Đầu ra bộ sưu tập:
TRÊN KHÁC BIỆT ĐẶT HÀNG THỨ HAI
Lovkov Ivan Yuryevich
sinh viên Đại học Công nghệ Thông tin, Kỹ thuật Vô tuyến và Điện tử Moscow, Liên bang Nga, Serpukhov
E- thư: người kiềm chế@ người nói huyên thuyên. ru
Taperechkina Vera Alekseevna
Bằng tiến sĩ. vật lý và toán học Khoa học, Phó Giáo sư, Đại học Công nghệ Thông tin, Kỹ thuật Vô tuyến và Điện tử Quốc gia Moscow, Liên bang Nga, Serpukhov
GIỚI THIỆU KHÁC BIỆT THỨ HAI
Lovkov Ivan
sinh viên Đại học Công nghệ Thông tin, Kỹ thuật Vô tuyến và Điện tử Moscow, Nga, Serpukhov
Vera Taperechkina
ứng cử viên Khoa học Vật lý và Toán học, phó giáo sư của Đại học Công nghệ Thông tin, Kỹ thuật Vô tuyến và Điện tử Moscow, Nga, Serpukhov
Chú thích
Bài báo bàn về phương pháp tìm đạo hàm và vi phân cấp một, cấp hai cho hàm phức hai biến.
TRỪU TƯỢNG
Phương pháp tính đạo hàm, vi phân bậc nhất và bậc hai cho hàm hợp hai biến.
Từ khóa: dẫn một phần; sự khác biệt.
Từ khóa: dẫn một phần; sự khác biệt.
1. Giới thiệu.
Chúng ta hãy xây dựng một số sự thật từ lý thuyết hàm nhiều biến mà chúng ta sẽ cần thêm.
Định nghĩa: hàm z=f(u, v) được gọi là khả vi tại một điểm (u, v) nếu gia số Δz của nó có thể được biểu diễn dưới dạng:
Phần tuyến tính của số gia được gọi là tổng vi sai và được ký hiệu là dz.
Định lý (điều kiện đủ để khả vi) xem
Nếu trong một lân cận nào đó của điểm (u, v) có đạo hàm riêng liên tục và , thì hàm f(u, v) khả vi tại điểm này và
(du=Δu, dv=Δv). (1)
Định nghĩa: Vi phân thứ hai của hàm z=f(u, v) tại một điểm cho trước (u, v) là vi phân thứ nhất của vi phân thứ nhất của hàm f(u, v), tức là. 
Từ định nghĩa của vi phân thứ hai z=f(u, v), trong đó u và v là các biến độc lập, ta suy ra
Vì vậy, công thức là hợp lệ:
Khi suy ra công thức, định lý Schwartz về đẳng thức của đạo hàm hỗn hợp đã được sử dụng. Sự bình đẳng này có giá trị với điều kiện là 
được xác định trong một lân cận của m.(u, v) và liên tục trong m.(u, v). cm.
Công thức tìm vi phân bậc 2 có thể được viết dưới dạng ký hiệu sau: – bình phương hình thức của ngoặc sau đó nhân hình thức bên phải với f(x y) sẽ cho công thức thu được trước đó. Công thức cho vi phân thứ 3 có giá trị tương tự:
Và nói chung:
Trong đó việc nâng cấp chính thức lên lũy thừa bậc n được thực hiện theo công thức nhị thức Newton:
; 
Lưu ý rằng vi phân bậc nhất của hàm hai biến có tính chất bất biến về dạng. Nghĩa là, nếu u và v là các biến độc lập thì đối với hàm z=f(u, v), theo (1)
Giả sử u=u(x y), v=v(x y), khi đó z=f(u(x y), v(x y)), x và y là các biến độc lập, khi đó
Sử dụng các công thức phổ biến để tính đạo hàm của hàm phức:
Khi đó từ (3) và (4) ta có:
Như vậy,
(5)
Ở đâu 
- vi phân thứ nhất của hàm u, 
- vi phân bậc nhất của hàm v.
So sánh (1) và (5), chúng ta thấy rằng biểu diễn hình thức của công thức dz được giữ nguyên, nhưng nếu trong (1) du=Δu, dv=Δv là số gia của các biến độc lập, thì trong (5) du và dv là vi phân của hàm u và v.
2. Vi phân thứ hai của hàm phức hai biến.
Trước hết, chúng ta chứng minh rằng vi phân thứ hai không có tính chất bất biến hình dạng.
Đặt z=z(u, v) trong trường hợp biến độc lập u và v, ta tìm vi phân thứ hai bằng công thức (2)
Bây giờ đặt u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)), trong đó các biến độc lập là x và y. Sau đó
.
Vì vậy, cuối cùng chúng tôi đã có:
Công thức (2) và (6) không trùng nhau về hình thức nên vi phân bậc hai không có tính chất bất biến.
Trước đây, các công thức đạo hàm riêng bậc 1 được rút ra cho hàm phức z=f(u, v), trong đó u=u(x y), v=v(x y), trong đó x và y là các biến độc lập, xem.
Chúng ta hãy rút ra công thức tính đạo hàm riêng và vi phân bậc hai cho hàm z=f(u, v), u=u(x y), v=v(x y), trong đó x và y là các biến độc lập.
Đối với hàm u(x y), v(x y) của biến độc lập x, y ta có công thức:
Hãy thay thế công thức (8) thành (6).
Như vậy, chúng ta đã thu được công thức vi phân bậc hai của hàm phức hai biến.
So sánh các hệ số đạo hàm riêng bậc hai của hàm phức hai biến trong (2) và (9), ta thu được công thức:
Ví dụ 1cm
Đặt z=f(u, v), u=xy, v=. Tìm vi phân thứ hai.
Giải: Tính đạo hàm riêng:
, , , ,
, 
,
Mỗi đạo hàm riêng (theo x và bởi y) của hàm hai biến là đạo hàm thông thường của hàm một biến đối với một giá trị cố định của biến kia:
(Ở đâu y= hằng),
(Ở đâu x= hằng số).
Do đó, đạo hàm riêng được tính bằng cách sử dụng công thức và quy tắc tính đạo hàm của hàm số một biến, trong khi xem xét hằng số biến khác.
Nếu bạn không cần phân tích các ví dụ và lý thuyết tối thiểu cần thiết cho việc này mà chỉ cần giải pháp cho vấn đề của mình, thì hãy truy cập máy tính đạo hàm riêng trực tuyến .
Nếu khó tập trung để theo dõi vị trí của hằng số trong hàm, thì trong giải pháp phác thảo của ví dụ, thay vì một biến có giá trị cố định, bạn có thể thay thế bất kỳ số nào - khi đó bạn có thể nhanh chóng tính đạo hàm riêng như đạo hàm thông thường của hàm một biến. Bạn chỉ cần nhớ trả hằng số (là biến có giá trị cố định) về vị trí của nó khi hoàn thiện thiết kế cuối cùng.
Tính chất của đạo hàm riêng mô tả ở trên tuân theo định nghĩa của đạo hàm riêng, có thể xuất hiện trong các câu hỏi thi. Vì vậy, để làm quen với định nghĩa dưới đây, bạn có thể mở phần tham khảo lý thuyết.
Khái niệm về tính liên tục của chức năng z= f(x, y) tại một điểm được định nghĩa tương tự như khái niệm này cho hàm một biến.
Chức năng z = f(x, y) được gọi là liên tục tại một điểm nếu
Hiệu (2) được gọi là tổng số tăng của hàm z(nó thu được là kết quả của sự gia tăng của cả hai đối số).
Hãy để chức năng được đưa ra z= f(x, y) và chu kỳ
Nếu chức năng thay đổi z xảy ra khi chỉ một trong các đối số thay đổi, ví dụ: x, với giá trị cố định của đối số khác y, thì hàm sẽ nhận được mức tăng
được gọi là tăng từng phần của hàm f(x, y) Qua x.
Xét sự thay đổi hàm z tùy thuộc vào việc chỉ thay đổi một trong các đối số, chúng ta sẽ thay đổi thành hàm một biến một cách hiệu quả.
Nếu có giới hạn hữu hạn
thì nó được gọi là đạo hàm riêng của hàm f(x, y) bằng lập luận x và được biểu thị bằng một trong các ký hiệu
(4)
Mức tăng từng phần được xác định tương tự z Qua y:
và đạo hàm riêng f(x, y) Qua y:
(6)
Ví dụ 1.
Giải pháp. Tìm đạo hàm riêng đối với biến "x":
(yđã sửa);
Chúng ta tìm đạo hàm riêng đối với biến "y":
(xđã sửa).
Như bạn có thể thấy, biến được cố định ở mức độ nào không quan trọng: trong trường hợp này, nó chỉ đơn giản là một số nhất định là một thừa số (như trong trường hợp đạo hàm thông thường) của biến mà nhờ đó chúng ta tìm được đạo hàm riêng . Nếu biến cố định không được nhân với biến mà chúng ta tìm được đạo hàm riêng, thì hằng số cô đơn này, bất kể ở mức độ nào, như trong trường hợp đạo hàm thông thường, sẽ biến mất.
Ví dụ 2. Cho một hàm
Tìm đạo hàm riêng
(theo X) và (theo Y) và tính giá trị của chúng tại điểm MỘT (1; 2).
Giải pháp. Lúc cố định yđạo hàm của số hạng đầu tiên được tìm thấy là đạo hàm của hàm lũy thừa ( bảng hàm đạo hàm một biến):
.
Lúc cố định xđạo hàm của số hạng đầu tiên được tìm thấy dưới dạng đạo hàm của hàm số mũ và số hạng thứ hai - là đạo hàm của một hằng số:
Bây giờ hãy tính giá trị của các đạo hàm riêng này tại điểm MỘT (1; 2):
Bạn có thể kiểm tra cách giải các bài toán đạo hàm riêng tại máy tính đạo hàm riêng trực tuyến .
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm riêng của hàm số
Giải pháp. Trong một bước chúng tôi tìm thấy
(y x, như thể đối số của sin là 5 x: tương tự, số 5 xuất hiện trước dấu hàm);
(x là cố định và trong trường hợp này là một số nhân tại y).
Bạn có thể kiểm tra cách giải các bài toán đạo hàm riêng tại máy tính đạo hàm riêng trực tuyến .
Đạo hàm riêng của hàm ba biến trở lên được định nghĩa tương tự.
Nếu mỗi bộ giá trị ( x; y; ...; t) các biến độc lập với tập hợp D tương ứng với một giá trị cụ thể bạn từ nhiều E, Cái đó bạn gọi là hàm biến x, y, ..., t và biểu thị bạn= f(x, y, ..., t).
Đối với các hàm có ba biến trở lên, không có cách giải thích hình học.
Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến cũng được xác định và tính toán theo giả định rằng chỉ một biến độc lập thay đổi, còn các biến còn lại cố định.
Ví dụ 4. Tìm đạo hàm riêng của hàm số
.
Giải pháp. y Và zđã sửa:
x Và zđã sửa:
x Và yđã sửa:
Hãy tự tìm đạo hàm riêng rồi xét nghiệm
Ví dụ 5.
Ví dụ 6. Tìm đạo hàm riêng của một hàm số.
Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến có cùng ý nghĩa cơ học giống như đạo hàm của hàm một biến, là tốc độ thay đổi của hàm so với sự thay đổi của một trong các đối số.
Ví dụ 8. Giá trị định lượng của dòng chảy P hành khách đi đường sắt có thể được thể hiện bằng hàm
Ở đâu P- số lượng hành khách, N– số lượng cư dân của các điểm tương ứng, R– khoảng cách giữa các điểm.
Đạo hàm riêng của hàm số P Qua R, bình đẳng
cho thấy lưu lượng hành khách giảm tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa các điểm tương ứng có cùng số lượng cư dân tại các điểm.
đạo hàm riêng P Qua N, bình đẳng
cho thấy sự gia tăng lưu lượng hành khách tỷ lệ thuận với gấp đôi số lượng cư dân của các khu định cư ở cùng khoảng cách giữa các điểm.
Bạn có thể kiểm tra cách giải các bài toán đạo hàm riêng tại máy tính đạo hàm riêng trực tuyến .
đầy đủ sự khác biệt
Tích của đạo hàm riêng và số gia của biến độc lập tương ứng được gọi là vi phân từng phần. Sự khác biệt từng phần được ký hiệu như sau:
Tổng vi phân từng phần của tất cả các biến độc lập sẽ cho ra vi phân tổng. Đối với hàm hai biến độc lập, tổng vi phân được biểu thị bằng đẳng thức
(7)
Ví dụ 9. Tìm vi phân đầy đủ của hàm số
Giải pháp. Kết quả sử dụng công thức (7):
Một hàm có tổng vi phân tại mọi điểm của một miền nhất định được gọi là khả vi trong miền đó.
Hãy tự mình tìm tổng số chênh lệch và sau đó xem xét giải pháp
Cũng giống như trong trường hợp hàm một biến, tính khả vi của hàm trong một miền nhất định hàm ý tính liên tục của nó trong miền này chứ không phải ngược lại.
Chúng ta hãy xây dựng mà không cần chứng minh một điều kiện đủ để tính khả vi của một hàm số.
Định lý. Nếu chức năng z= f(x, y) có đạo hàm riêng liên tục
trong một vùng nhất định thì nó khả vi trong vùng này và vi phân của nó được biểu thị bằng công thức (7).
Có thể chỉ ra rằng, giống như trong trường hợp hàm một biến, vi phân của hàm là phần tuyến tính chính của phần tăng của hàm, vì vậy trong trường hợp hàm nhiều biến, vi phân tổng là phần chính, tuyến tính đối với số gia của các biến độc lập, một phần của tổng số gia của hàm.
Đối với hàm hai biến, tổng số gia của hàm có dạng
(8)
trong đó α và β là vô cùng nhỏ tại và .
Đạo hàm riêng cấp cao hơn
Đạo hàm riêng và hàm số f(x, y) bản thân chúng là một số hàm của cùng một biến và do đó, có thể có đạo hàm theo các biến khác nhau, được gọi là đạo hàm riêng cấp cao hơn.
Như bạn có thể thấy, để tìm vi phân bạn cần nhân đạo hàm với dx. Điều này cho phép bạn viết ngay bảng vi phân tương ứng từ bảng công thức đạo hàm.
Tổng vi phân của hàm hai biến:
Tổng vi phân của một hàm ba biến bằng tổng của các vi phân riêng: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz
Sự định nghĩa . Hàm y=f(x) được gọi là khả vi tại điểm x 0 nếu gia số của nó tại điểm này có thể được biểu diễn dưới dạng ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, trong đó A là hằng số và α(∆ x) – vô cùng nhỏ khi ∆x → 0.
Yêu cầu hàm số khả vi tại một điểm tương đương với sự tồn tại đạo hàm tại điểm đó và A=f’(x 0).
Cho f(x) khả vi tại điểm x 0 và f "(x 0)≠0 thì ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, trong đó α= α(∆x) →0 tại ∆x →0. Đại lượng ∆y và mỗi số hạng ở vế phải là các đại lượng vô cùng nhỏ của ∆x→0. 
, nghĩa là, α(∆x)∆x là một số vô cùng nhỏ cấp cao hơn f'(x 0)∆x.
, tức là, ∆y~f’(x 0)∆x. Do đó, f’(x 0)∆x biểu thị phần chính và đồng thời tuyến tính tương đối với phần ∆x của gia số ∆y (tuyến tính, nghĩa là chứa ∆x lũy thừa bậc một). Số hạng này được gọi là vi phân của hàm số y=f(x) tại điểm x 0 và được ký hiệu là dy(x 0) hoặc df(x 0). Vì vậy, với các giá trị tùy ý của x
dy=f′(x)∆x. (1)
Đặt dx=∆x thì
dy=f′(x)dx. (2)
Ví dụ. Tìm đạo hàm và vi phân của các hàm số này.
a) y=4 tan2 x
Giải pháp:
sự khác biệt: 
b) 
Giải pháp:
sự khác biệt: 
c) y=arcsin 2 (lnx)
Giải pháp: 
sự khác biệt: 
G) 
Giải pháp:
= 
sự khác biệt: 
Ví dụ. Cho hàm y=x 3, tìm biểu thức của ∆y và dy đối với một số giá trị của x và ∆x.
Giải pháp. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 ; dy=3x 2 ∆x (chúng ta đã lấy phần tuyến tính chính ∆y so với ∆x). Trong trường hợp này, α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3.
Sự định nghĩa: Chức năng vi sai đầy đủ một số biến là tổng của tất cả các vi phân từng phần của nó:
Ví dụ 1: 
.
Giải pháp:
Vì đạo hàm riêng của hàm này bằng:
Khi đó chúng ta có thể viết ngay vi phân từng phần của các hàm số này:
, 
,
Khi đó vi phân hoàn chỉnh của hàm sẽ có dạng:
.
Ví dụ 2 Tìm vi phân đầy đủ của hàm số
Giải pháp:
Chức năng này rất phức tạp, tức là có thể được biểu diễn dưới dạng
Tìm đạo hàm riêng:
Sự khác biệt đầy đủ:
Ý nghĩa phân tích của tổng vi phân là tổng vi phân của một hàm nhiều biến đại diện cho phần chính của tổng số gia của hàm này, nghĩa là có một đẳng thức gần đúng: ∆z≈dz.
Tuy nhiên, cần phải nhớ rằng các đẳng thức gần đúng này chỉ có giá trị đối với các vi phân nhỏ dx và dy của các đối số của hàm z=f(x,y).
Việc sử dụng vi sai tổng trong các phép tính gần đúng dựa trên việc sử dụng công thức ∆z≈dz.
Thật vậy, nếu trong công thức này gia số ∆z của hàm được biểu diễn dưới dạng và tổng vi phân ở dạng 
, thì chúng ta nhận được:
≈ 
,
Công thức thu được có thể được sử dụng để tìm gần đúng giá trị “mới” của hàm hai biến, giá trị này cần có mức tăng đủ nhỏ của cả hai đối số của nó.
Ví dụ. Tìm giá trị gần đúng của một hàm , với các giá trị sau của các đối số của nó: 1.01, .
Giải pháp.
Thay thế đạo hàm riêng của các hàm tìm thấy trước đó vào công thức, chúng ta nhận được:
Khi thay các giá trị x=1, ∆х=0,01, y=2, ∆у=0,02 ta được:
Trường vô hướng.
Nếu tại mỗi điểm của một vùng không gian D nhất định, hàm U(p)=U(x,y,z) được chỉ định, thì người ta nói rằng trường vô hướng được chỉ định trong vùng D.
Ví dụ: nếu U(x,y,z) biểu thị nhiệt độ tại điểm M(x,y,z), thì người ta nói rằng trường nhiệt độ vô hướng được chỉ định. Nếu vùng D chứa đầy chất lỏng hoặc khí và U(x,y,z) biểu thị áp suất thì tồn tại trường áp suất vô hướng. Nếu vị trí của các điện tích hoặc các vật thể có khối lượng lớn trong không gian được cho trước thì chúng ta nói về một trường thế.
Trường vô hướng được gọi là đứng im, nếu hàm U(x,y,z) không thay đổi theo thời gian: U(x,y,z) ≠ f(t).
Bất kỳ trường đứng yên nào cũng được đặc trưng bởi:
1) bề mặt phẳng của trường vô hướng
2) tốc độ thay đổi của trường theo một hướng nhất định.
Bề mặt bằng phẳng trường vô hướng là quỹ tích hình học của các điểm mà tại đó hàm U(x,y,z) nhận một giá trị không đổi, nghĩa là U(x,y,z) = const. Tập hợp các điểm này tạo thành một bề mặt nhất định. Nếu chúng ta lấy một hằng số khác, chúng ta sẽ có một bề mặt khác.
Ví dụ: Cho một trường vô hướng. Một ví dụ về trường như vậy là trường điện thế của điện tích điểm (+q). Ở đây các bề mặt ngang sẽ là bề mặt đẳng thế 
, tức là những quả cầu ở tâm có điện tích tạo ra một trường.
Hướng tăng lớn nhất của hàm vô hướng được cho bởi một vectơ gọi là dốc và được biểu thị bằng ký hiệu (hoặc ).
Độ dốc của hàm được tìm thấy thông qua đạo hàm riêng của hàm này và luôn vuông góc với mặt phẳng của trường vô hướng tại một điểm cho trước:
, Ở đâu
Các vectơ đơn vị lần lượt dọc theo các trục OX, OY, OZ
Đạo hàm của hàm U(x,y,z) theo bất kỳ hướng nào khác (λ) được xác định theo công thức:
, Ở đâu
α, β, γ là các góc giữa các trục tọa độ lần lượt là OX, OY, OZ và hướng.
