"1740. gadā matemātiķis Pjērs Luiss Moro de Mopertuis, kritiski analizējot Fermā princips un sekojot teoloģiskiem motīviem par Visuma pilnību un visekonomiskāko uzbūvi, viņš pasludināja […] mazākās darbības princips. Maupertuis atteicās no Fermā vismazāk laika un ieviesa jaunu koncepciju - darbība. Darbība ir vienāda ar ķermeņa impulsa (kustības apjoms P = mV) un ķermeņa noietā ceļa reizinājumu.
Golubintsevs O., Mūsdienu dabaszinātņu jēdzieni, Rostova pie Donas, “Fēnikss”, 2007, 144.-147.lpp.
"Darbības apjoms, kas nepieciešams, lai radītu jebkādas izmaiņas dabā, ir mazākais iespējamais."
Pjērs Mopertuis, Atpūtas un kustības vispārīgo principu attiecības / sestdien. zinātnes klasiķu raksti. Rediģējis Polak L.S., M., “Fizmatgiz”, 1959, 1. lpp. 5.
“Memuāri izraisīja sīvas diskusijas tā laika zinātnieku vidū, kas tālu pārsniedza mehānikas darbības jomu. Galvenais strīda punkts bija: vai notikumi, kas notiek pasaulē, ir kauzāli noteikti vai tos teleoloģiski virza kāds augstāks prāts caur “galīgiem cēloņiem”, tas ir, mērķiem?
Pats Maupertuis uzsvēra un aizstāvēja sava principa teleoloģisko raksturu un tieši apgalvoja, ka “darbības ekonomija” dabā pierāda Dieva esamību. Pēdējā tēze izraisīja asu atriebību no materiālistiski domājošiem tā laika zinātniekiem un publicistiem (D'Alembert, Darcy, Voltaire).
Diskusija notika arī citos virzienos, jo īpaši tika kritizēta Maupertuis piedāvātā darbības definīcija. Vairāki autori noliedza šī principa universālo raksturu, daži minēja “patiesu” kustību piemērus, kurās “darbība” nav minimāla, bet, gluži pretēji, maksimāla. Bija arī strīdi par prioritātes jautājumu.”
Golicins G.A., Informācija un radošums: ceļā uz neatņemamu kultūru, M., “Krievu pasaule”, 1997, 1. lpp. 20.
Kad es pirmo reizi uzzināju par šo principu, man bija sava veida mistikas sajūta. Šķiet, ka daba mistiski iziet visus iespējamos sistēmas kustības ceļus un izvēlas labāko.
Šodien es vēlos nedaudz parunāt par vienu no visievērojamākajiem fizikas principiem - mazākās darbības principu.
Fons
Kopš Galileja laikiem ir zināms, ka ķermeņi, uz kuriem neiedarbojas nekādi spēki, pārvietojas pa taisnām līnijām, tas ir, pa īsāko ceļu. Gaismas stari pārvietojas arī taisnās līnijās.Atstarojot, gaisma arī pārvietojas tā, lai pēc iespējas īsākā veidā nokļūtu no viena punkta uz otru. Attēlā īsākais ceļš būs zaļais ceļš, pie kura krišanas leņķis ir vienāds ar atstarošanas leņķi. Jebkurš cits ceļš, piemēram, sarkans, būs garāks.
To ir viegli pierādīt, vienkārši atspoguļojot staru ceļus spoguļa pretējā pusē. Attēlā tie ir parādīti punktētās līnijās.
Redzams, ka zaļais ceļš ACB pārvēršas taisnā ACB'. Un sarkanais ceļš pārvēršas par lauztu līniju ADB’, kas, protams, ir garāka par zaļo.
1662. gadā Pjērs Fermā ierosināja, ka gaismas ātrums blīvā vielā, piemēram, stiklā, ir mazāks nekā gaisā. Pirms tam tika vispārpieņemta Dekarta versija, saskaņā ar kuru gaismas ātrumam matērijā jābūt lielākam nekā gaisā, lai iegūtu pareizu laušanas likumu. Fermā pieņēmums, ka gaisma var kustēties ātrāk blīvākā vidē nekā retinātā vidē, šķita nedabisks. Tāpēc viņš pieņēma, ka viss ir tieši pretēji, un izrādījās pārsteidzoša lieta - ar šo pieņēmumu gaisma tiek lauzta tā, lai sasniegtu galamērķi minimālā laikā.
Atkal zaļā krāsa parāda ceļu, pa kuru patiesībā virzās gaismas stars. Sarkanā krāsā iezīmētais ceļš ir īsākais, bet ne ātrākais, jo gaismai ir garāks ceļš, kas šķērso stiklu, un tur tā ir lēnāka. Ātrākais ceļš ir faktiskais gaismas stara ceļš.
Visi šie fakti liecināja, ka daba rīkojas kaut kādā racionālā veidā, gaisma un ķermeņi pārvietojas visoptimālākajā veidā, iztērējot pēc iespējas mazāk pūļu. Bet kādi centieni tie ir un kā tos aprēķināt, palika noslēpums.
1744. gadā Maupertuis ieviesa jēdzienu “darbība” un formulēja principu, saskaņā ar kuru daļiņas patiesā trajektorija atšķiras no jebkuras citas ar to, ka darbība uz to ir minimāla. Tomēr pats Maupertuis nekad nevarēja skaidri definēt, ko šī darbība nozīmē. Stingru matemātisku mazākās darbības principa formulējumu jau izstrādāja citi matemātiķi - Eilers, Lagrenžs, un beidzot to sniedza Viljams Hamiltons:
Matemātiskajā valodā mazākās darbības princips ir formulēts diezgan īsi, taču ne visi lasītāji var saprast izmantotā apzīmējuma nozīmi. Es gribu mēģināt izskaidrot šo principu skaidrāk un vienkāršāk.
Brīvs ķermenis
Tātad, iedomājieties, ka jūs sēžat automašīnā noteiktā punktā un konkrētajā brīdī jums tiek dots vienkāršs uzdevums: pēc brīža jums ir jānobrauc ar automašīnu uz punktu.
Degviela automašīnai ir dārga un, protams, no tās gribas tērēt pēc iespējas mazāk. Jūsu automašīna ir izgatavota, izmantojot jaunākās supertehnoloģijas, un tā var paātrināties vai bremzēt tik ātri, cik vēlaties. Taču tas ir veidots tā, ka, jo ātrāk iet, jo vairāk degvielas patērē. Turklāt degvielas patēriņš ir proporcionāls ātruma kvadrātam. Braucot divreiz ātrāk, tajā pašā laika periodā patērēsiet 4 reizes vairāk degvielas. Papildus ātrumam degvielas patēriņu, protams, ietekmē arī transportlīdzekļa svars. Jo smagāks ir mūsu auto, jo vairāk degvielas tas patērē. Mūsu auto degvielas patēriņš katrā laika momentā ir vienāds, t.i. tieši vienāda ar automašīnas kinētisko enerģiju.
Tātad, kā jābrauc, lai nokļūtu galamērķī tieši noteiktajā laikā un patērētu pēc iespējas mazāk degvielas? Skaidrs, ka jāiet taisnā līnijā. Palielinoties nobrauktajam attālumam, degviela tiks patērēta ne mazāk. Un tad jūs varat izvēlēties dažādas taktikas. Piemēram, jūs varat ātri ierasties punktā iepriekš un vienkārši sēdēt un gaidīt, līdz pienāks laiks. Braukšanas ātrums un līdz ar to arī degvielas patēriņš katrā laika momentā būs liels, taču samazināsies arī braukšanas laiks. Varbūt kopējais degvielas patēriņš nebūs tik liels. Vai arī vari braukt vienmērīgi, ar tādu pašu ātrumu, lai, nesteidzoties, ierastos tieši konkrētajā brīdī. Vai arī brauciet daļu ceļa ātri un daļu lēnāk. Kāds ir labākais veids, kā iet?
Izrādās, ka optimālākais, ekonomiskākais braukšanas veids ir braukt ar nemainīgu ātrumu, lai galamērķī ierodas tieši noteiktajā laikā. Jebkurš cits variants patērēs vairāk degvielas. Varat to pārbaudīt pats, izmantojot vairākus piemērus. Iemesls ir tāds, ka degvielas patēriņš palielinās līdz ar ātruma kvadrātu. Tāpēc, palielinoties ātrumam, degvielas patēriņš palielinās ātrāk, nekā samazinās braukšanas laiks, un palielinās arī kopējais degvielas patēriņš.
Tātad, mēs noskaidrojām, ka, ja automašīna katrā laika brīdī patērē degvielu proporcionāli tās kinētiskajai enerģijai, tad visekonomiskākais veids, kā nokļūt no punkta uz punktu precīzi noteiktajā laikā, ir braukt vienmērīgi un taisnā līnijā, precīzi veids, kā ķermenis pārvietojas, ja uz to neiedarbojas spēki.spēks Jebkura cita braukšanas metode radīs lielāku kopējo degvielas patēriņu.
Smaguma laukā
Tagad nedaudz uzlabosim savu auto. Piestiprināsim tai reaktīvos dzinējus, lai tas varētu brīvi lidot jebkurā virzienā. Kopumā dizains palika nemainīgs, tāpēc degvielas patēriņš atkal palika stingri proporcionāls automašīnas kinētiskajai enerģijai. Ja tagad tiek dots uzdevums lidot no punkta noteiktā laika punktā un nonākt punktā noteiktā laika punktā, tad visekonomiskākais veids, kā līdz šim, protams, būs lidot vienmērīgi un taisni, lai beigtos. uz augšu noteiktā brīdī precīzi noteiktajā laikā. Tas atkal atbilst ķermeņa brīvai kustībai trīsdimensiju telpā.
Tomēr jaunākajā automašīnas modelī tika uzstādīta neparasta ierīce. Šī ierīce var ražot degvielu burtiski no nekā. Bet dizains ir tāds, ka, jo augstāka ir automašīna, jo vairāk degvielas ierīce saražo jebkurā laikā. Degvielas ražošana ir tieši proporcionāla augstumam, kādā automašīna pašlaik atrodas. Tāpat, jo smagāks ir auto, jo jaudīgāka iekārta tai uzstādīta un vairāk degvielas tā saražo, turklāt produkcija ir tieši proporcionāla auto svaram. Ierīce izrādījās tāda, ka degvielas ražošana ir tieši vienāda ar (kur ir brīvā kritiena paātrinājums), t.i. automašīnas potenciālā enerģija.
Degvielas patēriņš katrā laika momentā ir vienāds ar kinētisko enerģiju mīnus automašīnas potenciālā enerģija (atskaitot potenciālo enerģiju, jo uzstādītā ierīce ražo degvielu un to nepatērē). Tagad mūsu uzdevums pēc iespējas efektīvāk pārvietot automašīnu starp punktiem kļūst grūtāks. Taisnvirziena vienmērīga kustība šajā gadījumā izrādās ne visefektīvākā. Izrādās, ka optimālāk ir nedaudz palielināt augstumu, kādu laiku tur palikt, patērējot vairāk degvielas, un tad nolaisties uz punktu . Ar pareizu lidojuma trajektoriju kopējā degvielas saražotā kāpuma dēļ segs papildu degvielas izmaksas trases garuma palielināšanai un ātruma palielināšanai. Ja rūpīgi parēķināsi, visekonomiskākais veids automašīnai būs lidot ar parabolu, tieši pa to pašu trajektoriju un tieši tādā pašā ātrumā, kā akmens lidotu Zemes gravitācijas laukā.
Šeit ir vērts precizēt. Protams, jūs varat mest akmeni no punkta dažādos veidos, lai tas trāpītu pret punktu. Bet vajag mest tā, lai, momentā pacēlusies no punkta, tā trāpītu tieši tajā brīdī. Tieši šī kustība mūsu automašīnai būs visekonomiskākā.
Lagranža funkcija un mazākās darbības princips
Tagad mēs varam pārnest šo analoģiju uz reāliem fiziskajiem ķermeņiem. Virsbūvju degvielas patēriņa ātruma analogu sauc par Lagranža funkciju vai Lagranža funkciju (par godu Lagranžai) un apzīmē ar burtu . Lagranža parāda, cik daudz “degvielas” ķermenis patērē noteiktā laikā. Ķermenim, kas pārvietojas potenciālā laukā, Lagranža ir vienāds ar tā kinētisko enerģiju mīnus potenciālā enerģija.Kopējā patērētās degvielas daudzuma analogs visā kustības periodā, t.i. Lagranža vērtību, kas uzkrāta visā kustības laikā, sauc par "darbību".
Mazākās darbības princips ir tāds, ka ķermenis kustas tā, lai darbība (kas atkarīga no kustības trajektorijas) būtu minimāla. Tajā pašā laikā mēs nedrīkstam aizmirst, ka sākotnējie un beigu nosacījumi ir norādīti, t.i. kur ķermenis atrodas laika brīdī un laika momentā.
Šajā gadījumā ķermenim nav obligāti jāpārvietojas vienmērīgā gravitācijas laukā, ko mēs uzskatījām par mūsu automašīnu. Var apsvērt pilnīgi dažādas situācijas. Ķermenis var svārstīties uz elastīgās lentes, šūpoties uz svārsta vai lidot ap Sauli, visos šajos gadījumos tas pārvietojas tā, lai samazinātu “kopējo degvielas patēriņu”, t.i. darbība.
Ja sistēma sastāv no vairākiem ķermeņiem, tad šādas sistēmas Lagranža vērtība būs vienāda ar visu ķermeņu kopējo kinētisko enerģiju mīnus visu ķermeņu kopējā potenciālā enerģija. Un atkal visi ķermeņi pārvietosies saskaņoti, lai visas sistēmas ietekme šādas kustības laikā būtu minimāla.
Nav tik vienkārši
Patiesībā es mazliet krāpjos, sakot, ka ķermeņi vienmēr kustas tā, lai darbība būtu pēc iespējas mazāka. Lai gan tas ir taisnība daudzos gadījumos, ir iespējams domāt par situācijām, kurās darbība acīmredzami nav minimāla.Piemēram, paņemsim bumbu un novietosim to tukšā vietā. Zināmā attālumā no tā mēs novietosim elastīgu sienu. Pieņemsim, ka vēlamies, lai bumba pēc kāda laika nonāk tajā pašā vietā. Šajos apstākļos bumba var kustēties divos dažādos veidos. Pirmkārt, tas var vienkārši palikt vietā. Otrkārt, jūs varat to virzīt pret sienu. Bumba lidos pret sienu, atsitās no tās un atgriezīsies. Skaidrs, ka var stumt ar tādu ātrumu, lai tas atgrieztos tieši īstajā laikā.
Iespējami abi bumbiņas kustības varianti, taču darbība otrajā gadījumā būs lielāka, jo visu šo laiku bumbiņa kustēsies ar nulles kinētisko enerģiju.
Kā mēs varam saglabāt mazākās rīcības principu, lai tas būtu spēkā šādās situācijās? Mēs par to runāsim.
Nosaukts pēc Viljama Hamiltona, kurš izmantoja šo principu, lai konstruētu tā saukto Hamiltona formālismu klasiskajā mehānikā.
Darbības stacionaritātes princips ir vissvarīgākais no ekstrēmo principu saimes. Ne visām fiziskajām sistēmām ir kustības vienādojumi, ko var iegūt no šī principa, taču tam ir pakļautas visas fundamentālās mijiedarbības, un tāpēc šis princips ir viens no galvenajiem mūsdienu fizikas noteikumiem. Ar tā palīdzību iegūtos kustības vienādojumus sauc par Eilera-Lagranža vienādojumiem.
Pirmo principa formulējumu sniedza P. Maupertuis (franču: P. Maupertuis) 1744. gadā, uzreiz norādot uz tā universālo raksturu un uzskatot to par attiecināmu uz optiku un mehāniku. No šī principa viņš atvasināja gaismas atstarošanas un laušanas likumus.
1746. gadā Moupertuiss jaunā darbā piekrita Eilera viedoklim un pasludināja viņa principa vispārīgāko variantu: “Kad dabā notiek kādas izmaiņas, šīm pārmaiņām nepieciešamās darbības ir vismazākās. Darbības daudzums ir ķermeņu masas reizinājums pēc to ātruma un attāluma, ko tie veic. Plašajā diskusijā Eilers atbalstīja Moupertuisa prioritāti un iestājās par jaunā likuma universālo raksturu: "visu dinamiku un hidrodinamiku var atklāt pārsteidzoši viegli, izmantojot maksimumu un minimumu metodi vien."
Jauns posms sākās 1760.–1761. gadā, kad Džozefs Luiss Lagranžs ieviesa stingru funkcijas variācijas jēdzienu, piešķīra variāciju aprēķinam modernu formu un paplašināja mazākās darbības principu uz patvaļīgu mehānisku sistēmu (tas ir, ne tikai bezmaksas materiālie punkti). Tas iezīmēja analītiskās mehānikas sākumu. Tālāku principa vispārināšanu 1837. gadā veica Kārlis Gustavs Jakobijs – viņš problēmu uzskatīja ģeometriski, kā variācijas problēmas galējo punktu atrašanu konfigurācijas telpā ar ne-eiklīda metriku. Jo īpaši Jacobi norādīja, ka, ja nav ārēju spēku, sistēmas trajektorija attēlo ģeodēzisko līniju konfigurācijas telpā.
Jāņem vērā, ka, ja no problēmas nosacījumiem principā ir iespējams atrast kustības likumu, tad tas tiek automātiski Nav nozīmē, ka ir iespējams izveidot funkcionālu, kas patiesas kustības laikā iegūst stacionāru vērtību. Piemērs ir elektrisko lādiņu un monopolu – magnētisko lādiņu – kopīga kustība elektromagnētiskajā laukā. To kustības vienādojumus nevar iegūt no stacionāras darbības principa. Tāpat dažām Hamiltona sistēmām ir kustības vienādojumi, kurus nevar iegūt no šī principa.
Triviāli piemēri palīdz novērtēt darbības principa izmantošanu, izmantojot Eilera-Lagranža vienādojumus. Brīvā daļiņa (masa m un ātrumu v) Eiklīda telpā pārvietojas pa taisnu līniju. Izmantojot Eilera-Lagranža vienādojumus, to var parādīt polārajās koordinātēs šādi. Ja nav potenciāla, Lagranža funkcija ir vienkārši vienāda ar kinētisko enerģiju
Kvantu lauka teorijā veiksmīgi tiek pielietots arī stacionārās darbības princips. Lagranža blīvums šeit ietver atbilstošo kvantu lauku operatorus. Lai gan pareizāk šeit pēc būtības (izņemot klasisko robežu un daļēji kvaziklasiku) runāt nevis par darbības stacionaritātes principu, bet gan par Feinmena integrāciju pa trajektorijām šo lauku konfigurācijā vai fāzu telpā - izmantojot tikko pieminētais Lagranža blīvums.
Plašāk ar darbību saprot funkcionālu, kas definē kartēšanu no konfigurācijas telpas uz reālu skaitļu kopu, un kopumā tai nav jābūt integrālam, jo principā ir iespējamas nelokālas darbības, vismaz. teorētiski. Turklāt konfigurācijas telpa ne vienmēr ir funkciju telpa, jo tai var būt
2.2. Mazākās darbības princips
18. gadsimtā notika tālāka zinātnisko rezultātu uzkrāšana un sistematizācija, ko raksturo tendence apvienot atsevišķus zinātnes sasniegumus stingri sakārtotā, saskaņotā pasaules ainā, sistemātiski pielietojot matemātiskās analīzes metodes fizikālo parādību pētījumos. Daudzu izcilu prātu darbs šajā virzienā noveda pie mehānistiskās pētniecības programmas pamata teorijas - analītiskās mehānikas - izveidošanas, uz kuras pamata tika izveidotas dažādas fundamentālas teorijas, kas apraksta noteiktu komponentu klasi.
teorētiskās parādības: hidrodinamika, elastības teorija, aerodinamika uc Viens no svarīgākajiem analītiskās mehānikas rezultātiem ir mazākās darbības princips (variācijas princips), kas ir svarīgs, lai izprastu 20. gadsimta beigās notiekošos procesus fizikā. .
Variācijas principu rašanās zinātnē saknes meklējamas Senajā Grieķijā un ir saistītas ar Aleksandrijas varoņa vārdu. Jebkura variācijas principa ideja ir mainīt (mainīt) noteiktu vērtību, kas raksturo noteiktu procesu, un no visiem iespējamiem procesiem izvēlēties to, kuram šī vērtība iegūst galējo (maksimālo vai minimālo) vērtību. Herons mēģināja izskaidrot gaismas atstarošanas likumus, mainot vērtību, kas raksturo ceļa garumu, ko gaismas stars nogāja no avota līdz novērotājam, kad tas atspoguļojas no spoguļa. Viņš nonāca pie secinājuma, ka no visiem iespējamiem ceļiem gaismas stars izvēlas īsāko (no visiem ģeometriski iespējamajiem).
17. gadsimtā, pēc diviem tūkstošiem gadu, franču matemātiķis Fermā pievērsa uzmanību Herona principam, attiecināja to uz medijiem ar dažādiem refrakcijas koeficientiem un pārformulēja laika izteiksmē. Fermā princips nosaka: refrakcijas vidē, kuras īpašības nav atkarīgas no laika, gaismas stars, izejot cauri diviem punktiem, izvēlas tādu ceļu, lai laiks, kas nepieciešams, lai tas nobrauktu no pirmā punkta uz otro, būtu minimāls. Herona princips izrādās īpašs Fermā principa gadījums nesējiem ar nemainīgu refrakcijas koeficientu.
Fermā princips piesaistīja viņa laikabiedru uzmanību. No vienas puses, tas vislabākajā veidā liecināja par "ekonomijas principu" dabā, par racionālo dievišķo plānu, kas realizēts pasaules struktūrā, no otras puses, tas bija pretrunā ar Ņūtona korpuskulāro gaismas teoriju. Pēc Ņūtona teiktā, izrādījās, ka blīvākā vidē gaismas ātrumam jābūt lielākam, savukārt no Fermā principa izrietēja, ka šādos medijos gaismas ātrums kļūst mazāks.
1740. gadā matemātiķis Pjērs Luiss Moro de Mopertuī, kritiski analizējot Fermā principu un sekojot teoloģiskām.
loģiski motīvi par Visuma pilnību un visekonomiskāko uzbūvi, savā darbā “Par dažādiem dabas likumiem, kas šķita nesavienojami” pasludināja mazākās darbības principu. Maupertuis atteicās no Fermā mazākā laika un ieviesa jaunu koncepciju – darbība. Darbība ir vienāda ar ķermeņa impulsa (kustības apjoms P = mV) un ķermeņa noietā ceļa reizinājumu. Laikam nav nekādu priekšrocību pār telpu, ne arī otrādi. Tāpēc gaisma neizvēlas īsāko ceļu un nevis īsāko ceļojuma laiku, bet, pēc Maupertuisa teiktā, “izvēlas ceļu, kas dod vislielāko ekonomiju: ceļš, pa kuru tā iet, ir ceļš, pa kuru ir darbības lielums. ir minimāls." Mazākās darbības princips tika tālāk attīstīts Eilera un Lagranža darbos; tas bija pamats, uz kura Lagrenžs izstrādāja jaunu matemātiskās analīzes jomu – variāciju aprēķinu. Šis princips Hamiltona darbos saņēma turpmāku vispārinājumu un pilnīgu formu. Vispārinātajā formā mazākās darbības princips izmanto darbības jēdzienu, kas izteikts nevis ar impulsu, bet ar Lagranža funkciju. Gadījumā, ja viena daļiņa pārvietojas noteiktā potenciāla laukā, Lagranža funkciju var attēlot kā kinētikas atšķirību 
un potenciālā enerģija:
(Jēdziens "enerģija" ir detalizēti apskatīts šīs sadaļas 3. nodaļā.)
Produktu sauc par elementāru darbību. Kopējā darbība ir visu vērtību summa visā aplūkojamā laika intervālā, citiem vārdiem sakot, kopējā darbība A:
Daļiņu kustības vienādojumus var iegūt, izmantojot mazākās darbības principu, saskaņā ar kuru reāla kustība notiek tā, ka darbība izrādās ekstrēma, tas ir, tās variācija kļūst par 0:
Lagranža-Hamiltona variācijas princips ļauj viegli paplašināt sistēmas, kas sastāv no
cik (daudz) daļiņu. Šādu sistēmu kustība parasti tiek aplūkota abstraktā telpā (ērta matemātiskā tehnika) ar lielu skaitu dimensiju. Pieņemsim, ka N punktiem tiek ieviesta N daļiņu 3N koordinātu abstrakta telpa, veidojot sistēmu, ko sauc par konfigurācijas telpu. Sistēmas dažādu stāvokļu secība šajā konfigurācijas telpā ir attēlota ar līkni - trajektoriju. Apsverot visus iespējamos ceļus, kas savieno divus dotos šīs 3N dimensijas telpas punktus, var pārliecināties, ka sistēmas reālā kustība notiek saskaņā ar mazākās darbības principu: starp visām iespējamām trajektorijām tā, kurai darbība ir galēja. visā kustības laika intervālā tiek realizēta.
Klasiskajā mehānikā minimizējot darbību, tiek iegūti Eilera-Lagranža vienādojumi, kuru saistība ar Ņūtona likumiem ir labi zināma. Klasiskā elektromagnētiskā lauka Lagranža vienādojumi Eilera-Lagranža vienādojumi izrādās Maksvela vienādojumi. Tādējādi mēs redzam, ka Lagranža un mazākās darbības principa izmantošana ļauj precizēt daļiņu dinamiku. Tomēr Lagranža ir vēl viena svarīga iezīme, kas padarījusi Lagranža formālismu par fundamentālu gandrīz visu mūsdienu fizikas problēmu risināšanā. Fakts ir tāds, ka līdzās Ņūtona mehānikai jau 19. gadsimtā fizikā tika formulēti saglabāšanās likumi dažiem fizikāliem lielumiem: enerģijas nezūdamības likums, impulsa nezūdamības likums, leņķiskā impulsa saglabāšanas likums, likums. elektriskā lādiņa saglabāšanu. Saglabāšanās likumu skaits saistībā ar kvantu fizikas un elementārdaļiņu fizikas attīstību mūsu gadsimtā ir kļuvis vēl lielāks. Rodas jautājums, kā atrast kopīgu pamatu gan kustības vienādojumu (teiksim, Ņūtona likumu vai Maksvela vienādojumu), gan laika gaitā saglabājamo daudzumu rakstīšanai. Izrādījās, ka šāds pamats ir Lagranža formālisma izmantošana, jo konkrētas teorijas Lagranža izrādās nemainīgs (nemainīgs) attiecībā uz transformācijām, kas atbilst konkrētajai šajā teorijā aplūkotajai abstraktajai telpai, kā rezultātā rodas saglabāšanas likumi. Šīs Lagranža iezīmes
neradīja vajadzību formulēt fizikālās teorijas lagrangiešu valodā. Apziņa par šo apstākli fizikā radās, pateicoties Einšteina relativitātes teorijas rašanās.
Kad es mācījos skolā, mūsu fizikas skolotājs, vārdā Bāders, reiz pēc stundām man piezvanīja un teica: “Tu izskaties tā, it kā tev viss būtu šausmīgi noguris; klausieties vienu interesantu lietu." Un viņš man pateica kaut ko, kas, manuprāt, bija patiesi aizraujošs. Pat tagad, lai gan kopš tā laika ir pagājis daudz laika, tas mani joprojām fascinē. Un katru reizi, kad atceros, ko teicu, es atgriežos pie darba. Un šoreiz, gatavojoties lekcijai, es atkal pieķēru sevi analizējam tās pašas lietas. Un tā vietā, lai sagatavotos lekcijai, es ķēros pie jaunas problēmas. Tēma, par kuru es runāju, ir mazākās darbības princips.
To man toreiz teica mans skolotājs Bāders: “Ļaujiet, piemēram, jums ir daļiņa gravitācijas laukā; šī daļiņa, no kaut kurienes iznākusi, brīvi pārvietojas kaut kur citur uz citu punktu. Jūs to uzmetāt, teiksim, uz augšu, un tas uzlidoja un tad nokrita.
Viņai bija vajadzīgs zināms laiks, lai no starta vietas nokļūtu finālā. Tagad izmēģiniet kādu citu kustību. Ļaujiet viņai pārvietoties "no šejienes uz šejieni" vairs ne kā iepriekš, bet šādi:
bet es joprojām atradu sevi īstajā vietā tajā pašā laika brīdī, kā iepriekš.
"Un tā," skolotājs turpināja, "ja jūs aprēķināsiet kinētisko enerģiju katrā laika momentā gar daļiņas ceļu, atņemsiet no tās potenciālo enerģiju un integrēsiet starpību visā kustības laikā, jūs redzēsiet ka iegūtais skaitlis būs lielāks nekā daļiņas patiesajai kustībai.
Citiem vārdiem sakot, Ņūtona likumus var formulēt nevis formā, bet gan šādi: vidējā kinētiskā enerģija mīnus vidējā potenciālā enerģija sasniedz zemāko vērtību pa trajektoriju, pa kuru objekts faktiski pārvietojas no vienas vietas uz otru.
Es mēģināšu jums to izskaidrot nedaudz skaidrāk.
Ja ņemam gravitācijas lauku un apzīmējam daļiņu trajektoriju , kur ir augstums virs zemes (pagaidām iztiksim ar vienu dimensiju; lai trajektorija iet tikai uz augšu un uz leju, nevis uz sāniem), tad kinētiskā enerģija būs , un potenciālā enerģija patvaļīgā laika momentā būs vienāda ar .
Tagad, kādu brīdi kustoties pa trajektoriju, es ņemu atšķirību starp kinētisko un potenciālo enerģiju un integrēju visu laiku no sākuma līdz beigām. Lai kustība sākas noteiktā augstumā sākotnējā laika brīdī un beidzas citā noteiktā augstumā.
Tad integrālis ir vienāds
.
Patiesa kustība notiek pa noteiktu līkni (atkarībā no laika tā ir parabola) un noved pie noteiktas integrālās vērtības. Bet jūs varat iedomāties kādu citu kustību: vispirms strauju kāpumu un pēc tam dažas dīvainas svārstības.
Pārbaudīsim to. Vispirms apskatīsim šo gadījumu: brīvai daļiņai vispār nav potenciālās enerģijas. Tad noteikums saka, ka, pārvietojoties no viena punkta uz otru noteiktā laikā, kinētiskās enerģijas integrālim jābūt mazākajam. Tas nozīmē, ka daļiņai jāpārvietojas vienmērīgi. (Un tas ir pareizi, jūs un es zinām, ka ātrums šādā kustībā ir nemainīgs.) Kāpēc vienmērīgi? Izdomāsim. Ja būtu citādi, tad brīžiem daļiņas ātrums pārsniegtu vidējo, bet brīžiem būtu zem tā, un vidējais ātrums būtu tāds pats, jo daļiņai būtu jānokļūst “no šejienes uz šejieni”. norunātajā laikā. Piemēram, ja no mājām uz skolu ar savu automašīnu jānokļūst noteiktā laikā, tad to var izdarīt dažādos veidos: sākumā var braukt kā traks un beigās samazināt ātrumu vai braukt ar tādu pašu ātrumu, vai pat var iet uz pretējo pusi, un tikai tad griezties uz skolu utt.. Visos gadījumos vidējam ātrumam, protams, jābūt vienādam - attāluma no mājām līdz skolai koeficients dalīts ar laiku. Bet pat ar šo vidējo ātrumu jūs dažreiz pārvietojāties pārāk ātri un dažreiz pārāk lēni. Un vidējais kvadrāts kaut kam, kas atšķiras no vidējā, kā zināms, vienmēr ir lielāks par vidējā kvadrātu; Tas nozīmē, ka kinētiskās enerģijas integrālis kustības ātruma svārstību laikā vienmēr būs lielāks nekā pārvietojoties ar nemainīgu ātrumu. Jūs redzat, ka integrālis sasniegs minimumu, ja ātrums ir nemainīgs (ja nav spēku). Pareizais ceļš ir šāds.
Smaguma laukā uz augšu izmests objekts sākumā ātri paceļas, bet pēc tam arvien lēnāk. Tas notiek tāpēc, ka tai ir arī potenciālā enerģija, un atšķirībai starp kinētisko un potenciālo enerģiju jāsasniedz tā minimālā vērtība. Tā kā potenciālā enerģija palielinās, paceļoties, mazāka starpība tiks iegūta, ja pēc iespējas ātrāk sasniegsiet tos augstumus, kuros potenciālā enerģija ir augsta. Tad, atņemot šo augsto potenciālu no kinētiskās enerģijas, mēs panākam vidējā samazinājumu. Tāpēc izdevīgāk ir izvēlēties ceļu, kas iet uz augšu un piegādā labu negatīvu potenciālās enerģijas gabalu.
Bet, no otras puses, jūs nevarat pārvietoties pārāk ātri vai pacelties pārāk augstu, jo tas prasītu pārāk daudz kinētiskās enerģijas. Jums ir jāpārvietojas pietiekami ātri, lai piecelties un lejā noteiktajā jums pieejamajā laikā. Tāpēc nevajadzētu mēģināt lidot pārāk augstu, bet vienkārši sasniegt kādu saprātīgu līmeni. Rezultātā izrādās, ka risinājums ir sava veida līdzsvars starp vēlmi iegūt pēc iespējas vairāk potenciālās enerģijas un vēlmi pēc iespējas samazināt kinētiskās enerģijas daudzumu – tā ir vēlme panākt maksimālu samazinājumu. atšķirībā starp kinētisko un potenciālo enerģiju.
Tas ir viss, ko man teica skolotājs, jo viņš bija ļoti labs skolotājs un zināja, kad ir laiks apstāties. Es pats, diemžēl, neesmu tāds. Man ir grūti apstāties laikā. Un tāpēc tā vietā, lai tikai izraisītu jūsu interesi ar savu stāstu, es gribu jūs iebiedēt, es vēlos jūs saslimt ar dzīves sarežģītību - es mēģināšu pierādīt to, par ko jums teicu. Matemātiskā problēma, kuru mēs atrisināsim, ir ļoti grūta un unikāla. Ir noteikts daudzums, ko sauc par darbību. Tas ir vienāds ar kinētisko enerģiju mīnus laika gaitā integrētā potenciālā enerģija:
.
Neaizmirstiet, ka p.e. un k.e. - abas laika funkcijas. Jebkuram jaunam iedomājamam ceļam šī darbība iegūst savu īpašo nozīmi. Matemātiskā problēma ir noteikt, kurai līknei šis skaitlis ir mazāks nekā pārējām.
Jūs sakāt: “Ak, tas ir tikai vienkāršs maksimuma un minimuma piemērs. Mums ir jāaprēķina darbība, tā jānošķir un jāatrod minimums.
Bet pagaidi. Parasti mums ir kāda mainīgā funkcija, un mums ir jāatrod mainīgā vērtība, pie kuras funkcija kļūst par mazāko vai lielāko. Pieņemsim, ka vidū ir uzkarsēts stienis. Siltums izplatās pār to, un katrā stieņa punktā tiek noteikta sava temperatūra. Jums jāatrod punkts, kur tas ir visaugstākais. Bet mēs runājam par pavisam ko citu – katram ceļam kosmosā ir savs numurs, un mums it kā jāatrod ceļš, kuram šis skaitlis ir minimāls. Šī ir pavisam cita matemātikas joma. Tas nav parasts aprēķins, bet gan variāciju aprēķins (kā to sauc).
Šai matemātikas jomai ir daudzas savas problēmas. Piemēram, apli parasti definē kā tādu punktu ģeometrisko lokusu, kuru attālumi no dotā punkta ir vienādi, bet apli var definēt dažādi: tā ir viena no noteikta garuma līknēm, kas ierobežo lielāko laukumu. Jebkura cita tāda paša perimetra līkne aptver laukumu, kas ir mazāks par apli. Tātad, ja mēs uzstādām uzdevumu: atrast noteiktā perimetra līkni, kas ierobežo lielāko laukumu, tad mums būs problēma no variāciju aprēķina, nevis no aprēķiniem, pie kuriem esat pieradis.
Tātad, mēs vēlamies ņemt integrāli pār ķermeņa noieto ceļu. Darīsim to šādi. Būtība ir iedomāties, ka ir patiess ceļš un ka jebkura cita līkne, ko mēs uzzīmējam, nav īstais ceļš, tāpēc, ja mēs aprēķināsim darbību, mēs iegūsim skaitli, kas ir lielāks par to, ko iegūstam darbībai, kas atbilst īstais veids.
Tātad, uzdevums ir atrast patieso ceļu. Kur tas slēpjas? Viens no veidiem, protams, būtu saskaitīt darbību miljoniem un miljoniem ceļu un tad redzēt, kurā ceļā ir vismazākā darbība. Šis ir ceļš, kurā darbība ir minimāla un būs reāla.
Šī metode ir diezgan iespējama. Tomēr to var izdarīt vienkāršāk. Ja ir kāds lielums, kuram ir minimums (no parastajām funkcijām, teiksim, temperatūra), tad viena no minimuma īpašībām ir tāda, ka, attālinoties no tā par pirmās kārtas mazuma attālumu, funkcija novirzās no tā minimuma. vērtību tikai pēc otrās kārtas vērtības. Un jebkurā citā līknes vietā neliela attāluma nobīde izmaina funkcijas vērtību arī par pirmās kārtas lielumu. Bet vismaz nelielas novirzes uz sāniem neizraisa funkcijas izmaiņas kā pirmo tuvinājumu.
Tieši šo īpašību mēs izmantosim, lai aprēķinātu reālo ceļu.
Ja ceļš ir pareizs, tad līkne, kas nedaudz atšķiras no tā, kā pirmais tuvinājums nenovedīs pie darbības lieluma izmaiņām. Visas izmaiņas, ja tas patiešām bija minimums, parādīsies tikai otrajā tuvinājumā.
To ir viegli pierādīt. Ja ar jebkādu novirzi no līknes notiek izmaiņas pirmajā secībā, tad šīs izmaiņas darbībā ir proporcionālas novirzei. Tie, visticamāk, palielinās efektu; citādi tas nebūtu minimums. Bet, tā kā izmaiņas ir proporcionālas novirzei, tad, mainot novirzes zīmi, darbība samazināsies. Izrādās, ka, novirzoties vienā virzienā, efekts palielinās, savukārt, novirzoties pretējā virzienā, tas samazinās. Vienīgais veids, kā tas patiešām ir minimums, ir tad, ja, sākot ar pirmo tuvinājumu, nekādas izmaiņas nenotiek un izmaiņas ir proporcionālas novirzes kvadrātam no faktiskā ceļa.
Tātad, mēs iesim šādu ceļu: mēs apzīmēsim cauri (ar līniju zemāk) patieso ceļu - to, kuru mēs vēlamies atrast. Paņemsim kādu izmēģinājuma ceļu , kas no vēlamā nedaudz atšķiras, ko apzīmējam .
Ideja ir tāda, ka, ja mēs aprēķinām darbību ceļā, tad starpība starp šo un darbību, ko mēs aprēķinājām ceļam (vienkāršības labad tas tiks apzīmēts), vai starpība starp un, kam vajadzētu būt pirmajam tuvinājumam, nulle. Tie var atšķirties otrajā secībā, bet pirmajā starpībai jābūt nullei.
Un tas ir jāievēro ikvienam. Tomēr ne gluži visiem. Metode prasa ņemt vērā tikai tos ceļus, kuri visi sākas un beidzas vienā punktu pārī, t.i., katram ceļam jāsākas noteiktā brīdī un jābeidzas citā noteiktā brīdī. Šie punkti un momenti tiek fiksēti. Tātad mūsu funkcijai (novirzei) abos galos jābūt nullei: un . Šādos apstākļos mūsu matemātiskā problēma kļūst pilnībā definēta.
Ja jūs nezinātu diferenciālrēķinu, jūs varētu darīt to pašu, lai atrastu parastās funkcijas minimumu. Jūs domājat par to, kas notiktu, ja jūs ņemtu un pievienotu nelielu vērtību , un apgalvotu, ka pirmās kārtas labojumam ir jābūt vismaz vienādam ar nulli. Tā vietā jūs aizstātu un paplašinātu līdz pirmajai pakāpei, vārdu sakot, jūs atkārtotu visu, ko mēs plānojam darīt ar .
Tātad, mūsu ideja ir tāda, ka mēs aizstājam 
darbības formulā
,
kur potenciālā enerģija tiek apzīmēta ar. Atvasinājums, protams, ir atvasinājums plus atvasinājums no , tāpēc darbībai es saņemu šo izteiksmi:
.
Tagad tas ir jāapraksta sīkāk. Par kvadrātisko terminu es saņemu
.
Bet pagaidi! Galu galā man nav jāuztraucas par pasūtījumiem, kas ir lielāki par pirmo. Es varu noņemt visus terminus, kas satur augstākus spēkus, un ievietot tos lodziņā, ko sauc par “otrās un augstākās kārtas”. No šī izteiksmes tur nokļūs tikai viena otrā pakāpe, bet no kaut kā cita var ienākt arī augstākie. Tātad daļa, kas saistīta ar kinētisko enerģiju, ir:
Tālāk mums ir vajadzīgs potenciāls punktos. Es uzskatu, ka tas ir mazs un varu to paplašināt par Teilora sēriju. Apmēram tā būs; nākamajā tuvinājumā (sakarā ar to, ka šeit ir parastie atvasinājumi) korekcija ir vienāda ar , reizināta ar izmaiņu ātrumu attiecībā pret utt.:
.
Lai ietaupītu vietu, es to apzīmēju, izmantojot atvasinājumu attiecībā uz . Termins c un viss aiz tā ietilpst kategorijā “otrā un augstāka pakāpe”. Un par tiem vairs nav jāuztraucas. Apvienosim visu, kas paliek:
Ja mēs to tagad rūpīgi aplūkosim, mēs redzēsim, ka pirmie divi šeit rakstītie termini atbilst darbībai, ko es rakstītu par patieso meklēto ceļu. Es vēlos koncentrēt jūsu uzmanību uz pārmaiņām, tas ir, uz atšķirību starp un to, kas būtu noticis patiesajā ceļā. Mēs rakstīsim šo atšķirību kā un sauksim to par variāciju. Atmetot “otro un augstāko pasūtījumu”, mēs iegūstam par
.
Tagad uzdevums izskatās šādi. Šeit manā priekšā ir kaut kāda neatņemama sastāvdaļa. Es vēl nezinu, kas tas ir, bet es noteikti zinu, ka neatkarīgi no tā, ko es ņemtu, šim integrālam ir jābūt vienādam ar nulli. "Nu," jūs varētu domāt, "vienīgā iespēja tam ir, ja reizinātājs pie ir vienāds ar nulli." Bet kā ir ar pirmo terminu, kur ir? Jūs teiksiet: “Ja tas pārvēršas par neko, tad tā atvasinājums ir tas pats nekas; Tas nozīmē, ka koeficientam pie arī jābūt nulle. Nu, tā nav gluži taisnība. Tas nav pilnīgi taisnība, jo pastāv saikne starp novirzi un tās atvasinājumu; tie nav pilnīgi neatkarīgi, jo tai jābūt nullei pie un pie .
Risinot visas variāciju aprēķina problēmas, vienmēr tiek izmantots viens un tas pats vispārīgais princips. Jūs nedaudz pārbīdāt to, ko vēlaties mainīt (līdzīgi tam, ko mēs darījām, pievienojot ), ieskatieties pirmās kārtas terminos, pēc tam visu sakārtojat tā, lai iegūtu integrāli formā: “nobīde reizināt to, ko iegūst”, bet tā, lai tas nesaturēja nevienu (neviena) atvasinājumu. Pilnīgi nepieciešams visu pārveidot tā, lai “kaut kas” paliktu reizināts ar . Tagad jūs sapratīsit, kāpēc tas ir tik svarīgi. (Ir formulas, kas pateiks, kā dažos gadījumos to var izdarīt bez jebkādiem aprēķiniem; taču tās nav tik vispārīgas, lai būtu vērts iegaumēt; vislabāk ir veikt aprēķinus tā, kā mēs to darām.)
Kā es varu pārtaisīt dzimumlocekli, lai tas izskatās? Es to varu panākt, integrējot pa gabalu. Izrādās, ka variāciju aprēķinā viss triks ir pierakstīt variāciju un pēc tam integrēt pa daļām tā, lai atvasinājumi no tām pazūd. Visās problēmās, kurās parādās atvasinājumi, tiek veikts viens un tas pats triks.
Atgādiniet vispārējo principu par integrāciju pa daļām. Ja jums ir patvaļīga funkcija, kas reizināta ar un integrēta, tad ierakstiet atvasinājumu no:
.
Jūs interesējošajā integrālī ir tikai pēdējais termins, tātad
.
Mūsu formulā funkcija tiek uzskatīta par reizinājumu ; tāpēc es saprotu izteicienu
Integrācijas robežas un ir jāaizstāj ar pirmo terminu. Tad zem integrāļa es saņemšu terminu no integrācijas pa daļām un pēdējo terminu, kas transformācijas laikā paliek nemainīgs.
Un tagad notiek tas, kas vienmēr notiek – integrētā daļa pazūd. (Un, ja tas nepazūd, tad jums ir jāpārformulē princips, pievienojot nosacījumus, kas nodrošina šādu izzušanu!) Mēs jau teicām, ka ceļa galos tam jābūt vienādam ar nulli. Galu galā, kāds ir mūsu princips? Fakts ir tāds, ka darbība ir minimāla, ja daudzveidīgā līkne sākas un beidzas izvēlētajos punktos. Tas nozīmē, ka un . Tāpēc integrētais termins izrādās nulle. Savācam kopā pārējos biedrus un rakstām
.
Variācija tagad ir ieguvusi tādu formu, kādu mēs tai vēlējāmies piešķirt: kaut kas ir iekavās (apzīmēsim to ), un tas viss tiek reizināts un integrēts no līdz .
Izrādījās, ka kādas izteiksmes integrālis, kas reizināts ar, vienmēr ir vienāds ar nulli:
.
Ir kāda funkcija no ; Es to reizinu ar un integrēju no sākuma līdz beigām. Un lai kas tas būtu, es saņemu nulli. Tas nozīmē, ka funkcija ir vienāda ar nulli. Kopumā tas ir acīmredzami, taču katram gadījumam es jums parādīšu vienu veidu, kā to pierādīt.
Ļaujiet man izvēlēties kaut ko tādu, kas visur ir vienāds ar nulli visām iepriekš atlasītajām vērtībām, izņemot vienu. Tas paliek nulle, līdz tieku pie tā, tad uz brīdi uzlec un uzreiz atkrīt. Ja šīs vērtības integrāli reizināt ar kādu funkciju, tad vienīgā vieta, kur var iegūt kaut ko, kas nav nulle, ir vieta, kur tas pārlēca; un jūs iegūsit vērtību šajā vietā integrālam pāri lēcienam. Pats lēciena integrālis nav nulle, bet, reizinot ar to, vajadzētu iegūt nulli. Tas nozīmē, ka funkcijai vietā, kur notika lēciens, ir jābūt nullei. Taču lēcienu varēja izdarīt jebkur; tas nozīmē, ka visur jābūt nullei.
Mēs redzam, ka, ja mūsu integrālis ir vienāds ar nulli jebkuram , tad koeficientam pie ir jākļūst par nulli. Darbības integrālis sasniedz minimumu ceļā, kas apmierinās tik sarežģītu diferenciālvienādojumu:
.
Tas patiesībā nav tik sarežģīti; tu esi viņu satikusi agrāk. Tas ir vienkārši . Pirmais termins ir masas reizinājums paātrinājums; otrais ir potenciālās enerģijas, t.i. spēka, atvasinājums.
Tātad mēs esam parādījuši (vismaz konservatīvai sistēmai), ka vismazākās darbības princips noved pie pareizas atbildes; viņš norāda, ka ceļš, kuram ir minimāla darbība, ir ceļš, kas atbilst Ņūtona likumam.
Jāizsaka vēl viena piezīme. Es neesmu pierādījis, ka tas ir minimums. Varbūt tas ir maksimums. Patiesībā tam nav jābūt minimumam. Šeit viss ir tāpat kā “īsākā laika principā”, ko apspriedām, studējot optiku. Arī tur vispirms runājām par “īsāko” laiku. Taču izrādījās, ka ir situācijas, kurās šis laiks nebūt nav “īsākais”. Pamatprincips ir tāds, ka jebkurām pirmās kārtas novirzēm no optiskā ceļa izmaiņām laika gaitā jābūt nullei; Šeit ir tas pats stāsts. Ar “minimumu” mēs patiesībā domājam, ka līdz pirmajai mazuma pakāpei daudzuma izmaiņām, kas radušās novirzes no ceļa dēļ, jābūt vienādām ar nulli. Un tas ne vienmēr ir “minimums”.
Tagad es vēlos pāriet uz dažiem vispārinājumiem. Pirmkārt, visu šo stāstu varētu veidot trīs dimensijās. Vienkāršā vietā man būtu , gan kā funkcijas, gan darbība izskatītos sarežģītāka. 3D kustībā ir jāizmanto kopējā kinētiskā enerģija: , reizināta ar kopējā ātruma kvadrātu. Citiem vārdiem sakot,
.
Turklāt potenciālā enerģija tagad ir funkcija , un . Ko jūs varat teikt par ceļu? Ceļš ir noteikta vispārīga līkne telpā; zīmēt nav tik vienkārši, bet ideja paliek nemainīga. Kā ar situāciju? Nu, tam ir trīs sastāvdaļas. Ceļu var pārvietot pa , un gar , un gar , vai visos trīs virzienos vienlaikus. Tātad tagad tas ir vektors. Tas nerada nekādas nopietnas komplikācijas. Tā kā tikai pirmās kārtas variācijām jābūt vienādām ar nulli, aprēķinu var veikt secīgi ar trīs maiņām. Pirmkārt, jūs varat tikai pārslēgties virzienā un teikt, ka koeficientam vajadzētu būt līdz nullei. Jūs saņemat vienu vienādojumu. Tad mēs virzīsimies virzienā un saņemsim otro. Tad mēs virzām to virzienā un iegūstam trešo. Jūs varat darīt visu, ja vēlaties, citā secībā. Lai kā arī būtu, rodas vienādojumu trijotne. Bet Ņūtona likums ir arī trīs vienādojumi trīs dimensijās, viens katram komponentam. Jums pašam jāpārliecinās, ka tas viss darbojas trīs dimensijās (šeit darba nav daudz). Starp citu, jūs varat ņemt jebkuru koordinātu sistēmu, polāro, jebkuru, un nekavējoties iegūt Ņūtona likumus attiecībā uz šo sistēmu, ņemot vērā to, kas notiek, ja notiek nobīde pa rādiusu vai leņķi utt.
Metodi var vispārināt uz patvaļīgu daļiņu skaitu. Ja, teiksim, jums ir divas daļiņas un starp tām darbojas kādi spēki un pastāv savstarpēja potenciālā enerģija, tad jūs vienkārši pievienojat to kinētiskās enerģijas un no summas atņemat mijiedarbības potenciālo enerģiju. Ko vari variēt? Abu daļiņu ceļi. Tad divām daļiņām, kas pārvietojas trīs dimensijās, rodas seši vienādojumi. Varat mainīt 1. daļiņas pozīciju virzienā , virzienā un virzienā, kā arī darīt to pašu ar daļiņu 2, tāpēc ir seši vienādojumi. Un tā tam ir jābūt. Trīs vienādojumi nosaka daļiņas 1 paātrinājumu no spēka, kas uz to iedarbojas, un pārējie trīs nosaka daļiņas 2 paātrinājumu no spēka, kas uz to iedarbojas. Vienmēr ievērojiet tos pašus spēles noteikumus, un jūs iegūsit Ņūtona likumu patvaļīgam daļiņu skaitam.
Es teicu, ka mēs iegūsim Ņūtona likumu. Tā nav gluži taisnība, jo Ņūtona likums ietver arī nekonservatīvus spēkus, piemēram, berzi. Ņūtons apgalvoja, ka tas ir vienāds ar katru . Mazākās darbības princips ir spēkā tikai konservatīvām sistēmām, kurās visus spēkus var iegūt no potenciālās funkcijas. Bet jūs zināt, ka mikroskopiskā līmenī, tas ir, visdziļākajā fiziskajā līmenī, nekonservatīvi spēki nepastāv. Nekonservatīvie spēki (piemēram, berze) rodas tikai tāpēc, ka mēs ignorējam mikroskopiskus sarežģītus efektus: vienkārši ir pārāk daudz daļiņu, ko analizēt. Pamatlikumus var izteikt mazākās rīcības principa formā.
Ļaujiet man pāriet pie tālākiem vispārinājumiem. Pieņemsim, ka mūs interesē, kas notiks, kad daļiņa pārvietosies relatīvi. Līdz šim mēs neesam ieguvuši pareizo kustības relatīvistisko vienādojumu; patiess tikai nerelativistiskās kustībās. Rodas jautājums: vai relatīvistiskā gadījumā pastāv atbilstošs mazākās darbības princips? Jā, tā pastāv. Relativistiskā gadījumā formula ir šāda:
Darbības integrāļa pirmā daļa ir atlikušās masas un ātruma funkcijas integrāļa reizinājums. Tad tā vietā, lai atņemtu potenciālo enerģiju, mums ir skalārā potenciāla un vektora potenciāla laiku integrāļi. Protams, šeit tiek ņemti vērā tikai elektromagnētiskie spēki. Visi elektriskie un magnētiskie lauki ir izteikti un. Šī darbības funkcija nodrošina pilnīgu teoriju par atsevišķas daļiņas relativistisko kustību elektromagnētiskajā laukā.
Protams, jums jāsaprot, ka visur, kur es rakstīju, pirms aprēķinu veikšanas ir jāaizstāj utt. Turklāt, kur es uzrakstīju vienkārši , , , jums vajadzētu iedomāties punktus šobrīd: , , . Faktiski tikai pēc šādām aizstāšanas un aizstāšanas jūs iegūsit formulu relativistiskās daļiņas darbībai. Lai visprasmīgākais no jums mēģina pierādīt, ka šī darbības formula patiešām sniedz pareizos kustības vienādojumus relativitātes teorijai. Ļaujiet man tikai ieteikt jums sākt ar izmešanu, tas ir, pagaidām iztikt bez magnētiskajiem laukiem. Tad jums būs jāiegūst kustības vienādojuma sastāvdaļas, kur, kā jūs droši vien atceraties, 
.
Ir daudz grūtāk iekļaut vektora potenciālu. Variācijas tad kļūst nesalīdzināmi sarežģītākas. Bet galu galā spēks izrādās vienāds ar to, kādam tam vajadzētu būt: . Bet izklaidējies ar to pats.
Gribu uzsvērt, ka vispārīgā gadījumā (piemēram, relativistiskajā formulā) integrālis darbībā vairs neietver atšķirību starp kinētisko un potenciālo enerģiju. Tas bija piemērots tikai nerelativistiskā tuvinājumā. Piemēram, biedrs 
- tas nav tas, ko sauc par kinētisko enerģiju. Jautājumu par to, kādai jābūt rīcībai katrā konkrētajā gadījumā, var izlemt pēc dažiem izmēģinājumiem un kļūdām. Šī ir tāda paša veida problēma kā kustības vienādojuma noteikšana. Jums vienkārši jāspēlējas ar zināmajiem vienādojumiem un jāskatās, vai tos var uzrakstīt kā mazākās darbības principu.
Vēl viena piezīme par terminoloģiju. Funkciju, kas laika gaitā tiek integrēta, lai iegūtu darbību, sauc par Lagranža. Šī ir funkcija, kas ir atkarīga tikai no daļiņu ātruma un novietojuma. Tātad formā ir ierakstīts arī mazākās darbības princips
,
kur un nozīmē visas koordinātu un ātrumu sastāvdaļas. Ja kādreiz dzirdat kādu runājam par "Lagranža", viņi runā par funkciju, ko izmanto, lai iegūtu . Relativistiskajai kustībai elektromagnētiskajā laukā
.
Turklāt man jāatzīmē, ka sīkumainākie un pedantiskākie cilvēki nesauc rīcību. To sauc par "Hamiltona pirmo galveno funkciju". Taču nolasīt lekciju par “Hamiltona principu par vismazāko galveno funkciju” man nebija spēka. Es to nosaucu par "darbību". Turklāt arvien vairāk cilvēku to sauc par "darbību". Redziet, vēsturiski darbību sauc par kaut ko citu, kas zinātnei nav tik noderīgs, bet, manuprāt, jēgpilnāk ir mainīt definīciju. Tagad arī jūs jauno funkciju sāksit saukt par darbību, un drīz visi to sāks saukt ar šo vienkāršo nosaukumu.
Tagad es vēlos jums pastāstīt kaut ko par mūsu tēmu, kas ir līdzīgs manam argumentam par īsākā laika principu. Atšķirība ir pašā likuma būtībā, kas saka, ka kādam integrālam, kas tiek ņemts no viena punkta uz otru, ir minimums - likums, kas mums kaut ko pasaka par visu ceļu uzreiz, un likums, kas saka, ka, pārvietojoties, tad , Tas nozīmē, ka pastāv spēks, kas izraisa paātrinājumu. Otrā pieeja ziņo jums par katru jūsu soli, tā izseko jūsu ceļu collu collai, un pirmā nekavējoties sniedz vispārīgu paziņojumu par visu noieto ceļu. Runājot par gaismu, mēs runājām par saistību starp šīm divām pieejām. Tagad es gribu jums paskaidrot, kāpēc vajadzētu pastāvēt atšķirīgiem likumiem, ja pastāv šāds princips - mazākās rīcības princips. Iemesls ir šāds: apskatīsim faktiski noieto ceļu telpā un laikā. Tāpat kā iepriekš, iztiksim ar vienu mērījumu, lai varētu uzzīmēt atkarības grafiku no . Pa patieso ceļu tas sasniedz minimumu. Pieņemsim, ka mums ir šis ceļš un ka tas iet caur noteiktu telpas un laika punktu un citu blakus punktu.
Tagad, ja viss integrālis no līdz ir sasniedzis minimumu, ir nepieciešams, lai arī integrālis gar nelielu posmu no līdz būtu minimāls. Nevar būt, ka daļa no līdz kaut nedaudz pārsniedz minimumu. Pretējā gadījumā jūs varat pārvietot līkni uz priekšu un atpakaļ šajā sadaļā un nedaudz samazināt visa integrāļa vērtību.
Tas nozīmē, ka jebkurai ceļa daļai ir jānodrošina arī minimums. Un tas attiecas uz visām nelielām ceļa daļām. Tāpēc principu, ka visam ceļam ir jādod minimums, var formulēt, sakot, ka bezgalīgi mazs ceļa posms ir arī līkne, uz kuras darbība ir minimāla. Un, ja mēs paņemam diezgan īsu ceļa posmu - starp punktiem un ļoti tuvu viens otram -, tad vairs nav svarīgi, kā potenciāls mainās no punkta uz punktu tālu no šīs vietas, jo, izejot cauri visam jūsu īsajam posmam, jūs gandrīz nekad nepamet savu vietu. Vienīgais, kas jums jāņem vērā, ir potenciāla pirmās kārtas mazuma izmaiņas. Atbilde var būt atkarīga tikai no potenciāla atvasinājuma, nevis no potenciāla citur. Tādējādi apgalvojums par visa ceļa īpašību kopumā kļūst par apgalvojumu par to, kas notiek īsā ceļa posmā, t.i., par diferenciālo paziņojumu. Un šis diferenciālais formulējums ietver potenciāla, tas ir, spēka, atvasinājumus noteiktā punktā. Tas ir kvalitatīvs skaidrojums saiknei starp likumu kopumā un diferenciālo likumu.
Kad mēs runājām par gaismu, mēs apspriedām arī jautājumu: kā daļiņa atrod pareizo ceļu? No atšķirīga viedokļa to ir viegli saprast. Katru brīdi daļiņa piedzīvo paātrinājumu un zina tikai to, kas tai tajā brīdī ir jādara. Bet visi jūsu cēloņu un seku instinkti parādās, kad dzirdat, ka daļiņa “izlemj”, kuru ceļu izvēlēties, tiecoties pēc minimālas darbības. Vai viņa "neizrauj" blakus esošos ceļus, izdomājot, pie kā tie novedīs - pie lielākas vai mazākas darbības? Kad mēs novietojām ekrānu gaismas ceļā, lai fotoni nevarētu izmēģināt visus ceļus, mēs atklājām, ka viņi nevar izlemt, kuru ceļu izvēlēties, un mēs ieguvām difrakcijas fenomenu.
Bet vai tas attiecas arī uz mehāniķiem? Vai tā ir taisnība, ka daļiņa ne tikai "iet pareizo ceļu", bet arī pārdomā visas pārējās iespējamās trajektorijas? Un ja, liekot šķēršļus tā ceļā, mēs neļausim tai skatīties uz priekšu, tad iegūsim kaut kādu difrakcijas fenomena analogu? Pats brīnišķīgākais šajā visā ir tas, ka viss tiešām ir šādi. Tieši to saka kvantu mehānikas likumi. Tātad mūsu mazākās darbības princips nav pilnībā formulēts. Tas nesastāv no tā, ka daļiņa izvēlas mazākās darbības ceļu, bet gan tajā, ka tā “sajūt” visus blakus esošos ceļus un izvēlas to, pa kuru darbība ir minimāla, un šīs izvēles metode ir līdzīga veids, kādā gaisma izvēlas īsāko laiku. Atcerieties, ka veids, kā gaisma izvēlas īsāko laiku, ir šāds: ja gaisma iet pa ceļu, kuram nepieciešams cits laiks, tā ieradīsies ar citu fāzi. Un kopējā amplitūda kādā brīdī ir amplitūdas ieguldījumu summa visiem ceļiem, pa kuriem gaisma to var sasniegt. Visi tie ceļi, kuru fāzes krasi atšķiras, pēc pievienošanas neko nedod. Bet, ja jums izdevās atrast visu ceļu secību, kuru fāzes ir gandrīz vienādas, tad mazie ieguldījumi tiks summēti, un ierašanās punktā kopējā amplitūda saņems ievērojamu vērtību. Vissvarīgākais ceļš ir tas, kura tuvumā ir daudz tuvu ceļu, kas dod vienu un to pašu fāzi.
Tieši tas pats notiek kvantu mehānikā. Pilnīga kvantu mehānika (nerelatīvistiska un neņemot vērā elektrona spinu) darbojas šādi: varbūtība, ka daļiņa, atstājot punktu 1 laikā , sasniegs punktu 2 laikā , ir vienāda ar varbūtības amplitūdas kvadrātu. Kopējo amplitūdu var uzrakstīt kā amplitūdu summu visiem iespējamajiem ceļiem - jebkuram ierašanās ceļam. Jebkurai , kas varētu rasties jebkurai iedomājamai trajektorijai, ir jāaprēķina amplitūda. Tad tie visi ir jāsaloka. Ko mēs uzskatām par noteikta ceļa varbūtības amplitūdu? Mūsu darbības integrālis norāda, kādai jābūt individuālā ceļa amplitūdai. Amplitūda ir proporcionāla , Kur ir darbība pa šo ceļu. Tas nozīmē, ka, ja mēs attēlosim amplitūdas fāzi kā kompleksu skaitli, tad fāzes leņķis būs vienāds ar . Darbībai laika gaitā ir enerģijas dimensija, un Planka konstantei ir tāda pati dimensija. Šī ir konstante, kas nosaka, kad ir nepieciešama kvantu mehānika.
Un tā tas viss darbojas. Lai darbība būtu ļoti liela visiem ceļiem salīdzinājumā ar skaitu . Lai kāds ceļš ved uz noteiktu amplitūdas vērtību. Tuvumā esošā ceļa fāze izrādīsies pavisam cita, jo ar milzīgu pat nelielas izmaiņas krasi maina fāzi (galu galā tā ir ārkārtīgi maza). Tas nozīmē, ka blakus esošie ceļi parasti dzēš savu ieguldījumu, kad tie tiek pievienoti. Un tikai vienā jomā tas nav taisnība - tajā, kur gan ceļam, gan tā kaimiņam, pirmajā tuvinājumā, ir viena un tā pati fāze (vai, precīzāk, gandrīz viena un tā pati darbība, kas mainās robežās). Tiek ņemti vērā tikai šādi ceļi. Un ierobežojošā gadījumā, kad Planka konstante ir nulle, pareizos kvantu mehāniskos likumus var apkopot, sakot: “Aizmirstiet par visām šīm varbūtību amplitūdām. Daļiņa faktiski pārvietojas pa īpašu ceļu - tieši pa tādu, pa kuru, pēc pirmās tuvināšanas, tā nemainās. Tā ir saikne starp mazākās darbības principu un kvantu mehāniku. To, ka kvantu mehāniku var formulēt šādi, 1942. gadā atklāja tā paša skolotāja Bādera audzēknis, par kuru es jums stāstīju. [Sākotnēji kvantu mehānika tika formulēta, izmantojot amplitūdas diferenciālvienādojumu (Šrēdingers), kā arī dažus matricas matemātiku (Heizenbergs).]
Tagad es gribu runāt par citiem minimuma principiem fizikā. Ir daudz interesantu šāda veida principu. Visus neuzskaitīšu, bet nosaukšu vēl tikai vienu. Vēlāk, kad nonāksim līdz vienai fiziskai parādībai, kurai ir izcils minimuma princips, pastāstīšu par to. Tagad es gribu parādīt, ka nav nepieciešams aprakstīt elektrostatiku, izmantojot lauka diferenciālvienādojumu; tā vietā var pieprasīt, lai kādam integrālam būtu maksimums vai minimums. Sākumā pieņemsim gadījumu, kad lādiņa blīvums ir zināms visur, bet mums ir jāatrod potenciāls jebkurā telpas punktā. Jūs jau zināt, ka atbildei vajadzētu būt:
Vēl viens veids, kā pateikt to pašu, ir novērtēt integrāli
;
tas ir skaļuma integrālis. Tas tiek uzņemts visā telpā. Ar pareizu potenciālu sadalījumu šī izteiksme sasniedz minimumu.
Mēs varam parādīt, ka abi šie apgalvojumi par elektrostatiku ir līdzvērtīgi. Pieņemsim, ka esam izvēlējušies patvaļīgu funkciju. Mēs vēlamies parādīt, ka, pieņemot pareizo potenciāla vērtību plus nelielu novirzi kā kvalitāti, tad līdz pirmajai mazuma pakāpei izmaiņas būs vienādas ar nulli. Tātad mēs rakstām
šeit ir tas, ko mēs meklējam; bet mēs mainīsim, lai redzētu, kādai tai vajadzētu būt, lai variācija būtu pirmajā vietā. Pirmajā semestrī mums jāraksta
Vienīgais pirmā pasūtījuma termiņš, kas mainīsies, ir:
Otrajā termiņā integrands iegūs formu
mainīgā daļa šeit ir . Atstājot tikai mainīgos nosacījumus, iegūstam integrāli
.
Tas ir jāintegrē atkal un atkal. Un šeit parādās tas pats triks: lai atbrīvotos no , mēs integrējam pa daļām. Tas radīs papildu diferenciāciju attiecībā uz . Šī ir tā pati pamatideja, ko izmantojām, lai atbrīvotos no atvasinājumiem attiecībā uz . Mēs izmantojam vienlīdzību
.
Integrētais termins ir vienāds ar nulli, jo mēs uzskatām, ka tas ir vienāds ar nulli bezgalībā. (Tas atbilst izzušanai pie un . Tātad mūsu princips ir precīzāk formulēts šādi: pareizajam tas ir mazāks nekā jebkuram citam, kam ir tādas pašas vērtības bezgalībā.) Tad mēs darīsim to pašu ar un ar . Mūsu integrālis pārvēršas par
.
Lai šī variācija būtu vienāda ar nulli jebkuram patvaļīgam , koeficientam pie ir jābūt vienādam ar nulli. nozīmē,
Mēs esam atgriezušies pie sava vecā vienādojuma. Tas nozīmē, ka mūsu “minimālais” priekšlikums ir pareizs. To var vispārināt, ja aprēķini ir nedaudz modificēti. Atgriezīsimies un integrēsim pa daļām, bet visu aprakstot pa komponentiem. Sāksim, rakstot šādu vienādību:
Atšķirot kreiso pusi, es varu parādīt, ka tā ir tieši vienāda ar labo pusi. Šis vienādojums ir piemērots, lai veiktu integrāciju pa daļām. Mūsu integrālī mēs aizstājam ar 
un pēc tam integrējiet to skaļumā. Diverģences termins pēc integrācijas pa tilpumu tiek aizstāts ar integrāli virs virsmas:
Un tā kā mēs integrējamies visā telpā, šī integrāļa virsma atrodas bezgalībā. Tas nozīmē , un mēs iegūstam tādu pašu rezultātu.
Tikai tagad mēs sākam saprast, kā risināt problēmas, kurās mēs nezinām, kur atrodas visi lādiņi. Lai mums būtu vadītāji, uz kuriem lādiņi kaut kā tiek sadalīti. Ja potenciāli visiem vadītājiem ir fiksēti, tad joprojām ir atļauts piemērot mūsu minimālo principu. Mēs veiksim integrāciju tikai reģionā, kas atrodas ārpus visiem vadītājiem. Bet tā kā mēs nevaram mainīties uz vadītājiem, tad uz to virsmas un virsmas integrāli
arī ir nulle. Atlikušā apjoma integrācija
tas jādara tikai atstarpēs starp vadītājiem. Un mēs, protams, atkal iegūstam Puasona vienādojumu
Tāpēc mēs esam parādījuši, ka mūsu sākotnējais integrālis sasniedz minimumu pat tad, ja to aprēķina telpā starp vadītājiem, no kuriem katrs ir ar fiksētu potenciālu [tas nozīmē, ka katrai testa funkcijai jābūt vienādai ar vadītāja doto potenciālu, kad - punkti uz vadītāja virsmas ].
Ir interesants īpašs gadījums, kad lādiņi atrodas tikai uz vadītājiem. Tad
un mūsu minimālais princips saka, ka gadījumā, ja katram vadītājam ir savs iepriekš noteikts potenciāls, potenciāli starp tiem esošajās telpās tiek noregulēti tā, lai integrālis būtu pēc iespējas mazāks. Kas tas par integrāli? Dalībnieks ir elektriskais lauks. Tas nozīmē, ka integrālis ir elektrostatiskā enerģija. Pareizais lauks ir vienīgais, kuram no visiem laukiem, kas iegūti kā potenciālais gradients, ir viszemākā kopējā enerģija.
Es vēlētos izmantot šo rezultātu, lai atrisinātu kādu konkrētu problēmu un parādītu, ka visām šīm lietām ir reāla praktiska nozīme. Pieņemsim, ka es ņemu divus vadītājus cilindriska kondensatora formā.
