Определение
Силу, которая возникает в результате деформации тела и пытающаяся вернуть его в исходное состояние, называют силой упругости .
Чаще всего ее обозначают ${\overline{F}}_{upr}$. Сила упругости появляется только при деформации тела и исчезает, если пропадает деформация. Если после снятия внешней нагрузки тело восстанавливает свои размеры и форму полностью, то такая деформация называется упругой.
Современник И. Ньютона Р. Гук установил зависимость силы упругости от величины деформации. Гук долго сомневался в справедливости своих выводов. В одной из своих книг он привел зашифрованную формулировку своего закона. Которая означала: «Ut tensio, sic vis» в переводе с латыни: каково растяжение, такова сила.
Рассмотрим пружину, на которую действует растягивающая сила ($\overline{F}$), которая направлена вертикально вниз (рис.1).
Силу $\overline{F\ }$ назовем деформирующей силой. От воздействия деформирующей силы длина пружины увеличивается. В результате в пружине появляется сила упругости (${\overline{F}}_u$), уравновешивающая силу $\overline{F\ }$. Если деформация является небольшой и упругой, то удлинение пружины ($\Delta l$) прямо пропорционально деформирующей силе:
\[\overline{F}=k\Delta l\left(1\right),\]
где в коэффициент пропорциональности называется жесткостью пружины (коэффициентом упругости) $k$.
Жесткость (как свойство) - это характеристика упругих свойств тела, которое деформируют. Жесткость считают возможностью тела оказать противодействие внешней силе, способность сохранять свои геометрические параметры. Чем больше жесткость пружины, тем меньше она изменяет свою длину под воздействием заданной силы. Коэффициент жесткости - это основная характеристика жесткости (как свойства тела).
Коэффициент жесткости пружины зависит от материала, из которого сделана пружина и ее геометрических характеристик. Например, коэффициент жесткости витой цилиндрической пружины, которая намотана из проволоки круглого сечения, подвергаемая упругой деформации вдоль своей оси может быть вычислена как:
где $G$ - модуль сдвига (величина, зависящая от материала); $d$ - диаметр проволоки; $d_p$ - диаметр витка пружины; $n$ - количество витков пружины.
Единицей измерения коэффициента жесткости в Международной системе единиц (Си) является ньютон, деленный на метр:
\[\left=\left[\frac{F_{upr\ }}{x}\right]=\frac{\left}{\left}=\frac{Н}{м}.\]
Коэффициент жесткости равен величине силы, которую следует приложить к пружине для изменения ее длины на единицу расстояния.
Формула жесткости соединений пружин
Пусть $N$ пружин соединены последовательно. Тогда жесткость всего соединения равна:
\[\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\dots =\sum\limits^N_{\ i=1}{\frac{1}{k_i}\left(3\right),}\]
где $k_i$ - жесткость $i-ой$ пружины.
При последовательном соединении пружин жесткость системы определяют как:
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Пружина в отсутствии нагрузки имеет длину $l=0,01$ м и жесткость равную 10 $\frac{Н}{м}.\ $Чему будет равна жесткость пружины и ее длина, если на пружину действовать силой $F$= 2 Н? Считайте деформацию пружины малой и упругой.
Решение. Жесткость пружины при упругих деформациях является постоянной величиной, значит, в нашей задаче:
При упругих деформациях выполняется закон Гука:
Из (1.2) найдем удлинение пружины:
\[\Delta l=\frac{F}{k}\left(1.3\right).\]
Длина растянутой пружины равна:
Вычислим новую длину пружины:
Ответ. 1) $k"=10\ \frac{Н}{м}$; 2) $l"=0,21$ м
Пример 2
Задание. Две пружины, имеющие жесткости $k_1$ и $k_2$ соединили последовательно. Какой будет удлинение первой пружины (рис.3), если длина второй пружины увеличилась на величину $\Delta l_2$?
Решение. Если пружины соединены последовательно, то деформирующая сила ($\overline{F}$), действующая на каждую из пружин одинакова, то есть можно записать для первой пружины:
Для второй пружины запишем:
Если равны левые части выражений (2.1) и (2.2), то можно приравнять и правые части:
Из равенства (2.3) получим удлинение первой пружины:
\[\Delta l_1=\frac{k_2\Delta l_2}{k_1}.\]
Ответ. $\Delta l_1=\frac{k_2\Delta l_2}{k_1}$
При производстве на предприятии и для применения необходимо определить способность пружины выдерживать определенные типы нагрузок. Для этого высчитывается т.н. коэффициент Гука – обозначение жесткости пружины, от которого зависит её надёжность. На этот параметр влияет материал, выбранный для изготовления. Это может быть сталь, легированная кремнием, ванадием, марганцем, другими добавками. Также применяются нержавейка, бериллиевая и кремнемарганцевая бронза, сплавы на основе никеля и титана.
Если деталь выпускается для применения при высоких нагрузках, экстремальных температурах, используются специальные марки легированной стали. Нижегородская метизная корпорация имеет возможность производить пружины под заказ, создавая изделия с заданными характеристиками.
Что такое жесткость?
Говоря о практике, а не физических терминах, это сила, приложив которую, можно сжать пружину. Если вы знаете прилагаемое усилие, можно определить, какой будет деформация, и наоборот. Это существенно облегчает вычисления.
Коэффициент высчитывается для пружин кручения, растяжения, изгиба, сжатия – всех наиболее популярных в промышленности разновидностей этого изделия. Также следует отметить два основных типа:
- С линейной (постоянной) жесткостью;
- С прогрессивной (зависящей от положения витков) жесткостью.
Часто производитель наносит на готовую продукцию пометку краской. Если такого обозначения нет, применяется формула определения жесткости пружины через массу и длину, упрощающая задачу. Она изначально разрабатывалась для пружин растяжения, была получена методом измерения соответствия массы грузы с изменениями геометрии.
Также данный параметр может быть прогрессирующим – растущим - или регрессирующим – убывающим. Во втором случае параметр "жесткости" принято называть "мягкостью". В отдельных механизмах, например, в автомобилестроении, этот параметр особенно актуален.
Какие вводные данные требуются?
При расчёте важно знать следующую информацию:
- Из какого материала выполнено изделие;
- Точный диаметр витков – Dw ;
- Общий диаметр самой пружины – Dm ;
- Количество витков – Na .
Таким образом, к коэффициенту жесткости пружинного механизма может применяться формула:
k=G*(Dw)^4/8 * Na * (Dm)^3 .
Переменная G означает модуль сдвига. Это значение можно найти в таблицах для разных материалов. К примеру, у пружинной стали G=78,5 ГПа .
Длина L бывает двух типов:
- L1 – измеренная в вертикальном положении без груза;
- L2 – полученная при подвешивании груза с точно известной массой.
Например, 100 -граммовая гиря, закреплённая в нижней части, воздействует с силой F , равной 1 Н . Получаем разницу между двумя показателями длины:
L = L2 – L1 .
При этом следует уточнить, что степень жесткости не определяет распрямление в исходное состояние. На него воздействуют сразу несколько факторов.
Насколько важен показатель, и на что он влияет?
Характеристики пружины важны не только для соответствия ГОСТам и проведения сертификации. Они влияют на сроки эксплуатации изделий, в которых используются, а это огромное количество приборов, деталей, механизмов, от мебели, до различных транспортных средств.
Поэтому данная величина напрямую влияет на надёжность готовых изделий, оборудования, техники, в которых используются элементы, содержащие пружины.
Часто люди интересуются, как рассчитать жесткость пружины цилиндрической винтовой. Для таких случаев учитывается не только модуль сдвига, но и параметр Rs – напряжение, допускаемое при кручении. Здесь в расчёт берётся тип материала, его физические свойства, механические характеристики.
Следующий вопрос – в чем измеряется коэффициент жесткости пружины при расчётах. Традиционно в системе измерений, принятой в нашей стране принято записывать значение в Н/м – ньютонах на один метр. Также это значение в качестве альтернативного варианта может записываться в килограммах на квадратный сантиметр, дин/см, граммах на квадратный сантиметр (расчёты в системе СГС).
Рано или поздно при изучении курса физики ученики и студенты сталкиваются с задачами на силу упругости и закон Гука, в которых фигурирует коэффициент жесткости пружины. Что же это за величина, и как она связана с деформацией тел и законом Гука?
Для начала определим основные термины , которые будут использоваться в данной статье. Известно, если воздействовать на тело извне, оно либо приобретет ускорение, либо деформируется. Деформация - это изменение размеров или формы тела под влиянием внешних сил. Если объект полностью восстанавливается после прекращения нагрузки, то такая деформация считается упругой; если же тело остается в измененном состоянии (например, согнутом, растянутом, сжатым и т. д.), то деформация пластическая.
Примерами пластических деформаций являются:
- лепка из глины;
- погнутая алюминиевая ложка.
В свою очередь, упругими деформациями будут считаться:
- резинка (можно растянуть ее, после чего она вернется в исходное состояние);
- пружина (после сжатия снова распрямляется).
В результате упругой деформации тела (в частности, пружины) в нем возникает сила упругости, равная по модулю приложенной силе, но направленная в противоположную сторону. Сила упругости для пружины будет пропорциональна ее удлинению. Математически это можно записать таким образом:
где F - сила упругости, x - расстояние, на которое изменилась длина тела в результате растяжения, k - необходимый для нас коэффициент жесткости. Указанная выше формула также является частным случаем закона Гука для тонкого растяжимого стержня. В общей форме этот закон формулируется так: «Деформация, возникшая в упругом теле, будет пропорциональна силе, которая приложена к данному телу». Он справедлив только в тех случаях, когда речь идет о малых деформациях (растяжение или сжатие намного меньше длины исходного тела).
Определение коэффициента жесткости
Коэффициент жесткости (он также имеет названия коэффициента упругости или пропорциональности) чаще всего записывается буквой k, но иногда можно встретить обозначение D или c. Численно жесткость будет равна величине силы, которая растягивает пружину на единицу длины (в случае СИ - на 1 метр). Формула для нахождения коэффициента упругости выводится из частного случая закона Гука:
Чем больше величина жесткости, тем больше будет сопротивление тела к его деформации. Также коэффициент Гука показывает, насколько устойчиво тело к действию внешней нагрузки. Зависит этот параметр от геометрических параметров (диаметра проволоки, числа витков и диаметра намотки от оси проволоки) и от материала, из которого она изготовлена.
Единица измерения жесткости в СИ - Н/м.
Расчет жесткости системы
Встречаются более сложные задачи, в которых необходим расчет общей жесткости . В таких заданиях пружины соединены последовательно или параллельно.
Последовательное соединение системы пружин
При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:
1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki,
где k - общая жесткость системы, k1, k2, …, ki - отдельные жесткости каждого элемента, i - общее количество всех пружин, задействованных в системе.
Параллельное соединение системы пружин
В случае когда пружины соединены параллельно , величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:
k = k1 + k2 + … + ki.
Измерение жесткости пружины опытным путем - в этом видео.
Вычисление коэффициента жесткости опытным методом
С помощью несложного опыта можно самостоятельно рассчитать, чему будет равен коэффициент Гука . Для проведения эксперимента понадобятся:
- линейка;
- пружина;
- груз с известной массой.
Последовательность действий для опыта такова:
- Необходимо закрепить пружину вертикально, подвесив ее к любой удобной опоре. Нижний край должен остаться свободным.
- При помощи линейки измеряется ее длина и записывается как величина x1.
- На свободный конец нужно подвесить груз с известной массой m.
- Длина пружины измеряется в нагруженном состоянии. Обозначается величиной x2.
- Подсчитывается абсолютное удлинение: x = x2-x1. Для того чтобы получить результат в международной системе единиц, лучше сразу перевести его из сантиметров или миллиметров в метры.
- Сила, которая вызвала деформацию, - это сила тяжести тела. Формула для ее расчета - F = mg, где m - это масса используемого в эксперименте груза (переводится в кг), а g - величина свободного ускорения, равная приблизительно 9,8.
- После проведенных расчетов остается найти только сам коэффициент жесткости, формула которого была указана выше: k = F/x.
Примеры задач на нахождение жесткости
Задача 1
На пружину длиной 10 см действует сила F = 100 Н. Длина растянутой пружины составила 14 см. Найти коэффициент жесткости.
- Рассчитываем длину абсолютного удлинения: x = 14-10 = 4 см = 0,04 м.
- По формуле находим коэффициент жесткости: k = F/x = 100 / 0,04 = 2500 Н/м.
Ответ: жесткость пружины составит 2500 Н/м.
Задача 2
Груз массой 10 кг при подвешивании на пружину растянул ее на 4 см. Рассчитать, на какую длину растянет ее другой груз массой 25 кг.
- Найдем силу тяжести, деформирующей пружину: F = mg = 10 · 9.8 = 98 Н.
- Определим коэффициент упругости: k = F/x = 98 / 0.04 = 2450 Н/м.
- Рассчитаем, с какой силой действует второй груз: F = mg = 25 · 9.8 = 245 Н.
- По закону Гука запишем формулу для абсолютного удлинения: x = F/k.
- Для второго случая подсчитаем длину растяжения: x = 245 / 2450 = 0,1 м.
Ответ: во втором случае пружина растянется на 10 см.
Видео
Из этого видео вы узнаете, как определить жесткость пружины.
2. Виды деформации. Закон Гука. Коэффициент жесткости. Модуль упругости. Свойства костных тканей.
Деформа́ция - изменение размеров, формы и конфигурации тела в результате действия внешних или внутренних сил. виды деформации:
растяжение-сжатие– вид деформации тела, возникающий в том случае, если нагрузка к нему прикладывается по его продольной оси
сдвиг– деформация тела, вызванная касательными напряжениями
изгиб- деформация, характеризующаяся искривлением оси или сединной поверхности деформируемого объекта под действием внешних сил.
кручение- возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил в его поперечно плоскости.
Зако́н Гу́ка - уравнение теории упругости, связывающеенапряжениеидеформациюупругой среды. В словесной форме закон звучит следующим образом:
Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации
Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:
Здесь F - сила натяжения стержня, Δl - абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а k называется коэффициентом упругости (или жёсткости).
Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S и длины L), записав коэффициент упругости как
Коэффициент жёсткостиравенсиле, вызывающей единичное перемещение в характерной точке (чаще всего вточке приложения силы).
Модуль упругости - общее название нескольких физических величин, характеризующих способностьтвёрдого тела(материала, вещества)упруго деформироватьсяпри приложении к нимсилы.
Абсолютно твердых тел в природе нет, реальные твердые тела могут немного "пружинить" - это и есть упругая деформация. У реальных твердых тел есть предел упругой деформации, т.е. такой предел после которого след от надавливания уже останется и сам не исчезнет.
Свойства костных тканей. Кость является твердым телом, для которого основными свойствами являются прочность и упругость.
Прочность кости - это способность противостоять внешней разрушающей силе. Количественно прочность определяется пределом прочности и зависит от конструкции и состава костной ткани. Каждая кость имеет специфическую форму и сложную внутреннюю конструкцию, позволяющую выдерживать нагрузку в определенной части скелета. Изменение трубчатой структуры кости снижает ее механическую прочность. На прочность существенно влияет и состав кости. При удалении минеральных веществ кость становится резиноподобной, а при удалении органических веществ - хрупкой.
Упругость кости - это свойство приобретать исходную форму после прекращения воздействия факторов внешней среды. Она так же, как и прочность зависит от конструкции и химического состава кости.
3. Мышечные ткани. Строение и функции мышечного волокна. Преобразование энергии при мышечном сокращении. Кпд мышечного сокращения.
Мы́шечными тка́нями называют ткани, различные по строению и происхождению, но сходные по способности к выраженным сокращениям. Они обеспечивают перемещения в пространстве организма в целом, его частей и движение органов внутри организма и состоят из мышечных волокон.
Мышечное волокно представляет собой вытянутую клетку. В состав волокна входят его оболочка - сарколемма, жидкое содержимое - саркоплазма, ядро, митохондрии, рибосомы, сократительные элементы - миофибриллы, а также содержащий ионы Са 2+ , - саркоплазматический ретикулум. Поверхностная мембрана клетки через равные промежутки образует поперечные трубочки, по которым внутрь клетки проникает потенциал действия при ее возбуждении.
Функциональной единицей мышечного волокна является миофибрилла. Повторяющаяся структура в составе миофибриллы называется саркомером. Миофибриллы содержат 2 вида сократительных белков: тонкие нити актина и вдвое более толстые нити миозина. Сокращение мышечного волокна происходит благодаря скольжению миозиновых филаментов по актиновым. При этом перекрывание филаментов увеличивается и саркомер укорачивается.
Главная функция мышечного волокна - обеспечение мышечного сокращения.
Преобразование энергии при мышечном сокращении. Для сокращения мышцы используется энергия,освобождающаяся при гидролизе АТФ актомиозином,причем процесс гидролиза тесно сопряжен с сократительным процессом. По количеству выделяемого мышцей тепла можно оценить эффективность преобразования энергии при сокращении.. При укорочении мышцы скорость гидролиза повышается в соответствии с ростом производимой работы. освобождаемой при гидролизе энергии достаточно для обеспечения только совершаемой работы, но не полной энергопродукции мышцы.
Коэффициент полезного действия (кпд) мышечной работы (r ) представляет собой отношение величины внешней механической работы (W ) к общему количеству выделенной в виде тепла (Е ) энергии:
Наиболее высокое значение кпд изолированной мышцы наблюдается при внешней нагрузке, составляющей около 50% от максимальной величины внешней нагрузки. Производительность работы (R ) у человека определяют по величине потребления кислорода в период работы и восстановления по формуле:
где 0,49 - коэффициент пропорциональности между объемом потребленного кислорода и выполненной механической работой, т. е. при 100% эффективности для выполнения работы, равной 1 кгс ․м (9,81Дж ), необходимо 0,49мл кислорода.
Двигательное действие / КПД
Ходьба/23-33%; Бег со средней скоростью/22-30%; Езда на велосипеде/22-28%; Гребля/15-30%;
Толкание ядра/27%; Метание/24%; Поднятие штанги/8-14%; Плавание/ 3%.
| " |
Для определения устойчивости и сопротивления к внешним нагрузкам используется такой параметр, как жесткость пружины. Также он называется коэффициентом Гука или упругости. По сути, характеристика жесткости пружины определяет степень ее надежности и зависит от используемого материала при производстве.
Измерению коэффициента жесткости подлежат следующие типы пружин:
- Сжатия;
- Растяжения;
- Изгиба;
- Кручения.
Изготовление пружин любого типа вы .
Какую жесткость имеет пружина
При выборе готовых пружин, например для подвески автомобиля, определить, какую жесткость она имеет, можно по коду продукта либо по маркировке, которая наносится краской. В остальных случаях расчет жесткости производится исключительно экспериментальными методами.
Жесткость пружины по отношению к деформации бывает величиной переменной или постоянной. Изделия, жесткость которых при деформации остается неизменной называются линейными. А те, у которых есть зависимость коэффициента жесткости от изменения положения витков, получили название «прогрессивные».
В автомобилестроении в отношении подвески существует следующая классификация жесткости пружин:
- Возрастающая (прогрессирующая). Характерна для более жесткого хода автомобиля.
- Уменьшающаяся (регрессирующая) жесткость. Напротив, обеспечивает, «мягкость» подвески.
Определение величины жесткости зависит от следующих исходных данных:
- Тип сырья, используемый при изготовлении;
- Диаметр витков металлической проволоки (Dw);
- Диаметр пружины (в расчет берется средняя величина) (Dm);
- Число витков пружины (Na).
Как рассчитать жесткость пружины
Для расчета коэффициента жесткости применяется формула:
k = G * (Dw)^4 / 8 * Na * (Dm)^3,
где G – модуль сдвига. Данную величину можно не рассчитывать, так как она приведена в таблицах к различным материалам. Например, для обыкновенной стали она равна 80 ГПа, для пружинной – 78,5 ГПа. Из формулы понятно, что наибольшее влияние на коэффициент жесткости пружины оказывают оставшиеся три величины: диаметр и число витков, а также диаметр самой пружины. Для достижения необходимых показателей жесткости изменению подлежат именно эти характеристики.
Вычислить коэффициент жесткости экспериментальным путем можно при помощи простейших инструментов: самой пружины, линейки и груза, который будет воздействовать на опытный образец.
Определение коэффициента жесткости растяжения
Для определения коэффициента жесткости растяжения производятся следующие расчеты.
- Измеряется длина пружины в вертикальном подвесе с одной свободной стороной изделия – L1;
- Измеряется длина пружины с подвешенным грузом – L2.Если взять груз массой 100гр., то он будет воздействовать силой в 1Н (Ньютон) – величина F;
- Вычисляется разница между последним и первым показателем длины – L;
- Рассчитывается коэффициент упругости по формуле: k = F/L.
Определение коэффициента жесткости сжатия производится по этой же формуле. Только вместо подвешивания груз устанавливается на верхнюю часть вертикально установленной пружины.
Подводя итог, делаем вывод, что показатель жесткости пружины является одной из существенных характеристик изделия, которая указывает на качество исходного материала и определяет долговечность использования конечного изделия.
