Værkets tekst er opslået uden billeder og formler.
Fulde version arbejde er tilgængeligt på fanen "Arbejdsfiler" i PDF-format

Introduktion

Jeg er elev i 6. klasse. Jeg startede med at læse geometri sidste år, fordi jeg læser på skolen ved hjælp af lærebogen ”Matematik. Aritmetik. Geometry” redigeret af E.A. Bunimovich, L.V. Kuznetsova, S.S. Minaeva og andre.

De emner, der tiltrak sig mest opmærksomhed, var "Figurområder" og "Udvikling af formler". Jeg har bemærket, at områderne af de samme figurer kan findes forskellige veje. I hverdagen står vi ofte med problemet med at finde plads. Find for eksempel det område af gulvet, der skal males. Det er underligt, for for at købe den nødvendige mængde tapet til renovering, skal du kende størrelsen på rummet, dvs. vægareal. At beregne arealet af en firkant, et rektangel og en retvinklet trekant forårsagede ingen vanskeligheder for mig.

Efter at være blevet interesseret i dette emne, begyndte jeg at lede efter yderligere materiale på internettet. Som et resultat af mine søgninger stødte jeg på Picks formel - dette er en formel til at beregne arealet af en polygon tegnet på ternet papir. Det forekom mig, at det er tilgængeligt for enhver elev at beregne arealet ved hjælp af denne formel. Derfor besluttede jeg mig for at lave research.

Emnets relevans:

Dette emne er et supplement og en uddybning af studiet af geometrikurset.

At studere dette emne vil hjælpe dig med at forberede dig bedre til olympiader og eksamener.

Målet med arbejdet:

Gør dig bekendt med Peak-formlen.

Mestre teknikker til at løse geometriske problemer ved hjælp af Pick-formlen.

Systematisere og sammenfatte teoretiske og praktiske materialer.

Forskningsmål:

Tjek effektiviteten og gennemførligheden af ​​at bruge formlen, når du løser problemer.

Lær at anvende Peak-formlen i problemer af forskellig kompleksitet.

Sammenlign problemer løst ved hjælp af Pick-formlen og den traditionelle metode.

Hoveddel

1.1. Historisk reference

Georg Alexander Pieck - østrigsk matematiker, født 10. august 1859. Han var et begavet barn, han blev undervist af sin far, som ledede et privat institut. Som 16-årig dimitterede Georg fra skolen og kom ind på universitetet i Wien. Som 20-årig fik han ret til at undervise i fysik og matematik. Hans formel til at bestemme arealet af et polygongitter bragte ham verdensomspændende berømmelse. Han offentliggjorde sin formel i en artikel i 1899. Det blev populært, da den polske videnskabsmand Hugo Steinhaus inkluderede det i en 1969-udgivelse af matematiske snapshots.

Georg Pieck blev uddannet ved universitetet i Wien og forsvarede sin ph.d. i 1880. Efter at have modtaget sin doktorgrad blev han udnævnt til assistent for Ernest Mach ved universitetet i Scherl-Ferdinand i Prag. Der blev han lærer. Han blev i Prag indtil sin pensionering i 1927 og vendte derefter tilbage til Wien.

Pick var formand for udvalget ved det tyske universitet i Prag, der udnævnte Einstein til professor i afdelingen for matematisk fysik i 1911.

Han blev valgt til medlem af Det Tjekkiske Akademi for Videnskaber og Kunst, men blev udvist, efter at nazisterne erobrede Prag.

Da nazisterne trådte ind i Østrig den 12. marts 1938, vendte han tilbage til Prag. I marts 1939 invaderede nazisterne Tjekkoslovakiet. Den 13. juli 1942 blev Pieck deporteret til Theresienstadt-lejren, etableret af nazisterne i det nordlige Bøhmen, hvor han døde to uger senere i en alder af 82 år.

1.2. Forskning og bevis

Jeg begyndte mit forskningsarbejde med at stille spørgsmålet: hvilke områder af figurer kan jeg finde? Jeg kunne lave en formel til at beregne arealet af forskellige trekanter og firkanter. Men hvad med fem-, seks- og generelt polygoner?

Under min forskning på forskellige steder så jeg løsninger på problemer, der involverede beregning af arealet af fem-, seks- og andre polygoner. Formlen, der gør det muligt at løse disse problemer, blev kaldt Picks formel. Hun ser sådan ud :S =B+G/2-1, Hvor I- antallet af noder, der ligger inde i polygonen, G- antallet af noder, der ligger på polygonens grænse. Det særlige ved denne formel er, at den kun kan bruges til polygoner tegnet på ternet papir.

Enhver sådan polygon kan let opdeles i trekanter med spidser ved gitterknudepunkter og uden noder hverken inde i eller på siderne. Det kan vises, at arealerne af alle disse trekanter er ens og lig med ½, og derfor er arealet af polygonen lig med halvdelen af ​​deres antal T.

For at finde dette tal, lad os med n angive antallet af sider af polygonen, ved I- antallet af noder inde i den, igennem G- antal knudepunkter på siderne, inklusive toppunkter. Den samlede sum af vinklerne for alle trekanter er 180°. T.

Lad os nu finde summen på en anden måde.

Summen af ​​vinklerne med toppunktet ved enhver indre knude er 2.180°, dvs. den samlede sum af vinkler er 360°. I; den samlede sum af vinkler for knudepunkter på siderne, men ikke ved hjørnerne er ( G-n)180°, og summen af ​​vinklerne ved polygonens toppunkter vil være lig med ( G-2)180°. Dermed, T= 2.180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Ved at åbne parenteserne og dividere med 360° får vi en formel for arealet S af en polygon, kendt som Picks formel.

2. Praktisk del

Jeg besluttede at teste denne formel på opgaver fra OGE-2017-kollektionen. Tog problemer med at beregne arealet af en trekant, firkant og femkant. Jeg besluttede at sammenligne svarene ved at løse på to måder: 1) komplementerede figurerne til et rektangel og subtraherede arealet af retvinklede trekanter fra arealet af det resulterende rektangel; 2) anvendte Pick-formlen.

S = 18-1,5-4,5 = 12 og S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 og S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 =49 og S = 43+14/2-1 = 49

Efter at have sammenlignet resultaterne konkluderer jeg, at begge formler giver det samme svar. At finde arealet af en figur ved hjælp af Picks formel viste sig at være hurtigere og lettere, fordi der var færre beregninger. Den nemme løsning og sparer tid på beregninger vil være nyttig for mig i fremtiden, når jeg tager OGE.

Dette fik mig til at tjekke muligheden for at anvende Pick-formlen på mere komplekse figurer.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Konklusion

Peak-formlen er nem at forstå og nem at bruge. For det første er det nok at kunne tælle, dividere med 2, addere og trække fra. For det andet kan du finde området af en kompleks figur uden at bruge meget tid. For det tredje virker denne formel for enhver polygon.

Ulempen er, at Pick Formula kun er anvendelig for figurer, der er tegnet på ternet papir, og hvis toppunkter ligger på noderne af det ternet papir.

Jeg er sikker på, at når man består de afsluttende eksamener, vil problemer med at beregne arealet af figurer ikke forårsage vanskeligheder. Jeg er trods alt allerede bekendt med Peak-formlen.

Bibliografi

Bunimovich E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. og andre Matematik. Aritmetik. Geometri. 5. klasse: pædagogisk. til almen uddannelse organisationer med adj. per elektron transportør - 3. udg. - M.: Uddannelse, 2014.- 223, s. : syg. - (Sfærer).

Bunimovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. og andre Matematik. Aritmetik. Geometri. 6. klasse: pædagogisk. til almen uddannelse organisationer-5. udg.-M.: Uddannelse, 2016.-240 s. : ill.- (Sfærer).

Vasiliev N.B. Omkring Pick-formlen. //Kvant.- 1974.-Nr.2. -s.39-43

Rassolov V.V. Problemer i planimetri. / 5. udg., rev. Og yderligere - M.: 2006.-640'erne.

I.V. Yashchenko. OGE. Matematik: standard eksamensmuligheder: O-39 36 muligheder - M.: National Education Publishing House, 2017. -240 s. - (OGE. FIPI-skole).

"Jeg vil løse OGE": matematik. Dmitry Gushchins træningssystem. OGE-2017: opgaver, svar, løsninger [Elektronisk ressource]. Adgangstilstand: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (adgangsdato 04/02/2017)

Der er en vidunderlig formel, som giver dig mulighed for at beregne område af polygonen på koordinatgitteret næsten uden fejl. Det er ikke engang en formel, det er ægte. teorem. Ved første øjekast kan det virke kompliceret. Men det er nok til at løse et par problemer, og du vil forstå, hvor cool denne funktion er. Så gå videre!

Lad os først introducere en ny definition:

En gitterknude er ethvert punkt, der ligger i skæringspunktet mellem de lodrette og vandrette linjer i det gitter.

Betegnelse:

På det første billede er knudepunkterne slet ikke markeret. Den anden viser 4 noder. Til sidst viser det tredje billede alle 16 noder.

Hvordan hænger dette sammen med opgave B5? Faktum er, at polygonens hjørner i sådanne problemer Altid ligge ved gitterknuderne. Som en konsekvens virker følgende sætning for dem:

Sætning. Overvej en polygon på et koordinatgitter, hvis toppunkter ligger i dette gitters noder. Så er arealet af polygonen:

hvor n er antallet af noder inde i en given polygon, k er antallet af noder, der ligger på dens grænse (grænsenoder).

Som et eksempel kan du overveje en almindelig trekant på et koordinatgitter og prøve at markere de interne og grænseknudepunkter.

Det første billede viser en almindelig trekant. Det andet billede viser dets interne knudepunkter, hvis antal er n = 10. Det tredje billede viser knudepunkterne, der ligger på grænsen, der er k = 6 i alt.

Det kan være uklart for mange læsere, hvordan man tæller tallene n og k. Start med de indre noder. Alt er indlysende her: mal trekanten med en blyant og se, hvor mange noder der er dækket.

Grænseknuder er lidt mere komplicerede. Polygon kant - lukket polylinje, som skærer koordinatgitteret på mange punkter. Den nemmeste måde er at markere et "startpunkt" og derefter gå uden om resten.

Grænseknuder vil kun være de punkter på polylinjen, hvor de skærer hinanden samtidigt tre linjer:

1. Faktisk er det en brudt linje;
2. Vandret gitter linje;
3. Lodret linje.

Lad os se, hvordan alt dette fungerer i virkelige problemer.

Opgave. Find arealet af trekanten, hvis cellestørrelsen er 1 x 1 cm:

Lad os først markere de noder, der ligger inde i trekanten, såvel som på dens grænse:

Det viser sig, at der kun er én intern knude: n = 1. Der er så mange som seks grænseknuder: tre falder sammen med trekantede hjørner, og tre mere ligger på siderne. Total k = 6.

Nu beregner vi arealet ved hjælp af formlen:

Det er alt! Problemet er løst.

Opgave. Find arealet af en firkant afbildet på ternet papir med en cellestørrelse på 1 cm gange 1 cm. Giv dit svar i kvadratcentimeter.

Marker igen de interne og grænseknudepunkter. Der er kun n = 2 interne knudepunkter K = 7 grænseknuder, hvoraf 4 er hjørner af en firkant, og 3 mere ligger på siderne.

Det er tilbage at erstatte tallene n og k i arealformlen:

Vær opmærksom på sidste eksempel. Denne opgave blev faktisk foreslået under diagnostisk arbejde i 2012. Hvis du arbejder efter standardordningen, skal du lave en masse ekstra konstruktioner. Og med knudemetoden løses alt næsten verbalt.

Vigtig bemærkning om områder

Men formlen er ikke alt. Lad os omskrive formlen lidt og tilføje termerne i højre side til en fællesnævner. Vi får:

Tallene n og k er antallet af noder, de er altid heltal. Det betyder, at hele tælleren også er et heltal. Vi dividerer det med 2, hvilket fører til en vigtig kendsgerning:

Areal er altid udtrykt heltal eller brøk. Desuden er der i slutningen af ​​brøken altid "fem tiendedele": 10,5; 17,5 osv.

Arealet i opgave B5 er således altid udtrykt som et heltal eller en brøkdel af formen ***,5. Hvis svaret er anderledes, betyder det, at der var en fejl et sted. Husk dette, når du tager den rigtige Unified State-eksamen i matematik!

1

Gibadullina G.I. (Nurlat, MAOU gymnasiet nr. 1)

1. Bunimovich E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. og andre Matematik. Aritmetik. Geometri. 5. klasse: pædagogisk. til almen uddannelse organisationer med adj. per elektron transportør - 3. udg. – M.: Uddannelse, 2014. – 223, s. : syg. – (Sfærer).

2. Bunimovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. og andre Matematik. Aritmetik. Geometri. 6. klasse: pædagogisk. til almen uddannelse organisationer. 5. udg. – M.: Uddannelse, 2016. – 240 s.: ill. – (Sfærer).

3. Vasiliev N.B. Omkring Pick-formlen // Quantum. – 1974. – Nr. 2. – s. 39–43.

4. Rassolov V.V. Problemer i planimetri. 5. udg., rev. og yderligere – M.: 2006. – 640 s.

5. Yashchenko I.V. OGE. Matematik: standard eksamensmuligheder: O-39 36 muligheder - M.: Forlaget "National Education", 2017. - 240 s. - (OGE. FIPI - skole).

6. Jeg vil løse OGE: matematik. Dmitry Gushchins træningssystem. OGE-2017: opgaver, svar, løsninger [Elektronisk ressource]. – Adgangstilstand: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (adgangsdato 04/02/2017).

Jeg er elev i 6. klasse. Jeg startede med at læse geometri sidste år, fordi jeg læser på skolen ved hjælp af lærebogen ”Matematik. Aritmetik. Geometry” redigeret af E.A. Bunimovich, L.V. Kuznetsova, S.S. Minaeva og andre.

De emner, der tiltrak sig mest opmærksomhed, var "Figurområder" og "Udvikling af formler". Jeg bemærkede, at områderne af de samme figurer kan findes på forskellige måder. I hverdagen står vi ofte med problemet med at finde plads. Find for eksempel det område af gulvet, der skal males. Det er underligt, for for at købe den nødvendige mængde tapet til renovering, skal du kende størrelsen på rummet, dvs. vægareal. At beregne arealet af en firkant, et rektangel og en retvinklet trekant forårsagede ingen vanskeligheder for mig.

Efter at være blevet interesseret i dette emne, begyndte jeg at lede efter yderligere materiale på internettet. Som et resultat af mine søgninger stødte jeg på Picks formel - dette er en formel til at beregne arealet af en polygon tegnet på ternet papir. Det forekom mig, at det er tilgængeligt for enhver elev at beregne arealet ved hjælp af denne formel. Derfor besluttede jeg mig for at lave research.

Emnets relevans. Dette emne er et supplement og en uddybning af studiet af geometrikurset.

At studere dette emne vil hjælpe dig med at forberede dig bedre til olympiader og eksamener.

Målet med arbejdet:

1. Gør dig bekendt med Pick-formlen.

2. Mestre teknikkerne til at løse geometriske problemer ved hjælp af Pick-formlen.

3. Systematisere og generalisere teoretiske og praktiske materialer.

Forskningsmål:

1. Tjek effektiviteten og gennemførligheden af ​​at bruge formlen, når du løser problemer.

2. Lær at anvende Pick-formlen i problemer af forskellig kompleksitet.

3. Sammenlign problemer løst ved hjælp af Pick-formlen og den traditionelle metode.

Hoveddel

Historisk reference

Georg Alexander Pieck - østrigsk matematiker, født 10. august. Han var et begavet barn, han blev undervist af sin far, som ledede et privat institut. Som 16-årig dimitterede Georg fra skolen og kom ind på universitetet i Wien. Som 20-årig fik han ret til at undervise i fysik og matematik. Hans formel til at bestemme arealet af et polygongitter bragte ham verdensomspændende berømmelse. Han offentliggjorde sin formel i en artikel i 1899. Det blev populært, da den polske videnskabsmand Hugo Steinhaus inkluderede det i en 1969-udgivelse af matematiske snapshots.

Georg Pieck blev uddannet ved universitetet i Wien og forsvarede sin ph.d. i 1880. Efter at have modtaget sin doktorgrad blev han udnævnt til assistent for Ernest Mach ved universitetet i Scherl-Ferdinand i Prag. Der blev han lærer. Han blev i Prag indtil sin pensionering i 1927 og vendte derefter tilbage til Wien.

Pick var formand for udvalget ved det tyske universitet i Prag, der udnævnte Einstein til professor i afdelingen for matematisk fysik i 1911.

Han blev valgt til medlem af Det Tjekkiske Akademi for Videnskaber og Kunst, men blev udvist, efter at nazisterne erobrede Prag.

Da nazisterne trådte ind i Østrig den 12. marts 1938, vendte han tilbage til Prag. I marts 1939 invaderede nazisterne Tjekkoslovakiet. Den 13. juli 1942 blev Pieck deporteret til Theresienstadt-lejren, etableret af nazisterne i det nordlige Bøhmen, hvor han døde to uger senere i en alder af 82 år.

Forskning og bevis

Jeg begyndte mit forskningsarbejde med at stille spørgsmålet: hvilke områder af figurer kan jeg finde? Jeg kunne lave en formel til at beregne arealet af forskellige trekanter og firkanter. Men hvad med fem-, seks- og generelt polygoner?

Under min forskning på forskellige steder så jeg løsninger på problemer, der involverede beregning af arealet af fem-, seks- og andre polygoner. Formlen, der gør det muligt at løse disse problemer, blev kaldt Picks formel. Det ser sådan ud: S=B+G/2-1, hvor B er antallet af noder, der ligger inde i polygonen, G er antallet af noder, der ligger på kanten af ​​polygonen. Det særlige ved denne formel er, at den kun kan bruges til polygoner tegnet på ternet papir.

Enhver sådan polygon kan let opdeles i trekanter med spidser ved gitterknudepunkter og uden noder hverken inde i eller på siderne. Det kan vises, at arealerne af alle disse trekanter er ens og lig med ½, og derfor er arealet af polygonen lig med halvdelen af ​​deres antal T.

For at finde dette tal, lad os med n angive antallet af sider af polygonen, med B antallet af noder inde i den, og med G antallet af noder på siderne, inklusive toppunkter. Den samlede sum af vinklerne for alle trekanter er 180°. T.

Lad os nu finde summen på en anden måde.

Summen af ​​vinklerne med toppunktet ved enhver indre knude er 2.180°, dvs. den samlede sum af vinkler er 360°. I; den samlede sum af vinkler ved knudepunkter på siderne, men ikke ved toppunkterne, er lig med (Г - n)180°, og summen af ​​vinkler ved hjørnerne af en polygon vil være lig med (Г - 2)180° . Således er T=2,180°. B+(G-n)180°+(n-2)180°. Ved at åbne parenteserne og dividere med 360° får vi en formel for arealet S af en polygon, kendt som Picks formel.

Praktisk del

Jeg besluttede at teste denne formel på opgaver fra OGE-2017-kollektionen. Tog problemer med at beregne arealet af en trekant, firkant og femkant. Jeg besluttede at sammenligne svarene ved at løse på to måder: 1) komplementerede figurerne til et rektangel og subtraherede arealet af retvinklede trekanter fra arealet af det resulterende rektangel; 2) anvendte Pick-formlen.

S = 18-1,5-4,5 = 12 og S = 7+12/2-1= 12.

S = 24-9-3 = 12 og S = 7+12/2-1 = 12.

S = 77-7,5-12-4,5-4 =49 og S = 43+14/2-1 = 49.

Efter at have sammenlignet resultaterne konkluderer jeg, at begge formler giver det samme svar. At finde arealet af en figur ved hjælp af Picks formel viste sig at være hurtigere og lettere, fordi der var færre beregninger. Den nemme løsning og sparer tid på beregninger vil være nyttig for mig i fremtiden, når jeg tager OGE.

Dette fik mig til at tjekke muligheden for at anvende Pick-formlen på mere komplekse figurer.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Konklusion

Peak-formlen er nem at forstå og nem at bruge. For det første er det nok at kunne tælle, dividere med 2, addere og trække fra. For det andet kan du finde området af en kompleks figur uden at bruge meget tid. For det tredje virker denne formel for enhver polygon.

Ulempen er, at Pick Formula kun er anvendelig for figurer, der er tegnet på ternet papir, og hvis toppunkter ligger på noderne af det ternet papir.

Jeg er sikker på, at når man består de afsluttende eksamener, vil problemer med at beregne arealet af figurer ikke forårsage vanskeligheder. Jeg er trods alt allerede bekendt med Peak-formlen.

Bibliografisk link

Gabbazov N.N. PEAK FORMEL // Start i naturvidenskab. – 2017. – nr. 6-1. – S. 130-132;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=908 (adgangsdato: 03/05/2020).

Wiktionary har en post for "gedde" Gedde I krigsførelse: En gedde er et koldt gennemborende våben, en type langt spyd. Pikemen er en type infanteri i europæiske hære i det 16. og det tidlige 18. århundrede. Pickelhelm (p... Wikipedia

Picks teorem (kombinatorisk geometri)- В=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Picks sætning er et klassisk resultat af kombinatorisk geometri og tals geometri. Arealet af en polygon med et heltal ... Wikipedia

Trekant- Dette udtryk har andre betydninger, se Trekant (betydninger). En trekant (i det euklidiske rum) er en geometrisk figur dannet af tre segmenter, der forbinder tre punkter, der ikke ligger på den samme rette linje. Tre prikker,... ... Wikipedia

Trapez- Dette udtryk har andre betydninger, se Trapezium (betydninger). Trapez (fra andet græsk τραπέζιον "tabel"; ... Wikipedia

Firkantet- QUADAGONS ┌─────────────┼────────────┐ interkonterende Wikipedia ikke-konvex

Diagonal- En regulær diagon på overfladen af ​​en kugle En diagon i geometri er ... Wikipedia

Pentagon- Regulær femkant (femkant) En femkant er en polygon med fem vinkler. Enhver genstand med denne form kaldes også en femkant. Mængde af interne ... Wikipedia

Sekskant- Regulær sekskant En sekskant er en polygon med seks hjørner. Ethvert objekt med denne form kaldes også en sekskant. Summen af ​​de indre vinkler af en konveks sekskant p ... Wikipedia

Dodecagon- Korrekt dodecagon Dodecagon (græsk... Wikipedia

Rektangel- Et rektangel er et parallelogram, hvis vinkler alle er rette vinkler (lig med 90 grader). Bemærk. I euklidisk geometri er det nok, for at en firkant er et rektangel, at mindst tre af dens vinkler er rette. Den fjerde vinkel (på grund af ... Wikipedia

Bøger

• Matematisk klub "Kænguru". Udgave nr. 8. Matematik på ternet papir,. Udgaven er dedikeret til forskellige opgaver og spil relateret til et ark ternet papir. Især diskuterer den i detaljer beregningen af ​​arealet af en polygon, hvis toppunkter er placeret i ...

Picks formel

Sazhina Valeria Andreevna, 9. klasses elev fra MAOU "Secondary School No. 11" i Ust-Ilimsk, Irkutsk-regionen

Tilsynsførende: Gubar Oksana Mikhailovna, højere matematiklærer kvalifikationskategori MAOU "Secondary School No. 11" Ust-Ilimsk, Irkutsk-regionen

2016

Introduktion

Mens jeg studerede geometriemnet "Areas of Polygons", besluttede jeg at finde ud af: er der en måde at finde områder på, der er anderledes end dem, vi studerede i klassen?

Denne metode er Pick-formlen. L.V. Gorina i "Materialer til selvuddannelse af studerende" beskrev denne formel som følger: "Kendskab til Peak-formlen er især vigtig på tærsklen til at bestå Unified State Exam og State Examination. Ved hjælp af denne formel kan du nemt løse en stor klasse af problemer, der tilbydes i eksamener - disse er problemer med at finde arealet af en polygon afbildet på ternet papir. Picks lille formel vil erstatte hele det sæt af formler, der er nødvendige for at løse sådanne problemer. Peak-formlen fungerer "en for alle..."!"

I Unified State Exam-materialerne stødte jeg på problemer med praktisk indhold om at finde arealet af jordlodder. Jeg besluttede at kontrollere, om denne formel er anvendelig til at finde området af skolens område, mikrodistrikter i byen, region. Og er det rationelt at bruge det til at løse problemer?

Undersøgelsesobjekt: Picks formel.

Genstand for forskning: rationel anvendelse af Pick-formlen til at løse problemer.

Formålet med arbejdet: at underbygge rationaliteten i at bruge Pick-formlen ved løsning af problemer med at finde området af figurer afbildet på ternet papir.

Forskningsmetoder: modellering, sammenligning, generalisering, analogier, undersøgelse af litterære og internetressourcer, analyse og klassificering af information.

Vælg den nødvendige litteratur, analyser og systematiser den modtagne information;

Overvej forskellige metoder og teknikker til at løse problemer på ternet papir;

Kontroller eksperimentelt rationaliteten i at bruge Pick-formlen;

Overvej anvendelsen af ​​denne formel.

Hypotese: Hvis du anvender Picks formel til at finde arealet af en polygon, kan du finde området af territoriet, og løsning af problemer på ternet papir vil være mere rationel.

Hoveddel

Teoretisk del

Ternet papir (mere præcist dets noder), som vi ofte foretrækker at tegne og tegne på, er et af de vigtigste eksempler på et prikgitter på et plan. Allerede dette enkle gitter tjente som udgangspunkt for K. Gauss til at sammenligne arealet af en cirkel med antallet af punkter med heltalskoordinater placeret inde i det. Det faktum, at nogle simple geometriske udsagn om figurer på flyet har dybe konsekvenser i aritmetisk forskning blev eksplicit bemærket af G. Minkowski i 1896, da han første gang brugte geometriske metoder til at overveje talteoretiske problemer.

Lad os tegne en polygon på ternet papir (bilag 1, figur 1). Lad os nu prøve at beregne dens areal. Hvordan gør man det? Den nemmeste måde er nok at opdele det i retvinklede trekanter og en trapez, hvis arealer er nemme at beregne og lægge resultaterne sammen.

Den anvendte metode er enkel, men meget besværlig, og desuden er den ikke egnet til alle polygoner. Så den næste polygon kan ikke opdeles i retvinklede trekanter, som vi gjorde det i det foregående tilfælde (bilag 2, figur 2). Vi kan for eksempel forsøge at supplere den til den "gode" vi har brug for, det vil sige til en hvis areal vi kan beregne på den beskrevne måde, og derefter trække arealerne af de tilføjede dele fra det resulterende tal.

Det viser sig dog, at der er en meget simpel formel, der giver dig mulighed for at beregne arealer af sådanne polygoner med hjørner ved knudepunkterne i et firkantet gitter.

Denne formel blev opdaget af den østrigske matematiker Peak Georg Alexandrov (1859 - 1943) i 1899. Ud over denne formel opdagede Georg Pick Pick, Pick-Julia, Pick-Nevalina-sætningerne og beviste Schwartz-Pick-uligheden.

Denne formel forblev ubemærket i nogen tid efter at Pick udgav den, men i 1949 inkluderede den polske matematiker Hugo Steinhaus teoremet i sit berømte "Matematisk Kalejdoskop". Siden dengang er Picks sætning blevet almindeligt kendt. I Tyskland er Picks formel inkluderet i skolebøgerne.

Det er et klassisk resultat af kombinatorisk geometri og tallenes geometri.

Bevis for Picks formel

Lad ABCD være et rektangel med spidser ved knuderne og siderne, der løber langs gitterlinjerne (bilag 3, figur 3).

Lad os angive med B antallet af noder, der ligger inde i rektanglet, og med G antallet af noder på dets grænse. Lad os flytte gitteret en halv celle til højre og en halv celle

ned. Derefter kan rektanglets territorium "fordeles" mellem knudepunkterne som følger: hver af B-knuderne "kontrollerer" en hel celle i det forskudte gitter, og hver af G-knuderne kontrollerer 4 grænseknuder uden hjørne - en halv celle , og hvert af hjørnepunkterne styrer en fjerdedel af en celle. Derfor er arealet af rektanglet S lig med

S = B+ + 4 · = B+ - 1 .

Så for rektangler med spidser ved knuderne og siderne langs gitterlinjerne etablerede vi formlen S = B + - 1 . Dette er Peak-formlen.

Det viser sig, at denne formel ikke kun gælder for rektangler, men også for vilkårlige polygoner med hjørner ved gitterknudepunkter.

Praktisk del

Find arealet af figurer ved hjælp af den geometriske metode og ved hjælp af Pick-formlen

Jeg besluttede at sikre mig, at Picks formel var korrekt for alle de overvejede eksempler.

Det viser sig, at hvis en polygon kan skæres i trekanter med spidser ved gitterknuderne, så er Picks formel sand for det.

Jeg kiggede på nogle problemer på ternet papir med 1 cm1 cm firkanter og gennemførte sammenlignende analyse om problemløsning (tabel nr. 1).

Tabel nr. 1 Løsning af problemer på forskellige måder.

Tegning

Ifølge geometriformlen

Ifølge Picks formel

Opgave nr. 1

S=S etc -(2S 1 +2S 2 )

S etc =4*5=20 cm 2

S 1 =(2*1)/2=1 cm 2

S 2 =(2*4)/2=4 cm 2

S=20-(2*1+2*4)=10 cm 2

Svar :10 cm ².

B = 8, D = 6

S= 8 + 6/2 – 1 = 10 (cm²)

Svar: 10 cm².

Opgave nr. 2

a=2, h=4

S=a*h=2*4=8 cm 2

Svar : 8 cm ².

B = 6, D = 6

S= 6 + 6/2 – 1 = 8 (cm²)

Svar: 8 cm².

Opgave nr. 3

S=S kv -(S 1 +2S 2 )

S kv =4 2 =16 cm 2

S 1 =(3*3)/2=4,5 cm 2

S 2 =(1*4)/2=2cm 2

S=16-(4,5+2*2)=7,5 cm 2

B = 6, D = 5

S= 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (cm²)

Svar: 7,5 cm².

Opgave nr. 4

S=S etc -(S 1 +S 2+ S 3 )

S etc =4 * 3=12 cm 2

S 1 =(3*1)/2=1,5 cm 2

S 2 =(1*2)/2=1 cm 2

S 3 =(1+3)*1/2=2 cm 2

S=12-(1,5+1+2)=7,5 cm 2

B = 5, D = 7

S= 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (cm²)

Svar: 7,5 cm².

Opgave nr. 5.

S=S etc -(S 1 +S 2+ S 3 )

S etc =6 * 5=30 cm 2

S 1 =(2*5)/2=5 cm 2

S 2 =(1*6)/2=3 cm 2

S 3 =(4*4)/2=8 cm 2

S=30-(5+3+8)=14 cm 2

Svar: 14 cm²

B = 12, D = 6

S= 12 + 6/2 – 1 = 14 (cm²)

Svar: 14 cm²

Opgave №6.

S st =(4+9)/2*3=19,5 cm 2

Svar: 19,5 cm 2

H = 12, D = 17

S= 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (cm²)

Svar: 19,5 cm 2

Opgave №7. Find arealet af skov (i m²) vist på en plan med et kvadratisk gitter på 1 × 1 (cm) på en skala fra 1 cm - 200 m

S= S 1 +S 2+ S 3

S 1 =(800*200)/2=80000 m 2

S 2 =(200*600)/2=60000 m 2

S 3 =(800+600)/2*400=

280000 m 2

S= 80000+60000+240000=

420000m 2

Svar: 420.000 m²

B = 8, D = 7. S= 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S= 40.000 10,5 = 420.000 (m²)

Svar: 420.000 m²

Opgave nr. 8 . Find arealet af feltet (i m²) vist på en plan med et kvadratisk gitter på 1 × 1 (cm) i skala

1 cm – 200 m.

S= S kv -2( S tr + S stige)

S sq =800 * 800 = 640000 m 2

S tr =(200*600)/2=60000m 2

S stige =(200+800)/2*200=

100000m 2

S=640000-2(60000+10000)=

320000 m2

Svar: 320.000 m²

Løsning. Lad os finde Sområde af en firkant tegnet på ternet papir ved hjælp af Picks formel:S= B + - 1

B = 7, D = 4. S= 7 + 4/2 – 1 = 8 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S= 40.000 8 = 320.000 (m²)

Svar: 320.000 m²

Opgave nr. 9 . Find områdetS sektor, i betragtning af siderne af kvadratiske celler lig med 1. Angiv i dit svar .

En sektor er en fjerdedel af en cirkel, og derfor er dens areal en fjerdedel af cirklens areal. Arealet af en cirkel er πR 2 , Hvor R – radius af cirklen. I vores tilfældeR =√5 og dermed områdetS sektor er 5π/4. HvorS/π=1,25.

Svar. 1,25.

Г= 5, В= 2, S= V + G/2 – 1= 2 + 5/2 – 1= 3,5, ≈ 1,11

Svar. 1.11.

Opgave nr. 10. Find området S ringe, i betragtning af siderne af firkantede celler lig med 1. Angiv i dit svar .

Ringens areal er lig med forskellen mellem områderne af de ydre og indre cirkler. RadiusR ydre cirkel er ens

2, radius r den indre cirkel er 2. Derfor er ringens areal 4og derfor. Svar: 4.

G= 8, B= 8, S= V + G/2 – 1= 8 + 8/2 – 1=11, ≈ 3,5

Svar: 3.5

Konklusioner: De overvejede opgaver svarer til opgaven fra varianterne af test- og målematerialerne fra Unified State Exam i matematik (opgave nr. 5, 6).

Ud fra de overvejede løsninger på problemerne så jeg, at nogle af dem, for eksempel opgave nr. 2.6, er nemmere at løse ved hjælp af geometriske formler, da højden og grundfladen kan bestemmes ud fra tegningen. Men de fleste opgaver kræver at dele figuren op i mere simple (opgave nr. 7) eller bygge den op til et rektangel (opgave nr. 1,4,5), firkantet (opgave nr. 3,8).

Fra at løse opgave nr. 9 og nr. 10 så jeg, at anvendelse af Pick-formlen på figurer, der ikke er polygoner, giver et omtrentligt resultat.

For at kontrollere rationaliteten i at bruge Peak-formlen, gennemførte jeg en undersøgelse af tidsforbruget (bilag 4, tabel nr. 2).

Konklusion: fra tabellen og diagrammet (bilag 4, diagram 1) er det klart, at når man løser problemer ved hjælp af Peak-formlen, bruges der meget mindre tid.

Finde overfladearealet af rumlige former

Lad os tjekke anvendeligheden af ​​denne formel til rumlige former (bilag 5, figur 4).

Find det samlede overfladeareal af det rektangulære parallelepipedum, idet du betragter siderne af de kvadratiske celler som 1.

Dette er en fejl i formlen.

Anvendelse af Peaks formel til at finde arealet af et territorium

Ved at løse problemer med praktisk indhold (problemer nr. 7,8; ​​tabel nr. 1), besluttede jeg at bruge denne metode til at finde området for vores skoles område, mikrodistrikter i byen Ust-Ilimsk, Irkutsk område.

Efter at have gjort mig bekendt med "Udkastet til grænserne for grunden MAOUSOSH nr. 11 i Ust-Ilimsk" (bilag 6), fandt jeg området på vores skoles territorium og sammenlignede det med området iht. grundens projektgrænser (bilag 9, tabel 3).

Efter at have undersøgt kortet over den højre bred del af Ust-Ilimsk (bilag 7), beregnede jeg arealerne af mikrodistrikter og sammenlignede dem med data fra "General Plan of Ust-Ilimsk, Irkutsk Region". Resultaterne blev præsenteret i tabellen (bilag 9, tabel 4).

Efter at have undersøgt kortet over Irkutsk-regionen (bilag 7), fandt jeg området af territoriet og sammenlignede det med data fra Wikipedia. Resultaterne blev præsenteret i tabellen (bilag 9, tabel 5).

Efter at have analyseret resultaterne kom jeg til den konklusion: ved at bruge Peak-formlen kan disse områder findes meget lettere, men resultaterne er omtrentlige.

Ud fra den udførte forskning opnåede jeg den mest nøjagtige værdi, når jeg fandt området af skolens territorium (bilag 10, diagram 2). En større uoverensstemmelse i resultaterne blev opnået, når man fandt området i Irkutsk-regionen (bilag 10, diagram 3). Dette hænger sammen med det. At ikke alle områdegrænser er sider af polygoner, og toppunkter ikke er knudepunkter.

Konklusion

Som et resultat af mit arbejde udvidede jeg min viden om at løse problemer på ternet papir og bestemte selv klassificeringen af ​​de undersøgte problemer.

Under arbejdet blev der løst problemer med at finde området af polygoner afbildet på ternet papir på to måder: geometrisk og ved hjælp af Pick-formlen.

Analyse af løsninger og et eksperiment for at bestemme tidsforbruget viste, at brugen af ​​formlen gør det muligt at løse problemer med at finde arealet af en polygon mere rationelt. Dette giver dig mulighed for at spare tid på Unified State Examination i matematik.

At finde arealet af forskellige figurer afbildet på ternet papir gjorde det muligt for os at konkludere, at det er uhensigtsmæssigt at bruge Pick-formlen til at beregne arealet af en cirkulær sektor og ring, da det giver et omtrentligt resultat, og at Pick-formlen ikke er bruges til at løse problemer i rummet.

Arbejdet fandt også områderne i forskellige territorier ved hjælp af Peak-formlen. Vi kan konkludere: Det er muligt at bruge formlen til at finde arealet af forskellige territorier, men resultaterne er omtrentlige.

Den hypotese, jeg fremsatte, blev bekræftet.

Jeg kom til den konklusion, at det emne, der interesserede mig, var ret mangefacetteret, problemerne på ternet papir var varierede, og metoderne og teknikkerne til at løse dem var også varierede. Derfor besluttede jeg at fortsætte arbejdet i denne retning.

Litteratur

Volkov S.D.. Projekt af landgrænser, 2008, s. 16.

Gorina L.V., Matematik. Alt til læreren, M:Nauka, 2013. Nr. 3, s. 28.

Prokopyeva V.P., Petrov A.G., Overordnet plan for byen Ust-Ilimsk, Irkutsk-regionen, Gosstroy of Russia, 2004. s. 65.

Riess E. A., Zharkovskaya N. M., geometri af ternet papir. Peaks formel. - Moskva, 2009, nr. 17, s. 24-25.

Smirnova I. M. ,. Smirnov V. A. Geometri på ternet papir. – Moskva, Chistye Prudy, 2009, s. 120.

Smirnova I. M., Smirnov V. A., Geometriske problemer med praktisk indhold. – Moskva, Chistye Prudy, 2010, s. 150

Problemer med den åbne bank af opgaver i matematik FIPI, 2015.

Kort over byen Ust-Ilimsk.

Kort over Irkutsk-regionen.

Wikipedia.