Цэгүүдийн хоорондох зайг координатаар тооцоолох. Тэдний координатыг ашиглан хот хоорондын зайг тооцоолох

Энд тооны машин байх болно

Шугамын хоёр цэгийн хоорондох зай

2 цэгийг тэмдэглэсэн координатын шугамыг авч үзье. А А АТэгээд Б Б Б. Эдгээр цэгүүдийн хоорондох зайг олохын тулд сегментийн уртыг олох хэрэгтэй A B AB А Б. Үүнийг дараах томъёогоор гүйцэтгэнэ.

Шугамын хоёр цэгийн хоорондох зай

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣a−b∣,

Хаана a, b a, b а, б- шулуун шугам дээрх эдгээр цэгүүдийн координатууд (координатын шугам).

Томъёо нь модулийг агуулсан байдаг тул үүнийг шийдвэрлэхдээ аль координатаас аль координатыг хасах нь чухал биш (энэ ялгааны үнэмлэхүй утгыг авсан тул).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣a−b ∣ =∣ b −a∣

Иймэрхүү асуудлын шийдлийг илүү сайн ойлгохын тулд жишээг авч үзье.

Жишээ 1

Координатын шугам дээр цэгүүдийг тэмдэглэв А А А, координат нь тэнцүү байна 9 9 9 ба хугацаа Б Б Бкоординаттай − 1 -1 − 1 . Бид энэ хоёр цэгийн хоорондох зайг олох хэрэгтэй.

Шийдэл

Энд a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 a =9, b =− 1

Бид томъёог ашиглаж, утгыг орлуулна:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣a−b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Хариулах

Хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зай

Хавтгай дээр өгсөн хоёр цэгийг авч үзье. Хавтгай дээр тэмдэглэгдсэн цэг бүрээс та хоёр перпендикулярыг доошлуулах хэрэгтэй: Тэнхлэг рүү O X OX О Xба тэнхлэг дээр ӨӨ ӨӨ Өө. Дараа нь гурвалжинг авч үзнэ A B C ABC A B C. Тэгш өнцөгт хэлбэртэй тул ( B C BC B Cперпендикуляр A C AC А C), дараа нь сегментийг ол A B AB А Б, энэ нь мөн цэгүүдийн хоорондох зайг Пифагорын теоремыг ашиглан хийж болно. Бидэнд:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2А Б 2 = А C 2 + Б C 2

Гэхдээ, урт нь гэдгийг үндэслэн A C AC А Cтэнцүү байна x B − x A x_B-x_A x Б​ − x А​ , ба урт B C BC B Cтэнцүү байна y B − y A y_B-y_A y Б​ − y А​ , энэ томъёог дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зай

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x Б​ − x А​ ) 2 + (y Б​ − y А​ ) 2 ​ ,

Хаана x A , y A x_A, y_A x А​ , y А​ Тэгээд x B , y B x_B, y_B x Б​ , y Б​ - цэгүүдийн координат А А АТэгээд Б Б Бтус тус.

Жишээ 2

Цэгүүдийн хоорондох зайг олох шаардлагатай C C CТэгээд Ф Ф Ф, хэрэв эхнийх нь координат (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , хоёр дахь нь - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Шийдэл

X C = 8 x_C = 8 x C​ = 8
y C = − 1 y_C=-1 y C​ = − 1
x F = 4 x_F=4 x Ф​ = 4
y F = 2 y_F=2 y Ф​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(x Ф​ − x C​ ) 2 + (y Ф​ − y C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Хариулах

Орон зайн хоёр цэгийн хоорондох зай

Энэ тохиолдолд хоёр цэгийн хоорондох зайг олох нь өмнөхтэй төстэй бөгөөд огторгуй дахь цэгийн координатыг гурван тоогоор зааж өгсөн бол хэрэглээний тэнхлэгийн координатыг томъёонд нэмж оруулах шаардлагатай. Томъёо нь дараах байдлаар харагдах болно.

Орон зайн хоёр цэгийн хоорондох зай

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x Б​ − x А​ ) 2 + (y Б​ − y А​ ) 2 + (z Б​ − zА​ ) 2 ​

Жишээ 3

Хэсгийн уртыг ол FK FKФКХэрэв түүний төгсгөл дэх цэгүүдийн координат дараах байдалтай байвал орон зайд: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) Тэгээд (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Хариултаа хамгийн ойрын бүхэл тоо руу дугуйл.

Шийдэл

$Ф=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K=(-3;6;0)К=(-3;6;0)$

$ФК=\sqrt{(x^{К-x^{Ф{)}^{2+(y^{К-y^{Ф{)}^{2+(z^{К-z^{Ф{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Асуудлын нөхцлийн дагуу бид хариултыг бүхэл тоогоор дугуйлах хэрэгтэй.

Хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зай.
Координатын системүүд

Хавтгайн А цэг бүр нь координатаараа (x, y) тодорхойлогддог. Тэд координатын гарал үүсэл - 0 цэгээс гарч ирдэг 0А векторын координатуудтай давхцдаг.

А ба В нь тус тус (x 1 y 1) ба (x 2, y 2) координаттай хавтгайн дурын цэгүүд байг.

Тэгвэл AB вектор координаттай байх нь ойлгомжтой (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Векторын уртын квадрат нь координатын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. Иймээс А ба В цэгүүдийн хоорондох d зай, эсвэл ижил байх нь AB векторын уртыг нөхцөлөөс тодорхойлно.

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Үүссэн томъёо нь зөвхөн эдгээр цэгүүдийн координатыг мэддэг бол хавтгай дээрх дурын хоёр цэгийн хоорондох зайг олох боломжийг олгоно.

Хавтгай дээрх тодорхой цэгийн координатын тухай ярих болгондоо бид нарийн тодорхойлогдсон координатын x0y системийг хэлнэ. Ерөнхийдөө хавтгай дээрх координатын системийг янз бүрийн аргаар сонгож болно. Тиймээс x0y координатын системийн оронд хуучин координатын тэнхлэгүүдийг 0 эхлэлийн цэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан x"0y" координатын системийг авч үзэж болно. цагийн зүүний эсрэгбуланд байгаа сумнууд α .

Хэрэв x0y координатын систем дэх хавтгайн аль нэг цэг нь координаттай (х, у) байвал шинэ системкоординат x"0y" нь өөр өөр координаттай байх болно (x,y").

Жишээ болгон 0х тэнхлэг дээр байрлах, 0 цэгээс 1-ийн зайд тусгаарлагдсан М цэгийг авч үзье.

Мэдээжийн хэрэг, x0y координатын системд энэ цэг нь координаттай (cos α ,нүгэл α ), x"0y" координатын системд координатууд (1,0) байна.

А ба В хавтгай дээрх дурын хоёр цэгийн координат нь энэ хавтгайд координатын системийг хэрхэн зааж байгаагаас хамаарна. Гэхдээ эдгээр цэгүүдийн хоорондох зай нь координатын системийг тодорхойлох аргаас хамаардаггүй. Бид дараагийн догол мөрөнд энэ чухал нөхцөл байдлыг чухалчлан ашиглах болно.

Дасгал

I. Хавтгайн цэгүүдийн хоорондох зайг координаттай ол:

1) (3.5) ба (3.4); 3) (0.5) ба (5, 0); 5) (-3,4) ба (9, -17);

2) (2, 1) ба (- 5, 1); 4) (0, 7) ба (3,3); 6) (8, 21) ба (1, -3).

II. Талууд нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн гурвалжны периметрийг ол.

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 ба у = 1.

III. x0y координатын системд M ба N цэгүүд нь (1, 0) ба (0,1) координаттай байна. Хуучин тэнхлэгүүдийг эхлэлийн цэгийг тойрон цагийн зүүний эсрэг 30° өнцгөөр эргүүлснээр олж авсан шинэ координатын систем дэх эдгээр цэгүүдийн координатыг ол.

IV. x0y координатын системд M ба N цэгүүд (2, 0) ба (\) координаттай байна. / 3/2, - 1/2) тус тус. Хуучин тэнхлэгүүдийг цагийн зүүний дагуу 30° өнцгөөр эхлэх цэгийг тойруулан эргүүлснээр олж авсан шинэ координатын систем дэх эдгээр цэгүүдийн координатыг ол.

, (Зураг 2.3). олох шаардлагатай.

Зураг 2.3. Хоёр цэгийн хоорондох зай.

Пифагорын теоремын дагуу тэгш өнцөгтөөс бид

Энэ нь,

Энэ томьёо цэгийн аль ч байршилд хүчинтэй ба .

II. Сегментийг хуваах энэ талаар:

Let, . Үүнийг олох шаардлагатай , сегмент дээр хэвтэж, өгөгдсөн харьцаагаар хуваах (Зураг 2.4.).

Зураг 2.4. Үүнтэй холбогдуулан сегментийг хуваах.

Ижил төстэй байдлаас ~, өөрөөр хэлбэл хаанаас. Үүний нэгэн адил.

Тиймээс,

– -тэй холбоотой сегментийг хуваах томъёо.

Хэрэв бол

- сегментийн дунд хэсгийн координатууд.

Сэтгэгдэл.Гарсан томъёог орон зайн тэгш өнцөгт декартын координатын системийн тохиолдолд ерөнхийд нь авч үзэж болно. Оноо , . Дараа нь

- ба цэгүүдийн хоорондох зайг олох томъёо.

Сегментийг хамааруулан хуваах томъёо.

Хавтгай болон сансар огторгуй дахь декартаас гадна та бусад олон тооны координатын системийг байгуулж болно, өөрөөр хэлбэл хоёр буюу гурван тоон параметр (координат) ашиглан хавтгай эсвэл орон зай дахь цэгийн байрлалыг тодорхойлох арга замууд. . Заримыг нь харцгаая одоо байгаа системүүдкоординатууд

Онгоцонд үүнийг тодорхойлох боломжтой туйлын координатын систем , ялангуяа эргэлтийн хөдөлгөөнийг судлахад ашигладаг.

Зураг 2.5. Туйлын координатын систем.

Хавтгай дээрх цэг ба түүнээс гарч буй хагас шугамыг засаж, масштабын нэгжийг сонгоцгооё (Зураг 2.5). цэг гэж нэрлэдэг туйл , хагас шугам - туйлын тэнхлэг . Дурын цэгт хоёр тоо оноож өгье:

– туйлын радиус , M цэгээс О туйл хүртэлх зайтай тэнцүү;

– туйлын өнцөг , туйлын тэнхлэг ба хагас шугамын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү.

Радианаар хэмжсэн утгуудын эерэг чиглэлийг ихэвчлэн цагийн зүүний эсрэгээр тооцдог.

Туйлын радиус нь туйлтай тохирч байгаа тул туйлын өнцөг тодорхойлогдоогүй байна.

Тэгш өнцөгт ба туйлын координатуудын хоорондын хамаарлыг олъё (Зураг 2.6).

Зураг 2.6. Тэгш өнцөгт ба туйлын координатын системийн хоорондын хамаарал.

Тэгш өнцөгт координатын системийн гарал үүслийг бид туйл, цацраг нь туйлын тэнхлэг гэж үзэх болно. Тэгш өнцөгт декартын координатын системд - туйлын координатын системд - гэж үзье. Тэгш өнцөгт ба туйлын координатуудын хамаарлыг олъё.

Тэгш өнцөгтөөс, тэгш өнцөгтөөс. Тиймээс томъёонууд

цэгийн тэгш өнцөгт координатыг туйлын координатаар илэрхийлнэ.

Урвуу хамаарлыг томъёогоор илэрхийлнэ

Сэтгэгдэл.Туйлын өнцгийг мөн тухайн цэгийн квадратад байрлах тэгш өнцөгт координатаас тодорхойлсон томъёогоор тодорхойлж болно.

Жишээ 1.Цэгийн туйлын координатыг ол.

Шийдэл.Бид тооцоолно; Туйлын өнцгийг дараах нөхцлөөс олно.

Тиймээс, , тиймээс.

Жишээ 2.Цэгийн тэгш өнцөгт координатыг ол.

Шийдэл.Бид тооцоолдог

Бид авдаг.

Гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт декартын координатын системээс гадна цилиндр болон бөмбөрцөг координатын системийг ихэвчлэн ашигладаг.

Цилиндр координатын системнь энэ хавтгайд перпендикуляр орон зайн тэнхлэгийг нэмсэн хавтгай дахь туйлын координатын систем юм (Зураг 2.7). Аливаа цэгийн байрлал нь гурван тоогоор тодорхойлогддог - түүний цилиндр координат: , энд ба туйлын координатын системийг сонгосон хавтгай дээрх цэгийн проекцын туйлын координат (туйлын радиус ба туйлын өнцөг) - програм, цэгээс заасан хавтгай хүртэлх зайтай тэнцүү байна.

Зураг 2.7. Цилиндр координатын систем

Тэгш өнцөгт декартын координатын систем ба цилиндрийн хоорондын хамаарлыг тогтоохын тулд бид тэдгээрийг 2.8-р зурагт үзүүлсэн шиг бие биенээсээ харьцангуйгаар байрлуулна (бид онгоцыг хавтгайд байрлуулж, туйлын тэнхлэг нь тэнхлэгийн эерэг чиглэл болох тэнхлэгтэй давхцдаг. координатын системд хоёуланд нь нийтлэг байдаг).

Цэгийн тэгш өнцөгт координатууд, энэ цэгийн цилиндр координатууд, цэгийн хавтгай дээрх проекцууд байг. Дараа нь

цэгийн тэгш өнцөгт ба цилиндр координатыг холбох томъёо.

Зураг 2.8. Тэгш өнцөгт декарт хоорондын хамаарал

ба цилиндр координатын систем

Сэтгэгдэл.Цилиндр координатыг эргэлтийн биетүүдийг авч үзэхэд ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд тэнхлэг нь эргэлтийн тэнхлэгийн дагуу байрладаг.

Бөмбөрцөг координатын системдараах байдлаар барьж болно. Хавтгай дээрх туйлын тэнхлэгийг сонгоцгооё. Цэгээр дамжуулан бид хавтгайд перпендикуляр шулуун шугамыг (хэвийн) зурдаг. Дараа нь огторгуйн аль ч цэгийг гурван бодит тоогоор холбож болох бөгөөд энэ нь тухайн цэгээс хүртэлх зай, тэнхлэг ба сегментийн хавтгай дээрх проекцын хоорондох өнцөг, хэвийн ба хэрчмийн хоорондох өнцөг юм. гэдгийг анхаарна уу, , .

Хэрэв бид онгоцыг хавтгайд байрлуулж, туйлын тэнхлэгийг тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцуулж, тэнхлэгийг хэвийн гэж сонговол (Зураг 2.9) эдгээр хоёр координатын системийг холбосон томъёог олж авна.

Зураг 2.9. Бөмбөрцөг ба тэгш өнцөгт декарт хоорондын хамаарал

координатын системүүд

Скаляр хэмжигдэхүүнүүд,эсвэл скалярууд нь сонгосон нэгжийн систем дэх тоон утгаараа бүрэн тодорхойлогддог. Вектор хэмжигдэхүүнүүд эсвэл векторууд нь тоон утгаасаа гадна чиглэлтэй байдаг. Жишээлбэл, салхи 10 м/сек хурдтай байна гэвэл салхины хурдны скаляр утгыг оруулна, харин баруун өмнөөс салхи 10 м/сек хурдтай байна гэвэл салхины хурдыг скаляраар тооцно. тэгвэл энэ тохиолдолд салхины хурд аль хэдийн вектор болно.

Вектортодорхой урттай чиглэсэн сегмент гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. хязгаарлах цэгүүдийн аль нэгийг нь эхлэл, хоёр дахь нь төгсгөл гэж авсан тодорхой урттай сегмент. Бид векторыг эсвэл аль нэгээр нь тэмдэглэнэ (Зураг 2.10).

Векторын уртыг эсвэл тэмдгээр тэмдэглэж, векторын модуль гэнэ. Урт нь 1 бол векторыг нэрлэнэ ганц бие . Векторыг нэрлэдэг тэг , хэрэв түүний эхлэл ба төгсгөл давхцаж байвал θ эсвэл -ээр тэмдэглэнэ. Тэг вектор нь тодорхой чиглэлгүй бөгөөд урт нь тэгтэй тэнцүү байна. Нэг шулуун дээр эсвэл параллель шулуун дээр байрлах векторуудыг нэрлэдэг collinear . Хоёр векторыг нэрлэдэг тэнцүү , хэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байвал ижил урттай, ижил чиглэлтэй байна. Бүх тэг векторуудыг тэнцүү гэж үзнэ.

Тэгээс ялгаатай, тэнцүү хэмжээтэй боловч эсрэг чиглэлтэй хоёр коллинеар векторыг гэнэ. эсрэг . Эсрэг векторыг , -ээр тэмдэглэнэ.

Тоо руу шугаман үйлдлүүд вектор дээгүүр векторыг нэмэх, хасах, векторыг тоогоор үржүүлэх үйлдлүүд орно. үр дүн нь вектор болох үйлдлүүд.

Вектор дээр заасан үйлдлүүдийг тодорхойлъё. Хоёр векторыг өгье. Дурын О цэгийг авч векторыг байгуулж, векторыг А цэгээс зуръя. Дараа нь векторын эхний гишүүний эхлэлийг хоёр дахь төгсгөлтэй холбосон векторыг нэрлэнэ хэмжээ Эдгээр векторуудыг . Векторуудын нийлбэрийг олох дүрэм гэж нэрлэгддэг гурвалжны дүрэм (Зураг 2.11).

Векторуудын ижил нийлбэрийг өөр аргаар олж авч болно (Зураг 2.12). Цэгээс вектор ба векторыг салгая. Эдгээр векторууд дээр талуудын адил параллелограмм байгуулъя. Оройноос татсан параллелограммын диагональ болох вектор нь нийлбэр болно. Энэ нийлбэрийг олох дүрмийг гэж нэрлэдэг параллелограммын дүрэм .

Хагархай шугамын дүрмийг ашиглан дурын хязгаарлагдмал тооны векторын нийлбэрийг гаргаж болно (Зураг 2.13). Дурын цэгээс бид векторыг зурж, дараа нь вектор гэх мэтийг зурдаг. Эхнийхийн эхлэлийг сүүлчийнхтэй холбосон вектор нь нийлбэр юм

өгөгдлийн векторууд, өөрөөр хэлбэл. . Мэдээжийн хэрэг, векторын сүүлчийн гишүүний төгсгөл нь эхнийх нь эхлэлтэй давхцаж байвал векторуудын нийлбэр нь тэг вектортой тэнцүү байна.

Ялгаагаар хоёр вектор бөгөөд ийм вектор гэж нэрлэгддэг бөгөөд хасах вектортой нийлбэр нь векторыг өгдөг. Эндээс ялгаа вектор байгуулах дүрэм(Зураг 2.14). Энэ цэгээс бид вектор ба векторыг зурна. Хасах вектор ба хасах векторын төгсгөлүүдийг холбосон, хасалтаас хасах вектор руу чиглэсэн вектор нь ялгаа юм.

Векторын бүтээгдэхүүнБодит тооны хувьд λ нь вектортой коллинеар бөгөөд хэрэв вектортой урт ба ижил чиглэлтэй, хэрэв векторын эсрэг чиглэлтэй бол вектор юм.

Оруулсан шугаман үйлдлүүд гаруй векторууд байна шинж чанарууд :

1 0 . Нэмэлтийн шилжих чадвар: .

2 0 . Нэмэлт холбоо: .

3 0 . Нэмэлтээр саармаг элемент байгаа эсэх: .

4 0 . Нэмэх замаар эсрэг элемент байгаа эсэх:

5 0 . Вектор нэмэхтэй харьцуулахад тоогоор үржүүлэхийн тархалт: .

6 0 . Векторыг хоёр тооны нийлбэрээр үржүүлэх тархалт:

7 0 . Векторыг тоонуудын үржвэрээр үржүүлэх ассоциацийн шинж чанар: .

Векторын системийг өгье.

λ i (i = 1,2,…, n) нь зарим тоо байх илэрхийллийг нэрлэнэ шугаман хослол векторын систем (2.1). Векторуудын системийг (2.1) гэж нэрлэдэг шугаман хамааралтай , хэрэв λ 1, λ 2, ..., λ n бүх тоонууд тэгтэй тэнцүү биш тохиолдолд тэдгээрийн шугаман хослол тэгтэй тэнцүү бол. Векторуудын системийг (2.1) гэж нэрлэдэг шугаман бие даасан , хэрэв бүх тоо λ i = 0 () байвал тэдгээрийн шугаман хослол тэгтэй тэнцүү бол. Векторуудын шугаман хамаарлын өөр нэг тодорхойлолтыг бид өгч болно. Векторуудын системийг (2.1) гэж нэрлэдэг шугаман хамааралтай , хэрэв энэ системийн аль нэг вектор нь бусадтай нь шугаман илэрхийлэгдэх бол, өөрөөр хэлбэл векторуудын систем (2.1) шугаман бие даасан .

Хавтгайд хэвтэж буй векторуудын хувьд дараах мэдэгдлүүд үнэн байна.

1 0 . Хавтгай дээрх дурын гурван вектор шугаман хамааралтай байна.

2 0 . Хэрэв хавтгай дээрх эдгээр векторуудын тоо гурваас дээш байвал тэдгээр нь мөн шугаман хамааралтай байна.

3 0 . Хавтгай дээрх хоёр вектор шугаман бие даасан байхын тулд тэдгээр нь шугаман бус байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Тиймээс, хамгийн их тоохавтгай дээрх шугаман бие даасан векторууд хоёртой тэнцүү байна.

Векторуудыг дууддаг хавтгай , хэрэв тэдгээр нь нэг хавтгайд хэвтэж эсвэл нэг хавтгайтай параллель байвал. Дараах мэдэгдлүүд нь сансрын векторуудын хувьд үнэн юм.

1 0 . Орон зайн дөрвөн вектор бүр шугаман хамааралтай байдаг.

2 0 . Хэрэв орон зай дахь эдгээр векторуудын тоо дөрвөөс их байвал тэдгээр нь мөн шугаман хамааралтай байна.

3 0 . Гурван вектор шугаман бие даасан байхын тулд тэдгээр нь хоорондоо уялдаа холбоогүй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Тиймээс огторгуй дахь шугаман бие даасан векторуудын хамгийн их тоо нь гурав байна.

Энэ системийн дурын векторыг илэрхийлдэг шугаман бие даасан векторуудын аль ч дээд дэд системийг нэрлэнэ суурь авч үзэж байгаа нэг вектор системүүд . Хавтгай дээрх суурь нь хоёр коллинеар бус вектороос, орон зай дахь суурь нь хоорондоо уялдаа холбоогүй гурван вектороос бүрддэг гэж дүгнэхэд хялбар байдаг. Суурь векторуудын тоог нэрлэнэ зэрэглэл вектор системүүд. Векторыг суурь вектор болгон тэлэх коэффициентийг нэрлэнэ вектор координат энэ үндсэн дээр.

Векторууд суурь үүсгээд байг, тэгвэл λ 1, λ 2, λ 3 тоонууд нь суурийн векторын координат болно. Энэ тохиолдолд бичнэ үү . Суурийн гол утга нь вектор дээрх шугаман үйлдлүүд нь тоон дээрх энгийн шугаман үйлдлүүд болох эдгээр векторуудын координат болдог. Вектор дээрх шугаман үйлдлүүдийн шинж чанарыг ашиглан бид дараах теоремыг баталж чадна.

Теорем. Хоёр вектор нэмэхэд тэдгээрийн харгалзах координатууд нэмэгдэнэ. Векторыг тоогоор үржүүлэхэд түүний бүх координатыг тухайн тоогоор үржүүлнэ.

Тиймээс, хэрэв ба , тэгвэл , хаана , хаана , λ нь тодорхой тоо юм.

Ерөнхийдөө шугаман үйлдлүүдийг нэвтрүүлсэн нийтлэг гарал үүслийг бууруулсан хавтгай дээрх бүх векторуудын олонлогийг V 2, нийтлэг гарал үүсэл болгон бууруулсан орон зай дахь бүх векторуудын олонлогийг V 3 гэж тэмдэглэнэ. V 2 ба V 3 олонлогуудыг дуудна геометрийн векторуудын орон зай.

Векторуудын хоорондох өнцөгба эдгээр векторуудыг нийтлэг гарал үүслийн цэгт хүргэсний дараа векторуудын аль нэгийг нь хоёр дахьтэй нь давхцах хүртэл эргүүлэх ёстой хамгийн жижиг өнцөг () гэж нэрлэдэг.

Цэгтэй бүтээгдэхүүнхоёр вектор нь эдгээр векторуудын модулиудын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинустай тэнцүү тоо юм. Векторуудын скаляр үржвэрийг , эсвэл гэж тэмдэглэнэ

Хэрэв ба векторуудын хоорондох өнцөг нь тэнцүү бол

Геометрийн үүднээс авч үзвэл векторуудын скаляр үржвэр нь нэг векторын модуль ба өөр векторын түүн дээрх проекцын үржвэртэй тэнцүү байна. Тэгш байдал (2.2) -аас дараахь зүйлийг гаргана

Эндээс Хоёр векторын ортогональ байдлын нөхцөл: хоёр векторТэгээд Зөвхөн тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү бол ортогональ байна, өөрөөр хэлбэл. .

Векторуудын цэгийн үржвэр нь шугаман үйлдэл биш, учир нь үр дүн нь вектор биш харин тоо юм.

Скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанарууд.

1º. - шилжих чадвар.

2º. - хуваарилалт.

3º. - тоон хүчин зүйлийн талаархи ассоциаци.

4º. - скаляр квадратын шинж чанар.

Үл хөдлөх хөрөнгийн 4º нь тодорхойлолтыг дагаж мөрддөг векторын урт :

V 3 орон зайд суурь өгье, векторууд нь нэгж векторууд (тэдгээрийг нэгж векторууд гэж нэрлэдэг) тус бүрийн чиглэл нь тэгш өнцөгт декартын координатын Ox, Oy, Oz координатын тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлтэй давхцаж байна. систем.

V 3 орон зайн векторыг энэ үндэслэлээр өргөжүүлье (Зураг 2.15):

Векторуудыг координатын тэнхлэгийн дагуух вектор бүрэлдэхүүн хэсэг буюу бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоо гэж нэрлэдэг a x , a y , a z– векторын тэгш өнцөгт декарт координат А. Векторын чиглэлийг координатын шугамаар үүсгэсэн α, β, γ өнцгөөр тодорхойлно. Эдгээр өнцгийн косинусыг чиглэлийн вектор гэнэ. Дараа нь косинусын чиглэлийг томъёогоор тодорхойлно.

Үүнийг харуулах нь амархан

Скаляр үржвэрийг координат хэлбэрээр илэрхийлье.

Байг. Эдгээр векторуудыг олон гишүүнт болгон үржүүлж, олох илэрхийлэлийг олж авна координат хэлбэрээр цэгийн бүтээгдэхүүн:

тэдгээр. хоёр векторын скаляр үржвэр нь ижил нэртэй координатын хосолсон үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

(2.6) ба (2.4)-аас олох томъёог дагаж мөрдөөрэй векторын урт :

(2.6) ба (2.7) -аас бид тодорхойлох томъёог олж авна векторуудын хоорондох өнцөг:

Гурвалсан векторыг аль нь эхнийх, аль нь хоёрдугаарт, аль нь гуравдахь гэж тооцогдохыг зааж өгвөл эрэмбэлэгдсэн гэж нэрлэдэг.

Захиалсан гурван вектор дуудсан зөв , хэрэв тэдгээрийг гурав дахь векторын төгсгөлөөс нийтлэг гарал үүслээр аваачсаны дараа эхний вектороос хоёр дахь вектор хүртэлх хамгийн богино эргэлтийг цагийн зүүний эсрэг хийнэ. Үгүй бол гурвалсан векторыг дуудна зүүн . Жишээ нь, Зураг 2.15-д , векторууд нь векторуудын баруун гурвалсан, , , векторууд нь векторуудын зүүн гурвалсан хэсгийг бүрдүүлнэ.

Үүнтэй адил гурван хэмжээст орон зай дахь баруун, зүүн координатын системийн тухай ойлголтыг танилцуулсан.

Вектор урлагийн бүтээлвектороор вектор гэдэг нь вектор (өөр тэмдэглэгээ) бөгөөд:

1) урттай , энд ба векторуудын хоорондох өнцөг;

2) векторуудад перпендикуляр ба (), i.e. ба векторууд байх хавтгайд перпендикуляр байна;

Тодорхойлолтоор бид координатын нэгж векторуудын вектор үржвэрийг олно , , :

Хэрэв , бол вектор ба векторын вектор үржвэрийн координатыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Тодорхойлолтоос энэ нь дараах байдалтай байна вектор урлагийн геометрийн утга : векторын хэмжээ нь векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайтай тэнцүү байна.

Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарууд:

4 0 . , хэрэв ба векторууд коллинеар, эсвэл эдгээр векторуудын аль нэг нь тэг байвал.

Жишээ 3.Параллелограммыг , , , , векторууд дээр байгуулна. Энэ параллелограммын диагональуудын урт, диагональ хоорондын өнцөг ба параллелограммын талбайг тооцоол.

Шийдэл.Векторуудыг байгуулах ба Зураг 2.16-д, эдгээр векторууд дээр параллелограмм байгуулахыг Зураг 2.17-д үзүүлэв.

Энэ асуудлын аналитик шийдлийг авч үзье. Баригдсан параллелограммын диагональуудыг тодорхойлох векторуудыг ба векторуудаар, дараа нь ба -аар дамжуулан илэрхийлье. Бид олдог, . Дараа нь бид параллелограммын диагональуудын уртыг баригдсан векторуудын уртаар олно.

Параллелограммын диагональуудын хоорондох өнцгийг -ээр тэмдэглэнэ. Дараа нь векторуудын скаляр үржвэрийн томъёоноос бид:

Тиймээс, .

Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглан бид параллелограммын талбайг тооцоолно.

Гурван вектор , ба , өгөгдсөн байг. Векторыг вектороор үржүүлж, вектор ба үр дүнгийн векторыг вектороор скаляраар үржүүлж, улмаар тоог тодорхойлно гэж төсөөлье. Үүнийг вектор-скаляр эсвэл гэж нэрлэдэг холимог ажил гурван вектор ба . эсвэл гэж тэмдэглэнэ.

Үүнийг олж мэдье холимог бүтээгдэхүүний геометрийн утга (Зураг 2.18). , , нэгдмэл байх ёсгүй. Эдгээр векторууд дээр ирмэгүүд шиг параллелепипед байгуулъя. Хөндлөн бүтээгдэхүүн гэдэг нь векторууд дээр баригдсан, параллелограммын хавтгайд перпендикуляр чиглүүлсэн модуль нь параллелограммын талбайтай (параллелепипедийн суурь) тэнцүү вектор юм.

Цэгийн үржвэр (векторын модуль ба проекцын үржвэртэй тэнцүү). Баригдсан параллелепипедийн өндөр нь энэ төсөөллийн үнэмлэхүй утга юм. Үүний үр дүнд гурван векторын холимог бүтээгдэхүүний үнэмлэхүй утга нь векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна , ба , i.e. .

Тиймээс эзлэхүүн гурвалжин пирамид, векторууд дээр баригдсан ба , томъёогоор тооцоолно.

Өөр хэдэн зүйлийг тэмдэглэе холимог бүтээгдэхүүний шинж чанар векторууд.

1 о. Хэрэв , , ба векторууд үндсэн системтэй ижил нэртэй системийг бүрдүүлж байвал бүтээгдэхүүний тэмдэг эерэг, бусад тохиолдолд сөрөг байна.

Үнэхээр, хоорондын өнцөг хурц байвал скаляр үржвэр эерэг, өнцөг нь мохоо байвал сөрөг байна. Хурц өнцгөөр, ба векторууд нь параллелепипедийн суурьтай харьцуулахад нэг талд байрладаг тул векторын төгсгөлөөс эхлэн эргэх нь векторын төгсгөлтэй адил харагдах болно. , өөрөөр хэлбэл эерэг чиглэлд (цагийн зүүний эсрэг).

Мохоо өнцгөөр векторууд хоёулаа параллелепипедийн суурь дээр байрлах параллелограммын хавтгайтай харьцуулахад өөр өөр талд байрладаг тул векторын төгсгөлөөс эхлэн эргэх нь сөрөг чиглэлд харагдана ( цагийн зүүний дагуу).

2 o Холимог бүтээгдэхүүн нь түүний хүчин зүйлсийг дугуйлан солиход өөрчлөгдөхгүй: .

3 o Дурын хоёр векторыг дахин байрлуулахад холимог үржвэр нь зөвхөн тэмдгийг өөрчилнө. Жишээлбэл, , . , . - үл мэдэгдэх системүүд.

Систем(3.1) гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийн , хэрэв бүх гишүүд чөлөөтэй бол . Систем (3.1) гэж нэрлэдэг нэг төрлийн бус , хэрэв чөлөөт гишүүдийн дор хаяж нэг нь .

Системийн шийдэлтоонуудын багц гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийг системийн тэгшитгэлд харгалзах үл мэдэгдэхийн оронд орлуулах үед системийн тэгшитгэл бүр ижил төстэй байдал болж хувирдаг. Ямар ч шийдэлгүй системийг нэрлэдэг нийцэхгүй, эсвэл маргаантай . Дор хаяж нэг шийдэлтэй системийг нэрлэдэг хамтарсан .

Хамтарсан системийг гэж нэрлэдэг тодорхой , хэрэв энэ нь өвөрмөц шийдэлтэй бол. Хэрэв тууштай систем нэгээс олон шийдэлтэй бол түүнийг дуудна тодорхойгүй . Нэг төрлийн систем нь хамгийн багадаа тэг шийдэлтэй тул үргэлж тууштай байдаг. Системийн аливаа тодорхой шийдлийг гаргаж болох үл мэдэгдэх илэрхийлэл гэж нэрлэдэг ерөнхий шийдвэр , мөн системийн аливаа тодорхой шийдэл нь түүний хувийн шийдэл . Ижил үл мэдэгдэх хоёр систем тэнцүү (тэнцүү ), хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь шийдэл нь нөгөөгийнх нь шийдэл эсвэл хоёр систем нь хоорондоо нийцэхгүй байвал.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзье.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх гол аргуудын нэг нь Гауссын арга, эсвэл дараалсан арга үл мэдэгдэх зүйлийг хасах. Энэ аргын мөн чанар нь шугаман тэгшитгэлийн системийг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах явдал юм. Энэ тохиолдолд дараахь тэгшитгэлийг хийх шаардлагатай. анхан шатны өөрчлөлтүүд :

1. Системийн тэгшитгэлийг дахин зохион байгуулах.

2. Нэг тэгшитгэлд өөр тэгшитгэл нэмэх.

3. Тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх.

Үүний үр дүнд систем нь дараах хэлбэртэй болно.

Энэ үйл явцыг цааш үргэлжлүүлэхийн тулд бид гурав дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх бүх тэгшитгэлээс хасдаг. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь тэгшитгэлийг тоогоор үржүүлээд системийн 3, ..., - р тэгшитгэл дээр нэмнэ. Гауссын аргын дараах алхмуудыг ижил төстэй байдлаар гүйцэтгэнэ. Хэрэв хувиргалтын үр дүнд бид ижил тэгшитгэлийг олж авбал бид үүнийг системээс устгана. Хэрэв Гауссын аргын зарим үе шатанд дараах хэлбэрийн тэгшитгэл олдвол:

дараа нь авч үзэж буй систем нь нийцэхгүй бөгөөд түүний цаашдын шийдэл зогсдог. Хэрэв анхан шатны хувиргалт хийх үед (3.2) хэлбэрийн тэгшитгэл гарч ирэхгүй бол --ээс илүүгүй алхамын систем (3.1) шаталсан хэлбэрт шилжинэ.

Системийн тодорхой шийдлийг олж авахын тулд (3.4) дэх чөлөөт хувьсагчдад тодорхой утгыг оноох шаардлагатай болно.

Гауссын аргын хувьд бүх хувиргалтыг үл мэдэгдэх тэгшитгэл ба чөлөөт нөхцлийн коэффициентүүд дээр гүйцэтгэдэг тул практикт энэ аргыг ихэвчлэн үл мэдэгдэх коэффициент ба чөлөөт гишүүдийн баганаас бүрдсэн матрицад ашигладаг болохыг анхаарна уу. Энэ матрицыг өргөтгөсөн гэж нэрлэдэг. Энгийн хувиргалтыг ашиглан энэ матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулдаг. Дараа нь үүссэн матрицыг ашиглан системийг сэргээж, өмнөх бүх үндэслэлийг түүнд хэрэглэнэ.

Жишээ 1.Системийг шийдэх:

Шийдэл.Бид өргөтгөсөн матриц үүсгэж, алхам алхмаар хэлбэрт оруулав.

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - хоёр дахь мөрийг үржүүлж, гурав дахь мөрийг таслав.

Тэгш өнцөгт координатын системийг өгье.

Теорем 1.1.Хавтгайн дурын M 1 (x 1;y 1) ба M 2 (x 2;y 2) хоёр цэгийн хувьд тэдгээрийн хоорондох d зайг томъёогоор илэрхийлнэ.

Баталгаа. M 1 ба M 2 цэгүүдээс M 1 B ба M 2 A перпендикуляруудыг тус тус буулгая.

Oy ба Ox тэнхлэг дээр M 1 B ба M 2 A шугамуудын огтлолцлын цэгийг K-ээр тэмдэглэнэ (Зураг 1.4). Дараах тохиолдлууд боломжтой.

1) M 1, M 2, K цэгүүд өөр байна. Мэдээжийн хэрэг, К цэг нь координаттай (x 2;y 1). M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô гэдгийг харахад хялбар байдаг. Учир нь ∆M 1 KM 2 тэгш өнцөгт, тэгвэл Пифагорын теоремоор d = M 1 M 2 = = .

2) K цэг нь M 2 цэгтэй давхцаж байгаа боловч M 1 цэгээс ялгаатай (Зураг 1.5). Энэ тохиолдолд y 2 = y 1 байна

ба d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) К цэг нь M 1 цэгтэй давхцаж байгаа боловч M 2 цэгээс ялгаатай. Энэ тохиолдолд x 2 = x 1 ба d = байна

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) M 2 цэг нь M 1 цэгтэй давхцаж байна. Дараа нь x 1 = x 2, y 1 = y 2 ба

d = M 1 M 2 = O =.

Үүнтэй холбогдуулан сегментийг хуваах.

Хавтгай дээр дурын M 1 M 2 хэрчим өгөгдөх ба үүний дурын цэг M ─ байг.

М 2 цэгээс ялгаатай сегмент (Зураг 1.6). l = тэгшитгэлээр тодорхойлогддог l тоо , дуудсан хандлага,энэ үед M нь M 1 M 2 хэрчмийг хуваана.

Теорем 1.2.Хэрэв M(x;y) цэг нь M 1 M 2 хэрчмийг l-тэй харьцуулахад хуваавал энэ цэгийн координатыг томъёогоор тодорхойлно.

x = , y = , (4)

Энд (x 1;y 1) ─ M 1 цэгийн координат, (x 2;y 2) ─ М 2 цэгийн координат.

Баталгаа.(4) томъёоны эхнийхийг баталцгаая. Хоёр дахь томьёо нь ижил төстэй байдлаар батлагдсан. Хоёр боломжит тохиолдол бий.

x = x 1 = = = .

2) Шулуун шугам M 1 M 2 нь Ox тэнхлэгт перпендикуляр биш (Зураг 1.6). M 1, M, M 2 цэгүүдээс Ox тэнхлэгт перпендикуляруудыг буулгаж, тэдгээрийн Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг P 1, P, P 2 гэж тус тус тэмдэглэе. Пропорционал сегментийн теоремоор = л.

Учир нь P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô ба (x – x 1) болон (x 2 – x) тоонууд ижил тэмдэгтэй (x 1 дээр)< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 сөрөг байна), тэгвэл

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Дүгнэлт 1.2.1.Хэрэв M 1 (x 1;y 1) ба M 2 (x 2;y 2) нь дурын хоёр цэг бөгөөд M(x;y) цэг нь M 1 M 2 хэрчмийн дунд хэсэг юм бол

x = , у = (5)

Баталгаа. M 1 M = M 2 M тул l = 1 ба (4) томъёог ашиглан бид (5) томъёог олж авна.

Гурвалжны талбай.

Теорем 1.3.А(x 1;y 1), B(x 2;y 2) болон C(x 3;y 3) цэгүүдийн хувьд ижил дээр оршдоггүй.

шулуун шугам, ABC гурвалжны S талбайг томъёогоор илэрхийлнэ

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Баталгаа.∆ ABC талбайг Зураг дээр үзүүлэв. 1.7, бид дараах байдлаар тооцоолно

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Бид трапецын талбайг тооцоолно.

S ADEC =
,

S BCEF =

Одоо бидэнд байна

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x) 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Өөр ∆ ABC байршлын хувьд (6) томъёог ижил төстэй байдлаар нотолсон боловч "-" тэмдгээр гарч болно. Тиймээс (6) томъёонд тэд модулийн тэмдгийг тавьдаг.

Лекц 2.

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл: үндсэн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл, шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл, сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл, хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл. Шулуун шугамын хоорондох өнцөг, хавтгай дээрх шулуун шугамын параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцөл.

2.1. Тэгш өнцөгт координатын систем ба зарим L шулууныг хавтгайд өгье.

Тодорхойлолт 2.1. x ба у хувьсагчдыг холбосон F(x;y) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг гэнэ. шугамын тэгшитгэл L(В өгөгдсөн системкоординат), хэрэв энэ тэгшитгэлийг L шулуун дээр байрлах дурын цэгийн координатаар хангасан бол энэ шулуун дээр ороогүй цэгийн координатаар биш.

Хавтгай дээрх шулуунуудын тэгшитгэлийн жишээ.

1) Тэгш өнцөгт координатын системийн Oy тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг авч үзье (Зураг 2.1). Энэ шулууны Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг А үсгээр тэмдэглэе, (a;o) ─ түүний эсвэл-

Дината. x = a тэгшитгэл нь өгөгдсөн шугамын тэгшитгэл юм. Үнэн хэрэгтээ энэ тэгшитгэл нь энэ шулууны M(a;y) цэгийн координатаар хангагдах ба шулуун дээр ороогүй цэгийн координатаар хангагдахгүй. Хэрэв a = 0 бол шулуун шугам нь x = 0 тэгшитгэлтэй Oy тэнхлэгтэй давхцдаг.

2) x - y = 0 тэгшитгэл нь I ба III координатын өнцгийн биссектрисаг бүрдүүлдэг хавтгайн цэгүүдийн багцыг тодорхойлно.

3) x 2 - y 2 = 0 ─ тэгшитгэл нь координатын өнцгийн хоёр биссектрисын тэгшитгэл юм.

4) x 2 + y 2 = 0 тэгшитгэл нь хавтгай дээрх ганц O(0;0) цэгийг тодорхойлно.

5) Тэгшитгэл x 2 + y 2 = 25 ─ радиус 5-тай тойргийн тэгшитгэл нь төв нь эх дээр байна.

Лекц: Хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёо; бөмбөрцгийн тэгшитгэл

Хоёр цэгийн хоорондох зай

Өмнөх асуултанд шулуун дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг олохын тулд бид d = x 2 – x 1 томъёог ашигласан.

Гэхдээ онгоцны хувьд бүх зүйл өөр байна. Зөвхөн координатын зөрүүг олох нь хангалтгүй юм. Цэгүүдийн хоорондох зайг тэдгээрийн координатыг ашиглан олохын тулд дараах томъёог ашиглана уу.

Жишээлбэл, хэрэв танд тодорхой координат бүхий хоёр цэг байгаа бол тэдгээрийн хоорондох зайг дараах байдлаар олж болно.

A (4;-1), B (-4;6):

AB = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2) 1/2 ≈ 10.6.

Өөрөөр хэлбэл, хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолохын тулд координатын зөрүүний квадратуудын нийлбэрийн үндсийг олох шаардлагатай.

Хэрэв та хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг олох шаардлагатай бол нэмэлт координат бүхий ижил төстэй томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Бөмбөрцгийн тэгшитгэл

Орон зай дахь бөмбөрцгийг тодорхойлохын тулд та дараах томьёог ашиглахын тулд түүний төвийн координат, мөн радиусыг мэдэх хэрэгтэй.

Энэ тэгшитгэл нь төв нь эх дээр байгаа бөмбөрцөгтэй тохирч байна.

Хэрэв бөмбөрцгийн төвийг тэнхлэгийн дагуу тодорхой тооны нэгжээр шилжүүлсэн бол дараах томъёог ашиглана.