Hai vectơ được gọi là. Tọa độ và vectơ

Bây giờ chúng ta sẽ không thảo luận chi tiết về công thức này. Ngoài ra, nó khá khó nhớ. Chúng ta sẽ quay lại điểm này sau khi làm quen với các định thức.

Chà, để phát triển chung, thật hữu ích khi biết rằng độ dài của vectơ kết quả bằng diện tích hình bình hành được xây dựng trên vectơ Một Và b.

Chuẩn hóa vectơ

Một vectơ chuẩn hóa là một vectơ có độ dài bằng một.

Công thức tìm vectơ chuẩn hóa như sau - tất cả các thành phần của vectơ phải được chia cho độ dài của nó:

v n= v/|v| =

Lời bạt

Như bạn có thể đã thấy, vectơ không khó hiểu. Chúng tôi đã xem xét một số phép toán trên vectơ.

Trong các bài viết tiếp theo trong phần "toán học", chúng ta sẽ thảo luận về ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính. Đây là tất cả lý thuyết.

Sau này, chúng ta sẽ xem xét các phép biến đổi ma trận. Khi đó bạn sẽ hiểu toán học quan trọng như thế nào trong việc tạo ra các trò chơi máy tính. Chủ đề này sẽ trở thành bài thực hành cho tất cả các chủ đề trước đó.

SỰ ĐỊNH NGHĨA

Vectơ(từ lat. " vectơ" - "mang") - đoạn có hướng của đường thẳng trong không gian hoặc trên mặt phẳng.

Về mặt đồ họa, một vectơ được mô tả dưới dạng một đoạn thẳng có hướng có độ dài nhất định. Một vectơ có điểm bắt đầu tại điểm và kết thúc tại điểm được ký hiệu là (Hình 1). Một vectơ cũng có thể được biểu thị bằng một chữ cái nhỏ, ví dụ: .

Nếu một hệ tọa độ được chỉ định trong không gian thì vectơ có thể được chỉ định duy nhất bởi một tập hợp tọa độ của nó. Nghĩa là, vectơ được hiểu là một vật thể có độ lớn (chiều dài), hướng và điểm áp dụng (điểm bắt đầu của vectơ).

Các nguyên lý của phép tính vectơ xuất hiện trong các tác phẩm của nhà toán học, cơ khí, vật lý, thiên văn học và khảo sát người Đức Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) vào năm 1831. Các công trình về các phép tính với vectơ đã được xuất bản bởi nhà toán học, cơ khí và vật lý lý thuyết người Ireland, Ngài William Rowan Hamilton (1805-1865) như một phần của phép tính bậc bốn của ông. Nhà khoa học đã đề xuất thuật ngữ “vectơ” và mô tả một số thao tác trên vectơ. Phép tính véc tơ được phát triển hơn nữa nhờ công trình nghiên cứu về điện từ của nhà vật lý, toán học và cơ khí người Anh James Clerk Maxwell (1831-1879). Vào những năm 1880, cuốn sách “Các phần tử của phân tích vectơ” của nhà vật lý, hóa lý, toán học và cơ khí người Mỹ Josiah Willard Gibbs (1839-1903) được xuất bản. Phân tích vectơ hiện đại được mô tả vào năm 1903 trong tác phẩm của nhà khoa học, kỹ sư, nhà toán học và vật lý học tự học người Anh Oliver Heaviside (1850-1925).

SỰ ĐỊNH NGHĨA

Chiều dài hoặc mô-đun vector là độ dài của đoạn có hướng xác định vectơ. Ký hiệu là .

Các loại vectơ chính

Vectơ khôngđược gọi là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Độ dài của vectơ 0 bằng 0.

Các vectơ song song với một đường thẳng hoặc nằm trên một đường thẳng được gọi là thẳng hàng(Hình 2).

đồng đạo diễn, nếu hướng của chúng trùng nhau.

Trong Hình 2 đây là các vectơ và . Tính đồng hướng của vectơ được biểu thị như sau: .

Hai vectơ thẳng hàng được gọi là hướng ngược lại, nếu hướng của chúng ngược nhau.

Trong Hình 3 đây là các vectơ và . Ký hiệu: .

Cũng sẽ có những vấn đề bạn phải tự giải quyết mà bạn có thể thấy câu trả lời.

khái niệm vectơ

Trước khi bạn tìm hiểu mọi thứ về vectơ và các phép toán trên chúng, hãy sẵn sàng giải một bài toán đơn giản. Có một vectơ về khả năng kinh doanh của bạn và một vectơ về khả năng đổi mới của bạn. Vectơ khởi nghiệp dẫn bạn đến Mục tiêu 1 và vectơ khả năng đổi mới dẫn bạn đến Mục tiêu 2. Quy tắc của trò chơi là bạn không thể di chuyển theo hướng của hai vectơ này cùng một lúc và đạt được hai mục tiêu cùng một lúc. Các vectơ tương tác, hoặc nói theo ngôn ngữ toán học, một số thao tác được thực hiện trên các vectơ. Kết quả của thao tác này là vectơ “Kết quả”, dẫn bạn đến Mục tiêu 3.

Bây giờ hãy cho tôi biết: kết quả của hoạt động nào trên các vectơ “Tinh thần khởi nghiệp” và “Khả năng đổi mới” là vectơ “Kết quả”? Nếu bạn không thể nói ngay, đừng nản lòng. Khi bạn tiến bộ qua bài học này, bạn sẽ có thể trả lời được câu hỏi này.

Như chúng ta đã thấy ở trên, vectơ nhất thiết phải xuất phát từ một điểm nhất định MỘT theo đường thẳng tới một điểm nào đó B. Do đó, mỗi vectơ không chỉ có giá trị số - chiều dài mà còn có giá trị vật lý và hình học - hướng. Từ đây đưa ra định nghĩa đầu tiên, đơn giản nhất về vectơ. Vì vậy, vectơ là đoạn có hướng xuất phát từ một điểm MỘTđến điểm B. Nó được chỉ định như sau: .

Và để bắt đầu nhiều thứ khác nhau các phép toán với vectơ , chúng ta cần làm quen với một định nghĩa nữa về vectơ.

Vectơ là một kiểu biểu diễn của một điểm cần đạt được từ một số điểm bắt đầu. Ví dụ, một vectơ ba chiều thường được viết là (XYZ) . Nói một cách rất đơn giản, những con số này có nghĩa là bạn cần đi bao xa theo ba hướng khác nhau để đến một điểm.

Cho một vectơ. trong đó x = 3 (tay phải chỉ sang phải), y = 1 (tay trái chỉ về phía trước) z = 5 (dưới điểm có cầu thang dẫn lên). Sử dụng dữ liệu này, bạn sẽ tìm thấy một điểm bằng cách đi bộ 3 mét theo hướng do tay phải chỉ, sau đó đi 1 mét theo hướng do tay trái chỉ, sau đó một cái thang đang chờ bạn và tăng lên 5 mét, cuối cùng bạn sẽ tìm thấy chính bạn ở điểm cuối.

Tất cả các thuật ngữ khác là sự giải thích rõ ràng cho lời giải thích được trình bày ở trên, cần thiết cho các phép toán khác nhau trên vectơ, nghĩa là giải quyết các vấn đề thực tế. Chúng ta hãy đi qua những định nghĩa chặt chẽ hơn này, tập trung vào các bài toán vectơ điển hình.

Ví dụ vật lýĐại lượng vectơ có thể là độ dịch chuyển của một điểm vật chất đang chuyển động trong không gian, tốc độ và gia tốc của điểm này cũng như lực tác dụng lên nó.

Vectơ hình họcđược trình bày trong không gian hai chiều và ba chiều dưới dạng đoạn định hướng. Đây là một phân đoạn có sự bắt đầu và kết thúc.

Nếu như MỘT- phần đầu của vectơ, và B- phần cuối của nó thì vectơ được biểu thị bằng ký hiệu hoặc một chữ cái viết thường. Trong hình, phần cuối của vectơ được biểu thị bằng một mũi tên (Hình 1)

Chiều dài(hoặc mô-đun) của một vectơ hình học là độ dài của đoạn tạo ra nó

Hai vectơ đó được gọi là bình đẳng , nếu chúng có thể được kết hợp (nếu các hướng trùng nhau) bằng cách truyền song song, tức là nếu chúng song song, cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

Trong vật lý nó thường được xem xét vectơ được ghim, được xác định bởi điểm áp dụng, chiều dài và hướng. Nếu điểm áp dụng của vectơ không quan trọng thì nó có thể được truyền, duy trì độ dài và hướng của nó, đến bất kỳ điểm nào trong không gian. Trong trường hợp này, vectơ được gọi là miễn phí. Chúng tôi sẽ đồng ý chỉ xem xét vectơ miễn phí.

Các phép toán tuyến tính trên vectơ hình học

Nhân một vectơ với một số

Sản phẩm của một vectơ mỗi số là một vectơ thu được từ một vectơ bằng cách kéo dài (at ) hoặc nén (at ) theo một thừa số, và hướng của vectơ vẫn giữ nguyên nếu , và thay đổi ngược lại nếu . (Hình 2)

Từ định nghĩa, các vectơ và = luôn nằm trên một hoặc các đường thẳng song song. Các vectơ như vậy được gọi là thẳng hàng. (Chúng ta cũng có thể nói rằng các vectơ này song song, nhưng trong đại số vectơ người ta thường nói “cộng tuyến”.) Điều ngược lại cũng đúng: nếu các vectơ thẳng hàng thì chúng liên hệ với nhau bởi hệ thức

Do đó, đẳng thức (1) biểu thị điều kiện thẳng hàng của hai vectơ.

Cộng và trừ các vectơ

Khi cộng vectơ bạn cần biết rằng số lượng vectơ và được gọi là vectơ, phần đầu trùng với phần đầu của vectơ và phần cuối trùng với phần cuối của vectơ, với điều kiện phần đầu của vectơ được gắn vào phần cuối của vectơ. (Hình 3)

Định nghĩa này có thể được phân phối trên bất kỳ số lượng vectơ hữu hạn nào. Hãy để chúng được đưa vào không gian N vectơ miễn phí. Khi cộng một số vectơ, tổng của chúng được coi là vectơ đóng, phần đầu của vectơ này trùng với phần đầu của vectơ đầu tiên và phần cuối của vectơ này trùng với phần cuối của vectơ cuối cùng. Nghĩa là, nếu bạn gắn phần đầu của vectơ vào phần cuối của vectơ và phần đầu của vectơ vào phần cuối của vectơ, v.v. và cuối cùng đến cuối vectơ - phần đầu của vectơ thì tổng của các vectơ này là vectơ đóng , phần đầu trùng với phần đầu của vectơ đầu tiên và phần cuối trùng với phần cuối của vectơ cuối cùng. (Hình 4)

Các số hạng được gọi là thành phần của vectơ và quy tắc được xây dựng là quy tắc đa giác. Đa giác này có thể không bằng phẳng.

Khi nhân một vectơ với số -1 sẽ thu được vectơ ngược lại. Các vectơ có cùng độ dài và ngược hướng. Tổng của chúng mang lại vectơ không, có độ dài bằng không. Hướng của vectơ 0 không được xác định.

Trong đại số vectơ, không cần xem xét phép trừ riêng biệt: trừ một vectơ khỏi một vectơ có nghĩa là thêm vectơ đối diện vào vectơ, tức là.

Ví dụ 1.Đơn giản hóa biểu thức:

.

,

nghĩa là, vectơ có thể được cộng và nhân với các số theo cách tương tự như đa thức (đặc biệt là các vấn đề về đơn giản hóa biểu thức). Thông thường, nhu cầu đơn giản hóa các biểu thức tương tự tuyến tính với vectơ nảy sinh trước khi tính tích của vectơ.

Ví dụ 2. Các vectơ và đóng vai trò là các đường chéo của hình bình hành ABCD (Hình 4a). Biểu diễn thông qua và các vectơ , , và , là các cạnh của hình bình hành này.

Giải pháp. Giao điểm của các đường chéo của hình bình hành chia đôi mỗi đường chéo. Chúng ta tìm thấy độ dài của các vectơ cần thiết trong câu lệnh bài toán bằng một nửa tổng các vectơ tạo thành một tam giác với các vectơ cần tìm hoặc bằng một nửa hiệu (tùy thuộc vào hướng của vectơ đóng vai trò là đường chéo), hoặc, như trong trường hợp sau, một nửa số tiền được lấy bằng dấu trừ. Kết quả là các vectơ cần có trong câu lệnh bài toán:

Có mọi lý do để tin rằng hiện tại bạn đã trả lời đúng câu hỏi về vectơ “Tinh thần khởi nghiệp” và “Khả năng đổi mới” ở đầu bài học này. Câu trả lời đúng: một phép cộng được thực hiện trên các vectơ này.

Hãy tự giải các bài toán vectơ và sau đó xem xét lời giải

Làm thế nào để tìm độ dài của tổng các vectơ?

Bài toán này chiếm một vị trí đặc biệt trong các phép tính với vectơ vì nó liên quan đến việc sử dụng các tính chất lượng giác. Giả sử bạn gặp một nhiệm vụ như sau:

Độ dài vectơ đã cho và độ dài của tổng các vectơ này. Tìm độ dài chênh lệch giữa các vectơ này.

Giải pháp cho vấn đề này và các vấn đề tương tự khác cũng như giải thích cách giải quyết chúng có trong bài học " Phép cộng vectơ: độ dài của tổng vectơ và định lý cosine ".

Và bạn có thể kiểm tra giải pháp cho những vấn đề như vậy tại Máy tính trực tuyến "Cạnh chưa biết của một tam giác (cộng vectơ và định lý cosine)" .

Sản phẩm của vectơ ở đâu?

Tích vectơ-vector không phải là các phép toán tuyến tính và được xem xét riêng biệt. Và chúng ta có bài “Tích vô hướng của vectơ” và “Vectơ và tích hỗn hợp của vectơ”.

Chiếu một vectơ lên ​​một trục

Hình chiếu của một vectơ lên ​​một trục bằng tích của chiều dài của vectơ được chiếu và cosin của góc giữa vectơ và trục:

Như đã biết, hình chiếu của một điểm MỘT trên đường thẳng (mặt phẳng) là đáy của đường vuông góc hạ từ điểm này xuống đường thẳng (mặt phẳng).

Giả sử là một vectơ tùy ý (Hình 5) và là hình chiếu của gốc tọa độ của nó (các điểm MỘT) và kết thúc (điểm B) trên mỗi trục tôi. (Để dựng hình chiếu của một điểm MỘT) kẻ đường thẳng đi qua điểm MỘT một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng. Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng sẽ xác định hình chiếu cần thiết.

Thành phần vectơ trên trục lđược gọi là một vectơ như vậy nằm trên trục này, phần đầu của nó trùng với hình chiếu của phần đầu và phần cuối trùng với hình chiếu của phần cuối của vectơ.

Hình chiếu của vectơ lên ​​trục tôi số được gọi

,

bằng độ dài của vectơ thành phần trên trục này, lấy dấu cộng nếu hướng của các thành phần trùng với hướng của trục tôi và có dấu trừ nếu các hướng này ngược nhau.

Tính chất cơ bản của phép chiếu vectơ lên ​​trục:

1. Hình chiếu của các vectơ bằng nhau lên cùng một trục thì bằng nhau.

2. Khi nhân một vectơ với một số thì hình chiếu của nó cũng nhân với chính số đó.

3. Hình chiếu của tổng các vectơ lên ​​một trục bất kỳ bằng tổng các hình chiếu của tổng các vectơ lên ​​cùng một trục.

4. Hình chiếu của vectơ lên ​​trục bằng tích của chiều dài vectơ chiếu và cosin của góc giữa vectơ và trục:

.

Giải pháp. Hãy chiếu vectơ lên ​​trục tôi như được định nghĩa trong nền tảng lý thuyết ở trên. Từ hình 5a, rõ ràng phép chiếu của tổng các vectơ bằng tổng các hình chiếu của vectơ. Chúng tôi tính toán những dự đoán này:

Chúng tôi tìm thấy hình chiếu cuối cùng của tổng các vectơ:

Mối quan hệ giữa vectơ và hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật trong không gian

Làm quen Hệ tọa độ Descartes chữ nhật trong không gian diễn ra ở bài học tương ứng, nên mở nó trong một cửa sổ mới.

Trong hệ tọa độ có thứ tự 0xyz trục Con bò đực gọi điện trục x, trục 0 năm – trục y, và trục 0z – trục áp dụng.

Với một điểm tùy ý M vector kết nối không gian

gọi điện vectơ bán kínhđiểm M và chiếu nó lên mỗi trục tọa độ. Hãy để chúng tôi biểu thị độ lớn của các hình chiếu tương ứng:

số XYZđược gọi là tọa độ điểm M, tương ứng cơ hoành, điều hành Và áp dụng, và được viết dưới dạng điểm có thứ tự của các số: M(x;y;z)(Hình 6).

Một vectơ có độ dài đơn vị có hướng trùng với hướng của trục được gọi là đơn vị véc tơ(hoặc ortom) các trục. Hãy ký hiệu bằng

Theo đó, vectơ đơn vị của trục tọa độ Con bò đực, Ôi, Oz

Định lý. Bất kỳ vectơ nào cũng có thể được mở rộng thành vectơ đơn vị của trục tọa độ:

(2)

Đẳng thức (2) được gọi là khai triển vectơ dọc theo trục tọa độ. Các hệ số của khai triển này là hình chiếu của vectơ lên ​​các trục tọa độ. Như vậy, các hệ số khai triển (2) của vectơ dọc theo các trục tọa độ chính là tọa độ của vectơ.

Sau khi chọn một hệ tọa độ nhất định trong không gian, vectơ và bộ ba tọa độ của nó xác định duy nhất nhau nên vectơ có thể viết dưới dạng

Biểu diễn của vectơ ở dạng (2) và (3) giống hệt nhau.

Điều kiện cộng tuyến của vectơ trong tọa độ

Như chúng ta đã lưu ý, các vectơ được gọi là thẳng hàng nếu chúng liên hệ với nhau bởi hệ thức

Cho các vectơ . Các vectơ này thẳng hàng nếu tọa độ của các vectơ liên hệ bởi hệ thức

,

nghĩa là tọa độ của các vectơ tỷ lệ thuận.

Ví dụ 6. Các vectơ được cho . Các vectơ này có thẳng hàng không?

Giải pháp. Hãy tìm mối liên hệ giữa tọa độ của các vectơ này:

.

Tọa độ của các vectơ tỷ lệ thuận, do đó, các vectơ thẳng hàng hoặc giống nhau, song song.

Vector chiều dài và cosin hướng

Do các trục tọa độ vuông góc với nhau nên độ dài của vectơ

bằng độ dài đường chéo của hình bình hành hình chữ nhật dựng trên vectơ

và được thể hiện bằng đẳng thức

(4)

Một vectơ được xác định hoàn toàn bằng cách chỉ định hai điểm (bắt đầu và kết thúc), do đó tọa độ của vectơ có thể được biểu thị dưới dạng tọa độ của các điểm này.