Kako določiti razdaljo med točkami po koordinatah. jaz

Vsaka točka A na ravnini je označena s svojimi koordinatami (x, y). Sovpadajo s koordinatami vektorja 0А , ki izhaja iz točke 0 - izhodišča.

Naj bosta A in B poljubni točki na ravnini s koordinatama (x 1 y 1) oziroma (x 2, y 2).

Potem ima vektor AB očitno koordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Znano je, da je kvadrat dolžine vektorja enak vsoti kvadratov njegovih koordinat. Zato je razdalja d med točkama A in B ali, kar je enako, dolžina vektorja AB določena iz pogoja

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Nastala formula vam omogoča, da najdete razdaljo med katerima koli točkama na ravnini, če so znane le koordinate teh točk.

Vsakič, ko govorimo o koordinatah ene ali druge točke na ravnini, imamo v mislih točno določen koordinatni sistem x0y. Na splošno lahko koordinatni sistem na ravnini izbiramo na različne načine. Tako lahko namesto koordinatnega sistema x0y upoštevamo koordinatni sistem xִy, ki ga dobimo z vrtenjem starih koordinatnih osi okoli izhodišča 0 v nasprotni smeri urnega kazalca puščice na vogalu α .

Če je imela neka točka na ravnini v koordinatnem sistemu x0y koordinate (x, y), potem bo imela v novem koordinatnem sistemu x-y druge koordinate (x, y).

Kot primer upoštevajte točko M, ki se nahaja na osi 0x in je od točke 0 oddaljena na razdalji, ki je enaka 1.

Očitno ima ta točka v koordinatnem sistemu x0y koordinate (cos α , greh α ), v koordinatnem sistemu хִу pa so koordinate (1,0).

Koordinate poljubnih dveh točk ravnine A in B so odvisne od tega, kako je koordinatni sistem postavljen v tej ravnini. In tukaj razdalja med tema točkama ni odvisna od podajanja koordinatnega sistema .

Drugi materiali Koordinate določajo lokacijo predmeta na globusu. Koordinate so označene z zemljepisno širino in dolžino. Zemljepisne širine se merijo od črte ekvatorja na obeh straneh. Na severni polobli so zemljepisne širine pozitivne, na južni polobli pa negativne. Zemljepisna dolžina se meri od začetnega poldnevnika proti vzhodu ali proti zahodu, dobi se vzhodna ali zahodna dolžina.

V skladu s splošno sprejetim položajem je za začetni poldnevnik vzet poldnevnik, ki poteka skozi stari observatorij Greenwich v Greenwichu. Geografske koordinate lokacije lahko dobite z GPS navigatorjem. Ta naprava sprejema signale satelitskega sistema za določanje položaja v koordinatnem sistemu WGS-84, enakem za ves svet.

Modeli Navigator se razlikujejo po proizvajalcih, funkcionalnosti in vmesniku. Trenutno so vgrajeni GPS-navigatorji na voljo v nekaterih modelih mobilnih telefonov. Toda kateri koli model lahko posname in shrani koordinate točk.

Razdalja med GPS koordinatami

Za reševanje praktičnih in teoretičnih problemov v nekaterih panogah je treba znati določiti razdalje med točkami po njihovih koordinatah. Če želite to narediti, lahko uporabite več metod. Kanonična predstavitev geografskih koordinat: stopinje, minute, sekunde.

Na primer, lahko določite razdaljo med naslednjimi koordinatami: točka št. 1 - zemljepisna širina 55°45′07″ S, zemljepisna dolžina 37°36′56″ V; točka št. 2 - zemljepisna širina 58°00′02″ S, zemljepisna dolžina 102°39′42″ V

Najlažji način je, da uporabite -kalkulator za izračun razdalje med dvema točkama. V iskalniku brskalnika morate nastaviti naslednje iskalne parametre: na spletu - za izračun razdalje med dvema koordinatama. V spletnem kalkulatorju se vrednosti zemljepisne širine in dolžine vnesejo v poizvedbena polja za prvo in drugo koordinato. Pri izračunu je spletni kalkulator dal rezultat - 3.800.619 m.

Naslednja metoda je zamudnejša, a tudi bolj vizualna. Uporabiti je treba kateri koli razpoložljiv kartografski ali navigacijski program. Programi, v katerih lahko ustvarite točke po koordinatah in merite razdalje med njimi, vključujejo naslednje aplikacije: BaseCamp (sodoben analog programa MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Vsi zgoraj navedeni programi so na voljo vsem uporabnikom omrežja. Če želite na primer izračunati razdaljo med dvema koordinatama v programu Google Earth, morate ustvariti dve oznaki, ki označujeta koordinate prve in druge točke. Nato morate z orodjem Ruler povezati prvo in drugo oznako s črto, program bo samodejno dal rezultat meritve in prikazal pot na satelitski sliki Zemlje.

V primeru zgornjega primera je program Google Earth vrnil rezultat - dolžina razdalje med točko #1 in točko #2 je 3.817.353 m.

Zakaj pride do napake pri določanju razdalje

Vsi izračuni razdalje med koordinatami temeljijo na izračunih dolžine loka. Pri izračunu dolžine loka je vključen polmer Zemlje. Ker pa je oblika Zemlje podobna sploščenemu elipsoidu, je polmer Zemlje na določenih točkah drugačen. Za izračun razdalje med koordinatami se vzame povprečna vrednost zemeljskega radija, ki daje napako pri meritvi. Večja kot je izmerjena razdalja, večja je napaka.

Tukaj je kalkulator

Razdalja med dvema točkama na ravni črti

Razmislite o koordinatni črti, na kateri sta označeni 2 točki: A A A in B B B. Če želite najti razdaljo med tema točkama, morate najti dolžino segmenta A B AB A B. To se naredi z naslednjo formulo:

Razdalja med dvema točkama na ravni črti

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣ a −b ∣,

Kje a, b a, b a , b- koordinate teh točk na premici (koordinatna premica).

Ker je v formuli prisoten modul, pri odločanju, od katere koordinate je treba odšteti, ni pomembno (saj se upošteva absolutna vrednost te razlike).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣ a −b ∣ =∣b −a ∣

Oglejmo si primer, da bomo bolje razumeli rešitev tovrstnih težav.

Primer 1

Na koordinatni premici je označena točka A A A, katere koordinata je 9 9 9 in pika B B B s koordinato − 1 -1 − 1 . Najti morate razdaljo med tema dvema točkama.

rešitev

Tukaj a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 a =9, b =− 1

Uporabimo formulo in nadomestimo vrednosti:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣ a −b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Odgovori

Razdalja med dvema točkama na ravnini

Razmislite o dveh točkah na ravnini. Iz vsake točke, označene na ravnini, je treba spustiti dve pravokotnici: Na os O X OX O X in na osi OJ OJ O Y. Nato se upošteva trikotnik A B C ABC A B C. Ker je pravokoten ( B C pr. n. št B C pravokotno A C AC A C), nato poiščite segment A B AB A B, ki je tudi razdalja med točkami, je mogoče narediti z uporabo Pitagorovega izreka. Imamo:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Toda od dolžine A C AC A C je enako x B − x A x_B-x_A x B​ − x A​ , in dolžino B C pr. n. št B C je enako y B − y A y_B-y_A l B​ − l A​ , lahko to formulo prepišemo na naslednji način:

Razdalja med dvema točkama na ravnini

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (l B​ − l A​ ) 2 ​ ,

Kje x A, y A x_A, y_A x A​ , l A​ in x B, y B x_B, y_B x B​ , l B​ - koordinate točk A A A in B B B oz.

Primer 2

Poiščite razdaljo med točkama C C C in F F F, če koordinate prvega (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , in drugič - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

rešitev

X C = 8 x_C=8 x C​ = 8
yC=-1 y_C=-1 l C​ = − 1
x F=4 x_F=4 x F​ = 4
yF=2 y_F=2 l F​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(x F​ − x C​ ) 2 + (l F​ − l C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Odgovori

Razdalja med dvema točkama v prostoru

Iskanje razdalje med dvema točkama je v tem primeru podobno prejšnjemu, le da so koordinate točke v prostoru podane s tremi številkami oziroma je treba formuli dodati še koordinato osi, ki jo uporabljamo. Formula bo videti takole:

Razdalja med dvema točkama v prostoru

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (l B​ − l A​ ) 2 + (z B​ − zA​ ) 2 ​

Primer 3

Poiščite dolžino odseka FK FKFK v prostoru, če so koordinate točk njegovih koncev naslednje: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) in (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Odgovor zaokrožite na najbližje celo število.

rešitev

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3;\; 6;\; 0)\; K=(-3;6;0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x^{K-x^{F{)}^{2+(l^{K-l^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Glede na pogoj naloge moramo odgovor zaokrožiti na celo število.

Naj , (slika 2.3). Obvezno najti.

Slika 2.3. Razdalja med dvema točkama.

Iz pravokotnika po Pitagorovem izreku imamo

to je,

Ta formula velja za poljubno razporeditev točk in .

II. Delitev segmenta v zvezi s tem:

Pustiti , . Poiskati je treba ležati na segmentu in ga razdeliti v tem razmerju (slika 2.4.).

Slika 2.4. Delitev segmenta v tem pogledu.

Iz podobnosti ~ , to je , , od koder . Prav tako.

torej

- formula za delitev segmenta glede na .

Če, potem

so koordinate sredine segmenta.

Komentiraj. Izpeljane formule lahko posplošimo tudi na primer prostorskega pravokotnega kartezičnega koordinatnega sistema. Naj točke , . Potem

- formula za iskanje razdalje med točkama in .

Formula za delitev segmenta glede na .

Poleg kartezičnega na ravnini in v prostoru lahko zgradite veliko število drugih koordinatnih sistemov, to je načinov za karakterizacijo položaja točke na ravnini ali v prostoru z uporabo dveh ali treh numeričnih parametrov (koordinat). Razmislite o nekaterih obstoječih koordinatnih sistemih.

Na ravnini se lahko definira polarni koordinatni sistem , ki se uporablja zlasti pri preučevanju rotacijskih gibanj.

Slika 2.5. Polarni koordinatni sistem.

Na ravnini določimo točko in iz nje izhajajočo polpremico ter izberemo merilno enoto (slika 2.5). Točka se imenuje palica , polčrta - polarna os . Poljubni točki priredimo dve števili:

– polarni radij , enaka razdalji od točke M do pola O;

– polarni kot , ki je enak kotu med polarno osjo in polpremico.

Merjeno v radianih, štetje pozitivne smeri vrednosti je od nasprotne smeri urinega kazalca, običajno se domneva, da je .

Pol ustreza polarnemu radiju, polarni kot zanj ni določen.

Poiščimo razmerje med pravokotnimi in polarnimi koordinatami (slika 2.6).

Slika 2.6. Razmerje med pravokotnim in polarnim koordinatnim sistemom.

Izhodišče pravokotnega koordinatnega sistema bomo upoštevali kot pol, žarek pa bomo vzeli za polarno os. Naj - v pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu in - v polarnem koordinatnem sistemu. Poiščite razmerje med pravokotnimi in polarnimi koordinatami.

Iz pravokotne in iz pravokotne. Torej formule

izrazite pravokotne koordinate točke z njenimi polarnimi koordinatami.

Inverzno razmerje je izraženo s formulami

Komentiraj. Polarni kot lahko določimo tudi iz formule, tako da predhodno s pravokotnimi koordinatami določimo, v kateri četrtini leži točka.

Primer 1 Poiščite polarne koordinate točke.

rešitev. Izračunaj ; polarni kot se določi iz pogojev:

Zato, torej .

Primer 2 Poiščite pravokotne koordinate točke.

rešitev. Izračunaj

Dobimo .

V tridimenzionalnem prostoru se poleg pravokotnega kartezičnega koordinatnega sistema pogosto uporabljata cilindrični in sferični koordinatni sistem.

Cilindrični koordinatni sistem je polarni koordinatni sistem v ravnini , ki mu je dodana prostorska os, pravokotna na to ravnino (slika 2.7). Položaj katere koli točke je označen s tremi številkami - njenimi cilindričnimi koordinatami: , kjer in sta polarni koordinati (polarni polmer in polarni kot) projekcije točke na ravnino, v kateri je izbran polarni koordinatni sistem, - aplikacija , ki je enaka razdalji od točke do navedene ravnine.

Slika 2.7. Cilindrični koordinatni sistem

Da bi ugotovili razmerje med pravokotnim kartezičnim koordinatnim sistemom in cilindričnim koordinatnim sistemom, jih bomo razporedili drug glede na drugega, kot je prikazano na sliki 2.8 (ravnino bomo postavili v ravnino, polarna os pa sovpada s pozitivno smerjo osi , je os skupna v obeh koordinatnih sistemih).

Naj bodo pravokotne koordinate točke , so cilindrične koordinate te točke in projekcija točke na ravnino . Potem

formule, ki povezujejo pravokotne in cilindrične koordinate točke.

Slika 2.8. Razmerje med pravokotnim kartezičnim

in cilindrični koordinatni sistemi

Komentiraj. Cilindrične koordinate se pogosto uporabljajo pri obravnavi vrtilnih teles, os pa se nahaja vzdolž osi vrtenja.

Sferični koordinatni sistem se lahko zgradi na naslednji način. Izberemo polarno os v ravnini. Skozi točko narišemo premico pravokotno na ravnino (normala). Potem lahko katero koli točko v prostoru povežemo s tremi realnimi števili, kjer je razdalja od točke do, je kot med osjo in projekcijo odseka na ravnino, je kot med normalo in odsekom. Upoštevajte, da , , .

Če ravnino postavimo v ravnino in izberemo polarno os, ki sovpada s pozitivno smerjo osi, izberemo os kot normalo (slika 2.9), potem dobimo formule, ki povezujeta ta dva koordinatna sistema

Slika 2.9. Razmerje med sferičnim in pravokotnim kartezičnim

koordinatni sistemi

skalarji, ali skalarji so popolnoma označeni s svojo številsko vrednostjo v izbranem sistemu enot. Vektorske količine ali vektorji imajo poleg številske vrednosti tudi smer. Če na primer rečemo, da piha veter s hitrostjo 10 m/s, potem bomo uvedli skalarno vrednost hitrosti vetra, če pa rečemo, da piha jugozahodni veter s hitrostjo 10 m/s , potem bo v tem primeru hitrost vetra že vektor.

Vektor se imenuje usmerjen segment, ki ima določeno dolžino, tj. segment določene dolžine, v katerem je ena od mejnih točk vzeta kot začetek, druga pa kot konec. Vektor bomo označili z , ali (slika 2.10).

Dolžino vektorja označujemo s simbolom ali in imenujemo modul vektorja. Imenuje se vektor, katerega dolžina je 1 samski . Vektor se imenuje nič , če njen začetek in konec sovpadata, in ga označimo z θ ali . Ničelni vektor nima določene smeri in ima dolžino enako nič. Vektorji in se nahajajo na isti premici ali na vzporednih premicah se imenujejo kolinearni . Dva vektorja in se imenujeta enaka če so kolinearne, imajo enako dolžino in isto smer. Vsi ničelni vektorji veljajo za enake.

Dva neničelna kolinearna vektorja, ki imata enak modul, a nasprotno smer, se imenujeta nasprotje . Vektor nasproti je označen z , za nasprotni vektor .

Na številko linijske operacije nad vektorji vključujejo operacije seštevanja, odštevanja vektorjev in množenja vektorja s številom, tj. operacije, ki povzročijo vektor.

Definirajmo te operacije na vektorjih. Naj sta dana dva vektorja in . Vzemimo poljubno točko O in zgradimo vektor , iz točke A odstavimo vektor . Nato se pokliče vektor, ki povezuje začetek prvega člena vektorja s koncem drugega vsota teh vektorjev in je označena z . Obravnavano pravilo za iskanje vsote vektorjev se imenuje pravila trikotnika (Slika 2.11).

Enako vsoto vektorjev lahko dobimo na drug način (slika 2.12). Odložimo vektor in vektor iz točke. Gradimo na teh vektorjih kot na stranicah paralelograma. Vektor, ki je diagonala paralelograma, narisana iz oglišča, bo vsota. To pravilo za iskanje vsote se imenuje pravila paralelograma .

Vsoto poljubnega končnega števila vektorjev lahko dobimo s pravilom lomljene črte (slika 2.13). Iz poljubne točke odložimo vektor , nato odložimo vektor itd. Vektor, ki povezuje začetek prvega s koncem drugega, je vsota

podatkovnih vektorjev, tj. . Očitno je, da če konec zadnjega člena vektorja sovpada z začetkom prvega, potem je vsota vektorjev enaka ničelnemu vektorju.

Razlika dva vektorja in se imenuje tak vektor, katerega vsota z odštetim vektorjem da vektor. Od tod pravilo konstrukcije vektorja razlike(Slika 2.14). Iz točke ločimo vektor in vektor . Vektor, ki povezuje konca pomanjšanega vektorja in vektorja, ki ga je treba odšteti, in usmerjen od vektorja, ki se odšteva, na pomanjšani vektor, je razlika.

Vektorski izdelek realnemu številu λ pravimo vektor, ki je kolinearen vektorju , ima dolžino in isto smer kot vektor if , in smer nasprotno vektorju if .

Predstavljen linearne operacije nad vektorji imajo lastnosti :

10. Komutativnost seštevanja: .

20. Asociativnost dodatka: .

trideset. Obstoj nevtralnega elementa z dodatkom: .

40. Obstoj nasprotnega elementa z dodatkom:

50. Distributivnost množenja s številom glede na vektorski seštevek: .

60. Distributivnost množenja vektorja z vsoto dveh števil:

70. Lastnost asociativnosti glede na množenje vektorja s produktom števil: .

Naj bo podan sistem vektorjev:

Izraz, kjer so λ i (i = 1,2,…, n) nekatera števila, se imenuje linearna kombinacija sistemi vektorjev (2.1). Sistem vektorjev (2.1) imenujemo linearno odvisen , če je njihova linearna kombinacija enaka nič, pod pogojem, da niso vsa števila λ 1 , λ 2 , …, λ n enaka nič. Sistem vektorjev (2.1) imenujemo linearno neodvisen , če je njihova linearna kombinacija enaka nič le pod pogojem, da so vsa števila λ i = 0 (). Možno je dati še eno definicijo linearne odvisnosti vektorjev. Sistem vektorjev (2.1) imenujemo linearno odvisen , če je kateri koli vektor tega sistema linearno izražen z ostalimi, sicer sistem vektorjev (2.1) linearno neodvisen .

Za vektorje, ki ležijo v ravnini, veljajo naslednje trditve.

10. Katerikoli trije vektorji v ravnini so linearno odvisni.

20. Če je število teh vektorjev na ravnini večje od treh, potem so tudi linearno odvisni.

trideset. Da sta dva vektorja v ravnini linearno neodvisna, je nujno in dovolj, da nista kolinearna.

Tako je največje število linearno neodvisnih vektorjev v ravnini dva.

Vektorji se imenujejo komplanaren če ležijo v isti ravnini ali so vzporedni z isto ravnino. Za vesoljske vektorje veljajo naslednje trditve.

10. Kateri koli štirje prostorski vektorji so linearno odvisni.

20. Če je število danih vektorjev v prostoru večje od štirih, potem so tudi linearno odvisni.

trideset. Da so trije vektorji linearno neodvisni, je nujno in zadostno, da niso koplanarni.

Tako je največje število linearno neodvisnih vektorjev v prostoru tri.

Vsak največji podsistem linearno neodvisnih vektorjev, skozi katerega je izražen kateri koli vektor tega sistema, se imenuje osnova upoštevati vektorski sistemi . Zlahka sklepamo, da je baza na ravnini sestavljena iz dveh nekolinearnih vektorjev, baza v prostoru pa iz treh nekoplanarnih vektorjev. Število baznih vektorjev se imenuje rang vektorski sistemi. Imenujemo koeficiente razširitve vektorja glede na bazne vektorje vektorske koordinate v tej osnovi.

Naj vektorja tvorita bazo in pustite , potem so števila λ 1 , λ 2 , λ 3 koordinate vektorja v bazi. V tem primeru zapišejo. Lahko se pokaže, da je razširitev vektorja v smislu osnova je edinstvena. Glavni pomen baze je, da linearne operacije na vektorjih postanejo navadne linearne operacije na številih - koordinatah teh vektorjev. Z uporabo lastnosti linearnih operacij na vektorjih lahko dokažemo naslednji izrek.

Izrek. Ko sta dodana dva vektorja, se dodajo njune ustrezne koordinate. Ko vektor pomnožimo s številom, se vse njegove koordinate pomnožijo s tem številom.

Torej, če in , potem , kjer je , in kjer je λ neko število.

Običajno množico vseh vektorjev v ravnini, reduciranih v skupno izhodišče, z vpeljanimi linearnimi operacijami označimo z V 2 , množico vseh prostorskih vektorjev, reduciranih v skupno izhodišče, pa z V 3 . Množici V 2 in V 3 se imenujeta prostori geometrijskih vektorjev.

Kot med vektorji in imenujemo najmanjši kot (), za katerega je treba enega od vektorjev zasukati, dokler ne sovpada z drugim, potem ko smo te vektorje pripeljali do skupnega izhodišča.

Pikasti izdelek dva vektorja se imenuje število, ki je enako zmnožku modulov teh vektorjev s kosinusom kota med njima. Pikčasti produkt vektorjev in označujemo , oz

Če je kot med vektorjema in enak, potem

Z geometrijskega vidika je skalarni produkt vektorjev enak zmnožku modula enega vektorja in projekcije drugega vektorja nanj. Iz enakosti (2.2) sledi, da

Od tod pogoj pravokotnosti dveh vektorjev: dva vektorja in so pravokotni, če in samo če je njihov skalarni produkt enak nič, tj. .

Pikasti produkt vektorjev ni linearna operacija, ker ima za posledico število, ne vektor.

Lastnosti skalarnega produkta.

1º. - komutativnost.

2º. - distributivnost.

3º. – asociativnost glede na numerični faktor.

4º. - lastnost skalarnega kvadrata.

Lastnost 4º implicira definicijo vektorska dolžina :

Naj bo v prostoru V 3 podana baza, kjer so vektorji enotski vektorji (imenujemo jih orti), katerih smer vsakega sovpada s pozitivno smerjo koordinatnih osi Ox, Oy, Oz pravokotnega kartezičnega koordinatnega sistema. .

Razširimo prostorski vektor V 3 glede na to osnovo (slika 2.15):

Vektorje imenujemo komponente vektorja vzdolž koordinatnih osi ali komponente števila a x, a y, a z so pravokotne kartezične koordinate vektorja A. Smer vektorja določajo koti α, β, γ, ki jih tvori s koordinatnimi črtami. Kosinus teh kotov se imenuje vektorska vodila. Nato so smerni kosinusi določeni s formulami:

To je enostavno pokazati

Skalarni produkt izrazimo v koordinatni obliki.

Naj in . Če pomnožimo te vektorje kot polinome in upoštevamo, da dobimo izraz za iskanje pikčasti produkt v koordinatni obliki:

tiste. skalarni produkt dveh vektorjev je enak vsoti parnih produktov istoimenskih koordinat.

Iz (2.6) in (2.4) sledi formula za iskanje vektorska dolžina :

Iz (2.6) in (2.7) dobimo formulo za določanje kot med vektorji:

Trojka vektorjev se imenuje urejena, če je označeno, kateri od njih velja za prvega, kateri za drugega in kateri za tretjega.

Naročeno trio vektorjev klical prav , če je po tem, ko ju pripeljemo na skupni začetek od konca tretjega vektorja, najkrajši obrat od prvega do drugega vektorja v nasprotni smeri urinega kazalca. V nasprotnem primeru se imenuje trojček vektorjev levo . Na sliki 2.15 na primer vektorji , , tvorijo desno trojko vektorjev, vektorji , , pa levo trojko vektorjev.

Na podoben način uvedemo koncept desnega in levega koordinatnega sistema v tridimenzionalnem prostoru.

vektorska umetnost vektor v vektor se imenuje vektor (druga oznaka), ki:

1) ima dolžino , kjer je kot med vektorjema in ;

2) je pravokotna na vektorja in (), tj. pravokotna na ravnino, ki vsebuje vektorja in ;

Po definiciji najdemo vektorski produkt koordinat orts , , :

Če , , potem so koordinate navzkrižnega produkta vektorja in vektorja določene s formulo:

Iz definicije izhaja geometrijski pomen vektorskega produkta : modul vektorja je enak površini paralelograma, zgrajenega na vektorjih in .

Lastnosti vektorskega izdelka:

40. , če sta vektorja in kolinearna ali pa je eden od teh vektorjev nič.

Primer 3 Paralelogram je zgrajen na vektorjih in , kjer je , , . Izračunaj dolžino diagonal tega paralelograma, kot med diagonalama in ploščino paralelograma.

rešitev. Konstrukcija vektorjev in je prikazana na sliki 2.16, konstrukcija paralelograma na teh vektorjih je prikazana na sliki 2.17.

Izvedimo analitično rešitev tega problema. Vektorje, ki določajo diagonale konstruiranega paralelograma, izrazimo skozi vektorja in , nato pa skozi in . Najdemo , . Nato poiščemo dolžine diagonal paralelograma kot dolžine konstruiranih vektorjev

Kot med diagonalama paralelograma označujemo z . Potem iz formule za skalarni produkt vektorjev dobimo:

Zato,.

Z uporabo lastnosti navzkrižnega produkta izračunamo površino paralelograma:

Naj obstajajo trije vektorji , in . Predstavljajte si, da vektor vektorsko pomnožimo z in vektorjem in dobljeni vektor skalarno pomnožimo z vektorjem in tako določimo število. Imenuje se vektorsko-skalarno oz mešani izdelek trije vektorji in . Označeno oz.

Pa ugotovimo geometrijski pomen mešanega izdelka (Slika 2.18). Naj , , ni komplanarna. Na teh vektorjih kot na robovih sestavimo paralelepiped. Križni produkt je vektor, katerega modul je enak površini paralelograma (osnova paralelopipeda), zgrajenega na vektorjih in in usmerjena pravokotno na ravnino paralelograma.

Točkovni produkt (enak produktu modula vektorja in projekcije na ). Višina konstruiranega paralelepipeda je absolutna vrednost te projekcije. Zato je absolutna vrednost mešanega produkta treh vektorjev enaka prostornini paralelopipeda, zgrajenega na vektorjih , in , tj. .

Zato se prostornina trikotne piramide, zgrajene na vektorjih , in , izračuna po formuli .

Opažamo še nekaj lastnosti mešanih izdelkov vektorji.

1 o. Predznak produkta je pozitiven, če vektorji , , tvorijo sistem z enakim imenom kot glavni, in negativen v nasprotnem primeru.

res, je pikčasti produkt pozitiven, če je kot med in oster, in negativen, če je kot top. Z ostrim kotom med in sta vektorja in nameščena na isti strani glede na osnovo paralelepipeda, zato bo s konca vektorja rotacija od do vidna na enak način kot od konca vektorja vektor, tj. v pozitivni smeri (nasprotni smeri urinega kazalca).

Pod tupim kotom, vektorji in se nahajajo na različnih straneh glede na ravnino paralelograma, ki leži na dnu paralelopipeda, zato je s konca vektorja vidna rotacija od do v negativni smeri ( v smeri urinega kazalca).

2 o Mešani produkt se ne spremeni s krožno permutacijo njegovih faktorjev: .

3 o Ko se poljubna dva vektorja zamenjata, mešani produkt spremeni samo predznak. Na primer, , . , . - neznani sistemi.

Sistem(3.1) imenujemo homogena če so vsi prosti člani . Sistem (3.1) imenujemo heterogena , če je vsaj eden od prostih članov .

Sistemska rešitev imenujemo niz števil, pri zamenjavi katerih v enačbe sistema namesto ustreznih neznank se vsaka enačba sistema spremeni v identiteto. Sistem, ki nima rešitve, se imenuje nezdružljivo, oz sporen . Sistem, ki ima vsaj eno rešitev, se imenuje sklep .

Sklepni sistem se imenuje določene če ima edinstveno rešitev. Če ima skupni sistem več kot eno rešitev, se imenuje negotova . Homogeni sistem je vedno konsistenten, saj ima vsaj ničelno rešitev. Izraz za neznanke, iz katerega je mogoče dobiti katero koli posamezno rešitev sistema, se imenuje skupna rešitev in katera koli posebna rešitev sistema je njegova zasebna odločitev . Dva sistema z enakimi neznankami so enakovredne (so enakovredne ), če je vsaka rešitev enega od njih rešitev drugega ali pa sta oba sistema neskladna.

Razmislite o metodah za reševanje sistemov linearnih enačb.

Ena glavnih metod za reševanje sistemov linearnih enačb je gaussova metoda, oz sekvenčna metoda izključitev neznank. Bistvo te metode je redukcija sistema linearnih enačb na stopenjsko obliko. V tem primeru morajo enačbe izvesti naslednje elementarne transformacije :

1. Permutacija enačb sistema.

2. Dodajanje druge enačbe eni enačbi.

3. Množenje obeh strani enačbe s številom, ki ni nič.

Posledično bo sistem dobil obliko:

Če nadaljujemo s tem postopkom, odstranimo neznano iz vseh enačb, začenši s tretjo. Da bi to naredili, pomnožimo drugo enačbo s številkami in dodamo 3., ..., k -ti enačbi sistema. Naslednji koraki Gaussove metode se izvajajo na podoben način. Če kot rezultat transformacij dobimo identično enačbo, jo izbrišemo iz sistema. Če na nekem koraku Gaussove metode dobimo enačbo oblike:

takrat je obravnavani sistem nekonzistenten in se njegovo nadaljnje reševanje ustavi. Če se enačba oblike (3.2) ne pojavi pri izvajanju elementarnih transformacij, potem se v največ - korakih sistem (3.1) pretvori v stopničasto obliko:

Za pridobitev določene rešitve sistema bo treba v (3.4) prostim spremenljivkam dodeliti posebne vrednosti.

Upoštevajte, da ker se v Gaussovi metodi vse transformacije izvajajo na koeficientih neznanih enačb in prostih členih, se ta metoda v praksi običajno uporablja za matriko, sestavljeno iz koeficientov neznank in stolpca prostih členov. Ta matrika se imenuje razširjena. S pomočjo elementarnih transformacij se ta matrika reducira na stopničasto obliko. Po tem se sistem obnovi z uporabo pridobljene matrike in nanjo uporabi vse predhodne premisleke.

Primer 1 Reši sistem:

rešitev. Sestavimo razširjeno matriko in jo reduciramo na stopničasto obliko:

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - druga vrstica je pomnožena z in tretja vrstica je prečrtana.

Naj bo podan pravokotni koordinatni sistem.

Izrek 1.1. Za kateri koli dve točki M 1 (x 1; y 1) in M ​​2 (x 2; y 2) na ravnini je razdalja d med njima izražena s formulo

Dokaz. Iz točk M 1 in M ​​2 spustimo navpičnici M 1 B oziroma M 2 A

na oseh Oy in Ox in s K označimo presečišče premic M 1 B in M ​​2 A (slika 1.4). Možni so naslednji primeri:

1) Točke M 1, M 2 in K so različne. Očitno ima točka K koordinate (x 2; y 1). Preprosto je videti, da je M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô. Ker ∆M 1 KM 2 je pravokoten, potem je po Pitagorovem izreku d = M 1 M 2 = = .

2) Točka K sovpada s točko M 2, vendar se razlikuje od točke M 1 (slika 1.5). V tem primeru je y 2 = y 1

in d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2 - x 1 ô \u003d =

3) Točka K sovpada s točko M 1, vendar je različna od točke M 2. V tem primeru je x 2 = x 1 in d =

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2 - y 1 ô \u003d = .

4) Točka M 2 sovpada s točko M 1. Nato x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 in

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d.

Delitev segmenta v tem pogledu.

Naj bo na ravnini podan poljuben odsek M 1 M 2 in naj bo M poljubna točka tega

segment, ki ni točka M 2 (slika 1.6). Število l, definirano z enakostjo l = , je poklican odnos, v katerem točka M deli odsek M 1 M 2.

Izrek 1.2.Če točka M (x; y) deli segment M 1 M 2 glede na l, potem koordinate tega določimo s formulami

x = , y = , (4)

kjer so (x 1; y 1) koordinate točke M 1, (x 2; y 2) koordinate točke M 2.

Dokaz. Dokažimo prvo izmed formul (4). Druga formula je dokazana podobno. Možna sta dva primera.

x = x 1 = = = .

2) Premica M 1 M 2 ni pravokotna na os Ox (slika 1.6). Spustimo navpičnice iz točk M 1 , M, M 2 na os Ox in označimo točke njihovega presečišča z osjo Ox oziroma P 1 , P, P 2 . Po izreku o proporcionalnih segmentih =l.

Ker P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô in številki (x - x 1) in (x 2 - x) imata enak predznak (za x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 so negativni), potem

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x = .

Posledica 1.2.1.Če sta M 1 (x 1; y 1) in M ​​2 (x 2; y 2) dve poljubni točki in je točka M (x; y) razpolovišče odseka M 1 M 2, potem je

x = , y = (5)

Dokaz. Ker je M 1 M = M 2 M, potem je l = 1 in s formulami (4) dobimo formule (5).

Območje trikotnika.

Izrek 1.3. Za vse točke A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) in C (x 3; y 3), ki ne ležijo na istem

premica, ploščino S trikotnika ABC izrazimo s formulo

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Dokaz. Območje ∆ ABC, prikazano na sl. 1.7 izračunamo takole

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Izračunaj površino trapeza:

S-ADEC=
,

SBCEF=

Zdaj imamo

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - -x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Za drugo lokacijo ∆ ABC formulo (6) dokažemo podobno, vendar jo lahko dobimo z znakom “-”. Zato v formuli (6) postavite znak modula.

Predavanje 2

Enačba premice na ravnini: enačba premice z glavnim koeficientom, splošna enačba premice, enačba premice v segmentih, enačba premice, ki poteka skozi dve točki. Kot med premicami, pogoji vzporednosti in pravokotnosti premic na ravnino.

2.1. Naj bo na ravnini podan pravokotni koordinatni sistem in neka premica L.

Opredelitev 2.1. Enačba oblike F(x;y) = 0, ki povezuje spremenljivki x in y, se imenuje enačba črte L(v danem koordinatnem sistemu), če tej enačbi ustrezajo koordinate katere koli točke, ki leži na premici L, in ne koordinate katere koli točke, ki ne leži na tej premici.

Primeri enačb premic na ravnini.

1) Razmislite o ravni črti, vzporedni z osjo Oy pravokotnega koordinatnega sistema (slika 2.1). Označimo s črko A presečišče te premice z osjo Ox, (a; o) ─ njeno oz.

Dynati. Enačba x = a je enačba dane premice. Tej enačbi dejansko zadostijo koordinate katere koli točke M(a; y) te premice in ne koordinate katere koli točke, ki ne leži na premici. Če je a = 0, potem premica sovpada z osjo Oy, ki ima enačbo x = 0.

2) Enačba x - y \u003d 0 določa množico točk v ravnini, ki sestavljajo simetrale koordinatnih kotov I in III.

3) Enačba x 2 - y 2 \u003d 0 je enačba dveh simetral koordinatnih kotov.

4) Enačba x 2 + y 2 = 0 določa eno samo točko O(0;0) na ravnini.

5) Enačba x 2 + y 2 \u003d 25 je enačba kroga s polmerom 5 s središčem v izhodišču.