Kā noteikt attālumu starp punktiem, izmantojot koordinātas. es

Katru plaknes punktu A raksturo tā koordinātas (x, y). Tās sakrīt ar vektora 0A koordinātām, kas iznāk no punkta 0 - koordinātu sākuma.

Lai A un B ir plaknes patvaļīgi punkti ar koordinātām (x 1 y 1) un (x 2, y 2).

Tad vektoram AB acīmredzami ir koordinātes (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Ir zināms, ka vektora garuma kvadrāts ir vienāds ar tā koordinātu kvadrātu summu. Tāpēc attālums d starp punktiem A un B jeb, kas ir tas pats, vektora AB garums tiek noteikts no nosacījuma

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Iegūtā formula ļauj atrast attālumu starp jebkuriem diviem plaknes punktiem, ja ir zināmas tikai šo punktu koordinātas

Katru reizi, kad mēs runājam par konkrēta plaknes punkta koordinātām, mēs domājam labi definētu koordinātu sistēmu x0y. Kopumā koordinātu sistēmu plaknē var izvēlēties dažādos veidos. Tātad koordinātu sistēmas x0y vietā varam uzskatīt koordinātu sistēmu xִy, kas iegūta, pagriežot vecās koordinātu asis ap sākuma punktu 0 pretpulksteņrādītājvirzienā bultiņas uz stūra α .

Ja noteiktam plaknes punktam koordinātu sistēmā x0y bija koordinātes (x, y), tad jaunajā koordinātu sistēmā xִy tam būs dažādas koordinātes (x, y).

Piemēram, apsveriet punktu M, kas atrodas uz 0x ass un ir atdalīts no punkta 0 1 attālumā.

Acīmredzot x0y koordinātu sistēmā šim punktam ir koordinātes (cos α , grēks α ), un xִy koordinātu sistēmā koordinātas ir (1,0).

Jebkuru divu punktu koordinātas plaknē A un B ir atkarīgas no tā, kā koordinātu sistēma ir norādīta šajā plaknē. Un šeit attālums starp šiem punktiem nav atkarīgs no koordinātu sistēmas noteikšanas metodes .

Citi materiāli Izmantojot koordinātas, tiek noteikta objekta atrašanās vieta uz zemeslodes. Koordinātas norāda ar platuma un garuma grādiem. Platuma grādus mēra no ekvatora līnijas abās pusēs. Ziemeļu puslodē platuma grādi ir pozitīvi, dienvidu puslodē tie ir negatīvi. Garumu mēra no galvenā meridiāna attiecīgi austrumu vai rietumu garumā, iegūst austrumu vai rietumu garumu.

Saskaņā ar vispārpieņemto nostāju par galveno meridiānu tiek uzskatīts tas, kas iet caur veco Griničas observatoriju Griničā. Atrašanās vietas ģeogrāfiskās koordinātas var iegūt, izmantojot GPS navigatoru. Šī ierīce uztver satelīta pozicionēšanas sistēmas signālus WGS-84 koordinātu sistēmā, kas ir vienota visai pasaulei.

Navigatoru modeļi atšķiras pēc ražotāja, funkcionalitātes un interfeisa. Pašlaik iebūvētie GPS navigatori ir pieejami arī dažos mobilo tālruņu modeļos. Bet jebkurš modelis var ierakstīt un saglabāt punkta koordinātas.

Attālums starp GPS koordinātām

Lai atrisinātu praktiskas un teorētiskas problēmas atsevišķās nozarēs, ir jāprot noteikt attālumus starp punktiem pēc to koordinātām. Ir vairāki veidi, kā to izdarīt. Ģeogrāfisko koordinātu attēlošanas kanoniskā forma: grādi, minūtes, sekundes.

Piemēram, jūs varat noteikt attālumu starp šādām koordinātām: punkts Nr. 1 - platums 55°45′07″ N, garums 37°36′56″ E; punkts Nr. 2 — platums 58°00′02″ N, garums 102°39′42″ A.

Vienkāršākais veids ir izmantot kalkulatoru, lai aprēķinātu garumu starp diviem punktiem. Pārlūka meklētājprogrammā ir jāiestata šādi meklēšanas parametri: tiešsaistē - lai aprēķinātu attālumu starp divām koordinātām. Tiešsaistes kalkulatorā pirmās un otrās koordinātas vaicājuma laukos tiek ievadītas platuma un garuma vērtības. Aprēķinot, tiešsaistes kalkulators deva rezultātu - 3 800 619 m.

Nākamā metode ir darbietilpīgāka, bet arī vizuālāka. Jums ir jāizmanto jebkura pieejamā kartēšanas vai navigācijas programma. Programmas, kurās varat izveidot punktus, izmantojot koordinātas un izmērīt attālumus starp tiem, ietver šādas lietojumprogrammas: BaseCamp (moderns MapSource programmas analogs), Google Earth, SAS.Planet.

Visas iepriekš minētās programmas ir pieejamas jebkuram tīkla lietotājam. Piemēram, lai aprēķinātu attālumu starp divām koordinātām programmā Google Earth, jums ir jāizveido divas etiķetes, kas norāda pirmā un otrā punkta koordinātas. Pēc tam, izmantojot rīku “Lineāls”, pirmā un otrā atzīme jāsavieno ar līniju, programma automātiski parādīs mērījumu rezultātu un parādīs ceļu Zemes satelītattēlā.

Iepriekš dotā piemēra gadījumā programma Google Earth atgrieza rezultātu - attāluma garums starp punktu Nr.1 ​​un punktu Nr.2 ir 3 817 353 m.

Kāpēc, nosakot attālumu, rodas kļūda

Visi aprēķini par attālumu starp koordinātām ir balstīti uz loka garuma aprēķinu. Zemes rādiuss ir iesaistīts loka garuma aprēķināšanā. Bet, tā kā Zemes forma ir tuvu izliektam elipsoīdam, Zemes rādiuss noteiktos punktos mainās. Lai aprēķinātu attālumu starp koordinātām, tiek ņemta Zemes rādiusa vidējā vērtība, kas dod kļūdu mērījumā. Jo lielāks attālums tiek mērīts, jo lielāka ir kļūda.

Šeit būs kalkulators

Attālums starp diviem punktiem uz līnijas

Apsveriet koordinātu līniju, uz kuras ir atzīmēti 2 punkti: A A A Un B B B. Lai atrastu attālumu starp šiem punktiem, jāatrod segmenta garums A B AB A B. Tas tiek darīts, izmantojot šādu formulu:

Attālums starp diviem punktiem uz līnijas

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣a−b∣,

Kur a, b a, b a, b- šo punktu koordinātas uz taisnes (koordinātu līnijas).

Sakarā ar to, ka formula satur moduli, to risinot nav svarīgi, no kuras koordinātes atņemt (jo tiek ņemta šīs starpības absolūtā vērtība).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣a−b ∣ =∣ b −a∣

Apskatīsim piemēru, lai labāk izprastu šādu problēmu risinājumu.

1. piemērs

Punkti ir atzīmēti uz koordinātu līnijas A A A, kuras koordināte ir vienāda ar 9 9 9 un periods B B B ar koordinātu − 1 -1 − 1 . Mums jāatrod attālums starp šiem diviem punktiem.

Risinājums

Šeit a = 9, b = − 1 a=9, b=-1 a =9 , b =− 1

Mēs izmantojam formulu un aizstājam vērtības:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣a−b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Atbilde

Attālums starp diviem plaknes punktiem

Apsveriet divus punktus, kas doti plaknē. No katra plaknē atzīmētā punkta jums jānolaiž divi perpendikuli: pret asi O X VĒRSIS O X un uz ass O Y OY OY. Tad tiek ņemts vērā trīsstūris A B C ABC A B C. Tā kā tas ir taisnstūrveida ( B C BC B C perpendikulāri A C AC A C), pēc tam atrodiet segmentu A B AB A B, kas ir arī attālums starp punktiem, var izdarīt, izmantojot Pitagora teorēmu. Mums ir:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Bet, pamatojoties uz to, ka garums A C AC A C vienāds ar x B − x A x_B-x_A x B​ − x A​ , un garums B C BC B C vienāds ar y B − y A y_B-y_A y B​ − y A​ , šo formulu var pārrakstīt šādi:

Attālums starp diviem plaknes punktiem

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 ​ ,

Kur x A , y A x_A, y_A x A​ , y A​ Un x B , y B x_B, y_B x B​ , y B​ - punktu koordinātas A A A Un B B B attiecīgi.

2. piemērs

Ir nepieciešams atrast attālumu starp punktiem C C C Un F F F, ja koordinātas pirmās (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , un otrais - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Risinājums

X C = 8 x_C = 8 x C​ = 8
y C = – 1 y_C=-1 y C​ = − 1
x F = 4 x_F = 4 x F​ = 4
y F = 2 y_F = 2 y F​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(x F​ − x C​ ) 2 + (y F​ − y C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Atbilde

Attālums starp diviem telpas punktiem

Attāluma atrašana starp diviem punktiem šajā gadījumā ir līdzīga iepriekšējai, izņemot to, ka punkta koordinātas telpā ir norādītas ar trim cipariem, attiecīgi formulai jāpievieno arī pielietojamās ass koordinātas. Formula izskatīsies šādi:

Attālums starp diviem telpas punktiem

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 + (z B​ − zA​ ) 2 ​

3. piemērs

Atrodiet segmenta garumu FK FKFK telpā, ja punktu koordinātas tās galos ir šādas: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) Un (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Atbildi noapaļo līdz tuvākajam veselajam skaitlim.

Risinājums

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K\; =\; (-3;\; 6;\; 0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x^{K-x^{F{)}^{2+(y^{K-y^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Atbilstoši uzdevuma nosacījumiem atbilde jānoapaļo līdz veselam skaitlim.

Ļaujiet , (2.3. attēls). Nepieciešams atrast.

2.3.attēls. Attālums starp diviem punktiem.

No taisnstūra saskaņā ar Pitagora teorēmu mums ir

Tas ir ,

Šī formula ir derīga jebkurai punktu un .

II. Segmenta sadalījums šajā ziņā:

Ļaujiet,. Ir jāatrod , guļot uz segmenta un sadalot to noteiktā proporcijā (2.4. attēls).

2.4.attēls. Segmenta sadalīšana šajā ziņā.

No līdzības ~, tas ir, no kurienes. Tāpat.

Tādējādi

– formula segmenta sadalīšanai attiecībā pret .

Ja tad

– segmenta vidus koordinātas.

komentēt. Atvasinātās formulas var vispārināt telpiskas taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmas gadījumā. Ļaujiet punktiem , . Tad

- formula attāluma noteikšanai starp punktiem un .

Formula segmenta sadalīšanai attiecībās.

Papildus Dekarta koordinātu sistēmām plaknē un telpā var izveidot lielu skaitu citu koordinātu sistēmu, tas ir, veidus, kā raksturot punkta pozīciju plaknē vai telpā, izmantojot divus vai trīs skaitliskos parametrus (koordinātas). Apskatīsim dažas no esošajām koordinātu sistēmām.

Plaknē ir iespējams noteikt polāro koordinātu sistēma , kas tiek izmantots, jo īpaši, pētot rotācijas kustības.

2.5.attēls. Polāro koordinātu sistēma.

Nofiksēsim plaknē punktu un no tā izplūstošu puslīniju, kā arī izvēlēsimies mēroga vienību (2.5. attēls). Punktu sauc stabs , puslīnija – polārā ass . Piešķirsim divus skaitļus patvaļīgam punktam:

– polārais rādiuss , vienāds ar attālumu no punkta M līdz polam O;

– polārais leņķis , vienāds ar leņķi starp polāro asi un puslīniju.

Mērot radiānos, vērtību pozitīvais virziens tiek skaitīts pretēji pulksteņrādītāja virzienam, parasti tiek pieņemts.

Polārais rādiuss atbilst polam, polārais leņķis tam nav noteikts.

Atradīsim taisnstūra un polāro koordinātu attiecību (2.6. attēls).

2.6.attēls. Taisnstūra un polāro koordinātu sistēmu attiecības.

Taisnstūra koordinātu sistēmas sākumpunktu uzskatīsim par polu, bet staru par polāro asi. Ļaujiet - taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmā un - polāro koordinātu sistēmā. Noskaidrosim attiecības starp taisnstūra un polārajām koordinātām.

No taisnstūrveida un no taisnstūrveida. Tādējādi formulas

izteikt punkta taisnstūra koordinātas tā polāro koordinātu izteiksmē.

Apgriezto attiecību izsaka ar formulām

komentēt. Polāro leņķi var noteikt arī pēc formulas, iepriekš nosakot pēc taisnstūra koordinātām, kurā kvadrantā atrodas punkts.

1. piemērs. Atrodiet punkta polārās koordinātas.

Risinājums. Mēs aprēķinām ; Polārais leņķis tiek atrasts no šādiem nosacījumiem:

Tāpēc, , tāpēc.

2. piemērs. Atrodiet punkta taisnstūra koordinātas.

Risinājums. Mēs aprēķinām

Mēs saņemam.

Trīsdimensiju telpā papildus taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmai bieži tiek izmantotas cilindriskas un sfēriskas koordinātu sistēmas.

Cilindriskā koordinātu sistēma ir polāro koordinātu sistēma plaknē, kurai pievienota telpiskā ass, kas ir perpendikulāra šai plaknei (2.7. attēls). Jebkura punkta stāvokli raksturo trīs skaitļi - tā cilindriskās koordinātes: , kur un ir punkta projekcijas polārās koordinātas (polārais rādiuss un polārais leņķis) uz plakni, kurā izvēlēta polāro koordinātu sistēma - aplikācija, kas ir vienāds ar attālumu no punkta līdz norādītajai plaknei.

2.7.attēls. Cilindriskā koordinātu sistēma

Lai noteiktu sakarību starp taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmu un cilindrisko, novietojam tās viena pret otru, kā parādīts 2.8. attēlā (plakni novietojam plaknē, un polārā ass sakrīt ar ass pozitīvo virzienu, asi ir kopīgs abās koordinātu sistēmās).

Ļaut ir punkta taisnstūra koordinātas, šī punkta cilindriskās koordinātas un punkta projekcija plaknē. Tad

formulas, kas savieno punkta taisnstūra un cilindriskās koordinātas.

2.8.attēls. Attiecības starp taisnstūrveida Dekartu

un cilindriskās koordinātu sistēmas

komentēt. Apsverot rotācijas ķermeņus, bieži tiek izmantotas cilindriskas koordinātas, kur ass atrodas gar rotācijas asi.

Sfēriskā koordinātu sistēma var konstruēt šādi. Izvēlēsimies polāro asi plaknē. Caur punktu novelkam taisnu līniju, kas ir perpendikulāra plaknei (normāla). Tad jebkuru telpas punktu var saistīt ar trim reāliem skaitļiem, kur ir attālums no punkta līdz, ir leņķis starp asi un segmenta projekciju uz plakni un ir leņķis starp normālo un segmentu. Ņemiet vērā, ka , , .

Ja plakni novietojam plaknē un izvēlamies polāro asi, kas sakrīt ar ass pozitīvo virzienu, un izvēlamies asi kā normālo (2.9. attēls), iegūstam formulas, kas savieno šīs divas koordinātu sistēmas.

2.9.attēls. Attiecība starp sfērisku un taisnstūrveida Dekartu

koordinātu sistēmas

Skalārie lielumi, jeb skalārus pilnībā raksturo to skaitliskā vērtība izvēlētajā mērvienību sistēmā. Vektoru daudzumi vai vektoriem papildus to skaitliskajai vērtībai ir arī virziens. Piemēram, ja sakām, ka vējš pūš ar ātrumu 10 m/sek, tad ieviesīsim vēja ātruma skalāro vērtību, bet, ja sakām, ka dienvidrietumu vējš pūš ar ātrumu 10 m/sek. tad šajā gadījumā vēja ātrums jau būs vektors.

Vektors sauc par virzītu segmentu ar noteiktu garumu, t.i. noteikta garuma segments, kurā viens no ierobežojošajiem punktiem tiek ņemts par sākumu, bet otrs - kā beigas. Vektoru apzīmēsim vai nu vai (2.10. attēls).

Vektora garumu apzīmē ar simbolu vai un to sauc par vektora moduli. Tiek izsaukts vektors, kura garums ir 1 viens . Vektoru sauc nulle , ja tā sākums un beigas sakrīt, un to apzīmē ar θ vai . Nulles vektoram nav noteikta virziena, un tā garums ir vienāds ar nulli. Tiek izsaukti vektori, kas atrodas uz vienas līnijas vai uz paralēlām līnijām kolineārs . Abi vektori tiek saukti vienāds , ja tie ir kolineāri, tiem ir vienāds garums un vienāds virziens. Visi nulles vektori tiek uzskatīti par vienādiem.

Tiek izsaukti divi kolineāri vektori, kas atšķiras no nulles un kuriem ir vienādi lielumi, bet pretēji virzieni pretī . Pretējo vektoru apzīmē ar , pretējam vektoram.

Uz numuru lineārās operācijas virs vektoriem ietver saskaitīšanas, vektoru atņemšanas un vektora reizināšanas ar skaitli darbības, t.i. operācijas, kuru rezultāts ir vektors.

Definēsim norādītās darbības vektoros. Ļaujiet diviem vektoriem un ir doti. Ņemsim patvaļīgu punktu O un konstruēsim vektoru un uzzīmēsim vektoru no punkta A. Tad tiek izsaukts vektors, kas savieno vektora pirmā termiņa sākumu ar otrā termiņa beigām summa šie vektori tiek apzīmēti ar . Tiek saukts aplūkotais vektoru summas atrašanas noteikums trīsstūra noteikumi (2.11. attēls).

To pašu vektoru summu var iegūt citā veidā (2.12. attēls). Uzzīmēsim vektoru un vektoru no punkta. Konstruēsim paralelogramu uz šiem vektoriem kā uz malām. Vektors, kas ir no virsotnes novilktā paralelograma diagonāle, būs summa. Šo summas atrašanas noteikumu sauc paralelogramu noteikumi .

Jebkura ierobežota skaita vektoru summu var iegūt, izmantojot lauztās līnijas noteikumu (2.13. attēls). No patvaļīga punkta uzzīmējam vektoru, tad uzzīmējam vektoru utt. Vektors, kas savieno pirmā sākumu ar pēdējās beigām, ir summa

datu vektori, t.i. . Acīmredzot, ja vektora pēdējā termiņa beigas sakrīt ar pirmā sākumu, tad vektoru summa ir vienāda ar nulles vektoru.

Pēc atšķirības divi vektori un tiek saukts par tādu vektoru, kura summa ar atņemto vektoru dod vektoru. No šejienes noteikums atšķirības vektora konstruēšanai(2.14. attēls). No punkta mēs uzzīmējam vektoru un vektoru . Atšķirība ir vektors, kas savieno mazās daļas vektora galus un apakšvirsmas vektoru un ir vērsts no apakšvirsmas uz mazākās daļas vektoru.

Vektora reizinājums reālam skaitlim λ ir vektors, kas ir kolineārs pret vektoru un kura garums un virziens ir tāds pats kā vektoram, ja , un virziens, kas ir pretējs vektoram, ja .

Ienācis lineārās operācijas vairāk nekā vektoriem ir īpašības :

10 . Saskaitīšanas komutativitāte: .

20 . Papildinājuma asociativitāte: .

trīsdesmit . Neitrāla elementa esamība pievienojot: .

4 0 . Pretēja elementa esamība, pievienojot:

50 . Reizināšanas ar skaitli sadalījums attiecībā pret vektoru saskaitīšanu: .

6 0 . Vektora reizināšanas ar divu skaitļu summu sadalījums:

7 0 . Asociatīvā īpašība attiecībā uz vektora reizināšanu ar skaitļu reizinājumu: .

Dota vektoru sistēma:

Tiek izsaukta izteiksme, kur λ i (i = 1,2,…, n) ir daži skaitļi lineāra kombinācija vektoru sistēmas (2.1). Vektoru sistēmu (2.1) sauc lineāri atkarīgi , ja to lineārā kombinācija ir vienāda ar nulli, ar nosacījumu, ka ne visi skaitļi λ 1, λ 2, ..., λ n ir vienādi ar nulli. Vektoru sistēmu (2.1) sauc lineāri neatkarīgs , ja to lineārā kombinācija ir vienāda ar nulli tikai tad, ja visi skaitļi λ i = 0 (). Mēs varam sniegt citu vektoru lineārās atkarības definīciju. Vektoru sistēmu (2.1) sauc lineāri atkarīgi , ja kāds šīs sistēmas vektors ir lineāri izteikts pārējos, pretējā gadījumā vektoru sistēma (2.1) lineāri neatkarīgs .

Attiecībā uz vektoriem, kas atrodas plaknē, šādi apgalvojumi ir patiesi.

10 . Jebkuri trīs vektori plaknē ir lineāri atkarīgi.

20 . Ja šo vektoru skaits plaknē ir lielāks par trim, tad arī tie ir lineāri atkarīgi.

trīsdesmit . Lai divi vektori plaknē būtu lineāri neatkarīgi, ir nepieciešams un pietiekami, lai tie nebūtu kolineāri.

Tādējādi maksimālais lineāri neatkarīgo vektoru skaits plaknē ir divi.

Vektorus sauc koplanārs , ja tie atrodas vienā plaknē vai ir paralēli tai pašai plaknei. Šie apgalvojumi attiecas uz telpas vektoriem.

10 . Katrs četri telpas vektori ir lineāri atkarīgi.

20 . Ja šo vektoru skaits telpā ir lielāks par četriem, tad arī tie ir lineāri atkarīgi.

trīsdesmit . Lai trīs vektori būtu lineāri neatkarīgi, ir nepieciešams un pietiekami, lai tie nebūtu vienā plaknē.

Tādējādi maksimālais lineāri neatkarīgo vektoru skaits telpā ir trīs.

Tiek izsaukta jebkura maksimālā lineāri neatkarīgo vektoru apakšsistēma, caur kuru tiek izteikts jebkurš šīs sistēmas vektors pamata izskatāmais vektoru sistēmas . Ir viegli secināt, ka bāze plaknē sastāv no diviem nekolineāriem vektoriem, bet bāze telpā sastāv no trim nekoplanāriem vektoriem. Bāzes vektoru skaitu sauc rangs vektoru sistēmas. Tiek saukti vektora izplešanās koeficienti bāzes vektoros vektora koordinātas šajā pamatā.

Ļaujiet vektoriem veidot bāzi un ļaujiet , tad skaitļi λ 1, λ 2, λ 3 ir bāzē esošā vektora koordinātes Šajā gadījumā rakstiet Var parādīt, ka vektora dekompozīcija bāzē ir unikāla . Pamata galvenā nozīme ir tāda, ka lineāras darbības ar vektoriem kļūst par parastām lineārām darbībām ar skaitļiem - šo vektoru koordinātām. Izmantojot vektoru lineāro darbību īpašības, varam pierādīt šādu teorēmu.

Teorēma. Kad tiek pievienoti divi vektori, tiek pievienotas to atbilstošās koordinātas. Ja vektoru reizina ar skaitli, visas tā koordinātas tiek reizinātas ar šo skaitli.

Tādējādi, ja un , tad , kur , un kur , λ ir noteikts skaitlis.

Parasti visu vektoru kopa plaknē, kas reducēta līdz kopējam sākumam, ar ieviestām lineārām operācijām, tiek apzīmēta ar V 2, un visu vektoru kopa telpā, kas reducēta līdz kopējam sākumam, tiek apzīmēta ar V 3. Tiek izsauktas kopas V 2 un V 3 ģeometrisko vektoru telpas.

Leņķis starp vektoriem un tiek saukts par mazāko leņķi (), par kuru viens no vektoriem ir jāpagriež, līdz tas sakrīt ar otro pēc šo vektoru nogādāšanas līdz kopējam sākumam.

Punktu produkts divi vektori ir skaitlis, kas vienāds ar šo vektoru moduļu un starp tiem esošā leņķa kosinusa reizinājumu. Vektoru un skalārais reizinājums ir apzīmēts ar , vai

Ja leņķis starp vektoriem un ir vienāds ar , Tad

No ģeometriskā viedokļa vektoru skalārā reizinājums ir vienāds ar viena vektora moduļa un cita vektora projekcijas reizinājumu uz to. No vienlīdzības (2.2) izriet, ka

No šejienes divu vektoru ortogonalitātes nosacījums: divi vektori Un ir ortogonāli tad un tikai tad, ja to skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli, t.i. .

Vektoru punktu reizinājums nav lineāra darbība, jo tās rezultāts ir skaitlis, nevis vektors.

Skalārā reizinājuma īpašības.

1º. – komutativitāte.

2º. - izplatība.

3º. – asociativitāte attiecībā pret skaitlisko faktoru.

4º. - skalāra kvadrāta īpašums.

No rekvizīta 4º izriet definīcija vektora garums :

Dots bāze telpā V 3, kur vektori ir vienības vektori (tos sauc par vienības vektoriem), katra virziens sakrīt ar taisnstūra Dekarta koordinātas koordinātu asu Ox, Oy, Oz pozitīvo virzienu. sistēma.

Izvērsīsim telpas vektoru V 3 saskaņā ar šo bāzi (2.15. attēls):

Vektorus sauc par vektoru komponentiem gar koordinātu asīm vai komponentiem, skaitļiem a x , a y , a z– vektora taisnstūrveida Dekarta koordinātas A. Vektora virzienu nosaka tā veidotie leņķi α, β, γ ar koordinātu līnijām. Šo leņķu kosinusu sauc par virziena vektoru. Tad virziena kosinusus nosaka pēc formulām:

To ir viegli parādīt

Izteiksim skalāro reizinājumu koordinātu formā.

Lai notiek. Reizinot šos vektorus kā polinomus un ņemot vērā, ka iegūstam izteiksmi atrašanai skalārais reizinājums koordinātu formā:

tie. divu vektoru skalārais reizinājums ir vienāds ar tāda paša nosaukuma koordinātu pāru reizinājumu summu.

No (2.6) un (2.4) seko atrašanas formula vektora garums :

No (2.6) un (2.7) iegūstam formulu noteikšanai leņķis starp vektoriem:

Vektoru trīskāršs tiek saukts par sakārtotu, ja ir norādīts, kurš no tiem tiek uzskatīts par pirmo, kurš par otro un kurš par trešo.

Pasūtīts trīs vektori sauca pa labi , ja pēc to nogādāšanas kopējā izcelsmē no trešā vektora beigām īsākais pagrieziens no pirmā uz otro vektoru tiek veikts pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Pretējā gadījumā tiek saukts vektoru trīskāršs pa kreisi . Piemēram, 2.15. attēlā vektori , , veido vektoru labo trīskāršu, bet vektori , kreiso vektoru trīskāršu.

Līdzīgā veidā tiek ieviests jēdziens labās un kreisās koordinātu sistēmas trīsdimensiju telpā.

Vektoru mākslas darbs vektors pēc vektora ir vektors (cits apzīmējums), kas:

1) ir garums , kur ir leņķis starp vektoriem un ;

2) perpendikulāri vektoriem un (), t.i. ir perpendikulāra plaknei, kurā vektori un ;

Pēc definīcijas mēs atrodam koordinātu vienību vektoru vektoru reizinājumu , , :

Ja , , tad vektora un vektora vektora reizinājuma koordinātas nosaka pēc formulas:

No definīcijas izriet vektormākslas ģeometriskā nozīme : vektora lielums ir vienāds ar paralelograma laukumu, kas veidots uz vektoriem un .

Vektorprodukta īpašības:

4 0 . , ja vektori un ir kolineāri vai viens no šiem vektoriem ir nulle.

3. piemērs. Paralelograms ir veidots uz vektoriem un , kur , , . Aprēķiniet šī paralelograma diagonāļu garumu, leņķi starp diagonālēm un paralelograma laukumu.

Risinājums. Vektoru un konstrukcija ir parādīta 2.16. attēlā, paralelograma uzbūve uz šiem vektoriem ir parādīta 2.17. attēlā.

Ļaujiet mums veikt šīs problēmas analītisko risinājumu. Izteiksim vektorus, kas nosaka konstruētā paralelograma diagonāles, izmantojot vektorus un , un tad caur un . Mēs atradām , . Tālāk mēs atrodam paralelograma diagonāļu garumus kā konstruēto vektoru garumus

Leņķi starp paralelograma diagonālēm apzīmē ar . Tad no vektoru skalārā reizinājuma formulas mums ir:

Līdz ar to,.

Izmantojot vektora reizinājuma īpašības, mēs aprēķinām paralelograma laukumu:

Ļaut trīs vektori , Un , Jādod. Iedomāsimies, ka vektors tiek reizināts vektorāli ar un vektors un iegūtais vektors tiek reizināts skalāri ar vektoru, tādējādi nosakot skaitli. To sauc par vektoru-skalāru vai jaukts darbs trīs vektori , un . Apzīmē ar vai.

Noskaidrosim jaukta produkta ģeometriskā nozīme (2.18. attēls). Ļaujiet , , nav koplanāri. Uz šiem vektoriem kā uz malām uzbūvēsim paralēlskaldni. Šķērsprodukts ir vektors, kura modulis ir vienāds ar paralelograma laukumu (paralēlskaldņa pamatni), veidots uz vektoriem un ir vērsts perpendikulāri paralelograma plaknei.

Punktu reizinājums (vienāds ar vektora moduļa un projekcijas uz reizinājumu). Konstruētā paralēlskaldņa augstums ir šīs projekcijas absolūtā vērtība. Līdz ar to trīs vektoru jauktā reizinājuma absolūtā vērtība ir vienāda ar paralēlskaldņa tilpumu, kas uzbūvēts uz vektoriem , un , t.i. .

No šejienes uz vektoriem veidotas trīsstūrveida piramīdas tilpums tiek aprēķināts pēc formulas.

Atzīmēsim vēl dažus jaukta produkta īpašības vektori.

1 o. Produkta zīme ir pozitīva, ja vektori , , un veido sistēmu ar tādu pašu nosaukumu kā galvenajai, un negatīva pretējā gadījumā.

Tiešām, skalārais reizinājums ir pozitīvs, ja leņķis starp un ir akūts un negatīvs, ja leņķis ir neass. Ar akūtu leņķi starp un , vektori un atrodas vienā pusē attiecībā pret paralēlskaldņa pamatni, un tāpēc no vektora gala rotācija no līdz būs redzama tāpat kā no paralēlskaldņa gala. vektors, t.i. pozitīvā virzienā (pretēji pulksteņrādītāja virzienam).

Strupā leņķī gan vektori, gan atrodas dažādās pusēs attiecībā pret paralelograma plakni, kas atrodas paralēlskaldņa pamatnē, un tāpēc no vektora gala griešanās no līdz ir redzama negatīvā virzienā ( pulksteņrādītāja virzienā).

2 o Jaukts produkts nemainās, kad tā faktorus pārkārto cirkulāri: .

3 o Pārkārtojot jebkurus divus vektorus, jauktais reizinājums maina tikai zīmi. Piemēram, , . , . - nezināmas sistēmas.

Sistēma(3.1) tiek izsaukts viendabīgs , ja visi dalībnieki ir brīvi. Sistēma (3.1) tiek izsaukts neviendabīgs , ja vismaz viens no brīvajiem biedriem .

Sistēmas risinājums sauc par skaitļu kopu, aizvietojot tos sistēmas vienādojumos, nevis atbilstošos nezināmos, katrs sistēmas vienādojums pārvēršas par identitāti. Tiek saukta sistēma, kurai nav risinājuma nesaderīgs, vai strīdīgs . Tiek izsaukta sistēma, kurai ir vismaz viens risinājums locītavu .

Savienojumu sistēmu sauc noteikti , ja tam ir unikāls risinājums. Ja konsekventai sistēmai ir vairāk nekā viens risinājums, tad to sauc nenoteikts . Viendabīga sistēma vienmēr ir konsekventa, jo tai ir vismaz nulles risinājums. Tiek izsaukta izteiksme nezināmajiem, no kuriem var iegūt jebkuru konkrētu sistēmas risinājumu vispārējs lēmums , un jebkurš konkrēts sistēmas risinājums ir tā privāts risinājums . Divas sistēmas ar vienādiem nezināmajiem ekvivalents (ekvivalents ), ja katrs viena no tiem risinājums ir otras risinājums vai abas sistēmas ir pretrunīgas.

Apskatīsim metodes lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai.

Viena no galvenajām metodēm lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai ir Gausa metode, vai secīga metode nezināmo izslēgšana. Šīs metodes būtība ir reducēt lineāro vienādojumu sistēmu uz pakāpenisku formu. Šajā gadījumā ir jāizpilda šādi vienādojumi: elementāras pārvērtības :

1. Sistēmas vienādojumu pārkārtošana.

2. Cita vienādojuma pievienošana vienam vienādojumam.

3. Abu vienādojuma pušu reizināšana ar skaitli, kas nav nulle.

Rezultātā sistēmai būs šāda forma:

Turpinot šo procesu tālāk, mēs izslēdzam nezināmo no visiem vienādojumiem, sākot ar trešo. Lai to izdarītu, reiziniet otro vienādojumu ar skaitļiem un pievienojiet sistēmas 3., ..., --ajam vienādojumam. Turpmākās Gausa metodes darbības tiek veiktas līdzīgi. Ja transformāciju rezultātā iegūstam identisku vienādojumu, tad to izdzēšam no sistēmas. Ja kādā Gausa metodes solī tiek iegūts formas vienādojums:

tad apskatāmā sistēma ir nekonsekventa un tās tālākais risinājums beidzas. Ja, veicot elementāras transformācijas, formas (3.2) vienādojums nav sastopams, tad ne vairāk kā - soļos sistēma (3.1) tiks pārveidota pakāpeniskā formā:

Lai iegūtu noteiktu sistēmas risinājumu, brīvajiem mainīgajiem (3.4) būs jāpiešķir noteiktas vērtības.

Ņemiet vērā, ka, tā kā Gausa metodē visas transformācijas tiek veiktas uz nezināmu vienādojumu un brīvo terminu koeficientiem, praksē šī metode parasti tiek piemērota matricai, kas sastāv no nezināmo koeficientu un brīvo terminu kolonnas. Šo matricu sauc par paplašinātu. Izmantojot elementāras transformācijas, šī matrica tiek reducēta līdz pakāpeniskajai formai. Pēc tam, izmantojot iegūto matricu, sistēma tiek rekonstruēta un tai tiek piemērota visa iepriekšējā spriešana.

1. piemērs. Atrisiniet sistēmu:

Risinājums. Mēs izveidojam paplašinātu matricu un samazinām to pakāpeniskā formā:

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - otrā rinda tika reizināta ar un trešā rinda tika izsvītrota.

Dota taisnstūra koordinātu sistēma.

Teorēma 1.1. Jebkuriem diviem plaknes punktiem M 1 (x 1;y 1) un M 2 (x 2;y 2) attālumu d starp tiem izsaka ar formulu

Pierādījums. Nometīsim perpendikulus M 1 B un M 2 A attiecīgi no punktiem M 1 un M 2

uz Oy un Ox ass un apzīmē ar K taisnes M 1 B un M 2 A krustpunktu (1.4. att.). Ir iespējami šādi gadījumi:

1) Punkti M 1, M 2 un K ir atšķirīgi. Acīmredzot punktam K ir koordinātes (x 2;y 1). Ir viegli redzēt, ka M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. Jo ∆M 1 KM 2 ir taisnstūrveida, tad pēc Pitagora teorēmas d = M 1 M 2 = = .

2) Punkts K sakrīt ar punktu M 2, bet atšķiras no punkta M 1 (1.5. att.). Šajā gadījumā y 2 = y 1

un d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) Punkts K sakrīt ar punktu M 1, bet atšķiras no punkta M 2. Šajā gadījumā x 2 = x 1 un d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) Punkts M 2 sakrīt ar punktu M 1. Tad x 1 = x 2, y 1 = y 2 un

d = M 1 M 2 = O = .

Segmenta sadalīšana šajā ziņā.

Ļaujiet plaknē dot patvaļīgu nogriezni M 1 M 2 un lai M ─ ir jebkurš šī punkta punkts

segments, kas atšķiras no punkta M 2 (1.6. att.). Skaitlis l, definēts ar vienādību l = , zvanīja attieksme, kurā punktā M dala nogriezni M 1 M 2.

Teorēma 1.2. Ja punkts M(x;y) sadala segmentu M 1 M 2 attiecībā pret l, tad šī punkta koordinātas nosaka ar formulām

x = , y = , (4)

kur (x 1;y 1) ─ punkta M 1 koordinātas, (x 2;y 2) ─ punkta M 2 koordinātas.

Pierādījums. Pierādīsim pirmo no (4) formulām. Otrā formula ir pierādīta līdzīgā veidā. Ir divi iespējamie gadījumi.

x = x 1 = = = .

2) Taisne M 1 M 2 nav perpendikulāra Ox asij (1.6. att.). Nolaižam perpendikulus no punktiem M 1, M, M 2 uz Ox asi un apzīmēsim to krustošanās punktus ar Ox asi attiecīgi kā P 1, P, P 2. Pēc proporcionālo segmentu teorēmas = l.

Jo P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô un skaitļiem (x – x 1) un (x 2 – x) ir vienāda zīme (pie x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 ir negatīvi), tad

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Secinājums 1.2.1. Ja M 1 (x 1;y 1) un M 2 (x 2;y 2) ir divi patvaļīgi punkti un punkts M(x;y) ir nogriežņa M 1 M 2 vidusdaļa, tad

x = , y = (5)

Pierādījums. Tā kā M 1 M = M 2 M, tad l = 1 un izmantojot formulas (4) iegūstam formulas (5).

Trijstūra laukums.

Teorēma 1.3. Jebkuriem punktiem A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) un C(x 3;y 3), kas neatrodas vienā un tajā pašā

taisne, trijstūra ABC laukumu S izsaka ar formulu

S = ô(x 2 – x 1) (y 3 – y 1) – (x 3 – x 1) (y 2 – y 1)ô (6)

Pierādījums. Apgabals ∆ ABC parādīts attēlā. 1.7, mēs aprēķinām šādi

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Mēs aprēķinām trapecveida laukumu:

S ADEC =
,

S BCEF =

Tagad mums ir

S ABC = ((x 3 – x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 – x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1) (y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - -x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) = ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Citai vietai ∆ ABC formula (6) tiek pierādīta līdzīgi, taču tā var izrādīties ar “-” zīmi. Tāpēc formulā (6) viņi ievieto moduļa zīmi.

2. lekcija.

Taisnes vienādojums plaknē: taisnes vienādojums ar galveno koeficientu, vispārējais taisnes vienādojums, taisnes vienādojums nogriežņos, vienādojums taisnei, kas iet caur diviem punktiem. Leņķis starp taisnēm, taisnes paralēlisma un perpendikulitātes nosacījumi plaknē.

2.1. Uz plaknes ir dota taisnstūra koordinātu sistēma un kāda taisne L.

Definīcija 2.1. Tiek saukts vienādojums ar formu F(x;y) = 0, kas savieno mainīgos x un y. līnijas vienādojums L(noteiktā koordinātu sistēmā), ja šo vienādojumu apmierina jebkura punkta koordinātas, kas atrodas uz taisnes L, nevis jebkura punkta koordinātas, kas neatrodas uz šīs taisnes.

Līniju vienādojumu piemēri plaknē.

1) Aplūkosim taisnstūra koordinātu sistēmas Oy asij paralēlu taisni (2.1. att.). Ar burtu A apzīmēsim šīs taisnes krustpunktu ar Vērša asi (a;o) ─ tā vai-

Dinata. Vienādojums x = a ir dotās taisnes vienādojums. Patiešām, šo vienādojumu apmierina jebkura šīs taisnes punkta M(a;y) koordinātas un to neapmierina neviena punkta koordinātas, kas neatrodas uz taisnes. Ja a = 0, tad taisne sakrīt ar Oy asi, kurai ir vienādojums x = 0.

2) Vienādojums x - y = 0 nosaka plaknes punktu kopu, kas veido I un III koordinātu leņķa bisektrise.

3) Vienādojums x 2 - y 2 = 0 ─ ir divu koordinātu leņķu bisektoru vienādojums.

4) Vienādojums x 2 + y 2 = 0 definē vienu punktu O(0;0) plaknē.

5) Vienādojums x 2 + y 2 = 25 ─ vienādojums riņķim ar rādiusu 5 ar centru sākuma punktā.