二次方程式 x1 x2。 二次方程式

二次方程式の根の公式。 実根、複数根、複素根の場合を考慮します。 二次三項式の因数分解。 幾何学的な解釈。 ルートの決定と因数分解の例。

コンテンツ

以下も参照してください。 オンラインで二次方程式を解く

基本的な公式

次の二次方程式を考えてみましょう。
(1) .
二次方程式の根(1) は次の式で求められます。
; .
これらの式は次のように組み合わせることができます。
.
二次方程式の根がわかっている場合、2 次の多項式は因数の積 (因数分解) として表すことができます。
.

次に、 が実数であると仮定します。
考えてみましょう 二次方程式の判別式:
.
判別式が正の場合、二次方程式 (1) には 2 つの異なる実根があります。
; .
二次三項式の因数分解は次の形式になります。
.
判別式がゼロに等しい場合、二次方程式 (1) には 2 つの倍数 (等しい) 実根があります。
.
因数分解:
.
判別式が負の場合、二次方程式 (1) には 2 つの複素共役根があります。
;
.
これは虚数単位です。
そして、根の実部と虚部です。
; .
それから

.

グラフィック解釈

関数をプロットすると
,
これが放物線の場合、グラフと軸の交点が方程式の根になります。
.
のとき、グラフは 2 点で x 軸 (軸) と交差します ()。
のとき、グラフは 1 点で x 軸に接触します ()。
の場合、グラフは x 軸と交差しません ()。

二次方程式に関する便利な公式

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

二次方程式の根の公式の導出

変換を実行し、式 (f.1) と (f.3) を適用します。




,
どこ
; .

したがって、次の形式で 2 次多項式の公式が得られました。
.
これは、方程式が次のことを示しています。

で演奏されました
そして 。
つまり、 と は二次方程式の根です
.

二次方程式の根を求める例

例1

(1.1) .

.
方程式 (1.1) と比較すると、係数の値がわかります。
.
判別式を見つけます。
.
判別式は正であるため、方程式には 2 つの実根があります。
;
;
.

ここから、二次三項式の因数分解を取得します。

.

関数 y = のグラフ 2×2+7×+3は 2 点で X 軸と交差します。

関数をプロットしてみましょう
.
この関数のグラフは放物線になります。 次の 2 点で横軸 (axis) と交差します。
そして 。
これらの点は、元の式 (1.1) の根です。

;
;
.

例 2

二次方程式の根を求める：
(2.1) .

二次方程式を一般形式で書いてみましょう。
.
元の式 (2.1) と比較すると、係数の値がわかります。
.
判別式を見つけます。
.
判別式がゼロであるため、方程式には 2 つの多重 (等しい) 根があります。
;
.

この場合、三項式の因数分解は次の形式になります。
.

関数 y = x のグラフ 2～4×+4 x 軸に 1 点で接触します。

関数をプロットしてみましょう
.
この関数のグラフは放物線になります。 それは 1 点で x 軸 (軸) と接触します。
.
この点は、元の方程式 (2.1) の根です。 このルートは 2 回因数分解されるため、次のようになります。
,
このようなルートは通常、倍数と呼ばれます。 つまり、彼らは 2 つの等しい根が存在すると信じています。
.

;
.

例 3

二次方程式の根を求める：
(3.1) .

二次方程式を一般形式で書いてみましょう。
(1) .
元の式 (3.1) を書き直してみましょう。
.
(1) と比較すると、係数の値がわかります。
.
判別式を見つけます。
.
判別式は負です。 したがって、本当の根は存在しません。

複雑なルートを見つけることができます。
;
;
.

それから


.

関数のグラフは X 軸と交差しません。 本当の根はありません。

関数をプロットしてみましょう
.
この関数のグラフは放物線になります。 X軸（軸）とは交差しません。 したがって、本当の根は存在しません。

本当の根はありません。 複雑なルート:
;
;
.

以下も参照してください。

数学の問題の中には、平方根の値を計算する能力が必要なものもあります。 このような問題には、2 次方程式を解くことが含まれます。 この記事でご紹介するのは、 効果的な方法平方根の計算に使用し、二次方程式の根の式を操作するときに使用します。

平方根とは何ですか?

数学では、この概念は記号 √ に対応します。 歴史的データによると、これは 16 世紀前半頃にドイツで初めて使用されました (クリストフ・ルドルフによるドイツ初の代数に関する著作)。 科学者たちは、この記号はラテン文字 r (基数はラテン語で「根」を意味します) が変形したものであると考えています。

任意の数値の根は、その二乗が根号式に対応する値と等しくなります。 数学の言語では、この定義は次のようになります: y 2 = x の場合、√x = y。

正の数 (x > 0) の根も正の数 (y > 0) ですが、負の数 (x の根) を取ると、< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

以下に 2 つの簡単な例を示します。

3 2 = 9 なので、√9 = 3。 i 2 = -1 なので、√(-9) = 3i。

平方根の値を求めるための Heron の反復公式

上記の例は非常に単純であり、その根を計算することは難しくありません。 正方形として表現できない値のルート値を見つけるときに問題が発生し始める 自然数、たとえば、√10、√11、√12、√13。実際には、非整数の根を求める必要があるという事実は言うまでもありません。たとえば、√(12,15)、√(8,5)等々。

上記のすべての場合において、平方根を計算するための特別な方法を使用する必要があります。 現在、そのような方法がいくつか知られています。たとえば、テイラー級数展開、列分割などです。 すべての既知の方法の中で、おそらく最も簡単で効果的なのはヘロンの反復公式の使用です。これは平方根を求めるバビロニアの方法としても知られています (古代バビロニア人が実際の計算にそれを使用したという証拠があります)。

√x の値を決定する必要があるとしましょう。 平方根を求める公式は次のとおりです。

a n+1 = 1/2(a n +x/a n)、ここで lim n->∞ (a n) => x。

この数学表記を解読してみましょう。 √x を計算するには、特定の数値 0 を取得する必要があります (これは任意で構いませんが、結果をすぐに得るには、(a 0) 2 が x にできるだけ近くなるようにその数値を選択する必要があります。その後、それを次の式に代入します)平方根を計算するための示された式を実行し、新しい数値 1 を取得します。この数値は、既に目的の値に近づいています。この後、式に 1 を代入して 2 を取得する必要があります。この手順は、次まで繰り返す必要があります。必要な精度が得られます。

Heron の反復公式の使用例

特定の数値の平方根を取得するための上記のアルゴリズムは、多くの人にとって非常に複雑で混乱しているように聞こえるかもしれませんが、実際には、この式は非常に早く収束するため (特に成功した数値 0 が選択された場合)、すべてがはるかに単純であることがわかります。 。

簡単な例を挙げてみましょう。√11 を計算する必要があります。 3 2 = 9 は 4 2 = 16 よりも 11 に近いため、0 = 3 を選択しましょう。式に代入すると、次のようになります。

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3.333333;

a 2 = 1/2(3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;

a 3 = 1/2(3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662。

2 と 3 は小数点第 5 位からのみ違い始めることがわかったので、計算を続ける意味はありません。 したがって、0.0001 の精度で √11 を計算するには、この式を 2 回適用するだけで十分です。

現在、根の計算には電卓やコンピューターが広く使用されていますが、正確な値を手動で計算できるように、マークされた式を覚えておくと便利です。

2次方程式

平方根とは何かを理解し、それを計算する能力は、二次方程式を解く際に使用されます。 これらの方程式は未知数を 1 つ含む等式と呼ばれ、その一般的な形式を次の図に示します。

ここで、c、b、a はいくつかの数値を表し、a はゼロであってはならず、c と b の値はゼロを含む完全に任意の値にすることができます。

図に示されている等式を満たす x の値はすべてその根と呼ばれます (この概念を平方根 √ と混同しないでください)。 考慮中の方程式は 2 次 (x 2) であるため、その方程式の根は 2 つを超えることはできません。 この記事では、これらのルートを見つける方法をさらに詳しく見てみましょう。

二次方程式の根を求める（公式）

検討中のタイプの等式を解くこの方法は、ユニバーサル法または判別法とも呼ばれます。 あらゆる二次方程式に使用できます。 二次方程式の判別式と根の式は次のとおりです。

これは、根が方程式の 3 つの係数のそれぞれの値に依存することを示しています。 また、x 1 の計算と x 2 の計算は、平方根の前の符号が異なるだけです。 b 2 - 4ac に等しい根次式は、問題の等式の判別式にすぎません。 二次方程式の根の公式の判別式は、解の数と種類を決定するため、重要な役割を果たします。 したがって、それがゼロに等しい場合、解は 1 つだけあり、それが正の場合、方程式には 2 つの実根があり、最後に、負の判別式により 2 つの複素根 x 1 と x 2 が得られます。

ビエタの定理または 2 次方程式の根のいくつかの性質

16 世紀末、近代代数学の創始者の 1 人であるフランス人が 2 次方程式を研究し、その根の性質を得ることができました。 数学的には次のように書くことができます。

x 1 + x 2 = -b / a および x 1 * x 2 = c / a。

どちらの等式も誰でも簡単に求めることができます。これを行うには、判別式を使用して公式から得られた根に対して適切な数学的演算を実行するだけです。

これら 2 つの式の組み合わせは、まさに 2 次方程式の根の 2 番目の式と呼ぶことができ、判別式を使用せずに解を推測することが可能になります。 ここで、どちらの式も常に有効ですが、因数分解できる場合にのみ方程式を解くためにこれらを使用すると便利であることに注意してください。

得た知識を定着させる仕事

この記事で説明されているすべてのテクニックを実証する数学的問題を解決してみましょう。 問題の条件は次のとおりです。積が -13 で合計が 4 となる 2 つの数値を見つける必要があります。

この条件は、平方根の和とその積の公式を使用して次のように書くビエタの定理をすぐに思い出させます。

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13。

a = 1 と仮定すると、b = -4、c = -13 となります。 これらの係数を使用して、2 次の方程式を作成できます。

x 2 - 4x - 13 = 0。

判別式を使用して次の根を求めてみましょう。

x 1.2 = (4 ± √D)/2、D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68。

つまり、問題は√68という数字を見つけることに帰着しました。 68 = 4 * 17 であることに注意してください。平方根プロパティを使用すると、√68 = 2√17 が得られます。

ここで、考慮された平方根の式、a 0 = 4 を使用してみましょう。その場合、次のようになります。

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4.125;

a 2 = 1/2(4.125 + 17/4.125) = 4.1231。

見つかった値の違いは 0.02 だけであるため、3 を計算する必要はありません。 したがって、√68 = 8.246となります。 これを x 1,2 の式に代入すると、次のようになります。

x 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123、x 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123。

ご覧のとおり、見つかった数値の合計は実際には 4 に等しくなりますが、その積を求めると -12.999 となり、精度 0.001 で問題の条件を満たします。

完全な二次方程式は次の形式の方程式であることを思い出してください。

完全な 2 次方程式を解くことは、これらよりも少し (ほんの少しだけ) 難しくなります。

覚えて、 二次方程式は判別式を使用して解くことができます。

未完成でも。

他の方法を使用すると、より速く解くことができますが、二次方程式で問題が発生した場合は、まず判別式を使用した解法をマスターしてください。

1. 判別式を使用して二次方程式を解きます。

この方法を使用して二次方程式を解くのは非常に簡単です。重要なのは、一連のアクションといくつかの公式を覚えておくことです。

場合、方程式には 2 つの根があります。 ステップ 2 には特に注意する必要があります。

判別式 D は方程式の根の数を示します。

• の場合、ステップ内の式は次のようになります。 したがって、方程式には根のみが存在します。
• そうすると、そのステップで判別式の根を抽出することができなくなります。 これは、方程式に根がないことを示しています。

二次方程式の幾何学的意味に目を向けましょう。

関数のグラフは放物線です。

方程式に戻り、いくつかの例を見てみましょう。

例9

方程式を解く

ステップ1私たちはスキップします。

ステップ2。

判別式を見つけます。

これは、方程式には 2 つの根があることを意味します。

ステップ3。

答え：

例 10

方程式を解く

方程式は標準形式で示されているため、 ステップ1私たちはスキップします。

ステップ2。

判別式を見つけます。

これは、方程式の根が 1 つであることを意味します。

答え：

例 11

方程式を解く

方程式は標準形式で示されているため、 ステップ1私たちはスキップします。

ステップ2。

判別式を見つけます。

これは、判別式の根を抽出できないことを意味します。 方程式の根はありません。

これで、そのような答えを正しく書き留める方法がわかりました。

答え：根がない

2. ビエタの定理を使用して二次方程式を解く

覚えていると思いますが、reduced (係数 a が等しい場合) と呼ばれるタイプの方程式があります。

このような方程式は、ビエタの定理を使用すると非常に簡単に解くことができます。

根の和 与えられた二次方程式は等しく、根の積は等しい。

積が方程式の自由項に等しく、その合計が 2 番目の係数を反対の符号でとったものに等しい数値のペアを選択するだけです。

例 12

方程式を解く

この方程式はビエタの定理を使用して解くことができます。 。

方程式の根の合計は等しい、つまり 最初の方程式が得られます。

そして積は次と等しくなります。

システムを構成して解決しましょう。

• そして。 金額は次のとおりです。
• そして。 金額は次のとおりです。
• そして。 金額は同等です。

システムの解決策は次のとおりです。

答え： ; .

例 13

方程式を解く

答え：

例 14

方程式を解く

方程式が与えられます。これは次のことを意味します。

答え：

二次方程式。 平均レベル

二次方程式とは何ですか?

言い換えれば、二次方程式は、 - 未知のもの、 - いくつかの数値、そして

その数字は最高または最高と呼ばれます 最初の係数二次方程式、- 2番目の係数、A - 無料会員.

なぜなら、方程式がすぐに線形になると、 消えるだろう。

この場合、 および はゼロに等しくなります。 この椅子では方程式は次のように呼ばれます 不完全な.

すべての項が適切であれば、方程式は次のようになります。 完了.

不完全な二次方程式を解く方法

まず、不完全な二次方程式を解く方法を見てみましょう - それらはより簡単です。

次のタイプの方程式を区別できます。

I.、この式では係数と自由項は等しいです。

II. 、この式では係数は等しいです。

Ⅲ． 、この式では自由項は次の値に等しい。

次に、これらのサブタイプのそれぞれに対する解決策を見てみましょう。

明らかに、この方程式には常に根が 1 つだけあります。

2 つの負の数または 2 つの正の数を乗算すると、結果は常に正の数になるため、平方数は負の数にはなりません。 それが理由です：

場合、方程式には解がありません。

ルートが 2 つある場合

これらの公式を覚える必要はありません。 覚えておくべき主な点は、それよりも小さくすることはできないということです。

二次方程式を解く例

例 15

答え：

マイナス記号の付いたルートを決して忘れないでください。

例 16

数値の 2 乗を負にすることはできません。つまり、次の方程式は次のようになります。

根がない。

問題に解決策がないことを簡単に示すために、空のセットのアイコンを使用します。

答え：

例 17

したがって、この方程式には 2 つの根があります: と。

答え：

括弧内の共通因数を取り出してみましょう。

因数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、積はゼロに等しくなります。 これは、次の場合に方程式に解があることを意味します。

したがって、この二次方程式には 2 つの根があります: と。

例：

方程式を解きます。

解決：

方程式の左辺を因数分解して根を求めてみましょう。

答え：

完全な二次方程式を解く方法

1. 判別式

この方法で二次方程式を解くのは簡単です。重要なのは、一連の操作といくつかの公式を覚えておくことです。 二次方程式は判別式を使用して解くことができることを覚えておいてください。 未完成でも。

根の公式の判別式から根が出ていることに気づきましたか？

ただし、判別式は負の値になる場合があります。

何をするか？

ステップ 2 には特に注意を払う必要があります。判別式は方程式の根の数を示します。

• 次の場合、方程式には根があります。
• もし、方程式の根が同じで、実際には根が 1 つある場合:

  このような根は二重根と呼ばれます。

• 場合、判別式の根は抽出されません。 これは、方程式に根がないことを示しています。

なぜさまざまな数のルートが考えられるのでしょうか?

二次方程式の幾何学的意味に目を向けましょう。 関数のグラフは放物線です。

特殊な場合、つまり二次方程式では、 .

これは、二次方程式の根が横軸（軸）との交点であることを意味します。

放物線は軸とまったく交差しないことも、1 点 (放物線の頂点が軸上にある場合) または 2 点で交差することもあります。

さらに、係数は放物線の枝の方向に影響します。 放物線の枝は上向きであり、場合は下向きです。

二次方程式を解く 4 つの例

例 18

答え：

例 19

答え： 。

例 20

答え：

例 21

これは、解決策がないことを意味します。

答え： 。

2. ビエタの定理

ビエタの定理の使用は非常に簡単です。

あなたに必要なのは 選び出すこのような数値のペア。その積は方程式の自由項に等しく、その合計は反対の符号を付けた 2 番目の係数に等しくなります。

ビエタの定理は次の場合にのみ適用できることを覚えておくことが重要です。 縮小二次方程式 ()。

いくつかの例を見てみましょう。

例 22

方程式を解きます。

解決：

この方程式はビエタの定理を使用して解くことができます。 。 その他の係数: ; 。

方程式の根の合計は次のとおりです。

そして積は次と等しくなります。

積が等しい数値のペアを選択し、それらの合計が等しいかどうかを確認してみましょう。

• そして。 金額は次のとおりです。
• そして。 金額は次のとおりです。
• そして。 金額は同等です。

システムの解決策は次のとおりです。

したがって、 と は方程式の根です。

答え： ; 。

例 23

解決：

積で得られる数値のペアを選択し、それらの合計が等しいかどうかを確認してみましょう。

そして：彼らは合計で与えます。

そして：彼らは合計で与えます。 取得するには、想定されるルートの符号を変更するだけで十分です。そして結局のところ、製品です。

答え：

例 24

解決：

方程式の自由項は負であるため、根の積は負の数になります。 これは、根の一方が負で、もう一方が正の場合にのみ可能です。 したがって、根の合計は次のようになります。 モジュールの違い.

積で与えられ、その差が以下に等しい数値のペアを選択しましょう。

そして：それらの差は等しい - 適合しません。

および: - 適切ではありません。

および: - 適切ではありません。

そして： - 適切です。 残っているのは、根の 1 つがネガティブであることを覚えておくことだけです。 それらの合計は等しい必要があるため、係数が小さい方の根は負である必要があります: 。 私たちは以下をチェックします:

答え：

例 25

方程式を解きます。

解決：

方程式が与えられます。これは次のことを意味します。

自由項は負であるため、根の積は負になります。 そして、これは方程式の一方の根が負で、もう一方の根が正の場合にのみ可能です。

積が等しい数値のペアを選択し、どの根に負の符号を付けるかを決定してみましょう。

明らかに、最初の条件に適しているのはルートとのみです。

答え：

例 26

方程式を解きます。

解決：

方程式が与えられます。これは次のことを意味します。

根の合計は負です。これは、根の少なくとも 1 つが負であることを意味します。 しかし、それらの積は正であるため、両方の根にマイナス符号があることを意味します。

積が次と等しい数値のペアを選択しましょう。

明らかに、ルートは数値とです。

答え：

同意します。この厄介な判別式を数える代わりに、口頭でルートを考え出すのは非常に便利です。

ビエタの定理をできるだけ頻繁に使用するようにしてください。

しかし、ビエタの定理は、根の発見を容易にし、迅速化するために必要です。

これを使用することでメリットを享受するには、アクションを自動化する必要があります。 このために、さらに 5 つの例を解きます。

ただし、不正行為はしないでください。判別式は使用できません。 ビエタの定理だけ！

独立した作業に関するビエタの定理の 5 つの例

例 27

タスク 1. ((x)^(2))-8x+12=0

ビエタの定理によれば、次のようになります。

いつものように、次の作品から選択を開始します。

量が多いので適切ではありません。

: 必要な量だけです。

答え： ; 。

例 28

タスク2。

そしてまた私たちのお気に入りのビエタの定理です。和は等しくなければならず、積は等しくなければなりません。

しかし、そうではないはずなので、ルートの符号を変更します: と (合計)。

答え： ; 。

例 29

タスク3。

うーん...それはどこですか？

すべての用語を 1 つの部分に移動する必要があります。

根の和は積に等しい。

わかった、やめて！ 方程式は与えられていません。

しかし、ビエタの定理は与えられた方程式にのみ適用できます。

したがって、最初に方程式を与える必要があります。

リードできない場合は、この考えを放棄し、別の方法 (たとえば、判別式など) で解決してください。

二次方程式を与えるということは、主要な係数を等しくすることを意味することを思い出してください。

したがって、根の合計は積と等しくなります。

ここでは、梨の殻をむくのと同じくらい簡単に選ぶことができます。結局のところ、それは素数なのです (同語反復でごめんなさい)。

答え： ; 。

例 30

タスク4。

無料会員はマイナスです。

これの何が特別なのでしょうか？

そして実際には、根にはさまざまな兆候があります。

そして今、選択中に、ルートの合計ではなく、それらのモジュールの差をチェックします。この差は等しいですが、積です。

したがって、根は and に等しいですが、そのうちの 1 つはマイナスです。

ビエタの定理は、根の和が反対の符号を持つ 2 番目の係数に等しいことを示しています。

これは、小さいルートにはマイナスが含まれることを意味します。

答え： ; 。

例 31

タスク5。

まず何をすべきでしょうか?

そうです、方程式を与えてください:

繰り返しになりますが、数値の因数を選択します。その差は次と等しくなります。

根は and に等しいですが、そのうちの 1 つはマイナスです。 どれの？ それらの合計は等しい必要があります。これは、マイナスの方が根が大きくなるということを意味します。

答え： ; 。

要約する

1. ビエタの定理は、与えられた二次方程式でのみ使用されます。
2. ビエタの定理を使用すると、選択によって根を口頭で見つけることができます。
3. 方程式が指定されていないか、自由項の適切な因数のペアが見つからない場合は、全根は存在しないため、別の方法 (判別式など) で解く必要があります。

3. 完全な正方形を選択する方法

未知数を含むすべての項が省略された乗算公式 (和または差の 2 乗) の項の形式で表される場合、変数を置き換えた後、方程式はこのタイプの不完全 2 次方程式の形式で表すことができます。

例えば：

例 32

方程式を解きます。

解決：

答え：

例 33

方程式を解きます。

解決：

答え：

一般に、変換は次のようになります。

これは次のことを意味します。

何か思い出しませんか？

これは差別行為ですよ！ まさにこのようにして判別式が得られました。

二次方程式。 主なものについて簡単に説明

二次方程式- これは次の形式の方程式です。ここで、- 未知数、- 二次方程式の係数、- 自由項です。

完全な二次方程式- 係数がゼロに等しくない方程式。

縮小二次方程式- 係数を含む方程式、つまり: 。

不完全な二次方程式- 係数または自由項 c がゼロに等しい方程式:

• 係数の場合、方程式は次のようになります:
• 自由項がある場合、方程式は次の形式になります。
• の場合、方程式は次のようになります。

1. 不完全二次方程式を解くアルゴリズム

1.1. 次の形式の不完全二次方程式。ここで、

1) 未知のものを表現してみましょう: 、

2) 式の符号を確認します。

• 方程式に解がない場合、
• の場合、方程式には 2 つの根があります。

1.2. 次の形式の不完全二次方程式。ここで、

1) 括弧内の共通因数を取り出してみましょう: ,

2) 因数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、積はゼロに等しくなります。 したがって、方程式には 2 つの根があります。

1.3. 次の形式の不完全な二次方程式。ここで、

この方程式には常に根が 1 つだけあります: 。

2. 次の形式の完全な 2 次方程式を解くためのアルゴリズム。

2.1. 判別式を使った解法

1) 方程式を次のように簡略化しましょう 標準ビュー: ,

2) 次の式を使用して判別式を計算しましょう。これは方程式の根の数を示します。

3) 方程式の根を求めます。

• の場合、方程式には根があり、次の式で求められます。
• 場合、方程式には根があり、これは次の式で求められます。
• の場合、方程式には根がありません。

2.2. ビエタの定理を用いた解法

縮小された 2 次方程式 (where の形の方程式) の根の和は等しく、根の積は等しい、つまり、 、A.

2.3. 完全な正方形を選択する方法による解法

」、つまり 1 次方程式です。 このレッスンでは次のことを見ていきます いわゆる二次方程式そしてそれを解決する方法。

二次方程式とは何ですか?

重要！

方程式の次数は、未知のものの最も高い次数によって決まります。

未知数の最大累乗が「2」の場合、二次方程式が得られます。

二次方程式の例

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• × 2 + 0.25x = 0
• × 2 − 8 = 0

重要！ 二次方程式の一般的な形式は次のようになります。

A x 2 + b x + c = 0

「a」「b」「c」には番号が付けられます。

• 「a」は最初の係数、または最高の係数です。
• 「b」は 2 番目の係数です。
• 「c」は無料会員です。

「a」、「b」、「c」を見つけるには、方程式を二次方程式の一般形式「ax 2 + bx + c = 0」と比較する必要があります。

二次方程式の係数「a」「b」「c」を求める練習をしてみましょう。

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

方程式	オッズ
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

× 2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

× 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

二次方程式の解き方

一次方程式とは異なり、二次方程式を解くには特別な方法が使用されます。 根を求める公式.

覚えて！

二次方程式を解くには、次のものが必要です。

• 二次方程式を一般形式「ax 2 + bx + c = 0」にします。 つまり、右側には「0」だけが残るはずです。
• ルートの公式を使用します。

この公式を使用して二次方程式の根を求める方法の例を見てみましょう。 二次方程式を解いてみましょう。

X 2 − 3x − 4 = 0

方程式「x 2 − 3x − 4 = 0」はすでに一般形式「ax 2 + bx + c = 0」に変換されているため、さらに単純化する必要はありません。 それを解決するには、申請するだけです 二次方程式の根を求める公式.

この式の係数「a」、「b」、「c」を決定しましょう。

× 1;2 =
× 1;2 =
× 1;2 =
× 1;2 =

あらゆる二次方程式を解くために使用できます。

式「x 1;2 = 」では、部首表現が頻繁に置き換えられます。
「b 2 − 4ac」は文字「D」を表し、判別式と呼ばれます。 判別式の概念については、レッスン「」で詳しく説明します。 判別式とは何ですか ».

二次方程式の別の例を見てみましょう。

x 2 + 9 + x = 7x

この形式では、係数「a」、「b」、「c」を決定するのは非常に困難です。 まず、方程式を一般形式「ax 2 + bx + c = 0」に縮小しましょう。

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
× 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

これで根の計算式を使用できるようになりました。

X 1;2 =
× 1;2 =
× 1;2 =
× 1;2 =
x =

6

2

x = 3
答え: x = 3

二次方程式には根がない場合があります。 この状況は、数式の根の下に負の数値が含まれている場合に発生します。