsligning, - anden koefficient, A - gratis medlem.
For hvis ligningen straks bliver lineær, fordi vil forsvinde.
I dette tilfælde kan og være lig med nul. I denne stol kaldes ligningen ufuldstændig.
Hvis alle vilkårene er på plads, er det ligningen komplet.
Metoder til løsning af ufuldstændige andengradsligninger
Lad os først se på metoder til løsning af ufuldstændige andengradsligninger – de er enklere.
Vi kan skelne mellem følgende ligningstyper:
I., i denne ligning er koefficienten og det frie led ens.
II. , i denne ligning er koefficienten lig.
III. , i denne ligning er frileddet lig med.
Lad os nu se på løsningen til hver af disse undertyper.
Det er klart, at denne ligning altid kun har én rod:
Et kvadreret tal kan ikke være negativt, for når man ganger to negative eller to positive tal, vil resultatet altid være et positivt tal. Derfor:
hvis, så har ligningen ingen løsninger;
hvis vi har to rødder
Der er ingen grund til at huske disse formler. Det vigtigste at huske er, at det ikke kan være mindre.
Eksempler på løsning af andengradsligninger
Eksempel 15
Svar:
Glem aldrig rødder med et negativt fortegn!
Eksempel 16
Kvadratet af et tal kan ikke være negativt, hvilket betyder, at ligningen
ingen rødder.
For kort at skrive ned, at et problem ikke har nogen løsninger, bruger vi det tomme sæt-ikon.
Svar:
Eksempel 17
Så denne ligning har to rødder: og.
Svar:
Lad os tage den fælles faktor ud af parentes:
Produktet er lig nul, hvis mindst en af faktorerne er lig nul. Det betyder, at ligningen har en løsning, når:
Så denne andengradsligning har to rødder: og.
Eksempel:
Løs ligningen.
Løsning:
Lad os faktorisere venstre side af ligningen og finde rødderne:
Svar:
Metoder til løsning af komplette andengradsligninger
1. Diskriminerende
At løse andengradsligninger på denne måde er let, det vigtigste er at huske rækkefølgen af handlinger og et par formler. Husk, enhver andengradsligning kan løses ved hjælp af en diskriminant! Selv ufuldstændig.
Lagde du mærke til roden fra diskriminanten i formlen for rødder?
Men diskriminanten kan være negativ.
Hvad skal man gøre?
Vi skal være særligt opmærksomme på trin 2. Diskriminanten fortæller os antallet af rødder i ligningen.
- Hvis, så har ligningen rødder:
- Hvis ligningen har de samme rødder, og faktisk én rod:
Sådanne rødder kaldes dobbeltrødder.
- Hvis, så er roden til diskriminanten ikke udvundet. Dette indikerer, at ligningen ikke har nogen rødder.
Hvorfor er forskellige antal rødder mulige?
Lad os vende os til den geometriske betydning af andengradsligningen. Grafen for funktionen er en parabel:
I et særligt tilfælde, som er en andengradsligning, .
Det betyder, at rødderne af en andengradsligning er skæringspunkterne med abscisseaksen (aksen).
En parabel kan slet ikke skære aksen eller skære den ved et (når parablens toppunkt ligger på aksen) eller to punkter.
Derudover er koefficienten ansvarlig for retningen af parablens grene. Hvis, så er grenene af parablen rettet opad, og hvis, så nedad.
4 eksempler på løsning af andengradsligninger
Eksempel 18
Svar:
Eksempel 19
Svar: .
Eksempel 20
Svar:
Eksempel 21
Det betyder, at der ikke er nogen løsninger.
Svar: .
2. Vietas sætning
Det er meget nemt at bruge Vietas sætning.
Alt du har brug for er Saml op et sådant talpar, hvis produkt er lig med ligningens frie led, og summen er lig med den anden koefficient, taget med det modsatte fortegn.
Det er vigtigt at huske, at Vietas sætning kun kan anvendes i reducerede andengradsligninger ().
Lad os se på et par eksempler:
Eksempel 22
Løs ligningen.
Løsning:
Denne ligning kan løses ved hjælp af Vietas sætning pga . Andre koefficienter: ; .
Summen af ligningens rødder er:
Og produktet er lig med:
Lad os vælge par af tal, hvis produkt er ens og kontrollere, om deres sum er lig:
- Og. Beløbet er lig med;
- Og. Beløbet er lig med;
- Og. Beløbet er lige meget.
og er løsningen på systemet:
Således og er rødderne til vores ligning.
Svar: ; .
Eksempel 23
Løsning:
Lad os vælge par af tal, der giver i produktet, og derefter kontrollere, om deres sum er lig:
og: de giver i alt.
og: de giver i alt. For at opnå det er det nok blot at ændre tegnene på de formodede rødder: og trods alt produktet.
Svar:
Eksempel 24
Løsning:
Det frie led i ligningen er negativ, og derfor er produktet af rødderne et negativt tal. Dette er kun muligt, hvis en af rødderne er negativ, og den anden er positiv. Derfor er summen af rødderne lig med forskelle i deres moduler.
Lad os vælge par af tal, der giver i produktet, og hvis forskel er lig med:
og: deres forskel er lige - passer ikke;
og: - ikke egnet;
og: - ikke egnet;
og: - passende. Tilbage er blot at huske, at en af rødderne er negativ. Da deres sum skal være lig, skal roden med det mindre modul være negativ: . Vi tjekker:
Svar:
Eksempel 25
Løs ligningen.
Løsning:
Ligningen er givet, hvilket betyder:
Det frie led er negativt, og derfor er produktet af rødderne negativt. Og dette er kun muligt, når den ene rod af ligningen er negativ, og den anden er positiv.
Lad os vælge talpar, hvis produkt er ens, og derefter bestemme, hvilke rødder der skal have et negativt fortegn:
Det er klart, kun rødderne og er egnede til den første betingelse:
Svar:
Eksempel 26
Løs ligningen.
Løsning:
Ligningen er givet, hvilket betyder:
Summen af rødderne er negativ, hvilket betyder, at mindst én af rødderne er negativ. Men da deres produkt er positivt, betyder det, at begge rødder har et minustegn.
Lad os vælge talpar, hvis produkt er lig med:
Det er klart, at rødderne er tallene og.
Svar:
Enig, det er meget praktisk at komme med rødder mundtligt i stedet for at tælle denne grimme diskriminant.
Prøv at bruge Vietas sætning så ofte som muligt!
Men Vietas teorem er nødvendig for at lette og fremskynde at finde rødderne.
For at du kan få gavn af at bruge det, skal du bringe handlingerne til automatik. Og for dette, løs fem flere eksempler.
Men snyd ikke: du kan ikke bruge en diskriminant! Kun Vietas sætning!
5 eksempler på Vietas sætning for selvstændigt arbejde
Eksempel 27
Opgave 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Ifølge Vietas sætning:
Som sædvanlig starter vi udvælgelsen med stykket:
Ikke egnet, fordi mængden;
: mængden er lige hvad du har brug for.
Svar: ; .
Eksempel 28
Opgave 2.
Og igen vores foretrukne Vieta-sætning: summen skal være lig, og produktet skal være lig.
Men da det ikke skal være, men, ændrer vi røddernes tegn: og (i alt).
Svar: ; .
Eksempel 29
Opgave 3.
Hmm... Hvor er det?
Du skal flytte alle termerne til én del:
Summen af rødderne er lig med produktet.
Okay, stop! Ligningen er ikke givet.
Men Vietas sætning er kun anvendelig i de givne ligninger.
Så først skal du give en ligning.
Hvis du ikke kan lede, så opgiv denne idé og løs den på en anden måde (for eksempel gennem en diskriminant).
Lad mig minde dig om, at at give en andengradsligning betyder at gøre den førende koefficient lig:
Så er summen af rødderne lig med og produktet.
Her er det lige så nemt som at beskyde pærer at vælge: Det er trods alt et primtal (undskyld tautologien).
Svar: ; .
Eksempel 30
Opgave 4.
Det gratis medlem er negativt.
Hvad er specielt ved dette?
Og faktum er, at rødderne vil have forskellige tegn.
Og nu, under udvælgelsen, kontrollerer vi ikke summen af rødderne, men forskellen i deres moduler: denne forskel er lig, men et produkt.
Så rødderne er lig med og, men en af dem er minus.
Vietas sætning fortæller os, at summen af rødderne er lig med den anden koefficient med det modsatte fortegn, dvs.
Det betyder, at den mindre rod vil have et minus: og, siden.
Svar: ; .
Eksempel 31
Opgave 5.
Hvad skal du gøre først?
Det er rigtigt, giv ligningen:
Igen: vi vælger faktorerne for tallet, og deres forskel skal være lig med:
Rødderne er lig med og, men en af dem er minus. Hvilken? Deres sum skal være lig, hvilket betyder, at minus vil have en større rod.
Svar: ; .
Sammenfatte
- Vietas sætning bruges kun i de angivne andengradsligninger.
- Ved hjælp af Vietas sætning kan du finde rødderne ved udvælgelse, mundtligt.
- Hvis ligningen ikke er givet, eller der ikke findes et passende par af faktorer af det frie led, så er der ingen hele rødder, og du skal løse det på en anden måde (for eksempel gennem en diskriminant).
3. Metode til at vælge en komplet firkant
Hvis alle led, der indeholder det ukendte, er repræsenteret i form af led fra forkortede multiplikationsformler - kvadratet af summen eller forskellen - så kan ligningen efter udskiftning af variable præsenteres i form af en ufuldstændig andengradsligning af typen.
For eksempel:
Eksempel 32
Løs ligningen:.
Løsning:
Svar:
Eksempel 33
Løs ligningen:.
Løsning:
Svar:
Generelt vil transformationen se sådan ud:
Dette indebærer:.
Minder du dig ikke om noget?
Dette er en diskriminerende ting! Det er præcis sådan, vi fik diskriminantformlen.
KVADRATISKE LIGNINGER. KORT OM DE VIGTIGSTE TING
Kvadratisk ligning- dette er en ligning af formen, hvor - det ukendte, - andengradsligningens koefficienter, - det frie led.
Komplet andengradsligning- en ligning, hvor koefficienterne ikke er lig med nul.
Reduceret andengradsligning- en ligning, hvor koefficienten, dvs.: .
Ufuldstændig andengradsligning- en ligning, hvor koefficienten og eller det frie led c er lig med nul:
- hvis koefficienten ser ligningen sådan ud: ,
- hvis der er et frit led, har ligningen formen: ,
- hvis og, ser ligningen sådan ud: .
1. Algoritme til løsning af ufuldstændige andengradsligninger
1.1. En ufuldstændig andengradsligning af formen, hvor:
1) Lad os udtrykke det ukendte: ,
2) Tjek udtrykkets tegn:
- hvis, så har ligningen ingen løsninger,
- hvis, så har ligningen to rødder.
1.2. En ufuldstændig andengradsligning af formen, hvor:
1) Lad os tage den fælles faktor ud af parentes: ,
2) Produktet er lig nul, hvis mindst en af faktorerne er lig nul. Derfor har ligningen to rødder:
1.3. En ufuldstændig andengradsligning af formen, hvor:
Denne ligning har altid kun én rod: .
2. Algoritme til løsning af komplette andengradsligninger af formen hvor
2.1. Løsning ved hjælp af diskriminant
1) Lad os reducere ligningen til standard visning: ,
2) Lad os beregne diskriminanten ved hjælp af formlen: , som angiver antallet af rødder i ligningen:
3) Find rødderne til ligningen:
- hvis, så har ligningen rødder, som findes ved formlen:
- hvis, så har ligningen en rod, som findes ved formlen:
- hvis, så har ligningen ingen rødder.
2.2. Løsning ved hjælp af Vietas sætning
Summen af rødderne af den reducerede andengradsligning (formens ligning hvor) er lig, og produktet af rødderne er lig, dvs. , A.
2.3. Løsning ved at vælge en komplet firkant
", det vil sige ligninger af første grad. I denne lektion vil vi se på det man kalder en andengradsligning og hvordan man løser det.
Hvad er en andengradsligning?
Vigtig!
Graden af en ligning bestemmes af den højeste grad, som det ukendte står i.
Hvis den maksimale effekt, hvori det ukendte er "2", så har du en andengradsligning.
Eksempler på andengradsligninger
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Vigtig! Den generelle form for en andengradsligning ser sådan ud:
A x 2 + b x + c = 0
"a", "b" og "c" er givet tal.- "a" er den første eller højeste koefficient;
- "b" er den anden koefficient;
- "c" er et gratis medlem.
For at finde "a", "b" og "c" skal du sammenligne din ligning med den generelle form for andengradsligningen "ax 2 + bx + c = 0".
Lad os øve os i at bestemme koefficienterne "a", "b" og "c" i andengradsligninger.
| Ligningen | Odds | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- c =
1 3
- a = 1
- b = 0,25
- c = 0
- a = 1
- b = 0
- c = -8
Sådan løses andengradsligninger
I modsætning til lineære ligninger bruges en speciel metode til at løse andengradsligninger. formel til at finde rødder.
Husk!
For at løse en andengradsligning skal du bruge:
- bringe andengradsligningen til den generelle form "ax 2 + bx + c = 0". Det vil sige, at kun "0" skal forblive på højre side;
- brug formel for rødder:
Lad os se på et eksempel på, hvordan man bruger formlen til at finde rødderne til en andengradsligning. Lad os løse en andengradsligning.
X 2 − 3x − 4 = 0
Ligningen "x 2 − 3x − 4 = 0" er allerede blevet reduceret til den generelle form "ax 2 + bx + c = 0" og kræver ikke yderligere forenklinger. For at løse det skal vi bare ansøge formel til at finde rødderne til en andengradsligning.
Lad os bestemme koefficienterne "a", "b" og "c" for denne ligning.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
Det kan bruges til at løse enhver andengradsligning.
I formlen “x 1;2 = ” erstattes det radikale udtryk ofte
"b 2 − 4ac" for bogstavet "D" og kaldes diskriminant. Begrebet en diskriminant diskuteres mere detaljeret i lektionen " Hvad er en diskriminant ».
Lad os se på et andet eksempel på en andengradsligning.
x 2 + 9 + x = 7x
I denne form er det ret svært at bestemme koefficienterne "a", "b" og "c". Lad os først reducere ligningen til den generelle form "ax 2 + bx + c = 0".
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Nu kan du bruge formlen for rødderne.
X 1; 2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Svar: x = 3
Der er tidspunkter, hvor andengradsligninger ikke har nogen rødder. Denne situation opstår, når formlen indeholder et negativt tal under roden.
