Šajā nodarbībā mēs aplūkosim dažādas eksponenciālās nevienādības un uzzināsim, kā tās atrisināt, pamatojoties uz visvienkāršāko eksponenciālo nevienādību risināšanas paņēmienu
1. Eksponenciālās funkcijas definīcija un īpašības
Atcerēsimies eksponenciālās funkcijas definīciju un pamatīpašības. Visu eksponenciālo vienādojumu un nevienādību risinājums ir balstīts uz šīm īpašībām.
Eksponenciālā funkcija ir formas funkcija , kur bāze ir pakāpe un šeit x ir neatkarīgais mainīgais, arguments; y ir atkarīgais mainīgais, funkcija.
Rīsi. 1. Eksponenciālās funkcijas grafiks
Grafikā parādīti pieaugošie un samazinošie eksponenti, ilustrējot eksponenciālo funkciju ar bāzi, kas attiecīgi ir lielāka par vienu un mazāka par vienu, bet lielāka par nulli.
Abas līknes iet caur punktu (0;1)
Eksponenciālās funkcijas īpašības:
Domēns: ;
Vērtību diapazons: ;
Funkcija ir monotona, palielinās ar, samazinās ar.
Monotoniskai funkcijai katrai vērtībai ir piešķirta viena argumenta vērtība.
Kad , kad arguments palielinās no mīnus līdz plus bezgalībai, funkcija palielinās no nulles ieskaitot līdz plus bezgalībai, t.i., noteiktām argumenta vērtībām mums ir monotoni pieaugoša funkcija (). Gluži pretēji, kad arguments palielinās no mīnusa līdz plus bezgalībai, funkcija samazinās no bezgalības līdz nullei ieskaitot, t.i., noteiktām argumenta vērtībām mums ir monotoni samazinoša funkcija ().
2. Vienkāršākās eksponenciālās nevienādības, risinājuma metode, piemērs
Pamatojoties uz iepriekš minēto, mēs piedāvājam metodi vienkāršu eksponenciālu nevienādību risināšanai:
Nevienlīdzību risināšanas tehnika:
Izlīdzināt grādu bāzes;
Salīdziniet rādītājus, saglabājot vai mainot nevienlīdzības zīmi pret pretējo.
Sarežģītu eksponenciālo nevienādību risinājums parasti ir to reducēšana līdz vienkāršākajām eksponenciālajām nevienādībām.
Pakāpes bāze ir lielāka par vienu, kas nozīmē, ka tiek saglabāta nevienlīdzības zīme:
Pārveidosim labo pusi atbilstoši pakāpes īpašībām:
Pakāpes bāze ir mazāka par vienu, nevienlīdzības zīme ir jāapgriež otrādi:
Lai atrisinātu kvadrātvienādību, mēs atrisinām atbilstošo kvadrātvienādojumu:
Izmantojot Vietas teorēmu, mēs atrodam saknes:
Parabolas zari ir vērsti uz augšu.
Tādējādi mums ir risinājums nevienlīdzībai:
Ir viegli uzminēt, ka labo pusi var attēlot kā pakāpju ar nulles eksponentu:
Pakāpes bāze ir lielāka par vienu, nevienlīdzības zīme nemainās, iegūstam:
Atcerēsimies šādu nevienlīdzību risināšanas paņēmienu.
Apsveriet daļēju-racionālo funkciju:
Mēs atrodam definīcijas domēnu:
Funkcijas sakņu atrašana:
Funkcijai ir viena sakne, 
Mēs izvēlamies nemainīgas zīmes intervālus un katram intervālam nosakām funkcijas zīmes:
Rīsi. 2. Zīmes noturības intervāli
Tādējādi mēs saņēmām atbildi.
Atbilde: 
3. Standarta eksponenciālo nevienādību risināšana
Apskatīsim nevienlīdzības ar vienādiem rādītājiem, bet atšķirīgu bāzi.
Viena no eksponenciālās funkcijas īpašībām ir tāda, ka jebkurai argumenta vērtībai ir vajadzīgas stingri pozitīvas vērtības, kas nozīmē, ka to var iedalīt eksponenciālā funkcijā. Sadalīsim doto nevienādību ar tās labo pusi:
Pakāpes bāze ir lielāka par vienu, nevienlīdzības zīme tiek saglabāta.
Ilustrēsim risinājumu:
6.3. attēlā parādīti funkciju un grafiki. Acīmredzot, ja arguments ir lielāks par nulli, funkcijas grafiks ir augstāks, šī funkcija ir lielāka. Ja argumentu vērtības ir negatīvas, funkcija samazinās, tā ir mazāka. Ja arguments ir vienāds, funkcijas ir vienādas, kas nozīmē, ka šis punkts ir arī dotās nevienādības risinājums.
Rīsi. 3. Ilustrācija, piemēram, 4
Pārveidosim doto nevienādību atbilstoši pakāpes īpašībām:
Šeit ir daži līdzīgi termini:
Sadalīsim abas daļas:
Tagad mēs turpinām risināt līdzīgi kā 4. piemērā, sadaliet abas daļas ar:
Pakāpes bāze ir lielāka par vienu, nevienlīdzības zīme paliek:
4. Eksponenciālo nevienādību grafiskais risinājums
6. piemērs — atrisiniet nevienādību grafiski:
Apskatīsim funkcijas kreisajā un labajā pusē un izveidosim katrai no tām grafiku.
Funkcija ir eksponenciāla un palielinās visā tās definīcijas jomā, t.i., visām argumenta reālajām vērtībām.
Funkcija ir lineāra un samazinās visā tās definīcijas jomā, t.i., visām argumenta reālajām vērtībām.
Ja šīs funkcijas krustojas, tas ir, sistēmai ir risinājums, tad šāds risinājums ir unikāls un viegli uzminams. Lai to izdarītu, atkārtojam veselus skaitļus ()
Ir viegli saprast, ka šīs sistēmas sakne ir:
Tādējādi funkciju grafiki krustojas punktā ar argumentu, kas vienāds ar vienu.
Tagad mums ir jāsaņem atbilde. Dotās nevienādības nozīme ir tāda, ka eksponentam jābūt lielākam vai vienādam ar lineāro funkciju, tas ir, jābūt lielākam vai jāsakrīt ar to. Atbilde ir acīmredzama: (6.4. attēls)
Rīsi. 4. Ilustrācija, piemēram, 6
Tātad, mēs aplūkojām dažādu standarta eksponenciālo nevienādību atrisināšanu. Tālāk mēs pārejam pie sarežģītākas eksponenciālās nevienlīdzības apsvēršanas.
Bibliogrāfija
Mordkovičs A. G. Algebra un matemātiskās analīzes pirmsākumi. - M.: Mnemosīne. Muravins G. K., Muravins O. V. Algebra un matemātiskās analīzes pirmsākumi. - M.: Dumpis. Kolmogorovs A. N., Abramovs A. M., Dudnitsyn Yu et al. - M.: Apgaismība.
Matemātika. md. Matemātika-atkārtošana. com. Diffur. kemsu. ru.
Mājasdarbs
1. Algebra un analīzes sākums, 10.-11. klase (A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins) 1990, Nr. 472, 473;
2. Atrisiniet nevienlīdzību:
3. Atrisiniet nevienlīdzību.
Vienādojumu sistēmu risināšanas metodes
Sākumā īsi atcerēsimies, kādas metodes parasti pastāv vienādojumu sistēmu risināšanai.
Pastāv četri galvenie veidi vienādojumu sistēmu risinājumi:
Aizstāšanas metode: ņem jebkuru no dotajiem vienādojumiem un izsaka $y$ ar $x$, tad $y$ tiek aizvietots sistēmas vienādojumā, no kura tiek atrasts mainīgais $x.$. Pēc tam varam viegli aprēķināt mainīgais $y.$
Saskaitīšanas metode: izmantojot šo metodi, viens vai abi vienādojumi ir jāreizina ar tādiem skaitļiem, lai, saskaitot abus kopā, viens no mainīgajiem “pazustu”.
Grafiskā metode: abi sistēmas vienādojumi tiek attēloti uz koordinātu plaknes un tiek atrasts to krustošanās punkts.
Jaunu mainīgo ieviešanas metode: šajā metodē mēs aizstājam dažas izteiksmes, lai vienkāršotu sistēmu, un pēc tam izmantojam kādu no iepriekš minētajām metodēm.
Eksponenciālo vienādojumu sistēmas
1. definīcija
Vienādojumu sistēmas, kas sastāv no eksponenciālajiem vienādojumiem, sauc par eksponenciālo vienādojumu sistēmām.
Mēs apsvērsim eksponenciālo vienādojumu sistēmu risināšanu, izmantojot piemērus.
1. piemērs
Atrisiniet vienādojumu sistēmu
1. attēls.
Risinājums.
Lai atrisinātu šo sistēmu, mēs izmantosim pirmo metodi. Vispirms izteiksim $y$ pirmajā vienādojumā ar $x$.
2. attēls.
Aizstāsim $y$ otrajā vienādojumā:
\ \ \[-2-x=2\] \ \
Atbilde: $(-4,6)$.
2. piemērs
Atrisiniet vienādojumu sistēmu
3. attēls.
Risinājums.
Šī sistēma ir līdzvērtīga sistēmai
4. attēls.
Izmantosim ceturto vienādojumu risināšanas metodi. Lai $2^x=u\ (u >0)$ un $3^y=v\ (v >0)$, mēs iegūstam:
5. attēls.
Atrisināsim iegūto sistēmu, izmantojot pievienošanas metodi. Saskaitīsim vienādojumus:
\ \
Tad no otrā vienādojuma mēs to iegūstam
Atgriežoties pie aizstāšanas, es saņēmu jaunu eksponenciālo vienādojumu sistēmu:
6. attēls.
Mēs iegūstam:
7. attēls.
Atbilde: $(0,1)$.
Eksponenciālo nevienādību sistēmas
2. definīcija
Nevienādību sistēmas, kas sastāv no eksponenciālajiem vienādojumiem, sauc par eksponenciālo nevienādību sistēmām.
Mēs apsvērsim eksponenciālo nevienādību sistēmu risināšanu, izmantojot piemērus.
3. piemērs
Atrisiniet nevienādību sistēmu
8. attēls.
Risinājums:
Šī nevienlīdzību sistēma ir līdzvērtīga sistēmai
9. attēls.
Lai atrisinātu pirmo nevienādību, atcerieties šādu teorēmu par eksponenciālo nevienādību ekvivalenci:
1. teorēma. Nevienādība $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, kur $a >0,a\ne 1$ ir ekvivalenta divu sistēmu kopumam
\U)
