Часто геометрическое сложение векторов сил требует сложных и громоздких построений. В таких случаях прибегают к другому методу, где геометрическое построение заменен о вычислениями скалярных величин. Достигается это проектированием заданных сил на оси прямоугольной системы координат.
Как известнее из математики, осью называют неограниченную прямую линию , которой приписано определенное направление . Проекция вектора на ось является скалярной величиной, которая определяется отрезком оси , отсекаемым перпендикулярами , опущенными из начала и конца вектора на ось.
Проекция вектора считается положительной (+ ), если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной (- ), если направление от начала проекции к ее концу противоположно положительному направлению оси.
Рассмотрим ряд случаев проектирования сил на ось .
- Дана сила Р (рис.а ), она лежит в одной плоскости с осью х . Вектор силы составляет с положительным направлением оси острый угол α .
Чтобы найти величину проекции , из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось х, получаем
Р х = ab = Р cos α .
Проекция вектора в данном случае положительна .
2. Дана сила Q (рис. б ), которая лежит в одной плоскости с осью х , но ее вектор составляет с положительным направлением оси тупой угол α .
Проекция силы Q на ось х
Q х = ab = Q cos α,
cos a = - cos β .
Так как α > 90° , то cos cos α - отрицательная величина. Выразив cos α через cos β (β - острый угол), окончательно получим
Q х = - Q cos β
В этом случае проекция силы отрицательна .
Итак, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси .
При определении проекции вектора силы на ось пользуются обычно косинусом острого угла, независимо от того, с каким направлением оси - положительным или отрицательным - он образован. Знак проекции легче устанавливать непосредственно по чертежу.
Силу, расположенную на плоскости хОу , можно спроектировать на две координатные оси Ох и Оу . Рассмотрим рисунок.
На нем изображена сила Р и ее проекции Р х и Р у . Ввиду того что проекции образуют между собой прямой угол, из прямоугольного треугольника ABC следует:
Перейдем к рассмотрению аналитического (численного) метода решения задач статики. Этот метод основывается на понятии о проекции силы на ось. Как и для всякого другого вектора, проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы. Проекция имеет знак плюс, если перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус - если в отрицательном. Из определения следует, что проекции данной силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны друг другу. Этим удобно пользоваться при вычислении проекции силы на ось, не лежащую в одной плоскости с силой.
Рис. 1
Обозначать проекцию силы на ось Ох будем символом F x . Тогда для сил, изображенных на рис.1, получим:
Но из чертежа видно, что
Следовательно,
т. е. проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси. При этом проекция будет положительной, если угол между направлением силы и положительным направлением оси - острый, и отрицательной, если этот угол - тупой; если сила перпендикулярна к оси, то ее проекция на ось равна нулю.
Рис.2
Проекцией силы на плоскость Оху называется вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость (рис. 2). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своим численным значением, но и направлением в плоскости Оху . По модулю , где - угол между направлением силы и ее проекции .
В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось бывает удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось.
Например, в случае, изображенном на рис. 2, найдем таким способом, что
Геометрический способ сложения сил.
Решение многих задач механики связано с известной из векторной алгебры операцией сложения векторов и, в частности, сил. Величину, равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы, будем называть главным вектором этой системы сил. Понятие о геометрической сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействующей, для многих систем сил, как мы увидим в дальнейшем, равнодействующей вообще не существует, геометрическую же сумму (главный вектор) можно вычислить для любой системы сил.
Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последовательным сложением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является более простым и удобным. Для нахождения этим способом суммы сил (рис. 3, a ), откладываем от произвольной точки О (рис. 3, б ) вектор Oa , изображающий в выбранном масштабе cилу F 1 , от точки a откладываем вектор , изображающий силу F 2 , от точки b откладываем вектор bc , изображающий силу F 3 и т. д.; от конца m предпоследнего вектора откладываем вектор mn , изображающий силуF n .Соединяя начало первого вектора с концом последнего, получаем вектор , изображающий геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:
От порядка, в котором будут откладываться векторы сил, модуль и направление не зависят. Легко видеть, что проделанное построение представляет собою результат последовательного применения правила силового треугольника.
Рис.3
Фигура, построенная на рис. 3,б , называется силовым (в общем случае векторным) многоугольником. Таким образом, геометрическая сумма или главный вектор нескольких сил изображается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного из этих сил (правило силового многоугольника). При построении векторного многоугольника следует помнить, что у всех слагаемых векторов стрелки должны быть направлены в одну сторону (по обводу многоугольника), а у вектора - в сторону противоположную.
Равнодействующая сходящихся сил. При изучении статики мы будем последовательно переходить от рассмотрения более простых систем сил к более сложным. Начнем с рассмотрения системы сходящихся сил.
Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке, называемой центром системы (см. рис. 3, а ).
По следствию из первых двух аксиом статики система сходящихся сил, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна системе сил, приложенных в одной точке (на рис. 3, а в точке А ).
Последовательно применяя аксиому параллелограмма сил, приходим к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке их пересечения. Следовательно, если силы сходятся в точке A (рис. 3, а ), то сила, равная главному вектору , найденному построением силового многоугольника, и приложенная в точке А , будет равнодействующей этой системы сил.
Примечания.
1. Результат графического определения равнодействующей не изменится, если силы суммировать в другой последовательности, хотя при этом мы получим другой силовой многоугольник - отличный от первого.
2. Фактически силовой многоугольник, составленный из векторов сил заданной системы, является ломаной линией, а не многоугольником в привычном смысле этого слова.
3. Отметим, что в общем случае этот многоугольник будет пространственной фигурой, поэтому графический метод определения равнодействующей удобен только для плоской системы сил.
Равновесие системы сходящихся сил.
Из законов механики следует, что твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешенные внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение, которое мы назовем движением «по инерции». Таким движением будет, например, поступательное равномерное и прямолинейное движение тела.
Отсюда получаем два важных вывода:
1) Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, так и на тело, движущееся «по инерции».
2) Уравновешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия (покоя) самого тела; в покое тело будет при этом находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до момента приложения к нему уравновешенных сил.
Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.
1. Геометрическое условие равновесия. Так как равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то может обратиться в нуль тогда и только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой,т. е. когда многоугольник замкнется.
Следовательно, для равновесия системы, сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут.
2. Аналитические условия равновесия. Аналитически равнодействующая системы сходящихся сил определяется формулой
.
Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно , т. е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:
Равенства выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю.
Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В случае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия
Равенства выражают также необходимые условия (или уравнения) равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием сходящихся сил.
Теорема о трех силах. Уравновешенная плоская система трех непараллельных сил является сходящейся.
Условие «плоская» в формулировке теоремы не является необходимым - можно убедиться, что любая уравновешенная система трех сил всегда будет плоской. Это следует из условий равновесия произвольной пространственной системы сил, которые будут рассмотрены далее.
Пример 1. На рис.4 показаны три силы. Проекции сил на оси х, у, z очевидны:
Рис.4
|
Проектируем силу сначала на плоскость х Оу , в которой расположена ось (рис.4), получим вектор , величиной а затем его проектируем на ось х: .
Аналогично действуя, найдём проекцию на ось у : .
Проекция на ось z находится проще: .
Нетрудно убедиться, что проекции сил на ось V равны:
При определении этих проекций удобно воспользоваться рис.5, видом сверху на расположение сил и осей.
Рис.5
Вернёмся к системе сходящихся сил (рис. 6). Проведём оси координат с началом в точке пересечения линий действия сил, в точке О .
Мы уже знаем, что равнодействующая сил . Спроектируем это векторное равенство на оси. Получим проекции равнодействующей на оси x , y , z :
Они равны алгебраическим суммам проекций сил на соответствующие оси. А зная проекции равнодействующей, можно определить и величину её как диагональ прямоугольного параллелепипеда 
или
Направление вектора найдём с помощью направляющих косинусов (рис.6):
Рис.6
Пример 2. На шар, вес которого Р, лежащий на горизонтальной плоскости и привязанный к ней нитью АВ , действует сила F (рис.7). Определим реакции связей.
Рис.7
Следует сразу заметить, что все задачи статики решаются по одной схеме, в определённом порядке.
Продемонстрируем ее на примере решения этой задачи.
1. Надо выбрать (назначить) объект равновесия – тело, равновесие которого следует рассмотреть, чтобы найти неизвестные.
В этой задаче, конечно, объект равновесия – шар.
2. Построение расчётной схемы. Расчётная схема – это объект равновесия, изображённый отдельно, свободным телом, без связей, со всеми силами, действующими на него: реакциями и остальными силами.
Показываем реакцию нити и нормальную реакцию плоскости – (рис.7). Кроме них на шар действуют заданные силы и .
3. Надо установить какая получилась система сил и составить соответствующие уравнения равновесия.
Здесь получилась система сходящихся сил, расположенных в плоскости, для которой составляем два уравнения (оси можно проводить произвольно):
4. Решаем систему уравнений и находим неизвестные.
По условию задачи требовалось найти давление шара на плоскость. А мы нашли реакцию плоскости на шар. Но, по определению следует, что эти силы равны по величине, только давление на плоскость будет направлено в противоположную сторону, вниз.
Пример 3. Тело весом Р прикреплено к вертикальной плоскости тремя стержнями (рис.8). Определим усилия в стержнях.
Рис.8
В этой задаче объект равновесия – узел С вместе с грузом. Он нарисован отдельно с реакциями, усилиями в стержнях и весом . Силы образуют пространственную систему сходящихся сил. Составляем три уравнения равновесия:
Из первого уравнения следует: S 2 = S 3 . Тогда из третьего:
А из второго:
Когда мы направляли усилие в стержне от узла, от объекта равновесия, предполагали, что стержни работают на растяжение. Усилие в стержне CD получилось отрицательным. Это значит – стержень сжат. Так что знак усилия в стержне указывает как работает стержень: на растяжение или на сжатие.
Пример 4. Определить реакции стержней, соединенных шарниром В , если к нему подвешен груз весом Q (рис.9,а ).
Решение. В соответствии с предложенным выше планом выбираем тело, равновесие которого мы будем рассматривать. Этот выбор, в основном, определяется условиями задачи. Если в этой задаче рассмотреть равновесие подвешенного груза, то мы сумеем найти только силу натяжения нити, которая равна весу тела: T = Q (рис.9,б ).
Чтобы определить реакции стержней, рассмотрим равновесие точки В . Можно считать, что к ней посредством нити приложена активная сила Q и реакции отброшенных стержней S A и S C (рис.9,в ).
Решим эту задачу аналитически. Выбирая начало отсчета в точке В , составим уравнения равновесия, которые примут вид:
-S A cosα + S C cosβ = 0;
S A sinα + S C sinβ = Q .
Чтобы найти отсюда S C сложим полученные уравнения, умножив предварительно первое из них на sinα, а второе – на cosα:
S C (sinαcosβ + cosα sinβ) = Q cosα.
Отсюда следует, что S C = Q cosα/sin(α+β), а поскольку α и β в эти уравнения входят симметрично, то S A = Q cosβ/sin(α+β).
Для проверки правильности аналитического решения задачи воспользуемся графическим методом.
Треугольник, образованный из трех сил: Q , S A и S C должен быть замкнут, поэтому решение сводится к построению треугольника по известной стороне (Q ) и направлению двух других сторон(S A и S C ). Для этого нужно в масштабе построить вектор Q , а затем из начала и из конца этого вектора провести прямые, параллельные S A и S C до их пересечения (рис.9,г ).
Измерив длины найденных отрезков и пересчитав в масштабе, можно считать поставленную задачу решенной. Направление полученных векторов определяется из условия замкнутости силового многоугольника, то есть конец последнего вектора должен совпадать с началом первого.
Рис.9
Можно, впрочем, определить величину S A и S C и без масштабной линейки, если просто решить построенный треугольник.
С этой целью воспользуемся теоремой синусов:
откуда, заменяя синус дополнительного угла косинусом, получим:
То есть, результат графического решения совпадает с аналитическим, значит задача решена правильно.
Пример 5. Центр невесомого идеального блока удерживается при помощи двух стержней, соединенных шарнирно в точке В . Через блок переброшена нить, один конец которой закреплен, а к другому – подвешен груз весом Q (рис.10,а ). Определить реакции стержней, пренебрегая размерами блока.
Решение. Рассмотрим равновесие блока В , к которому приложены силы натяжения нитей Т 1 и Т 2 и реакции отброшенных стержней S A и S С , которые, как и в предыдущем примере мы считаем растянутыми (рис.10,б ).
Фактически в качестве активной силы выступает вес груза Q , который приложен к блоку с помощью нити, поэтому Т 1 = Q . По поводу силы Т 2 надо отметить, что идеальным – то есть без трения блоком называется механизм, который меняет направление силы натяжения нити, но не ее величину, поэтому Т 1 = Т 2 = Q .
Пренебрегая размерами блока, получим уравновешенную систему сходящихся сил, приложенных в точке В (рис.10,в ).
Определим реакции S A и S С аналитически. Отметим, что если в первое из аналитических уравнений равновесия входят оба неизвестных, то в уравнение ΣY i = 0 неизвестная реакция S С не войдет, поэтому имеет смысл начать решение задачи именно с этого уравнения:
S A cos30°+ Т 2 cos60°- Т 1 = 0.
Подставляя сюда значения тригонометрических функций и Т 1 = Т 2 = Q , получим:
Теперь вернемся к уравнению ΣX i = 0:
- S A cos60°+ Т 2 cos30°+ S С = 0,
Подставив найденное выше значение S A , получим:
При этом минус в последнем выражении означает, что стержень ВС не растянут, как мы предполагали, а сжат.
Для проверки полученного результата решим эту задачу графически. С этой целью от центра О последовательно откладываем в масштабе известные силы Т 1 и Т 2 , затем от начала первого и от конца последнего вектора проводим прямые, параллельные S A и S С до их пересечения (рис.10,г ).
Рис.10
Нетрудно видеть, что построенный силовой многоугольник имеет ось симметрии и |S A |=|S С |. При этом направление вектора S С на силовом многоугольнике противоположно первоначальному направлению, указанному на чертеже, то есть стержень ВС не растянут, а сжат.
Примечания.
1. В системе аналитических уравнений равновесия оси координат не обязательно должны быть взаимно перпендикулярными, поэтому, если в последнем примере выбрать ось Ох , совпадающую по направлению с силой Т 2 , мы получим систему уравнений, из которых неизвестные S A и S С находятся независимо одно от другого .
2. Впоследствии мы увидим, что аналитическое решение можно проверить не только с помощью графического решения, но и аналитически. Впрочем, для системы сходящихся сил изложенный метод решения задач является, по-видимому, оптимальным.
Построение силовых многоугольников требует сложных и громоздких построений и не даёт достаточно точных результатов. В таких случаях прибегают к другому методу, где геометрическое построение заменено вычислениями скалярных величин. Это достигается проектированием заданных сил на оси прямоугольной системы координат.
Осью называют прямую линию, которой приписано определённое направление. Проекция вектора на ось является скалярной величиной, которая определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на неё из начала и конца вектора.
Проекция вектора считается положительной (+), если направление от начала проекции к её концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной (−), если направление от начала проекции к её концу противоположно положительному направлению оси.
Рассмотрим ряд случаев проектирования сил на ось.
1. Дана сила (рис. 7, а ), она лежит в одной плоскости с осью x . Вектор силы составляет с положительным направлением оси острый угол α. Чтобы найти величину проекции, из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось x ; получаем
P x = ab = P cos α . (4)
Проекция вектора в данном случае положительна.
2. Дана сила (рис. 7, б ), которая лежит в одной плоскости с осью x , но её вектор составляет с положительным направлением оси тупой угол α. Проекция силы Q на ось x отрицательна
Q x = - ab = - Q cos α. (5)
3. Дана сила , перпендикулярная оси x (рис. 7, в). Проекция силы на ось x равна нулю, т.е. N x = N cos 90° = 0 .
Итак, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси .
Силу, расположенную на плоскости xOy (рис. 8), можно спроектировать на две координатные оси Ox и Oy . На рисунке изображена сила и её проекции P x и P y . Ввиду того, что проекции образуют между собой прямой угол, из прямоугольного треугольника ABC следует:
(6)
Этими формулами можно пользоваться для определения величины и направления силы, когда известны её проекции на координатные оси.
Теоретический материал
Связь – это тело, препятствующее перемещению другого тела под действием силы.
Реакция связи – сила, возникающая внутри самой связи. Реакция всегда противоположна тому направлению, по которому связь препятствует движению тела. Все тела могут быть свободными и несвободными. Свободное тело не имеет связи. Любое несвободное тело можно представить свободным, если действующие на него связи заменить реакциями.
Виды связей:
а) Гладкая поверхность или плоскость
, то есть поверхность не имеющая трения. Реакция этой связи всегда направлена перпендикулярно точке соприкосновения. R – реакция связи
б) Гладкая опора
Реакции этой связи направлены перпендикулярно к точке соприкосновения. (Реакция – сила внутри конструкции). Ее величина зависит от материала, размера и внешней силы.
в) Гибкая связь
– связь, работающая только на растяжение, которая осуществляется тросом, канатом, цепью. Реакция гибкой связи направлена по самой связи к точке закрепления, то есть противоположно направлению силы.
г) Жесткие стержни
. Осуществляется различными балками, двутаврами, швеллерами. Связь работает как на растяжение, так и на сжатие. Если стержень испытывает растяжение, то реакция направлена по стержню к месту закрепления, если на сжатие, то реакция - за стержень.
д) Шарнирная опора . Опоры бывают подвижные и неподвижные. Неподвижная опора имеет две реакции, расположенные перпендикулярно друг к другу. Подвижная опора имеет одну реакцию, перпендикулярно поверхности.
Подвижная опора Неподвижная опора
Задания для выполнения работы
1. Вычертить рисунки своего варианта.
2. Описать рисунок.
3. Определить вид связи и заменить их реакциями.
Вариант 18
1.
 | 2.
 | 3.
|
Контрольные вопросы:
1. В чем отличие между осью и проекцией?
2. Сколько уравнений равновесия Вы составляли при решении задачи?
3. Методика решения задач ПССС.
4. Дайте определение плоской системе сходящихся сил.
5. Какой величиной является проекция силы на координатную плоскость?
Литература:
1. Вереин Л.И. Техническая механика – М: Академия, 2006.
2. Мовнин М.С. Основы технической механики – СПБ: Политехника, 2003.
3. Молчанова Е.В., Шурыгина Г.Н. Статика и сопротивление материалов - Томск, 2008.
Практическая работа №2
Тема урока: Определение реакций связи плоской системы сходящихся сил.
Тип урока: закрепление полученных знаний.
Цель урока: Научиться определять реакции связи плоской системы сходящихся сил
Обеспечивающие средства:
1. методическое руководство по выполнению работы;
2. индивидуальное задание;
3. тетрадь для практических работ;
7. калькулятор.
Технология работы:
1.Внимательно изучите методические указания, предложенный теоретический материал.
2.В соответствие с вариантом, выполнить задание по методике представленной ниже.
3.Сделайте выводы о проделанной работе.
4.Ответить на контрольные вопросы.
Теоретический материал
Условия и уравнения равновесия плоской системы произвольно- расположенных сил.
При приведении системы сил к точке получается R гл и М гл.
Если система сил находится в равновесии, то R гл = 0, М гл = 0.
Запишем три вида уравнений равновесия для данной системы.
Первый вид
Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым
перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 3.1).
Величина проекции силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси. Таким образом, проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси (рис. 3.2).
Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси (рис. 3.3).
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Теоретическая механика
Теоретическая механика.. лекция.. тема основные понятия и аксиомы статики..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Все темы данного раздела:
Задачи теоретической механики
Теоретическая механика - наука о механическом движении материальных твердых тел и их взаимодействии. Механическое движение понимается как перемещение тела в пространстве и во времени по от
Третья аксиома
Не нарушая механического состояния тела, можно добавить или убрать уравновешенную систему сил (принцип отбрасывания системы сил, эквивалентной нулю) (рис. 1.3).
Р,=Р2 Р,=Р.
Следствие из второй и третьей аксиом
Силу, действующую на твердое тело, можно перемещать вдоль линии ее действия (рис. 1.6).
Связи и реакции связей
Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела.
Все тела делятся на свободные и связанные.
Свободные тела - тела, перемещение которых не ограничено.
Жесткий стержень
На схемах стержни изображают толсто сплошной линией (рис. 1.9).
Стержень може
Неподвижный шарнир
Точка крепления перемещаться не может. Стержень может свободно поворачиваться вокруг оси шарнира. Реакция такой опоры проходит через ось шарнира, но
Плоская система сходящихся сил
Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся (рис. 2.1).
Равнодействующая сходящихся сил
Равнодействующую двух пересекающихся сил можно определить с помощью параллелограмма или треугольника сил (4-я аксиома) (вис. 2.2).
Условие равновесия плоской системы сходящихся сил
При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого.
Если
Решение задач на равновесие геометрическим способом
Геометрическим способом удобно пользоваться, если в системе три силы. При решении задач на равновесие тело считать абсолютно твердым (отвердевшим).
Порядок решения задач:
Решение
1. Усилия, возникающие в стержнях крепления, по величине равны силам, с которыми стержни поддерживают груз (5-я аксиома статики) (рис. 2.5а).
Определяем возможные направления реакций связе
Сил аналитическим способом
Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определяем равнодействующую геометрическим способом. Выберем систему координат, определим проекции всех зада
Сходящихся сил в аналитической форме
Исходя из того, что равнодействующая равна нулю, получим:
Усл
Пара сил, момент пары сил
Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направленных в разные стороны.
Рассмотрим систему сил (Р; Б"), образующих пару.
Момент силы относительно точки
Сила, не проходящая через точку крепления тела, вызывает вращение тела относительно точки, поэтому действие такой силы на тело оценивается моментом.
Момент силы отн
Теорема Пуансо о параллельном переносе сил
Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила.
Расположенных сил
Линии действия произвольной системы сил не пересекаются в одной точке, поэтому для оценки состояния тела такую систему следует упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произвольно вы
Влияние точки приведения
Точка приведения выбрана произвольно. При изменении положения точки приведения величина главного вектора не изменится.
Величина главного момента при переносе точки приведения изменится,
Плоской системы сил
1. При равновесии главный вектор системы равен нулю.
Аналитическое определение главного вектора приводит к выводу:
Виды нагрузок
По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные. Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосредоточенной
Момент силы относительно оси
Момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 7.1 а).
MOO
Вектор в пространстве
В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно перпендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, вектор силы совпадает с диагональю (рис. 7.2
Пространственная сходящаяся система сил
Пространственная сходящаяся система сил - система сил, не лежащих в одной плоскости, линии действия которых пересекаются в одной точке.
Равнодействующую пространственной системы си
Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О
Дана пространственная система сил (рис. 7.5а). Приведем ее к центру О.
Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образуется система пар сил. Момент каждой из этих пар равен
Центр тяжести однородных плоских тел
(плоских фигур)
Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V =
Определение координат центра тяжести плоских фигур
Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.
Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Положения центров тяжести простых геометрических фигур могут
Кинематика точки
Иметь представление о пространстве, времени, траектории, пути, скорости и ускорении.Знать способы задания движения точки (естественный и координатный).
Знать обозначения, едини
Пройденный путь
Путь измеряется вдоль траектории в направлении движения. Обозначение - S,
единицы измерения - метры.
Уравнение движения точки:
Уравнение, определяющ
Скорость движения
Векторная величина, характеризующая в данный момент быстроту и направление движения по траектории, называется скоростью.
Скорость - вектор, в любой момент направленный по к
Ускорение точки
Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, называется ускорением точки.
Скорость точки при перемещении из точки М1
Равномерное движение
Равномерное движение - это движение с постоянной скоростью:
v = const.
Для прямолинейного равномерного движения (рис. 10.1 а)
Равнопеременное движение
Равнопеременное движение - это движение с постоянным касательным ускорением:
at = const.
Для прямолинейного равнопеременного движения
Поступательное движение
Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается параллельной своему начальному положению (рис. 11.1, 11.2).
При
Вращательное движение
При вращательном движении все точки тела описывают окружности вокруг общей неподвижной оси.
Неподвижная ось, вокруг которой вращаются все точки тела, называется осью вращения.
Частные случаи вращательного движения
Равномерное вращение (угловая скорость постоянна):
ω =const
Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае имеет вид:
Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Тело вращается вокруг точки О. Определим параметры движения точки A , расположенной на расстоянии RA от оси вращения (рис. 11.6, 11.7).
Путь
Решение
1. Участок 1 - неравномерное ускоренное движение, ω = φ’ ; ε = ω’
2. Участок 2 - скорость постоянна - движение равномерное,
. ω = const
3.
Основные определения
Сложным движением считают движение, которое можно разложить на несколько простых. Простыми движениями считают поступательное и вращательное.
Для рассмотрения сложного движения точ
Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным, или плоским, называется такое движение твердого тела, при котором все точки тела перемещаются параллельно некоторой неподвижной в рассматриваемой системе отсчета
Поступательное и вращательное
Плоскопараллельное движение раскладывают на два движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное относительно этого полюса.
Разложение используют для опред
Центра скоростей
Скорость любой точки тела можно определять с помощью мгновенного центра скоростей. При этом сложное движение представляют в виде цепи вращений вокруг разных центров.
Задача
Аксиомы динамики
Законы динамики обобщают результаты многочисленных опытов и наблюдений. Законы динамики, которые принято рассматривать как аксиомы, были сформулированы Ньютоном, но первый и четвертый законы были и
Понятие о трении. Виды трения
Трение - сопротивление, возникающее при движении одного шероховатого тела по поверхности другого. При скольжении тел возникает трение скольжения, при качении - трение качения. Природа сопро
Трение качения
Сопротивление при качении связано с взаимной деформацией грунта и колеса и значительно меньше трения скольжения.
Обычно считают грунт мягче колеса, тогда в основном деформируется грунт, и
Свободная и несвободная точки
Материальная точка, движение которой в пространстве не ограничено какими-нибудь связями, называется свободной. Задачи решаются с помощью основного закона динамики.
Материальные то
Сила инерции
Инертность - способность сохранять свое состояние неизменным, это внутреннее свойство всех материальных тел.
Сила инерции - сила, возникающая при разгоне или торможении тел
Решение
Активные силы: движущая сила, сила трения, сила тяжести. Реакция в опоре R. Прикладываем силу инерции в обратную от ускорения сторону. По принципу Даламбера, система сил, действующих на платформу
Работа равнодействующей силы
Под действием системы сил точка массой т перемещается из положения М1 в положение M 2 (рис. 15.7).
В случае движения под действием системы сил пользуютс
Мощность
Для характеристики работоспособности и быстроты совершения работы введено понятие мощности.
Мощность - работа, выполненная в единицу времени:
Мощность при вращении
Рис. 16.2
Тело движется по дуге радиуса из точки М1 в точку М2
М1М2 = φr
Работа силы
Коэффициент полезного действия
Каждая машина и механизм, совершая работу, тратит часть энергии на преодоление вредных сопротивлений.
Таким образом, машина (механизм) кроме полезной работы совершает еще и дополнитель
Теорема об изменении количества движения
Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость mv.
Вектор количества движения совпадает по
Теорема об изменении кинетической энергии
Энергией называется способность тела совершать механическую работу.
Существуют две формы механической энергии: потенциальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия,
Основы динамики системы материальных точек
Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой.
Любое материальное тело в механике рассматривается как механическая
Основное уравнение динамики вращающегося тела
Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается вокруг оси Оz с угловой скоростью
Напряжения
Метод сечений позволяет определить величину внутреннего силового фактора в сечении, но не дает возможности установить закон распределения внутренних сил по сечению. Для оценки прочности н
Внутренние силовые факторы, напряжения. Построение эпюр
Иметь представление о продольных силах, о нормальных напряжениях в поперечных сечениях.
Знать правила построения эпюр продольных сил и нормальных напряжений, закон распределения
Продольных сил
Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси. Брус закреплен в стене (закрепление «заделка») (рис. 20.2а).
Делим брус на участки нагружения.
Участком нагружения с
Геометрические характеристики плоских сечений
Иметь представление о физическом смысле и порядке определения осевых, центробежных и полярных моментов инерции, о главных центральных осях и главных центральных моментах инерции.
Статический момент площади сечения
Рассмотрим произвольное сечение (рис. 25.1).
Если разбить сечение на бесконечно малые площадки dA и умножить каждую площадку на расстояние до оси координат и проинтегрировать получе
Центробежный момент инерции
Центробежным моментом инерции сечения называется взятая ковсей площади сумма произведений элементарных площадок на обе координаты:
Осевые моменты инерции
Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой реи, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния
Полярный момент инерции сечения
Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой точки:
Моменты инерции простейших сечений
Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2)
Представим прямо
Полярный момент инерции круга
Для круга вначале вычисляют полярный момент инерции, затем - осевые. Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3).
Деформации при кручении
Кручение круглого бруса происходит при нагружении его парами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси. При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол γ,
Гипотезы при кручении
1. Выполняется гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпен-
дикулярное продольной оси, после деформацииостается плоским и перпендикулярным
продольной оси.
Внутренние силовые факторы при кручении
Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент.
Внешними нагрузками также являются две про
Эпюры крутящих моментов
Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. После определения величин моментов по сечениям строим график-эпюру крутящих моментов вдоль оси бруса.
Напряжения при кручении
Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, образовавшийся на поверхности после
Рис. 27.1а
деформации (рис. 27.1а). Поп
Максимальные напряжения при кручении
Из формулы для определения напряжений и эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что максимальные напряжения возникают на поверхности.
Определим максимальное напряж
Виды расчетов на прочность
Существует два вида расчета на прочность
1. Проектировочный расчет - определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:
Расчет на жесткость
При расчете на жесткость определяется деформация и сравнивается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).
Основные определения
Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает внутренний силовой фактор -изгибающий момент. Брус, работающий на
Внутренние силовые факторы при изгибе
Пример 1.Рассмотрим балку, на которую действует пара сил с моментом т и внешняя сила F (рис. 29.3а). Для определения внутренних силовых факторов пользуемся методом с
Изгибающих моментов
Поперечная сила в сечении считается положительной, если она стремится развернуть се
Дифференциальные зависимости при прямом поперечном изгибе
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов существенно упрощается при использовании дифференциальных зависимостей между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью равномерн
Методом сечения Полученное выражение можно обобщить
Поперечная сила в рассматриваемом сечении равна алгебраической сумме всех сил, действующих на балку до рассматриваемого сечения:
Q = ΣFi
Поскольку речь идет
Напряжения
Рассмотрим изгиб балки, защемленной справа и нагруженной сосредоточенной силой F (рис. 33.1).
Напряженное состояние в точке
Напряженное состояние в точке характеризуется нормальными и касательными напряжениями, возникающими на всех площадках (сечениях), проходящих через данную точку. Обычно достаточно определить напр
Понятие о сложном деформированном состоянии
Совокупность деформаций, возникающих по различным направлениям и в различных плоскостях, проходящих через точку, определяют деформированное состояние в этой точке.
Сложное деформи
Расчет круглого бруса на изгиб с кручением
В случае расчета круглого бруса при действии изгиба и кручения (рис. 34.3) необходимо учитывать нормальные и касательные напряжения, т. к. максимальные значения напряжений в обоих случаях возника
Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии
Относительно короткие и массивные стержни рассчитывают на сжатие, т.к. они выходят из строя в результате разрушения или остаточных деформаций. Длинные стержни небольшого поперечного сечения под дей
Расчет на устойчивость
Расчет на устойчивость заключается в определении допускаемой сжимающей силы и в сравнении с ней силы действующей:
Расчет по формуле Эйлера
Задачу определения критической силы математически решил
Л. Эйлер в 1744 г.
Для шарнирно закрепленного с обеих сторон стержня (рис. 36.2) формула Эйлера имеет вид
Критические напряжения
Критическое напряжение - напряжение сжатия, соответствующее критической силе.
Напряжение от сжимающей силы определяется по формуле
Пределы применимости формулы Эйлера
Формула Эйлера выполняется только в пределах упругих деформаций.
Таким образом, критическое напряжение должно быть меньше
предела упругости материала.
Пред
