Operacija iskanja odvoda se imenuje diferenciacija.
Kot rezultat reševanja problemov iskanja odvodov najenostavnejših (in ne zelo preprostih) funkcij z opredelitvijo odvoda kot meje razmerja prirastka in prirastka argumenta se je pojavila tabela odvodov in natančno določena pravila diferenciacije. . Prva, ki sta delala na področju iskanja derivatov, sta bila Isaac Newton (1643-1727) in Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Zato vam v našem času za iskanje odvoda katere koli funkcije ni treba izračunati zgoraj omenjene meje razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, ampak morate uporabiti samo tabelo izpeljanke in pravila razlikovanja. Za iskanje izpeljanke je primeren naslednji algoritem.
Da bi našli izpeljanko, potrebujete izraz pod praznakom preproste funkcije razčleniti na komponente in določite, katera dejanja (zmnožek, vsota, količnik) te funkcije so povezane. Nato najdemo odvode elementarnih funkcij v tabeli odvodov, formule za odvode produkta, vsote in količnika pa v pravilih diferenciacije. Tabela odvodov in pravila razlikovanja so podani po prvih dveh primerih.
Primer 1. Poiščite odvod funkcije
rešitev. Iz pravil diferenciacije ugotovimo, da je odvod vsote funkcij vsota odvodov funkcij, tj.
Iz tabele odvodov ugotovimo, da je odvod "x" enak ena, odvod sinusa pa kosinus. Te vrednosti nadomestimo v vsoto derivatov in poiščemo derivat, ki ga zahteva pogoj problema:
Primer 2. Poiščite odvod funkcije
rešitev. Diferenciramo kot odvod vsote, pri kateri ima drugi člen konstanten faktor, lahko ga vzamemo iz predznaka odvoda:
Če se vseeno porajajo vprašanja o tem, od kod kaj izvira, jih običajno razčistimo po seznanitvi s tabelo derivatov in najpreprostejšimi pravili razlikovanja. Prav zdaj se premikamo k njim.
Tabela odvodov enostavnih funkcij
| 1. Izpeljava konstante (števila). Poljubno število (1, 2, 5, 200 ...), ki je v funkcijskem izrazu. Vedno enako nič. To si je zelo pomembno zapomniti, saj je potrebno zelo pogosto | |
| 2. Izpeljanka neodvisne spremenljivke. Najpogosteje "X". Vedno enako ena. To je tudi pomembno, da si zapomnite za dolgo časa | |
| 3. Izpeljanka stopnje. Ko rešujete naloge, morate nekvadratne korene pretvoriti v potence. | |
| 4. Odvod spremenljivke na potenco -1 | |
| 5. Izpeljava kvadratnega korena | |
| 6. Odvod sinusa | |
| 7. Odvod kosinusa |  |
| 8. Odvod tangente |  |
| 9. Odvod kotangensa |  |
| 10. Odvod arkusina |  |
| 11. Odvod ark kosinusa |  |
| 12. Odvod arktangensa |  |
| 13. Odvod ark kotangensa |  |
| 14. Odvod naravnega logaritma | |
| 15. Odvod logaritemske funkcije |  |
| 16. Izpeljanka eksponenta | |
| 17. Odvod eksponentne funkcije |
Pravila razlikovanja
| 1. Izpeljava vsote ali razlike |  |
| 2. Izpeljanka izdelka |  |
| 2a. Izpeljanka izraza, pomnožena s konstantnim faktorjem | |
| 3. Izpeljava količnika |  |
| 4. Odvod kompleksne funkcije |  |
1. praviloČe funkcije
so na neki točki diferencibilne, potem so funkcije diferencibilne na isti točki
in
tiste. odvod algebraične vsote funkcij je enak algebraični vsoti odvodov teh funkcij.
Posledica. Če se dve diferenciabilni funkciji razlikujeta za konstanten člen, sta njuna odvoda enaka, tj.
2. pravilo.Če funkcije
so na neki točki diferencibilni, potem je njihov produkt diferencibilen na isti točki
in
tiste. Odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov vsake od teh funkcij in odvoda druge.
Posledica 1. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka odvoda:
Posledica 2. Odvod zmnožka več diferenciabilnih funkcij je enak vsoti zmnožkov odvoda vsakega faktorja in vseh ostalih.
Na primer za tri množitelje:
3. praviloČe funkcije
na neki točki mogoče razlikovati in , potem je na tej točki njihov količnik tudi diferenciabilenu/v in
tiste. odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda imenovalca, imenovalec pa je kvadrat prejšnji števnik.
Kje iskati stvari na drugih straneh
Pri iskanju odvoda zmnožka in količnika v realnih problemih je vedno treba uporabiti več diferencialnih pravil hkrati, zato je v članku več primerov o teh odvodih."Odvod produkta in kvocienta funkcij".
Komentiraj. Ne zamenjujte konstante (torej števila) kot izraza v vsoti in kot konstantnega faktorja! Pri členu je njegova izpeljanka enaka nič, pri konstantnem faktorju pa je vzeta iz predznaka izpeljank. To je tipična napaka, ki se pojavi na začetni stopnji učenja izpeljank, a ko povprečen učenec reši več enodelnih in dvodelnih primerov, te napake ne dela več.
In če imate pri diferenciranju produkta ali količnika izraz u"v, v katerem u- število, na primer 2 ali 5, to je konstanta, potem bo derivat tega števila enak nič, zato bo celoten izraz enak nič (ta primer je obravnavan v primeru 10).
Druga pogosta napaka je mehansko reševanje odvoda kompleksne funkcije kot odvoda preproste funkcije. Zato odvod kompleksne funkcije je posvečen poseben članek. Najprej pa se bomo naučili poiskati izpeljanke enostavnih funkcij.
Na tej poti ne morete brez preoblikovanja izrazov. Če želite to narediti, boste morda morali odpreti priročnik v novih oknih. Dejanja z močmi in koreninami in Operacije z ulomki .
Če iščete rešitve za odvode ulomkov s potencami in koreni, to je, ko je funkcija videti kot 
, nato sledite lekciji “Izvod vsote ulomkov s potencami in koreni.”
Če imate nalogo, kot je 
, potem boste vzeli lekcijo “Odvodi preprostih trigonometričnih funkcij”.
Primeri po korakih - kako najti izpeljanko
Primer 3. Poiščite odvod funkcije
rešitev. Določimo dele funkcijskega izraza: celoten izraz predstavlja zmnožek, njegovi faktorji pa so vsote, v drugem izmed členov pa je konstanten faktor. Uporabimo pravilo diferenciacije produkta: odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov vsake od teh funkcij z odvodom druge:
Nato uporabimo pravilo diferenciacije vsote: odvod algebraične vsote funkcij je enak algebraični vsoti odvodov teh funkcij. V našem primeru ima v vsaki vsoti drugi člen predznak minus. V vsaki vsoti vidimo tako neodvisno spremenljivko, katere odvod je enak ena, kot konstanto (število), katere odvod je enak nič. Torej se "X" spremeni v ena, minus 5 pa v nič. V drugem izrazu je "x" pomnožen z 2, tako da dva pomnožimo z isto enoto kot izpeljanka "x". Dobimo naslednje izpeljanke:
Najdene odvode nadomestimo v vsoto produktov in dobimo odvod celotne funkcije, ki jo zahteva pogoj problema:
Primer 4. Poiščite odvod funkcije
rešitev. Poiskati moramo odvod količnika. Uporabimo formulo za razlikovanje količnika: odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda imenovalec, imenovalec pa je kvadrat prejšnjega števca. Dobimo:
Odvod faktorjev v števcu smo našli že v primeru 2. Ne pozabimo tudi, da je zmnožek, ki je drugi faktor v števcu v trenutnem primeru, vzet s predznakom minus:
Če iščete rešitve za naloge, v katerih morate najti odvod funkcije, kjer je zvezen kup korenov in potence, kot je npr. 
, potem dobrodošli v razredu "Izvod vsote ulomkov s potencami in koreni" .
Če želite izvedeti več o odvodih sinusov, kosinusov, tangentov in drugih trigonometričnih funkcij, to je, ko je funkcija videti kot , potem lekcija za vas "Izvodi preprostih trigonometričnih funkcij" .
Primer 5. Poiščite odvod funkcije
rešitev. V tej funkciji vidimo produkt, katerega eden izmed faktorjev je kvadratni koren neodvisne spremenljivke, katere odvod smo spoznali v tabeli odvodov. Z uporabo pravila za razlikovanje produkta in tabelarne vrednosti odvoda kvadratnega korena dobimo:
Primer 6. Poiščite odvod funkcije
rešitev. V tej funkciji vidimo količnik, katerega dividenda je kvadratni koren neodvisne spremenljivke. S pomočjo pravila diferenciacije količnikov, ki smo ga ponovili in uporabili v primeru 4, in tabelarne vrednosti odvoda kvadratnega korena dobimo:
Če se želite znebiti ulomka v števcu, pomnožite števec in imenovalec z.
Z urejanje gradiva na temo »izpeljanka«. Osnovna šolska raven.
Teoretične informacije za študente, učitelje in mentorje matematike. Za pomoč pri izvedbi pouka.
definicija: odvod funkcije v točki je meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom spremenljivke, tj.
Tabela odvodov osnovnih matematičnih funkcij:
Pravila za izračun izvedenih finančnih instrumentov
Izpeljanka vsote poljubna dva izraza je enaka vsoti odvodov teh izrazov (odvod vsote je enak vsoti odvodov)
Izpeljanka razlike katera koli dva izraza je enaka razliki odvodov teh členov (odvod razlike je enak razliki odvodov).
Izpeljanka izdelka dva faktorja je enak zmnožku odvoda prvega faktorja in drugega plus produkt prvega faktorja in odvoda drugega (vsota odvodov faktorjev, vzetih po vrsti).
Komentar učitelja matematike: Ko študenta na kratko spomnim na pravilo za izračun odvoda produkta, rečem tole: odvod prvega faktorja z drugim plus izmenjaj udarce!
Izpeljanka količnika dveh izrazov je enak količniku razlike med odpeljankama faktorjev, vzetih po vrsti, in kvadratom imenovalca.
Odvod zmnožka števila in funkcije. Če želite najti izpeljanko produkta števila in dobesednega izraza (funkcije), morate to število pomnožiti z izpeljanko tega dobesednega izraza.
Odvod kompleksne funkcije:
Če želite izračunati odvod kompleksne funkcije, morate najti odvod zunanje funkcije in ga pomnožiti z odvodom notranje funkcije.
Vaši komentarji in povratne informacije o strani z izpeljankami:
Aleksander S.
Res sem potreboval mizo. Eden najbolj na internetu. Najlepša hvala tudi za pojasnila in pravila. Vsaj še en primer bi jim prav prišel. Najlepša hvala še enkrat.
Kolpakov A.N., inštruktor matematike: v redu, v bližnji prihodnosti bom poskušal posodobiti stran s primeri.
Virtualni matematični priročnik.
Kolpakov Aleksander Nikolajevič, učitelj matematike.
Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ l na prirastek argumenta Δ x:
Zdi se, da je vse jasno. Toda poskusite uporabiti to formulo za izračun, recimo, odvoda funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x greh x. Če naredite vse po definiciji, potem boste po nekaj straneh izračunov preprosto zaspali. Zato obstajajo enostavnejši in učinkovitejši načini.
Za začetek omenimo, da lahko iz celotne raznolikosti funkcij ločimo tako imenovane elementarne funkcije. To so razmeroma preprosti izrazi, katerih izpeljanke so že dolgo izračunane in tabelarizirane. Takšne funkcije si je precej enostavno zapomniti - skupaj z njihovimi izpeljankami.
Izvodi elementarnih funkcij
Osnovne funkcije so vse tiste, ki so navedene spodaj. Izpeljanke teh funkcij moramo poznati na pamet. Poleg tega si jih sploh ni težko zapomniti - zato so osnovni.
Torej, derivati elementarnih funkcij:
| Ime | funkcija | Izpeljanka |
| Konstanta | f(x) = C, C ∈ R | 0 (ja, nič!) |
| Potenca z racionalnim eksponentom | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Sinus | f(x) = greh x | cos x |
| Kosinus | f(x) = cos x | − greh x(minus sinus) |
| Tangenta | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Kotangens | f(x) = ctg x | − 1/greh 2 x |
| Naravni logaritem | f(x) = dnevnik x | 1/x |
| Poljubni logaritem | f(x) = dnevnik a x | 1/(x ln a) |
| Eksponentna funkcija | f(x) = e x | e x(nič spremenjeno) |
Če elementarno funkcijo pomnožimo s poljubno konstanto, potem zlahka izračunamo tudi odvod nove funkcije:
(C · f)’ = C · f ’.
Na splošno lahko konstante vzamemo iz predznaka odvoda. Na primer:
(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Očitno je, da lahko elementarne funkcije dodajamo druga drugi, množimo, delimo - in še veliko več. Tako se bodo pojavile nove funkcije, ne več posebej elementarne, ampak tudi diferencirane po določenih pravilih. Ta pravila so obravnavana spodaj.
Odvod vsote in razlike
Naj bodo funkcije podane f(x) In g(x), katerih izpeljanke so nam znane. Na primer, lahko vzamete osnovne funkcije, ki smo jih obravnavali zgoraj. Nato lahko najdete odvod vsote in razlike teh funkcij:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Torej je odvod vsote (razlike) dveh funkcij enak vsoti (razliki) odvodov. Lahko je več terminov. Na primer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Strogo gledano, v algebri ni pojma "odštevanje". Obstaja koncept "negativnega elementa". Zato razlika f − g lahko prepišemo kot vsoto f+ (−1) g, nato pa ostane samo ena formula - odvod vsote.
f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
funkcija f(x) je vsota dveh osnovnih funkcij, torej:
f ’(x) = (x 2 + greh x)’ = (x 2)’ + (greh x)’ = 2x+ cos x;
Podobno sklepamo za funkcijo g(x). Samo že obstajajo trije izrazi (z vidika algebre):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
odgovor:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Izpeljanka izdelka
Matematika je logična veda, zato mnogi verjamejo, da če je odvod vsote enak vsoti odvodov, potem odvod produkta stavka">enako zmnožku izpeljank. Ampak jebi se! Izpeljanka zmnožka se izračuna po popolnoma drugi formuli. In sicer:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Formula je preprosta, a se nanjo pogosto pozablja. Pa ne samo šolarji, tudi študenti. Rezultat so nepravilno rešeni problemi.
Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .
funkcija f(x) je produkt dveh osnovnih funkcij, zato je vse preprosto:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− greh x) = x 2 (3 cos x − x greh x)
funkcija g(x) prvi množitelj je nekoliko bolj zapleten, vendar se splošna shema ne spremeni. Očitno prvi faktor funkcije g(x) je polinom in njegov odvod je odvod vsote. Imamo:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
odgovor:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x greh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Upoštevajte, da je v zadnjem koraku izpeljanka faktorizirana. Formalno tega ni treba storiti, vendar večina izpeljank ni izračunana sama od sebe, temveč za pregled funkcije. To pomeni, da bo nadalje odvod izenačen z nič, določeni bodo njegovi predznaki itd. Za tak primer je bolje imeti izraz faktoriziran.
Če obstajata dve funkciji f(x) In g(x), in g(x) ≠ 0 na množici, ki nas zanima, lahko definiramo novo funkcijo h(x) = f(x)/g(x). Za takšno funkcijo lahko najdete tudi izpeljanko:
Ni slabo, kajne? Od kod minus? zakaj g 2? In takole! To je ena najbolj zapletenih formul - ne morete je ugotoviti brez steklenice. Zato ga je bolje preučiti s posebnimi primeri.
Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij:
Števec in imenovalec vsakega ulomka vsebujeta elementarne funkcije, zato potrebujemo le formulo za odvod količnika:
V skladu s tradicijo faktorizirajmo števec - to bo zelo poenostavilo odgovor:
Kompleksna funkcija ni nujno pol kilometra dolga formula. Na primer, dovolj je, da prevzamete funkcijo f(x) = greh x in zamenjajte spremenljivko x, recimo, naprej x 2 + ln x. Se bo izšlo f(x) = greh ( x 2 + ln x) - to je kompleksna funkcija. Ima tudi izpeljanko, vendar je ne bo mogoče najti z zgoraj obravnavanimi pravili.
Kaj naj naredim? V takih primerih pomaga zamenjava spremenljivke in formule za odvod kompleksne funkcije:
f ’(x) = f ’(t) · t', če x se nadomesti z t(x).
Praviloma je situacija z razumevanjem te formule še bolj žalostna kot z izpeljanko količnika. Zato ga je tudi bolje razložiti na konkretnih primerih s podrobnim opisom vsakega koraka.
Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = greh ( x 2 + ln x)
Upoštevajte, da če je v funkciji f(x) namesto izraza 2 x+ 3 bo enostavno x, potem dobimo elementarno funkcijo f(x) = e x. Zato naredimo zamenjavo: naj 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Odvod kompleksne funkcije iščemo po formuli:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
In zdaj - pozor! Izvedemo obratno zamenjavo: t = 2x+ 3. Dobimo:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Zdaj pa poglejmo funkcijo g(x). Očitno ga je treba zamenjati x 2 + ln x = t. Imamo:
g ’(x) = g ’(t) · t’ = (greh t)’ · t' = cos t · t ’
Povratna zamenjava: t = x 2 + ln x. Nato:
g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).
To je vse! Kot je razvidno iz zadnjega izraza, se je celoten problem zmanjšal na izračun vsote derivata.
odgovor:
f ’(x) = 2 · e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) ker ( x 2 + ln x).
Zelo pogosto v svojih učnih urah namesto izraza "izpeljanka" uporabljam besedo "prime". Na primer, udarec vsote je enak vsoti udarcev. Je to bolj jasno? No, to je dobro.
Tako se izračun derivata zmanjša na to, da se znebimo teh istih udarcev v skladu z zgoraj obravnavanimi pravili. Kot zadnji primer se vrnimo k odpeljani moči z racionalnim eksponentom:
(x n)’ = n · x n − 1
Malo ljudi ve, da v vlogi n lahko tudi delno število. Na primer, koren je x 0,5. Kaj pa, če je pod korenino kaj elegantnega? Spet bo rezultat kompleksna funkcija - takšne konstrukcije radi dajejo na testih in izpitih.
Naloga. Poiščite odvod funkcije:
Najprej zapišimo koren kot potenco z racionalnim eksponentom:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Zdaj naredimo zamenjavo: naj x 2 + 8x − 7 = t. Izpeljanko najdemo po formuli:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.
Naredimo obratno zamenjavo: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:
f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Za konec pa nazaj h koreninam:
V tej lekciji nadaljujemo s preučevanjem odvodov funkcij in preidemo na naprednejšo temo, in sicer odvode produktov in količnike. Če ste gledali prejšnjo lekcijo, ste verjetno ugotovili, da smo upoštevali le najpreprostejše konstrukcije, in sicer odvod potenčne funkcije, vsoto in razliko. Zlasti smo se naučili, da je odvod vsote enak njuni vsoti, odvod razlike pa njuni razliki. Na žalost bodo formule v primeru količnikov in produktnih derivatov veliko bolj zapletene. Začeli bomo s formulo za odvod produkta funkcij.
Odvodi trigonometričnih funkcij
Za začetek naj naredim majhno lirično digresijo. Dejstvo je, da bomo poleg standardne potenčne funkcije - $y=((x)^(n))$, v tej lekciji srečali tudi druge funkcije, in sicer $y=\sin x$, pa tudi $ y=\ cos x$ in druga trigonometrija - $y=tgx$ in seveda $y=ctgx$.
Če vsi popolnoma dobro poznamo odvod potenčne funkcije, in sicer $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, potem kot za trigonometrične funkcije, je treba omeniti posebej. Zapišimo:
\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
Te formule pa dobro poznate, gremo naprej.
Kaj je izpeljanka izdelka?
Prvič, najpomembnejša stvar: če je funkcija produkt dveh drugih funkcij, na primer $f\cdot g$, bo izpeljanka te konstrukcije enaka naslednjemu izrazu:
Kot lahko vidite, je ta formula bistveno drugačna in bolj zapletena od formul, ki smo si jih ogledali prej. Na primer, odvod vsote se izračuna na preprost način - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$ ali odvod razlika, ki je prav tako izračunana na elementaren način - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.
Poskusimo uporabiti prvo formulo za izračun odvodov obeh funkcij, ki sta nam podani v nalogi. Začnimo s prvim primerom:
Očitno naslednja konstrukcija deluje kot produkt ali natančneje kot množitelj: $((x)^(3))$, lahko jo obravnavamo kot $f$, in $\left(x-5 \right) $ lahko obravnavamo kot $g$. Potem bo njihov produkt natanko produkt dveh funkcij. Odločamo se:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ desno))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \desno)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].
Zdaj pa si podrobneje oglejmo vsakega od naših izrazov. Vidimo, da tako prvi kot drugi člen vsebujeta stopnjo $x$: v prvem primeru je $((x)^(2))$, v drugem pa $((x)^(3)) $. Vzemimo najmanjšo stopnjo iz oklepajev in pustimo v oklepajih:
\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \desno)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\levo(3\cdot 1\levo(x-5 \desno)+x \desno)= \\& =((x)^(2))\levo(3x-15+x \desno)=( (x)^(2))(4x-15)\\\konec(poravnaj)\]
To je to, našli smo odgovor.
Vrnimo se k našim težavam in poskusimo rešiti:
Torej, prepišimo:
Ponovno ugotavljamo, da govorimo o zmnožku dveh funkcij: $x$, ki jo lahko označimo z $f$, in $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, ki jo lahko označimo z $g$.
Tako imamo spet pred seboj produkt dveh funkcij. Za iskanje odvoda funkcije $f\left(x \right)$ bomo ponovno uporabili našo formulo. Dobimo:
\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \desno)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]
Odgovor je bil najden.
Zakaj faktorizirati izvedene finančne instrumente?
Pravkar smo uporabili nekaj zelo pomembnih matematičnih dejstev, ki sama po sebi niso povezana z izpeljankami, a brez njihovega poznavanja vse nadaljnje preučevanje te teme preprosto nima smisla.
Prvič, ko smo rešili prvi problem in smo se že znebili vseh znakov izpeljank, smo iz nekega razloga začeli faktorizirati ta izraz.
Drugič, pri reševanju naslednjega problema smo večkrat prešli od korena na potenco z racionalnim eksponentom in nazaj, pri tem pa smo uporabili formulo 8.-9. razreda, ki bi jo bilo vredno ponoviti posebej.
Glede faktorizacije - zakaj so potrebni vsi ti dodatni napori in transformacije? Pravzaprav, če težava preprosto pravi "poišči izpeljanko funkcije", potem ti dodatni koraki niso potrebni. Vendar pa pri resničnih težavah, ki vas čakajo na vseh vrstah izpitov in testov, preprosto iskanje izpeljanke pogosto ni dovolj. Dejstvo je, da je odvod le orodje, s katerim lahko ugotovite na primer naraščanje ali upadanje funkcije, za to pa morate rešiti enačbo in jo faktorizirati. In tukaj bo ta tehnika zelo primerna. In na splošno je veliko bolj priročno in prijetno delati s funkcijo, faktorizirano v prihodnosti, če so potrebne kakršne koli transformacije. Zato pravilo št. 1: če je derivat mogoče faktorizirati, je to tisto, kar morate storiti. In takoj pravilo št. 2 (v bistvu je to snov za 8.-9. razred): če problem vsebuje koren n-te stopnje in je koren očitno večji od dveh, potem lahko ta koren nadomestimo z navadno stopnjo z racionalnim eksponentom in v eksponentu se bo pojavil ulomek, kjer n― prav ta stopnja ― bo v imenovalcu tega ulomka.
Seveda, če je pod korenom kakšna diploma (v našem primeru je to diploma k), potem ne gre nikamor, ampak preprosto konča v števcu prav te stopnje.
Zdaj, ko vse to razumete, se vrnimo k odpeljankam produkta in izračunajmo še nekaj enačb.
Toda preden preidem neposredno na izračune, bi vas rad spomnil na naslednje vzorce:
\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Oglejmo si prvi primer:
Ponovno imamo produkt dveh funkcij: prva je $f$, druga je $g$. Naj vas spomnim na formulo:
\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]
Odločimo se:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \desno) \\\end(align)\]
Preidimo na drugo funkcijo:
Še enkrat, $\left(3x-2 \right)$ je funkcija $f$, $\cos x$ je funkcija $g$. Skupaj bo odvod produkta dveh funkcij enak:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ levo(\cos x \desno))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\levo(3x-2 \desno)\cdot \levo(-\sin x \desno)=3\ cos x-\levo(3x-2 \desno)\cdot \sin x \\\end(poravnaj)\]
\[(y)"=((\levo(((x)^(2))\cdot \cos x \desno))^(\prime ))+((\levo(4x\sin x \desno)) ^(\prime ))\]
Zapišimo ločeno:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]
Tega izraza ne faktoriziramo, ker to še ni končni odgovor. Zdaj moramo rešiti drugi del. Zapišimo:
\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]
Zdaj pa se vrnimo k prvotni nalogi in vse skupaj združimo v eno strukturo:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]
To je to, to je končni odgovor.
Pojdimo na zadnji primer - ta bo najbolj zapleten in najbolj obsežen v smislu izračunov. Torej, primer:
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]
Štejemo vsak del posebej:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Če se vrnemo k prvotni funkciji, izračunajmo njen derivat kot celoto:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
To je pravzaprav vse, kar sem vam želel povedati o izpeljanih delih. Kot lahko vidite, glavna težava formule ni v tem, da si jo zapomnimo, ampak v tem, da vključuje precej veliko število izračunov. Ampak to je v redu, ker zdaj prehajamo na izpeljanko količnika, kjer se bomo morali zelo potruditi.
Kaj je odvod količnika?
Torej, formula za odvod količnika. To je morda najbolj zapletena formula v šolskem tečaju o derivatih. Recimo, da imamo funkcijo v obliki $\frac(f)(g)$, kjer sta $f$ in $g$ tudi funkciji, iz katerih lahko prav tako odstranimo praštevilo. Nato se izračuna po naslednji formuli:
Števec nekoliko spominja na formulo za odvod zmnožka, le da je med členoma znak minus, imenovalcu pa je dodan tudi kvadrat prvotnega imenovalca. Poglejmo, kako to deluje v praksi:
Poskusimo rešiti:
\[(f)"=((\levo(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \desno))^(\prime ))=\frac(((\left (((x)^(2))-1 \desno))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \desno)-\levo(((x)^(2))-1 \desno )\cdot ((\levo(x+2 \desno))^(\prime )))(((\levo(x+2 \desno))^(2)))\]
Predlagam, da izpišete vsak del posebej in zapišete:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ desno))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \desno))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\konec(poravnaj)\]
Prepišimo naš izraz:
\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \desno)-\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 1) (((\levo(x+2 \desno))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\levo(x+2 \desno))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\levo(x+2 \desno) ))^(2))) \\\end(align)\]
Našli smo odgovor. Preidimo na drugo funkcijo:
Sodeč po dejstvu, da je njegov števec preprosto ena, bodo izračuni tukaj nekoliko preprostejši. Torej, zapišimo:
\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \desno))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \desno)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \desno))^(\prime )))(( (\levo(((x)^(2))+4 \desno))^(2)))\]
Izračunajmo vsak del primera posebej:
\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]
Prepišimo naš izraz:
\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \desno)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \desno))^(2)))=-\frac(2x)(((\levo(((x)^(2))+4 \desno))^(2)))\]
Našli smo odgovor. Po pričakovanjih se je izkazalo, da je količina računanja bistveno manjša kot pri prvi funkciji.
Kakšna je razlika med poimenovanji?
Pozornim študentom se verjetno že poraja vprašanje: zakaj v nekaterih primerih funkcijo označimo kot $f\left(x \desno)$, v drugih primerih pa preprosto napišemo $y$? Pravzaprav z vidika matematike ni prav nobene razlike - pravico imate uporabljati tako prvo oznako kot drugo in pri izpitih ali testih ne bo nobenih kazni. Za tiste, ki jih še zanima, bom pojasnil, zakaj avtorji učbenikov in nalog v nekaterih primerih pišejo $f\left(x \right)$, v drugih (veliko pogosteje) pa preprosto $y$. Dejstvo je, da z zapisom funkcije v obliki \ tistim, ki berejo naše izračune, implicitno namignemo, da govorimo ravno o algebraični interpretaciji funkcionalne odvisnosti. To pomeni, da obstaja določena spremenljivka $x$, upoštevamo odvisnost od te spremenljivke in jo označimo z $f\left(x \right)$. Hkrati, ko bo videl takšno oznako, bo tisti, ki bere vaše izračune, na primer inšpektor, podzavestno pričakoval, da ga v prihodnosti čakajo samo algebraične transformacije - brez grafov in brez geometrije.
Po drugi strani pa z zapisom v obliki \, tj. z označevanjem spremenljivke z eno samo črko, takoj damo vedeti, da nas v prihodnje zanima geometrijska interpretacija funkcije, tj. zanima nas najprej vse, v svojem grafu. Zato ima bralec pravico pričakovati grafične izračune, torej grafe, konstrukcije ipd., v nobenem primeru pa analitične transformacije.
Prav tako bi vas rad opozoril na eno značilnost zasnove nalog, ki jih obravnavamo danes. Marsikateremu študentu se zdi, da podajam preveč podrobne izračune, mnoge pa bi lahko preskočili ali preprosto rešili v glavi. Vendar pa vam bo ravno tako podroben zapis omogočil, da se znebite žaljivih napak in znatno povečate odstotek pravilno rešenih nalog, na primer v primeru samopriprave na teste ali izpite. Če torej še vedno niste prepričani v svoje sposobnosti, če šele začenjate preučevati to temo, ne hitite - podrobno opišite vsak korak, zapišite vsak dejavnik, vsako potezo in zelo kmalu se boste naučili bolje reševati takšne primere kot mnogi šolski učitelji. Upam, da je to jasno. Naštejmo še nekaj primerov.
Več zanimivih nalog
Tokrat, kot vidimo, je trigonometrija prisotna v izračunanih derivatih. Zato naj vas spomnim na naslednje:
\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]
Seveda ne gre brez izpeljanke količnika, in sicer:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Oglejmo si prvo funkcijo:
\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\konec(poravnaj)\]
Tako smo našli rešitev za ta izraz.
Pojdimo k drugemu primeru:
Očitno bo njen odvod bolj zapleten, že zato, ker je trigonometrija prisotna tako v števcu kot v imenovalcu te funkcije. Odločamo se:
\[(y)"=((\levo(\frac(x\sin x)(\cos x) \desno))^(\prime ))=\frac(((\levo(x\sin x \desno) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]
Upoštevajte, da imamo izpeljanko izdelka. V tem primeru bo enako:
\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ desno))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]
Vrnimo se k našim izračunom. Zapišemo:
\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \desno)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \desno) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\levo(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \desno))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\konec(poravnaj)\]
To je vse! Računali smo.
Kako zreducirati odvod količnika na preprosto formulo za odvod produkta?
In tukaj bi rad podal eno zelo pomembno pripombo glede trigonometričnih funkcij. Dejstvo je, da naša izvirna konstrukcija vsebuje izraz v obliki $\frac(\sin x)(\cos x)$, ki ga je mogoče preprosto nadomestiti z $tgx$. Tako reduciramo odvod količnika na enostavnejšo formulo za odvod produkta. Ponovno izračunajmo ta primer in primerjajmo rezultate.
Zdaj moramo torej upoštevati naslednje:
\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
Prepišimo prvotno funkcijo $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ ob upoštevanju tega dejstva. Dobimo:
Preštejmo:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]
Zdaj, če primerjamo dobljeni rezultat s tistim, kar smo dobili prej, ko smo izračunali na drugačen način, potem bomo prepričani, da smo prejeli enak izraz. Torej, ne glede na to, v katero smer gremo pri izračunu derivata, če je vse izračunano pravilno, bo odgovor enak.
Pomembne nianse pri reševanju težav
Na koncu bi vam rad povedal še eno subtilnost, povezano z izračunom derivata količnika. To, kar vam bom zdaj povedal, ni bilo v izvirnem scenariju video lekcije. Nekaj ur pred snemanjem pa sem se učil z enim od mojih študentov in smo ravno razpravljali o temi količnikov odvodov. In kot se je izkazalo, veliko študentov tega ne razume. Torej, recimo, da moramo izračunati potezo odstranitve naslednje funkcije:
Načeloma na prvi pogled ni nič nadnaravnega. Vendar pa lahko v procesu izračuna naredimo veliko neumnih in žaljivih napak, o katerih bi zdaj rad razpravljal.
Torej izračunamo ta derivat. Najprej opazimo, da imamo izraz $3((x)^(2))$, zato je primerno, da se spomnimo naslednje formule:
\[((\left(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Poleg tega imamo izraz $\frac(48)(x)$ - obravnavali ga bomo preko izpeljanke količnika, in sicer:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Torej, odločimo se:
\[(y)"=((\levo(\frac(48)(x) \desno))^(\prime ))+((\levo(3((x)^(2)) \desno)) ^(\prime ))+10(0)"\]
S prvim terminom ni težav, glej:
\[((\levo(3((x)^(2)) \desno))^(\prime ))=3\cdot ((\levo(((x)^(2)) \desno))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]
Toda s prvim členom, $\frac(48)(x)$, morate delati ločeno. Dejstvo je, da veliko študentov zamenjuje situacijo, ko morajo najti $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ in ko morajo najti $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. To pomeni, da se zmedejo, ko je konstanta v imenovalcu in ko je konstanta v števcu, oziroma, ko je spremenljivka v števcu ali v imenovalcu.
Začnimo s prvo možnostjo:
\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]
Po drugi strani pa, če poskusimo narediti isto z drugim ulomkom, bomo dobili naslednje:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(align)\]
Vendar bi lahko isti primer izračunali drugače: na stopnji, kjer smo prešli na odvod količnika, lahko $\frac(1)(x)$ obravnavamo kot potenco z negativnim eksponentom, tj. dobimo naslednje :
\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]
In tako in tako smo prejeli enak odgovor.
Tako smo se znova prepričali o dveh pomembnih dejstvih. Prvič, isti derivat je mogoče izračunati na popolnoma različne načine. Na primer, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ lahko obravnavamo kot odvod količnika in kot odvod potenčne funkcije. Še več, če so vsi izračuni izvedeni pravilno, bo odgovor vedno enak. Drugič, pri izračunu derivatov, ki vsebujejo tako spremenljivko kot konstanto, je bistveno pomembno, kje se spremenljivka nahaja - v števcu ali v imenovalcu. V prvem primeru, ko je spremenljivka v števcu, dobimo preprosto linearno funkcijo, ki jo lahko enostavno izračunamo. In če je spremenljivka v imenovalcu, potem dobimo bolj zapleten izraz s spremljajočimi izračuni, podanimi prej.
Na tej točki se lahko šteje, da je lekcija končana, tako da, če ne razumete ničesar o derivatih količnika ali produkta in na splošno, če imate kakršna koli vprašanja o tej temi, ne oklevajte - pojdite na mojo spletno stran , pišite, pokličite in zagotovo bom poskusil, ali vam lahko pomagam.
Izpeljanke same po sebi niso kompleksna tema, so pa zelo obsežne in to, kar proučujemo zdaj, bomo uporabili v prihodnosti pri reševanju kompleksnejših problemov. Zato je bolje, da vse nesporazume v zvezi z izračunom odvodov količnika ali zmnožka ugotovite takoj, že zdaj. Ne takrat, ko so ogromna snežna kepa nesporazumov, ampak takrat, ko so majhna teniška žogica, s katero se je zlahka spopasti.
Reševanje fizikalnih problemov ali primerov v matematiki je popolnoma nemogoče brez poznavanja odvoda in metod za njegov izračun. Odvod je eden najpomembnejših pojmov v matematični analizi. Odločili smo se, da današnji članek posvetimo tej temeljni temi. Kaj je odvod, kakšen je njegov fizikalni in geometrijski pomen, kako izračunati odvod funkcije? Vsa ta vprašanja je mogoče združiti v eno: kako razumeti izpeljanko?
Geometrijski in fizikalni pomen odvoda
Naj bo funkcija f(x) , določene v določenem intervalu (a, b) . Točki x in x0 pripadata temu intervalu. Ko se x spremeni, se spremeni tudi sama funkcija. Spreminjanje argumenta - razlika v njegovih vrednostih x-x0 . Ta razlika je zapisana kot delta x in se imenuje prirast argumenta. Sprememba ali povečanje funkcije je razlika med vrednostmi funkcije na dveh točkah. Opredelitev derivata:
Odvod funkcije v točki je meja razmerja med prirastkom funkcije v dani točki in prirastkom argumenta, ko slednji teži k nič.
Sicer se lahko zapiše takole:
Kakšen smisel ima iskanje takšne meje? In to je:
odvod funkcije v točki je enak tangensu kota med osjo OX in tangento na graf funkcije v dani točki.
Fizični pomen derivata: odvod poti po času je enak hitrosti premokotnega gibanja.
Dejansko že od šolskih dni vsi vedo, da je hitrost posebna pot x=f(t) in čas t . Povprečna hitrost v določenem časovnem obdobju:
Ugotoviti hitrost gibanja v določenem trenutku t0 morate izračunati mejo:
Prvo pravilo: nastavite konstanto
Konstanto lahko vzamemo iz predznaka izpeljanke. Poleg tega je to treba storiti. Pri reševanju primerov v matematiki vzemite pravilo - Če lahko izraz poenostavite, ga obvezno poenostavite .
Primer. Izračunajmo izpeljanko:
Drugo pravilo: odvod vsote funkcij
Odvod vsote dveh funkcij je enak vsoti odvodov teh funkcij. Enako velja za odvod razlike funkcij.
Ne bomo podajali dokaza tega izreka, ampak raje razmislimo o praktičnem primeru.
Poiščite odvod funkcije:
Tretje pravilo: odvod produkta funkcij
Odvod produkta dveh diferenciabilnih funkcij se izračuna po formuli:
Primer: poiščite odvod funkcije:
rešitev: 
Tukaj je pomembno govoriti o izračunu odvodov kompleksnih funkcij. Odvod kompleksne funkcije je enak zmnožku odvoda te funkcije glede na vmesni argument in odvoda vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.
V zgornjem primeru naletimo na izraz:
V tem primeru je vmesni argument 8x na peto potenco. Da bi izračunali odvod takega izraza, najprej izračunamo odvod zunanje funkcije glede na vmesni argument, nato pa pomnožimo z odvodom samega vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.
Četrto pravilo: odvod kvocienta dveh funkcij
Formula za določanje odvoda količnika dveh funkcij:
Poskušali smo govoriti o derivatih za lutke iz nič. Ta tema ni tako enostavna, kot se zdi, zato pozor: v primerih so pogosto pasti, zato bodite previdni pri izračunu izpeljank.
Z morebitnimi vprašanji o tej in drugih temah se lahko obrnete na študentski servis. V kratkem času vam bomo pomagali rešiti najtežji test in razumeti naloge, tudi če še nikoli niste računali z izpeljankami.
