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導入

私は6年生です。 学校では「数学」という教科書を使って勉強しているので、昨年から幾何学の勉強を始めました。 算術。 幾何学」E.A. 編集 ブニモビッチ、L.V. クズネツォワ、S.S. ミナエバとか。

最も注目を集めたテーマは「図形の面積」と「公式の作成」でした。 同じ図形の領域が見つかることに気づきました 違う方法。 日常生活では、スペースを見つけるという問題に直面することがよくあります。 たとえば、塗装する必要がある床の領域を見つけます。 興味深いのは、改修に必要な量の壁紙を購入するには、部屋のサイズを知る必要があるためです。 壁エリア。 正方形、長方形、直角三角形の面積の計算は、私にとっては何の問題もありませんでした。

このトピックに興味を持ったので、インターネットで追加の資料を探し始めました。 検索の結果、ピックの公式を見つけました。これは、市松模様の紙に描かれた多角形の面積を計算するための公式です。 この式を使って面積を計算することは、どんな学生でも簡単にできるように思えました。 だからこそ、私は研究の仕事をすることにしました。

トピックの関連性:

このトピックは、幾何学コースの学習を補完し、さらに深めるものです。

このトピックを学ぶことは、オリンピックや試験の準備をより良くするのに役立ちます。

仕事の目標:

ピークの公式をよく理解してください。

ピック公式を使用して幾何学的問題を解決するテクニックをマスターします。

理論的・実践的な資料を体系化してまとめます。

研究目的：

問題を解決するときに公式を使用することの有効性と実現可能性を確認します。

さまざまな複雑さの問題にピーク公式を適用する方法を学びます。

Pick 式と従来の方法を使用して解決された問題を比較します。

主要部分

1.1. 歴史的参照

ゲオルク・アレクサンダー・ピエック - オーストリアの数学者、1859年8月10日生まれ。 彼は才能のある子供で、私立学校を率いていた父親から教育を受けました。 ゲオルグは 16 歳で学校を卒業し、ウィーン大学に入学しました。 20歳のとき、彼は物理学と数学を教える権利を受け取りました。 多角形グリッドの面積を決定する彼の公式は、彼に世界的な名声をもたらしました。 彼は 1899 年に自分の公式を論文で発表しました。 ポーランドの科学者 Hugo Steinhaus が 1969 年の数学的スナップショットの出版物にそれを含めたことで人気が高まりました。

ゲオルグ・ピエックはウィーン大学で教育を受け、1880 年に博士号を取得しました。 博士号取得後、プラハのシェルル・フェルディナンド大学でエルネスト・マッハの助手に任命されました。 そこで彼は教師になりました。 彼は1927年に引退するまでプラハに留まり、その後ウィーンに戻りました。

ピックは、1911 年にアインシュタインを数理物理学の教授に任命したドイツのプラハ大学の委員会の委員長を務めました。

彼はチェコ科学芸術アカデミーの会員に選出されたが、ナチスがプラハを占領した後、追放された。

1938年3月12日にナチスがオーストリアに侵攻すると、彼はプラハに戻った。 1939 年 3 月、ナチスはチェコスロバキアに侵攻しました。 1942年7月13日、ピークはボヘミア北部にナチスが設置したテレージエンシュタット収容所に移送され、そこで2週間後に82歳で亡くなった。

1.2. 研究と証明

私は、「図形のどの領域を見つけることができるか?」という質問から研究を始めました。 さまざまな三角形や四角形の面積を計算する式を作成できました。 しかし、5 つ、6 つ、そして一般的なポリゴンの場合はどうでしょうか?

さまざまなサイトを調べているうちに、5 角形、6 角形、その他の多角形の面積を計算する問題の解決策を見つけました。 これらの問題を解決できる公式はピックの公式と呼ばれました。 彼女はこんな感じです:S =B+G/2-1、 どこ で- ポリゴン内にあるノードの数、 G- ポリゴンの境界上にあるノードの数。 この公式の特徴は、市松模様の紙に描かれた多角形にのみ使用できることです。

このような多角形は、格子ノードに頂点があり、内側にも側面にもノードを含まない三角形に簡単に分割できます。 これらすべての三角形の面積は同じで1/2に等しいことがわかり、したがって、多角形の面積はその数の半分に等しいことがわかります。 T.

この数を見つけるには、多角形の辺の数を n で表します。 で- 内部のノードの数、 G- 頂点を含む側面のノードの数。 すべての三角形の角度の合計は 180° です。 T.

次に、別の方法で合計を求めてみましょう。

任意の内部ノードの頂点との角度の合計は 2.180°、つまり 2.180° です。 角度の合計は 360°です。 で;頂点ではなく側面にある節点の角度の合計は ( G-n)180°、多角形の頂点の角度の合計は ( G- 2)180°。 したがって、 T= 2.180°。 B+(G-n)180°+(n -2)180 °。 括弧を開いて 360 度で割ることで、ピックの公式として知られる多角形の面積 S の公式が得られます。

2. 実践編

OGE-2017 コレクションのタスクでこの式をテストすることにしました。 三角形、四角形、五角形の面積の計算問題が出題されました。 私は 2 つの方法で答えを比較して、答えを比較することにしました。1) 数字を長方形に補い、得られた長方形の面積から直角三角形の面積を減算します。 2) Pick 式を適用します。

S = 18-1.5-4.5 = 12 および S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 および S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7.5-12-4.5-4 =49 および S = 43+14/2-1 = 49

結果を比較した結果、両方の式で同じ答えが得られると結論付けました。 ピックの公式を使用して図形の面積を求めると、計算が少なくなるため、より速く簡単であることがわかりました。 解きやすさと計算時間の節約は、将来 OGE を受けるときに役立ちます。

これをきっかけに、Pick 式をより複雑な図形に適用できるかどうかを確認するようになりました。

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9.5

S = 4+16/2-1 = 1

結論

Peak の公式は理解しやすく、使いやすいです。 まず、数えること、2で割ること、足し算、引き算ができれば十分です。 第二に、多くの時間を費やすことなく複雑な図形の面積を見つけることができます。 第三に、この式はあらゆるポリゴンに適用できます。

欠点は、ピック式が市松模様の紙に描かれ、その頂点が市松模様の紙のノード上にある図形にのみ適用できることです。

最終試験に合格するとき、図形の面積の計算の問題は問題にならないと確信しています。 結局のところ、私はすでにピークの公式に精通しています。

参考文献

ブニモビッチ E.A.、ドロフェエフ G.V.、スヴォロヴァ S.B. 数学など。 算術。 幾何学。 5年生：教育。 一般教育用 形容詞が付いた組織 電子あたり キャリア - 第 3 版 - M.: 教育、2014.- 223、p. ： 病気。 - (球体)。

ブニモビッチ E.A.、クズネツォワ L.V.、ミナエバ S.S. 数学など。 算術。 幾何学。 6年生：教育。 一般教育用 組織-第 5 版-M.: 教育、2016.-240 p. : 病気 - (球体)。

ワシリエフNB Pick 式の周り。 //クヴァント - 1974年 - No. -p.39-43

ラソロフ V.V. 面積測定の問題。 / 第 5 版、改訂版 そして追加で - M.: 2006.-640年代。

I.V. ヤシチェンコ。 数学: 標準試験オプション: O-39 36 オプション - M.: National Education Publishing House、2017. -240 p. - (OGE. FIPI スクール)。

「OGEを解きます」：数学。 ドミトリー・グシュチンのトレーニングシステム。 OGE-2017: タスク、回答、ソリューション [電子リソース]。 アクセスモード: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (アクセス日 04/02/2017)

計算できる素晴らしい公式があります 多角形の面積ほとんど誤差なく座標グリッド上に表示されます。 それは公式ですらなく、現実です。 定理。 一見すると複雑に見えるかもしれません。 しかし、いくつかの問題を解決するには十分であり、この機能がいかに優れているかが理解できるでしょう。 それでは、どうぞ！

まず、新しい定義を導入しましょう。

グリッド ノードは、グリッドの垂直線と水平線の交点にある任意の点です。

指定：

最初の図では、ノードはまったくマークされていません。 2 番目の図は 4 つのノードを示しています。 最後に、3 番目の図は 16 個のノードすべてを示しています。

これはタスク B5 とどのように関係しますか? 実際、そのような問題では多角形の頂点が いつもグリッドノードにあります。 結果として、次の定理が機能します。

定理。 座標グリッド上の多角形を考えてみましょう。その頂点はこのグリッドのノードにあります。 すると、多角形の面積は次のようになります。

ここで、n は特定のポリゴン内のノードの数、k はその境界上にあるノード (境界ノード) の数です。

例として、座標グリッド上の通常の三角形を考えて、内部ノードと境界ノードをマークしてみます。

最初の写真は普通の三角形を示しています。 2 番目の図はその内部ノードを示し、その数は n = 10 です。3 番目の図は境界上にあるノードを示し、合計で k = 6 があります。

多くの読者にとって、数値 n と k の数え方は不明瞭かもしれません。 内部ノードから始めます。 ここではすべてが明らかです。鉛筆で三角形をペイントし、カバーされているノードの数を確認してください。

境界ノードはもう少し複雑です。 多角形の境界線 - 閉じたポリライン、多くの点で座標グリッドと交差します。 最も簡単な方法は、いくつかの「開始」点をマークし、残りの点を一周することです。

境界ノードは、それらが同時に交差するポリライン上の点のみになります。 3行:

1. 実際には、これは破線です。
2. 水平グリッド線。
3. 垂直線。

これらすべてが実際の問題でどのように機能するかを見てみましょう。

タスク。 セルのサイズが 1 x 1 cm の場合、三角形の面積を求めます。

まず、三角形の内側とその境界線上にあるノードをマークしましょう。

内部ノードは 1 つだけであることがわかります: n = 1。境界ノードは 6 つあります。そのうちの 3 つは一致します。 三角形の頂点を持つ、さらに3つが横に横たわっています。 合計 k = 6。

次に、次の式を使用して面積を計算します。

それだけです！ 問題は解決された。

タスク。 市松模様の紙に描かれた1cm×1cmの四角形の面積を求め、平方センチメートルで答えてください。

再度、内部ノードと境界ノードをマークします。 内部ノードは n = 2 だけあり、K = 7 個の境界ノードはそのうちの 4 個です。 四角形の頂点、さらに3つが横に横たわっています。

数値 n と k を面積の公式に代入する作業は残ります。

注意を払う 最後の例。 このタスクは、実際には 2012 年の診断作業中に提案されました。 標準的なスキームに従って作業する場合、多くの追加の建設を行う必要があります。 そして、結び目メソッドを使用すると、すべてがほぼ口頭で解決されます。

エリアに関する注意事項

しかし、公式がすべてではありません。 式を少し書き直して、右側の項を追加してみましょう 共通点に。 我々が得る：

数値 n と k はノードの数であり、常に整数です。 これは、分子全体も整数であることを意味します。 これを 2 で割ると、次の重要な事実がわかります。

面積は常に表現されます 整数または分数。 さらに、分数の最後には常に「10 分の 5」が表示されます。10.5。 17.5など

したがって、問題 B5 の面積は常に ***,5 の形式の整数または分数として表されます。 答えが異なる場合は、どこかに間違いがあったことを意味します。 実際の数学の統一州試験を受けるときは、このことを覚えておいてください。

1

ジバドゥリナ G.I. （ヌルラット、MAOU中等教育学校第1）

1. ブニモビッチ E.A.、ドロフェエフ G.V.、スヴォロヴァ S.B. 数学など。 算術。 幾何学。 5年生：教育。 一般教育用 形容詞が付いた組織 電子あたり キャリア - 第 3 版 – M.: 教育、2014。 – 223、p. ： 病気。 – (球体)。

2. ブニモビッチ E.A.、クズネツォワ L.V.、ミナエバ S.S. 数学など。 算術。 幾何学。 6年生：教育。 一般教育用 組織。 第5版 – M.: 教育、2016. – 240 ページ: 病気。 – (球体)。

3.ヴァシリエフNB。 Pick 式の周り // Quantum。 – 1974年。 – No. 2。 – ページ 39–43。

4. ラソロフ V.V. 面積測定の問題。 第 5 版、改訂版。 そして追加の – M.: 2006. – 640 p.

5. ヤシチェンコ I.V. オゲ。 数学: 標準試験オプション: O-39 36 オプション - M.: 出版社「National Education」、2017。 - 240 p。 - (OGE. FIPI - 学校)。

6. OGE: 数学を解きます。 ドミトリー・グシュチンのトレーニングシステム。 OGE-2017: タスク、回答、ソリューション [電子リソース]。 – アクセスモード: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (アクセス日 04/02/2017)。

私は6年生です。 学校では「数学」という教科書を使って勉強しているので、昨年から幾何学の勉強を始めました。 算術。 幾何学」E.A. 編集 ブニモビッチ、L.V. クズネツォワ、S.S. ミナエバとか。

最も注目を集めたテーマは「図形の面積」と「数式の作成」でした。 同じ図形の面積がさまざまな方法で求められることに気づきました。 日常生活では、スペースを見つけるという問題に直面することがよくあります。 たとえば、塗装する必要がある床の領域を見つけます。 興味深いのは、改修に必要な量の壁紙を購入するには、部屋のサイズを知る必要があるためです。 壁エリア。 正方形、長方形、直角三角形の面積の計算は、私にとっては何の問題もありませんでした。

このトピックに興味を持ったので、インターネットで追加の資料を探し始めました。 検索の結果、ピックの公式を見つけました。これは、市松模様の紙に描かれた多角形の面積を計算するための公式です。 この式を使って面積を計算することは、どんな学生でも簡単にできるように思えました。 だからこそ、私は研究の仕事をすることにしました。

トピックの関連性。 このトピックは、幾何学コースの学習を補完し、さらに深めるものです。

このトピックを学ぶことは、オリンピックや試験の準備をより良くするのに役立ちます。

仕事の目標:

1. Pick の式をよく理解してください。

2. ピック公式を使用して幾何学的な問題を解くテクニックをマスターします。

3. 理論的および実践的な資料を体系化し、一般化します。

研究目的：

1. 問題を解決する際に公式を使用することの有効性と実現可能性を確認します。

2. さまざまな複雑さの問題にピック公式を適用する方法を学びます。

3. Pick 式と従来の方法を使用して解決された問題を比較します。

主要部分

歴史的参照

ゲオルク・アレクサンダー・ピエック - オーストリアの数学者、8月10日生まれ。 彼は才能のある子供で、私立学校を率いていた父親から教育を受けました。 ゲオルグは 16 歳で学校を卒業し、ウィーン大学に入学しました。 20歳のとき、彼は物理学と数学を教える権利を受け取りました。 多角形グリッドの面積を決定する彼の公式は、彼に世界的な名声をもたらしました。 彼は 1899 年に自分の公式を論文で発表しました。 ポーランドの科学者 Hugo Steinhaus が 1969 年の数学的スナップショットの出版物にそれを含めたことで人気が高まりました。

ゲオルグ・ピエックはウィーン大学で教育を受け、1880 年に博士号を取得しました。 博士号取得後、プラハのシェルル・フェルディナンド大学でエルネスト・マッハの助手に任命されました。 そこで彼は教師になりました。 彼は1927年に引退するまでプラハに留まり、その後ウィーンに戻りました。

ピックは、1911 年にアインシュタインを数理物理学の教授に任命したドイツのプラハ大学の委員会の委員長を務めました。

彼はチェコ科学芸術アカデミーの会員に選出されたが、ナチスがプラハを占領した後、追放された。

1938年3月12日にナチスがオーストリアに侵攻すると、彼はプラハに戻った。 1939 年 3 月、ナチスはチェコスロバキアに侵攻しました。 1942年7月13日、ピークはボヘミア北部にナチスが設置したテレージエンシュタット収容所に移送され、そこで2週間後に82歳で亡くなった。

研究と証明

私は、「図形のどの領域を見つけることができるか?」という質問から研究を始めました。 さまざまな三角形や四角形の面積を計算する式を作成できました。 しかし、5 つ、6 つ、そして一般的なポリゴンの場合はどうでしょうか?

さまざまなサイトを調べているうちに、5 角形、6 角形、その他の多角形の面積を計算する問題の解決策を見つけました。 これらの問題を解決できる公式はピックの公式と呼ばれました。 次のようになります: S=B+G/2-1。ここで、B はポリゴンの内側にあるノードの数、G はポリゴンの境界上にあるノードの数です。 この公式の特徴は、市松模様の紙に描かれた多角形にのみ使用できることです。

このような多角形は、格子ノードに頂点があり、内側にも側面にもノードを含まない三角形に簡単に分割できます。 これらすべての三角形の面積は同じで1/2に等しいことがわかり、したがって、多角形の面積はそれらの数Tの半分に等しいことがわかります。

この数を見つけるには、多角形の辺の数を n、その内部のノードの数を B、頂点を含む辺上のノードの数を G で表します。 すべての三角形の角度の合計は 180° です。 T.

次に、別の方法で合計を求めてみましょう。

任意の内部ノードの頂点との角度の合計は 2.180°、つまり 2.180° です。 角度の合計は 360°です。 で; 頂点ではなく側面の節点での角度の合計は (Г - n)180° に等しく、多角形の頂点での角度の合計は (Г - 2)180° に等しくなります。 。 したがって、T=2.180°となります。 B+(G-n)180°+(n-2)180°。 括弧を開いて 360 度で割ることで、ピックの公式として知られる多角形の面積 S の公式が得られます。

実践編

OGE-2017 コレクションのタスクでこの式をテストすることにしました。 三角形、四角形、五角形の面積の計算問題が出題されました。 私は 2 つの方法で答えを比較して、答えを比較することにしました。1) 数字を長方形に補い、得られた長方形の面積から直角三角形の面積を減算します。 2) Pick 式を適用します。

S = 18-1.5-4.5 = 12、S = 7+12/2-1= 12。

S = 24-9-3 = 12 および S = 7+12/2-1 = 12。

Ｓ＝７７－７．５－１２－４．５－４＝４９、Ｓ＝４３＋１４／２－１＝４９。

結果を比較した結果、両方の式で同じ答えが得られると結論付けました。 ピックの公式を使用して図形の面積を求めると、計算が少なくなるため、より速く簡単であることがわかりました。 解きやすさと計算時間の節約は、将来 OGE を受けるときに役立ちます。

これをきっかけに、Pick 式をより複雑な図形に適用できるかどうかを確認するようになりました。

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9.5

S = 4+16/2-1 = 1

結論

Peak の公式は理解しやすく、使いやすいです。 まず、数えること、2で割ること、足し算、引き算ができれば十分です。 第二に、多くの時間を費やすことなく複雑な図形の面積を見つけることができます。 第三に、この式はあらゆるポリゴンに適用できます。

欠点は、ピック式が市松模様の紙に描かれ、その頂点が市松模様の紙のノード上にある図形にのみ適用できることです。

最終試験に合格するとき、図形の面積の計算の問題は問題にならないと確信しています。 結局のところ、私はすでにピークの公式に精通しています。

書誌リンク

ガバゾフ N.N. ピークフォーミュラ // 科学から始めましょう。 – 2017. – No. 6-1. – P. 130-132;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=908 (アクセス日: 03/05/2020)。

ウィクショナリーには「パイク」の項目があります。 戦争におけるパイク: パイクは冷気を刺す武器であり、長い槍の一種です。 パイクマンは、16 世紀から 18 世紀初頭のヨーロッパの軍隊における歩兵の一種です。 ピッケルヘルム (p... ウィキペディア

ピックの定理 (組合せ幾何)- В=7、Г=8、В + Г/2 − 1= 10 ピックの定理は、組み合わせ幾何学と数の幾何学の典型的な結果です。 整数の多角形の面積 ... ウィキペディア

三角形- この用語には他の意味もあります。「三角形 (意味)」を参照してください。 三角形 (ユークリッド空間における) は、同じ直線上にない 3 つの点を接続する 3 つの線分によって形成される幾何学的図形です。 3 つの点... ...Wikipedia

台形- この用語には他の意味もあります。Trapezium (意味) を参照してください。 台形 (他のギリシャ語の τραπέζιον 「テーブル」から; ... ウィキペディア

四角形- QUADAGONS ┌─────────┼───────┐ 非凸 凸 自己交差 ... Wikipedia

対角線- 球面上の正対角線 幾何学における対角線は... Wikipedia

五角形・正五角形（ペンタゴン） 五角形は、5つの角をもつ多角形です。 この形状の物体は五角形とも呼ばれます。 内部量…Wikipedia

六角形- 正六角形 六角形は、6つの角を持つ多角形です。 この形状のオブジェクトは六角形とも呼ばれます。 凸六角形の内角の和 p ... Wikipedia

十二角形- 正しい十二角形 十二角形 (ギリシャ語... ウィキペディア)

矩形- 長方形はすべての角が直角 (90 度に等しい) である平行四辺形です。 注記。 ユークリッド幾何学では、四角形が長方形であるためには、その角のうち少なくとも 3 つが直角であれば十分です。 第 4 の角度 (... ウィキペディアによる)

本

• 数学クラブ「カンガルー」。 第 8 号。市松模様の紙の数学。 この号は、市松模様の紙に関連するさまざまなタスクやゲームに特化しています。 特に、頂点が次の位置にある多角形の面積の計算について詳しく説明します。

ピックの公式

サジナ・ヴァレリア・アンドレーヴナ、 イルクーツク州ウスチ・イリムスクのMAOU「第11中等学校」9年生

監督者: グバール・オクサナ・ミハイロヴナ、 高等数学教師 資格カテゴリー MAOU「中等学校 No.11」ウスチ・イリムスク、イルクーツク地方

2016年

導入

幾何学のトピック「多角形の面積」を勉強しているときに、私は調べてみることにしました。授業で勉強したものとは異なる面積を見つける方法はあるだろうか?

この方法がピック式です。 L.V. ゴリーナは、「学生の自己教育のための資料」の中で、この公式を次のように説明しています。「統一国家試験と国家試験に合格する前に、ピーク公式に慣れることが特に重要です。 この公式を使用すると、試験で提供される大規模な問題を簡単に解くことができます。これらは、市松模様の紙に描かれた多角形の面積を見つける問題です。 ピックの小さな公式は、そのような問題を解決するために必要な公式セット全体を置き換えます。 ピークの公式は「ワン・フォー・オール」で機能します！」

統一州試験の資料では、土地区画の面積を見つけるという実践的な内容の問題に遭遇しました。 この公式が学校の領土、都市のマイクロディストリクト、地域の面積を求めるのに適用できるかどうかを確認することにしました。 そして、問題を解決するためにそれを使用するのは合理的ですか?

研究対象: ピックの公式。

研究テーマ: 問題解決におけるピック公式の合理的な適用。

仕事の目的: 市松模様の紙に描かれた図形の面積を求める問題を解決するときに、ピック公式を使用する合理性を実証すること。

研究方法: モデリング、比較、一般化、類推、文献およびインターネットリソースの研究、情報の分析と分類。

必要な文献を選択し、受け取った情報を分析して体系化します。

市松模様の紙の問題を解決するためのさまざまな方法とテクニックを検討します。

Pick 式を使用する合理性を実験的に確認します。

この公式の応用を考えてみましょう。

仮説: ピックの公式を適用して多角形の面積を求めると、領域の面積を求めることができ、市松模様の紙で問題を解く方が合理的になります。

主要部分

理論部分

私たちがよく絵を描いたり描いたりすることを好む市松模様の紙（より正確にはそのノード）は、平面上の点格子の最も重要な例の1つです。 すでにこの単純な格子は、K. ガウスが円の面積とその内部にある整数座標を持つ点の数を比較するための出発点として機能しました。 平面上の図形に関するいくつかの単純な幾何学的記述が算術研究に深い影響を与えるという事実は、G. ミンコフスキーが 1896 年に数論的問題を検討するために初めて幾何学的手法を使用したときに明確に気づきました。

市松模様の紙に多角形を描いてみましょう (付録 1、図 1)。 では、その面積を計算してみましょう。 どうやってするの？ おそらく最も簡単な方法は、面積を計算して結果を合計するのが簡単な直角三角形と台形に分割することです。

使用される方法は単純ですが、非常に面倒であり、また、すべてのポリゴンに適しているわけではありません。 したがって、前のケースで分割したように、次の多角形を直角三角形に分割することはできません (付録 2、図 2)。 たとえば、必要な「適切な」もの、つまり、説明した方法で面積を計算できるものにそれを追加し、結果の数値から追加された部分の面積を減算することを試みることができます。

しかし、正方形グリッドのノードに頂点を持つこのような多角形の面積を計算できる非常に簡単な公式があることがわかりました。

この公式は、1899 年にオーストリアの数学者ピーク ゲオルグ アレクサンドロフ (1859 ～ 1943) によって発見されました。 この公式に加えて、ゲオルグ・ピックはピック、ピック-ジュリア、ピック-ネヴァリナの定理を発見し、シュワルツ-ピックの不等式を証明しました。

この公式は、ピックが発表してからしばらく注目されませんでしたが、1949 年にポーランドの数学者フーゴ・シュタインハウスが彼の有名な「数学万華鏡」にこの定理を含めました。 それ以来、ピックの定理は広く知られるようになりました。 ドイツではピックの公式が教科書に載っています。

これは、組み合わせ幾何学と数の幾何学の典型的な結果です。

ピックの公式の証明

ABCD を、ノードに頂点があり、辺がグリッド線に沿った長方形であるとします (付録 3、図 3)。

長方形の内側にあるノードの数を B で表し、その境界上のノードの数を G で表します。 グリッドを右に半セル、さらに半セルずらしてみましょう

下。 次に、長方形の領域を次のようにノード間で「分散」できます。各 B ノードはシフトされたグリッドのセル全体を「制御」し、各 G ノードは 4 つの境界以外の非コーナー ノード (セルの半分) を制御します。 、各コーナーポイントはセルの 4 分の 1 を制御します。 したがって、長方形Sの面積は次のようになります。

S = B + +4・ = B + - 1 .

したがって、頂点がノードにあり、辺がグリッド線に沿っている長方形の場合、式 S = B + - 1 を確立しました。 . これがピークの公式です。

この式は長方形だけでなく、メッシュ ノードに頂点を持つ任意の多角形にも当てはまります。

実践編

幾何学的手法とピック公式を使用して図形の面積を求める

私は、検討したすべての例に対してピックの公式が正しいことを確認することにしました。

多角形をグリッド ノードを頂点とする三角形に切断できる場合は、ピックの公式が当てはまります。

1cm1cm四方の市松模様の紙にいくつかの問題を見て実行しました 比較解析問題解決に関するもの (表 No. 1)。

表 No. 1 さまざまな方法で問題を解決します。

描画

幾何学式によると

ピックの公式によると

タスクNo.1

S=S等 -(2S 1 +2S 2 )

S等 =4*5=20 cm 2

S 1 =(2*1)/2=1 cm 2

S 2 =(2*4)/2=4 cm 2

S=20-(2*1+2*​​4)=10 cm 2

答え :10 cm ².

B = 8、D = 6

S= 8 + 6/2 – 1 = 10 (cm²)

答え: 10 cm²。

タスクその2

a=2、h=4

S=a*h=2*4=8 cm 2

答え : 8 cm ².

B = 6、D = 6

S= 6 + 6/2 – 1 = 8 (cm²)

答え: 8 平方センチメートル。

タスクその3

S=S kv -(S 1 +2S 2 )

S kv =4 2 =16 cm 2

S 1 =(3*3)/2=4.5cm 2

S 2 =(1*4)/2=2cm 2

S=16-(4.5+2*2)=7.5cm 2

B = 6、D = 5

S= 6 + 5/2 – 1 = 7.5 (cm²)

答え: 7.5 平方センチメートル。

タスクその4

S=S等 -(S 1 +S 2+ S 3 )

S等 =4 * 3=12 cm 2

S 1 =(3*1)/2=1,5 cm 2

S 2 =(1*2)/2=1 cm 2

S 3 =(1+3)*1/2=2 cm 2

S=12-(1.5+1+2)=7.5 cm 2

B = 5、D = 7

S= 5 + 7/2 – 1 = 7.5 (cm²)

答え: 7.5 平方センチメートル。

タスク番号 5.

S=S等 -(S 1 +S 2+ S 3 )

S等 =6 * 5=30 cm 2

S 1 =(2*5)/2=5 cm 2

S 2 =(1*6)/2=3 cm 2

S 3 =(4*4)/2=8 cm 2

S=30-(5+3+8)=14 cm 2

答え: 14 平方センチメートル

B = 12、D = 6

S= 12 + 6/2 – 1 = 14 (cm²)

答え: 14 平方センチメートル

タスク №6.

S tr =(4+9)/2*3=19.5cm 2

答え：19.5cm2

H = 12、D = 17

S= 12 + 17/2 – 1 = 19.5 (cm²)

答え：19.5cm2

タスク №7. 1cm〜200mのスケールで1×1（cm）の正方形のグリッドを持つ平面図に示されている森林の面積（m²）を求めます

S=S 1 +S 2+ S 3

S 1 =(800*200)/2=80000 メートル 2

S 2 =(200*600)/2=60000 メートル 2

S 3 =(800+600)/2*400=

280000 メートル 2

S= 80000+60000+240000=

420000m2

答え: 420,000 平方メートル

B = 8、D = 7。 S= 8 + 7/2 – 1 = 10.5 (cm²)

1 cm² ～ 200² m²; S= 40,000 10.5 = 420,000 (m²)

答え: 420,000 平方メートル

問題その8 。 1 × 1 (cm) の正方形のグリッドをスケールした平面図に示されている畑の面積 (m²) を求めます。

1cm～200m。

S= S kv -2( S tr+ Sはしご）

S平方 =800 * 800 = 640000 平方メートル

S tr =(200*600)/2=60000m 2

Sラダー =(200+800)/2*200=

100000m2

S=640000-2(60000+10000)=

320000㎡

答え: 320,000 平方メートル

解決。見つけよう Sピックの公式を使用して市松模様の紙に描かれた四角形の面積:S= B + - 1

B = 7、D = 4。 S= 7 + 4/2 – 1 = 8 (cm²)

1 cm² ～ 200² m²; S= 40,000 8 = 320,000 (㎡)

答え: 320,000 平方メートル

問題その9 。 エリアを探すS 正方形のセルの辺が 1 に等しいとみなして、セクターを計算します。回答では、次のように示します。 .

扇形は円の 4 分の 1 なので、その面積は円の面積の 4 分の 1 になります。 円の面積はπですR 2 、 どこ R – 円の半径。 私たちの場合にはR =√5 したがって、その地域S セクターは5π/4です。 どこS/π=1.25。

答え。 1.25。

Г= 5、В= 2、 S= V + G/2 – 1= 2 + 5/2 – 1= 3.5、 ≈ 1,11

答え。 1.11.

タスクNo.10。 エリアを探す S 正方形のセルの辺が 1 に等しいとみなして、リングを作成します。回答では、次のように示します。 .

リングの面積は、外側の円と内側の円の面積の差に等しい。 半径R 外側の円は等しい

2 、半径 r 内側の円は2です。したがって、リングの面積は4ですしたがって。 答え:4.

Г= 8、В= 8、 S= V + G/2 – 1= 8 + 8/2 – 1=11、 ≈ 3,5

答え: 3.5

結論: 考慮されたタスクは、数学における統一州試験の試験および測定資料のバリエーションからのタスク (タスク No. 5、6) に似ています。

考えられた問題の解決策から、たとえば問題 No.2.6 などは、高さと底辺が図面から決定できるため、幾何公式を使用する方が簡単に解決できることがわかりました。 しかし、ほとんどのタスクでは、図形をより単純なものに分割する (タスク No. 7) か、長方形 (タスク No. 1、4、5) や正方形 (タスク No. 3、8) に構築する必要があります。

問題 No.9 と No.10 を解くと、多角形ではない図形に Pick 式を適用すると近似結果が得られることがわかりました。

ピーク式の使用の合理性を確認するために、費やした時間について調査を行いました（付録 4、表 No.2）。

結論: 表と図 (付録 4、図 1) から、ピーク公式を使用して問題を解決すると、費やす時間が大幅に短縮されることが明らかです。

空間形状の表面積を求める

この式が空間形式に適用できるかどうかを確認してみましょう (付録 5、図 4)。

正方形のセルの辺を1とみなして、直方体の総表面積を求めます。

これは式の欠陥です。

Peak の公式を適用して領域の面積を求める

実践的な内容の問題（問題番号7、8、表番号1）を解決して、私はこの方法を使用して、私たちの学校の領土、ウスチイリムスク市のマイクロディストリクトの面積を見つけることにしました。 、イルクーツク地方。

「ウスチ・イリムスクの土地区画MAOUSOSH No.11の境界草案」（付録6）をよく理解した後、私たちの学校の領土の面積を見つけて、それを次の基準に従って面積と比較しました。土地区画のプロジェクト境界 (付録 9、表 3)。

ウスチ・イリムスクの右岸部分の地図（付録 7）を調べた後、マイクロディストリクトの面積を計算し、「イルクーツク州ウスチ・イリムスクの一般計画」のデータと比較しました。 結果を表に示します（付録 9、表 4）。

イルクーツク地方の地図（付録7）を調べて、その領土の面積を見つけて、ウィキペディアのデータと比較しました。 結果を表に示します（付録 9、表 5）。

結果を分析した後、次の結論に達しました。ピーク公式を使用すると、これらの領域をはるかに簡単に見つけることができますが、結果はおおよそのものです。

実施された調査から、学校の区域の面積を見つけるときに最も正確な値が得られました（付録10、図2）。 イルクーツク地域の面積を求めると、結果に大きな矛盾が生じました（付録 10、図 3）。 これはそれに関連しています。 すべてのエリア境界がポリゴンの辺であるわけではなく、頂点がノード ポイントではないこと。

結論

仕事の結果、市松模様の紙の問題を解くことについての知識が広がり、研究している問題の分類を自分で決定することができました。

作業中、市松模様の紙に描かれた多角形の面積を見つけるために、幾何学的な方法とピック公式を使用するという 2 つの方法で問題が解決されました。

解決策の分析と費やされた時間を決定するための実験により、公式を使用すると、多角形の面積を見つける問題をより合理的に解決できることがわかりました。 これにより、数学の統一州試験の時間を節約できます。

市松模様の紙に描かれたさまざまな図形の面積を見つけることで、ピック公式を使用して円形のセクターとリングの面積を計算することは、近似的な結果が得られるため不適切であり、ピック公式は適切ではないと結論付けることができました。宇宙の問題を解決するために使用されます。

この研究では、ピーク公式を使用してさまざまな領域の面積も検出しました。 結論としては、この式を使用してさまざまな領域の面積を求めることは可能ですが、結果は近似値です。

私が立てた仮説は裏付けられました。

私が興味を持ったテーマは非常に多面的であり、市松模様の紙の問題も多様であり、それを解決するための方法やテクニックも多様であるという結論に達しました。 したがって、私はこの方向で取り組み続けることにしました。

文学

Volkov S.D.. 土地境界プロジェクト、2008 年、p. 16.

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Prokopyeva V.P.、Petrov A.G.、イルクーツク地方ウスチ・イリムスク市の一般計画、ロシアのゴストロイ、2004 年。 65.

Riess E. A.、Zharkovskaya N. M.、市松模様の紙の幾何学。 ピークの方程式。 - モスクワ、2009 年、第 17 号、p. 24-25。

スミルノバI.M.、。 スミルノフ V. A. 市松模様の紙に幾何学模様。 – モスクワ、チスティエ・プルディ、2009 年、p. 120.

Smirnov I. M.、Smirnov V. A.、実践的な内容の幾何学問題。 – モスクワ、チスティエ・プルディ、2010 年、p. 150

数学におけるオープンタスクバンクの問題、FIPI、2015。

ウスチイリムスク市の地図。

イルクーツク地方の地図。

ウィキペディア。