а) Разрежьте произвольный треугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.
б) Разрежьте произвольный прямоугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
в) Разрежьте два произвольных квадрата на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить один большой квадрат.
Подсказка 1
б) Сначала составьте из произвольного прямоугольника такой прямоугольник, отношение большей стороны которого к меньшей не превышает четырех.
в) Используйте теорему Пифагора.
Подсказка 2
а) Проведите высоту или среднюю линию.
б) Наложите прямоугольник на квадрат, который должен получиться, и проведите «диагональ».
в) Приложите квадраты друг к другу, на стороне большего квадрата отмерьте отрезок, равный длине меньшего квадрата, после чего соедините ее с «противоположными» вершинами каждого из квадратов (см. рис. 1).
Решение
а) Пусть дан произвольный треугольник ABC . Проведём среднюю линию MN параллельно стороне AB , а в полученном треугольнике CMN опустим высоту CD . Кроме того, опустим на прямую MN перпендикуляры AK и BL . Тогда легко видеть, что ∆AKM = ∆CDM и ∆BLN = ∆CDN как прямоугольные треугольники, у которых равны соответствующие пара сторон и пара углов.
Отсюда вытекает метод разрезания данного треугольника и последующего перекладывания кусочков. Именно, проведём разрезы по отрезкам MN и CD . После этого переложим треугольники CDM и CDN на место треугольников AKM и BLN соответственно, как показано на рис. 2. Мы получили прямоугольник AKLB , как того и требовалось в задаче.
Отметим, что этот метод не сработает, если один из углов CAB или CBA - тупой. Так происходит из-за того, что в этом случае высота CD не лежит внутри треугольника CMN . Но это не слишком страшно: если проводить среднюю линию параллельно самой длинной стороне исходного треугольника, то в отсечённом треугольнике мы будем опускать высоту из тупого угла, а она обязательно будет лежать внутри треугольника.
б) Пусть дан прямоугольник ABCD , стороны которого AD и AB равны a и b соответственно, причём a > b . Тогда площадь того квадрата, который мы хотим получить в итоге, должна быть равной ab . Следовательно, длина стороны квадрата составляет √ab , что меньше, чем AD , но больше, чем AB .
Построим квадрат APQR , равный искомому, таким образом, чтобы точка B лежала на отрезке AP , а точка R - на отрезке AD . Пусть PD пересекает отрезки BC и QR в точках M и N соответственно. Тогда легко видеть, что треугольники PBM , PAD и NRD подобны, а кроме того, BP = (√ab – b ) и RD = (a – √ab ). Значит,
Следовательно, ∆PBM = ∆NRD по двум сторонам и углу между ними. Также отсюда несложно вывести равенства PQ = MC и NQ = CD , а значит, ∆PQN = ∆MCD тоже по двум сторонам и углу между ними.
Из всех приведённых рассуждений вытекает метод разрезания. Именно, сначала мы откладываем на сторонах AD и BC отрезки AR и CM , длины которых равны √ab (о том, как строить отрезки вида √ab , см. задачу «Правильные многоугольники» - врезку в разделе «Решение»). Далее, восстанавливаем перпендикуляр к отрезку AD в точке R . Теперь осталось только отрезать треугольники MCD и NRD и переложить их так, как показано на рис. 3.
Отметим, что для того, чтобы этим методом можно было воспользоваться, требуется, чтобы точка M оказалась внутри отрезка BK (иначе не весь треугольник NRD содержится внутри прямоугольника ABCD ). То есть необходимо, чтобы
Если это условие не выполняется, то сначала нужно сделать данный прямоугольник более широким и менее длинным. Для этого достаточно разрезать его пополам и переложить кусочки так, как показано на рис. 4. Ясно, что после проведения такой операции отношение большей стороны к меньшей уменьшится в четыре раза. А значит, проделывая её достаточно большое число раз, в конце концов мы получим прямоугольник, к которому применимо разрезание с рис. 3.
в) Рассмотрим два данных квадрата ABCD и DPQR , приложив их друг к другу так, чтобы они пересекались по стороне CD меньшего квадрата и имели общую вершину D . Будем считать, что PD = a и AB = b , причём, как мы уже отмечали, a > b . Тогда на стороне DR большего квадрата можно рассмотреть такую точку M , что MR = AB . По теореме Пифагора .
Пусть прямые, проходящие через точки B и Q параллельно прямым MQ и BM соответственно, пересекаются в точке N . Тогда четырёхугольник BMQN является параллелограммом, а так как у него все стороны равны, то это ромб. Но ∆BAM = ∆MRQ по трём сторонам, откуда следует (учитывая, что углы BAM и MRQ прямые), что . Таким образом, BMQN - квадрат. А так как его площадь равна (a 2 + b 2), то это именно тот квадрат, который нам надо получить.
Для того чтобы перейти к разрезанию, осталось заметить, что ∆BAM = ∆MRQ = ∆BCN = ∆NPQ . После этого то, что нужно сделать, становится очевидным: необходимо отрезать треугольники BAM и MRQ и переложить их так, как изображено на рис. 5.
Послесловие
Прорешав предложенные задачи, читатель, вполне возможно, задумается над таким вопросом: а когда вообще можно один данный многоугольник разрезать прямыми линиями на конечное число таких кусочков, из которых складывается другой данный многоугольник? Немножко поразмыслив, он поймёт, что как минимум необходимо, чтобы площади этих многоугольников были равны. Таким образом, исходный вопрос превращается в следующий: правда ли, что если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то один из них можно разрезать на кусочки, из которых складывается второй (это свойство двух многоугольников называется равносоставленностью)? Оказывается, это действительно так, и об этом нам говорит теорема Бойяи-Гервина, доказанная в 30-х годах XIX века. Более точно, её формулировка заключается вот в чём.
Теорема Бойяи-Гервина. Два многоугольника равновелики тогда и только тогда, когда они равносоставлены.
Идея доказательства этого замечательного результата заключается в следующем. Во-первых, мы будем доказывать не само утверждение теоремы, а то, что каждый из двух данных равновеликих многоугольников можно разрезать на кусочки, из которых складывается квадрат той же площади. Для этого сначала мы разобьём каждый из многоугольников на треугольники (такое разбиение называется триангуляцией ). А потом каждый треугольничек превратим в квадратик (например, при помощи метода, описанного в пунктах а) и б) настоящей задачи). Осталось сложить из большого количества маленьких квадратиков один большой - это мы умеем делать благодаря пункту в).
Аналогичный вопрос для многогранников составляет одну из знаменитых проблем Давида Гильберта (третью), представленных им в докладе на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Характерно, что ответ на него оказался отрицательным. Уже рассмотрение двух таких простейших многогранников, как куб и правильный тетраэдр, показывает, что ни один из них не получается разрезать на конечное число частей так, чтобы из них составлялся другой. И это не случайно - подобного разрезания просто не существует.
Решение третьей проблемы Гильберта было получено одним из его учеников - Максом Деном - уже в 1901 году. Ден обнаружил инвариантную величину, которая не изменялась при разрезании многогранников на кусочки и складывании из них новых фигур. Однако эта величина оказалась различной для некоторых многогранников (в частности, куба и правильного тетраэдра). Последнее обстоятельство явно указывает на тот факт, что эти многогранники равносоставленными не являются.
В ниманию репетиторов по математике и преподавателей различных факультативов и кружков предлагается подборка занимательных и развивающих геометрических задач на разрезание. Цель использования репетитором таких задач на своих занятиях — не только заинтересовать ученика интересными и эффектными комбинациями клеток и фигур, но и сформировать у него чувство линий, углов и форм. Комплект задач ориентирован главным образом на детей 4-6 классов, хотя не исключено его использование даже со старшеклассниками. Упражнения требуют от учащихся высокой и устройчивой концентрации внимания и прекрасно подходят для развития и тренировки зрительной памяти. Рекомендуется для репетиторов математики, занимающихся подготовкой учеников к вступительным экзаменам в математические школы и классы, предъявляющие особые требования к уровню самостоятельного мышления и творческим способностям ребенка. Уровень задач соответсвует уровню вступительных олимпиад в лицей «вторая школа» (вторая математическая школа), малому Мехмату МГУ, Курчатовской школе и др.
Примечание репетитора по математике:
В некоторых решения задач, которые вы можете посмотреть щелкнув на соответствующем указателе, указан лишь один из возможных примеров разрезания. Я вполне допускаю, что у вас может получиться какая-то другая верная комбинация — не надо этого бояться. Проверьте тщательно решение вашего мылыша и если оно удовлетворяет условию, то смело принимайтесь за следующую задачу.
1) Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:
: Маленькие фигуры очень похожи на букву Т
2) Разрежьте теперь эту фигуру на 4 равные по форме части:
Подсказка репетитора по математике
: Легко догадаться, что маленькие фигурки будут состоять из 3 клеточек, а фигур из трех клеточек не так много. Их всего два вида: уголок и прямоугольник 1×3.
3) Разрежьте данную фигуру на 5 равных по форме частей:
Найдите количество клеточек, из которых состоит каждая такая фигура. Эти фигурки, похожи на букву Г.
4) А теперь нужно разрезать фигуру из десяти клеток на 4 неравных друг другу прямоугольника (или квадрата).
Указание репетитора по математике
: Выделите какой-нибудь прямоугольник, а затем в оставшиеся клетки попробуйте вписать еще три. Если не получается, то смените первый прямоугольник и попробуйте еще раз.
5) Задача усложняется: нужно фигуру разрезать на 4 разных по форме фигурки (не обязательно на прямоугольники).
Подсказка репетитора по математике
: нарисуйте сначала отдельно все виды фигур разной формы (их будет больше четырех) и повторите метод перебора вариантов как в предыдущей задаче.
:
6) Разрежьте эту фигуру на 5 фигур из четырех клеток разной формы таким образом, чтобы в каждой их них была закрашена только одна зеленая клетка.
Подсказка репетитора по математике:
Попробуйте начать разрезание с верхнего края данной фигуры и вы сразу поймете, как действовать.
:
7) По мотивам предыдущей задачи. Найдите сколько всего имеется фигур различной формы, состоящих ровно из четырех клеток? Фигуры можно крутить, поворачивать, но нельзя поднимать состола (с его поверхности), на котором она лежит. То есть две приведенные фигурки не будут считаться равными, так как они не могут получаться друг из друга при помощи поворота.
Подсказка репетитора по математике:
Изучите решение предыдущей задачи и постарайтесь представить себе различные положения этих фигур при повороте. Нетрудно догадаться, что ответом в нашей задаче будет число 5 или больше. (На самом деле даже больше шести). Всего существует 7 типов описанных фигур.
8) Разрежьте квадрат из 16 клеток на 4 равные по форме части так, чтобы в каждой из четырех частей была ровно одна зеленая клетка.
Подсказка репетитора по математике
: Вид маленьких фигурок не квадрат и не прямоугольник, и даже не уголок из четырех клеток. Так на какие же фигуры надо попытаться разрезать?
9) Изображенную фигуру разрежьте на две части таким образом, чтобы из полученных частей можно было сложить квадрат.
Подсказка репетитора по математкие
: Всего в фигуре 16 клеток — значит, квадрат будет размеро 4×4. И еще как-то нужно заполнить окошко в середине. Как это сделать? Может быть каким-нибудь сдвигом? Тогда поскольку длина прямоугольника равна нечетном учислу клеток, разрезание нужно провести не вертикальным разрезом, а по ломаной линии. Так, чтобы верхняя часть отрезалась с одной стороны от средние клетки, а нижняя с другой.
10) Разрежьте прямоугольник размером 4×9 на две части с таким расчетом, чтобы в результате из них можно было сложить квадрат.
Подсказка репетитора по математике
: Всего в прямоугольнике 36 клеток. Поэтому квадрат получится размером 6×6. Так ка кдлинная сторона состоит из девяти клеток, то три из них нужно отрезать. Как дальше пойдет этот разрез?
11) Крестик из пяти клеток, показанный на рисунке требуется разрезать (можно резать сами клетки) на такие части, из которых можно было бы сложить квадрат.
Подсказка репетитора по математике
: Понятно, что как бы мы по линиям клеточек не резали — квадрат не получим, так как клеток всего 5. Это задача единственная, в которой разрешается резать не по клеткам
. Однако их все равно хорошо бы оставить в виде ориентира. например, стоит заметить, что нам как-то нужно убрать углубления, которые у нас есть — а именно, во внутренних углах нашего креста. Как бы это сделать? Например, срезая какие-то выпирающие треугольники из внешних уголков креста...
Вступительное слово учителя:
Небольшая историческая справка: Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абуль-Вефа. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее построение другой фигуры в начале 20 века. Одним из основателей этого раздела был знаменитый основатель головоломок Генри Э.Дьюдени.
В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берется их решать, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. (На занятии мы будем указывать лишь один из возможных примеров разрезания. Можно допустить, что у учащихся может получиться какая-то другая верная комбинация -- не надо этого бояться).
Данное занятие предполагается провести в виде практического занятия. Разбить участников кружка на группы по 2-3 человека. Каждой из групп предоставить заранее подготовленные учителем фигуры. Учащиеся располагают линейкой (с делениями), карандашом, ножницами. Разрешается производить с помощью ножниц лишь прямолинейные разрезы. Разрезав какую-нибудь фигуру на части, необходимо составить другую фигуру из тех же частей.
Задачи на разрезание:
1). Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:
Подсказка: Маленькие фигуры очень похожи на букву Т.
2). Разрежьте теперь эту фигуру на 4 равные по форме части:
Подсказка: Легко догадаться, что маленькие фигурки будут состоять из 3 клеточек, а фигур из трех клеточек не так много. Их всего два вида: уголок и прямоугольник.
3). Разделите фигуру на две одинаковые части, и из полученных частей сложите шахматную доску.
Подсказка: Предложить начать выполнять задание со второй части, как бы получить шахматную доску. Вспомнить, какую форму имеет шахматная доска (квадрат). Посчитать имеющееся количество клеточек в длину, в ширину. (Напомнить, что клеток должно быть 8).
4). Попробуйте тремя движениями ножа разрезать сыр на восемь равных кусков.
Подсказка: попробовать разрезать сыр вдоль.
Задачи для самостоятельного решения:
1). Вырежьте квадрат из бумаги и выполните следующее:
· разрежьте на такие 4 части, из которых можно составить два равных меньших квадрата.
· разрежьте на пять частей - четыре равнобедренных треугольника и один квадрат - и сложите их так, чтобы получилось три квадрата.
Задача 1: Прямоугольник, стороны которого выражаются целыми числами, можно разрезать на фигурки вида (сторона клетки на рисунке равна единице). Докажите, что его можно разрезать на прямоугольники 1 × 5 .
(Д.~Карпов )
Решение: Площадь данного прямоугольника делится нацело на площадь указанной фигурки, то есть на 5 . Площадь прямоугольника равна произведению длин сторон. Поскольку длины сторон - целые числа, а 5 - простое число, то длина одной из сторон должна делится на 5 . Разделим эту сторону и противоположную ей на отрезки длины 5 , а две другие стороны - на отрезки длины 1, после чего соединим соответствующие точки на противоположных сторонах прямыми линиями.Задача 2: Решите в вещественных числах систему уравнений(А.~Храбров )
Решение: Ответ: система имеет единственное решение: a = b = c = d = 0. Сложив два уравнения системы, получим уравнение 8a² + 9b² + 7c² + 4d² = 16ab + 8cd Из неравенств 2ab ≤ a² + b² и 2cd ≤ c² + d² следует, что правая часть этого уравнение не больше левой, и равенство может достигаться только если b = 0, c = 0, a = b и c = d. Значит, единственным возможным решением данной системы является a = b = c = d = 0.Второй вариант решается аналогично.
Задача 3: В ромбе ABCD на сторонах AB и BC взяты, соответственно, точки E и F, такие, что CF/BF = BE/AE = 1994 . Оказалось, что DE = DF. Найдите величину угла EDF.
Из условия задачи (в обоих вариантах) следует, что BE = CF. Отложим на стороне AB отрезок AK, равный BE. Треугольники ADK и CDF равны по двум сторонам и углу (AD = CD, AK = CF, ∠ DAK = ∠ DCF). Значит, DK = DF = DE, то есть треугольник DKE - равнобедренный. В частности, равны углы DKE и DEK при его основании. Следовательно, треугольники ADK и BDE равны (по двум сторонам и углу: AK = BE, DK = DE, ∠ DKA = ∠ DEB). Отсюда AD = BD, то есть треугольник ABD - равносторонний. Следовательно, ∠ BAD = 60, ∠ ABC = 120.
(А.~Храбров )
Решение: Пусть команда А победила команду Б в матче с такими правилами (возможно, обеспечив себе победу досрочно). Это значит, что при любом мыслимом исходе оставшихся (непробитых) пенальти результат команды А был бы выше, чем команды Б. Представим себе, что команды продолжили пробивание пенальти после окончания матча и пробили все оставшиеся пенальти, причем команда А не забила больше ни одного мяча, а команда Б больше ни разу не промахнулась. При этом общее количество мячей, забитых А, все равно останется больше, чем забитых Б (именно это и значат слова «досрочная победа»). На сколько же оно может быть больше? Только на 1 или на 2. Действительно, если бы разница оказалась больше двух, то победа команды А стала бы неизбежной еще раньше, перед пробиванием последней пары пенальти.Далее, заметим, что при рассматриваемом нами продолжении матча в ворота попала ровно половина всех ударов. Таким образом, и из всех 129 пар ударов в ворота попала ровно половина, то есть ровно 129 . Эти 129 голов делятся между А и Б так, что у А на 1 или на 2 больше. Это однозначно определяет число мячей, забитых командой А - 65 .
Задача 5: Решите уравнение в натуральных числах:(Д.~Карпов )
Решение: У данного уравнения имеется единственное решение: x = 2, y = 1, z = 2 (в обоих вариантах). То, что оно является решением, следует из общего тождества a² + (2a + 1) = (a + 1)²\, применяемого в первом варианте к a = 105, а во втором - к a = 201.Других решений нет, так как если z > 2, то правая часть уравнения делится на 8, а левая - нет, поскольку 105 x может давать при делении на 8 только остаток 1, а 211 y - только остатки 1 и 3. Осталось заметить, что при z = 1 решений также нет, а при z = 2 однозначно определены значения y = 1 и x = 2.
