Prilikom učenja algebre u srednjoj školi (9. razred) jedan od važne teme je proučavanje nizova brojeva, koji uključuju progresije - geometrijske i aritmetičke. U ovom članku ćemo pogledati aritmetičku progresiju i primjere s rješenjima.
Šta je aritmetička progresija?
Da bi se ovo razumjelo, potrebno je definirati o kojoj se progresiji radi, kao i navesti osnovne formule koje će se kasnije koristiti u rješavanju problema.
Aritmetička ili algebarska progresija je skup uređenih racionalnih brojeva, čiji se svaki član razlikuje od prethodnog za neku konstantnu vrijednost. Ova vrijednost se naziva razlika. To jest, znajući bilo koji član uređenog niza brojeva i razliku, možete vratiti cjelokupnu aritmetičku progresiju.
Dajemo primjer. Sljedeći niz brojeva će biti aritmetička progresija: 4, 8, 12, 16, ..., pošto je razlika u ovom slučaju 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ali skup brojeva 3, 5, 8, 12, 17 se više ne može pripisati tipu progresije koji se razmatra, jer razlika za njega nije konstantna vrijednost (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Važne formule
Predstavimo sada osnovne formule koje će biti potrebne za rješavanje problema korištenjem aritmetička progresija. Označimo simbolom a n n-ti član niza, gdje je n cijeli broj. Razliku označavamo latiničnim slovom d. Tada su važeći sljedeći izrazi:
- Za određivanje vrijednosti n-tog člana prikladna je sljedeća formula: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Odrediti zbir prvih n članova: S n = (a n +a 1)*n/2.
Da bismo razumjeli bilo koji primjer aritmetičke progresije sa rješenjima u 9. razredu, dovoljno je zapamtiti ove dvije formule, jer se svaki problem tipa koji se razmatra zasniva na njihovoj upotrebi. Također treba imati na umu da je razlika u progresiji određena formulom: d = a n - a n-1.
Primjer #1: pronalaženje nepoznatog pojma
Navedimo jednostavan primjer aritmetičke progresije i formule koje je potrebno koristiti za rješavanje.
Neka je zadan niz 10, 8, 6, 4, ..., u njemu morate pronaći pet članova.
Već iz uslova zadatka proizilazi da su prva 4 člana poznata. Peti se može definisati na dva načina:
- Prvo izračunajmo razliku. Imamo: d = 8 - 10 = -2. Slično, može se uzeti bilo koja druga dva pojma, stoji u blizini zajedno. Na primjer, d = 4 - 6 = -2. Pošto je poznato da je d = a n - a n-1, onda je d = a 5 - a 4, od čega dobijamo: a 5 = a 4 + d. Zamijenjujemo poznate vrijednosti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Druga metoda također zahtijeva poznavanje razlike dotične progresije, tako da je prvo trebate odrediti kao što je prikazano gore (d = -2). Znajući da je prvi član a 1 = 10, koristimo formulu za n broj niza. Imamo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Zamjenom n = 5 u posljednji izraz dobijamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Kao što vidite, oba rješenja su dovela do istog rezultata. Imajte na umu da je u ovom primjeru razlika u progresiji d negativna vrijednost. Takvi nizovi se nazivaju opadajućim, jer je svaki sljedeći član manji od prethodnog.
Primjer #2: razlika u progresiji
Sada ćemo malo zakomplikovati zadatak, dajmo primjer kako
Poznato je da je u nekima 1. član jednak 6, a 7. član jednak 18. Potrebno je pronaći razliku i vratiti ovaj niz na 7. član.
Koristimo formulu da odredimo nepoznati pojam: a n = (n - 1) * d + a 1 . Zamenimo u njega poznate podatke iz uslova, odnosno brojeve a 1 i a 7, imamo: 18 = 6 + 6 * d. Iz ovog izraza možete lako izračunati razliku: d = (18 - 6) /6 = 2. Dakle, odgovorili smo na prvi dio zadatka.
Da biste vratili niz na 7. član, trebali biste koristiti definiciju algebarske progresije, to jest, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, i tako dalje. Kao rezultat, vraćamo cijeli niz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Primjer br. 3: izrada progresije
Hajde da još više zakomplikujemo problem. Sada moramo odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Može se dati sljedeći primjer: data su dva broja, na primjer - 4 i 5. Potrebno je napraviti algebarsku progresiju tako da se između njih smjeste još tri člana.
Prije nego počnete rješavati ovaj problem, morate razumjeti koje će mjesto dati brojevi zauzeti u budućoj progresiji. Pošto će između njih biti još tri člana, onda je a 1 = -4 i a 5 = 5. Nakon što smo ovo ustanovili, prelazimo na problem koji je sličan prethodnom. Opet, za n-ti član koristimo formulu, dobijamo: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ono što smo dobili ovdje nije cjelobrojna vrijednost razlike, već je to racionalan broj, tako da formule za algebarsku progresiju ostaju iste.
Sada dodajmo pronađenu razliku na 1 i vratimo nedostajuće članove progresije. Dobijamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, što odgovara sa uslovima problema.
Primjer br. 4: prvi termin progresije
Nastavimo davati primjere aritmetičke progresije s rješenjima. U svim prethodnim problemima prvi broj algebarske progresije je bio poznat. Sada razmotrimo problem drugačijeg tipa: neka su data dva broja, pri čemu je a 15 = 50 i a 43 = 37. Potrebno je pronaći kojim brojem počinje ovaj niz.
Do sada korištene formule pretpostavljaju poznavanje a 1 i d. U opisu problema ništa se ne zna o ovim brojevima. Ipak, za svaki termin ćemo zapisati izraze o kojima su dostupne informacije: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednačine u kojima postoje 2 nepoznate veličine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sistema linearnih jednačina.
Najlakši način da se riješi ovaj sistem je izraziti 1 u svakoj jednačini i zatim uporediti rezultirajuće izraze. Prva jednadžba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Izjednačavanjem ovih izraza dobijamo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, odakle je razlika d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (date su samo 3 decimale).
Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvo: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Ako sumnjate u dobijeni rezultat, možete ga provjeriti, na primjer, odrediti 43. član progresije, koji je naveden u uvjetu. Dobijamo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Mala greška je zbog činjenice da je u proračunima korišteno zaokruživanje na hiljaditi dio.
Primjer br. 5: iznos
Pogledajmo sada nekoliko primjera s rješenjima za zbir aritmetičke progresije.
Neka je data numerička progresija sljedećeg oblika: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbir 100 ovih brojeva?
Zahvaljujući razvoju kompjuterska tehnologija možete riješiti ovaj problem, odnosno sabrati sve brojeve uzastopno, što će računar učiniti odmah čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti mentalno ako obratite pažnju da je prikazani niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je jednaka 1. Primjenom formule za zbir dobijamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Zanimljivo je da je ovaj problem nazvan „Gausov” jer je početkom 18. veka slavni Nemac, još uvek samo 10-godišnjak, uspeo da ga reši u svojoj glavi za nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbir algebarske progresije, ali je primijetio da ako dodate brojeve na krajevima niza u parovima, uvijek dobijete isti rezultat, odnosno 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a pošto će ovi zbroji biti tačno 50 (100 / 2), onda je za tačan odgovor dovoljno pomnožiti 50 sa 101.
Primjer br. 6: zbir članova od n do m
Još jedan tipičan primjer zbira aritmetičke progresije je sljedeći: dajući niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., morate pronaći koliko će biti jednak zbir njegovih članova od 8 do 14 .
Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih pojmova od 8 do 14, a zatim njihovo sumiranje uzastopno. Budući da postoji malo termina, ova metoda nije baš radno intenzivna. Ipak, predlaže se rješavanje ovog problema korištenjem druge metode, koja je univerzalnija.
Ideja je dobiti formulu za zbir algebarske progresije između pojmova m i n, gdje su n > m cijeli brojevi. Za oba slučaja pišemo dva izraza za zbir:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
Pošto je n > m, očigledno je da 2. zbir uključuje prvi. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između ovih zbira i dodamo joj pojam a m (u slučaju uzimanja razlike, ona se oduzme od zbira S n), dobićemo neophodan odgovor na problem. Imamo: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). U ovaj izraz potrebno je zamijeniti formule za n i a m. Tada dobijamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Rezultirajuća formula je pomalo glomazna, međutim, zbir S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Zamjenom ovih brojeva dobijamo: S mn = 301.
Kao što se vidi iz gornjih rješenja, svi problemi se zasnivaju na poznavanju izraza za n-ti član i formule za zbir skupa prvih članova. Prije nego počnete rješavati bilo koji od ovih problema, preporučuje se da pažljivo pročitate uvjet, jasno shvatite što trebate pronaći i tek onda nastaviti s rješavanjem.
Još jedan savjet je da težite jednostavnosti, odnosno, ako možete odgovoriti na pitanje bez korištenja složenih matematičkih proračuna, onda morate učiniti upravo to, jer je u ovom slučaju vjerovatnoća da ćete pogriješiti manja. Na primjer, u primjeru aritmetičke progresije sa rješenjem br. 6, moglo bi se zaustaviti na formuli S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, i podijeliti cjelokupni problem na zasebne podzadatke (u ovom slučaju prvo pronađite pojmove a n i a m).
Ako sumnjate u dobijeni rezultat, preporučuje se da ga provjerite, kao što je to učinjeno u nekim od navedenih primjera. Saznali smo kako pronaći aritmetičku progresiju. Ako to shvatite, nije tako teško.
Neki ljudi s oprezom tretiraju riječ „progresija“, kao vrlo složen termin iz grana više matematike. U međuvremenu, najjednostavnija aritmetička progresija je rad taksimetra (gdje još postoje). A razumijevanje suštine (a u matematici nema ništa važnije od "razumijevanja suštine") aritmetičkog niza nije tako teško, analizirajući nekoliko elementarnih koncepata.
Matematički niz brojeva
Numerički niz se obično naziva nizom brojeva, od kojih svaki ima svoj broj.
a 1 je prvi član niza;
i 2 je drugi član niza;
i 7 je sedmi član niza;
i n je n-ti član niza;
Međutim, ne zanima nas bilo koji proizvoljan skup brojeva i brojeva. Pažnju ćemo usmjeriti na numerički niz u kojem je vrijednost n-og člana povezana s njegovim rednim brojem odnosom koji se može jasno matematički formulirati. Drugim riječima: brojčana vrijednost n-tog broja je neka funkcija od n.
a je vrijednost člana numeričkog niza;
n je njegov serijski broj;
f(n) je funkcija, gdje je redni broj u numeričkom nizu n argument.
Definicija
Aritmetičkom progresijom se obično naziva numerički niz u kojem je svaki sljedeći član veći (manji) od prethodnog za isti broj. Formula za n-ti član aritmetičkog niza je sljedeća:
a n - vrijednost trenutnog člana aritmetičke progresije;
a n+1 - formula sledećeg broja;
d - razlika (određeni broj).
Lako je utvrditi da ako je razlika pozitivna (d>0), tada će svaki sljedeći član razmatranog niza biti veći od prethodnog i takva će se aritmetička progresija povećavati.
Na donjem grafikonu je lako vidjeti zašto se brojčani niz naziva „rastući“.
U slučajevima kada je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Navedena vrijednost člana
Ponekad je potrebno odrediti vrijednost bilo kojeg proizvoljnog člana a n aritmetičke progresije. To se može učiniti uzastopnim izračunavanjem vrijednosti svih članova aritmetičke progresije, počevši od prvog do željenog. Međutim, ovaj put nije uvijek prihvatljiv ako je, na primjer, potrebno pronaći vrijednost petohiljaditog ili osammilionitog člana. Tradicionalni proračuni će oduzeti dosta vremena. Međutim, određena aritmetička progresija može se proučavati korištenjem određenih formula. Postoji i formula za n-ti član: vrijednost bilo kojeg člana aritmetičke progresije može se odrediti kao zbir prvog člana progresije s razlikom progresije, pomnoženom brojem željenog člana, umanjenom za jedan.
Formula je univerzalna za povećanje i smanjenje progresije.
Primjer izračunavanja vrijednosti datog pojma
Rešimo sledeći problem nalaženja vrednosti n-tog člana aritmetičke progresije.
Uvjet: postoji aritmetička progresija s parametrima:
Prvi član niza je 3;
Razlika u nizu brojeva je 1,2.
Zadatak: potrebno je pronaći vrijednost 214 pojmova
Rješenje: da bismo odredili vrijednost datog pojma, koristimo formulu:
a(n) = a1 + d(n-1)
Zamjenom podataka iz iskaza problema u izraz, imamo:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Odgovor: 214. član niza je jednak 258,6.
Prednosti ove metode proračuna su očigledne - cijelo rješenje ne traje više od 2 reda.
Zbir datog broja pojmova
Vrlo često je u datom aritmetičkom nizu potrebno odrediti zbir vrijednosti nekih njegovih segmenata. Da biste to učinili, također nije potrebno izračunati vrijednosti svakog pojma i zatim ih zbrajati. Ova metoda je primjenjiva ako je mali broj pojmova čiji zbir treba pronaći. U drugim slučajevima, prikladnije je koristiti sljedeću formulu.
Zbir članova aritmetičke progresije od 1 do n jednak je zbiru prvog i n-tog člana, pomnoženog sa brojem člana n i podijeljenog sa dva. Ako se u formuli vrijednost n-tog člana zamijeni izrazom iz prethodnog stava članka, dobijamo:
Primjer izračuna
Na primjer, riješimo problem sa sljedećim uvjetima:
Prvi član niza je nula;
Razlika je 0,5.
Problem zahtijeva određivanje zbira članova niza od 56 do 101.
Rješenje. Koristimo formulu za određivanje količine progresije:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Prvo određujemo zbir vrijednosti 101 člana progresije zamjenom datih uslova našeg problema u formulu:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Očigledno, da bismo saznali zbir članova progresije od 56. do 101., potrebno je od S 101 oduzeti S 55.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Dakle, zbir aritmetičke progresije za ovaj primjer je:
s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5
Primjer praktične primjene aritmetičke progresije
Na kraju članka, vratimo se primjeru aritmetičkog niza datog u prvom pasusu - taksimetar (taxi auto mjerač). Razmotrimo ovaj primjer.
Ukrcaj u taksi (koji uključuje 3 km putovanja) košta 50 rubalja. Svaki naredni kilometar se plaća po stopi od 22 rublje/km. Udaljenost putovanja je 30 km. Izračunajte cijenu putovanja.
1. Odbacimo prva 3 km čija je cijena uključena u cijenu slijetanja.
30 - 3 = 27 km.
2. Dalje izračunavanje nije ništa drugo do raščlanjivanje niza aritmetičkih brojeva.
Broj člana - broj prijeđenih kilometara (minus prva tri).
Vrijednost člana je zbir.
Prvi član u ovom zadatku će biti jednak a 1 = 50 rubalja.
Razlika progresije d = 22 r.
broj koji nas zanima je vrijednost (27+1)-og člana aritmetičke progresije - očitavanje brojila na kraju 27. kilometra je 27.999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Proračuni kalendarskih podataka za proizvoljno dug period zasnivaju se na formulama koje opisuju određene numeričke nizove. U astronomiji, dužina orbite geometrijski zavisi od udaljenosti nebeskog tijela do zvijezde. Osim toga, različiti brojevni redovi se uspješno koriste u statistici i drugim primijenjenim oblastima matematike.
Druga vrsta niza brojeva je geometrijska
Geometrijsku progresiju karakteriziraju veće stope promjene u odnosu na aritmetičku progresiju. Nije slučajno da se u politici, sociologiji i medicini, da bi se prikazala velika brzina širenja određene pojave, na primjer, bolesti tokom epidemije, kaže da se proces razvija geometrijskom progresijom.
N-ti član niza geometrijskih brojeva razlikuje se od prethodnog po tome što se množi s nekim konstantnim brojem - nazivnik, na primjer, prvi član je 1, nazivnik je odgovarajući jednak 2, zatim:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - vrijednost trenutnog člana geometrijske progresije;
b n+1 - formula sledećeg člana geometrijske progresije;
q je imenilac geometrijske progresije (konstantni broj).
Ako je graf aritmetičke progresije prava linija, onda geometrijska progresija daje malo drugačiju sliku:
Kao iu slučaju aritmetike, geometrijska progresija ima formulu za vrijednost proizvoljnog člana. Svaki n-ti član geometrijske progresije jednak je umnošku prvog člana i nazivnika progresije na stepen n smanjen za jedan:
Primjer. Imamo geometrijsku progresiju sa prvim članom jednakim 3 i nazivnikom progresije jednakim 1,5. Nađimo 5. član progresije
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Zbir datog broja termina se također izračunava pomoću posebne formule. Zbir prvih n članova geometrijske progresije jednak je razlici između umnoška n-tog člana progresije i njegovog nazivnika i prvog člana progresije, podijeljenog nazivnikom smanjenim za jedan:
Ako se b n zamijeni gore opisanom formulom, vrijednost zbroja prvih n članova brojevnog niza koji se razmatra imat će oblik:
Primjer. Geometrijska progresija počinje sa prvim članom jednakim 1. Imenilac je postavljen na 3. Nađimo zbir prvih osam članova.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Da, da: aritmetička progresija nije igračka za tebe :) Pa, prijatelji, ako čitate ovaj tekst, onda mi interni cap-dokaz govori da još ne znate šta je aritmetička progresija, ali stvarno (ne, onako: JAOO!) želite da znate. Stoga vas neću mučiti dugim uvodima i prijeći ću odmah na stvar.
Prvo, par primjera. Pogledajmo nekoliko skupova brojeva:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Šta je zajedničko svim ovim setovima? Na prvi pogled ništa. Ali zapravo postoji nešto. naime: svaki sljedeći element se razlikuje od prethodnog za isti broj.
Procijenite sami. Prvi set su jednostavno uzastopni brojevi, svaki sljedeći je jedan više od prethodnog. U drugom slučaju, razlika između susjednih brojeva je već pet, ali je ta razlika i dalje konstantna. U trećem slučaju, korijeni su u potpunosti. Međutim, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. i u ovom slučaju, svaki sljedeći element jednostavno se povećava za $\sqrt(2)$ (i ne bojte se da je ovaj broj iracionalan).
Dakle: svi takvi nizovi se nazivaju aritmetičke progresije. Hajde da damo striktnu definiciju:
Definicija. Niz brojeva u kojem se svaki sljedeći razlikuje od prethodnog za potpuno isti iznos naziva se aritmetička progresija. Sam iznos za koji se brojevi razlikuju naziva se razlika progresije i najčešće se označava slovom $d$.
Napomena: $\left(((a)_(n)) \right)$ je sama progresija, $d$ je njena razlika.
I samo nekoliko važnih napomena. Prvo, uzima se u obzir samo napredovanje naredio redosled brojeva: dozvoljeno je da se čitaju striktno onim redom kojim su napisani - i ništa drugo. Brojevi se ne mogu preurediti ili zamijeniti.
Drugo, sam niz može biti ili konačan ili beskonačan. Na primjer, skup (1; 2; 3) je očigledno konačna aritmetička progresija. Ali ako nešto napišete u duhu (1; 2; 3; 4; ...) - to je već beskonačna progresija. Čini se da trotočka iza četiri nagoveštava da predstoji još dosta brojeva. Beskonačno mnogo, na primjer. :)
Također bih želio napomenuti da se progresije mogu povećavati ili smanjivati. Već smo vidjeli sve veće - isti skup (1; 2; 3; 4; ...). Evo primjera opadajuće progresije:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
U redu, u redu: posljednji primjer može izgledati previše komplikovano. Ali ostalo, mislim, razumete. Stoga uvodimo nove definicije:
Definicija. Aritmetička progresija se naziva:
- povećava se ako je svaki sljedeći element veći od prethodnog;
- smanjuje se ako je, naprotiv, svaki sljedeći element manji od prethodnog.
Osim toga, postoje takozvani "stacionarni" nizovi - oni se sastoje od istog broja koji se ponavlja. Na primjer, (3; 3; 3; ...).
Ostaje samo jedno pitanje: kako razlikovati rastuću progresiju od opadajuće? Srećom, ovdje sve zavisi samo od predznaka broja $d$, tj. razlike u napredovanju:
- Ako je $d \gt 0$, tada se progresija povećava;
- Ako je $d \lt 0$, onda se progresija očito smanjuje;
- Konačno, postoji slučaj $d=0$ - u ovom slučaju se cjelokupna progresija svodi na stacionarni niz identičnih brojeva: (1; 1; 1; 1; ...), itd.
Pokušajmo izračunati razliku $d$ za tri opadajuće progresije navedene gore. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koja dva susjedna elementa (na primjer, prvi i drugi) i oduzeti broj s lijeve strane od broja s desne strane. To će izgledati ovako:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Kao što vidimo, u sva tri slučaja razlika je zapravo negativna. A sada kada smo manje-više shvatili definicije, vrijeme je da shvatimo kako su progresije opisane i koja svojstva imaju.
Termini progresije i formula recidiva
Budući da se elementi naših sekvenci ne mogu zamijeniti, mogu se numerisati:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \desno\)\]
Pojedinačni elementi ovog skupa nazivaju se članovima progresije. Označeni su brojem: prvi član, drugi član itd.
Osim toga, kao što već znamo, susjedni termini progresije povezani su formulom:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Strelica desno ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Ukratko, da biste pronašli $n$-ti član progresije, morate znati $n-1$-ti član i razliku $d$. Ova formula se naziva rekurentna, jer uz njenu pomoć možete pronaći bilo koji broj samo ako poznajete prethodni (i zapravo sve prethodne). Ovo je vrlo nezgodno, pa postoji lukavija formula koja sve izračune svodi na prvi član i razliku:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \desno)d\]
Vjerovatno ste već naišli na ovu formulu. Vole da ga daju u svim vrstama priručnika i knjiga o rešenjima. I u svakom razumnom udžbeniku matematike jedan je od prvih.
Ipak, predlažem da malo vježbate.
Zadatak br. 1. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$ ako je $((a)_(1))=8,d=-5$.
Rješenje. Dakle, znamo prvi pojam $((a)_(1))=8$ i razliku progresije $d=-5$. Koristimo upravo datu formulu i zamijenimo $n=1$, $n=2$ i $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \desno)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \desno)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(poravnati)\]
Odgovor: (8; 3; −2)
To je sve! Imajte na umu: naš napredak se smanjuje.
Naravno, $n=1$ se ne može zamijeniti - prvi član nam je već poznat. Međutim, zamjenom jedinstva, uvjerili smo se da i za prvi mandat naša formula funkcionira. U drugim slučajevima sve se svelo na banalnu aritmetiku.
Zadatak br. 2. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije ako je njen sedmi član jednak −40, a sedamnaesti član jednak −50.
Rješenje. Zapišimo uslov problema poznatim terminima:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(poravnati) \desno.\]
\[\left\( \begin(poravnati) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(poravnati) \desno.\]
Stavio sam sistemski znak jer ovi zahtjevi moraju biti ispunjeni istovremeno. Zapazimo da ako oduzmemo prvu od druge jednačine (imamo pravo na to, pošto imamo sistem), dobićemo ovo:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(poravnati)\]
Tako je lako pronaći razliku u progresiji! Sve što preostaje je zamijeniti pronađeni broj u bilo koju od jednačina sistema. Na primjer, u prvom:
\[\begin(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrica)\]
Sada, znajući prvi član i razliku, ostaje da pronađemo drugi i treći član:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(poravnati)\]
Spremni! Problem je riješen.
Odgovor: (−34; −35; −36)
Obratite pažnju na zanimljivo svojstvo progresije koje smo otkrili: ako uzmemo $n$th i $m$th članove i oduzmemo ih jedan od drugog, dobićemo razliku progresije pomnoženu sa $n-m$ brojem:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \lijevo(n-m \desno)\]
Jednostavna, ali vrlo korisna osobina koju svakako trebate znati - uz njenu pomoć možete značajno ubrzati rješavanje mnogih problema progresije. Evo jasnog primjera ovoga:
Zadatak br. 3. Peti član aritmetičke progresije je 8,4, a deseti član 14,4. Pronađite petnaesti član ove progresije.
Rješenje. Budući da je $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, i moramo pronaći $((a)_(15))$, primjećujemo sljedeće:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(poravnati)\]
Ali po uslovu $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, dakle $5d=6$, od čega imamo:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(poravnati)\]
Odgovor: 20.4
To je sve! Nije nam bilo potrebno da pravimo sistem jednačina i izračunavamo prvi član i razliku - sve je rešeno u samo par redova.
Pogledajmo sada drugu vrstu problema – traženje negativnih i pozitivnih pojmova progresije. Nije tajna da ako se progresija povećava, a njen prvi pojam je negativan, tada će se prije ili kasnije u njoj pojaviti pozitivni termini. I obrnuto: uslovi opadajuće progresije će prije ili kasnije postati negativni.
U isto vrijeme, nije uvijek moguće pronaći ovaj trenutak "naprijed" uzastopnim prolaskom kroz elemente. Često su problemi napisani na način da bez poznavanja formula za proračun bi trebalo nekoliko listova papira – jednostavno bismo zaspali dok bismo pronašli odgovor. Stoga, pokušajmo riješiti ove probleme na brži način.
Zadatak br. 4. Koliko negativnih članova ima u aritmetičkoj progresiji −38,5; −35,8; ...?
Rješenje. Dakle, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, odakle odmah nalazimo razliku:
Imajte na umu da je razlika pozitivna, pa se progresija povećava. Prvi član je negativan, tako da ćemo zaista u nekom trenutku naići na pozitivne brojeve. Pitanje je samo kada će se to dogoditi.
Pokušajmo saznati koliko dugo (tj. do kojeg prirodnog broja $n$) ostaje negativnost pojmova:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Strelica desno ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \desno. \\ & -385+27\cdot \lijevo(n-1 \desno) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Strelica desno ((n)_(\max ))=15. \\ \end(poravnati)\]
Poslednji red zahteva neko objašnjenje. Dakle, znamo da je $n \lt 15\frac(7)(27)$. S druge strane, zadovoljavaju nas samo cjelobrojne vrijednosti broja (štaviše: $n\in \mathbb(N)$), pa je najveći dozvoljeni broj upravo $n=15$, a ni u kojem slučaju 16 .
Zadatak br. 5. U aritmetičkoj progresiji $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Pronađite broj prvog pozitivnog člana ove progresije.
Ovo bi bio potpuno isti problem kao i prethodni, ali ne znamo $((a)_(1))$. Ali susjedni pojmovi su poznati: $((a)_(5))$ i $((a)_(6))$, tako da možemo lako pronaći razliku progresije:
Uz to, pokušajmo izraziti peti član kroz prvi i razliku koristeći standardnu formulu:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(poravnati)\]
Sada nastavljamo po analogiji s prethodnim zadatkom. Hajde da saznamo u kojoj točki u našem nizu će se pojaviti pozitivni brojevi:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Strelica desno ((n)_(\min ))=56. \\ \end(poravnati)\]
Minimalno cjelobrojno rješenje ove nejednakosti je broj 56.
Napominjemo: u posljednjem zadatku sve se svelo na strogu nejednakost, tako da nam opcija $n=55$ neće odgovarati.
Sada kada smo naučili kako riješiti jednostavne probleme, prijeđimo na složenije. Ali prvo, proučimo još jedno vrlo korisno svojstvo aritmetičkih progresija, koje će nam uštedjeti mnogo vremena i nejednakih ćelija u budućnosti. :)
Aritmetička sredina i jednaka uvlačenja
Razmotrimo nekoliko uzastopnih članova rastuće aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$. Pokušajmo ih označiti na brojevnoj pravoj:
Uvjeti aritmetičke progresije na brojevnoj pravojPosebno sam označio proizvoljne termine $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a ne neke $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, itd. Jer pravilo o kojem ću vam sada reći radi isto za sve "segmente".
A pravilo je vrlo jednostavno. Prisjetimo se ponavljajuće formule i zapišemo je za sve označene pojmove:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(poravnati)\]
Međutim, ove jednakosti se mogu drugačije napisati:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(poravnati)\]
Pa, pa šta? A činjenica da pojmovi $((a)_(n-1))$ i $((a)_(n+1))$ leže na istoj udaljenosti od $((a)_(n)) $ . I ova udaljenost je jednaka $d$. Isto se može reći i za pojmove $((a)_(n-2))$ i $((a)_(n+2))$ - oni su također uklonjeni iz $((a)_(n) )$ na istoj udaljenosti jednakoj $2d$. Možemo nastaviti do beskonačnosti, ali značenje je dobro ilustrovano slikom
Uslovi progresije leže na istoj udaljenosti od centra Šta ovo znači za nas? To znači da se $((a)_(n))$ može pronaći ako su susjedni brojevi poznati:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Izveli smo odličnu izjavu: svaki član aritmetičke progresije jednak je aritmetičkoj sredini njegovih susjednih članova! Štaviše: možemo se odmaknuti od našeg $((a)_(n))$ lijevo i desno ne za jedan korak, već za $k$ koraka - i formula će i dalje biti tačna:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
One. lako možemo pronaći neke $((a)_(150))$ ako znamo $((a)_(100))$ i $((a)_(200))$, jer $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvi pogled može izgledati da nam ta činjenica ne daje ništa korisno. Međutim, u praksi, mnogi problemi su posebno skrojeni za korištenje aritmetičke sredine. Pogledaj:
Zadatak br. 6. Pronađite sve vrijednosti $x$ za koje su brojevi $-6((x)^(2))$, $x+1$ i $14+4((x)^(2))$ uzastopni termini aritmetičku progresiju (po navedenom redoslijedu).
Rješenje. Pošto su ovi brojevi članovi progresije, za njih je zadovoljen uslov aritmetičke sredine: centralni element $x+1$ može se izraziti u terminima susednih elemenata:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(poravnati)\]
Rezultat je klasična kvadratna jednadžba. Njegovi korijeni: $x=2$ i $x=-3$ su odgovori.
Odgovor: −3; 2.
Zadatak br. 7. Pronađite vrijednosti $$ za koje brojevi $-1;4-3;(()^(2))+1$ formiraju aritmetičku progresiju (tim redoslijedom).
Rješenje. Izrazimo opet srednji član kroz aritmetičku sredinu susjednih članova:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \desno.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(poravnati)\]
Opet kvadratna jednadžba. I opet postoje dva korijena: $x=6$ i $x=1$.
Odgovor: 1; 6.
Ako u procesu rješavanja zadatka dođete do nekih brutalnih brojeva, ili niste sasvim sigurni u tačnost pronađenih odgovora, onda postoji divna tehnika koja vam omogućava da provjerite: jesmo li ispravno riješili problem?
Recimo da smo u zadatku br. 6 dobili odgovore −3 i 2. Kako možemo provjeriti da li su ti odgovori tačni? Hajde da ih samo uključimo u originalno stanje i vidimo šta će se desiti. Da vas podsjetim da imamo tri broja ($-6(()^(2))$, $+1$ i $14+4(()^(2))$), koji moraju formirati aritmetičku progresiju. Zamijenimo $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Strelica desno \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(poravnati)\]
Dobili smo brojeve −54; −2; 50 koje se razlikuju za 52 je nesumnjivo aritmetička progresija. Ista stvar se dešava za $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Strelica desno \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(poravnati)\]
Opet progresija, ali sa razlikom od 27. Dakle, problem je ispravno riješen. Oni koji žele mogu sami provjeriti drugi problem, ali odmah ću reći: i tu je sve ispravno.
Generalno, rješavajući posljednje probleme, naišli smo na još jednu zanimljivu činjenicu koju također treba zapamtiti:
Ako su tri broja takva da je drugi aritmetička sredina prvog i posljednjeg, onda ti brojevi čine aritmetičku progresiju.
U budućnosti, razumevanje ove izjave omogućiće nam da doslovno „konstruišemo“ neophodne progresije na osnovu uslova problema. Ali prije nego što se upustimo u ovakvu „konstrukciju“, treba obratiti pažnju na još jednu činjenicu, koja direktno proizlazi iz onoga o čemu je već bilo riječi.
Grupisanje i zbrajanje elemenata
Vratimo se ponovo na brojevnu osu. Napomenimo tu nekoliko članova progresije, između kojih, možda. vrijedi mnogo drugih članova:
Na brojevnoj pravoj je označeno 6 elemenataPokušajmo izraziti “lijevi rep” kroz $((a)_(n))$ i $d$, a “desni rep” kroz $((a)_(k))$ i $d$. Vrlo je jednostavno:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(poravnati)\]
Sada imajte na umu da su sljedeći iznosi jednaki:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+(a)_(k))-2d= S. \end(poravnati)\]
Jednostavno, ako za početak uzmemo u obzir dva elementa progresije, koji su ukupno jednaki nekom broju $S$, a zatim počnu koračati od ovih elemenata u suprotnim smjerovima (jedan prema drugom ili obrnuto da bi se udaljili), onda sume elemenata na koje ćemo naići će takođe biti jednaki$S$. Ovo se najjasnije može prikazati grafički:
Jednaka udubljenja daju jednake količine Razumijevanje ove činjenice omogućit će nam rješavanje problema fundamentalno višeg nivoa složenosti od onih koje smo razmatrali gore. Na primjer, ove:
Zadatak br. 8. Odredite razliku aritmetičke progresije u kojoj je prvi član 66, a proizvod drugog i dvanaestog člana najmanji mogući.
Rješenje. Hajde da zapišemo sve što znamo:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(poravnati)\]
Dakle, ne znamo razliku u progresiji $d$. Zapravo, cjelokupno rješenje će biti izgrađeno oko razlike, budući da se proizvod $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ može prepisati na sljedeći način:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \desno)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \desno)\cdot \left(d+6 \desno). \end(poravnati)\]
Za one u rezervoaru: uzeo sam ukupan množitelj od 11 iz druge zagrade. Dakle, željeni proizvod je kvadratna funkcija u odnosu na varijablu $d$. Stoga, razmotrite funkciju $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - njen graf će biti parabola sa granama nagore, jer ako proširimo zagrade, dobijamo:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Kao što vidite, koeficijent najvećeg člana je 11 - ovo je pozitivan broj, tako da imamo posla sa parabolom sa granama nagore:
graf kvadratne funkcije - parabola
Imajte na umu: ova parabola uzima svoju minimalnu vrijednost na svom vrhu sa apscisom $((d)_(0))$. Naravno, ovu apscisu možemo izračunati koristeći standardnu šemu (postoji formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ali bi bilo mnogo razumnije primijetiti da željeni vrh leži na osnoj simetriji parabole, stoga je tačka $((d)_(0))$ jednako udaljena od korijena jednadžbe $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \desno)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(poravnati)\]
Zato se nisam posebno žurio s otvaranjem zagrada: u njihovom izvornom obliku, korijenje je bilo vrlo, vrlo lako pronaći. Dakle, apscisa je jednaka aritmetičkoj sredini brojeva −66 i −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Šta nam daje otkriveni broj? Kod njega traženi proizvod poprima najmanju vrijednost (usput rečeno, nikada nismo izračunali $((y)_(\min ))$ - to se od nas ne traži). Istovremeno, ovaj broj je razlika prvobitne progresije, tj. našli smo odgovor. :)
Odgovor: −36
Zadatak br. 9. Između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac(1)(6)$ ubacite tri broja tako da zajedno sa ovim brojevima čine aritmetičku progresiju.
Rješenje. U suštini, moramo napraviti niz od pet brojeva, s prvim i posljednjim brojem već poznatim. Označimo brojeve koji nedostaju varijablama $x$, $y$ i $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Imajte na umu da je broj $y$ “sredina” našeg niza - jednako je udaljen od brojeva $x$ i $z$, te od brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac (1)( 6)$. A ako trenutno ne možemo dobiti $y$ iz brojeva $x$ i $z$, onda je situacija drugačija sa krajevima progresije. Prisjetimo se aritmetičke sredine:
Sada, znajući $y$, naći ćemo preostale brojeve. Imajte na umu da $x$ leži između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $y=-\frac(1)(3)$ koje smo upravo pronašli. Zbog toga
Koristeći slično razmišljanje, nalazimo preostali broj:
Spremni! Pronašli smo sva tri broja. Upišimo ih u odgovor onim redom kojim ih treba umetnuti između originalnih brojeva.
Odgovor: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Zadatak br. 10. Između brojeva 2 i 42 ubacite nekoliko brojeva koji zajedno sa ovim brojevima čine aritmetičku progresiju, ako znate da je zbir prvog, drugog i posljednjeg umetnutih brojeva 56.
Rješenje. Još složeniji problem, koji se, međutim, rješava po istoj shemi kao i prethodni - kroz aritmetičku sredinu. Problem je što ne znamo tačno koliko brojeva treba uneti. Stoga, pretpostavimo za definitivno da će nakon ubacivanja svega biti tačno $n$ brojeva, i prvi od njih je 2, a posljednji je 42. U ovom slučaju, tražena aritmetička progresija može se predstaviti u obliku:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \desno\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Međutim, imajte na umu da su brojevi $((a)_(2))$ i $((a)_(n-1))$ dobijeni iz brojeva 2 i 42 na rubovima za jedan korak jedan prema drugom, tj. do centra niza. A to znači to
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Ali tada se gore napisani izraz može prepisati na sljedeći način:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(poravnati)\]
Znajući $((a)_(3))$ i $((a)_(1))$, lako možemo pronaći razliku u progresiji:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Strelica desno d=5. \\ \end(poravnati)\]
Sve što ostaje je pronaći preostale pojmove:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(poravnati)\]
Tako ćemo već na 9. koraku doći do lijevog kraja niza - broja 42. Ukupno je trebalo ubaciti samo 7 brojeva: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Riječni problemi s progresijama
U zaključku, želio bih razmotriti nekoliko relativno jednostavnih problema. Pa, onako jednostavno: većini učenika koji uče matematiku u školi, a nisu pročitali ono što je gore napisano, ovi problemi mogu izgledati teški. Ipak, ovo su tipovi zadataka koji se pojavljuju na OGE-u i Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike, pa preporučujem da se s njima upoznate.
Zadatak br. 11. Tim je u januaru proizveo 62 dijela, au svakom sljedećem mjesecu proizveo je 14 dijelova više nego u prethodnom mjesecu. Koliko je delova tim proizveo u novembru?
Rješenje. Očigledno je da će broj dijelova navedenih po mjesecima predstavljati rastuću aritmetičku progresiju. Štaviše:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \desno)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Novembar je 11. mjesec u godini, tako da moramo pronaći $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Stoga će u novembru biti proizvedeno 202 dijela.
Zadatak br. 12. Knjigovezačka radionica je u januaru uvezala 216 knjiga, au svakom narednom mjesecu uvezala je po 4 knjige više nego u prethodnom mjesecu. Koliko knjiga je radionica povezala u decembru?
Rješenje. Sve isto:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \desno)\cdot 4. \\ \end(align)$
Decembar je posljednji, 12. mjesec u godini, pa tražimo $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Ovo je odgovor - u decembru će biti ukoričeno 260 knjiga.
Pa, ako ste do sada pročitali, žurim da vam čestitam: uspješno ste završili „kurs mladog borca“ u aritmetičkim progresijama. Možete sa sigurnošću preći na sljedeću lekciju, gdje ćemo proučavati formulu za zbir progresije, kao i važne i vrlo korisne posljedice iz toga.
Na primjer, niz \(2\); \(5\); \(8\); \(jedanaest\); \(14\)... je aritmetička progresija, jer se svaki sljedeći element razlikuje od prethodnog za tri (može se dobiti od prethodnog dodavanjem tri):
U ovoj progresiji, razlika \(d\) je pozitivna (jednaka \(3\)), i stoga je svaki sljedeći član veći od prethodnog. Takve progresije se nazivaju povećanje.
Međutim, \(d\) može biti i negativan broj. Na primjer, u aritmetičkoj progresiji \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... razlika u progresiji \(d\) jednaka je minus šest.
I u ovom slučaju, svaki sljedeći element bit će manji od prethodnog. Ove progresije se nazivaju opadajući.
Zapis aritmetičke progresije
Napredak je označen malim latiničnim slovom.
Zovu se brojevi koji formiraju progresiju članovi(ili elemenata).
Označavaju se istim slovom kao aritmetička progresija, ali s numeričkim indeksom jednakim broju elementa po redu.
Na primjer, aritmetička progresija \(a_n = \lijevo\( 2; 5; 8; 11; 14...\desno\)\) se sastoji od elemenata \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tako dalje.
Drugim riječima, za progresiju \(a_n = \lijevo\(2; 5; 8; 11; 14...\desno\)\)
Rješavanje problema aritmetičke progresije
U principu, gore predstavljene informacije su već dovoljne za rješavanje gotovo svakog problema aritmetičke progresije (uključujući one koje se nude na OGE-u).
Primjer (OGE).
Aritmetička progresija je određena uslovima \(b_1=7; d=4\). Pronađite \(b_5\).
Rješenje:
odgovor: \(b_5=23\)
Primjer (OGE).
Prva tri člana aritmetičke progresije su data: \(62; 49; 36…\) Pronađite vrijednost prvog negativnog člana ove progresije..
Rješenje:
|
Dati su nam prvi elementi niza i znamo da je to aritmetička progresija. To jest, svaki element se razlikuje od svog susjeda za isti broj. Hajde da saznamo koji oduzimanjem prethodnog od sljedećeg elementa: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Sada možemo vratiti naš napredak do (prvog negativnog) elementa koji nam je potreban. |
|
|
Spreman. Možete napisati odgovor. |
odgovor: \(-3\)
Primjer (OGE).
Dato je nekoliko uzastopnih elemenata aritmetičke progresije: \(…5; x; 10; 12,5...\) Pronađite vrijednost elementa označenog slovom \(x\).
Rješenje:
|
|
Da bismo pronašli \(x\), moramo znati koliko se sljedeći element razlikuje od prethodnog, drugim riječima, razlika u progresiji. Nađimo ga iz dva poznata susjedna elementa: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
I sada lako možemo pronaći ono što tražimo: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Spreman. Možete napisati odgovor. |
odgovor: \(7,5\).
Primjer (OGE).
Aritmetička progresija je definisana sledećim uslovima: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Pronađite zbir prvih šest članova ove progresije.
Rješenje:
|
Moramo pronaći zbir prvih šest članova progresije. Ali ne znamo njihova značenja; dat nam je samo prvi element. Stoga prvo izračunavamo vrijednosti jednu po jednu, koristeći ono što nam je dato: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Traženi iznos je pronađen. |
odgovor: \(S_6=9\).
Primjer (OGE).
U aritmetičkoj progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Pronađite razliku ove progresije.
Rješenje:
odgovor: \(d=7\).
Važne formule za aritmetičku progresiju
Kao što vidite, mnogi problemi s aritmetičkom progresijom mogu se riješiti jednostavnim razumijevanjem glavne stvari - da je aritmetička progresija lanac brojeva, a svaki sljedeći element u ovom lancu se dobija dodavanjem istog broja prethodnom ( razlika u progresiji).
Međutim, ponekad se dešavaju situacije kada je odlučivanje o "čelnom" vrlo nezgodno. Na primjer, zamislite da u prvom primjeru ne trebamo pronaći peti element \(b_5\), već trista osamdeset šesti \(b_(386)\). Trebamo li sabrati četiri \(385\) puta? Ili zamislite da u pretposljednjem primjeru trebate pronaći zbir prva sedamdeset tri elementa. Bićete umorni od brojanja...
Stoga, u takvim slučajevima ne rješavaju stvari „iz glave“, već koriste posebne formule izvedene za aritmetičku progresiju. A glavne su formula za n-ti član progresije i formula za zbir \(n\) prvih članova.
Formula \(n\)-tog člana: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdje je \(a_1\) prvi član progresije;
\(n\) – broj potrebnog elementa;
\(a_n\) – termin progresije sa brojem \(n\).
Ova formula nam omogućava da brzo pronađemo čak i tristoti ili milioniti element, znajući samo prvi i razliku progresije.
Primjer.
Aritmetička progresija je određena uslovima: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Pronađite \(b_(246)\).
Rješenje:
odgovor: \(b_(246)=1850\).
Formula za zbir prvih n članova: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdje je
\(a_n\) – posljednji zbrojeni član;
Primjer (OGE).
Aritmetička progresija je određena uslovima \(a_n=3.4n-0.6\). Pronađite zbroj prvih \(25\) članova ove progresije.
Rješenje:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Da bismo izračunali zbir prvih dvadeset pet članova, moramo znati vrijednost prvog i dvadeset petog člana. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Sada pronađimo dvadeset peti član zamjenom dvadeset pet umjesto \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\) |
Pa, sada možemo lako izračunati potrebnu količinu. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Odgovor je spreman. |
odgovor: \(S_(25)=1090\).
Za zbir \(n\) prvih članova možete dobiti drugu formulu: samo trebate \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) umjesto \(a_n\) zamijenite formulu za to \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobijamo:
Formula za zbir prvih n članova: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdje je
\(S_n\) – traženi zbir \(n\) prvih elemenata;
\(a_1\) – prvi zbrojeni član;
\(d\) – razlika u progresiji;
\(n\) – ukupan broj elemenata.
Primjer.
Pronađite zbir prvih \(33\)-ex članova aritmetičke progresije: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Rješenje:
odgovor: \(S_(33)=-231\).
Složeniji problemi aritmetičke progresije
Sada imate sve informacije koje su vam potrebne da riješite gotovo svaki problem aritmetičke progresije. Hajde da završimo temu razmatranjem problema u kojima ne samo da treba da primenite formule, već i malo razmislite (u matematici to može biti korisno ☺)
Primjer (OGE).
Pronađite zbir svih negativnih članova progresije: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Rješenje:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Zadatak je vrlo sličan prethodnom. Počinjemo rješavati istu stvar: prvo pronađemo \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Sada bih htio zamijeniti \(d\) u formulu za zbir... i ovdje se pojavljuje mala nijansa - ne znamo \(n\). Drugim riječima, ne znamo koliko termina treba dodati. Kako to saznati? Hajde da razmislimo. Prestat ćemo sa dodavanjem elemenata kada dođemo do prvog pozitivnog elementa. Odnosno, morate saznati broj ovog elementa. Kako? Zapišimo formulu za izračunavanje bilo kojeg elementa aritmetičke progresije: \(a_n=a_1+(n-1)d\) za naš slučaj. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Treba nam \(a_n\) da postane veći od nule. Hajde da saznamo u čemu će se to \(n\) dogoditi. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Obje strane nejednakosti dijelimo sa \(0.3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Prenosimo minus jedan, ne zaboravljajući promijeniti znakove |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
Hajde da izračunamo... |
|
|
\(n>65,333…\) |
...i ispostavilo se da će prvi pozitivni element imati broj \(66\). Prema tome, zadnja negativna ima \(n=65\). Za svaki slučaj, hajde da proverimo ovo. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Dakle, moramo dodati prve \(65\) elemente. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Odgovor je spreman. |
odgovor: \(S_(65)=-630,5\).
Primjer (OGE).
Aritmetička progresija je određena uslovima: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Pronađite zbroj od \(26\)-og do \(42\) elementa uključujući.
Rješenje:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
U ovom zadatku također morate pronaći zbir elemenata, ali ne počevši od prvog, već od \(26\)-og. Za takav slučaj nemamo formulu. Kako odlučiti? |
|
|
Za našu progresiju \(a_1=-33\), i razliku \(d=4\) (na kraju krajeva, to je četiri koje dodajemo prethodnom elementu da bismo pronašli sljedeći). Znajući ovo, nalazimo zbir prvih \(42\)-y elemenata. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Sada zbir prvih \(25\) elemenata. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
I konačno, izračunavamo odgovor. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
odgovor: \(S=1683\).
Za aritmetičku progresiju postoji još nekoliko formula koje nismo razmatrali u ovom članku zbog njihove niske praktične korisnosti. Međutim, lako ih možete pronaći.
