ઉદાહરણો. તાર્કિક ઉમેરણ (વિસંવાદ)

બિન-કડક અને કડક વિસંવાદ

કોપ્યુલા "અથવા" નો ઉપયોગ કુદરતી ભાષામાં બે અર્થમાં થાય છે - સંયોજક-વિષયક અને વિશિષ્ટ-વિષયક, તો બે પ્રકારના વિસંબંધિત ચુકાદાઓને અલગ પાડવા જોઈએ: 1) બિન-કડક (નબળા) વિસંવાદ અને 2) કડક (મજબૂત) વિસંવાદ. .

છૂટક વિસંવાદ– એક ચુકાદો કે જેમાં કોપ્યુલા "અથવા" નો ઉપયોગ કનેક્ટિંગ-અસંયુક્ત અર્થમાં થાય છે (પ્રતીક ?). ઉદાહરણ તરીકે: "મેલી શસ્ત્રો વેધન અથવા કાપી શકે છે" - પ્રતીકાત્મક રીતે આર ? q આ કિસ્સામાં કનેક્ટિવ "અથવા" અલગ પડે છે, કારણ કે આવા પ્રકારનાં શસ્ત્રો અલગથી અસ્તિત્વમાં છે, અને જોડાય છે, કારણ કે એવા શસ્ત્રો છે જે એક સાથે વીંધે છે અને કાપે છે.

છૂટક વિસંવાદ સાચો હશે જો વિસંવાદનો ઓછામાં ઓછો એક સભ્ય સાચો હોય અને ખોટો હોય તો તેના બંને સભ્યો ખોટા હોય.

કડક વિસંવાદ– એક ચુકાદો જેમાં કોપ્યુલા "અથવા" નો ઉપયોગ અસંતુલિત અર્થમાં થાય છે (પ્રતીક– ડબલ ડિસજેક્શન). ઉદાહરણ તરીકે: "એક કૃત્ય ઇરાદાપૂર્વક અથવા બેદરકાર હોઈ શકે છે," પ્રતીકાત્મક રીતે .

વૈકલ્પિક તરીકે ઓળખાતા કડક વિસંવાદની શરતો, બંને સાચા હોઈ શકતા નથી. જો કોઈ કૃત્ય ઈરાદાપૂર્વક કરવામાં આવ્યું હોય, તો તેને બેદરકારી ગણી શકાય નહીં, અને તેનાથી વિપરીત, બેદરકારી દ્વારા કરવામાં આવેલ કૃત્યને ઈરાદાપૂર્વક ગણી શકાય નહીં.

જો એક શબ્દ સાચો હોય અને બીજો ખોટો હોય તો કડક વિસંવાદ સાચો હશે; જો બંને શબ્દો સાચા હોય અથવા બંને શબ્દો ખોટા હોય તો તે ખોટું હશે. આમ, જો એક વિકલ્પ સાચો હોય અને જો બંને વિકલ્પો એકસાથે ખોટા અને સાચા હોય તો કડક વિસંવાદનો પ્રસ્તાવ સાચો હશે.

ભાષામાં અસંબંધિત જોડાણ સામાન્ય રીતે "અથવા", "ક્યાં તો" સંયોજનોનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. વૈકલ્પિક અર્થમાં વિસંવાદને મજબૂત કરવા માટે, બેવડા જોડાણોનો ઉપયોગ વારંવાર કરવામાં આવે છે: અભિવ્યક્તિને બદલે “p અથવા q""ક્યાં તો p અથવા q" નો ઉપયોગ કરો, અને એકસાથે "p અથવા q"- "ક્યાં તો p અથવા q." વ્યાકરણમાં બિન-કડક અને કડક વિભાજન માટે અસ્પષ્ટ જોડાણો ન હોવાથી, કાયદાકીય અને અન્ય ગ્રંથોમાં વિસંવાદના પ્રકારનો પ્રશ્ન સંબંધિત ચુકાદાઓના અર્થપૂર્ણ વિશ્લેષણ દ્વારા ઉકેલવો આવશ્યક છે.

સંપૂર્ણ અને અપૂર્ણ વિસંવાદ

અસંતુલિત ચુકાદાને સંપૂર્ણ અથવા બંધ કહેવામાં આવે છે, જે તમામ લાક્ષણિકતાઓ અથવા ચોક્કસ પ્રકારના તમામ પ્રકારોની યાદી આપે છે.

પ્રતીકાત્મક રીતે, આ ચુકાદો નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: < р ? q ? r>. ઉદાહરણ તરીકે: "જંગલો પાનખર, શંકુદ્રુપ અથવા મિશ્રિત હોઈ શકે છે." આ વિભાગની સંપૂર્ણતા (પ્રતિકાત્મક સંકેતમાં ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે< … >) એ હકીકત દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે કે સૂચવેલ ઉપરાંત અન્ય કોઈ પ્રકારના જંગલો નથી.

અપૂર્ણ, અથવા ખુલ્લું, એક અસંતુલિત ચુકાદો છે જે તમામ લાક્ષણિકતાઓને સૂચિબદ્ધ કરતું નથી અથવા ચોક્કસ પ્રકારના તમામ પ્રકારોને સૂચિત કરતું નથી.સાંકેતિક સંકેતમાં, વિભાજનની અપૂર્ણતા એલિપ્સિસ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે: આર ? q ? આર ? … કુદરતી ભાષામાં, વિભાજનની અપૂર્ણતા શબ્દો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે: "વગેરે," "વગેરે," "અને તેના જેવા," "અન્ય," વગેરે.

લોજિકલ કનેક્ટિવ્સ માટે સંકેત:

નકાર (વ્યુત્ક્રમ, તાર્કિક નથી) સૂચવવામાં આવે છે ¬ (ઉદાહરણ તરીકે, ¬A);

જોડાણમાં (તાર્કિક ગુણાકાર, તાર્કિક અને) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે /\

(ઉદાહરણ તરીકે, એ /\ બી) ક્યાં તો & (દા.ત. A & B);

વિભાજન (તાર્કિક ઉમેરણ, તાર્કિક અથવા) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે \/

(ઉદાહરણ તરીકે, A \/ B);

અનુસરે છે (અર્થાર્થ) દ્વારા સૂચિત → (ઉદાહરણ તરીકે, A → B);

ઓળખ દ્વારા સૂચિત ≡ (ઉદાહરણ તરીકે, A ≡ B). A ≡ B અભિવ્યક્તિ સાચી છે જો અને માત્ર જો A અને B ના મૂલ્યો સમાન હોય (કાં તો તે બંને સાચા છે, અથવા તે બંને ખોટા છે);

પાત્ર 1 (એકમ) સત્ય (સાચું નિવેદન) દર્શાવવા માટે વપરાય છે;

અક્ષર 0 (શૂન્ય) નો ઉપયોગ અસત્ય (ખોટા નિવેદન) દર્શાવવા માટે થાય છે.

ચલો ધરાવતી બે તાર્કિક સમીકરણોને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે જો આ અભિવ્યક્તિઓનાં મૂલ્યો ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે એકરૂપ હોય. આમ, અભિવ્યક્તિ A → B અને (¬A) \/ B સમકક્ષ છે, પરંતુ A /\ B અને A \/ B નથી (અભિવ્યક્તિના અર્થો અલગ છે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે A = 1, B = 0 ).

તાર્કિક કામગીરીની પ્રાથમિકતાઓ: વ્યુત્ક્રમ (નકાર), જોડાણ (તાર્કિક ગુણાકાર), વિભાજન (તાર્કિક ઉમેરણ), સૂચિતાર્થ (નીચેની), ઓળખ. આમ, ¬A \/ B \/ C \/ D નો અર્થ સમાન છે

((¬A) \/ B) \/ (C \/ D).

(A \/ B) \/ C ને બદલે A \/ B \/ C લખવું શક્ય છે. તે જ જોડાણને લાગુ પડે છે: (A /\ B) ને બદલે A /\ B /\ C લખવું શક્ય છે ) /\ સી.

લોજિકલ કામગીરીના ગુણધર્મો

લોજિકલ કામગીરીના સામાન્ય ગુણધર્મો

ના સમૂહ માટે n ત્યાં બરાબર તાર્કિક ચલો છે 2 એન વિવિધ અર્થો. n ચલોની તાર્કિક અભિવ્યક્તિ માટેનું સત્ય કોષ્ટક સમાવે છે n+1 કૉલમ અને 2 એન રેખાઓ

વિસંવાદ

જો ઓછામાં ઓછું એક ઉપ-અભિવ્યક્તિ કે જેના પર ડિસજેક્શન લાગુ કરવામાં આવે છે તે ચલોના મૂલ્યોના કેટલાક સેટ પર સાચું હોય, તો પછી આખું વિસંવાદ મૂલ્યોના આ સમૂહ માટે સાચું છે.

જો ચોક્કસ સૂચિમાંથી તમામ અભિવ્યક્તિઓ ચલ મૂલ્યોના ચોક્કસ સમૂહ પર સાચી હોય, તો આ અભિવ્યક્તિઓનું વિભાજન પણ સાચું છે.

જો ચોક્કસ સૂચિમાંથી તમામ સમીકરણો ચલ મૂલ્યોના ચોક્કસ સમૂહ પર ખોટા હોય, તો આ અભિવ્યક્તિઓનું વિભાજન પણ ખોટું છે.

વિભાજનનો અર્થ ઉપ-અભિવ્યક્તિઓના લેખન ક્રમ પર આધારિત નથી કે જેના પર તે લાગુ કરવામાં આવે છે.

જોડાણમાં

જો ઓછામાં ઓછું એક ઉપ-અભિવ્યક્તિ કે જેના પર જોડાણ લાગુ કરવામાં આવે છે તે ચલ મૂલ્યોના અમુક સમૂહ પર ખોટું છે, તો પછી આખું જોડાણ મૂલ્યોના આ સમૂહ માટે ખોટું છે.

જો ચોક્કસ સૂચિમાંથી તમામ અભિવ્યક્તિઓ ચલ મૂલ્યોના ચોક્કસ સમૂહ પર સાચી હોય, તો આ અભિવ્યક્તિઓનું જોડાણ પણ સાચું છે.

જો ચોક્કસ સૂચિમાંથી તમામ સમીકરણો ચલ મૂલ્યોના ચોક્કસ સમૂહ પર ખોટા હોય, તો પછી આ અભિવ્યક્તિઓનું જોડાણ પણ ખોટું છે.

જોડાણનો અર્થ એ ક્રમ પર આધાર રાખતો નથી કે જેમાં ઉપ-અભિવ્યક્તિઓ તે લાગુ કરવામાં આવે છે તે લખવામાં આવે છે.

સરળ વિભાજન અને જોડાણો

ચાલો (અનુકૂળતા માટે) એક જોડાણને સરળ કહીએ જો ઉપ-અભિવ્યક્તિઓ કે જેના પર જોડાણ લાગુ કરવામાં આવે છે તે વિવિધ ચલ અથવા તેમના નકાર છે. તેવી જ રીતે, ડિસજેક્શનને સરળ કહેવામાં આવે છે જો પેટા-અભિવ્યક્તિઓ કે જેના પર ડિસજેક્શન લાગુ કરવામાં આવે છે તે અલગ ચલો અથવા તેમની નકારી હોય.

એક સરળ જોડાણ અર્થ પર લે છે 1 (સાચું) ચલ મૂલ્યોના બરાબર એક સેટ પર.

એક સરળ વિભાજન અર્થ પર લે છે 0 (ખોટા) ચલ મૂલ્યોના બરાબર એક સેટ પર.

સૂચિતાર્થ

સૂચિતાર્થ A →B એ વિભાજન (¬A) \/ B ની સમકક્ષ છે. આ વિભાજનને નીચે પ્રમાણે પણ લખી શકાય છે: ¬A \/ B.

જો A=1 અને B=0 હોય તો જ સૂચિતાર્થ A → B 0 (ખોટું) નું મૂલ્યાંકન કરે છે. જો A=0, તો પછી સૂચિતાર્થ A → B એ B ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે સાચું છે.

વિસંવાદ

વિસંવાદ- (lat. disjunctio - disjunction) તાર્કિક કામગીરી, યુનિયનની શક્ય તેટલી નજીક તેની એપ્લિકેશનમાં "અથવા" ના અર્થમાં "ક્યાં તો આ, અથવા તે, અથવા બંને એક સાથે." સમાનાર્થી: તાર્કિક "OR", "OR" સહિત, તાર્કિક ઉમેરો, ક્યારેક માત્ર "અથવા".

વિસંવાદ થઈ શકે છે દ્વિસંગીઓપરેશન, એટલે કે, બે ઓપરેન્ડ ધરાવવા માટે, ટર્નરીઓપરેશન, એટલે કે, ત્રણ ઓપરેન્ડ અથવા n-aryઓપરેશન, એટલે કે, n ઓપરેન્ડ હોય.
પ્રવેશ હોઈ શકે છે ઉપસર્ગ- ઓપરેશન સાઇન ઓપરેન્ડ્સ (પોલિશ નોટેશન) ની આગળ આવે છે, infix- ઓપરેશન સાઇન ઓપરેન્ડ અથવા વચ્ચે છે પોસ્ટફિક્સ- ઓપરેશન સાઇન ઓપરેન્ડ પછી આવે છે. જ્યારે ઓપરેન્ડની સંખ્યા 2 કરતાં વધુ હોય, ત્યારે ઉપસર્ગ અને પોસ્ટફિક્સ સંકેતો વધુ આર્થિક હોય છે.
સૌથી સામાન્ય રેકોર્ડિંગ વિકલ્પો છે:
|| | .

બુલિયન બીજગણિત

વ્યાખ્યા.
તર્ક કાર્ય MAXટુ-વેલ્યુડ (દ્વિસંગી) તર્કમાં કહેવામાં આવે છે વિભાજન (તાર્કિક "OR", તાર્કિક ઉમેરોઅથવા સરળ રીતે "અથવા").
નિયમ: પરિણામ સૌથી મોટા ઓપરેન્ડ જેટલું છે.
વર્ણન.
બુલિયન બીજગણિતમાં, વિભાજન એ બે, ત્રણ અથવા વધુ ચલોનું કાર્ય છે (તેઓ ઓપરેશનના ઓપરેન્ડ પણ છે, તેઓ ફંક્શનની દલીલો પણ છે).
નિયમ: જો તમામ ઓપરેન્ડ સમાન હોય તો પરિણામ સમાન છે; અન્ય તમામ કેસોમાં પરિણામ સમાન છે.

સત્ય ટેબલ

ટર્નરી (ત્રણ-ઓપરેન્ડ) ડિસજેક્શન માટે સત્ય કોષ્ટક:

એક્સ	વાય	ઝેડ	X Y Z
0	0	0	0
1	0	0	1
0	1	0	1
1	1	0	1
0	0	1	1
1	0	1	1
0	1	1	1
1	1	1	1

બહુ-મૂલ્યવાન તર્ક

દ્વિસંગી તર્ક તરીકે ઓળખાતી કામગીરી વિભાજન, બહુમૂલ્યવાળા તર્કશાસ્ત્રમાં કહેવાય છે મહત્તમ: , જ્યાં , a એ તર્કનો અર્થ છે. અન્ય વિકલ્પો પણ શક્ય છે. સામાન્ય રીતે, વ્યક્તિ ઓપરેન્ડ મૂલ્યો માટે બુલિયન બીજગણિત સાથે સુસંગતતા જાળવવાનો પ્રયાસ કરે છે.

એ નોંધવું જોઇએ કે આ ઓપરેશનનું નામ છે મહત્તમદ્વિસંગી તર્ક અને નામો સહિત કોઈપણ મૂલ્ય સાથે તર્કશાસ્ત્રમાં અર્થપૂર્ણ છે વિભાજન, તાર્કિક "OR", તાર્કિક ઉમેરોઅને માત્ર "અથવા"માત્ર દ્વિસંગી તર્કમાં જ અર્થ થાય છે, અને જ્યારે બહુ-મૂલ્યવાન તર્ક તરફ જાય છે ત્યારે તેઓ તેમનો અર્થ ગુમાવે છે.

શાસ્ત્રીય તર્કશાસ્ત્ર

ક્લાસિકલ પ્રોપોઝિશનલ કેલ્ક્યુલસમાં, ડિસજેક્શનના ગુણધર્મોને એક્સિઓમનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ક્લાસિકલ પ્રોપોઝિશનલ કેલ્ક્યુલસને વિવિધ પ્રણાલીઓ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરી શકાય છે, અને તેમાંના કેટલાક ડિસજેક્શનના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરશે. સૌથી સામાન્ય વિકલ્પોમાંના એકમાં વિભાજન માટે 3 સ્વયંસિદ્ધનો સમાવેશ થાય છે:

આ સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરીને, તમે ડિસજેક્શન ઑપરેશન ધરાવતા અન્ય સૂત્રોને સાબિત કરી શકો છો. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ક્લાસિકલ પ્રોપોઝિશનલ કેલ્ક્યુલસ ઓપરેન્ડના મૂલ્યો (બુલિયન બીજગણિતની જેમ) પરથી પરિણામની ગણતરી કરતું નથી, પરંતુ તેના બદલે અનુમાનના નિયમો અને અનુમાનના આધારે સંપૂર્ણ સૂત્રને સાબિત કરવાની જરૂર છે. ઊંચું ઉડવું પડવાથી પીડા થાય છે

સર્કિટ ડિઝાઇન

0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	1

કોઈપણ સંખ્યાના ઇનપુટ્સ સાથે ડિસજેક્શન માટેનો નેમોનિક નિયમ છે: આઉટપુટ હશે:

• "1" જો અને માત્ર જો ઓછામાં ઓછા એક પર ઇનપુટમાં "1" છે
• "0" જો અને માત્ર જો દરેક વ્યક્તિ ઇનપુટ્સ "0"

પ્રોગ્રામિંગ

કોમ્પ્યુટર ભાષાઓમાં બે મુખ્ય પ્રકારનાં વિભાજનનો ઉપયોગ થાય છે: લોજિકલ OR અને bitwise OR. ઉદાહરણ તરીકે, C/C++ ભાષાઓમાં, લોજિકલ “OR” ને “||” ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને bitwise “OR” ને “|” ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. પાસ્કલ/ડેલ્ફી ભાષાઓમાં, કીવર્ડનો ઉપયોગ કરીને બંને પ્રકારના વિભાજન સૂચવવામાં આવે છે. અથવા", અને ક્રિયાનું પરિણામ ઓપરેન્ડ્સના પ્રકાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. જો ઓપરેન્ડ્સ લોજિકલ પ્રકારના હોય (ઉદાહરણ તરીકે, બુલિયન), તો લોજિકલ ઓપરેશન કરવામાં આવે છે જો ઓપરેન્ડ્સ પૂર્ણાંક હોય (ઉદાહરણ તરીકે, બાઈટ), તો બીટવાઇઝ ઓપરેશન કરવામાં આવે છે.

લોજિકલ "OR" નો ઉપયોગ શરતી જમ્પ ઓપરેટર્સમાં અથવા સમાન કિસ્સાઓમાં થાય છે જ્યાં પરિણામ અથવા આવશ્યકતા હોય. દાખ્લા તરીકે:

જો (a || b) ( /* કેટલીક ક્રિયાઓ */ } ;

પરિણામ સમાન હશે જો બંને ઓપરેન્ડ સમાન હોય અથવા . અન્ય કોઈપણ કિસ્સામાં, પરિણામ સમાન હશે.

આ કિસ્સામાં, માનક સંમેલન લાગુ પડે છે: જો ડાબા ઓપરેન્ડની કિંમત ની બરાબર હોય, તો જમણા ઓપરેન્ડની કિંમતની ગણતરી કરવામાં આવતી નથી (તેના બદલે જટિલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય છે). આ સંમેલન પ્રોગ્રામના અમલીકરણને ઝડપી બનાવે છે અને કેટલાક કિસ્સાઓમાં ઉપયોગી તકનીક છે. ડેલ્ફી કમ્પાઈલર એક વિશેષ નિર્દેશને સમર્થન આપે છે જેમાં સમાવેશ થાય છે

($B-)

અથવા બંધ કરી રહ્યા છીએ

($B+)

સમાન વર્તન. ઉદાહરણ તરીકે, જો ડાબું ઓપરેન્ડ પરીક્ષણ કરે છે કે શું જમણા ઓપરેન્ડનું મૂલ્યાંકન કરવાની જરૂર છે:

જો (a == NULL || a-> x == 0 ) ( /* કેટલીક ક્રિયાઓ */ } ;

આ ઉદાહરણમાં, ડાબા ઓપરેન્ડમાં ચેક કરવા બદલ આભાર, જમણા ઓપરેન્ડમાં નલ પોઈન્ટર ડિરેફરન્સ ક્યારેય નહીં આવે.

Bitwise OR જોડીમાં ડાબા અને જમણા ઓપરેન્ડના તમામ બિટ્સ પર સામાન્ય બુલિયન બીજગણિત કામગીરી કરે છે. દાખ્લા તરીકે,

જો
a =
b =
તે
a OR b =

કુદરતી ભાષા સાથે જોડાણ

પ્રાકૃતિક ભાષામાં વિભાજન અને જોડાણ "અથવા" વચ્ચેની સમાનતા ઘણી વખત દર્શાવવામાં આવે છે જ્યારે તેનો ઉપયોગ "ક્યાં તો આ, અથવા તે, અથવા બંને" ના અર્થમાં થાય છે. કાનૂની દસ્તાવેજોમાં તેઓ વારંવાર "અને/અથવા," એટલે કે "આ, અથવા તે, અથવા બંને" લખે છે. સંયોજન વિધાન "A અને/અથવા B" ખોટું માનવામાં આવે છે જ્યારે A અને B બંને વિધાન ખોટા હોય છે, અન્યથા સંયોજન વિધાન સાચું હોય છે. આ બુલિયન બીજગણિતમાં વિસંવાદની વ્યાખ્યાને બરાબર અનુરૂપ છે, જો "સાચું" ને , અને "ખોટા" દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

અસ્પષ્ટતાપ્રાકૃતિક ભાષા એ છે કે જોડાણ "અથવા" નો ઉપયોગ બે અર્થમાં થાય છે: કાં તો વિભાજન સૂચવવા માટે, અથવા અન્ય ક્રિયા સૂચવવા માટે -

તાર્કિક કામગીરીના ગુણધર્મો

1. હોદ્દો

1.1. લોજિકલ કનેક્ટિવ્સ (ઓપરેશન્સ) માટે સંકેત:

a) નકાર(વ્યુત્ક્રમ, તાર્કિક નથી) ¬ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, ¬A);

b) જોડાણમાં(તાર્કિક ગુણાકાર, તાર્કિક અને) /\ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે
(ઉદાહરણ તરીકે, A /\ B) અથવા & (ઉદાહરણ તરીકે, A & B);

c) વિભાજન(તાર્કિક ઉમેરણ, તાર્કિક અથવા) દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે //
(ઉદાહરણ તરીકે, A \/ B);

ડી) અનુસરે છે(અર્થાર્થ) → દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, A → B);

e) ઓળખ≡ દ્વારા સૂચિત (ઉદાહરણ તરીકે, A ≡ B). A ≡ B અભિવ્યક્તિ સાચી છે જો અને માત્ર જો A અને B ના મૂલ્યો સમાન હોય (કાં તો તે બંને સાચા છે, અથવા તે બંને ખોટા છે);

f) પ્રતીક 1 નો ઉપયોગ સત્ય (સાચું નિવેદન) દર્શાવવા માટે થાય છે; પ્રતીક 0 - જૂઠાણું સૂચવવા માટે (ખોટું નિવેદન).

1.2. ચલો ધરાવતા બે બુલિયન સમીકરણો કહેવામાં આવે છે સમકક્ષ (સમકક્ષ) જો આ અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યો ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે એકરુપ હોય. આમ, અભિવ્યક્તિઓ A → B અને (¬A) \/ B સમકક્ષ છે, પરંતુ A /\ B અને A \/ B નથી (અભિવ્યક્તિના અર્થો અલગ છે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે A = 1, B = 0 ).

1.3. લોજિકલ કામગીરીની પ્રાથમિકતાઓ:વ્યુત્ક્રમ (નકાર), જોડાણ (તાર્કિક ગુણાકાર), વિભાજન (તાર્કિક ઉમેરણ), સૂચિતાર્થ (નીચેનું), ઓળખ. આમ, ¬A \/ B \/ C \/ D નો અર્થ સમાન છે

((¬A) \/ B) \/ (C \/ D).

(A \/ B) \/ C ને બદલે A \/ B \/ C લખવું શક્ય છે. તે જ જોડાણને લાગુ પડે છે: (A /\ B) ને બદલે A /\ B /\ C લખવું શક્ય છે ) /\ સી.

2. ગુણધર્મો

નીચેની સૂચિ પૂર્ણ થવાનો હેતુ નથી, પરંતુ આશા છે કે તે પર્યાપ્ત પ્રતિનિધિત્વ છે.

2.1. સામાન્ય ગુણધર્મો

1. ના સમૂહ માટે nત્યાં બરાબર તાર્કિક ચલો છે 2 nવિવિધ અર્થો. થી તાર્કિક અભિવ્યક્તિ માટે સત્ય કોષ્ટક nચલો સમાવે છે n+1કૉલમ અને 2 nરેખાઓ

2.2.વિસંવાદ

1. જો ઓછામાં ઓછું એક ઉપ-અભિવ્યક્તિ કે જેના પર ડિસજેક્શન લાગુ કરવામાં આવે છે તે ચલોના મૂલ્યોના કેટલાક સેટ પર સાચું હોય, તો પછી આખું વિસંવાદ મૂલ્યોના આ સમૂહ માટે સાચું છે.
2. જો ચોક્કસ સૂચિમાંથી તમામ અભિવ્યક્તિઓ ચલ મૂલ્યોના ચોક્કસ સમૂહ પર સાચી હોય, તો આ અભિવ્યક્તિઓનું વિભાજન પણ સાચું છે.
3. જો ચોક્કસ સૂચિમાંથી તમામ સમીકરણો ચલ મૂલ્યોના ચોક્કસ સમૂહ પર ખોટા હોય, તો આ અભિવ્યક્તિઓનું વિભાજન પણ ખોટું છે.
4. વિભાજનનો અર્થ ઉપ-અભિવ્યક્તિઓના લેખન ક્રમ પર આધારિત નથી કે જેના પર તે લાગુ કરવામાં આવે છે.

2.3. જોડાણમાં

1. જો ઓછામાં ઓછું એક ઉપ-અભિવ્યક્તિ કે જેના પર જોડાણ લાગુ કરવામાં આવે છે તે ચલ મૂલ્યોના અમુક સમૂહ પર ખોટું છે, તો પછી આખું જોડાણ મૂલ્યોના આ સમૂહ માટે ખોટું છે.
2. જો ચોક્કસ સૂચિમાંથી તમામ અભિવ્યક્તિઓ ચલ મૂલ્યોના ચોક્કસ સમૂહ પર સાચી હોય, તો આ અભિવ્યક્તિઓનું જોડાણ પણ સાચું છે.
3. જો ચોક્કસ સૂચિમાંથી તમામ સમીકરણો ચલ મૂલ્યોના ચોક્કસ સમૂહ પર ખોટા હોય, તો પછી આ અભિવ્યક્તિઓનું જોડાણ પણ ખોટું છે.
4. જોડાણનો અર્થ ઉપ-અભિવ્યક્તિઓના લેખન ક્રમ પર આધારિત નથી કે જેના પર તે લાગુ કરવામાં આવે છે.

2.4. સરળ વિભાજન અને જોડાણો

ચાલો (સગવડ માટે) જોડાણને બોલાવીએ સરળ, જો ઉપ-અભિવ્યક્તિઓ કે જેના પર જોડાણ લાગુ કરવામાં આવે છે તે અલગ ચલો અથવા તેમની નકારાત્મકતાઓ છે. તેવી જ રીતે, વિભાજન કહેવાય છે સરળ, જો પેટા-અભિવ્યક્તિઓ કે જેના પર ડિસજંક્શન લાગુ કરવામાં આવે છે તે અલગ ચલો અથવા તેમની નકારીઓ છે.

1. એક સરળ જોડાણ ચલ મૂલ્યોના બરાબર એક સમૂહ પર 1 (સાચું) મૂલ્યાંકન કરે છે.
2. એક સરળ વિભાજન ચલ મૂલ્યોના બરાબર એક સમૂહ પર 0 (ખોટા) નું મૂલ્યાંકન કરે છે.

2.5. સૂચિતાર્થ

1. સૂચિતાર્થ એ →બીવિભાજનની સમકક્ષ છે (¬ A) \/ B.આ વિભાજનને નીચે પ્રમાણે પણ લખી શકાય છે: ¬ A\/B.
2. સૂચિતાર્થ એ →બીજો માત્ર 0 (ખોટું) મૂલ્ય લે છે A=1અને B=0.જો A=0,પછી સૂચિતાર્થ એ →બીકોઈપણ મૂલ્ય માટે સાચું બી.

લોજિકલ કામગીરી. વિભાજન, જોડાણ અને નકાર

તો કેવી રીતે સરળ તાર્કિક નિવેદનો એકબીજા સાથે જોડાઈને જટિલ નિવેદનો બનાવે છે? પ્રાકૃતિક ભાષામાં આપણે વિવિધ જોડાણો અને વાણીના અન્ય ભાગોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, “અને”, “અથવા”, “ક્યાં તો”, “નહીં”, “જો”, “પછી”, “પછી”. જટિલ વિધાનોનું ઉદાહરણ: “તેની પાસે જ્ઞાન છે અનેકુશળતા", "તે મંગળવારે આવશે, અથવાબુધવારે", "હું રમીશ પછી, જ્યારે હું મારું હોમવર્ક કરું છું", "5 નથીબરાબર 6" અમને જે કહેવામાં આવ્યું છે તે સાચું છે કે નહીં તે આપણે કેવી રીતે નક્કી કરીએ? કોઈક રીતે તાર્કિક રીતે, ક્યાંક અજાણતા પણ, પાછલા જીવનના અનુભવના આધારે, આપણે સમજીએ છીએ કે "અને" સાથેનું સત્ય બંને સરળ નિવેદનોની સત્યતાના કિસ્સામાં થાય છે. એકવાર કોઈ જૂઠું બની જાય, તો આખું જટિલ નિવેદન ખોટું હશે. પરંતુ, સંયોજક "અથવા" સાથે, માત્ર એક સરળ વિધાન સાચું હોવું જોઈએ, અને પછી સમગ્ર અભિવ્યક્તિ સાચી બનશે.

બુલિયન બીજગણિતએ આ જીવનના અનુભવને ગણિતના ઉપકરણમાં સ્થાનાંતરિત કર્યું, તેને ઔપચારિક બનાવ્યું અને અસ્પષ્ટ પરિણામ મેળવવા માટે કડક નિયમો રજૂ કર્યા. યુનિયનોને અહીં લોજિકલ ઓપરેટર કહેવા લાગ્યા.

તર્કશાસ્ત્રના બીજગણિતમાં ઘણી તાર્કિક ક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે. જો કે, તેમાંથી ત્રણ ખાસ ધ્યાન આપવાના પાત્ર છે, કારણ કે... તેમની સહાયથી તમે અન્ય તમામનું વર્ણન કરી શકો છો, અને તેથી, સર્કિટ ડિઝાઇન કરતી વખતે ઓછા વિવિધ ઉપકરણોનો ઉપયોગ કરો. આવા ઓપરેશનો છે જોડાણમાં(અને), વિભાજન(અથવા) અને નકાર(નહીં). ઘણીવાર જોડાણ સૂચવવામાં આવે છે & , વિભાજન - || , અને નકાર એ વિધાનને દર્શાવતા ચલ પરનો એક બાર છે.

સંયોજન સાથે, જટિલ અભિવ્યક્તિનું સત્ય ત્યારે જ ઉદ્ભવે છે જો જટિલ બનાવે છે તે તમામ સરળ અભિવ્યક્તિઓ સાચી હોય. અન્ય તમામ કિસ્સાઓમાં, જટિલ અભિવ્યક્તિ ખોટી હશે.

વિભાજન સાથે, જટિલ અભિવ્યક્તિનું સત્ય ત્યારે થાય છે જ્યારે તેમાં સમાવિષ્ટ ઓછામાં ઓછી એક સરળ અભિવ્યક્તિ સાચી હોય, અથવા એક સાથે બે હોય. એવું બને છે કે એક જટિલ અભિવ્યક્તિમાં બે કરતાં વધુ સરળ હોય છે. આ કિસ્સામાં, એક સરળ સાચા હોવા માટે તે પૂરતું છે અને પછી આખું નિવેદન સાચું હશે.

નેગેશન એક યુનરી ઓપરેશન છે, કારણ કે તે એક સરળ અભિવ્યક્તિના સંબંધમાં અથવા જટિલ એકના પરિણામના સંબંધમાં કરવામાં આવે છે. નકારના પરિણામે, એક નવું નિવેદન પ્રાપ્ત થાય છે જે મૂળ નિવેદનની વિરુદ્ધ છે.

સત્ય કોષ્ટકો

કહેવાતા દ્વારા તાર્કિક કામગીરીનું વર્ણન કરવું અનુકૂળ છે સત્ય કોષ્ટકો, જે મૂળ સરળ નિવેદનોના વિવિધ મૂલ્યો માટે જટિલ નિવેદનોની ગણતરીના પરિણામોને પ્રતિબિંબિત કરે છે. સરળ નિવેદનો ચલો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, A અને B).

કમ્પ્યુટરના લોજિકલ ફંડામેન્ટલ્સ

કમ્પ્યુટર્સ વિવિધ ઉપકરણોનો ઉપયોગ કરે છે, જેનું સંચાલન તર્કના બીજગણિત દ્વારા સંપૂર્ણ રીતે વર્ણવવામાં આવે છે. આવા ઉપકરણોમાં સ્વિચ, ટ્રિગર્સ, એડર્સના જૂથોનો સમાવેશ થાય છે.

વધુમાં, બુલિયન બીજગણિત અને કોમ્પ્યુટર વચ્ચેનું જોડાણ કોમ્પ્યુટરમાં વપરાતી નંબર સિસ્ટમમાં રહેલું છે. જેમ તમે જાણો છો, તે દ્વિસંગી છે. તેથી, કોમ્પ્યુટર ઉપકરણો બંને નંબરો અને લોજિકલ ચલોના મૂલ્યોને સંગ્રહિત અને રૂપાંતરિત કરી શકે છે.

સ્વિચિંગ સર્કિટ

કમ્પ્યુટર્સ વિદ્યુત સર્કિટનો ઉપયોગ કરે છે જેમાં ઘણી સ્વીચો હોય છે. સ્વીચ ફક્ત બે સ્થિતિમાં હોઈ શકે છે: બંધ અને ખુલ્લું. પ્રથમ કિસ્સામાં, વર્તમાન પસાર થાય છે, બીજામાં - નહીં. તર્કશાસ્ત્રના બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને આવા સર્કિટના સંચાલનનું વર્ણન કરવું ખૂબ અનુકૂળ છે. સ્વીચોની સ્થિતિના આધારે, તમે આઉટપુટ પર સિગ્નલ પ્રાપ્ત કરી શકો છો અથવા નહીં પણ મેળવી શકો છો.

ગેટ્સ, ફ્લિપ-ફ્લોપ્સ અને એડર્સ

ગેટ એ એક તાર્કિક તત્વ છે જે કેટલાક દ્વિસંગી મૂલ્યોને સ્વીકારે છે અને તેના અમલીકરણના આધારે અન્ય ઉત્પન્ન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એવા દરવાજા છે જે તાર્કિક ગુણાકાર (સંયોજન), ઉમેરણ (વિસંવાદ) અને નકારનો અમલ કરે છે.

ટ્રિગર્સ અને એડર્સ એ પ્રમાણમાં જટિલ ઉપકરણો છે જેમાં સરળ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે - દરવાજા.

ટ્રિગર એક દ્વિસંગી અંકને સંગ્રહિત કરવામાં સક્ષમ છે, કારણ કે તે બે સ્થિર સ્થિતિમાં હોઈ શકે છે. ટ્રિગર્સનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે પ્રોસેસર રજિસ્ટરમાં થાય છે.

પ્રોસેસર એરિથમેટિક લોજિક યુનિટ્સ (ALUs) માં એડર્સનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે અને બાઈનરી બિટ્સનો સરવાળો કરે છે.

કમ્પ્યુટર્સનું નિર્માણ, અથવા તેના બદલે હાર્ડવેર, કહેવાતા પર આધારિત છે વાલ્વ. તે એકદમ સરળ તત્વો છે જે એકબીજા સાથે જોડી શકાય છે, ત્યાં વિવિધ યોજનાઓ બનાવે છે. કેટલીક યોજનાઓ અમલીકરણ માટે યોગ્ય છે અંકગણિત કામગીરી, અને અન્યના આધારે તેઓ અલગ બિલ્ડ કરે છે મેમરીકોમ્પ્યુટર.

વેન્ટેલ એ એક ઉપકરણ છે જે તેમાં દાખલ કરાયેલા ડેટા (સિગ્નલો)માંથી બુલિયન ઓપરેશનનું પરિણામ ઉત્પન્ન કરે છે.

સૌથી સરળ વાલ્વ એ ટ્રાન્ઝિસ્ટર ઇન્વર્ટર છે જે નીચા વોલ્ટેજને ઉચ્ચ વોલ્ટેજમાં અથવા ઊલટું (ઉચ્ચથી નીચું) માં રૂપાંતરિત કરે છે. આને તાર્કિક શૂન્યને તાર્કિક શૂન્યમાં રૂપાંતરિત કરવા અથવા તેનાથી ઊલટું વિચારી શકાય. તે. અમને વાલ્વ મળે છે નથી.

ટ્રાંઝિસ્ટરની જોડીને જુદી જુદી રીતે જોડીને, દરવાજા મેળવવામાં આવે છે અથવા નાઅને અને નહી. આ દરવાજા હવે એક નહીં, પરંતુ બે કે તેથી વધુ ઇનપુટ સિગ્નલો સ્વીકારે છે. આઉટપુટ સિગ્નલ હંમેશા સમાન હોય છે અને ઇનપુટ સિગ્નલ પર આધાર રાખે છે (ઉચ્ચ અથવા નીચું વોલ્ટેજ ઉત્પન્ન કરે છે). NOR ગેટના કિસ્સામાં, ઉચ્ચ વોલ્ટેજ (તાર્કિક એક) માત્ર ત્યારે જ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે જો તમામ ઇનપુટ્સ ઓછા હોય. NAND ગેટના કિસ્સામાં, વિરુદ્ધ સાચું છે: જો તમામ ઇનપુટ સિગ્નલો શૂન્ય હોય તો તાર્કિક એક પ્રાપ્ત થાય છે. જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ AND અને OR જેવા પરિચિત લોજિકલ ઑપરેશન્સથી વિરુદ્ધ છે. જો કે, NAND અને NOR દરવાજા સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાય છે કારણ કે તેમનું અમલીકરણ સરળ છે: AND-NOT અને NOR-NOT બે ટ્રાન્ઝિસ્ટર દ્વારા લાગુ કરવામાં આવે છે, જ્યારે લોજિકલ AND અને OR ત્રણ દ્વારા લાગુ કરવામાં આવે છે.

ગેટ આઉટપુટ ઇનપુટ્સના કાર્ય તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે.

ટ્રાન્ઝિસ્ટરને એક રાજ્યમાંથી બીજી સ્થિતિમાં સ્વિચ કરવામાં બહુ ઓછો સમય લાગે છે (સ્વિચિંગનો સમય નેનોસેકન્ડમાં માપવામાં આવે છે). અને આ તેમના આધારે બનેલી યોજનાઓનો એક નોંધપાત્ર ફાયદો છે.

તાર્કિક મૂલ્યો માટે, સામાન્ય રીતે ત્રણ ક્રિયાઓનો ઉપયોગ થાય છે:

1. જોડાણમાં- તાર્કિક ગુણાકાર (AND) - અને, &, ∧.
2. વિસંવાદ- તાર્કિક ઉમેરો (OR) - અથવા, |, વિ.
3. તાર્કિક નકાર (નથી) - નહિ,.

તાર્કિક અભિવ્યક્તિઓ અનુસાર રૂપાંતરિત કરી શકાય છે તર્કશાસ્ત્રના બીજગણિતના નિયમો:

1. રીફ્લેક્સિવિટીના નિયમો
   a ∨ a = a
   a ∧ a = a
2. કોમ્યુટેટીવીટી કાયદા
   a ∨ b = b ∨ a
   a ∧ b = b ∧ a
3. સંગઠનના નિયમો
   (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)
   (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
4. વિતરણ કાયદા
   a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
   a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
5. નકારના નકારનો કાયદો
   (a) = a
6. ડી મોર્ગનના કાયદા
   (a ∧ b) = a ∨ b
   (a ∨ b) = a ∧ b
7. શોષણના નિયમો
   a ∨ (a ∧ b) = a
   a ∧ (a ∨ b) = a

દરેક તાર્કિક સૂત્ર કેટલાક બુલિયન કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. બીજી બાજુ, કોઈપણ બુલિયન ફંક્શન માટે તમે તેને રજૂ કરતા અનંત ઘણા સૂત્રો લખી શકો છો. તાર્કિક બીજગણિતના મુખ્ય કાર્યોમાંનું એક શોધવાનું છે પ્રમાણભૂત રીતે x સ્વરૂપો (એટલે ​​કે ચોક્કસ નિયમ અનુસાર બાંધવામાં આવેલા સૂત્રો), તેમજ બુલિયન કાર્યોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા સૌથી સરળ સૂત્રો.

જો તાર્કિક કાર્યને ચલોના વિસંવાદ, જોડાણ અને નકાર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, તો આ રજૂઆતનું સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય. સામાન્ય સ્વરૂપોમાં, એવા સ્વરૂપો છે કે જેમાં કાર્યો અનન્ય રીતે લખવામાં આવે છે. તેઓ કહેવાય છે સંપૂર્ણ.

તર્કશાસ્ત્રના બીજગણિતમાં વિશિષ્ટ ભૂમિકા અસંતુલિત અને સંયોજક સંપૂર્ણ સામાન્ય સ્વરૂપોના વર્ગો દ્વારા ભજવવામાં આવે છે. તેઓ પ્રાથમિક વિભાજન અને પ્રાથમિક જોડાણની વિભાવનાઓ પર આધારિત છે.

સૂત્ર કહેવાય છે પ્રાથમિક જોડાણ, જો તે એક અથવા વધુ ચલોનું જોડાણ છે, તો નકારાત્મક સાથે અથવા વગર લેવામાં આવે છે. એક ચલ અથવા તેનો નકાર ગણવામાં આવે છે એક-ગાળાનું પ્રાથમિક જોડાણ.

સૂત્ર કહેવાય છે પ્રાથમિક વિભાજન, જો તે ચલોનું વિભાજન (કદાચ મોનોમિઅલ) હોય અને ચલોના નકારતા હોય.

DNF અને SDNF

સૂત્ર કહેવાય છે અસંતુલિત સામાન્ય સ્વરૂપ(DNF), જો તે બિન-પુનરાવર્તિત પ્રાથમિક જોડાણોનું વિભાજન છે. DNF આ રીતે લખાયેલ છે: А1 v А2 v ... v Аn, જ્યાં દરેક એન- પ્રાથમિક જોડાણ.

ફોર્મ્યુલા એથી kચલો કહેવામાં આવે છે સંપૂર્ણ અસંતુલિત સામાન્ય સ્વરૂપ(SDNF), જો:
1.A એ DNF છે જેમાં દરેક પ્રાથમિક જોડાણ એક જોડાણ છે kચલો x1, x2, …, xk, અને આ જોડાણના i-th સ્થાનમાં કાં તો ચલ છે xiઅથવા તેનો ઇનકાર;
2. આવા DNF માં તમામ પ્રાથમિક જોડાણો જોડી પ્રમાણે અલગ હોય છે.

દાખ્લા તરીકે: A = x1 & NOT x2 v x1 & x2

એક સંપૂર્ણ અસંયુક્ત સામાન્ય સ્વરૂપ એ એક સૂત્ર છે જે સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત નિયમો અનુસાર બનાવવામાં આવે છે અને તેમાંના પ્રાથમિક જોડાણો (અસંયુક્ત શબ્દો) ના ક્રમ સુધી.

તે સૂત્રિક (બીજગણિત) સંકેતના સ્વરૂપમાં બુલિયન કાર્યની અનન્ય રજૂઆતનું ઉદાહરણ છે.

SDNF પ્રમેય

દો f(x1 x2, …, xn)-નું બુલિયન કાર્ય nચલ કે જે સમાન રીતે શૂન્ય નથી. પછી ફંક્શન f ને વ્યક્ત કરતું એક સંપૂર્ણ અસંયુક્ત સામાન્ય સ્વરૂપ છે.

સત્ય કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને SDNF બનાવવા માટે અલ્ગોરિધમ:

1. સત્ય કોષ્ટકમાં, આપણે ચલોના સેટને ચિહ્નિત કરીએ છીએ જેના માટે ફંકશનની કિંમત f = 1 છે.
2.દરેક ચિહ્નિત સમૂહ માટે, અમે બધા ચલોનું જોડાણ નીચે પ્રમાણે લખીએ છીએ: જો આ સમૂહમાં કેટલાક ચલની કિંમત 1 ની બરાબર હોય, તો અમે ચલનો જ જોડાણમાં સમાવેશ કરીએ છીએ, અન્યથા, તેનો નકાર.
3. અમે તમામ પરિણામી જોડાણોને ડિસજંક્શન ઓપરેશન્સ સાથે જોડીએ છીએ.

KNF અને SKNF

સૂત્ર કહેવાય છે સંયુક્ત સામાન્ય સ્વરૂપ(CNF), જો તે બિન-પુનરાવર્તિત પ્રાથમિક વિસંગતતાઓનું જોડાણ છે. CNF ફોર્મમાં લખાયેલ છે: A1 & A2 & ... & An, જ્યાં દરેક એન- પ્રાથમિક વિભાજન.

ફોર્મ્યુલા એથી kચલો કહેવામાં આવે છે સંપૂર્ણ સંયોજક સામાન્ય સ્વરૂપ(SKNF), જો:
1. A એ CNF છે જેમાં દરેક પ્રાથમિક ડિસજંક્શન એ ડિસજેક્શન છે kચલો x1, x2, …, xk,અને આ વિભાજનના i-th સ્થાનમાં કાં તો વેરિયેબલ xi અથવા તેનો નકાર છે;
2. આવા CNF માં તમામ પ્રાથમિક વિસંગતતાઓ જોડીમાં અલગ હોય છે.

દાખ્લા તરીકે: A = (x1 v નથી x2) & (x1 v x2)

SCNF પ્રમેય

દો f(x1 x2, …, xn)-નું બુલિયન કાર્ય nચલ કે જે સમાન રીતે શૂન્ય નથી. પછી ફંક્શન f ને વ્યક્ત કરતું એક સંપૂર્ણ સંયોજક સામાન્ય સ્વરૂપ છે.

સત્ય કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને SCNF બનાવવા માટે અલ્ગોરિધમ:

1. સત્ય કોષ્ટકમાં, આપણે ચલોના સેટને ચિહ્નિત કરીએ છીએ જેના માટે ફંકશનની કિંમત f = 0 છે.
2. દરેક ચિહ્નિત સમૂહ માટે, અમે નીચે પ્રમાણે બધા ચલોનું વિભાજન લખીએ છીએ: જો આ સમૂહમાં કેટલાક ચલનું મૂલ્ય 0 ની બરાબર હોય, તો અમે વેરીએબલને જ વિસંવાદમાં સમાવિષ્ટ કરીએ છીએ, અન્યથા, તેનો નકાર;
3. અમે તમામ પરિણામી ડિસજેક્શનને કંજેક્શન ઓપરેશન્સ સાથે જોડીએ છીએ.

SDNF અને SCNF બનાવવા માટેના એલ્ગોરિધમ્સમાંથી, તે અનુસરે છે કે જો ચલ મૂલ્યોના મોટાભાગના સેટ માટે ફંક્શન 0 ની બરાબર છે, તો તેનું સૂત્ર મેળવવા માટે SDNF બનાવવું વધુ સરળ છે, અન્યથા - SCNF.

Karnaugh Maps નો ઉપયોગ કરીને તાર્કિક કાર્યોને ન્યૂનતમ કરવું

કર્નો નકશો એ સ્વિચિંગ (બુલિયન) ફંક્શન્સને ઘટાડવાની ગ્રાફિકલ રીત છે, જે મોટા અભિવ્યક્તિઓ સાથે કામ કરવામાં સંબંધિત સરળતા પૂરી પાડે છે અને સંભવિત રેસને દૂર કરે છે. જોડી પ્રમાણે અપૂર્ણ ગ્લુઇંગ અને પ્રાથમિક શોષણની કામગીરીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. કર્નોઘ નકશાને તે મુજબ પુનઃગોઠવાયેલા કાર્યના સત્ય કોષ્ટક તરીકે ગણવામાં આવે છે. કાર્નોફ નકશાને n-પરિમાણીય બુલિયન ક્યુબના ચોક્કસ સપાટ વિકાસ તરીકે વિચારી શકાય છે.

કાર્નોટ નકશાની શોધ 1952માં એડવર્ડ ડબલ્યુ. વીચ દ્વારા કરવામાં આવી હતી અને 1953માં બેલ લેબ્સના ભૌતિકશાસ્ત્રી મૌરિસ કાર્નોટ દ્વારા તેમાં સુધારો કરવામાં આવ્યો હતો અને તેનો હેતુ ડિજિટલ ઈલેક્ટ્રોનિક સર્કિટને સરળ બનાવવામાં મદદ કરવાનો હતો.

કાર્નોફ નકશામાં, બુલિયન ચલોને સત્ય કોષ્ટકમાંથી સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે અને ગ્રે કોડનો ઉપયોગ કરીને ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે, જેમાં દરેક આગલી સંખ્યા અગાઉના નંબરથી માત્ર એક અંકથી અલગ પડે છે.

SDNF અથવા SCNF ના સ્વરૂપમાં પ્રસ્તુત તાર્કિક કાર્યોને ઘટાડવા માટેની મુખ્ય પદ્ધતિ એ જોડી પ્રમાણે અપૂર્ણ ગ્લુઇંગ અને પ્રાથમિક શોષણની કામગીરી છે. પેરવાઇઝ ગ્લુઇંગનું ઑપરેશન બે શબ્દો (સભ્યો) વચ્ચે સમાન ચલો ધરાવતા હોય છે, જેની ઘટનાઓ (ડાયરેક્ટ અને ઇન્વર્સ) એક સિવાયના તમામ ચલો માટે એકરુપ હોય છે. આ કિસ્સામાં, એક સિવાયના તમામ ચલોને કૌંસમાંથી બહાર કાઢી શકાય છે, અને કૌંસમાં બાકી રહેલા એક ચલની સીધી અને વ્યસ્ત ઘટનાઓને એકસાથે ગુંદર કરી શકાય છે. દાખ્લા તરીકે:

શોષણની શક્યતા સ્પષ્ટ સમાનતાઓને અનુસરે છે

આમ, SDNF અને SCNF ને ઘટાડવાનું મુખ્ય કાર્ય અનુગામી શોષણ સાથે ગ્લુઇંગ માટે યોગ્ય શબ્દો શોધવાનું છે, જે મોટા આકારો માટે ખૂબ મુશ્કેલ કાર્ય હોઈ શકે છે. Carnaugh નકશા આવા શબ્દો શોધવા માટે એક દ્રશ્ય માર્ગ પ્રદાન કરે છે.

આકૃતિ બે ચલોના કાર્ય માટે એક સરળ સત્ય કોષ્ટક બતાવે છે, આ કોષ્ટકને અનુરૂપ 2-પરિમાણીય ક્યુબ (ચોરસ), તેમજ SDNF શરતોના હોદ્દા સાથે 2-પરિમાણીય ક્યુબ અને જૂથની શરતો માટે સમકક્ષ કોષ્ટક:

વીચ ડાયાગ્રામ પદ્ધતિ.

"પદ્ધતિ તમને ચલોની નાની સંખ્યાના બુલિયન ફંક્શન f ના ન્યૂનતમ DNFs ઝડપથી મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. પદ્ધતિ અમુક વિશિષ્ટ પ્રકારના આકૃતિઓ દ્વારા બુલિયન કાર્યોને સ્પષ્ટ કરવા પર આધારિત છે, જેને Veitch ડાયાગ્રામ કહેવાય છે. બે ચલોના બુલિયન કાર્ય માટે, વીચ ડાયાગ્રામમાં ફોર્મ છે (કોષ્ટક 4.4.1).

ડાયાગ્રામમાંનો દરેક કોષ તેના સત્ય કોષ્ટકમાં બુલિયન ફંક્શન ચલોના સમૂહને અનુરૂપ છે. (કોષ્ટક 4.4.1) માં આ પત્રવ્યવહાર બતાવવામાં આવ્યો છે, જો બૂલિયન ફંક્શન અનુરૂપ સમૂહ પર એકમ મૂલ્ય લે તો એકમ મૂકવામાં આવે છે. બુલિયન ફંક્શનના શૂન્ય મૂલ્યો વીચ ડાયાગ્રામમાં સેટ નથી. ત્રણ ચલોના બુલિયન કાર્ય માટે, વીચ ડાયાગ્રામ નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે (કોષ્ટક 4.4.2).

તેમાં સમાન કોષ્ટક ઉમેરવાથી 4 ચલોના કાર્ય માટે આકૃતિ મળે છે (કોષ્ટક 4.4.3).

એ જ રીતે, એટલે કે, હમણાં જ ધ્યાનમાં લીધેલા એકમાં 3 ચલોનો બીજો આકૃતિ ઉમેરીને, તમે 5 વેરિયેબલ વગેરેના ફંક્શન માટે ડાયાગ્રામ મેળવી શકો છો, પરંતુ 4 થી વધુ વેરિયેબલવાળા ફંક્શન માટેના ડાયાગ્રામનો ભાગ્યે જ ઉપયોગ થાય છે. નીચેના આકૃતિઓ લાક્ષણિક છે:

કોમ્બિનેશનલ સર્કિટ્સનું સંશ્લેષણ એક સરળ સમસ્યા હલ કરીને સમજાવી શકાય છે.

સમસ્યા 1

પ્રવેશ સમિતિ, જેમાં ત્રણ કમિશન સભ્યો અને એક અધ્યક્ષ હોય છે, બહુમતી મત દ્વારા અરજદારનું ભાવિ નક્કી કરે છે. મતોના સમાન વિતરણની સ્થિતિમાં, બહુમતી જૂથ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે જેમાં પસંદગી સમિતિના અધ્યક્ષ પોતાને શોધે છે. એક ઓટોમેટન બનાવો જે બહુમતી મતોનું નિર્ધારણ સુનિશ્ચિત કરે.

ઉકેલ

ઉપરોક્ત ધારણાઓને ધ્યાનમાં લેતા, સમસ્યાની સ્થિતિને સત્ય કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં અસ્પષ્ટપણે રજૂ કરી શકાય છે.

અમે એ હકીકતને ધ્યાનમાં લઈને કોષ્ટક ભરીએ છીએ કે ફંક્શન f સંપૂર્ણપણે વ્યાખ્યાયિત છે, એટલે કે. તે x1 - x4 ચલોના તમામ સંભવિત સેટ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. n ઇનપુટ ચલો માટે, ચલોના N = 2n સેટ છે. અમારા ઉદાહરણમાં, N = 24 = 16 સેટ.

આ સેટ્સ કોઈપણ ક્રમમાં લખી શકાય છે, પરંતુ તે ચડતા દ્વિસંગી કોડ ક્રમમાં વધુ સારું છે.

દશાંશ નંબર સિસ્ટમ

આ નંબર સિસ્ટમ p નો આધાર દસ બરાબર છે. આ નંબર સિસ્ટમ દસ અંકોનો ઉપયોગ કરે છે. હાલમાં, આ સંખ્યાઓ દર્શાવવા માટે વપરાતા ચિહ્નો 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 છે. દશાંશ સંખ્યા પદ્ધતિમાં સંખ્યાને એકમ, દસ, સેંકડો, હજારોના સરવાળા તરીકે લખવામાં આવે છે. , અને તેથી વધુ. એટલે કે, અડીને આવેલા અંકોનું વજન દસના પરિબળથી અલગ પડે છે. એક કરતા નાની સંખ્યાઓ એ જ રીતે લખવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સંખ્યાના અંકોને એકમનો દસમો, સોમો અથવા હજારમો કહેવામાં આવશે.

ચાલો દશાંશ સંખ્યા લખવાનું ઉદાહરણ જોઈએ. ઉદાહરણ દશાંશ નંબર સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરે છે તે દર્શાવવા માટે, અમે અનુક્રમણિકા 10 નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. જો, સંખ્યાઓ લખવાના દશાંશ સ્વરૂપ ઉપરાંત, રેકોર્ડિંગના અન્ય કોઈ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરવાનો ઈરાદો નથી, તો સામાન્ય રીતે અનુક્રમણિકાનો ઉપયોગ થતો નથી:

A 10 =247.56 10 =2*10 2 +4*10 1 +7*10 0 +5*10 -1 +6*10 -2 = 200 10 +40 10 +7 10 +0.5 10 +0 .06 10

અહીં સંખ્યાના સૌથી નોંધપાત્ર અંકને સેંકડો કહેવામાં આવશે. ઉપરના ઉદાહરણમાં, સેંકડો સંખ્યા 2 ને અનુરૂપ છે. આગળના અંકને દસ કહેવામાં આવશે. ઉપરોક્ત ઉદાહરણમાં, નંબર 4 દસને અનુરૂપ છે આગામી અંક કહેવામાં આવશે. ઉપરના ઉદાહરણમાં, એકમો નંબર 7 ને અનુરૂપ છે. દસમો નંબર 5 ને અનુરૂપ છે, અને સોમો ભાગ - 6.

બાઈનરી નંબર સિસ્ટમ

આ નંબર સિસ્ટમ p નો આધાર બે બરાબર છે. આ નંબર સિસ્ટમ બે અંકોનો ઉપયોગ કરે છે. સંખ્યાઓ દર્શાવવા માટે નવા પ્રતીકોની શોધ ન કરવા માટે, દ્વિસંગી નંબર સિસ્ટમમાં 0 અને 1 ના પ્રતીકોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો જેથી કરીને, ઇન્ડેક્સ 2 નો ઉપયોગ કરવામાં આવે નંબરો લખવાના દ્વિસંગી સ્વરૂપ ઉપરાંત, અન્ય કોઈ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરવાનો ઈરાદો નથી, તો પછી આ અનુક્રમણિકા અવગણી શકાય છે.

આ નંબર સિસ્ટમમાં સંખ્યાને એક, બે, ચાર, આઠ અને તેથી વધુના સરવાળા તરીકે લખવામાં આવે છે. એટલે કે, નજીકના અંકોના વજન બેના પરિબળથી અલગ પડે છે. એક કરતા નાની સંખ્યાઓ એ જ રીતે લખવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સંખ્યાના અંકોને એકમના અર્ધભાગ, ચતુર્થાંશ અથવા આઠમા ભાગ કહેવામાં આવશે.

ચાલો બાઈનરી નંબર લખવાનું ઉદાહરણ જોઈએ:

A 2 =101110.101 2 = 1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 +1*2 -1 +0*2 -2 + 1* 2 -3 = 32 10 +8 10 +4 10 +2 10 +0.5 10 +0.125 10 = 46.625 10

બીજી લીટીમાં દ્વિસંગી અંકોના દશાંશ સમકક્ષનું ઉદાહરણ લખતી વખતે, અમે શૂન્ય વડે ગુણાકાર કરવામાં આવતી બેની શક્તિઓ લખી નથી, કારણ કે આ માત્ર સૂત્રમાં ગડબડ તરફ દોરી જશે અને પરિણામે, સામગ્રીને સમજવામાં મુશ્કેલી પડશે. .

દ્વિસંગી નંબર સિસ્ટમનો ગેરલાભ એ સંખ્યાઓ લખવા માટે જરૂરી અંકોની મોટી સંખ્યા ગણી શકાય. આ નંબર સિસ્ટમનો ફાયદો એ અંકગણિત કામગીરી કરવામાં સરળતા છે, જેની ચર્ચા પછી કરવામાં આવશે.

ઓક્ટલ નંબર સિસ્ટમ

આ નંબર સિસ્ટમ p નો આધાર આઠ બરાબર છે. ઓક્ટલ નંબર સિસ્ટમને દ્વિસંગી સંખ્યાઓ લખવાની ટૂંકી રીત તરીકે વિચારી શકાય છે, કારણ કે નંબર આઠ એ બેની શક્તિ છે. આ નંબર સિસ્ટમ આઠ અંકોનો ઉપયોગ કરે છે. સંખ્યાઓ દર્શાવવા માટે નવા પ્રતીકોની શોધ ન કરવા માટે, ઇન્ડેક્સ 8 નંબર સિસ્ટમમાં 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 અને 7 નો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો નંબર લખવા માટે વપરાય છે.

આ નંબર સિસ્ટમમાં સંખ્યાને એક, આઠ, સાઠ ચોક્કા, વગેરેના સરવાળા તરીકે લખવામાં આવે છે. એટલે કે, અડીને આવેલા અંકોના વજન આઠના પરિબળથી અલગ પડે છે. એક કરતા નાની સંખ્યાઓ એ જ રીતે લખવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સંખ્યાના અંકોને આઠમો, ચોસઠ, અને તેથી વધુ, એકનો અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવશે.

ચાલો અષ્ટ સંખ્યા લખવાનું ઉદાહરણ જોઈએ:

A 8 =125.46 8 =1*8 2 +2*8 1 +5*8 0 +4*8 -1 +6*8 -2 = 64 10 +16 10 +5 10 +4 10 /8 10 + 6 10 /64 10 = 85.59375 10

ઉપરના ઉદાહરણની બીજી પંક્તિ વાસ્તવમાં અષ્ટ સ્વરૂપમાં લખેલી સંખ્યાને સમાન સંખ્યાના દશાંશ પ્રતિનિધિત્વમાં ફેરવે છે. એટલે કે, અમે વાસ્તવમાં સંખ્યાઓને પ્રતિનિધિત્વના એક સ્વરૂપમાંથી બીજામાં રૂપાંતરિત કરવાની રીતોમાંથી એક તરફ જોયું.

કારણ કે સૂત્ર સરળ અપૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરે છે, તે શક્ય છે કે પ્રતિનિધિત્વના એક સ્વરૂપમાંથી બીજામાં ચોક્કસ અનુવાદ અશક્ય બની જાય છે. આ કિસ્સામાં, તેઓ અપૂર્ણાંક અંકોની ચોક્કસ સંખ્યા સુધી મર્યાદિત છે.

ડિજિટલ તુલનાકારોના પ્રકાર

વિવિધ પોલેરિટી સિગ્નલોની સરખામણી કરવા માટે કમ્પેરેટર

યુનિપોલર સિગ્નલોની સરખામણી કરવા માટે કમ્પેરેટર

હિસ્ટેરેસીસ લાક્ષણિકતા સાથે યુનિપોલર વોલ્ટેજની તુલના કરવા માટે તુલના કરનાર. ગણવામાં આવતા તુલનાકારોમાં, હિસ્ટેરેસિસ ગુણધર્મો સાથેની લાક્ષણિકતાઓ મેળવી શકાય છે. તુલનાકારની કામગીરીમાં હિસ્ટેરેસિસનો પરિચય કંઈક અંશે સરખામણીની ચોકસાઈ ઘટાડે છે, પરંતુ તે અવાજ અને દખલ સામે પ્રતિરક્ષા બનાવે છે. જ્યારે વોલ્ટેજ ઊંચાથી નીચા સ્તરે બદલાય ત્યારે ઉપયોગમાં લેવાતા મૂલ્યની તુલનામાં જ્યારે વોલ્ટેજ નીચાથી ઉચ્ચ સ્તરે બદલાય ત્યારે ઉચ્ચ સંદર્ભ વોલ્ટેજ ચાલુ કરીને હિસ્ટેરેસિસ પ્રાપ્ત થાય છે. આ કિસ્સામાં, ઉચ્ચ સંદર્ભ વોલ્ટેજ મૂલ્યને ઉપલા પ્રતિભાવ થ્રેશોલ્ડ કહેવામાં આવે છે, અને નીચા મૂલ્યને નીચલા પ્રતિભાવ થ્રેશોલ્ડ કહેવામાં આવે છે. આ હકારાત્મક પ્રતિસાદ રજૂ કરીને પ્રાપ્ત થાય છે.

મલ્ટી-બીટ તુલનાકારો

ચાલો ઉદાહરણ તરીકે K555SP1 શ્રેણીના ચાર-બીટ ડિજિટલ તુલનાત્મકને ધ્યાનમાં લઈએ, જેમાંના આઠ ઇનપુટનો ઉપયોગ બે ચાર-બીટ શબ્દોને જોડવા માટે થાય છે: A0. A3, B0. B3 સરખામણી કરવી. નિયંત્રણ ઇનપુટ્સ I(A>B), (A = B) અને I(A< В) могут быть использованы для наращивания разрядности компаратора. Предусмотрены три выхода результата сравнения: А>B, A = B અને A<В.

આવા તુલનાકારનું સત્ય કોષ્ટક (કોષ્ટક 1) પંક્તિ દ્વારા પંક્તિ ત્રણ વિભાગોમાં વહેંચાયેલું છે.

પ્રથમ વિભાગ (કોષ્ટકની ટોચની આઠ પંક્તિઓ) તે કેસને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જ્યારે તુલના કરનાર ચાર-બીટ શબ્દો એકબીજા સાથે સમાન ન હોય ત્યારે કાર્ય કરે છે. આ કિસ્સામાં, સરખામણી કરવામાં આવતા શબ્દોના નીચલા બિટ્સના સંકેતોની પ્રતિક્રિયા તરીકે બીટ ઊંડાઈ વધારવાના ઇનપુટ્સ પરના સંકેતોની સરખામણીના પરિણામ પર કોઈ અસર થતી નથી.

ચોખા. 1. તુલનાત્મક પ્રકાર SP1 ની પરંપરાગત ગ્રાફિકલ રજૂઆત

આ કોષ્ટકના બીજા વિભાગની ત્રણ પંક્તિઓ બીટ ઊંડાઈ વધારવાની ક્રમિક પદ્ધતિ સાથે તુલનાકારની કામગીરીને દર્શાવે છે, એટલે કે. જ્યારે લો-ઓર્ડર કમ્પેરેટરના આઉટપુટ ઉચ્ચ-ઓર્ડર કમ્પેરેટરના કંટ્રોલ ઇનપુટ્સ સાથે જોડાયેલા હોય છે.

સિંગલ-બીટ તુલનાકારો

સિંગલ-બીટ કમ્પેરેટરમાં બે ઇનપુટ હોય છે જે એકસાથે સિંગલ-બીટ બાઈનરી નંબરો x1 અને x2 અને ત્રણ આઉટપુટ (=, >,<). Из таблицы истинности логические уравнения компаратора при сравнении x1 с x2 получаются в виде

NAND ધોરણે આવા તુલનાકારનો અમલ નીચેની આકૃતિ તરફ દોરી જાય છે (ફિગ. 2):

આકૃતિ 2. સિંગલ-બીટ બાઈનરી નંબર કમ્પેરેટર.

કોષ્ટક 1. ચાર-બીટ કમ્પેરેટર પ્રકાર SP1નું સત્ય કોષ્ટક

તુલનાકાર(એનાલોગ સિગ્નલો) (એન્જી. તુલનાકાર - સરખામણી ઉપકરણ) - એક ઇલેક્ટ્રોનિક સર્કિટ કે જે તેના ઇનપુટ પર બે એનાલોગ સિગ્નલ મેળવે છે અને જો ડાયરેક્ટ ઇનપુટ (“+”) પરનું સિગ્નલ ઇનવર્સ ઇનપુટ કરતા વધારે હોય તો લોજિકલ “1” ઉત્પન્ન કરે છે. (“−”), અને તાર્કિક “0” જો ડાયરેક્ટ ઇનપુટ પરનું સિગ્નલ વ્યસ્ત ઇનપુટ કરતાં ઓછું હોય.

દ્વિસંગી તુલનાકારનું એક સરખામણી વોલ્ટેજ સમગ્ર ઇનપુટ વોલ્ટેજ શ્રેણીને બે સબરેન્જમાં વિભાજિત કરે છે. દ્વિસંગી તુલનાકારના આઉટપુટ પર દ્વિસંગી લોજિક સિગ્નલ (બીટ) સૂચવે છે કે ઇનપુટ વોલ્ટેજ બેમાંથી કયા સબરેન્જમાં છે.

સૌથી સરળ તુલનાત્મક એ વિભેદક એમ્પ્લીફાયર છે. ઈનપુટ અને આઉટપુટ બંને તબક્કાઓની ડિઝાઇનમાં તુલનાકાર રેખીય ઓપરેશનલ એમ્પ્લીફાયર (ઓપ-એમ્પ) થી અલગ છે:

• સપ્લાય વોલ્ટેજના સ્વિંગ સુધી, ઇન્વર્ટિંગ અને નોન-ઇન્વર્ટિંગ ઇનપુટ્સ વચ્ચેના ઇનપુટ વોલ્ટેજની વિશાળ શ્રેણીને તુલનાત્મક ઇનપુટ સ્ટેજને ટકી રહેવું જોઈએ અને જ્યારે આ વોલ્ટેજની નિશાની બદલાય ત્યારે ઝડપથી પુનઃપ્રાપ્ત થવું જોઈએ.
• તુલનાકારનું આઉટપુટ સ્ટેજ ચોક્કસ પ્રકારના લોજિક સર્કિટ ઇનપુટ્સ (TTL, ESL ટેક્નોલોજી વગેરે) સાથે તાર્કિક સ્તરો અને પ્રવાહોના સંદર્ભમાં સુસંગત છે. ઓપન કલેક્ટર સાથે સિંગલ ટ્રાંઝિસ્ટર પર આધારિત આઉટપુટ સ્ટેજ શક્ય છે (TTL અને CMOS લોજિક સાથે સુસંગત).
• હિસ્ટરેટિક ટ્રાન્સફર લાક્ષણિકતા રચવા માટે, તુલનાકારો ઘણીવાર હકારાત્મક પ્રતિસાદ સાથે આવરી લેવામાં આવે છે. જ્યારે ઇનપુટ સિગ્નલ ધીમે ધીમે બદલાઈ રહ્યું હોય ત્યારે ઇનપુટ સિગ્નલમાં અવાજને કારણે આ માપ આઉટપુટ સ્ટેટના ઝડપી અનિચ્છનીય સ્વિચિંગને ટાળે છે.

જ્યારે ઇન્વર્ટિંગ ઇનપુટ પર રેફરન્સ કમ્પેરિઝન વોલ્ટેજ લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઇનપુટ સિગ્નલ નોન-ઇનવર્ટિંગ ઇનપુટ પર લાગુ થાય છે, અને કમ્પેરેટર નોન-ઇનવર્ટિંગ (અનુયાયી, બફર) હોય છે.

નોન-ઇનવર્ટિંગ ઇનપુટ પર સંદર્ભ સરખામણી વોલ્ટેજ લાગુ કરીને, ઇનવર્ટિંગ ઇનપુટ પર ઇનપુટ સિગ્નલ લાગુ થાય છે અને તુલનાકાર ઇન્વર્ટિંગ (ઇનવર્ટિંગ) છે.

પ્રતિસાદ દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલા તાર્કિક ઘટકો પર આધારિત તુલનાકર્તાઓ સામાન્ય રીતે ઓછા ઉપયોગમાં લેવાય છે (જુઓ, ઉદાહરણ તરીકે, શ્મિટ ટ્રિગર - પ્રકૃતિ દ્વારા તુલનાત્મક નથી, પરંતુ એપ્લિકેશનના ખૂબ સમાન અવકાશ સાથેનું ઉપકરણ).

જ્યારે ગાણિતિક રીતે તુલનાકારનું મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તુલનાકારના આઉટપુટ વોલ્ટેજની સમસ્યા ઊભી થાય છે જ્યારે તુલનાકારના બંને ઇનપુટ પરના વોલ્ટેજ સમાન હોય છે. આ બિંદુએ, તુલનાકાર અસ્થિર સંતુલનની સ્થિતિમાં છે. "સોફ્ટવેર તુલનાકાર" પેટા વિભાગમાં વર્ણવેલ સમસ્યાને ઘણી અલગ અલગ રીતે ઉકેલી શકાય છે.

પલ્સ કાઉન્ટર– ઇનપુટ પર લાગુ કઠોળની સંખ્યા ગણવા માટે રચાયેલ ઇલેક્ટ્રોનિક ઉપકરણ. પ્રાપ્ત કઠોળની સંખ્યા બાઈનરી નંબર સિસ્ટમમાં દર્શાવવામાં આવે છે.

પલ્સ કાઉન્ટર્સ એ એક પ્રકારનું રજિસ્ટર (ગણતરી રજિસ્ટર) છે અને તે અનુક્રમે ફ્લિપ-ફ્લોપ અને લોજિક તત્વો પર બનેલ છે.

કાઉન્ટર્સના મુખ્ય સૂચકાંકો ગણતરી ગુણાંક K 2n છે - કઠોળની સંખ્યા જે કાઉન્ટર દ્વારા ગણી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાર ફ્લિપ-ફ્લોપ ધરાવતા કાઉન્ટરમાં મહત્તમ ગણતરી પરિબળ 24=16 હોઈ શકે છે. ચાર-ટ્રિગર કાઉન્ટર માટે, ન્યૂનતમ આઉટપુટ કોડ 0000 છે, મહત્તમ -1111 છે, અને ગણતરી ગુણાંક Kc = 10 સાથે, આઉટપુટ ગણતરી કોડ 1001 = 9 પર અટકે છે.

આકૃતિ 1, a શ્રેણીમાં જોડાયેલા ટી-ફ્લિપ-ફ્લોપ્સનો ઉપયોગ કરીને ચાર-બીટ કાઉન્ટરનું સર્કિટ બતાવે છે. પ્રથમ ફ્લિપ-ફ્લોપના કાઉન્ટિંગ ઇનપુટને કાઉન્ટિંગ કઠોળ પૂરા પાડવામાં આવે છે. અનુગામી ફ્લિપ-ફ્લોપના ગણતરી ઇનપુટ્સ અગાઉના ફ્લિપ-ફ્લોપના આઉટપુટ સાથે જોડાયેલા છે.

સર્કિટની કામગીરી આકૃતિ 1, b માં બતાવેલ સમય આકૃતિઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે. જ્યારે પ્રથમ ગણતરી પલ્સ આવે છે, ત્યારે તેના ઘટાડા પર, પ્રથમ ટ્રિગર Q1 = 1 રાજ્યમાં જાય છે, એટલે કે. ડિજીટલ કોડ 0001 કાઉન્ટરમાં લખાયેલ છે બીજી ગણતરી પલ્સ ના અંતે, પ્રથમ ટ્રિગર "0" રાજ્ય પર સ્વિચ કરે છે, અને બીજો "1" રાજ્ય પર સ્વિચ કરે છે. કાઉન્ટર નંબર 2 ને કોડ 0010 સાથે રેકોર્ડ કરે છે.

આકૃતિ 1 – બાઈનરી ફોર-બીટ કાઉન્ટર: a) સર્કિટ, b) ગ્રાફિકલ હોદ્દો, c) ઓપરેશનના સમય આકૃતિઓ

ડાયાગ્રામ (ફિગ. 1, બી) થી તે સ્પષ્ટ છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, 5 મી પલ્સના ઘટાડા અનુસાર, કોડ 0101 કાઉન્ટરમાં લખાયેલ છે, 9 મી - 1001, વગેરે અનુસાર. 15મી પલ્સના અંતે, કાઉન્ટરના તમામ બિટ્સ "1" સ્થિતિ પર સેટ કરવામાં આવે છે, અને 16મી પલ્સના પતન પર, બધા ટ્રિગર્સ રીસેટ થાય છે, એટલે કે, કાઉન્ટર તેની મૂળ સ્થિતિમાં જાય છે. કાઉન્ટરને શૂન્ય પર દબાણ કરવા માટે, ત્યાં "રીસેટ" ઇનપુટ છે.

દ્વિસંગી કાઉન્ટરનો ગણતરી ગુણાંક Ксч = 2n સંબંધમાંથી જોવા મળે છે, જ્યાં n એ કાઉન્ટરના બિટ્સ (ટ્રિગર્સ) ની સંખ્યા છે.

કઠોળની સંખ્યા ગણવી એ ડિજિટલ માહિતી પ્રક્રિયા ઉપકરણોમાં સૌથી સામાન્ય કામગીરી છે.

દ્વિસંગી કાઉન્ટરની કામગીરી દરમિયાન, દરેક અનુગામી ટ્રિગરના આઉટપુટ પર પલ્સ રિપીટિશન રેટ તેના ઇનપુટ કઠોળની આવર્તન (ફિગ. 1, b) ની સરખામણીમાં અડધો થઈ જાય છે. તેથી, કાઉન્ટર્સનો ઉપયોગ આવર્તન વિભાજક તરીકે પણ થાય છે.

એન્કોડર(જેને એન્કોડર પણ કહેવાય છે) સિગ્નલને ડિજિટલ કોડમાં રૂપાંતરિત કરે છે, મોટાભાગે દશાંશ સંખ્યાને બાઈનરી નંબર સિસ્ટમમાં.

એન્કોડરમાં m ઇનપુટ હોય છે, જે દશાંશ નંબરો (0, 1,2,..., m - 1), અને n આઉટપુટ સાથે ક્રમિક રીતે ક્રમાંકિત હોય છે. ઇનપુટ્સ અને આઉટપુટની સંખ્યા નિર્ભરતા 2n = m (ફિગ. 2, a) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. અંગ્રેજી શબ્દ Coder ના અક્ષરોમાંથી "CD" ચિહ્ન બને છે.

ઇનપુટમાંથી એક પર સિગ્નલ લાગુ કરવાથી ઇનપુટ નંબરને અનુરૂપ n-bit બાઈનરી નંબરના આઉટપુટ પર દેખાવમાં પરિણમે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે 4 થી ઇનપુટ પર પલ્સ લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે આઉટપુટ પર ડિજિટલ કોડ 100 દેખાય છે (ફિગ. 2, a).

ડીકોડર્સ (જેને ડીકોડર્સ પણ કહેવાય છે) નો ઉપયોગ દ્વિસંગી સંખ્યાઓને પાછી નાની દશાંશ સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવા માટે થાય છે. ડીકોડર ઇનપુટ્સ (ફિગ. 2, b) દ્વિસંગી નંબરો પૂરા પાડવા માટે છે, આઉટપુટને દશાંશ સંખ્યાઓ સાથે ક્રમિક રીતે ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે. જ્યારે ઇનપુટ્સ પર બાઈનરી નંબર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ચોક્કસ આઉટપુટ પર સિગ્નલ દેખાય છે, જેની સંખ્યા ઇનપુટ નંબરને અનુરૂપ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોડ 110 લાગુ કરતી વખતે, સિગ્નલ 6ઠ્ઠા આઉટપુટ પર દેખાશે.

આકૃતિ 2 – a) UGO એન્કોડર, b) UGO ડીકોડર

મલ્ટિપ્લેક્સર- એક ઉપકરણ જેમાં એડ્રેસ કોડ અનુસાર આઉટપુટ ઇનપુટમાંથી એક સાથે જોડાયેલ છે. તે. મલ્ટિપ્લેક્સર એ ઇલેક્ટ્રોનિક સ્વીચ અથવા કમ્યુટેટર છે.

આકૃતિ 3 – મલ્ટિપ્લેક્સર: a) ગ્રાફિકલ હોદ્દો, b) સ્ટેટ ટેબલ

એડ્રેસ કોડ ઇનપુટ્સ A1, A2 ને પૂરો પાડવામાં આવે છે, જે નિર્ધારિત કરે છે કે કયા સિગ્નલ ઇનપુટ્સ ઉપકરણના આઉટપુટ પર પ્રસારિત થશે (ફિગ. 3).

માહિતીને ડિજિટલથી એનાલોગ સ્વરૂપમાં કન્વર્ટ કરવા માટે, તેઓ ઉપયોગ કરે છે ડિજિટલ-ટુ-એનાલોગ કન્વર્ટર (ડીએસી), અને વ્યસ્ત પરિવર્તન માટે - એનાલોગ-ટુ-ડિજિટલ કન્વર્ટર (ADCs).

DAC નો ઇનપુટ સિગ્નલ એ બાઈનરી મલ્ટી-બીટ નંબર છે, અને આઉટપુટ સિગ્નલ એ વોલ્ટેજ Uout છે, જે સંદર્ભ વોલ્ટેજના આધારે જનરેટ થાય છે.

એનાલોગ-થી-ડિજિટલ રૂપાંતરણ પ્રક્રિયા (ફિગ. 4) બે તબક્કાઓ ધરાવે છે: સમય નમૂના (સેમ્પલિંગ) અને સ્તર પરિમાણ. સેમ્પલિંગ પ્રક્રિયામાં સતત સિગ્નલના મૂલ્યોને સમયના અલગ બિંદુઓ પર માપવાનો સમાવેશ થાય છે.

આકૃતિ 4 – એનાલોગ-થી-ડિજિટલ રૂપાંતર પ્રક્રિયા

પરિમાણ માટે, ઇનપુટ સિગ્નલમાં ફેરફારોની શ્રેણીને સમાન અંતરાલોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે - પરિમાણ સ્તર. અમારા ઉદાહરણમાં આઠ છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે ત્યાં ઘણા વધુ છે. ક્વોન્ટાઇઝેશન ઑપરેશન એ અંતરાલ નક્કી કરવા માટે નીચે આવે છે જેમાં નમૂનાનું મૂલ્ય ઘટે છે અને આઉટપુટ મૂલ્યને ડિજિટલ કોડ સોંપવામાં આવે છે.

રજિસ્ટર એ એક કાર્યાત્મક એકમ છે જે એક જ પ્રકારના અનેક ટ્રિગર્સને જોડે છે.

નોંધણી પ્રકારો:

1) લેચ રજીસ્ટર- લૅચ્ડ ટ્રિગર્સ (K155TM5; K155TM7) પર બનેલ છે, જેમાં રેકોર્ડિંગ સ્ટ્રોબ સિગ્નલના સ્તર દ્વારા કરવામાં આવે છે.

K155TM8 ટ્રિગરમાં, સ્ટ્રોબ સિગ્નલની હકારાત્મક ધાર દ્વારા રેકોર્ડિંગ હાથ ધરવામાં આવે છે.

2) શિફ્ટ રજીસ્ટર- માત્ર ક્રમિક કોડ રિસેપ્શનનું કાર્ય કરો.

3) યુનિવર્સલ રજિસ્ટર- સમાંતર અને સીરીયલ કોડમાં માહિતી પ્રાપ્ત કરી શકે છે.

4) ખાસ રજીસ્ટર– K589IR12 પાસે ઉપયોગ માટે વધારાના વિકલ્પો છે.

શિફ્ટ રજીસ્ટર

આ એક રજિસ્ટર છે, જેનાં સમાવિષ્ટો, જ્યારે નિયંત્રણ સંકેત લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઉચ્ચ અથવા નીચલા અંકો તરફ ખસેડી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડાબી પાળી કોષ્ટક 9 માં દર્શાવેલ છે.

કોષ્ટક 9 કોડ શિફ્ટ ડાબે

યુનિવર્સલ રજિસ્ટર

તેમની પાસે તમામ બિટ્સ માટે બાહ્ય આઉટપુટ અને ઇનપુટ્સ છે, તેમજ સીરીયલ DS ઇનપુટ છે.

સાર્વત્રિક રજિસ્ટર બે પ્રકારના હોય છે:

1) એક રજિસ્ટર જે ફક્ત એક જ દિશામાં શિફ્ટ કરે છે અને સમાંતરમાં કોડ મેળવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, K155IR1; K176IR3).

2) ચાર ઓપરેટિંગ મોડ્સ સાથે: જમણે/ડાબે શિફ્ટ કરો; સમાંતર સ્વાગત; સંગ્રહ (ઉદાહરણ તરીકે, 8-બીટ રજિસ્ટર K155IR13; 4-બીટ રજિસ્ટર K500IR141).

ડિજિટલ ઉપકરણોમાં નંબર કોડ્સ પર કરવામાં આવતી મુખ્ય પ્રાથમિક કામગીરી અંકગણિત ઉમેરણ છે.

લોજિકલ એડરઓપરેટિંગ નોડ જે કરે છે અંકગણિતબે નંબરોના કોડ ઉમેરી રહ્યા છે. અંકગણિત ઉમેરા દરમિયાન, અન્ય વધારાની ક્રિયાઓ કરવામાં આવે છે: સંખ્યાના સંકેતોને ધ્યાનમાં લેવું, શરતોના ક્રમને સંરેખિત કરવું અને તેના જેવા. આ ઑપરેશન્સ એરિથમેટિક લોજિક યુનિટ્સ (ALUs) અથવા પ્રોસેસિંગ એલિમેન્ટ્સમાં કરવામાં આવે છે, જેનો મુખ્ય ભાગ એડર છે.

એડર્સને વિવિધ માપદંડો અનુસાર વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

નંબર સિસ્ટમ પર આધાર રાખીનેભેદ પાડવો:

• દ્વિસંગી
• દ્વિસંગી દશાંશ (સામાન્ય રીતે, દ્વિસંગી કોડેડ);
• દશાંશ;
• અન્ય (ઉદાહરણ તરીકે, કંપનવિસ્તાર).

ઉમેરવામાં આવેલ સંખ્યાઓના એકસાથે પ્રક્રિયા કરેલા અંકોની સંખ્યા દ્વારા:

• એક અંક,
• મલ્ટી-બીટ

સિંગલ-બીટ બાઈનરી એડર્સના ઇનપુટ્સ અને આઉટપુટની સંખ્યા દ્વારા:

• ક્વાર્ટર-એડર્સ ("સમ મોડ્યુલો 2" તત્વો; "વિશિષ્ટ OR" તત્વો), જે બે ઇનપુટ્સની હાજરી દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, જેમાં બે સિંગલ-ડિજિટ નંબરો પૂરા પાડવામાં આવે છે, અને એક આઉટપુટ, જેના પર તેમનો અંકગણિત સરવાળો થાય છે;
• અર્ધ-એડર્સ, બે ઇનપુટની હાજરી દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, જેમાં બે સંખ્યાના સમાન અંકો પૂરા પાડવામાં આવે છે, અને બે આઉટપુટ: એક આપેલ અંકમાં અંકગણિત રકમનો અમલ કરે છે, અને બીજો આગામી (ઉચ્ચ અંક) પર સ્થાનાંતરિત કરે છે. ;
• સંપૂર્ણ સિંગલ-બીટ દ્વિસંગી ઉમેરનાર, ત્રણ ઇનપુટ્સની હાજરી દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, જેમાં બે સંખ્યાઓના સમાન અંકો ઉમેરવામાં આવે છે અને અગાઉના (નીચલા) અંકમાંથી સ્થાનાંતરણ પૂરું પાડવામાં આવે છે, અને બે આઉટપુટ: એક પર, આમાં અંકગણિતનો સરવાળો અંક સમજાય છે, અને બીજી બાજુ, આગામી (ઉચ્ચ) ડિસ્ચાર્જમાં સ્થાનાંતરણ).

ઉમેરવામાં આવેલી સંખ્યાઓને રજૂ કરવાની અને પ્રક્રિયા કરવાની રીત દ્વારામલ્ટી-બીટ એડર્સ વિભાજિત કરવામાં આવે છે:

• ક્રમિક, જેમાં સંખ્યાઓ પર એક પછી એક પ્રક્રિયા કરવામાં આવે છે, સમાન સાધનો પર અંક દ્વારા અંક;
• સમાંતર, જેમાં તમામ અંકોમાં શબ્દો એકસાથે ઉમેરવામાં આવે છે, અને દરેક અંકનું પોતાનું સાધન છે.

સૌથી સરળ કિસ્સામાં, સમાંતર એડરમાં n વન-બીટ એડર્સનો સમાવેશ થાય છે, ક્રમિક રીતે (ઓછામાં ઓછા નોંધપાત્રથી સૌથી નોંધપાત્ર સુધી) કેરી સર્કિટ દ્વારા જોડાયેલા હોય છે. જો કે, આવા એડર સર્કિટને પ્રમાણમાં ઓછી કામગીરી દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, કારણ કે દરેક i-th બીટમાં સરવાળો અને વહન સિગ્નલ (i-1) th બીટમાંથી ટ્રાન્સફર સિગ્નલ આવે તે પછી જ થાય છે એડર ટ્રાન્સફર ચેઇન સાથે સિગ્નલ પ્રચાર સમય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. સમાંતર એડર્સ બનાવતી વખતે આ સમય ઘટાડવો એ મુખ્ય કાર્ય છે.

ટ્રાન્સફર સિગ્નલનો પ્રચાર સમય ઘટાડવા માટે, આનો ઉપયોગ કરો: રચનાત્મક નિર્ણયો