Zgjidhja e ekuacioneve me një parametër në matematikë. Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve me një parametër Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve me një parametër

2.4.4. Sisteme ekuacionesh me parametra

Pyetje për vetëkontroll

Dokumente të ngjashme

Shënim. Në shembullin e dhënë, llogaritja e të gjithë përcaktuesve përfundoi me një paraqitje në formën e një produkti të faktorëve, njëri prej të cilëve (13) u reduktua gjatë pjesëtimit. Kjo situatë është shumë e zakonshme. Prandaj, nuk ka nevojë të nxitoni për të shumëfishuar faktorët, megjithëse më shpesh ata nuk anulojnë.

Problemi 4.4. Zgjidh sisteme ekuacionesh duke përdorur rregullën e Cramer-it:

Zgjidhja e problemeve të mësipërme tregon se formulat e Cramer përfaqësojnë një metodë të unifikuar dhe të përshtatshme për gjetjen e zgjidhjeve të sistemeve të ekuacioneve lineare.

Shënim: Përdorimi i formulave të Cramer-it thjeshtohet shumë nëse duhet të gjeni vetëm një nga të panjohurat: në këtë rast, ju duhet vetëm të numëroni dy përcaktues.

Më sipër, sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare me koeficientë fiks për të panjohurat dhe anët e djathta të ekuacioneve u morën parasysh në të gjithë. Në problemet praktike, shumë shpesh këta koeficientë dhe vlerat e anëve të djathta nuk dihen saktë. Prandaj, është e nevojshme të analizohet ndikimi i parametrave të tillë në zgjidhjen e sistemeve.

Shembulli 4.5. Të hetojë varësinë e zgjidhjes nga një sistem ekuacionesh

3 x + 8 y = a5 x + 9 y = b

nga parametrat a dhe b.

Këtu, vetëm anët e djathta të ekuacioneve varen nga parametrat. Sepse

							27 − 40 = − 13 ≠ 0

Për të gjetur një zgjidhje, mund të përdorni formulat e Cramer. Ne kemi:

∆1				9a − 8b,∆ 2				3b−5a

x = x

= ∆ 1

9a−8b

8b−9a

Y=x

∆ 2 =

5a−3b

− 13

Me zëvendësim sigurohemi që zgjidhja që rezulton është e saktë:

8b−9a

5a−3b

a (− 27 + 40)

B(24 - 24)

8b−9a

5a−3b

a (− 45 + 45)

− 27)

Në veçanti, nëse a = 11, b = 14 marrim: x =

8×14 − 9×11

1 dhe y = 1.

y(a, b)

x(a, b)

Kështu, çdo çift i parametrave a dhe b i korrespondon një çifti unik të numrave x dhe y që plotëson sistemin e caktuar të ekuacioneve. Kjo do të thotë se zgjidhja e sistemit të ekuacioneve është një çift i renditur dhe dy funksione të dy ndryshoreve (parametrat a dhe b). Të dy funksionet janë të përcaktuara për çdo vlerë të këtyre parametrave dhe varen në mënyrë lineare nga variablat e pavarur a dhe b. Përveç kësaj, x po rritet në mënyrë monotone

funksioni i shkrirjes b dhe funksioni monoton zvogëlues a,			- anasjelltas,
një funksion rritës a dhe një funksion monoton në rënie b.
Problemi 4.5. Gjeni zgjidhje për sistemet e ekuacioneve
8 x + 5 y = 2 a + 1	4 x + 9 y = a + b	9x + 4 y

3 x + 2 y = a	3 x + 8 y = 3 a − b	8 x + 3 vjet

dhe të eksplorojnë varësinë e zgjidhjes së tyre nga parametrat a dhe b. Rekomandim. Vizatoni grafikët e zgjidhjeve rezultuese x (a, b) dhe y (a, b)

si funksione të parametrave të ndryshores a dhe b. Shpjegoni pse në të gjitha problemat zgjidhjet varen në mënyrë lineare nga parametrat a dhe b.

Shembulli 4.6. Të hetojë varësinë e zgjidhjes nga një sistem ekuacionesh

		(a + 3) x + 2 ay = 5
nga parametrat a dhe b.			x + 5 y = b
nga parametrat a dhe b.
Në këtë shembull, koeficientët për të panjohurat varen nga parametri
a , dhe anët e djathta janë nga parametri b .
Le të gjejmë përcaktuesin e matricës së koeficientit për të panjohurat:
	a + 3 2		5(a + 3) − 2a = 3(a + 5)
	a + 3 2		5(a + 3) − 2a = 3(a + 5)

Ky përcaktues nuk është i barabartë me zero vetëm kur a ≠ − 5. Prandaj, formulat e Cramer mund të përdoren vetëm kur a ≠ − 5. Në këtë rast:

∆1 =	25 − 2ab , ∆ 2 =	a+3	Ab + 3b − 5
∆1 =	25 − 2ab , ∆ 2 =	a+3	Ab + 3b − 5

Le të shqyrtojmë veçmas rastin a = − 5. Atëherë sistemi origjinal është:

− 2 x −10 y = 5 x +5 y = b

− 5 − c x = c, y = 2

Sigurisht, ka arbitraritet në zgjedhjen e vlerës së ndonjë prej të panjohurave, dhe zgjidhja mund të shkruhet edhe në formën:

x = − 5 2 − 5 c , y = c

Kështu, varësia nga parametri i koeficientëve për të panjohurat e sistemit origjinal mund të shkaktojë mungesën e një zgjidhjeje ose praninë e një numri të pafund zgjidhjesh. Fakti i zbuluar është një përgjithësim i asaj që dihej më parë për një ekuacion ax = b dhe për sistemet e dy ekuacioneve lineare me dy të panjohura.

Vërejtje 1. Futja e konstantës c në zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh i ngjan arbitraritetit në zgjedhjen e konstantës së integrimit.

Shënim 2. Shembulli i shqyrtuar tregon se, si për një ekuacion, për sistemet algjebrike lineare me një numër të madh ekuacionesh dhe të panjohurash, janë të mundshme vetëm tre raste të ndryshme: një zgjidhje e vetme, pa zgjidhje ose pafundësisht shumë zgjidhje.

Problemi 4.6. Eksploroni zgjidhjet e sistemit të ekuacioneve:

4 x + 5 ay = 2 a	4 x + 5 ay = 2 a	4 x + 5 ay = 2 a

8 x + 10 vjet	8 x + 10 vjet	8 x + 10 y = b

Problemi 4.7. Dilni me sistemin tuaj të dy ekuacioneve algjebrike me dy të panjohura dhe dy parametra dhe studioni atë në varësi të vlerave të parametrave.

1) Cila është minorja e një elementi përcaktor?

2) Cili është ndryshimi midis plotësuesit algjebrik dhe elementit të vogël të një përcaktori?

3) Çfarë është një matricë adjoint?

4) Si të gjeni matricën e bashkuar për një matricë të caktuar?

5) Cila është rendi i matricës së bashkuar?

6) Në cilin rast matrica e anasjelltë nuk ekziston?

7) Cila matricë quhet josingulare?

8) Në çfarë kushtesh mund të përdoren formulat e Cramer?

9) Cila është zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare?

10) Cilët përcaktues përfshihen në formulat e Cramer-it?

11) Kur varen përcaktorët nga parametrat?

12) A mund të jetë produkti i matricës së bashkuar dhe matricës origjinale një matricë skalare?

13) Si ndikon rirregullimi i faktorëve në rezultatin kur shumëzohet matrica e bashkuar dhe ajo origjinale?

14) Cilat janë formulat e Cramer?

15) Në cilat kushte mund të gjendet një zgjidhje për një sistem ekuacionesh algjebrike lineare duke përdorur rregullën (formula) të Cramer-it?

Institucioni arsimor autonom komunal Gjimnazi

Seksioni i matematikës

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve me një parametër

Puna e kryer nga: Nxënësi i klasës së 11-të "A"

Chirkova Elizaveta Vasilievna

Drejtues: mësues i matematikës

Batalova Elena Vladimirovna

Çajkovski, 2012

Tabela e përmbajtjes

Hyrje
I. Pjesa teorike
II. Pjesa praktike
konkluzioni

Hyrje

Është e rëndësishme në jetën tonë të marrim një arsim të lartë. Dhe për të qenë i suksesshëm duhet të diplomoheni në një institucion të arsimit të lartë. Por para kësaj është shumë e rëndësishme të kaloni Provimin e Unifikuar të Shtetit. Dhe vetëm përgatitja shumë e mirë për të do t'ju ndihmojë të kaloni Provimin e Unifikuar të Shtetit. Shumica e pikëve në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë mund të merren për pjesën C. Dhe në pjesën C mund të ketë probleme të kompleksitetit të shtuar me një ndryshore.

Në punën time kërkimore unë konsideroj vetëm sistemet me një parametër.

Problemi: Problemet me parametrat shkaktojnë vështirësi të mëdha për studentët. Kjo për faktin se zgjidhja e problemeve të tilla kërkon jo vetëm njohuri për vetitë e funksioneve dhe ekuacioneve, aftësinë për të kryer transformime algjebrike, por edhe një kulturë të lartë logjike dhe teknika të mira kërkimore.

Fusha e objektit të studimit: zona e stereometrisë.

Lënda e hulumtimit: sistemet me një parametër.

Synimi: Gjetja e metodave dhe metodave për zgjidhjen e sistemeve me një parametër; identifikimi i një algoritmi veprimesh.

Hipoteza: Sistemet me një parametër të panjohur mund të zgjidhen nëse dini metoda dhe metoda të ndryshme për zgjidhjen e sistemit.

Në lidhje me qëllimin dhe hipotezën e paraqitur, u formuluan sa vijon: detyrat:

1. Studimi i literaturës shkencore për këtë temë.

2. Studimi i koncepteve si: cilindër, kon, top, ndërtimi i tyre.

3. Kërko për probleme me organet e revolucionit në literaturë.

4. Zgjidhja e problemeve të gjetura në mënyra të ndryshme.

Metodat e hulumtimit:

1. Analiza e burimeve letrare dhe të internetit.

2. Modelimi.

3. Krahasimi.

4. Metodat e vizualizimit të të dhënave.

5. Përshkrimi.

I. Pjesa teorike

Funksioni linear: - ekuacioni i drejtëzës me koeficient këndor. Koeficienti këndor është i barabartë me tangjenten e këndit të pjerrësisë së vijës së drejtë me drejtimin pozitiv të boshtit .

Ekuacionet lineare me parametra

Ekuacioni

Nëse , ekuacioni ka e vetmja gjë zgjidhje.

Nëse , atë ekuacion nuk ka zgjidhje, Kur , dhe ekuacioni ka pafundësisht shumë zgjidhje, Kur .

Ndonjëherë në ekuacione disa koeficientë nuk jepen me vlera numerike specifike, por tregohen me shkronja.

Shembull:sëpatë+b=c.

Në këtë ekuacion X- e panjohur, a,b,c- koeficientët që mund të marrin vlera të ndryshme numerike. Quhen koeficientët e specifikuar në këtë mënyrë parametrave.

Sistemet e ekuacioneve lineare me një parametër zgjidhen me të njëjtat metoda bazë si sistemet e zakonshme të ekuacioneve: metoda e zëvendësimit, metoda e shtimit të ekuacioneve dhe metoda grafike. Njohja e interpretimit grafik të sistemeve lineare e bën të lehtë përgjigjen e pyetjes për numrin e rrënjëve dhe ekzistencën e tyre.

Zgjidhja e një ekuacioni me parametra do të thotë:

1. Tregoni në cilat vlera parametrash ka rrënjë ekuacioni dhe sa ka për vlera të ndryshme parametrash.

2. Gjeni të gjitha shprehjet për rrënjët dhe tregoni për secilën prej tyre ato vlera të parametrave në të cilat kjo shprehje përcakton rrënjën e ekuacionit.

Le të kthehemi te ekuacioni i dhënë tashmë me parametra sëpatë+b=c dhe ne do ta zgjidhim.

rrënja e parametrit të ekuacionit të sistemit

Nëse A 0, atëherë. Nëse a= 0, atëherë marrim b=c, nëse kjo është e vërtetë, atëherë rrënja e ekuacionit është çdo numër real, por nëse b c, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje.

Kështu, kemi marrë: me A 0 , ; në a=0 Dhe b=c, X- çdo numër real; në a=0 Dhe b c, ekuacioni nuk ka rrënjë.

Në procesin e zgjidhjes së këtij ekuacioni, ne izoluam vlerën e parametrit a=0, në të cilën ndodh një ndryshim cilësor në ekuacion, ne do ta quajmë më tej këtë vlerë të parametrit "kontroll". Në varësi të ekuacionit që kemi, vlerat e "kontrollit" të parametrit gjenden ndryshe. Le të shqyrtojmë lloje të ndryshme ekuacionesh dhe të tregojmë një metodë për gjetjen e vlerave të parametrave "kontroll".

II. Pjesa praktike

Detyra nr. 1. A sistemi

në = X 2 - 2x 2,

X 2 + në 2 + A 2 = 2x + 2 të mëngjesit

ka zgjidhje?

Zgjidhje.

Le të rishkruajmë sistemin origjinal në formë

(X - 1 2 = në + 1,

(në - A) 2 + (X - 1 ) 2 = 1 .

Prej këtu arrijmë te sistemi

(në - A) 2 + në +1= 1

U + 1 ? 0 .

ose ndaj sistemit

në 2 + (1-2a) në + A 2 = 0,

në ? - 1 .

Duke zgjidhur ekuacionin e parë të këtij sistemi, gjejmë se në 1,2 = .

Kërkesa e problemit do të përmbushet nëse sistemi i fundit i përzier ka të paktën një zgjidhje. Vlerat e kërkimit A gjenden nga pabarazia

1, duke zgjidhur të cilin marrim A [ -2, ].

Përgjigje:A [ -2, ].

Detyra nr. 2. Në cilat vlera parametrash A Dhe b a ka sistemi pafundësisht shumë zgjidhje?

Zgjidhje.

Në planin koordinativ xOy grupi i pikave që plotësojnë ndonjë nga ekuacionet e sistemit janë drejtëza. Dhe atëherë zgjidhja për sistemin do të jenë pikat e kryqëzimit të këtyre linjave. Prandaj, sistemi origjinal do të ketë një numër të pafund zgjidhjesh nëse dhe vetëm nëse këto rreshta përkojnë. Në rastin e përgjithshëm, dy drejtëza të përcaktuara nga ekuacionet dhe përkojnë nëse, dhe (në ato kanë një pikë kryqëzimi, në dhe nuk kanë pika kryqëzimi). Rrjedhimisht, sistemi do të ketë pafundësisht shumë zgjidhje në rastin kur sistemi është konsistent

Duke zgjidhur sistemin, marrim, .

Përgjigje:, .

Detyra nr. 3. Në cilat vlera parametrash A për të paktën një vlerë të parametrit c, sistemi ka zgjidhje për çdo vlerë të parametrit b?

Zgjidhje.

Nëse e shumëzojmë ekuacionin e dytë me b dhe zbresim ekuacionin e parë të sistemit nga ekuacioni që rezulton, atëherë do të kemi

Nëse shumëzoni me b ekuacionin e parë dhe zbritni ekuacionin e dytë të sistemit nga ekuacioni që rezulton, pastaj

Kështu, sistemi origjinal është ekuivalent me sistemin

Në çdo rast, sistemi ka gjithmonë një zgjidhje unike. Nëse, atëherë sistemi do të ketë zgjidhje të ekuacionit

Duke e konsideruar atë si kuadratik në lidhje me parametrin c, arrijmë në përfundimin se do të ketë të paktën një zgjidhje nëse dhe, d.m.th. Nëse.

Kur të marrim parasysh ekuacionin

Në këtë rast, duke zgjidhur pabarazinë ku, gjejmë se.

Përgjigje:.

Detyra nr. 4. Në cilat vlera parametrash A a ka sistemi katër zgjidhje?

Zgjidhje.

Duke supozuar se e rishkruajmë sistemin në formë

Vini re tani se nëse një çift është një zgjidhje për një sistem, atëherë çifti është gjithashtu një zgjidhje për këtë sistem. Prandaj, nëse - zgjidhja e sistemit është e tillë që dhe, atëherë sistemi do të ketë tetë zgjidhje.

Kështu, sistemi origjinal do të ketë katër zgjidhje në dy rastet e mëposhtme: , ose.

Dhe pastaj, nëse; Se. Nëse ose, atëherë.

Përgjigje:, .

Detyra nr 5. A, për secilën prej të cilave sistemi ka një zgjidhje unike.

Zgjidhje.

Le të transformojmë sistemin origjinal:

Ekuacioni specifikon një çift të drejtëzave të kryqëzuara dhe.

specifikon pjesët e këtyre vijave të vendosura në të djathtë të rreshtit, d.m.th. rrezet D.B. Dhe C.E.(pa pika B Dhe ME), shih fig.

Ekuacioni përcakton një vijë të drejtë m me pjerrësi a duke kaluar nëpër një pikë. Gjeni të gjitha vlerat A, për secilën prej të cilave vija e drejtë m ka një pikë të vetme të përbashkët me bashkimin e rrezeve BD Dhe SE.

a) Drejtpërdrejt AB m asnjë rreze nuk do të kalojë BD, pa rreze SE.

b) Drejtpërdrejt AC jepet nga ekuacioni. Prandaj, kur drejt m do të kalojë traun BD, por nuk do të kalojë rreze SE.

c) Kur drejt m do të ndalojë rrezen BD, dhe rreze SE.

d) Së fundi, me një vijë të drejtë m do të kalojë vetëm traun SE, dhe kur nuk kalon një tra të vetëm BD, pa rreze SE.

Përgjigje:, .

Detyra nr. 6. Gjeni të gjitha vlerat e parametrave a, për secilën prej të cilave sistemi i ekuacioneve ka saktësisht dy zgjidhje.

Zgjidhje.

Le të zëvendësojmë ekuacionin e parë me diferencën, dhe të dytin me shumën e ekuacioneve origjinale:

Kur ekuacioni i dytë i sistemit, dhe, për rrjedhojë, i gjithë sistemi nuk ka zgjidhje. Kur marrim:

Është e qartë (shih figurën) se kur sistemi ka katër zgjidhje (koordinatat e pikave A, B, C Dhe D), dhe në - dy zgjidhje (koordinatat e pikave M Dhe N).

Përgjigje:.

konkluzioni

Brezi i ri ka në buzë emrin e mbretëreshës së të gjitha shkencave. Për disa nuk u jepet deri në nivelin më të lartë arsimor. Por të gjithë janë të detyruar të japin Provimin e Unifikuar të Shtetit në këtë lëndë. Dhe Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë nuk është aq i lehtë. Prandaj, ata që kanë një vit të mbetur, ose më pak, ose më shumë, tashmë kanë filluar të përgatiten. Dhe kjo konfirmon se tema e kërkimit që kam zgjedhur është relevante.

Në punën time kërkimore, të gjitha figurat janë të lidhura pazgjidhshmërisht me planimetrinë, por për të kuptuar këtë shkencë, duhet të dini për stereometrinë. Gjatë kryerjes së punës mësova koncepte dhe formula të rëndësishme për zgjidhjen e problemave me figura të caktuara: top, kon, cilindër. Në zgjidhjen e problemeve më ndihmuan teknika dhe metoda të tilla si: aftësia për të kryer veprime me forma gjeometrike; zgjidhjen e problemave planimetrike për gjetjen e madhësive gjeometrike (gjatësi, kënde, sipërfaqe); zgjidhja e problemeve më të thjeshta stereometrike për gjetjen e madhësive gjeometrike (gjatësi, kënde, sipërfaqe, vëllime); imazhi i figurave hapësinore; seksionet e një kubi, prizmi, piramide; zona e një trekëndëshi, rrethi, sipërfaqja e një koni, cilindri; vëllimi i një cilindri, koni, sfera. Problemet që zgjodha u zgjidhën duke përdorur koncepte për këtë apo atë figurë dhe formula, gjë që konfirmon hipotezën time.

1 + 4x 2 + x 3 = 21

1 + x 2 − x 3 = 2

2x 1 + x 2 + x 3 = 7

3x 2 − 3x3 = 1

1) 4x1 + 2x2 + x3 = 27

3) x1 + 4x2 − 5x3

3x2 + 2x3 = 19

− 2x2 + 3x3 = 7

4x1 + 10x2 − x3

Metodat standarde për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive. Algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni me një parametër. Domeni i ekuacionit. Zgjidhja e pabarazive me parametra. Ndikimi i parametrit në rezultat. Vlerat e vlefshme për variablin. Pikat e kryqëzimit të grafikëve.

test, shtuar më 15.12.2011

Hyrje në ekuacionet dhe parametrat e tyre. Zgjidhja e ekuacioneve të shkallës së parë me një të panjohur, përcaktimi i grupit të vlerave të lejuara të së panjohurës. Koncepti i modulit të një numri, zgjidhja e ekuacioneve lineare me një modul dhe ekuacioneve kuadratike me një parametër.

test, shtuar 03/09/2011

Metodat për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh me dy ndryshore. Një vijë e drejtë është si grafiku i një ekuacioni linear. Përdorimi i metodave të zëvendësimit dhe mbledhjes gjatë zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare me dy ndryshore. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Gausit.

abstrakt, shtuar 11/10/2009

Përkufizimi i konceptit të një ekuacioni me parametra. Parimi i zgjidhjes së këtyre ekuacioneve në raste të përgjithshme. Zgjidhja e ekuacioneve me parametra që lidhen me vetitë e funksioneve eksponenciale, logaritmike dhe trigonometrike. Nëntë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve.

abstrakt, shtuar 02/09/2009

Numrat e përafërt dhe veprimet mbi to. Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare. Interpolimi dhe ekstrapolimi i funksioneve. Zgjidhja numerike e ekuacioneve diferenciale të zakonshme. Ndarja e rrënjës së një ekuacioni. Kërkoni për gabimin e rezultatit.

test, shtuar 18.10.2012

Vlerat e përafërta të rrënjëve. Metoda e dikotomisë (ose e ndarjes së një segmenti në gjysmë), përsëritja e thjeshtë dhe Njutoni. Metoda e ndarjes së një segmenti në gjysmë për të zgjidhur një ekuacion. Studimi i konvergjencës së metodës së Njutonit. Ndërtimi i disa përafrimeve të njëpasnjëshme.

punë laboratorike, shtuar 15.07.2009

Përkufizimet bazë. Algoritmi i zgjidhjes. Pabarazitë me parametra. Përkufizimet bazë. Algoritmi i zgjidhjes. Ky është vetëm një nga algoritmet për zgjidhjen e pabarazive me parametra duke përdorur sistemin e koordinatave xOa.

punë kursi, shtuar 12/11/2002

Gjetja e një zgjidhjeje bazë për një sistem ekuacionesh, hartimi i një ekuacioni të një drejtëze, sjellja e saj në formën kanonike dhe ndërtimi i një lakore. Eigenvlerat dhe vektorët e transformimit linear. Llogaritja e vëllimit të trupit dhe probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje.

test, shtuar 11/12/2012

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale. Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm. Kombinime lineare të dy ose më shumë radikalëve. Ekuacioni me një radikal. Duke shumëzuar me shprehjen e saj të konjuguar. Një metodë për zgjidhjen e ekuacioneve duke izoluar katrorët e përsosur nën shenjën radikale.

test, shtuar 15.02.2016

Zgjidhja numerike e ekuacionit me metodën Euler dhe Runge-Kutta në Excel. Program në gjuhën Turbo Pascal. Diagrami i rrjedhës së algoritmit. Metoda Runge-Kutta për ekuacionin diferencial të rendit të dytë. Modeli grabitqar-pre duke marrë parasysh ndërveprimet intraspecifike.

1. Sistemet e ekuacioneve lineare me një parametër

Shembulli 1.

Gjeni të gjitha vlerat për parametrin a për të cilin sistemi i ekuacioneve nuk ka zgjidhje.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Zgjidhje.

Le të shohim disa mënyra për të zgjidhur këtë detyrë.

1 mënyrë. Ne përdorim vetinë: sistemi nuk ka zgjidhje nëse raporti i koeficientëve përballë x është i barabartë me raportin e koeficientëve përballë y, por jo i barabartë me raportin e termave të lirë (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Atëherë kemi:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 ose sistem

(dhe 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

Nga ekuacioni i parë a 2 = 4, pra, duke marrë parasysh kushtin që a ≠ 2, marrim përgjigjen.

Përgjigje: a = -2.

Metoda 2. Ne zgjidhim me metodën e zëvendësimit.

(2 – y + (a 2 – 3) y = a,
(x = 2 - y,

((a 2 – 3) y – y = a – 2,
(x = 2 - y.

Pasi nxjerrim faktorin e përbashkët y nga kllapat në ekuacionin e parë, marrim:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 - y.

Sistemi nuk ka zgjidhje nëse ekuacioni i parë nuk ka zgjidhje, d.m.th

(dhe 2 - 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Natyrisht, a = ±2, por duke marrë parasysh kushtin e dytë, përgjigja vjen vetëm me një përgjigje minus.

Përgjigje: a = -2.

Shembulli 2.

Gjeni të gjitha vlerat për parametrin a për të cilin sistemi i ekuacioneve ka një numër të pafund zgjidhjesh.

(8x + ay = 2,
(sëpatë + 2y = 1.

Zgjidhje.

Sipas vetive, nëse raporti i koeficientëve të x dhe y është i njëjtë dhe është i barabartë me raportin e anëtarëve të lirë të sistemit, atëherë ai ka një numër të pafund zgjidhjesh (d.m.th. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Prandaj 8/a = a/2 = 2/1. Duke zgjidhur secilin prej ekuacioneve që rezultojnë, gjejmë se a = 4 është përgjigja në këtë shembull.

Përgjigje: a = 4.

2. Sistemet e ekuacioneve racionale me një parametër

Shembulli 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Zgjidhje.

Le të shumëzojmë ekuacionin e parë të sistemit me 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Duke zbritur ekuacionin e dytë nga i pari, marrim 5|x| = 4 – a. Ky ekuacion do të ketë një zgjidhje unike për a = 4. Në raste të tjera, ky ekuacion do të ketë dy zgjidhje (për një< 4) или ни одного (при а > 4).

Përgjigje: a = 4.

Shembulli 4.

Gjeni të gjitha vlerat e parametrit a për të cilin sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje unike.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Zgjidhje.

Ne do ta zgjidhim këtë sistem duke përdorur metodën grafike. Kështu, grafiku i ekuacionit të dytë të sistemit është një parabolë e ngritur përgjatë boshtit Oy lart me një segment njësi. Ekuacioni i parë specifikon një grup vijash paralele me drejtëzën y = -x (Figura 1). Nga figura shihet qartë se sistemi ka zgjidhje nëse drejtëza y = -x + a është tangjente me parabolën në një pikë me koordinata (-0.5, 1.25). Duke i zëvendësuar këto koordinata në ekuacionin e vijës së drejtë në vend të x dhe y, gjejmë vlerën e parametrit a:

1,25 = 0,5 + a;

Përgjigje: a = 0,75.

Shembulli 5.

Duke përdorur metodën e zëvendësimit, zbuloni se në cilën vlerë të parametrit a, sistemi ka një zgjidhje unike.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Zgjidhje.

Nga ekuacioni i parë shprehim y dhe e zëvendësojmë me të dytin:

(y = sëpatë – a – 1,
(sëpatë + (a + 2) (sëpatë – a – 1) = 2.

Le ta reduktojmë ekuacionin e dytë në formën kx = b, i cili do të ketë një zgjidhje unike për k ≠ 0. Kemi:

sëpatë + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Ne përfaqësojmë trinomin katror a 2 + 3a + 2 si produkt i kllapave

(a + 2) (a + 1), dhe në të majtë nxjerrim x nga kllapat:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Natyrisht, një 2 + 3a nuk duhet të jetë e barabartë me zero, prandaj,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, që do të thotë a ≠ 0 dhe ≠ -3.

Përgjigje: a ≠ 0; ≠ -3.

Shembulli 6.

Duke përdorur metodën e zgjidhjes grafike, përcaktoni se në cilën vlerë të parametrit a sistemi ka një zgjidhje unike.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Zgjidhje.

Në bazë të kushtit, ne ndërtojmë një rreth me qendër në origjinë dhe një rreze prej 3 segmentesh njësi, kjo është ajo që specifikohet nga ekuacioni i parë i sistemit

x 2 + y 2 = 9. Ekuacioni i dytë i sistemit (y = |x| + a) është një vijë e thyer. Duke përdorur figura 2 Ne i konsiderojmë të gjitha rastet e mundshme të vendndodhjes së tij në lidhje me rrethin. Është e lehtë të shihet se a = 3.

Përgjigje: a = 3.

Ende keni pyetje? Nuk dini si të zgjidhni sistemet e ekuacioneve?
Për të marrë ndihmë nga një mësues -.
Mësimi i parë është falas!

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

1. Sistemet e ekuacioneve lineare me një parametër

Shembulli 1.

Gjeni të gjitha vlerat për parametrin a për të cilin sistemi i ekuacioneve nuk ka zgjidhje.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Zgjidhje.

Le të shohim disa mënyra për të zgjidhur këtë detyrë.

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 ose sistem

(dhe 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

Nga ekuacioni i parë a 2 = 4, pra, duke marrë parasysh kushtin që a ≠ 2, marrim përgjigjen.

Përgjigje: a = -2.

Metoda 2. Ne zgjidhim me metodën e zëvendësimit.

(2 – y + (a 2 – 3) y = a,
(x = 2 - y,

((a 2 – 3) y – y = a – 2,
(x = 2 - y.

Pasi nxjerrim faktorin e përbashkët y nga kllapat në ekuacionin e parë, marrim:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 - y.

Sistemi nuk ka zgjidhje nëse ekuacioni i parë nuk ka zgjidhje, d.m.th

(dhe 2 - 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Natyrisht, a = ±2, por duke marrë parasysh kushtin e dytë, përgjigja vjen vetëm me një përgjigje minus.

Përgjigje: a = -2.

Shembulli 2.

Gjeni të gjitha vlerat për parametrin a për të cilin sistemi i ekuacioneve ka një numër të pafund zgjidhjesh.

(8x + ay = 2,
(sëpatë + 2y = 1.

Zgjidhje.

Përgjigje: a = 4.

2. Sistemet e ekuacioneve racionale me një parametër

Shembulli 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Zgjidhje.

Le të shumëzojmë ekuacionin e parë të sistemit me 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Përgjigje: a = 4.

Shembulli 4.

Gjeni të gjitha vlerat e parametrit a për të cilin sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje unike.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Zgjidhje.

1,25 = 0,5 + a;

Përgjigje: a = 0,75.

Shembulli 5.

Duke përdorur metodën e zëvendësimit, zbuloni se në cilën vlerë të parametrit a, sistemi ka një zgjidhje unike.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Zgjidhje.

Nga ekuacioni i parë shprehim y dhe e zëvendësojmë me të dytin:

(y = sëpatë – a – 1,
(sëpatë + (a + 2) (sëpatë – a – 1) = 2.

Le ta reduktojmë ekuacionin e dytë në formën kx = b, i cili do të ketë një zgjidhje unike për k ≠ 0. Kemi:

sëpatë + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Ne përfaqësojmë trinomin katror a 2 + 3a + 2 si produkt i kllapave

(a + 2) (a + 1), dhe në të majtë nxjerrim x nga kllapat:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Natyrisht, një 2 + 3a nuk duhet të jetë e barabartë me zero, prandaj,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, që do të thotë a ≠ 0 dhe ≠ -3.

Përgjigje: a ≠ 0; ≠ -3.

Shembulli 6.

Duke përdorur metodën e zgjidhjes grafike, përcaktoni se në cilën vlerë të parametrit a sistemi ka një zgjidhje unike.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Zgjidhje.

Në bazë të kushtit, ne ndërtojmë një rreth me qendër në origjinë dhe një rreze prej 3 segmentesh njësi, kjo është ajo që specifikohet nga ekuacioni i parë i sistemit

Përgjigje: a = 3.

Ende keni pyetje? Nuk dini si të zgjidhni sistemet e ekuacioneve?
Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.
Mësimi i parë është falas!

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.