Viena no metodēm stohastisko attiecību starp raksturlielumiem pētīšanai ir regresijas analīze.
Regresijas analīze ir regresijas vienādojuma atvasināšana, ar kuras palīdzību tiek atrasta nejauša lieluma (rezultāta atribūta) vidējā vērtība, ja ir zināma cita (vai cita) mainīgā (faktora atribūtu) vērtība. Tas ietver šādas darbības:
- savienojuma formas izvēle (analītiskās regresijas vienādojuma veids);
- vienādojuma parametru novērtēšana;
- analītiskās regresijas vienādojuma kvalitātes novērtējums.
Lineāras pāru attiecības gadījumā regresijas vienādojums būs šāds: y i =a+b·x i +u i . Šī vienādojuma parametri a un b ir aprēķināti no statistisko novērojumu datiem x un y. Šāda novērtējuma rezultāts ir vienādojums: , kur , ir parametru a un b aprēķini, ir iegūtā atribūta (mainīgā) vērtība, kas iegūta no regresijas vienādojuma (aprēķinātā vērtība).
Visbiežāk izmanto parametru novērtēšanai mazāko kvadrātu metode (LSM).
Mazāko kvadrātu metode nodrošina labākos (konsekventus, efektīvus un objektīvus) regresijas vienādojuma parametru aprēķinus. Bet tikai tad, ja ir izpildīti noteikti pieņēmumi attiecībā uz nejaušo terminu (u) un neatkarīgo mainīgo (x) (sk. OLS pieņēmumus).
Lineāra pāra vienādojuma parametru novērtēšanas problēma, izmantojot mazāko kvadrātu metodi ir šāds: lai iegūtu tādus parametru aprēķinus , , pie kuriem rezultējošā raksturlieluma faktisko vērtību - y i - noviržu kvadrātu summa no aprēķinātajām vērtībām ir minimāla.
Formāli OLS tests var uzrakstīt šādi: 
.
Mazāko kvadrātu metožu klasifikācija
- Mazākā kvadrāta metode.
- Maksimālās varbūtības metode (normālam klasiskajam lineārās regresijas modelim tiek postulēta regresijas atlikuma normalitāte).
- Vispārinātā mazāko kvadrātu OLS metode tiek izmantota kļūdu autokorelācijas gadījumā un heteroskedastiskuma gadījumā.
- Svērto mazāko kvadrātu metode (īpašs OLS gadījums ar heteroskedastiskiem atlikumiem).
Ilustrēsim būtību klasiskā mazāko kvadrātu metode grafiski. Lai to izdarītu, uz novērojumu datiem (x i, y i, i=1;n) konstruēsim izkliedes diagrammu taisnstūra koordinātu sistēmā (šādu izkliedes grafiku sauc par korelācijas lauku). Mēģināsim atlasīt taisnu līniju, kas ir vistuvāk korelācijas lauka punktiem. Saskaņā ar mazāko kvadrātu metodi līniju izvēlas tā, lai vertikālo attālumu kvadrātu summa starp korelācijas lauka punktiem un šo taisni būtu minimāla. 
Šīs problēmas matemātiskais apzīmējums: 
.
Mums ir zināmas y i un x i =1...n vērtības, tie ir novērojumu dati. S funkcijā tie apzīmē konstantes. Mainīgie šajā funkcijā ir nepieciešamie parametru aprēķini - , . Lai atrastu divu mainīgo funkcijas minimumu, ir jāaprēķina šīs funkcijas daļējie atvasinājumi katram no parametriem un jāpielīdzina nullei, t.i. 
.
Rezultātā mēs iegūstam 2 normālu lineāru vienādojumu sistēmu: 
Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam nepieciešamos parametru aprēķinus: 
Regresijas vienādojuma parametru aprēķina pareizību var pārbaudīt, salīdzinot summas (var būt zināma neatbilstība aprēķinu noapaļošanas dēļ).
Lai aprēķinātu parametru aplēses, varat izveidot 1. tabulu.
Regresijas koeficienta b zīme norāda attiecības virzienu (ja b >0, saistība ir tieša, ja b<0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
Formāli parametra a vērtība ir y vidējā vērtība ar x vienādu ar nulli. Ja atribūta faktoram nav un nevar būt nulles vērtības, tad iepriekšminētajai parametra a interpretācijai nav jēgas.
Pazīmju savstarpējo attiecību ciešuma novērtēšana
veikta, izmantojot lineāro pāru korelācijas koeficientu - r x,y. To var aprēķināt, izmantojot formulu: 
. Turklāt lineāro pāru korelācijas koeficientu var noteikt, izmantojot regresijas koeficientu b: 
.
Lineārā pāra korelācijas koeficienta pieļaujamo vērtību diapazons ir no –1 līdz +1. Korelācijas koeficienta zīme norāda attiecības virzienu. Ja r x, y >0, tad savienojums ir tiešs; ja r x, y<0, то связь обратная.
Ja šis koeficients ir tuvu vienībai pēc lieluma, tad attiecību starp raksturlielumiem var interpretēt kā diezgan ciešu lineāru. Ja tā modulis ir vienāds ar vienu ê r x , y ê =1, tad sakarība starp raksturlielumiem ir funkcionāli lineāra. Ja pazīmes x un y ir lineāri neatkarīgi, tad r x,y ir tuvu 0.
Lai aprēķinātu r x,y, varat izmantot arī 1. tabulu.
Lai novērtētu iegūtā regresijas vienādojuma kvalitāti, aprēķina teorētisko determinācijas koeficientu - R 2 yx: 
,
kur d 2 ir y dispersija, kas izskaidrota ar regresijas vienādojumu;
e 2 - y atlikušā (ar regresijas vienādojumu neizskaidrojama) dispersija;
s 2 y — y kopējā (kopējā) dispersija.
Determinācijas koeficients raksturo rezultējošā atribūta y variācijas (dispersijas) proporciju, kas izskaidrojama ar regresiju (un līdz ar to arī faktoru x) kopējā variācijā (dispersijā) y. Determinācijas koeficients R 2 yx ņem vērtības no 0 līdz 1. Attiecīgi vērtība 1-R 2 yx raksturo dispersijas y proporciju, ko izraisa citu modelī neņemtu faktoru ietekme un specifikācijas kļūdas.
Ar pāru lineāro regresiju R 2 yx = r 2 yx.
Izvēloties regresijas funkcijas veidu, t.i. aplūkotā modeļa Y atkarības no X (vai X no Y) veida, piemēram, lineārais modelis y x =a+bx, ir jānosaka modeļa koeficientu konkrētās vērtības.
Dažādām a un b vērtībām ir iespējams izveidot bezgalīgu skaitu atkarību formā y x = a + bx, t.i., koordinātu plaknē ir bezgalīgs skaits taisnu līniju, bet mums ir vajadzīga atkarība, kas ir vislabākā atbilst novērotajām vērtībām. Tādējādi uzdevums ir izvēlēties labākos koeficientus.
Mēs meklējam lineāro funkciju a+bx, pamatojoties tikai uz noteiktu skaitu pieejamo novērojumu. Lai atrastu funkciju, kas vislabāk atbilst novērotajām vērtībām, mēs izmantojam mazāko kvadrātu metodi.
Apzīmēsim: Y i - pēc vienādojuma Y i =a+bx i aprēķinātā vērtība. y i - izmērītā vērtība, ε i =y i -Y i - starpība starp izmērītajām un aprēķinātajām vērtībām, izmantojot vienādojumu, ε i =y i -a-bx i.
Mazāko kvadrātu metode prasa, lai ε i, starpība starp izmērīto y i un vērtībām Y i, kas aprēķināta no vienādojuma, būtu minimāla. Tāpēc mēs atrodam koeficientus a un b tā, lai novēroto vērtību kvadrātu noviržu summa no taisnās regresijas līnijas vērtībām būtu mazākā:
Pārbaudot šo argumentu a un ekstrēmuma funkciju, izmantojot atvasinājumus, mēs varam pierādīt, ka funkcijai ir minimālā vērtība, ja koeficienti a un b ir sistēmas risinājumi:
(2)
Ja abas normālo vienādojumu puses sadalām ar n, mēs iegūstam:
Ņemot vērā, ka 
(3)
Mēs saņemam 
, no šejienes, aizstājot a vērtību pirmajā vienādojumā, mēs iegūstam:
Šajā gadījumā b sauc par regresijas koeficientu; a sauc par regresijas vienādojuma brīvo terminu un aprēķina, izmantojot formulu:
Iegūtā taisne ir teorētiskās regresijas līnijas aprēķins. Mums ir:
Tātad, 
ir lineāras regresijas vienādojums.
Regresija var būt tieša (b>0) un apgriezta (b 1. piemērs. X un Y vērtību mērīšanas rezultāti ir norādīti tabulā:
| x i | -2 | 0 | 1 | 2 | 4 |
| y i | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 3 |
Pieņemot, ka pastāv lineāra sakarība starp X un Y y=a+bx, nosaka koeficientus a un b, izmantojot mazāko kvadrātu metodi.
Risinājums. Šeit n=5
x i =-2+0+1+2+4=5;
x i 2 =4+0+1+4+16=25
x i y i =-2 0,5+0 1+1 1,5+2 2+4 3=16,5
y i =0,5+1+1,5+2+3=8
un parastajai sistēmai (2) ir forma 
Atrisinot šo sistēmu, iegūstam: b=0,425, a=1,175. Tāpēc y=1,175+0,425x.
Piemērs 2. Ir 10 ekonomisko rādītāju (X) un (Y) novērojumu izlase.
| x i | 180 | 172 | 173 | 169 | 175 | 170 | 179 | 170 | 167 | 174 |
| y i | 186 | 180 | 176 | 171 | 182 | 166 | 182 | 172 | 169 | 177 |
Jums jāatrod Y parauga regresijas vienādojums uz X. Izveidojiet Y parauga regresijas taisni uz X.
Risinājums. 1. Sakārtosim datus pēc vērtībām x i un y i . Mēs iegūstam jaunu tabulu:
| x i | 167 | 169 | 170 | 170 | 172 | 173 | 174 | 175 | 179 | 180 |
| y i | 169 | 171 | 166 | 172 | 180 | 176 | 177 | 182 | 182 | 186 |
Lai vienkāršotu aprēķinus, mēs sastādīsim aprēķinu tabulu, kurā ievadīsim nepieciešamās skaitliskās vērtības.
| x i | y i | x i 2 | x i y i |
| 167 | 169 | 27889 | 28223 |
| 169 | 171 | 28561 | 28899 |
| 170 | 166 | 28900 | 28220 |
| 170 | 172 | 28900 | 29240 |
| 172 | 180 | 29584 | 30960 |
| 173 | 176 | 29929 | 30448 |
| 174 | 177 | 30276 | 30798 |
| 175 | 182 | 30625 | 31850 |
| 179 | 182 | 32041 | 32578 |
| 180 | 186 | 32400 | 33480 |
| ∑x i =1729 | ∑y i =1761 | ∑x i 2 299105 | ∑x i y i =304696 |
| x=172,9 | y=176,1 | x i 2 = 29910,5 | xy=30469.6 |
Pēc formulas (4) mēs aprēķinām regresijas koeficientu
un saskaņā ar formulu (5)
Tādējādi izlases regresijas vienādojums ir y=-59,34+1,3804x.
Atzīmēsim punktus (x i ; y i) koordinātu plaknē un atzīmēsim regresijas taisni.
4. att
4. attēlā parādīts, kā novērotās vērtības atrodas attiecībā pret regresijas līniju. Lai skaitliski novērtētu y i novirzes no Y i, kur tiek novēroti y i un Y i ir vērtības, kas noteiktas ar regresiju, izveidosim tabulu:
| x i | y i | Y i | Y i -y i |
| 167 | 169 | 168.055 | -0.945 |
| 169 | 171 | 170.778 | -0.222 |
| 170 | 166 | 172.140 | 6.140 |
| 170 | 172 | 172.140 | 0.140 |
| 172 | 180 | 174.863 | -5.137 |
| 173 | 176 | 176.225 | 0.225 |
| 174 | 177 | 177.587 | 0.587 |
| 175 | 182 | 178.949 | -3.051 |
| 179 | 182 | 184.395 | 2.395 |
| 180 | 186 | 185.757 | -0.243 |
Yi vērtības tiek aprēķinātas saskaņā ar regresijas vienādojumu.
Dažu novēroto vērtību ievērojamā novirze no regresijas līnijas ir izskaidrojama ar nelielo novērojumu skaitu. Pētot Y lineārās atkarības pakāpi no X, tiek ņemts vērā novērojumu skaits. Atkarības stiprumu nosaka korelācijas koeficienta vērtība.
Eksperimentālo datu tuvināšana ir metode, kuras pamatā ir eksperimentāli iegūto datu aizstāšana ar analītisko funkciju, kas mezglpunktos visciešāk šķērso vai sakrīt ar sākotnējām vērtībām (dati, kas iegūti eksperimenta vai eksperimenta laikā). Pašlaik ir divi veidi, kā definēt analītisko funkciju:
Konstruējot n-pakāpju interpolācijas polinomu, kas iziet tieši caur visiem punktiem dots datu masīvs. Šajā gadījumā aproksimējošā funkcija tiek parādīta šādi: interpolācijas polinoms Lagranža formā vai interpolācijas polinoms Ņūtona formā.
Konstruējot n-pakāpju aproksimējošu polinomu, kas iziet punktu tiešā tuvumā no dotā datu masīva. Tādējādi aproksimējošā funkcija izlīdzina visus nejaušos trokšņus (vai kļūdas), kas var rasties eksperimenta laikā: eksperimenta laikā izmērītās vērtības ir atkarīgas no nejaušības faktoriem, kas svārstās atbilstoši saviem nejaušības likumiem (mērījumu vai instrumentu kļūdas, neprecizitāte vai eksperimenta kļūdas). kļūdas). Šajā gadījumā aproksimējošā funkcija tiek noteikta, izmantojot mazāko kvadrātu metodi.
Mazākā kvadrāta metode(angļu literatūrā Ordinary Least Squares, OLS) ir matemātiska metode, kuras pamatā ir aproksimējošas funkcijas noteikšana, kas tiek konstruēta vistuvākajā punktu tuvumā no noteikta eksperimentālo datu masīva. Sākotnējās un tuvinātās funkcijas F(x) tuvumu nosaka ar skaitlisku mēru, proti: eksperimentālo datu kvadrātu noviržu summai no aproksimējošās līknes F(x) jābūt vismazākajai.
Aproksimējošā līkne, kas izveidota, izmantojot mazāko kvadrātu metodi
Tiek izmantota mazāko kvadrātu metode:
Risināt pārdefinētas vienādojumu sistēmas, kad vienādojumu skaits pārsniedz nezināmo skaitu;
Atrast risinājumu parastu (nepārnoteiktu) nelineāru vienādojumu sistēmu gadījumā;
Lai tuvinātu punktu vērtības ar kādu tuvinātu funkciju.
Tuvinošā funkcija, izmantojot mazāko kvadrātu metodi, tiek noteikta no nosacījuma par aprēķinātās aproksimējošās funkcijas minimālās kvadrātiskās noviržu summas no dotā eksperimentālo datu masīva. Šis mazāko kvadrātu metodes kritērijs ir uzrakstīts kā šāda izteiksme:
Aprēķinātās tuvinātās funkcijas vērtības mezglu punktos,
Dotais eksperimentālo datu masīvs mezglu punktos.
Kvadrātiskajam kritērijam ir vairākas “labas” īpašības, piemēram, diferenciācija, kas nodrošina unikālu risinājumu aproksimācijas problēmai ar polinomu tuvināšanas funkcijām.
Atkarībā no uzdevuma nosacījumiem aproksimējošā funkcija ir m pakāpes polinoms
Tuvināšanas funkcijas pakāpe nav atkarīga no mezglu punktu skaita, bet tās dimensijai vienmēr jābūt mazākai par dotā eksperimentālā datu masīva dimensiju (punktu skaitu).
∙ Ja aproksimējošās funkcijas pakāpe ir m=1, tad tabulas funkciju aproksimējam ar taisni (lineārā regresija).
∙ Ja aproksimējošās funkcijas pakāpe ir m=2, tad tabulas funkciju aproksimējam ar kvadrātveida parabolu (kvadrātiskā aproksimācija).
∙ Ja aproksimējošās funkcijas pakāpe ir m=3, tad tabulas funkciju aproksimējam ar kubisko parabolu (kubiskā aproksimācija).
Vispārīgā gadījumā, kad ir nepieciešams izveidot tuvinātu m pakāpes polinomu noteiktām tabulas vērtībām, nosacījums par noviržu kvadrātu summas minimumu visos mezglpunktos tiek pārrakstīts šādā formā:
- m pakāpes aproksimējošā polinoma nezināmie koeficienti;
Norādītais tabulas vērtību skaits.
Nepieciešams nosacījums funkcijas minimuma pastāvēšanai ir tās daļējo atvasinājumu vienādība ar nulli attiecībā uz nezināmiem mainīgajiem. . Rezultātā mēs iegūstam šādu vienādojumu sistēmu:
Pārveidosim iegūto lineāro vienādojumu sistēmu: atveriet iekavas un pārvietojiet brīvos vārdus izteiksmes labajā pusē. Rezultātā iegūtā lineāro algebrisko izteiksmju sistēma tiks uzrakstīta šādā formā:
Šo lineāro algebrisko izteiksmju sistēmu var pārrakstīt matricas formā:
Rezultātā tika iegūta lineāro vienādojumu sistēma ar izmēru m+1, kas sastāv no m+1 nezināmajiem. Šo sistēmu var atrisināt, izmantojot jebkuru lineāro algebrisko vienādojumu risināšanas metodi (piemēram, Gausa metodi). Risinājuma rezultātā tiks atrasti nezināmi tuvināšanas funkcijas parametri, kas nodrošina minimālo aproksimējošās funkcijas noviržu kvadrātu summu no sākotnējiem datiem, t.i. labākā iespējamā kvadrātiskā tuvināšana. Jāatceras, ka, mainoties kaut vienai avota datu vērtībai, visi koeficienti mainīs savas vērtības, jo tos pilnībā nosaka avota dati.
Avota datu tuvināšana pēc lineārās atkarības
(lineārā regresija)
Kā piemēru aplūkosim aproksimējošās funkcijas noteikšanas paņēmienu, kas norādīta lineāras atkarības veidā. Saskaņā ar mazāko kvadrātu metodi noviržu kvadrātu summas minimuma nosacījumu raksta šādā formā:
Tabulas mezglu koordinātas;
Nezināmi aproksimējošās funkcijas koeficienti, kas norādīta kā lineāra atkarība.
Nepieciešams nosacījums funkcijas minimuma pastāvēšanai ir tās daļējo atvasinājumu vienādība ar nulli attiecībā uz nezināmiem mainīgajiem. Rezultātā mēs iegūstam šādu vienādojumu sistēmu:
Pārveidosim iegūto lineāro vienādojumu sistēmu.
Mēs atrisinām iegūto lineāro vienādojumu sistēmu. Tuvinošās funkcijas koeficientus analītiskā formā nosaka šādi (Krāmera metode):
Šie koeficienti nodrošina lineāras aproksimējošas funkcijas konstruēšanu saskaņā ar kritēriju samazināt aproksimējošās funkcijas kvadrātu summu no dotajām tabulas vērtībām (eksperimentālie dati).
Algoritms mazāko kvadrātu metodes ieviešanai
1. Sākotnējie dati:
Ir norādīts eksperimentālo datu masīvs ar mērījumu skaitu N
Ir norādīta aproksimējošā polinoma pakāpe (m).
2. Aprēķinu algoritms:
2.1. Koeficientus nosaka vienādojumu sistēmas ar izmēriem konstruēšanai
Vienādojumu sistēmas koeficienti (vienādojuma kreisā puse)
- vienādojumu sistēmas kvadrātmatricas kolonnas numura indekss
Lineāro vienādojumu sistēmas brīvie termini (vienādojuma labā puse)
- vienādojumu sistēmas kvadrātmatricas rindas numura indekss
2.2. Lineāru vienādojumu sistēmas ar dimensiju veidošana .
2.3. Lineāro vienādojumu sistēmas atrisināšana, lai noteiktu m pakāpes tuvinātā polinoma nezināmos koeficientus.
2.4. Tuvinošā polinoma noviržu kvadrātu summas noteikšana no sākotnējām vērtībām visos mezgla punktos
Atrastā noviržu kvadrātu summas vērtība ir minimālā iespējamā.
Tuvināšana, izmantojot citas funkcijas
Jāņem vērā, ka, tuvinot sākotnējos datus saskaņā ar mazāko kvadrātu metodi, kā aproksimējošā funkcija dažkārt tiek izmantota logaritmiskā funkcija, eksponenciālā funkcija un jaudas funkcija.
Logaritmiskā tuvināšana
Apskatīsim gadījumu, kad aproksimējošā funkcija tiek dota ar formas logaritmisko funkciju:
3. Funkciju tuvināšana, izmantojot metodi
mazākie kvadrāti
Apstrādājot eksperimentālos rezultātus, tiek izmantota mazāko kvadrātu metode tuvinājumi (aptuvinājumi) eksperimentālie dati analītiskā formula. Konkrētais formulas veids parasti tiek izvēlēts fizisku iemeslu dēļ. Šādas formulas varētu būt:
un citi.
Mazāko kvadrātu metodes būtība ir šāda. Mērījumu rezultātus attēlosim tabulā:
|
Tabula 4 |
||||
|
x n |
||||
|
g n |
||||
|
(3.1) |
kur f - zināma funkcija, a 0 , a 1 , …, a m - nezināmi nemainīgi parametri, kuru vērtības ir jāatrod. Mazāko kvadrātu metodē funkcijas (3.1.) aproksimāciju eksperimentālajai atkarībai uzskata par labāko, ja nosacījums ir izpildīts.
|
(3.2) |
tas ir summas a vēlamās analītiskās funkcijas novirzēm kvadrātā no eksperimentālās atkarības jābūt minimālām .
Ņemiet vērā, ka funkcija J sauca atlikums.
Kopš neatbilstības
tad tam ir minimums. Nepieciešams nosacījums vairāku mainīgo funkcijas minimumam ir visu šīs funkcijas daļējo atvasinājumu vienādība ar nulli attiecībā uz parametriem. Tādējādi aproksimējošās funkcijas (3.1) parametru labākās vērtības atrašana, tas ir, to vērtības, pie kurām Q = Q (a 0 , a 1 , …, a m ) ir minimāls, reducējas līdz vienādojumu sistēmas atrisināšanai:
|
(3.3) |
Mazāko kvadrātu metodei var sniegt šādu ģeometrisko interpretāciju: starp bezgalīgu noteikta tipa līniju saimi tiek atrasta viena taisne, kurai ir iegūta eksperimentālo punktu ordinātu un atbilstošo punktu ordinātu atšķirību summa kvadrātā. pēc šīs līnijas vienādojuma būs mazākais.
Lineāras funkcijas parametru atrašana
Eksperimentālos datus attēlo ar lineāru funkciju:
Ir nepieciešams izvēlēties šādas vērtības a un b , kurai funkcija
|
(3.4) |
būs minimāls. Nepieciešamie nosacījumi funkcijas minimumam (3.4.) tiek reducēti līdz vienādojumu sistēmai:
|
|
Pēc transformācijām mēs iegūstam divu lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem:
|
|
(3.5) |
to risinot, mēs atrodam vajadzīgās parametru vērtības a un b.
Kvadrātfunkcijas parametru atrašana
Ja aproksimējošā funkcija ir kvadrātiskā atkarība
tad tā parametri a, b, c atrasts no funkcijas minimālā nosacījuma:
|
(3.6) |
Funkcijas minimuma nosacījumi (3.6.) tiek reducēti līdz vienādojumu sistēmai:
|
|
Pēc transformācijām mēs iegūstam trīs lineāru vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem:
|
|
(3.7) |
plkst kura risinājumu mēs atrodam vajadzīgās parametru vērtības a, b un c.
Piemērs . Ļaujiet eksperimentam iegūt šādu vērtību tabulu x un y:
|
Tabula 5 |
||||||||
|
y i |
0,705 |
0,495 |
0,426 |
0,357 |
0,368 |
0,406 |
0,549 |
0,768 |
Ir nepieciešams tuvināt eksperimentālos datus ar lineārām un kvadrātiskām funkcijām.
Risinājums. Tuvinošo funkciju parametru atrašana tiek reducēta uz lineāro vienādojumu sistēmu (3.5) un (3.7) atrisināšanu. Lai atrisinātu problēmu, mēs izmantosim izklājlapu procesoru Excel.
1. Vispirms savienosim 1. un 2. lapu. Ievadiet eksperimentālās vērtības x i un y i kolonnās A un B, sākot no otrās rindas (kolonnu virsrakstus ievietosim pirmajā rindā). Tad mēs aprēķinām šo kolonnu summas un ievietojam tās desmitajā rindā.
Ailēs C–G ievietojiet attiecīgi aprēķinu un summēšanu
2. Atvienosim loksnes.. Līdzīgā veidā veiksim turpmākos aprēķinus lineārajai atkarībai no 1. lapas un kvadrātiskajai atkarībai no 2. lapas.
3. Zem iegūtās tabulas veidosim koeficientu matricu un brīvo terminu kolonnu vektoru. Atrisināsim lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot šādu algoritmu:
Lai aprēķinātu apgriezto matricu un reizinātu matricas, mēs izmantojam Meistars funkcijas un funkcijas MOBR Un MUMNIFE.
4. Šūnu blokā H2: H 9, pamatojoties uz iegūtajiem koeficientiem, mēs aprēķinām aptuvenā vērtība polinomsy i aprēķins., blokā I 2: I 9 – novirzes D y i = y i exp. - y i aprēķins., J ailē – atlikums:
Iegūtās tabulas un tās, kas veidotas, izmantojot Diagrammu burvji grafiki ir parādīti 6., 7., 8. attēlā.
Rīsi. 6. Tabula lineāras funkcijas koeficientu aprēķināšanai,
tuvinot eksperimentālie dati.
Rīsi. 7. Tabula kvadrātfunkcijas koeficientu aprēķināšanai,
tuvinoteksperimentālie dati.
Rīsi. 8. Tuvināšanas rezultātu grafiskais attēlojums
eksperimentālie dati pēc lineārām un kvadrātiskām funkcijām.
Atbilde. Eksperimentālie dati tika tuvināti ar lineāru atkarību y = 0,07881 x + 0,442262 ar atlikumu J = 0,165167 un kvadrātiskā atkarība y = 3,115476 x 2 – 5,2175 x + 2,529631 ar atlikumu J = 0,002103 .
Uzdevumi. Aproksimējiet funkciju, ko dod tabula, lineārās un kvadrātiskās funkcijas.
|
6. tabula |
|||||||||
|
№0 |
x |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
|
y |
3,030 |
3,142 |
3,358 |
3,463 |
3,772 |
3,251 |
3,170 |
3,665 |
|
|
№ 1 |
|||||||||
|
3,314 |
3,278 |
3,262 |
3,292 |
3,332 |
3,397 |
3,487 |
3,563 |
||
|
№ 2 |
|||||||||
|
1,045 |
1,162 |
1,264 |
1,172 |
1,070 |
0,898 |
0,656 |
0,344 |
||
|
№ 3 |
|||||||||
|
6,715 |
6,735 |
6,750 |
6,741 |
6,645 |
6,639 |
6,647 |
6,612 |
||
|
№ 4 |
|||||||||
|
2,325 |
2,515 |
2,638 |
2,700 |
2,696 |
2,626 |
2,491 |
2,291 |
||
|
№ 5 |
|||||||||
|
1.752 |
1,762 |
1,777 |
1,797 |
1,821 |
1,850 |
1,884 |
1,944 |
||
|
№ 6 |
|||||||||
|
1,924 |
1,710 |
1,525 |
1,370 |
1,264 |
1,190 |
1,148 |
1,127 |
||
|
№ 7 |
|||||||||
|
1,025 |
1,144 |
1,336 |
1,419 |
1,479 |
1,530 |
1,568 |
1,248 |
||
|
№ 8 |
|||||||||
|
5,785 |
5,685 |
5,605 |
5,545 |
5,505 |
5,480 |
5,495 |
5,510 |
||
|
№ 9 |
|||||||||
|
4,052 |
4,092 |
4,152 |
4,234 |
4,338 |
4,468 |
4,599 |
Mazāko kvadrātu (OLS) metode ļauj novērtēt dažādus lielumus, izmantojot daudzu mērījumu rezultātus, kas satur nejaušas kļūdas. Starptautisko uzņēmumu raksturojums Šīs metodes galvenā ideja ir tāda, ka kļūdu kvadrātu summa tiek uzskatīta par problēmas risināšanas precizitātes kritēriju, kuru viņi cenšas samazināt. Izmantojot šo metodi, var izmantot gan skaitlisko, gan analītisko pieeju. Konkrēti, kā skaitliskā realizācija mazāko kvadrātu metode ietver pēc iespējas vairāk nezināma gadījuma lieluma mērījumu veikšanu. Turklāt, jo vairāk aprēķinu, jo precīzāks būs risinājums. Pamatojoties uz šo aprēķinu kopu (sākotnējiem datiem), tiek iegūta cita aplēsto risinājumu kopa, no kuras pēc tam tiek atlasīts labākais. Ja risinājumu kopa ir parametrizēta, tad mazāko kvadrātu metode tiks reducēta līdz parametru optimālās vērtības atrašanai. Kā analītiska pieeja LSM ieviešanai uz sākotnējo datu (mērījumu) kopas un paredzamā risinājumu kopuma tiek noteikts konkrēts (funkcionālais), ko var izteikt ar formulu, kas iegūta kā noteikta hipotēze, kurai nepieciešams apstiprinājums. Šajā gadījumā mazāko kvadrātu metode ir šī funkcionālā minimuma atrašana sākotnējo datu kvadrātu kļūdu kopā. Lūdzu, ņemiet vērā, ka tās nav pašas kļūdas, bet gan kļūdu kvadrāti. Kāpēc? Fakts ir tāds, ka bieži vien mērījumu novirzes no precīzās vērtības ir gan pozitīvas, gan negatīvas. Nosakot vidējo, vienkārša summēšana var novest pie nepareiza secinājuma par aplēses kvalitāti, jo pozitīvo un negatīvo vērtību atcelšana samazinās vairāku mērījumu paraugu ņemšanas jaudu. Un līdz ar to arī vērtējuma precizitāte. Lai tas nenotiktu, tiek summētas kvadrātiskās novirzes. Turklāt, lai izlīdzinātu izmērītās vērtības dimensiju un galīgo novērtējumu, tiek iegūta kļūdu kvadrāta summa Dažas MNC lietojumprogrammas MNC tiek plaši izmantots dažādās jomās. Piemēram, varbūtības teorijā un matemātiskajā statistikā metode tiek izmantota, lai noteiktu tādu nejauša lieluma raksturlielumu kā standarta novirze, kas nosaka nejaušā lieluma vērtību diapazona platumu. Līdzīgi raksti
| ||
