Les propriétés d'un triangle isocèle sont exprimées par les théorèmes suivants.
Théorème 1. Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux.
Théorème 2. Dans un triangle isocèle, la bissectrice tirée vers la base est la médiane et l'altitude.
Théorème 3. Dans un triangle isocèle, la médiane tracée à la base est la bissectrice et l'altitude.
Théorème 4. Dans un triangle isocèle, la hauteur portée à la base est la bissectrice et la médiane.
Démontrons-en un, par exemple le théorème 2.5.
Preuve. Considérons un triangle isocèle ABC de base BC et montrons que ∠ B = ∠ C. Soit AD la bissectrice du triangle ABC (Fig. 1). Les triangles ABD et ACD sont égaux selon le premier signe d'égalité des triangles (AB = AC par condition, AD est un côté commun, ∠ 1 = ∠ 2, puisque AD est une bissectrice). De l'égalité de ces triangles il résulte que ∠ B = ∠ C. Le théorème est prouvé.
En utilisant le théorème 1, le théorème suivant est établi.
Théorème 5. Le troisième critère pour l'égalité des triangles. Si trois côtés d'un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus (Fig. 2).
Commentaire. Les phrases établies dans les exemples 1 et 2 expriment les propriétés de la médiatrice d'un segment. De ces propositions il résulte que les bissectrices perpendiculaires aux côtés d'un triangle se coupent en un point.
Exemple 1. Montrer qu'un point dans le plan équidistant des extrémités d'un segment se trouve sur la médiatrice perpendiculaire à ce segment.
Solution. Soit le point M à égale distance des extrémités du segment AB (Fig. 3), c'est-à-dire AM = BM.
Alors Δ AMV est isocèle. Traçons une droite p passant par le point M et le milieu O du segment AB. Par construction, le segment MO est la médiane du triangle isocèle AMB, et donc (Théorème 3), et la hauteur, c'est-à-dire la droite MO, est la médiatrice du segment AB.
Exemple 2. Montrer que chaque point de la médiatrice d’un segment est équidistant de ses extrémités.
Solution. Soit p la médiatrice du segment AB et le point O le milieu du segment AB (voir Fig. 3).
Considérons un point arbitraire M situé sur la droite p. Dessinons les segments AM et BM. Les triangles AOM et BOM sont égaux, puisque leurs angles au sommet O sont droits, la jambe OM est commune et la jambe OA est égale à la jambe OB par condition. De l'égalité des triangles AOM et BOM il résulte que AM = BM.
Exemple 3. Dans le triangle ABC (voir Fig. 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm ; dans le triangle DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Comparez les triangles ABC et DEF. Trouvez les angles égaux correspondants.
Solution. Ces triangles sont égaux selon le troisième critère. De manière correspondante, des angles égaux : A et E (se trouvent en face des côtés égaux BC et FD), B et F (se trouvent en face des côtés égaux AC et DE), C et D (se trouvent en face des côtés égaux AB et EF).
Exemple 4. Sur la figure 5, AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Trouvez l'angle D.
Solution. Considérons les triangles ABC et ADC. Ils sont égaux selon le troisième critère (AB = DC, BC = AD par condition et le côté AC est commun). De l’égalité de ces triangles il résulte que ∠ B = ∠ D, mais l’angle B est égal à 100°, ce qui signifie que l’angle D est égal à 100°.
Exemple 5. Dans un triangle isocèle ABC de base AC, l'angle extérieur au sommet C est de 123°. Trouvez la taille de l'angle ABC. Donnez votre réponse en degrés.
Solution vidéo.
Les premiers historiens de notre civilisation – les Grecs de l’Antiquité – mentionnent l’Égypte comme le berceau de la géométrie. Il est difficile d’être en désaccord avec eux, sachant avec quelle étonnante précision les tombeaux géants des pharaons ont été érigés. La position relative des plans des pyramides, leurs proportions, leur orientation par rapport aux points cardinaux - il serait impensable d'atteindre une telle perfection sans connaître les bases de la géométrie.
Le mot « géométrie » lui-même peut être traduit par « mesure de la terre ». De plus, le mot « terre » n’apparaît pas comme une planète – une partie système solaire, mais comme un avion. Marquage des zones pour l'entretien Agriculture, très probablement, constitue la base très originale de la science des figures géométriques, de leurs types et de leurs propriétés.
Un triangle est la figure spatiale la plus simple de la planimétrie, ne contenant que trois points - sommets (il n'y en a pas moins). La base des fondations, c'est peut-être pour cela que quelque chose de mystérieux et d'ancien semble être en lui. L’œil qui voit tout à l’intérieur d’un triangle est l’un des premiers signes occultes connus, et la géographie de sa distribution et son calendrier sont tout simplement étonnants. Des anciennes civilisations égyptiennes, sumériennes, aztèques et autres jusqu'aux communautés plus modernes d'amoureux de l'occulte dispersées à travers le monde.
Que sont les triangles ?
Un triangle scalène ordinaire est une figure géométrique fermée composée de trois segments de longueurs différentes et de trois angles dont aucun n'est droit. En plus de cela, il existe plusieurs types spéciaux.
Un triangle aigu a tous ses angles inférieurs à 90 degrés. Autrement dit, tous les angles d’un tel triangle sont aigus.
Un triangle rectangle, sur lequel les écoliers ont toujours pleuré à cause de l'abondance de théorèmes, a un angle de 90 degrés ou, comme on l'appelle aussi, une ligne droite.
Un triangle obtus se distingue par le fait que l'un de ses angles est obtus, c'est-à-dire que sa taille est supérieure à 90 degrés.
Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur. Dans une telle figure, tous les angles sont également égaux.
Et enfin, un triangle isocèle a trois côtés, dont deux égaux.
Caractéristiques distinctives
Les propriétés d'un triangle isocèle déterminent également sa principale différence - l'égalité de ses deux côtés. Ces côtés égaux sont généralement appelés hanches (ou, plus souvent, côtés), et le troisième côté est appelé « base ».
Dans la figure considérée, a = b.
Le deuxième critère pour un triangle isocèle découle du théorème des sinus. Puisque les côtés a et b sont égaux, les sinus de leurs angles opposés sont égaux :
a/sin γ = b/sin α, d'où on a : sin γ = sin α.
De l’égalité des sinus découle l’égalité des angles : γ = α.
Ainsi, le deuxième signe d'un triangle isocèle est l'égalité de deux angles adjacents à la base.
Troisième signe. Dans un triangle, il y a des éléments tels que l'altitude, la bissectrice et la médiane.
Si, en train de résoudre le problème, il s'avère que dans le triangle en question deux de ces éléments coïncident : la hauteur avec la bissectrice ; bissectrice avec médiane ; médiane avec la hauteur - nous pouvons certainement conclure que le triangle est isocèle.
Propriétés géométriques d'une figure
1. Propriétés d'un triangle isocèle. L'une des qualités distinctives de la figure est l'égalité des angles adjacents à la base :
<ВАС = <ВСА.
2. Une autre propriété a été discutée ci-dessus : la médiane, la bissectrice et l'altitude dans un triangle isocèle coïncident si elles sont construites de son sommet à sa base.
3. Égalité des bissectrices tirées des sommets à la base :
Si AE est la bissectrice de l’angle BAC et CD la bissectrice de l’angle BCA, alors : AE = DC.
4. Les propriétés d'un triangle isocèle prévoient également l'égalité des hauteurs tirées des sommets à la base.
Si nous construisons les altitudes du triangle ABC (où AB = BC) à partir des sommets A et C, alors les segments résultants CD et AE seront égaux.
5. Les médianes tirées des coins à la base seront également égales.
Ainsi, si AE et DC sont des médianes, c’est-à-dire AD = DB et BE = EC, alors AE = DC.
Hauteur d'un triangle isocèle
L'égalité des côtés et des angles avec eux introduit certaines particularités dans le calcul des longueurs des éléments de la figure considérée.
L'altitude dans un triangle isocèle divise la figure en 2 triangles rectangles symétriques dont les hypoténuses sont sur les côtés. La hauteur dans ce cas est déterminée selon le théorème de Pythagore comme une jambe.
Un triangle peut avoir ses trois côtés égaux, on l’appellera alors équilatéral. La hauteur dans un triangle équilatéral est déterminée de la même manière, uniquement pour les calculs, il suffit de connaître une seule valeur - la longueur du côté de ce triangle.
Vous pouvez déterminer la hauteur d'une autre manière, par exemple en connaissant la base et l'angle qui lui est adjacent.
Médiane d'un triangle isocèle
Le type de triangle considéré, en raison de ses caractéristiques géométriques, peut être résolu très simplement en utilisant un ensemble minimal de données initiales. La médiane d'un triangle isocèle étant égale à la fois à sa hauteur et à sa bissectrice, l'algorithme pour la déterminer n'est pas différent de la procédure de calcul de ces éléments.
Par exemple, vous pouvez déterminer la longueur de la médiane par le côté latéral connu et l'ampleur de l'angle au sommet.
Comment déterminer le périmètre
Puisque les deux côtés de la figure planimétrique considérée sont toujours égaux, pour déterminer le périmètre, il suffit de connaître la longueur de la base et la longueur de l'un des côtés.
Prenons un exemple où vous devez déterminer le périmètre d'un triangle en utilisant une base et une hauteur connues.
Le périmètre est égal à la somme de la base et à deux fois la longueur du côté. Le côté latéral, quant à lui, est défini à l’aide du théorème de Pythagore comme hypoténuse d’un triangle rectangle. Sa longueur est égale à la racine carrée de la somme du carré de la hauteur et du carré de la moitié de la base.
Aire d'un triangle isocèle
En règle générale, le calcul de l'aire d'un triangle isocèle ne pose pas de difficultés. La règle universelle pour déterminer l'aire d'un triangle comme la moitié du produit de la base et de sa hauteur est bien entendu applicable dans notre cas. Cependant, les propriétés d’un triangle isocèle facilitent encore la tâche.
Supposons que la hauteur et l'angle adjacents à la base soient connus. Il est nécessaire de déterminer l'aire de la figure. Cela peut être fait de cette façon.
Puisque la somme des angles d’un triangle est de 180°, il n’est pas difficile de déterminer la taille de l’angle. Ensuite, à l'aide de la proportion établie selon le théorème des sinus, la longueur de la base du triangle est déterminée. Tout, base et hauteur - des données suffisantes pour déterminer la zone - sont disponibles.
Autres propriétés d'un triangle isocèle
La position du centre d'un cercle circonscrit autour d'un triangle isocèle dépend de la grandeur de l'angle au sommet. Ainsi, si un triangle isocèle est aigu, le centre du cercle est situé à l'intérieur de la figure.
Le centre d’un cercle circonscrit autour d’un triangle isocèle obtus se trouve à l’extérieur de celui-ci. Et enfin, si l'angle au sommet est de 90°, le centre se situe exactement au milieu de la base, et le diamètre du cercle passe par la base elle-même.
Pour déterminer le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle isocèle, il suffit de diviser la longueur du côté par deux fois le cosinus de la moitié de l'angle au sommet.
Parmi tous les triangles, il existe deux types particuliers : les triangles rectangles et les triangles isocèles. Pourquoi ces types de triangles sont-ils si spéciaux ? Eh bien, premièrement, de tels triangles s'avèrent extrêmement souvent être les personnages principaux des problèmes de l'examen d'État unifié dans la première partie. Et deuxièmement, les problèmes concernant les triangles rectangles et isocèles sont beaucoup plus faciles à résoudre que les autres problèmes de géométrie. Il vous suffit de connaître quelques règles et propriétés. Toutes les choses les plus intéressantes sont abordées dans la rubrique correspondante, mais regardons maintenant les triangles isocèles. Et tout d’abord, qu’est-ce qu’un triangle isocèle ? Ou, comme disent les mathématiciens, quelle est la définition d’un triangle isocèle ?
Voyez à quoi cela ressemble :
Comme un triangle rectangle, un triangle isocèle porte des noms spéciaux pour ses côtés. Deux côtés égaux sont appelés côtés, et le tiers - base.
Et encore une fois, faites attention à l'image :
Cela pourrait bien sûr être comme ceci :
Donc sois prudent: côté latéral - l'un des deux côtés égaux dans un triangle isocèle, et la base est un tiers.
Pourquoi un triangle isocèle est-il si bon ? Pour comprendre cela, traçons la hauteur jusqu'à la base. Vous souvenez-vous de la hauteur ?
Ce qui s'est passé? D'un triangle isocèle, nous obtenons deux triangles rectangulaires.
C'est déjà bien, mais cela se produira dans n'importe quel triangle, même le plus « oblique ».
En quoi la situation est-elle différente pour un triangle isocèle ? Regarde encore:
Eh bien, premièrement, bien sûr, il ne suffit pas à ces étranges mathématiciens de simplement voir : ils doivent certainement prouver. Sinon, du coup ces triangles sont légèrement différents, mais nous les considérerons comme identiques.
Mais ne vous inquiétez pas : dans ce cas, prouver est presque aussi simple que voir.
On commence ? Regardez bien, nous avons :
Et cela veut dire! Pourquoi? Oui, on trouvera simplement et, et à partir du théorème de Pythagore (en se rappelant en même temps que)
Es-tu sûr? Eh bien, maintenant nous avons
Et sur trois côtés - le signe le plus simple (troisième) de l'égalité des triangles.
Eh bien, notre triangle isocèle s’est divisé en deux triangles rectangulaires identiques.
Vous voyez à quel point c'est intéressant ? Il s'est avéré que :
Comment les mathématiciens parlent-ils habituellement de cela ? Allons-y dans l'ordre :
(Rappelez-vous ici que la médiane est une ligne tracée à partir d'un sommet qui divise le côté en deux et que la bissectrice est l'angle.)
Eh bien, nous avons discuté ici des bonnes choses que l’on peut voir si on lui donne un triangle isocèle. Nous en avons déduit que dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux et que la hauteur, la bissectrice et la médiane tracées à la base coïncident.
Et maintenant une autre question se pose : comment reconnaître un triangle isocèle ? Autrement dit, comme disent les mathématiciens, que sont signes d'un triangle isocèle ?
Et il s'avère qu'il vous suffit de « retourner » toutes les déclarations dans l'autre sens. Bien sûr, cela n’arrive pas toujours, mais un triangle isocèle reste une bonne chose ! Que se passe-t-il après le « turnover » ?
Eh bien, regarde :
Si la hauteur et la médiane coïncident, alors :
Si la hauteur et la bissectrice coïncident, alors : 
Si la bissectrice et la médiane coïncident, alors :
Eh bien, n’oubliez pas et utilisez :
- Si on vous donne un triangle triangulaire isocèle, n'hésitez pas à dessiner la hauteur, à obtenir deux triangles rectangles et à résoudre le problème d'un triangle rectangle.
- Si on lui donne ça deux angles sont égaux, puis un triangle exactement isocèle et vous pouvez dessiner la hauteur et….(La maison que Jack a construite…).
- S'il s'avère que la hauteur est divisée en deux, alors le triangle est isocèle avec tous les bonus qui en découlent.
- S'il s'avère que la hauteur divise l'angle entre les étages, elle est également isocèle !
- Si une bissectrice divise un côté en deux ou si une médiane divise un angle, cela se produit également seulement dans un triangle isocèle
Voyons à quoi cela ressemble dans les tâches.
Problème 1(le plus simple)
Dans un triangle, les côtés et sont égaux, a. Trouver.
Nous décidons:
D'abord le dessin.
Quelle est la base ici ? Certainement, .
Rappelons-nous et si, alors et.
Dessin mis à jour :
Notons par. Quelle est la somme des angles d’un triangle ? ?
Nous utilisons:
C'est répondre: .
Pas difficile, non ? Je n'ai même pas eu besoin de régler la hauteur.
Problème 2(Pas très compliqué non plus, mais nous devons répéter le sujet)
Dans un triangle, . Trouver.
Nous décidons:
Le triangle est isocèle ! On dessine la hauteur (c'est l'astuce avec laquelle tout va se décider maintenant).
Maintenant, « rayons de la vie », regardons-la simplement.
Donc nous avons:
Rappelons-nous les valeurs du tableau des cosinus (enfin, ou regardez l'aide-mémoire...)
Il ne reste plus qu'à trouver : .
Répondre: .
Notez que nous ici Très connaissances requises concernant les triangles rectangles et les sinus et cosinus « tabulaires ». Cela arrive très souvent : les thèmes « Triangle isocèle » et dans les problèmes vont de pair, mais ne sont pas très amicaux avec d'autres thèmes.
Triangle isocèle. Niveau moyen.
Ces deux côtés égaux sont appelés côtés, UN le troisième côté est la base d'un triangle isocèle.
Regardez la photo : et - les côtés, - la base du triangle isocèle.
Utilisons une image pour comprendre pourquoi cela se produit. Traçons une hauteur à partir d'un point.
Cela signifie que tous les éléments correspondants sont égaux.
Tous! D'un seul coup (hauteur), ils ont prouvé toutes les affirmations à la fois.
Et rappelez-vous : pour résoudre un problème concernant un triangle isocèle, il est souvent très utile de baisser la hauteur jusqu'à la base du triangle isocèle et de le diviser en deux triangles rectangles égaux.
Signes d'un triangle isocèle
Les affirmations inverses sont également vraies :
Presque toutes ces affirmations peuvent à nouveau être prouvées « d’un seul coup ».
1. Donc, laissez-le s'est avéré égal et.
Vérifions la hauteur. Alors
2. a) Maintenant, laissez entrer un triangle la hauteur et la bissectrice coïncident.
2. b) Et si la hauteur et la médiane coïncident? Tout est presque pareil, pas plus compliqué !
 |
- des deux côtés |
2. c) Mais s'il n'y a pas de hauteur, qui est abaissé à la base d'un triangle isocèle, alors il n'y a pas de triangles initialement rectangles. Mal!
Mais il existe un moyen de s'en sortir - lisez-le au niveau suivant de la théorie, car la preuve ici est plus compliquée, mais pour l'instant rappelez-vous simplement que si la médiane et la bissectrice coïncident, alors le triangle se révélera également isocèle, et la hauteur coïncidera toujours avec ces bissectrices et médianes.
Résumons :
- Si le triangle est isocèle, alors les angles à la base sont égaux et la hauteur, la bissectrice et la médiane tracées à la base coïncident.
- Si dans un triangle il y a deux angles égaux, ou si deux des trois lignes (bissectrice, médiane, altitude) coïncident, alors un tel triangle est isocèle.
Triangle isocèle. Brève description et formules de base
Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés égaux.
Signes d'un triangle isocèle :
- Si dans un certain triangle deux angles sont égaux, alors il est isocèle.
- Si dans un triangle ils coïncident :
UN) hauteur et bissectrice ou
b) hauteur et médiane ou
V) médiane et bissectrice,
dessiné d’un côté, alors un tel triangle est isocèle.
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