Kvadrātvienādojuma sakņu formulas. Tiek aplūkoti reālu, daudzkārtēju un sarežģītu sakņu gadījumi. Kvadrātiskā trinoma faktorēšana. Ģeometriskā interpretācija. Sakņu noteikšanas un faktoringa piemēri.
SatursSkatīt arī: Kvadrātvienādojumu risināšana tiešsaistē
Pamatformulas
Apsveriet kvadrātvienādojumu:
(1)
.
Kvadrātvienādojuma saknes(1) nosaka pēc formulām:
;
.
Šīs formulas var apvienot šādi:
.
Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma saknes, tad otrās pakāpes polinomu var attēlot kā faktoru reizinājumu (faktorizēts):
.
Tālāk mēs pieņemam, ka tie ir reāli skaitļi.
Apsvērsim kvadrātvienādojuma diskriminants:
.
Ja diskriminants ir pozitīvs, kvadrātvienādojumam (1) ir divas dažādas reālās saknes:
;
.
Tad kvadrātiskā trinoma faktorizācijai ir šāda forma:
.
Ja diskriminants ir vienāds ar nulli, tad kvadrātvienādojumam (1) ir divas vairākas (vienādas) reālās saknes:
.
Faktorizācija:
.
Ja diskriminants ir negatīvs, kvadrātvienādojumam (1) ir divas sarežģītas konjugāta saknes:
;
.
Šeit ir iedomātā vienība, ;
un ir sakņu reālās un iedomātās daļas:
;
.
Tad
.
Grafiskā interpretācija
Ja attēlojat funkciju
,
kas ir parabola, tad grafika krustošanās punkti ar asi būs vienādojuma saknes
.
Kad , grafiks krustojas ar x asi (asi) divos punktos ().
Kad , grafiks pieskaras x asij vienā punktā ().
Kad , grafiks nekrustojas ar x asi ().
Noderīgas formulas, kas saistītas ar kvadrātvienādojumu
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana
Mēs veicam transformācijas un pielietojam formulas (f.1) un (f.3):
,
Kur
;
.
Tātad otrās pakāpes polinoma formulu ieguvām šādā formā:
.
Tas parāda, ka vienādojums
veikta plkst
Un .
Tas ir, un ir kvadrātvienādojuma saknes
.
Kvadrātvienādojuma sakņu noteikšanas piemēri
1. piemērs
(1.1)
.
.
Salīdzinot ar mūsu vienādojumu (1.1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Mēs atrodam diskriminantu:
.
Tā kā diskriminants ir pozitīvs, vienādojumam ir divas reālas saknes:
;
;
.
No šejienes mēs iegūstam kvadrātiskā trinoma faktorizāciju:
.
Funkcijas y = grafiks 2 x 2 + 7 x + 3 krusto x asi divos punktos.
Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas šķērso abscisu asi (asi) divos punktos:
Un .
Šie punkti ir sākotnējā vienādojuma (1.1) saknes.
;
;
.
2. piemērs
Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes:
(2.1)
.
Uzrakstīsim kvadrātvienādojumu vispārīgā formā:
.
Salīdzinot ar sākotnējo vienādojumu (2.1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Mēs atrodam diskriminantu:
.
Tā kā diskriminants ir nulle, vienādojumam ir divas vairākas (vienādas) saknes:
;
.
Tad trinoma faktorizācijai ir šāda forma:
.
Funkcijas y = x grafiks 2 - 4 x + 4 pieskaras x asij vienā punktā.
Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas pieskaras x asij (asij) vienā punktā:
.
Šis punkts ir sākotnējā vienādojuma (2.1) sakne. Tā kā šī sakne tiek aprēķināta divreiz:
,
tad šādu sakni parasti sauc par daudzkārtni. Tas ir, viņi uzskata, ka ir divas vienādas saknes:
.
;
.
3. piemērs
Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes:
(3.1)
.
Uzrakstīsim kvadrātvienādojumu vispārīgā formā:
(1)
.
Pārrakstīsim sākotnējo vienādojumu (3.1):
.
Salīdzinot ar (1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Mēs atrodam diskriminantu:
.
Diskriminants ir negatīvs, . Tāpēc īstu sakņu nav.
Jūs varat atrast sarežģītas saknes:
;
;
.
Tad
.
Funkcijas grafiks nešķērso x asi. Īstu sakņu nav.
Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas nekrustojas ar x asi (asi). Tāpēc īstu sakņu nav.
Īstu sakņu nav. Sarežģītas saknes:
;
;
.
Dažām matemātikas problēmām ir nepieciešama iespēja aprēķināt kvadrātsaknes vērtību. Šādas problēmas ietver otrās kārtas vienādojumu atrisināšanu. Šajā rakstā mēs iepazīstināsim efektīva metode kvadrātsakņu aprēķinu un izmantojiet to, strādājot ar kvadrātvienādojuma sakņu formulām.
Kas ir kvadrātsakne?
Matemātikā šis jēdziens atbilst simbolam √. Vēstures dati liecina, ka to pirmo reizi izmantoja aptuveni 16. gadsimta pirmajā pusē Vācijā (pirmais vācu darbs par algebru, ko veidojis Kristofs Rūdolfs). Zinātnieki uzskata, ka simbols ir pārveidots latīņu burts r (radix nozīmē "sakne" latīņu valodā).
Jebkura skaitļa sakne ir vienāda ar vērtību, kuras kvadrāts atbilst radikālai izteiksmei. Matemātikas valodā šī definīcija izskatīsies šādi: √x = y, ja y 2 = x.
Pozitīva skaitļa sakne (x > 0) arī ir pozitīvs skaitlis (y > 0), bet, ja ņemat negatīva skaitļa sakni (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.
Šeit ir divi vienkārši piemēri:
√9 = 3, jo 3 2 = 9; √(-9) = 3i, jo i 2 = -1.
Herona iteratīvā formula kvadrātsakņu vērtību atrašanai
Iepriekš minētie piemēri ir ļoti vienkārši, un tajos nav grūti aprēķināt saknes. Grūtības sāk parādīties, meklējot saknes vērtības jebkurai vērtībai, kuru nevar attēlot kā kvadrātu dabiskais skaitlis, piemēram, √10, √11, √12, √13, nemaz nerunājot par to, ka praksē ir jāatrod saknes skaitļiem, kas nav veseli: piemēram, √(12,15), √(8,5) un tā tālāk.
Visos iepriekšminētajos gadījumos ir jāizmanto īpaša kvadrātsaknes aprēķināšanas metode. Pašlaik ir zināmas vairākas šādas metodes: piemēram, Teilora sērijas paplašināšana, kolonnu sadalīšana un dažas citas. No visām zināmajām metodēm, iespējams, vienkāršākā un efektīvākā ir Herona iteratīvās formulas izmantošana, kas ir pazīstama arī kā babiloniešu metode kvadrātsakņu noteikšanai (ir pierādījumi, ka senie babilonieši to izmantoja savos praktiskajos aprēķinos).
Jānosaka √x vērtība. Kvadrātsaknes atrašanas formula ir šāda:
a n+1 = 1/2(a n +x/a n), kur lim n->∞ (a n) => x.
Atšifrēsim šo matemātisko apzīmējumu. Lai aprēķinātu √x, jāņem noteikts skaitlis 0 (tas var būt patvaļīgs, bet, lai ātri iegūtu rezultātu, tas jāizvēlas tā, lai (a 0) 2 būtu pēc iespējas tuvāk x. Pēc tam aizstājiet to ar norādīto formulu kvadrātsaknes aprēķināšanai un iegūstiet jaunu skaitli a 1, kas jau būs tuvāk vēlamajai vērtībai. Pēc tam izteiksmē jāaizstāj ar 1 un jāiegūst 2. Šī procedūra jāatkārto līdz vajadzīgajai vērtībai. tiek iegūta precizitāte.
Herona iteratīvās formulas izmantošanas piemērs
Iepriekš aprakstītais algoritms dotā skaitļa kvadrātsaknes iegūšanai daudziem var šķist diezgan sarežģīts un mulsinoši, taču patiesībā viss izrādās daudz vienkāršāk, jo šī formula saplūst ļoti ātri (it īpaši, ja tiek izvēlēts veiksmīgs skaitlis 0) .
Sniegsim vienkāršu piemēru: jums jāaprēķina √11. Izvēlēsimies 0 = 3, jo 3 2 = 9, kas ir tuvāk 11 nekā 4 2 = 16. Aizvietojot formulā, mēs iegūstam:
a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;
a 2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;
a 3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.
Nav jēgas turpināt aprēķinus, jo mēs atklājām, ka 2 un 3 sāk atšķirties tikai 5. zīmē aiz komata. Tādējādi pietika izmantot formulu tikai 2 reizes, lai aprēķinātu √11 ar precizitāti 0,0001.
Mūsdienās sakņu aprēķināšanai plaši tiek izmantoti kalkulatori un datori, tomēr ir lietderīgi atcerēties iezīmēto formulu, lai varētu manuāli aprēķināt to precīzu vērtību.
Otrās kārtas vienādojumi
Kvadrātvienādojumu risināšanā izmanto izpratni par to, kas ir kvadrātsakne un spēju to aprēķināt. Šos vienādojumus sauc par vienādībām ar vienu nezināmo, kuru vispārīgā forma ir parādīta attēlā zemāk.
Šeit c, b un a apzīmē dažus skaitļus, un a nedrīkst būt vienāds ar nulli, un c un b vērtības var būt pilnīgi patvaļīgas, tostarp vienādas ar nulli.
Jebkuras x vērtības, kas atbilst attēlā norādītajai vienādībai, sauc par tās saknēm (šo jēdzienu nevajadzētu sajaukt ar kvadrātsakni √). Tā kā aplūkojamais vienādojums ir 2. kārtas (x 2), tad tam nevar būt vairāk par divām saknēm. Apskatīsim tālāk rakstā, kā atrast šīs saknes.
Kvadrātvienādojuma (formulas) sakņu atrašana
Šo aplūkojamā vienādību veida risināšanas metodi sauc arī par universālo metodi jeb diskriminācijas metodi. To var izmantot jebkuriem kvadrātvienādojumiem. Kvadrātvienādojuma diskriminanta un sakņu formula ir šāda:
Tas parāda, ka saknes ir atkarīgas no katra vienādojuma trīs koeficienta vērtības. Turklāt x 1 aprēķins atšķiras no x 2 aprēķina tikai ar zīmi kvadrātsaknes priekšā. Radikālā izteiksme, kas ir vienāda ar b 2 - 4ac, nav nekas cits kā attiecīgās vienlīdzības diskriminants. Kvadrātvienādojuma sakņu formulas diskriminantam ir svarīga loma, jo tas nosaka risinājumu skaitu un veidu. Tātad, ja tas ir vienāds ar nulli, tad būs tikai viens risinājums, ja tas ir pozitīvs, tad vienādojumam ir divas reālās saknes, un, visbeidzot, negatīvs diskriminants noved pie divām sarežģītām saknēm x 1 un x 2.
Vietas teorēma vai dažas otrās kārtas vienādojumu sakņu īpašības
16. gadsimta beigās viens no mūsdienu algebras pamatlicējiem francūzis, pētot otrās kārtas vienādojumus, spēja iegūt tās sakņu īpašības. Matemātiski tos var uzrakstīt šādi:
x 1 + x 2 = -b / a un x 1 * x 2 = c / a.
Abas vienādības var viegli iegūt ikviens, lai to izdarītu, jums vienkārši jāveic atbilstošas matemātiskās darbības ar saknēm, kas iegūtas, izmantojot formulu ar diskriminantu.
Šo divu izteiksmju kombināciju pamatoti var saukt par kvadrātvienādojuma sakņu otro formulu, kas ļauj uzminēt tā risinājumus, neizmantojot diskriminantu. Šeit jāatzīmē, ka, lai gan abas izteiksmes vienmēr ir derīgas, ir ērti tās izmantot, lai atrisinātu vienādojumu tikai tad, ja to var faktorizēt.
Iegūto zināšanu nostiprināšanas uzdevums
Atrisināsim matemātisko problēmu, kurā demonstrēsim visus rakstā aplūkotos paņēmienus. Problēmas nosacījumi ir šādi: jāatrod divi skaitļi, kuriem reizinājums ir -13 un summa ir 4.
Šis nosacījums mums nekavējoties atgādina Vietas teorēmu; izmantojot kvadrātsakņu un to reizinājuma summas formulas, mēs rakstām:
x 1 + x 2 = -b/a = 4;
x 1 * x 2 = c / a = -13.
Ja pieņemam, ka a = 1, tad b = -4 un c = -13. Šie koeficienti ļauj mums izveidot otrās kārtas vienādojumu:
x 2 - 4x - 13 = 0.
Izmantosim formulu ar diskriminantu un iegūsim šādas saknes:
x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Tas ir, problēma tika samazināta līdz skaitļa √68 atrašanai. Ņemiet vērā, ka 68 = 4 * 17, tad, izmantojot kvadrātsaknes īpašību, mēs iegūstam: √68 = 2√17.
Tagad izmantosim aplūkoto kvadrātsaknes formulu: a 0 = 4, tad:
a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;
a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.
Nav nepieciešams aprēķināt 3, jo atrastās vērtības atšķiras tikai par 0,02. Tādējādi √68 = 8,246. Aizvietojot to formulā x 1,2, mēs iegūstam:
x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 un x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.
Kā redzam, atrasto skaitļu summa tiešām ir vienāda ar 4, bet, ja atradīsim to reizinājumu, tad tas būs vienāds ar -12.999, kas apmierina uzdevuma nosacījumus ar precizitāti 0.001.
Atgādinām, ka pilns kvadrātvienādojums ir vienādojums ar šādu formu:
Pilnu kvadrātvienādojumu atrisināšana ir nedaudz grūtāka (tikai nedaudz) nekā šie.
Atcerieties, Jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu!
Pat nepilnīgi.
Citas metodes palīdzēs to izdarīt ātrāk, bet, ja jums ir problēmas ar kvadrātvienādojumiem, vispirms apgūstiet risinājumu, izmantojot diskriminantu.
1. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot diskriminantu.
Kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot šo metodi, ir ļoti vienkārša, galvenais ir atcerēties darbību secību un pāris formulas.
Ja, tad vienādojumam ir 2 saknes. Īpaša uzmanība jāpievērš 2. darbībai.
Diskriminants D norāda vienādojuma sakņu skaitu.
- Ja, tad solī esošā formula tiks samazināta līdz. Tādējādi vienādojumam būs tikai sakne.
- Ja, tad mēs nevarēsim izdalīt diskriminanta sakni solī. Tas norāda, ka vienādojumam nav sakņu.
Pievērsīsimies kvadrātvienādojuma ģeometriskajai nozīmei.
Funkcijas grafiks ir parabola:
Atgriezīsimies pie mūsu vienādojumiem un apskatīsim dažus piemērus.
9. piemērs
Atrisiniet vienādojumu
1. darbība mēs izlaižam.
2. darbība.
Mēs atrodam diskriminantu:
Tas nozīmē, ka vienādojumam ir divas saknes.
3. darbība.
Atbilde:
10. piemērs
Atrisiniet vienādojumu
Vienādojums ir uzrādīts standarta formā, tātad 1. darbība mēs izlaižam.
2. darbība.
Mēs atrodam diskriminantu:
Tas nozīmē, ka vienādojumam ir viena sakne.
Atbilde:
11. piemērs
Atrisiniet vienādojumu
Vienādojums ir uzrādīts standarta formā, tātad 1. darbība mēs izlaižam.
2. darbība.
Mēs atrodam diskriminantu:
Tas nozīmē, ka mēs nevarēsim iegūt diskriminanta sakni. Vienādojumam nav sakņu.
Tagad mēs zinām, kā pareizi pierakstīt šādas atbildes.
Atbilde: nav sakņu
2. Kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu
Ja atceraties, ir vienādojuma veids, ko sauc par reducētu (kad koeficients a ir vienāds ar):
Šādus vienādojumus ir ļoti viegli atrisināt, izmantojot Vietas teorēmu:
Sakņu summa dots kvadrātvienādojums ir vienāds, un sakņu reizinājums ir vienāds.
Jums vienkārši jāizvēlas skaitļu pāris, kuru reizinājums ir vienāds ar vienādojuma brīvo vārdu, un summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi.
12. piemērs
Atrisiniet vienādojumu
Šo vienādojumu var atrisināt, izmantojot Vietas teorēmu, jo .
Vienādojuma sakņu summa ir vienāda, t.i. mēs iegūstam pirmo vienādojumu:
Un produkts ir vienāds ar:
Sastādīsim un atrisināsim sistēmu:
- Un. Summa ir vienāda ar;
- Un. Summa ir vienāda ar;
- Un. Summa ir vienāda.
un ir sistēmas risinājums:
Atbilde: ; .
13. piemērs
Atrisiniet vienādojumu
Atbilde:
14. piemērs
Atrisiniet vienādojumu
Ir dots vienādojums, kas nozīmē:
Atbilde:
Kvadrātvienādojumi. VIDĒJAIS LĪMENIS
Kas ir kvadrātvienādojums?
Citiem vārdiem sakot, kvadrātvienādojums ir formas vienādojums, kur - nezināmais, - daži skaitļi un.
Skaitli sauc par lielāko vai pirmais koeficients kvadrātvienādojums, - otrais koeficients, A - bezmaksas dalībnieks.
Jo, ja vienādojums uzreiz kļūst lineārs, jo pazudīs.
Šajā gadījumā un var būt vienāds ar nulli. Šajā krēslā tiek saukts vienādojums nepilnīgs.
Ja visi termini ir vietā, tas ir, vienādojums ir pabeigt.
Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes
Vispirms apskatīsim nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes – tās ir vienkāršākas.
Mēs varam atšķirt šādus vienādojumu veidus:
I., šajā vienādojumā koeficients un brīvais loceklis ir vienādi.
II. , šajā vienādojumā koeficients ir vienāds.
III. , šajā vienādojumā brīvais termins ir vienāds ar.
Tagad apskatīsim risinājumu katram no šiem apakštipiem.
Acīmredzot šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:
Skaitlis kvadrātā nevar būt negatīvs, jo, reizinot divus negatīvus vai divus pozitīvus skaitļus, rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis. Tāpēc:
ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu;
ja mums ir divas saknes
Šīs formulas nav jāiegaumē. Galvenais, kas jāatceras, ir tas, ka tas nevar būt mazāks.
Kvadrātvienādojumu risināšanas piemēri
15. piemērs
Atbilde:
Nekad neaizmirstiet par saknēm ar negatīvu zīmi!
16. piemērs
Skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs, kas nozīmē, ka vienādojums
nav sakņu.
Lai īsi pierakstītu, ka problēmai nav risinājumu, mēs izmantojam tukšas kopas ikonu.
Atbilde:
17. piemērs
Tātad šim vienādojumam ir divas saknes: un.
Atbilde:
Izņemsim kopējo faktoru no iekavām:
Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir risinājums, ja:
Tātad šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes: un.
Piemērs:
Atrisiniet vienādojumu.
Risinājums:
Aprēķināsim vienādojuma kreiso pusi un atradīsim saknes:
Atbilde:
Pilnu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes
1. Diskriminants
Kvadrātvienādojumu risināšana šādā veidā ir vienkārša, galvenais ir atcerēties darbību secību un pāris formulas. Atcerieties, ka jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu! Pat nepilnīgi.
Vai sakņu formulā pamanījāt sakni no diskriminanta?
Bet diskriminants var būt negatīvs.
Ko darīt?
Īpaša uzmanība jāpievērš 2. solim. Diskriminants norāda vienādojuma sakņu skaitu.
- Ja, tad vienādojumam ir saknes:
- Ja, tad vienādojumam ir vienādas saknes un faktiski viena sakne:
Šādas saknes sauc par dubultsaknēm.
- Ja, tad diskriminanta sakne netiek izvilkta. Tas norāda, ka vienādojumam nav sakņu.
Kāpēc ir iespējams dažāds sakņu skaits?
Pievērsīsimies kvadrātvienādojuma ģeometriskajai nozīmei. Funkcijas grafiks ir parabola:
Īpašā gadījumā, kas ir kvadrātvienādojums, .
Tas nozīmē, ka kvadrātvienādojuma saknes ir krustošanās punkti ar abscisu asi (asi).
Parabola var nekrustoties ar asi vispār vai var šķērsot to vienā (ja parabolas virsotne atrodas uz ass) vai divos punktos.
Turklāt koeficients ir atbildīgs par parabolas zaru virzienu. Ja, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu, un ja, tad uz leju.
4 kvadrātvienādojumu risināšanas piemēri
18. piemērs
Atbilde:
19. piemērs
Atbilde: .
20. piemērs
Atbilde:
21. piemērs
Tas nozīmē, ka risinājumu nav.
Atbilde: .
2. Vietas teorēma
Vietas teorēmas izmantošana ir ļoti vienkārša.
Viss, kas tev nepieciešams, ir pacelt tāds skaitļu pāris, kura reizinājums ir vienāds ar vienādojuma brīvo biedru, bet summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi.
Ir svarīgi atcerēties, ka Vietas teorēmu var izmantot tikai reducēti kvadrātvienādojumi ().
Apskatīsim dažus piemērus:
22. piemērs
Atrisiniet vienādojumu.
Risinājums:
Šo vienādojumu var atrisināt, izmantojot Vietas teorēmu, jo . Citi koeficienti: ; .
Vienādojuma sakņu summa ir:
Un produkts ir vienāds ar:
Atlasīsim skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds, un pārbaudīsim, vai to summa ir vienāda:
- Un. Summa ir vienāda ar;
- Un. Summa ir vienāda ar;
- Un. Summa ir vienāda.
un ir sistēmas risinājums:
Tādējādi un ir mūsu vienādojuma saknes.
Atbilde: ; .
23. piemērs
Risinājums:
Atlasīsim skaitļu pārus, kas dod reizinājumu, un pēc tam pārbaudīsim, vai to summa ir vienāda:
un: viņi dod kopā.
un: viņi dod kopā. Lai iegūtu, pietiek vienkārši nomainīt domājamo sakņu pazīmes: un galu galā produktu.
Atbilde:
24. piemērs
Risinājums:
Vienādojuma brīvais termins ir negatīvs, un tāpēc sakņu reizinājums ir negatīvs skaitlis. Tas ir iespējams tikai tad, ja viena no saknēm ir negatīva, bet otra ir pozitīva. Tāpēc sakņu summa ir vienāda ar to moduļu atšķirības.
Atlasīsim skaitļu pārus, kas dod reizinājumu un kuru starpība ir vienāda ar:
un: to atšķirība ir vienāda - neder;
un: - nav piemērots;
un: - nav piemērots;
un: - piemērots. Atliek tikai atcerēties, ka viena no saknēm ir negatīva. Tā kā to summai jābūt vienādai, saknei ar mazāko moduli jābūt negatīvai: . Mēs pārbaudām:
Atbilde:
25. piemērs
Atrisiniet vienādojumu.
Risinājums:
Ir dots vienādojums, kas nozīmē:
Brīvais termins ir negatīvs, un tāpēc sakņu reizinājums ir negatīvs. Un tas ir iespējams tikai tad, ja viena vienādojuma sakne ir negatīva, bet otra ir pozitīva.
Atlasīsim skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds, un pēc tam noteiksim, kurām saknēm jābūt ar negatīvu zīmi:
Acīmredzot tikai saknes un ir piemērotas pirmajam nosacījumam:
Atbilde:
26. piemērs
Atrisiniet vienādojumu.
Risinājums:
Ir dots vienādojums, kas nozīmē:
Sakņu summa ir negatīva, kas nozīmē, ka vismaz viena no saknēm ir negatīva. Bet, tā kā viņu produkts ir pozitīvs, tas nozīmē, ka abām saknēm ir mīnusa zīme.
Atlasīsim skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds ar:
Acīmredzot saknes ir skaitļi un.
Atbilde:
Piekrītu, ir ļoti ērti izdomāt saknes mutiski, nevis skaitīt šo šķebinošo diskriminantu.
Centies pēc iespējas biežāk lietot Vietas teorēmu!
Bet Vietas teorēma ir nepieciešama, lai atvieglotu un paātrinātu sakņu atrašanu.
Lai jūs gūtu labumu no tā izmantošanas, jums ir jāaktivizē darbības. Un šim nolūkam atrisiniet vēl piecus piemērus.
Bet nekrāpieties: jūs nevarat izmantot diskriminantu! Tikai Vietas teorēma!
5 Vietas teorēmas piemēri patstāvīgam darbam
27. piemērs
Uzdevums 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Saskaņā ar Vietas teorēmu:
Kā parasti, atlasi sākam ar gabalu:
Nav piemērots, jo daudzums;
: summa ir tieši tāda, kāda jums nepieciešama.
Atbilde: ; .
28. piemērs
2. uzdevums.
Un atkal mūsu iecienītākā Vieta teorēma: summai jābūt vienādai, un reizinājumam jābūt vienādam.
Bet tā kā tam jābūt nevis, bet, mēs mainām sakņu zīmes: un (kopā).
Atbilde: ; .
29. piemērs
3. uzdevums.
Hmm... Kur tas ir?
Visi termini ir jāpārvieto vienā daļā:
Sakņu summa ir vienāda ar produktu.
Labi, beidz! Vienādojums nav dots.
Bet Vietas teorēma ir piemērojama tikai dotajos vienādojumos.
Tātad vispirms jums ir jāsniedz vienādojums.
Ja nevarat vadīt, atsakieties no šīs idejas un atrisiniet to citā veidā (piemēram, izmantojot diskriminantu).
Atgādināšu, ka dot kvadrātvienādojumu nozīmē padarīt vadošo koeficientu vienādu:
Tad sakņu summa ir vienāda ar un reizinājumu.
Šeit izvēlēties ir tikpat vienkārši kā bumbieru lobīšanu: galu galā tas ir pirmskaitlis (atvainojiet par tautoloģiju).
Atbilde: ; .
30. piemērs
4. uzdevums.
Bezmaksas dalībnieks ir negatīvs.
Kas šajā ir īpašs?
Un fakts ir tāds, ka saknēm būs dažādas zīmes.
Un tagad atlases laikā mēs pārbaudām nevis sakņu summu, bet gan to moduļu atšķirību: šī atšķirība ir vienāda, bet produkts.
Tātad, saknes ir vienādas ar un, bet viena no tām ir mīnus.
Vietas teorēma saka, ka sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi, tas ir.
Tas nozīmē, ka mazākajai saknei būs mīnuss: un kopš.
Atbilde: ; .
31. piemērs
5. uzdevums.
Kas jums jādara vispirms?
Tieši tā, sniedziet vienādojumu:
Atkal: mēs izvēlamies skaitļa faktorus, un to starpībai jābūt vienādai ar:
Saknes ir vienādas ar un, bet viena no tām ir mīnus. Kuru? To summai jābūt vienādai, kas nozīmē, ka mīnusam būs lielāka sakne.
Atbilde: ; .
Apkopojiet
- Vietas teorēma tiek izmantota tikai dotajos kvadrātvienādojumos.
- Izmantojot Vietas teorēmu, jūs varat atrast saknes pēc atlases, mutiski.
- Ja vienādojums nav dots vai nav atrasts piemērots brīvā termina faktoru pāris, tad nav veselu sakņu, un tas ir jāatrisina citā veidā (piemēram, izmantojot diskriminantu).
3. Pilna kvadrāta izvēles metode
Ja visi termini, kas satur nezināmo, ir attēloti terminu veidā no saīsinātām reizināšanas formulām - summas vai starpības kvadrātā -, tad pēc mainīgo aizstāšanas vienādojumu var uzrādīt nepilnīga veida kvadrātvienādojuma veidā.
Piemēram:
32. piemērs
Atrisiniet vienādojumu:.
Risinājums:
Atbilde:
33. piemērs
Atrisiniet vienādojumu:.
Risinājums:
Atbilde:
Kopumā transformācija izskatīsies šādi:
Tas nozīmē:.
Tev neko neatgādina?
Tā ir diskriminējoša lieta! Tieši tā mēs ieguvām diskriminējošās formulas.
Kvadrātvienādojumi. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM
Kvadrātvienādojums- tas ir formas vienādojums, kur - nezināmais, - kvadrātvienādojuma koeficienti, - brīvais termins.
Pilnīgs kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficienti nav vienādi ar nulli.
Samazināts kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficients, tas ir: .
Nepilns kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficients un/vai brīvais termins c ir vienāds ar nulli:
- ja koeficients, vienādojums izskatās šādi: ,
- ja ir brīvs termins, vienādojumam ir šāda forma: ,
- ja un, vienādojums izskatās šādi: .
1. Algoritms nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanai
1.1. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:
1) Izteiksim nezināmo: ,
2) Pārbaudiet izteiksmes zīmi:
- ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu,
- ja, tad vienādojumam ir divas saknes.
1.2. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:
1) Izņemsim kopējo koeficientu no iekavām: ,
2) reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tāpēc vienādojumam ir divas saknes:
1.3. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:
Šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne: .
2. Algoritms pilnu kvadrātvienādojumu atrisināšanai ar formu kur
2.1. Risinājums, izmantojot diskriminantu
1) Samazināsim vienādojumu līdz standarta skats: ,
2) Aprēķināsim diskriminantu, izmantojot formulu: , kas norāda vienādojuma sakņu skaitu:
3) Atrodiet vienādojuma saknes:
- ja, tad vienādojumam ir saknes, kuras atrod pēc formulas:
- ja, tad vienādojumam ir sakne, ko atrod pēc formulas:
- ja, tad vienādojumam nav sakņu.
2.2. Risinājums, izmantojot Vietas teorēmu
Reducētā kvadrātvienādojuma (formas vienādojums kur) sakņu summa ir vienāda, un sakņu reizinājums ir vienāds, t.i. , A.
2.3. Risinājums ar pilna kvadrāta izvēles metodi
", tas ir, pirmās pakāpes vienādojumi. Šajā nodarbībā mēs apskatīsim ko sauc par kvadrātvienādojumu un kā to atrisināt.
Kas ir kvadrātvienādojums?
Svarīgs!
Vienādojuma pakāpi nosaka pēc augstākās pakāpes, kādā atrodas nezināmais.
Ja maksimālā jauda, kurā nezināmais ir “2”, tad jums ir kvadrātvienādojums.
Kvadrātvienādojumu piemēri
- 5x 2 - 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2–8 = 0
Svarīgs! Kvadrātvienādojuma vispārējā forma izskatās šādi:
A x 2 + b x + c = 0
“a”, “b” un “c” ir doti skaitļi.- “a” ir pirmais vai augstākais koeficients;
- “b” ir otrais koeficients;
- “c” ir bezmaksas dalībnieks.
Lai atrastu "a", "b" un "c", jums jāsalīdzina jūsu vienādojums ar kvadrātvienādojuma vispārējo formu "ax 2 + bx + c = 0".
Praktizēsim koeficientu "a", "b" un "c" noteikšanu kvadrātvienādojumos.
| Vienādojums | Likmes | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = –1
- b = 1
- c =
1 3
- a = 1
- b = 0,25
- c = 0
- a = 1
- b = 0
- c = –8
Kā atrisināt kvadrātvienādojumus
Atšķirībā no lineārajiem vienādojumiem kvadrātvienādojumu atrisināšanai tiek izmantota īpaša metode. formula sakņu atrašanai.
Atcerieties!
Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu, jums ir nepieciešams:
- nogādājiet kvadrātvienādojumu vispārīgā formā “ax 2 + bx + c = 0”. Tas nozīmē, ka labajā pusē jāpaliek tikai “0”;
- izmantojiet formulu saknēm:
Apskatīsim piemēru, kā izmantot formulu kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai. Atrisināsim kvadrātvienādojumu.
X 2 - 3x - 4 = 0
Vienādojums “x 2 − 3x − 4 = 0” jau ir reducēts uz vispārīgo formu “ax 2 + bx + c = 0”, un tam nav nepieciešami papildu vienkāršojumi. Lai to atrisinātu, mums vienkārši jāpiesakās formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai.
Nosakīsim šim vienādojumam koeficientus “a”, “b” un “c”.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
To var izmantot, lai atrisinātu jebkuru kvadrātvienādojumu.
Formulā “x 1;2 = ” radikālā izteiksme bieži tiek aizstāta
“b 2 – 4ac” burtam “D”, un to sauc par diskriminējošu. Diskriminanta jēdziens sīkāk aplūkots nodarbībā “ Kas ir diskriminants ».
Apskatīsim vēl vienu kvadrātvienādojuma piemēru.
x 2 + 9 + x = 7x
Šajā formā ir diezgan grūti noteikt koeficientus “a”, “b” un “c”. Vispirms reducēsim vienādojumu līdz vispārīgajai formai “ax 2 + bx + c = 0”.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0
Tagad jūs varat izmantot formulu saknēm.
X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Atbilde: x = 3
Ir reizes, kad kvadrātvienādojumiem nav sakņu. Šī situācija rodas, ja formula satur negatīvu skaitli zem saknes.
