Các công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Các trường hợp nghiệm thực, bội và phức được xem xét. Thừa số của một tam thức vuông. Giải thích hình học. Ví dụ về xác định nghiệm và phân tích thừa số.
Nội dungXem thêm: Giải phương trình bậc hai trực tuyến
công thức cơ bản
Xét phương trình bậc hai:
(1)
.
Nguyên hàm của phương trình bậc hai(1) được xác định bởi các công thức:
;
.
Các công thức này có thể được kết hợp như thế này:
.
Khi đã biết nghiệm của phương trình bậc hai, thì đa thức bậc hai có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các thừa số (đã phân tích):
.
Hơn nữa, chúng tôi giả sử đó là những số thực.
Coi như biệt thức của phương trình bậc hai:
.
Nếu biệt thức là dương thì phương trình bậc hai (1) có hai nghiệm thực khác nhau:
;
.
Khi đó, phân tích thành nhân tử của tam thức vuông có dạng:
.
Nếu biệt thức bằng 0, thì phương trình bậc hai (1) có hai nghiệm thực (bằng nhau):
.
thừa số:
.
Nếu biệt thức âm, thì phương trình bậc hai (1) có hai nghiệm phức liên hợp:
;
.
Đây là đơn vị tưởng tượng, ;
và là phần thực và phần ảo của nghiệm:
;
.
Sau đó
.
giải thích đồ họa
Nếu chúng ta vẽ đồ thị của hàm
,
là một parabola, thì các giao điểm của đồ thị với trục sẽ là nghiệm của phương trình
.
Khi , đồ thị cắt trục hoành (axis) tại hai điểm ( ).
Khi , đồ thị tiếp xúc với trục x tại một điểm ( ).
Khi , đồ thị không qua trục x ( ).
Công thức hữu ích liên quan đến phương trình bậc hai
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Đạo hàm của công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Ta thực hiện các phép biến đổi và áp dụng công thức (f.1) và (f.3):
,
Ở đâu
;
.
Vì vậy, chúng tôi đã nhận được công thức cho đa thức của mức độ thứ hai ở dạng:
.
Từ đó có thể thấy rằng phương trình
thực hiện tại
Và .
Đó là và là nghiệm của phương trình bậc hai
.
Ví dụ về xác định nghiệm của phương trình bậc hai
ví dụ 1
(1.1)
.
.
Đối chiếu với phương trình (1.1) ta tìm được giá trị của các hệ số:
.
Tìm phân biệt:
.
Vì biệt thức là dương nên phương trình có hai nghiệm thực:
;
;
.
Từ đây, chúng ta có được sự phân tích của tam thức vuông thành các thừa số:
.
Đồ thị của hàm số y = 2 x 2 + 7 x + 3 cắt trục x tại hai điểm.
Hãy vẽ đồ thị hàm
.
Đồ thị của hàm số này là một parabol. Nó đi qua trục x (trục) tại hai điểm:
Và .
Những điểm này là nghiệm của phương trình ban đầu (1.1).
;
;
.
ví dụ 2
Tìm nghiệm của phương trình bậc hai:
(2.1)
.
Ta viết phương trình bậc hai ở dạng tổng quát:
.
Đối chiếu với phương trình (2.1) ban đầu, ta tìm được giá trị của các hệ số:
.
Tìm phân biệt:
.
Vì biệt thức bằng 0 nên phương trình có hai nghiệm bội (bằng nhau):
;
.
Khi đó, phân tích thành nhân tử của tam thức có dạng:
.
Đồ thị của hàm số y = x 2 - 4 x + 4 chạm vào trục x tại một điểm.
Hãy vẽ đồ thị hàm
.
Đồ thị của hàm số này là một parabol. Nó chạm vào trục x (axis) tại một điểm:
.
Điểm này là nghiệm của phương trình (2.1) ban đầu. Vì gốc này được nhân hai lần:
,
thì một căn như vậy được gọi là một bội. Đó là, họ cho rằng có hai gốc bằng nhau:
.
;
.
ví dụ 3
Tìm nghiệm của phương trình bậc hai:
(3.1)
.
Ta viết phương trình bậc hai ở dạng tổng quát:
(1)
.
Hãy để chúng tôi viết lại phương trình ban đầu (3.1):
.
Đối chiếu với (1) ta tìm được giá trị của các hệ số:
.
Tìm phân biệt:
.
Phân biệt là tiêu cực, . Do đó, không có rễ thực sự.
Bạn có thể tìm thấy các gốc phức tạp:
;
;
.
Sau đó
.
Đồ thị hàm số không qua trục hoành. Không có rễ thực sự.
Hãy vẽ đồ thị hàm
.
Đồ thị của hàm số này là một parabol. Nó không vượt qua trục hoành (trục). Do đó, không có rễ thực sự.
Không có rễ thực sự. Rễ phức tạp:
;
;
.
Một số bài toán yêu cầu khả năng tính giá trị của căn bậc hai. Những vấn đề này bao gồm giải phương trình bậc hai. Trong bài viết này, chúng tôi trình bày phương pháp hiệu quả tính căn bậc hai và sử dụng nó khi làm việc với các công thức về căn của phương trình bậc hai.
Căn bậc hai là gì?
Trong toán học, khái niệm này tương ứng với ký hiệu √. Dữ liệu lịch sử nói rằng nó bắt đầu được sử dụng lần đầu tiên vào khoảng nửa đầu thế kỷ 16 ở Đức (tác phẩm đầu tiên của Đức về đại số của Christoph Rudolf). Các nhà khoa học tin rằng biểu tượng này là một chữ cái Latin r đã được biến đổi (radix có nghĩa là "gốc" trong tiếng Latin).
Căn của bất kỳ số nào cũng bằng một giá trị như vậy, bình phương của nó tương ứng với biểu thức căn. Theo ngôn ngữ toán học, định nghĩa này sẽ như sau: √x = y nếu y 2 = x.
Căn của một số dương (x > 0) cũng là một số dương (y > 0), nhưng nếu bạn lấy căn của một số âm (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.
Đây là hai ví dụ đơn giản:
√9 = 3 vì 3 2 = 9; √(-9) = 3i vì i 2 = -1.
Công thức lặp của Heron để tìm các giá trị của căn bậc hai
Các ví dụ trên rất đơn giản và việc tính toán các gốc trong chúng không khó. Khó khăn bắt đầu xuất hiện khi tìm các giá trị của gốc cho bất kỳ giá trị nào không thể biểu diễn dưới dạng hình vuông số tự nhiên, ví dụ √10, √11, √12, √13, chưa kể trong thực tế cần tìm nghiệm của các số không nguyên: ví dụ √(12,15), √(8,5), v.v.
Trong tất cả các trường hợp trên, nên sử dụng một phương pháp đặc biệt để tính căn bậc hai. Hiện tại, một số phương pháp như vậy đã được biết đến: ví dụ: khai triển theo chuỗi Taylor, chia cho một cột và một số phương pháp khác. Trong tất cả các phương pháp đã biết, có lẽ đơn giản và hiệu quả nhất là sử dụng công thức lặp của Heron, còn được gọi là phương pháp của người Babylon để xác định căn bậc hai (có bằng chứng cho thấy người Babylon cổ đại đã sử dụng nó trong các tính toán thực tế của họ).
Cần xác định giá trị của √x. Công thức tìm căn bậc hai như sau:
a n+1 = 1/2(a n +x/a n), trong đó lim n->∞ (a n) => x.
Hãy giải mã ký hiệu toán học này. Để tính √x ta lấy một số a 0 nào đó (có thể tùy ý, tuy nhiên để nhanh ra kết quả ta nên chọn sao cho (a 0)2 càng gần x càng tốt. Sau đó thế vào công thức được chỉ định để tính căn bậc hai và nhận số mới a 1, số này sẽ gần với giá trị mong muốn hơn. Sau đó, cần thay số 1 vào biểu thức và nhận số 2. Quy trình này phải được lặp lại cho đến khi đạt được độ chính xác cần thiết.
Một ví dụ về việc áp dụng công thức lặp của Heron
Đối với nhiều người, thuật toán lấy căn bậc hai của một số đã cho nghe có vẻ khá phức tạp và khó hiểu, nhưng trên thực tế, mọi thứ hóa ra lại đơn giản hơn nhiều, vì công thức này hội tụ rất nhanh (đặc biệt nếu một số tốt 0 được chọn).
Hãy đưa ra một ví dụ đơn giản: cần tính √11. Chúng tôi chọn 0 \u003d 3, vì 3 2 \u003d 9, gần với 11 hơn 4 2 \u003d 16. Thay vào công thức, chúng tôi nhận được:
a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3,333333;
a 2 \u003d 1/2 (3.33333 + 11/3.33333) \u003d 3.316668;
a 3 \u003d 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) \u003d 3,31662.
Không có lý do gì để tiếp tục tính toán, vì chúng tôi nhận thấy rằng số 2 và số 3 bắt đầu chỉ khác nhau ở chữ số thập phân thứ 5. Do đó, chỉ cần áp dụng công thức 2 lần để tính √11 với độ chính xác 0,0001 là đủ.
Hiện tại, máy tính và máy tính được sử dụng rộng rãi để tính toán các gốc, tuy nhiên, sẽ rất hữu ích nếu bạn nhớ công thức được đánh dấu để có thể tính toán giá trị chính xác của chúng theo cách thủ công.
phương trình bậc hai
Hiểu căn bậc hai là gì và khả năng tính toán nó được sử dụng khi giải phương trình bậc hai. Các phương trình này là đẳng thức với một ẩn số, dạng tổng quát của nó được thể hiện trong hình bên dưới.
Ở đây c, b và a là một số số và a không được bằng 0 và các giá trị của c và b có thể hoàn toàn tùy ý, kể cả bằng 0.
Bất kỳ giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức được chỉ ra trong hình đều được gọi là nghiệm của nó (không nên nhầm lẫn khái niệm này với căn bậc hai √). Vì phương trình đang xét có bậc 2 (x 2) nên không thể có nhiều nghiệm của nó hơn hai số. Chúng tôi sẽ xem xét sau trong bài viết làm thế nào để tìm thấy những gốc này.
Tìm nghiệm của phương trình bậc hai (công thức)
Phương pháp giải loại đẳng thức đang xét này còn được gọi là phương pháp vạn năng hay phương pháp thông qua biệt thức. Nó có thể được áp dụng cho bất kỳ phương trình bậc hai nào. Công thức tính biệt thức và nghiệm của phương trình bậc hai như sau:
Từ đó có thể thấy rằng các nghiệm phụ thuộc vào giá trị của từng hệ số trong ba hệ số của phương trình. Hơn nữa, phép tính x 1 chỉ khác với phép tính x 2 ở dấu trước căn bậc hai. Biểu thức căn, tương đương với b 2 - 4ac, không gì khác hơn là phân biệt đối xử của đẳng thức được coi là. Biệt thức trong công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai đóng vai trò quan trọng vì nó quyết định số lượng và loại nghiệm. Vì vậy, nếu nó bằng 0, thì sẽ chỉ có một nghiệm, nếu nó dương, thì phương trình có hai nghiệm thực, và cuối cùng, một biệt thức âm dẫn đến hai nghiệm phức x 1 và x 2.
Định lý Vieta hay một số tính chất nghiệm của phương trình bậc 2
Vào cuối thế kỷ 16, một trong những người sáng lập đại số hiện đại, một người Pháp, nghiên cứu các phương trình bậc hai, đã có thể thu được các tính chất của gốc của nó. Về mặt toán học, chúng có thể được viết như sau:
x 1 + x 2 = -b/a và x 1 * x 2 = c/a.
Mọi người đều có thể dễ dàng đạt được cả hai đẳng thức, đối với điều này, chỉ cần thực hiện các phép toán thích hợp với các nghiệm thu được thông qua một công thức có phân biệt.
Sự kết hợp của hai biểu thức này có thể được gọi một cách chính xác là công thức thứ hai của nghiệm của phương trình bậc hai, giúp đoán nghiệm của nó mà không cần sử dụng biệt thức. Ở đây, cần lưu ý rằng mặc dù cả hai biểu thức luôn hợp lệ, nhưng sẽ thuận tiện khi sử dụng chúng để giải một phương trình chỉ khi nó có thể được phân tích thành nhân tử.
Nhiệm vụ củng cố kiến thức đã học
Chúng tôi sẽ giải quyết một vấn đề toán học trong đó chúng tôi sẽ chứng minh tất cả các kỹ thuật được thảo luận trong bài báo. Điều kiện của bài toán như sau: bạn cần tìm hai số có tích là -13 và tổng là 4.
Điều kiện này ngay lập tức gợi nhớ đến định lý Vieta, sử dụng các công thức tính tổng các căn bậc hai và tích của chúng, chúng ta viết:
x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;
x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.
Giả sử a = 1 thì b = -4 và c = -13. Các hệ số này cho phép chúng ta soạn một phương trình bậc hai:
x 2 - 4x - 13 = 0.
Chúng tôi sử dụng công thức với phân biệt đối xử, chúng tôi nhận được các gốc sau:
x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Nghĩa là, nhiệm vụ được rút gọn thành việc tìm số √68. Lưu ý rằng 68 = 4 * 17, sau đó, sử dụng thuộc tính căn bậc hai, chúng ta nhận được: √68 = 2√17.
Bây giờ chúng tôi sử dụng công thức căn bậc hai được xem xét: a 0 \u003d 4, sau đó:
a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4,125;
a 2 \u003d 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) \u003d 4,1231.
Không cần tính 3 vì các giá trị tìm được chỉ khác nhau 0,02. Do đó, √68 = 8,246. Thay thế nó vào công thức cho x 1,2, chúng tôi nhận được:
x 1 \u003d (4 + 8,246) / 2 \u003d 6,123 và x 2 \u003d (4 - 8,246) / 2 \u003d -2,123.
Như bạn có thể thấy, tổng của các số tìm được thực sự bằng 4, nhưng nếu bạn tìm tích của chúng thì nó sẽ bằng -12,999, thỏa mãn điều kiện của bài toán với độ chính xác là 0,001.
Chúng tôi nhắc bạn rằng phương trình bậc hai đầy đủ là một phương trình có dạng:
Việc giải các phương trình bậc hai đầy đủ phức tạp hơn một chút (chỉ một chút thôi) so với các phương trình đã cho.
Nhớ, bất kỳ phương trình bậc hai nào cũng có thể được giải bằng cách sử dụng biệt thức!
Thậm chí không đầy đủ.
Các phương pháp còn lại sẽ giúp bạn làm nhanh hơn, nhưng nếu bạn gặp vấn đề với phương trình bậc hai, trước tiên hãy nắm vững cách giải bằng cách sử dụng biệt thức.
1. Giải phương trình bậc hai bằng dấu biệt thức.
Giải phương trình bậc hai theo cách này rất đơn giản, điều chính là phải nhớ chuỗi hành động và một vài công thức.
Nếu thì phương trình có 2 nghiệm. Đặc biệt chú ý đến bước 2.
Biệt thức D cho chúng ta biết số nghiệm của phương trình.
- Nếu, thì công thức ở bước này sẽ được rút gọn thành. Do đó, phương trình sẽ chỉ có một gốc.
- Nếu, thì chúng tôi sẽ không thể trích xuất gốc của phân biệt đối xử ở bước này. Điều này chỉ ra rằng phương trình không có gốc.
Chúng ta hãy chuyển sang ý nghĩa hình học của phương trình bậc hai.
Đồ thị của hàm số là một parabol:
Hãy quay trở lại các phương trình của chúng ta và xem xét một vài ví dụ.
Ví dụ 9
Giải phương trình
Bước 1 nhảy.
Bước 2
Tìm phân biệt:
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Bước 3
Trả lời:
Ví dụ 10
Giải phương trình
Phương trình ở dạng chuẩn nên Bước 1 nhảy.
Bước 2
Tìm phân biệt:
Vì vậy, phương trình có một gốc.
Trả lời:
Ví dụ 11
Giải phương trình
Phương trình ở dạng chuẩn nên Bước 1 nhảy.
Bước 2
Tìm phân biệt:
Điều này có nghĩa là chúng tôi sẽ không thể trích xuất gốc từ phân biệt đối xử. Không có gốc của phương trình.
Bây giờ chúng tôi biết làm thế nào để viết ra những câu trả lời như vậy một cách chính xác.
Trả lời: không có rễ
2. Giải phương trình bậc hai bằng định lý Vieta
Nếu bạn còn nhớ, thì có một loại phương trình được gọi là rút gọn (khi hệ số a bằng):
Các phương trình như vậy rất dễ giải bằng định lý Vieta:
Tổng của các gốc được cho phương trình bậc hai bằng nhau, và tích của các nghiệm bằng nhau.
Bạn chỉ cần chọn một cặp số có tích bằng số hạng tự do của phương trình và tổng bằng hệ số thứ hai, lấy dấu ngược lại.
Ví dụ 12
Giải phương trình
Phương trình này phù hợp để giải bằng định lý Vieta, bởi vì .
Tổng các nghiệm của phương trình là, tức là ta được phương trình đầu tiên:
Và sản phẩm là:
Hãy tạo và giải quyết hệ thống:
- Và. Tổng là;
- Và. Tổng là;
- Và. Số lượng bằng nhau.
và là nghiệm của hệ:
Trả lời: ; .
Ví dụ 13
Giải phương trình
Trả lời:
Ví dụ 14
Giải phương trình
Phương trình được giảm, có nghĩa là:
Trả lời:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. MỨC TRUNG BÌNH
Phương trình bậc hai là gì?
Nói cách khác, một phương trình bậc hai là một phương trình có dạng, trong đó - ẩn số, - một số, hơn nữa.
Con số được gọi là cao nhất hoặc hệ số đầu tiên phương trình bậc hai, - hệ số thứ hai, MỘT - thành viên miễn phí.
Bởi vì nếu, phương trình sẽ ngay lập tức trở thành tuyến tính, bởi vì sẽ biến mất.
Trong trường hợp này, và có thể bằng không. Trong phương trình ghế này được gọi là chưa hoàn thiện.
Nếu tất cả các số hạng đều đúng, nghĩa là phương trình - hoàn thành.
Phương pháp giải phương trình bậc hai không đầy đủ
Để bắt đầu, chúng ta sẽ phân tích các phương pháp giải phương trình bậc hai không hoàn chỉnh - chúng đơn giản hơn.
Các loại phương trình sau đây có thể được phân biệt:
I. , trong phương trình này hệ số và số hạng tự do bằng nhau.
II. , trong phương trình này hệ số bằng nhau.
III. , trong phương trình này số hạng tự do bằng.
Bây giờ hãy xem xét giải pháp của từng loại phụ này.
Rõ ràng, phương trình này luôn chỉ có một nghiệm:
Bình phương của một số không thể âm, vì khi nhân hai số âm hoặc hai số dương, kết quả sẽ luôn là một số dương. Đó là lý do tại sao:
nếu thì phương trình vô nghiệm;
nếu chúng ta có hai gốc
Những công thức này không cần phải ghi nhớ. Điều chính cần nhớ là nó không thể ít hơn.
Ví dụ giải phương trình bậc hai
Ví dụ 15
Trả lời:
Đừng bao giờ quên về gốc với một dấu hiệu tiêu cực!
Ví dụ 16
Bình phương của một số không thể âm, có nghĩa là phương trình
không có rễ.
Để viết ngắn gọn rằng vấn đề không có giải pháp, chúng tôi sử dụng biểu tượng tập hợp trống.
Trả lời:
Ví dụ 17
Vì vậy, phương trình này có hai gốc: và.
Trả lời:
Hãy lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc:
Tích bằng không nếu ít nhất một trong các thừa số bằng không. Điều này có nghĩa là phương trình có nghiệm khi:
Vì vậy, phương trình bậc hai này có hai nghiệm: và .
Ví dụ:
Giải phương trình.
Giải pháp:
Chúng tôi nhân tố phía bên trái của phương trình và tìm các gốc:
Trả lời:
Phương pháp giải phương trình bậc hai đầy đủ
1. Phân biệt đối xử
Giải phương trình bậc hai theo cách này rất dễ, cái chính là phải nhớ trình tự các thao tác và một vài công thức. Hãy nhớ rằng, bất kỳ phương trình bậc hai nào cũng có thể được giải bằng cách sử dụng biệt thức! Thậm chí không đầy đủ.
Bạn có nhận thấy gốc của phân biệt đối xử trong công thức gốc không?
Nhưng phân biệt đối xử có thể là tiêu cực.
phải làm gì?
Chúng ta cần đặc biệt chú ý đến bước 2. Biệt thức cho chúng ta biết số nghiệm của phương trình.
- Nếu thì phương trình có nghiệm:
- Nếu, thì phương trình có cùng một gốc, nhưng trên thực tế, một gốc:
Rễ như vậy được gọi là rễ kép.
- Nếu, thì gốc của phân biệt đối xử không được trích xuất. Điều này chỉ ra rằng phương trình không có gốc.
Tại sao có số lượng rễ khác nhau?
Chúng ta hãy chuyển sang ý nghĩa hình học của phương trình bậc hai. Đồ thị của hàm số là một parabol:
Trong một trường hợp cụ thể, đó là một phương trình bậc hai, .
Và điều này có nghĩa là nghiệm của phương trình bậc hai là giao điểm với trục x (trục).
Hình parabol hoàn toàn không được cắt qua trục hoặc có thể cắt nó tại một (khi đỉnh của hình parabol nằm trên trục) hoặc hai điểm.
Ngoài ra, hệ số chịu trách nhiệm về hướng của các nhánh của parabola. Nếu, thì các nhánh của parabola hướng lên trên và nếu - thì hướng xuống dưới.
4 ví dụ giải phương trình bậc hai
Ví dụ 18
Trả lời:
Ví dụ 19
Trả lời: .
Ví dụ 20
Trả lời:
Ví dụ 21
Điều này có nghĩa là không có giải pháp.
Trả lời: .
2. Định lý Vieta
Sử dụng định lý Vieta rất dễ dàng.
Tất cả bạn cần là nhặt lên một cặp số như vậy, tích của chúng bằng số hạng tự do của phương trình và tổng bằng hệ số thứ hai, được lấy bằng dấu ngược lại.
Điều quan trọng cần nhớ là định lý Vieta chỉ có thể áp dụng cho phương trình bậc hai đã cho ( ).
Hãy xem xét một vài ví dụ:
Ví dụ 22
Giải phương trình.
Giải pháp:
Phương trình này phù hợp để giải bằng định lý Vieta, bởi vì . Các hệ số khác: ; .
Tổng các nghiệm của phương trình là:
Và sản phẩm là:
Hãy chọn các cặp số như vậy, tích của chúng bằng nhau và kiểm tra xem tổng của chúng có bằng nhau không:
- Và. Tổng là;
- Và. Tổng là;
- Và. Số lượng bằng nhau.
và là nghiệm của hệ:
Do đó, và là nghiệm của phương trình của chúng ta.
Trả lời: ; .
Ví dụ 23
Giải pháp:
Chúng tôi chọn các cặp số như vậy cho kết quả, sau đó kiểm tra xem tổng của chúng có bằng nhau không:
và: cho tổng cộng.
và: cho tổng cộng. Để có được nó, bạn chỉ cần thay đổi các dấu hiệu của nguồn gốc bị cáo buộc: và sau cùng là sản phẩm.
Trả lời:
Ví dụ 24
Giải pháp:
Số hạng tự do của phương trình là âm, và do đó tích của các nghiệm là một số âm. Điều này chỉ có thể nếu một trong các gốc là âm và gốc kia là dương. Vậy tổng các nghiệm là sự khác biệt của các mô-đun của họ.
Chúng tôi chọn các cặp số như vậy mang lại sản phẩm và sự khác biệt của chúng bằng:
và: sự khác biệt của chúng là - không phù hợp;
và: - không phù hợp;
và: - không phù hợp;
và: - phù hợp. Chỉ cần nhớ rằng một trong những gốc là tiêu cực. Vì tổng của chúng phải bằng nhau nên căn nhỏ hơn về giá trị tuyệt đối phải âm: . Chung ta kiểm tra:
Trả lời:
Ví dụ 25
Giải phương trình.
Giải pháp:
Phương trình được giảm, có nghĩa là:
Số hạng tự do là âm, và do đó tích của các nghiệm là âm. Và điều này chỉ có thể xảy ra khi một nghiệm của phương trình là âm và nghiệm kia là dương.
Chúng tôi chọn các cặp số như vậy có tích bằng nhau, sau đó xác định gốc nào sẽ có dấu âm:
Rõ ràng chỉ có nghiệm và phù hợp với điều kiện thứ nhất:
Trả lời:
Ví dụ 26
Giải phương trình.
Giải pháp:
Phương trình được giảm, có nghĩa là:
Tổng của các nghiệm là âm, có nghĩa là ít nhất một trong các nghiệm là âm. Nhưng vì tích của chúng là dương nên có nghĩa là cả hai nghiệm đều âm.
Chúng tôi chọn các cặp số như vậy, sản phẩm của chúng bằng:
Rõ ràng, gốc là những con số và.
Trả lời:
Đồng ý, nó rất thuận tiện - để phát minh ra gốc rễ, thay vì đếm sự phân biệt đối xử khó chịu này.
Hãy cố gắng sử dụng định lý Vieta thường xuyên nhất có thể!
Nhưng định lý Vieta là cần thiết để tạo điều kiện và tăng tốc độ tìm nghiệm.
Để mang lại lợi nhuận cho bạn khi sử dụng nó, bạn phải đưa các hành động về chế độ tự động hóa. Và để làm được điều này, hãy giải thêm năm ví dụ nữa.
Nhưng đừng gian lận: bạn không thể sử dụng phân biệt đối xử! Chỉ có định lý Vieta!
5 ví dụ định lý Vieta tự học
Ví dụ 27
Nhiệm vụ 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Theo định lý Vieta:
Như thường lệ, chúng tôi bắt đầu lựa chọn với sản phẩm:
Không phù hợp vì số lượng;
: số lượng là những gì bạn cần.
Trả lời: ; .
Ví dụ 28
Nhiệm vụ 2.
Và một lần nữa, định lý Vieta yêu thích của chúng tôi: tổng phải bằng nhau, nhưng tích bằng nhau.
Nhưng vì nó không nên, nhưng, chúng tôi thay đổi các dấu hiệu của gốc: và (tổng cộng).
Trả lời: ; .
Ví dụ 29
Nhiệm vụ 3.
Hừm... Nó ở đâu?
Cần phải chuyển tất cả các điều khoản thành một phần:
Tổng các nghiệm bằng tích.
Vâng, dừng lại! Phương trình không được đưa ra.
Nhưng định lý Vieta chỉ áp dụng được trong các phương trình đã cho.
Vì vậy, trước tiên bạn cần đưa phương trình.
Nếu bạn không thể đưa ra nó, hãy bỏ ý tưởng này và giải quyết nó theo cách khác (ví dụ: thông qua phân biệt).
Để tôi nhắc bạn rằng để đưa về một phương trình bậc hai có nghĩa là làm cho hệ số đầu bằng:
Sau đó, tổng của các gốc bằng nhau, và sản phẩm.
Chọn ở đây dễ dàng hơn: xét cho cùng - một số nguyên tố (xin lỗi vì sự lặp lại).
Trả lời: ; .
Ví dụ 30
Nhiệm vụ 4.
Số hạng tự do là số âm.
Nó có gì đặc biệt?
Và thực tế là rễ sẽ có những dấu hiệu khác nhau.
Và bây giờ, trong quá trình lựa chọn, chúng tôi kiểm tra không phải tổng của các gốc mà là sự khác biệt giữa các mô-đun của chúng: sự khác biệt này bằng nhau, nhưng là sản phẩm.
Vì vậy, các gốc bằng nhau và, nhưng một trong số chúng có dấu trừ.
Định lý Vieta cho chúng ta biết rằng tổng các nghiệm bằng hệ số thứ hai trái dấu, nghĩa là.
Điều này có nghĩa là gốc nhỏ hơn sẽ có dấu trừ: và, vì.
Trả lời: ; .
Ví dụ 31
Nhiệm vụ 5.
Điều gì cần phải được thực hiện đầu tiên?
Đúng vậy, đưa ra phương trình:
Một lần nữa: chúng tôi chọn các yếu tố của số và hiệu của chúng phải bằng:
Các gốc bằng nhau và, nhưng một trong số chúng bị trừ. Cái mà? Tổng của chúng phải bằng nhau, có nghĩa là có số trừ sẽ có căn lớn hơn.
Trả lời: ; .
tóm tắt
- Định lý Vieta chỉ được sử dụng trong giải phương trình bậc hai đã cho.
- Sử dụng định lý Vieta, bạn có thể tìm nghiệm bằng cách chọn, bằng miệng.
- Nếu phương trình không được đưa ra hoặc không tìm thấy cặp thừa số phù hợp của số hạng tự do, thì không có nghiệm nguyên nào và bạn cần giải nó theo cách khác (ví dụ: thông qua biệt thức).
3. Phương pháp chọn hình vuông đầy đủ
Nếu tất cả các thuật ngữ chứa ẩn số được biểu diễn dưới dạng các thuật ngữ từ các công thức của phép nhân viết tắt - bình phương của tổng hoặc hiệu - thì sau khi thay đổi các biến, phương trình có thể được biểu diễn dưới dạng phương trình bậc hai không đầy đủ của loại.
Ví dụ:
Ví dụ 32
Giải phương trình: .
Giải pháp:
Trả lời:
Ví dụ 33
Giải phương trình: .
Giải pháp:
Trả lời:
Nói chung, quá trình chuyển đổi sẽ như thế này:
Điều này nghĩa là: .
Nó không nhắc nhở bạn về bất cứ điều gì?
Đó là sự phân biệt đối xử! Đó chính xác là cách thu được công thức phân biệt.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. SƠ LƯỢC VỀ CHÍNH
phương trình bậc hai là một phương trình có dạng, trong đó ẩn số là các hệ số của phương trình bậc hai, là số hạng tự do.
Hoàn thành phương trình bậc hai- một phương trình trong đó các hệ số không bằng 0.
Phương trình bậc hai rút gọn- một phương trình trong đó hệ số, đó là: .
phương trình bậc hai không đầy đủ- một phương trình trong đó hệ số và hoặc số hạng tự do c bằng 0:
- nếu là hệ số thì phương trình có dạng: ,
- nếu là số hạng tự do thì phương trình có dạng: ,
- nếu và thì phương trình có dạng: .
1. Thuật toán giải phương trình bậc hai không đầy đủ
1.1. Một phương trình bậc hai không hoàn chỉnh có dạng, trong đó:
1) Biểu thị điều chưa biết: ,
2) Xét dấu của biểu thức:
- nếu thì phương trình vô nghiệm
- nếu thì phương trình có hai nghiệm.
1.2. Một phương trình bậc hai không hoàn chỉnh có dạng, trong đó:
1) Hãy lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc: ,
2) Tích bằng không nếu ít nhất một trong các thừa số bằng không. Do đó, phương trình có hai gốc:
1.3. Một phương trình bậc hai không hoàn chỉnh có dạng, trong đó:
Phương trình này luôn chỉ có một nghiệm duy nhất: .
2. Thuật toán giải phương trình bậc hai đầy đủ dạng trong đó
2.1. Giải pháp sử dụng biệt thức
1) Ta đưa phương trình về chế độ xem tiêu chuẩn: ,
2) Tính biệt thức bằng công thức: , cho biết số nghiệm của phương trình:
3) Tìm nghiệm của phương trình:
- nếu, thì phương trình có nghiệm, được tìm theo công thức:
- nếu, thì phương trình có nghiệm, được tìm theo công thức:
- nếu thì phương trình vô nghiệm.
2.2. Giải bằng định lý Vieta
Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn (một phương trình có dạng, trong đó) bằng nhau và tích của các nghiệm bằng nhau, tức là , MỘT.
2.3. Giải pháp bình phương đầy đủ
”, tức là phương trình bậc nhất. Trong bài học này, chúng ta sẽ khám phá phương trình bậc hai là gì và làm thế nào để giải quyết nó.
phương trình bậc hai là gì
Quan trọng!
Bậc của một phương trình được xác định bởi bậc cao nhất của ẩn số.
Nếu mức độ lớn nhất của ẩn số là “2”, thì bạn có một phương trình bậc hai.
Ví dụ về phương trình bậc hai
- 5x2 - 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x2 + 0,25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Quan trọng! Dạng tổng quát của phương trình bậc hai trông như thế này:
A x 2 + b x + c = 0
"a", "b" và "c" - các số đã cho.- "a" - hệ số đầu tiên hoặc cao cấp;
- "b" - hệ số thứ hai;
- "c" là thành viên miễn phí.
Để tìm "a", "b" và "c" Bạn cần so sánh phương trình của mình với dạng tổng quát của phương trình bậc hai "ax 2 + bx + c \u003d 0".
Hãy thực hành xác định các hệ số "a", "b" và "c" trong phương trình bậc hai.
| phương trình | tỷ lệ cược | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- một = -1
- b = 1
- c =
1 3
- một = 1
- b = 0,25
- c = 0
- một = 1
- b = 0
- c = −8
Cách giải phương trình bậc hai
Khác với phương trình tuyến tính, phương trình đặc biệt dùng để giải phương trình bậc hai. công thức tìm gốc.
Nhớ!
Để giải phương trình bậc hai bạn cần:
- đưa phương trình bậc hai về dạng tổng quát "ax 2 + bx + c \u003d 0". Nghĩa là, chỉ có "0" ở bên phải;
- sử dụng công thức cho rễ:
Hãy lấy một ví dụ để tìm ra cách áp dụng công thức để tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Hãy giải phương trình bậc hai.
x 2 - 3x - 4 = 0
Phương trình "x 2 - 3x - 4 = 0" đã được rút gọn về dạng chung "ax 2 + bx + c = 0" và không yêu cầu đơn giản hóa thêm. Để giải quyết, chúng ta chỉ cần áp dụng công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai.
Hãy xác định các hệ số "a", "b" và "c" cho phương trình này.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
Với sự giúp đỡ của nó, bất kỳ phương trình bậc hai nào cũng được giải quyết.
Trong công thức "x 1; 2 \u003d", biểu thức gốc thường được thay thế
"b 2 − 4ac" thành chữ "D" và được gọi là phân biệt. Khái niệm phân biệt đối xử được thảo luận chi tiết hơn trong bài học " phân biệt đối xử là gì ».
Xét một ví dụ khác về phương trình bậc hai.
x 2 + 9 + x = 7x
Ở dạng này, khá khó để xác định các hệ số "a", "b" và "c". Trước tiên, hãy đưa phương trình về dạng tổng quát "ax 2 + bx + c \u003d 0".
x 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Bây giờ bạn có thể sử dụng công thức cho rễ.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=
| 6 |
| 2 |
x=3
Trả lời: x = 3
Có những lúc không có nghiệm trong phương trình bậc hai. Tình huống này xảy ra khi một số âm xuất hiện trong công thức dưới gốc.
