Samling output:
PÅ ANDEN ORDERS DIFFERENTIAL
Lovkov Ivan Yurievich
studerende ved Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Russian Federation, Serpukhov
E- post: alkasardancer@ vandrer. ru
Taperechkina Vera Alekseevna
Ph.D. fysik og matematik Sciences, lektor, Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Russian Federation, Serpukhov
OM ANDEN ORDERS DIFFERENTIAL
Lovkov Ivan
studerende ved Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Rusland, Serpukhov
Vera Taperechkina
kandidat for fysiske og matematiske videnskaber, lektor ved Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Rusland, Serpukhov
ANNOTNING
Artiklen diskuterer metoder til at finde afledte og differentialer af første og anden orden for komplekse funktioner af to variable.
ABSTRAKT
Beregningsmetoder for afledte og første og anden differentialer for sammensatte funktioner af to variable.
Nøgleord: partielle derivater; differential.
Nøgleord: partielle derivater; differential.
1. Introduktion.
Lad os formulere nogle fakta fra teorien om funktioner for mange variabler, som vi får brug for yderligere.
Definition: en funktion z=f(u, v) kaldes differentierbar i et punkt (u, v), hvis dens stigning Δz kan repræsenteres som:
Den lineære del af stigningen kaldes den totale differens og betegnes dz.
Sætning (tilstrækkelig betingelse for differentiabilitet) se
Hvis der i et eller andet område af punkt (u, v) er kontinuerte partielle afledte og , så er funktionen f(u, v) differentierbar på dette punkt og
(du=Au, dv=Av). (1)
Definition: Den anden differential af funktionen z=f(u, v) i et givet punkt (u, v) er den første differential af den første differential af funktionen f(u, v), dvs. 
Fra definitionen af det andet differentiale z=f(u, v), hvor u og v er uafhængige variabler, følger det
Således er formlen gyldig:
Ved udledning af formlen blev Schwartz' sætning om lighed mellem blandede derivater brugt. Denne ligestilling er gyldig, forudsat at 
er defineret i et kvarter af m.(u, v) og er kontinuerte i m.(u, v). cm.
Formlen for at finde 2. differential kan skrives symbolsk i følgende form: – formel kvadrering af parentesen efterfulgt af formel multiplikation til højre med f(x y) giver den tidligere opnåede formel. Formlen for 3. differential er tilsvarende gyldig:
Og generelt set:
Hvor den formelle forhøjelse til n. potens udføres i henhold til Newtons binomiale formel:
; 
Bemærk, at den første differentiale af en funktion af to variable har egenskaben forminvarians. Det vil sige, hvis u og v er uafhængige variable, så for funktionen z=f(u, v), ifølge (1)
Lad nu u=u(x y), v=v(x y), så z=f(u(x y), v(x y)), x og y er uafhængige variable, så
Brug af velkendte formler for derivatet af en kompleks funktion:
Så fra (3) og (4) får vi:
Dermed,
(5)
Hvor 
- den første differential af funktionen u, 
- den første differentiale af funktionen v.
Ved at sammenligne (1) og (5), ser vi, at den formelle repræsentation af formlen for dz er bevaret, men hvis i (1) du=Δu, dv=Δv er trin af uafhængige variable, så i (5) du og dv er differentialer af funktionerne u og v.
2. Anden differential af en kompleks funktion af to variable.
Først og fremmest viser vi, at den anden differential ikke har egenskaben forminvarians.
Lad z=z(u, v) i tilfælde af uafhængige variable u og v, finder vi den anden differential ved hjælp af formel (2)
Lad nu u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)), hvor de uafhængige variable er x og y. Derefter
.
Så fik vi endelig:
Formlerne (2) og (6) falder ikke sammen i form, derfor har den anden differential ikke egenskaben invarians.
Tidligere blev 1. ordens partielle afledte formler udledt for den komplekse funktion z=f(u, v), hvor u=u(x y), v=v(x y), hvor x og y er uafhængige variable, se.
Lad os udlede formler til beregning af partielle afledte og andenordens differentialer for funktionen z=f(u, v), u=u(x y), v=v(x y), hvor x og y er uafhængige variable.
For funktionerne u(x y), v(x y) af uafhængige variable x, y har vi formlerne:
Lad os erstatte formlerne (8) med (6).
Således har vi fået en formel for andenordens differentialet af en kompleks funktion af to variable.
Ved at sammenligne koefficienterne for andenordens partielle afledte af en kompleks funktion af to variable i (2) og (9), får vi formlerne:
Eksempel 1 cm
Lad z=f(u, v), u=xy, v=. Find det andet differentiale.
Løsning: beregn partielle derivater:
, , , ,
, 
,
Hver partiel afledt (af x og af y) af en funktion af to variable er den almindelige afledte af en funktion af en variabel for en fast værdi af den anden variabel:
(Hvor y= konst),
(Hvor x= konst).
Derfor beregnes partielle afledte vha formler og regler for beregning af afledte funktioner af en variabel, mens den anden variabel konstant tages i betragtning.
Hvis du ikke har brug for en analyse af eksempler og den minimumsteori, der kræves for dette, men kun har brug for en løsning på dit problem, så gå til online delvist afledt regnemaskine .
Hvis det er svært at koncentrere sig for at holde styr på, hvor konstanten er i funktionen, så kan du i eksemplets udkast til løsning, i stedet for en variabel med en fast værdi, erstatte et hvilket som helst tal - så kan du hurtigt beregne den partielle afledte som den almindelige afledte af en funktion af en variabel. Du skal blot huske at returnere konstanten (en variabel med en fast værdi) til sin plads, når du afslutter det endelige design.
Egenskaben ved partielle afledninger beskrevet ovenfor følger af definitionen af en partiel afledt, som kan forekomme i eksamensspørgsmål. Derfor kan du åbne den teoretiske reference for at sætte dig ind i definitionen nedenfor.
Begrebet funktionskontinuitet z= f(x, y) ved et punkt er defineret på samme måde som dette koncept for en funktion af en variabel.
Fungere z = f(x, y) kaldes kontinuert i et punkt if
Difference (2) kaldes den samlede stigning af funktionen z(det opnås som et resultat af stigninger af begge argumenter).
Lad funktionen være givet z= f(x, y) og periode
Hvis funktionen ændres z opstår, når kun et af argumenterne ændres, f.eks. x, med en fast værdi af et andet argument y, så vil funktionen modtage en stigning
kaldet delvis funktionstilvækst f(x, y) Ved x.
Overvejer en funktionsændring z afhængigt af kun at ændre et af argumenterne, ændrer vi effektivt til en funktion af en variabel.
Hvis der er en begrænset grænse
så kaldes det den partielle afledte af funktionen f(x, y) ved argument x og er angivet med et af symbolerne
(4)
Den delvise stigning bestemmes på samme måde z Ved y:
og delvis afledt f(x, y) Ved y:
(6)
Eksempel 1.
Løsning. Vi finder den partielle afledte med hensyn til variablen "x":
(y fast);
Vi finder den partielle afledte med hensyn til variablen "y":
(x fast).
Som du kan se, er det ligegyldigt, i hvilket omfang variablen er fikseret: i dette tilfælde er det blot et bestemt tal, der er en faktor (som i tilfældet med den almindelige afledte) af den variabel, som vi finder den partielle afledte med . Hvis den faste variabel ikke ganges med den variabel, som vi finder den partielle afledte med, så forsvinder denne ensomme konstant, uanset i hvilket omfang, som i tilfældet med den almindelige afledte.
Eksempel 2. Givet en funktion
Find partielle derivater
(ved X) og (ved Y) og beregn deres værdier ved punktet EN (1; 2).
Løsning. På fast y den afledede af det første led findes som den afledede af potensfunktionen ( tabel over afledte funktioner af en variabel):
.
Ved fast x den afledede af det første led findes som den afledede af eksponentialfunktionen, og den anden - som den afledede af en konstant:
Lad os nu beregne værdierne af disse partielle derivater på punktet EN (1; 2):
Du kan tjekke løsningen på delvise afledte problemer på online delvist afledt regnemaskine .
Eksempel 3. Find partielle afledte af en funktion
Løsning. I ét trin finder vi
(y x, som om argumentet for sinus var 5 x: på samme måde vises 5 før funktionstegnet);
(x er fast og er i dette tilfælde en multiplikator på y).
Du kan tjekke løsningen på delvise afledte problemer på online delvist afledt regnemaskine .
De partielle afledte af en funktion af tre eller flere variable er defineret på samme måde.
Hvis hvert sæt værdier ( x; y; ...; t) uafhængige variabler fra sættet D svarer til en bestemt værdi u fra mange E, At u kaldet en funktion af variable x, y, ..., t og betegne u= f(x, y, ..., t).
For funktioner af tre eller flere variable er der ingen geometrisk fortolkning.
Partielle afledte af en funktion af flere variable bestemmes og beregnes også under den antagelse, at kun én af de uafhængige variable ændres, mens de andre er faste.
Eksempel 4. Find partielle afledte af en funktion
.
Løsning. y Og z fast:
x Og z fast:
x Og y fast:
Find selv partielle derivater og se derefter på løsningerne
Eksempel 5.
Eksempel 6. Find partielle afledte af en funktion.
Den partielle afledte af en funktion af flere variable har det samme mekanisk betydning er det samme som afledet af en funktion af en variabel, er ændringshastigheden af funktionen i forhold til en ændring i et af argumenterne.
Eksempel 8. Kvantitativ værdi af flow P jernbanepassagerer kan udtrykkes ved funktionen
Hvor P– antal passagerer, N– antal beboere i korrespondentpunkter R– afstand mellem punkter.
Delvis afledt af en funktion P Ved R, lige
viser, at faldet i passagerstrømmen er omvendt proportional med kvadratet på afstanden mellem tilsvarende punkter med samme antal beboere i point.
Delvis afledt P Ved N, lige
viser, at stigningen i passagerstrømmen er proportional med det dobbelte af antallet af beboere i bygder med samme afstand mellem punkterne.
Du kan tjekke løsningen på delvise afledte problemer på online delvist afledt regnemaskine .
Fuld differential
Produktet af en partiel afledt og stigningen af den tilsvarende uafhængige variabel kaldes en partiel differential. Partielle forskelle er angivet som følger:
Summen af partielle differentialer for alle uafhængige variable giver den totale differential. For en funktion af to uafhængige variable er den totale differential udtrykt ved ligheden
(7)
Eksempel 9. Find hele differentialet for en funktion
Løsning. Resultatet af at bruge formel (7):
En funktion, der har en total differential på hvert punkt i et bestemt domæne, siges at være differentierbar i dette domæne.
Find selv den samlede forskel og se på løsningen
Ligesom i tilfælde af en funktion af en variabel, indebærer differentiabiliteten af en funktion i et bestemt domæne dens kontinuitet i dette domæne, men ikke omvendt.
Lad os uden bevis formulere en tilstrækkelig betingelse for en funktions differentiabilitet.
Sætning. Hvis funktionen z= f(x, y) har kontinuerlige partielle derivater
i en given region, så er den differentierbar i denne region, og dens differential er udtrykt ved formel (7).
Det kan påvises, at ligesom i tilfælde af en funktion af en variabel, er funktionens differentiale den lineære hoveddel af funktionens tilvækst, således er den samlede differens i tilfælde af en funktion af flere variable. den vigtigste, lineære med hensyn til stigningerne af uafhængige variable, en del af den samlede stigning i funktionen.
For en funktion af to variable har den samlede stigning af funktionen formen
(8)
hvor α og β er infinitesimale ved og .
Højere ordens partielle derivater
Partielle afledte og funktioner f(x, y) selv er nogle funktioner af de samme variable og kan til gengæld have afledte med hensyn til forskellige variable, som kaldes partielle afledte af højere orden.
Som du kan se, skal du gange den afledte med dx for at finde differentialet. Dette giver dig mulighed for straks at nedskrive den tilsvarende tabel for differentialer fra tabellen med formler for derivater.
Samlet differential for en funktion af to variable:
Den samlede differens for en funktion af tre variable er lig med summen af partielle differenser: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz
Definition . En funktion y=f(x) kaldes differentiabel i et punkt x 0, hvis dens stigning på dette punkt kan repræsenteres som ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, hvor A er en konstant og α(∆ x) – infinitesimal som ∆x → 0.
Kravet om, at en funktion skal være differentierbar i et punkt, svarer til eksistensen af en afledt på dette tidspunkt, og A=f'(x 0).
Lad f(x) være differentierbar i punktet x 0 og f "(x 0)≠0, så ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, hvor α= α(∆x) →0 ved ∆x → 0. Mængden ∆y og hvert led i højre side er uendeligt små størrelser for ∆x→ 0. Lad os sammenligne dem: 
, dvs. α(∆x)∆x er en infinitesimal af højere orden end f'(x 0)∆x.
, dvs. ∆y~f'(x 0)∆x. Følgelig repræsenterer f'(x 0)∆x den primære og samtidig lineære i forhold til ∆x del af inkrementet ∆y (lineær, hvilket betyder at indeholde ∆x i første potens). Dette led kaldes differentialet af funktionen y=f(x) i punktet x 0 og betegnes dy(x 0) eller df(x 0). Så for vilkårlige værdier af x
dy=f′(x)∆x. (1)
Indstil derefter dx=∆x
dy=f′(x)dx. (2)
Eksempel. Find afledte og differentialer af disse funktioner.
a) y=4 tan2 x
Løsning:
differential: 
b) 
Løsning:
differential: 
c) y=arcsin 2 (lnx)
Løsning: 
differential: 
G) 
Løsning:
= 
differential: 
Eksempel. For funktionen y=x 3 skal du finde et udtryk for ∆y og dy for nogle værdier af x og ∆x.
Løsning. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 ; dy=3x 2 ∆x (vi tog den lineære hoveddel ∆y i forhold til ∆x). I dette tilfælde er α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3.
Definition: Fuld differentialfunktion flere variable er summen af alle dens partielle differentialer:
Eksempel 1: 
.
Løsning:
Da de partielle afledte af denne funktion er lig med:
Så kan vi straks nedskrive de partielle differenser af disse funktioner:
, 
,
Så ser den komplette differentiale af funktionen ud som:
.
Eksempel 2 Find hele differentialet for en funktion
Løsning:
Denne funktion er kompleks, dvs. kan repræsenteres som
At finde partielle derivater:
Fuld forskel:
Den analytiske betydning af den totale differens er, at den samlede differens af en funktion af flere variable repræsenterer hovedparten af den samlede stigning i denne funktion, det vil sige, at der er en omtrentlig lighed: ∆z≈dz.
Det er dog nødvendigt at huske, at disse omtrentlige ligheder kun er gyldige for små differentialer dx og dy af argumenterne for funktionen z=f(x,y).
Anvendelsen af den samlede differens i omtrentlige beregninger er baseret på brugen af formlen ∆z≈dz.
Faktisk, hvis inkrementet ∆z af funktionen i denne formel er repræsenteret i formen og den samlede differential i formen 
, så får vi:
≈ 
,
Den resulterende formel kan bruges til tilnærmelsesvis at finde den "nye" værdi af en funktion af to variable, som den tager for tilstrækkeligt små trin af begge dens argumenter.
Eksempel. Find den omtrentlige værdi af en funktion , med følgende værdier af sine argumenter: 1.01, .
Løsning.
Ved at substituere de partielle afledninger af funktionerne fundet tidligere i formlen får vi:
Når du erstatter værdierne x=1, ∆х=0,01, y=2, ∆у=0,02 får vi:
Skalar felt.
Hvis funktionen U(p)=U(x,y,z) på hvert punkt i et bestemt område af rum D er specificeret, så siger de, at et skalarfelt er specificeret i området D.
Hvis for eksempel U(x,y,z) angiver temperaturen i punktet M(x,y,z), så siger de, at der er angivet et skalært temperaturfelt. Hvis område D er fyldt med væske eller gas, og U(x,y,z) angiver tryk, så er der et skalært trykfelt. Hvis placeringen af ladninger eller massive legemer i rummet er givet, så taler vi om et potentielt felt.
Det skalære felt kaldes stationær, hvis funktionen U(x,y,z) ikke ændrer sig over tid: U(x,y,z) ≠ f(t).
Ethvert stationært felt er karakteriseret ved:
1) plan overflade af skalarfeltet
2) feltets ændringshastighed i en given retning.
Plan overflade skalarfelt er det geometriske sted for punkter, hvor funktionen U(x,y,z) har en konstant værdi, det vil sige U(x,y,z) = konst. Samlingen af disse punkter danner en bestemt overflade. Hvis vi tager en anden konstant, får vi en anden overflade.
Eksempel: Lad et skalarfelt blive givet. Et eksempel på et sådant felt er det elektriske potentialfelt af en punktelektrisk ladning (+q). Her vil de plane flader være ækvipotentiale flader 
, det vil sige kugler, i hvis centrum der er en ladning, der skaber et felt.
Retningen for den største stigning i en skalarfunktion er givet af en vektor kaldet gradient og er angivet med symbolet (eller ).
Gradienten af en funktion findes gennem de partielle afledte af denne funktion og er altid vinkelret på den plane overflade af skalarfeltet ved et givet punkt:
, Hvor
Enhedsvektorer langs henholdsvis OX, OY, OZ akserne
Afledten af funktionen U(x,y,z) i enhver anden retning (λ) bestemmes af formlen:
, Hvor
α, β, γ er vinklerne mellem koordinatakserne, henholdsvis OX, OY, OZ og retningen.
