Pakāpju formulas izmanto sarežģītu izteiksmju samazināšanas un vienkāršošanas procesā, vienādojumu un nevienādību risināšanā.
Numurs c ir n-skaitļa pakāpe a Kad:
Darbības ar grādiem.
1. Reizinot grādus ar to pašu bāzi, tiek pievienoti to rādītāji:
a m·a n = a m + n .
2. Dalot grādus ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti tiek atņemti:
3. 2 vai vairāku faktoru reizinājuma pakāpe ir vienāda ar šo faktoru pakāpju reizinājumu:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Daļas pakāpe ir vienāda ar dividendes un dalītāja pakāpju attiecību:
(a/b) n = a n/b n .
5. Paaugstinot pakāpju pakāpē, eksponenti tiek reizināti:
(a m) n = a m n .
Katra iepriekš minētā formula ir patiesa virzienos no kreisās puses uz labo un otrādi.
Piemēram. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Darbības ar saknēm.
1. Vairāku faktoru reizinājuma sakne ir vienāda ar šo faktoru sakņu reizinājumu:
2. Attiecības sakne ir vienāda ar dividendes un sakņu dalītāja attiecību:
3. Paaugstinot sakni līdz pakāpei, pietiek ar radikālo skaitli palielināt līdz šai pakāpei:
4. Ja palielināsit saknes pakāpi n vienreiz un tajā pašā laikā iekļauties n th jauda ir radikāls skaitlis, tad saknes vērtība nemainīsies:
5. Ja samazina saknes pakāpi n vienlaikus izvelciet sakni n-radikāla skaitļa pakāpe, tad saknes vērtība nemainīsies:
Grāds ar negatīvu eksponentu. Noteikta skaitļa pakāpju ar nepozitīvu (veselu) eksponentu definē kā dalītu ar tā paša skaitļa jaudu ar eksponentu, kas vienāds ar nepozitīvā eksponenta absolūto vērtību:
Formula a m:a n =a m - n var izmantot ne tikai m> n, bet arī ar m< n.
Piemēram. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Uz formulu a m:a n =a m - n kļuva godīgs, kad m=n, ir nepieciešama nulles grādu klātbūtne.
Grāds ar nulles indeksu. Jebkura skaitļa, kas nav vienāds ar nulli ar nulles eksponentu, jauda ir vienāda ar vienu.
Piemēram. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Grāds ar daļskaitli. Lai palielinātu reālu skaitli A līdz pakāpei m/n, jums ir jāizņem sakne n th pakāpe m- šī skaitļa pakāpe A.
Pakāpju pamatīpašības
"Grādu īpašības" ir diezgan populārs vaicājums meklētājprogrammās, kas parāda lielu interesi par grāda īpašībām. Mēs esam apkopojuši jums visas pakāpes īpašības (pakāpes īpašības ar naturālo eksponentu, pakāpes īpašības ar racionālo eksponentu, pakāpes īpašības ar veselu eksponentu) vienuviet. Varat lejupielādēt īsu krāpšanās lapas versiju "Grādu īpašības".pdf formātā, lai vajadzības gadījumā tos varētu viegli atcerēties vai ar tiem iepazīties grādu īpašības tieši vietnē. Detaļās spēku īpašības ar piemēriem apspriests tālāk.
Lejupielādējiet apkrāptu lapu "Grādu īpašības" (formāts.pdf)
Pakāpju īpašības (īsi)
a 0=1 ja a≠0
a 1=a
(−a)n=an, Ja n- pat
(−a)n=−an, Ja n- dīvaini
(a⋅b)n=an⋅miljardus
(ab)n=anbn
a−n=1an
(ab)−n=(ba)n
an⋅am=an+m
anam=an−m
(an)m=an⋅m
Pilnvaru īpašības (ar piemēriem)
1. pakāpes īpašums Jebkurš skaitlis, kas nav no nulles līdz nullei, ir vienāds ar vienu. a 0=1 ja a≠0 Piemēram: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1
2. pakāpes īpašums Jebkurš skaitlis pirmajā pakāpē ir vienāds ar pašu skaitli. a 1=a Piemēram: 231=23, (−9,3)1=−9,3
3. pakāpes īpašums Jebkurš skaitlis līdz pāra pakāpei ir pozitīvs. an=an, Ja n- pāra (dalāms ar 2) vesels skaitlis (- a)n=an, Ja n- pāra (dalāms ar 2) vesels skaitlis Piemēram: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1
4. pakāpes īpašums Jebkurš skaitlis līdz nepāra pakāpei saglabā savu zīmi. an=an, Ja n- nepāra (nedalāms ar 2) vesels skaitlis (- a)n=−an, Ja n- nepāra (nedalāms ar 2) vesels skaitlis Piemēram: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1
5. pakāpes īpašums Palielināto skaitļu reizinājums ak pakāpē var attēlot kā palielināto skaitļu reizinājumu s V šis grāds (un otrādi). ( a⋅b)n=an⋅miljardus, kurā a, b, n Piemēram: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5
6. pakāpes īpašums Paaugstināto skaitļu koeficients (dalījums). ak uz pakāpi, var attēlot kā palielināto skaitļu koeficientu s V šis grāds (un otrādi). ( ab)n=anbn, kurā a, b, n- jebkuri derīgi (ne vienmēr veseli) skaitļi Piemēram: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1
7. pakāpes īpašums Jebkurš skaitlis ar negatīvu pakāpju ir vienāds ar tā apgriezto skaitli šim posmam. (Apgrieztais skaitlis ir skaitlis, ar kuru dotais skaitlis jāreizina, lai iegūtu vienu.) a−n=1an, kurā a Un n- jebkuri derīgi (ne vienmēr veseli) skaitļi Piemēram: 7−2=172=149
8. pakāpes īpašums Jebkura negatīvā pakāpes daļa ir vienāda ar šīs pakāpes apgriezto daļu. ( ab)−n=(ba)n, kurā a, b, n- jebkuri derīgi (ne vienmēr veseli) skaitļi Piemēram: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64
9. pakāpes īpašums Reizinot pakāpes ar to pašu bāzi, eksponenti tiek pievienoti, bet bāze paliek nemainīga. an⋅am=an+m, kurā a, n, m- jebkuri derīgi (ne vienmēr veseli) skaitļi Piemēram: 23⋅25=23+5=28, ņemiet vērā, ka šī pakāpes īpašība saglabājas negatīvām grādu vērtībām 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+( −3)= 47−3=44
10. pakāpes īpašums Sadalot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, eksponenti tiek atņemti, bet bāze paliek nemainīga. anam=an−m, kurā a, n, m- jebkuri derīgi (ne vienmēr veseli) skaitļi Piemēram:(1,4)2(1,4)3=1,42+3=1,45, ņemiet vērā, kā šī jaudas īpašība attiecas uz negatīvajām pakāpēm3−236=3−2−6=3−8, 474−3=47−(−3 )=47+3=410
11. pakāpes īpašums Paaugstinot spēku par spēku, pilnvaras tiek reizinātas. ( an)m=an⋅m Piemēram: (23)2=23⋅2=26=64
Jaudas tabula līdz 10
Tikai dažiem cilvēkiem izdodas atcerēties visu grādu tabulu, un kam tā vajadzīga, ja to ir tik viegli atrast? Mūsu jaudas tabulā ir gan populārās kvadrātu un kubu tabulas (no 1 līdz 10), gan arī citu, retāk sastopamu spēku tabulas. Pakāpju tabulas kolonnas norāda pakāpes bāzes (skaitli, kas jāpalielina līdz pakāpei), rindas norāda eksponentus (pakāpju, līdz kuram skaitlis jāpalielina) un krustpunktā vēlamā kolonna un vēlamā rinda ir rezultāts, paaugstinot vēlamo skaitli līdz noteiktai pakāpei. Ir vairāku veidu problēmas, kuras var atrisināt, izmantojot jaudas tabulas. Tūlītējais uzdevums ir aprēķināt n skaitļa pakāpe. Apgrieztā problēma, kuru var atrisināt arī, izmantojot pakāpju tabulu, var izklausīties šādi: “līdz kādai pakāpei skaitlis jāpaaugstina? a lai iegūtu numuru b ?" vai "Kāds skaitlis uz jaudu n dod skaitli b ?".
Jaudas tabula līdz 10
|
1 n |
2 n |
3 n |
4 n |
5 n |
6 n |
7 n |
8 n |
9 n |
10 n |
|
Kā lietot grādu tabulu
Apskatīsim dažus jaudas tabulas izmantošanas piemērus.
1. piemērs. Kāds skaitlis rodas, paaugstinot skaitli 6 līdz 8. pakāpei? Pakāpju tabulā meklējam 6. aili n, jo atbilstoši uzdevuma nosacījumiem skaitlis 6 tiek pacelts pakāpē. Tad pakāpju tabulā meklējam rindu 8, jo dotais skaitlis jāpaaugstina līdz pakāpei 8. Krustojumā skatāmies atbildi: 1679616.
2. piemērs. Līdz kādai pakāpei jāpaaugstina skaitlis 9, lai iegūtu 729? Pakāpju tabulā meklējam 9. aili n un mēs to nolaižam līdz skaitlim 729 (mūsu grādu tabulas trešā rinda). Rindas numurs ir vajadzīgā pakāpe, tas ir, atbilde: 3.
3. piemērs. Kāds skaitlis jāpalielina līdz 7, lai iegūtu 2187? Pakāpju tabulā meklējam 7. rindiņu, tad pa to virzāmies pa labi līdz skaitlim 2187. No atrastā skaitļa ejam uz augšu un uzzinām, ka šīs ailes virsraksts ir 3 n, kas nozīmē, ka atbilde ir: 3.
4. piemērs. Līdz kādai pakāpei jāpaaugstina skaitlis 2, lai iegūtu 63? Pakāpju tabulā atrodam 2. aili n un mēs ejam pa to lejā, līdz tiekamies 63... Bet tas nenotiks. Mēs nekad neredzēsim skaitli 63 ne šajā kolonnā, ne nevienā citā pakāpju tabulas kolonnā, kas nozīmē, ka neviens vesels skaitlis no 1 līdz 10 nedod skaitli 63, ja to palielina līdz veselam skaitlim no 1 līdz 10. Tādējādi nav atbildi .
Kā reizināt spēkus? Kuras pilnvaras var reizināt un kuras nevar? Kā reizināt skaitli ar pakāpju?
Algebrā spēku reizinājumu var atrast divos gadījumos:
1) ja grādiem ir vienādas bāzes;
2) ja grādiem ir vienādi rādītāji.
Reizinot pakāpes ar vienādām bāzēm, bāze jāatstāj nemainīga un jāsaskaita eksponenti:
Reizinot grādus ar tiem pašiem rādītājiem, kopējo rādītāju var izņemt no iekavām:
Apskatīsim, kā reizināt pilnvaras, izmantojot konkrētus piemērus.
Mērvienība nav rakstīta eksponentā, bet, reizinot pakāpes, tiek ņemta vērā:
Reizinot, var būt jebkurš pakāpju skaits. Jāatceras, ka reizināšanas zīme pirms burta nav jāraksta:
Izteiksmēs vispirms tiek veikta eksponēšana.
Ja jums ir jāreizina skaitlis ar pakāpju, vispirms jāveic kāpināšana un tikai pēc tam reizināšana:
www.algebraclass.ru
Pakāpju saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana
Pakāpju saskaitīšana un atņemšana
Ir skaidrs, ka skaitļus ar pakāpēm var pievienot tāpat kā citus lielumus , pievienojot tos vienu pēc otra ar to zīmēm.
Tātad a 3 un b 2 summa ir a 3 + b 2.
A 3 - b n un h 5 - d 4 summa ir a 3 - b n + h 5 - d 4.
Likmes vienādi identisku mainīgo lielumi var pievienot vai atņemt.
Tātad 2a 2 un 3a 2 summa ir vienāda ar 5a 2.
Ir arī skaidrs, ka, ja ņem divus kvadrātus a, trīs kvadrātus a vai piecus kvadrātus a.
Bet grādi dažādi mainīgie Un dažādas pakāpes identiski mainīgie, jāsastāda, pievienojot tos ar to zīmēm.
Tātad 2 un 3 summa ir 2 + 3 summa.
Ir acīmredzams, ka a kvadrāts un a kubs nav vienāds ar divkāršu a kvadrātu, bet gan ar divkāršu a kubu.
A 3 b n un 3a 5 b 6 summa ir a 3 b n + 3a 5 b 6.
Atņemšana pilnvaras tiek veiktas tāpat kā pievienošana, izņemot to, ka attiecīgi jāmaina apakšrindu zīmes.
Vai:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 — 4h 2b 6 = -h 2b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6
Jaudas reizināšana
Skaitļus ar pakāpēm var reizināt, tāpat kā citus lielumus, ierakstot tos vienu pēc otra, ar vai bez reizināšanas zīme starp tiem.
Tādējādi rezultāts, reizinot a 3 ar b 2, ir a 3 b 2 vai aaabb.
Vai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 g
Rezultātu pēdējā piemērā var sakārtot, pievienojot identiskus mainīgos.
Izteiksme būs šādā formā: a 5 b 5 y 3.
Salīdzinot vairākus skaitļus (mainīgos) ar pakāpēm, mēs varam redzēt, ka, ja kādus divus no tiem reizina, tad rezultāts ir skaitlis (mainīgais) ar jaudu, kas vienāda ar summa terminu pakāpes.
Tātad a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Šeit 5 ir reizināšanas rezultāta jauda, kas ir vienāda ar 2 + 3, terminu pakāpju summu.
Tātad a n .a m = a m+n .
Ja a n , a tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik n jauda;
Un m tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik grāds m ir vienāds ar;
Tāpēc, pilnvaras ar vienādām bāzēm var reizināt, saskaitot pakāpju eksponentus.
Tātad a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Un x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Vai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Reiziniet (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atbilde: x 4 - y 4.
Reiziniet (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Šis noteikums attiecas arī uz skaitļiem, kuru eksponenti ir negatīvs.
1. Tātad a -2 .a -3 = a -5 . To var uzrakstīt kā (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Ja a + b reizina ar a - b, rezultāts būs a 2 - b 2: tas ir
Rezultāts, reizinot divu skaitļu summu vai starpību, ir vienāds ar to kvadrātu summu vai starpību.
Ja jūs reizinat divu skaitļu summu un starpību, kas palielināta līdz kvadrāts, rezultāts būs vienāds ar šo skaitļu summu vai starpību ceturtais grādiem.
Tātad (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4.
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8.
Pakāpju dalījums
Skaitļus ar pakāpēm var dalīt tāpat kā citus skaitļus, atņemot no dividendes vai ievietojot tos daļskaitļu formā.
Tādējādi a 3 b 2 dalīts ar b 2 ir vienāds ar 3.
Rakstot 5, dalītu ar 3, izskatās kā $\frac $. Bet tas ir vienāds ar 2. Ciparu virknē
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
jebkuru skaitli var dalīt ar citu, un eksponents būs vienāds ar atšķirība dalāmo skaitļu rādītāji.
Dalot grādus ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti tiek atņemti..
Tātad, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Tas ir, $\frac = y$.
Un a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tas ir, $\frac = a^n$.
Vai:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Noteikums attiecas arī uz skaitļiem ar negatīvs grādu vērtības.
Rezultāts, dalot -5 ar -3, ir -2.
Tāpat $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 vai $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Ir ļoti labi jāapgūst spēku reizināšana un dalīšana, jo šādas darbības algebrā tiek izmantotas ļoti plaši.
Piemēri piemēru risināšanai ar daļskaitļiem, kas satur skaitļus ar pakāpēm
1. Samaziniet eksponentus par $\frac $ Atbilde: $\frac $.
2. Samaziniet eksponentus par $\frac$. Atbilde: $\frac$ vai 2x.
3. Samaziniet eksponentus a 2 /a 3 un a -3 /a -4 un izveidojiet kopsaucēju.
a 2 .a -4 ir -2 pirmais skaitītājs.
a 3 .a -3 ir 0 = 1, otrais skaitītājs.
a 3 .a -4 ir -1 , kopējais skaitītājs.
Pēc vienkāršošanas: a -2 /a -1 un 1/a -1 .
4. Samaziniet eksponentus 2a 4 /5a 3 un 2 /a 4 un izveidojiet kopsaucēju.
Atbilde: 2a 3 /5a 7 un 5a 5 /5a 7 vai 2a 3 /5a 2 un 5/5a 2.
5. Reiziniet (a 3 + b)/b 4 ar (a - b)/3.
6. Reiziniet (a 5 + 1)/x 2 ar (b 2 - 1)/(x + a).
7. Reiziniet b 4 /a -2 ar h -3 /x un a n /y -3 .
8. Sadaliet 4 /y 3 ar 3 /y 2 . Atbilde: a/g.
Pakāpju īpašības
Atgādinām, ka šajā nodarbībā mēs sapratīsim grādu īpašības ar dabiskajiem rādītājiem un nulli. Pakāpes ar racionāliem eksponentiem un to īpašības tiks apspriestas stundās 8. klasei.
Pakāpei ar naturālo eksponentu ir vairākas svarīgas īpašības, kas ļauj vienkāršot aprēķinus piemēros ar pakāpēm.
Īpašums Nr.1
Spēku produkts
Reizinot pakāpes ar vienādām bāzēm, bāze paliek nemainīga, un tiek pievienoti pakāpju eksponenti.
a m · a n = a m + n, kur “a” ir jebkurš skaitlis, un “m”, “n” ir jebkuri naturāli skaitļi.
Šī pakāpju īpašība attiecas arī uz trīs vai vairāku pakāpju reizinājumu.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Lūdzu, ņemiet vērā, ka norādītajā īpašumā mēs runājām tikai par pilnvaru reizināšanu ar vienādām bāzēm. Tas neattiecas uz to pievienošanu.
Jūs nevarat aizstāt summu (3 3 + 3 2) ar 3 5. Tas ir saprotams, ja
aprēķināt (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 un 3 5 = 243
Īpašums Nr.2
Daļēji grādi
Dalot pakāpes ar vienādām bāzēm, bāze paliek nemainīga, un dalītāja eksponents tiek atņemts no dividendes eksponenta.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3–2 4 2–1 = 11 4 = 44
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu. Mēs izmantojam koeficientu pakāpju īpašību.
3 8: t = 3 4
Atbilde: t = 3 4 = 81
Izmantojot rekvizītus Nr. 1 un Nr. 2, varat viegli vienkāršot izteiksmes un veikt aprēķinus.
- Piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5
Piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību, izmantojot eksponentu īpašības.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Lūdzu, ņemiet vērā, ka 2. īpašumā mēs runājām tikai par pilnvaru sadali ar vienādām bāzēm.
Jūs nevarat aizstāt starpību (4 3–4 2) ar 4 1. Tas ir saprotams, ja jūs aprēķināt (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 un 4 1 = 4
Īpašums Nr.3
Paaugstināt grādu līdz spēkam
Paaugstinot pakāpi līdz pakāpei, pakāpes bāze paliek nemainīga, un eksponenti tiek reizināti.
(a n) m = a n · m, kur “a” ir jebkurš skaitlis un “m”, “n” ir jebkuri naturāli skaitļi.
Lūdzu, ņemiet vērā, ka īpašība Nr. 4, tāpat kā citas grādu īpašības, tiek piemērota arī apgrieztā secībā.
(a n · b n)= (a · b) n
Tas ir, lai reizinātu jaudas ar tiem pašiem eksponentiem, var reizināt bāzes, bet atstāt eksponentu nemainīgu.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
Sarežģītākos piemēros var būt gadījumi, kad reizināšana un dalīšana jāveic pa pakāpēm ar dažādu bāzi un dažādiem eksponentiem. Šajā gadījumā mēs iesakām rīkoties šādi.
Piemēram, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Piemērs decimāldaļas paaugstināšanai līdz pakāpei.
4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4
Īpašības 5
Koeficienta spēks (daļdaļa)
Lai palielinātu koeficientu līdz pakāpei, jūs varat palielināt dividendi un dalītāju atsevišķi līdz šai pakāpei un dalīt pirmo rezultātu ar otro.
(a: b) n = a n: b n, kur “a”, “b” ir jebkuri racionāli skaitļi, b ≠ 0, n – jebkurš naturāls skaitlis.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Atgādinām, ka koeficientu var attēlot kā daļskaitli. Tāpēc nākamajā lapā sīkāk pakavēsimies pie tēmas par daļskaitļa paaugstināšanu pakāpē.
Spēki un saknes
Darbības ar pilnvarām un saknēm. Grāds ar negatīvu ,
nulle un daļskaitlis indikators. Par izteicieniem, kuriem nav nozīmes.
Darbības ar grādiem.
1. Reizinot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, tiek pievienoti to eksponenti:
a m · a n = a m + n .
2. Dalot grādus ar vienādu bāzi, to eksponenti tiek atskaitīti .
3. Divu vai vairāku faktoru reizinājuma pakāpe ir vienāda ar šo faktoru pakāpju reizinājumu.
4. Attiecības (daļdaļas) pakāpe ir vienāda ar dividendes (skaitītāja) un dalītāja (saucēja) pakāpju attiecību:
(a/b) n = a n / b n .
5. Paaugstinot pakāpju pakāpē, to eksponenti tiek reizināti:
Visas iepriekš minētās formulas tiek nolasītas un izpildītas abos virzienos no kreisās puses uz labo un otrādi.
PIEMĒRS (2 3 5/15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Darbības ar saknēm. Visās zemāk esošajās formulās simbols nozīmē aritmētiskā sakne(radikālā izteiksme ir pozitīva).
1. Vairāku faktoru reizinājuma sakne ir vienāda ar šo faktoru sakņu reizinājumu:
2. Attiecības sakne ir vienāda ar dividendes un dalītāja sakņu attiecību:
3. Paceļot sakni līdz spēkam, pietiek pacelt līdz šim spēkam radikāls skaitlis:
4. Ja saknes pakāpi palielina par m reizes un vienlaikus paaugstina radikālo skaitli līdz mth pakāpei, tad saknes vērtība nemainīsies:
5. Ja saknes pakāpi samazina par m reizes un vienlaikus izņem radikālā skaitļa m-to sakni, tad saknes vērtība nemainīsies:
Paplašinot grāda jēdzienu. Līdz šim esam apsvēruši grādus tikai ar naturālajiem eksponentiem; bet operācijas ar pilnvarām un saknēm var arī novest pie negatīvs, nulle Un daļēja rādītājiem. Visiem šiem eksponentiem nepieciešama papildu definīcija.
Grāds ar negatīvu eksponentu. Noteikta skaitļa ar negatīvu (veselu) eksponentu jaudu definē kā dalītu ar tā paša skaitļa jaudu ar eksponentu, kas vienāds ar negatīvā eksponenta absolūto vērtību:
Tagad formula a m : a n = a m - n var izmantot ne tikai m, vairāk par n, bet arī ar m, mazāk nekā n .
PIEMĒRS a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Ja mēs vēlamies formulu a m : a n = a m — n bija godīgi, kad m = n, mums ir nepieciešama nulles pakāpes definīcija.
Grāds ar nulles indeksu. Jebkura skaitļa, kas nav nulle, ar eksponentu nulle, jauda ir 1.
PIEMĒRI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Grāds ar daļskaitli. Lai palielinātu reālu skaitli a līdz pakāpei m / n, jums ir jāizvelk šī skaitļa a m-tā pakāpē n-tā sakne:
Par izteicieniem, kuriem nav nozīmes. Ir vairāki šādi izteicieni.
Kur a ≠ 0 , neeksistē.
Patiesībā, ja mēs pieņemam, ka x ir noteikts skaitlis, tad saskaņā ar dalīšanas operācijas definīciju mums ir: a = 0· x, t.i. a= 0, kas ir pretrunā ar nosacījumu: a ≠ 0
— jebkurš skaitlis.
Faktiski, ja pieņemam, ka šī izteiksme ir vienāda ar kādu skaitli x, tad saskaņā ar dalīšanas operācijas definīciju mums ir: 0 = 0 · x. Bet šī vienlīdzība notiek tad, kad jebkurš skaitlis x, kas bija tas, kas bija jāpierāda.
0 0 — jebkurš skaitlis.
Risinājums. Apskatīsim trīs galvenos gadījumus:
1) x = 0 – šī vērtība neapmierina šo vienādojumu
2) kad x> 0 mēs iegūstam: x/x= 1, t.i. 1 = 1, kas nozīmē
Kas x– jebkurš skaitlis; bet ņemot vērā to, ka iekš
mūsu gadījumā x> 0, atbilde ir x > 0 ;
Noteikumi pilnvaru reizināšanai ar dažādiem pamatiem
GRĀDS AR RACIONĀLO INDIKATORU,
JAUDAS FUNKCIJA IV
69.§ Pilnvaru pavairošana un dalīšana ar vienādiem pamatiem
1. teorēma. Lai reizinātu jaudas ar vienādām bāzēm, pietiek pievienot eksponentus un atstāt bāzi to pašu, tas ir
Pierādījums. Pēc grāda definīcijas
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Mēs apskatījām divu spēku reizinājumu. Faktiski pierādītais īpašums ir patiess jebkuram skaitam pilnvaru ar vienādām bāzēm.
2. teorēma. Lai dalītu pilnvaras ar vienādām bāzēm, kad dividendes indekss ir lielāks par dalītāja indeksu, pietiek atņemt dalītāja indeksu no dividendes indeksa un atstāt bāzi to pašu, tas ir plkst t > lpp
(a =/= 0)
Pierādījums. Atcerieties, ka viena skaitļa dalīšanas ar citu koeficients ir skaitlis, kuru reizinot ar dalītāju, tiek iegūta dividende. Tāpēc pierādi formulu kur a =/= 0, tas ir tas pats, kas pierādīt formulu
Ja t > lpp , tad numurs t - lpp būs dabiski; tāpēc ar 1. teorēmu
2. teorēma ir pierādīta.
Jāatzīmē, ka formula
mēs to esam pierādījuši tikai ar pieņēmumu, ka t > lpp . Tāpēc no pierādītā vēl nav iespējams izdarīt, piemēram, šādus secinājumus:
Turklāt mēs vēl neesam apsvēruši grādus ar negatīviem eksponentiem un mēs vēl nezinām, kādu nozīmi var piešķirt izteiksmei 3 - 2 .
3. teorēma. Lai paaugstinātu pakāpi līdz pakāpei, pietiek ar eksponentu reizināšanu, atstājot pakāpes bāzi to pašu, tas ir
Pierādījums. Izmantojot pakāpes definīciju un šīs sadaļas 1. teorēmu, mēs iegūstam:
Q.E.D.
Piemēram, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (Mutiski) Noteikt X no vienādojumiem:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .
519. (Komplekta nr.) Vienkāršot:
520. (Komplekta nr.) Vienkāršot:
521. Uzrāda šīs izteiksmes grādu formā ar vienādām bāzēm:
1) 32. un 64.; 3) 8 5 un 16 3; 5) 4 100 un 32 50;
2) -1000 un 100; 4) -27 un -243; 6) 81 75 8 200 un 3 600 4 150.
Ja reizina (vai dala) divas pakāpes, kurām ir dažādas bāzes, bet vienādi eksponenti, tad to bāzes var reizināt (vai dalīt), un rezultāta eksponentu var atstāt tādu pašu kā faktoru (vai dividendes) un dalītājs).
Kopumā matemātiskajā valodā šie noteikumi ir rakstīti šādi:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m
Dalot, b nevar būt vienāds ar 0, tas ir, otrais noteikums jāpapildina ar nosacījumu b ≠ 0.
Piemēri:
2 3 × 3 3 = (2 × 3) 3 = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32
Tagad, izmantojot šos konkrētos piemērus, mēs pierādīsim, ka pakāpju noteikumi ar vienādiem eksponentiem ir pareizi. Atrisināsim šos piemērus tā, it kā mēs nezinātu par spēku īpašībām:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
Kā redzam, atbildes sakrita ar tām, kas iegūtas, kad tika izmantoti noteikumi. Šo noteikumu zināšana ļauj vienkāršot aprēķinus.
Ņemiet vērā, ka izteiksmi 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 var uzrakstīt šādi:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).
Šī izteiksme savukārt ir kaut kas cits, nevis (2 × 3) 3. tas ir, 6 3.
Aplūkotās grādu īpašības ar vienādiem rādītājiem var izmantot pretējā virzienā. Piemēram, kas ir 18 2?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324
Pilnvaru īpašības tiek izmantotas arī piemēru risināšanā:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664
Darbības ar pilnvarām un saknēm. Grāds ar negatīvu ,
nulle un daļskaitlis indikators. Par izteicieniem, kuriem nav nozīmes.
Darbības ar grādiem.
1. Reizinot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti summējas:
a m · a n = a m + n .
2. Dalot grādus ar vienādu bāzi, to eksponenti tiek atskaitīti .
3. Divu vai vairāku faktoru reizinājuma pakāpe ir vienāda ar šo faktoru pakāpju reizinājumu.
(abc… ) n = a n· b n · c n…
4. Attiecības (daļdaļas) pakāpe ir vienāda ar dividendes (skaitītāja) un dalītāja (saucēja) pakāpju attiecību:
(a/b ) n = a n / b n .
5. Paaugstinot pakāpju pakāpē, to eksponenti tiek reizināti:
(a m ) n = a m n .
Visas iepriekš minētās formulas tiek nolasītas un izpildītas abos virzienos no kreisās puses uz labo un otrādi.
PIEMĒRS (2 · 3 · 5/15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Darbības ar saknēm. Visās zemāk esošajās formulās simbols nozīmē aritmētiskā sakne(radikālā izteiksme ir pozitīva).
1. Vairāku faktoru reizinājuma sakne ir vienāda ar produktu šo faktoru saknes:
2. Attiecības sakne ir vienāda ar dividenžu un dalītāja sakņu attiecību:
3. Paaugstinot sakni līdz spēkam, pietiek ar paaugstinātu līdz šim spēkam radikāls skaitlis:
4. Ja palielināsim saknes pakāpi m paaugstināt uz m th jauda ir radikāls skaitlis, tad saknes vērtība nemainīsies:
5. Ja mēs samazinām saknes pakāpi m izvelciet sakni vienreiz un tajā pašā laikā m radikāla skaitļa th jauda, tad saknes vērtība nav mainīšos:
Paplašinot grāda jēdzienu. Līdz šim esam apsvēruši grādus tikai ar naturālajiem eksponentiem; bet darbības ar grādi un saknes var arī novest pie negatīvs, nulle Un daļēja rādītājiem. Visiem šiem eksponentiem nepieciešama papildu definīcija.
Grāds ar negatīvu eksponentu. Kāda skaitļa jauda c negatīvs (vesels) eksponents ir definēts kā viens dalīts ar tāda paša skaitļa pakāpju ar eksponentu, kas vienāds ar absolūto vērtībunegatīvs rādītājs:
T tagad formula a m: a n= a m - n var izmantot ne tikaim, vairāk par n, bet arī ar m, mazāk nekā n .
PIEMĒRS a 4 :a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .
Ja mēs vēlamies formulua m : a n= a m - nbija godīgi, kadm = n, mums ir vajadzīga nulles pakāpes definīcija.
Grāds ar nulles indeksu. Jebkura skaitļa, kas nav nulle, ar eksponentu nulle, jauda ir 1.
PIEMĒRI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Grāds ar daļskaitli. Lai palielinātu reālu skaitli un jaudai m/n , jums ir jāizņem sakne m n-tā pakāpe - šī skaitļa pakāpe A:
Par izteicieniem, kuriem nav nozīmes. Ir vairāki šādi izteicieni. jebkurš skaitlis.
Faktiski, ja pieņemam, ka šī izteiksme ir vienāda ar kādu skaitli x, tad saskaņā ar dalīšanas operācijas definīciju mums ir: 0 = 0 · x. Bet šī vienlīdzība notiek tad, kad jebkurš skaitlis x, kas bija tas, kas bija jāpierāda.
3. gadījums.
0 0 - jebkurš skaitlis.
Tiešām,
Risinājums. Apskatīsim trīs galvenos gadījumus:
1) x = 0 – šī vērtība neapmierina šo vienādojumu
(Kāpēc?).
2) kad x> 0 mēs iegūstam: x/x = 1, t.i. 1 = 1, kas nozīmē
Kas x– jebkurš skaitlis; bet ņemot vērā to, ka iekš
Mūsu gadījumā x> 0, atbilde irx > 0 ;
3) kad x < 0 получаем: – x/x= 1, t.i., e . –1 = 1, tāpēc
Šajā gadījumā risinājuma nav.
Tādējādi x > 0.
