Türevi bulma işlemine farklılaşma denir.
Türevi, argümanın artışına oranının limiti olarak tanımlayarak en basit (ve çok basit olmayan) fonksiyonların türevlerini bulma problemlerinin çözülmesinin bir sonucu olarak, bir türev tablosu ve kesin olarak tanımlanmış farklılaşma kuralları ortaya çıktı. . Türev bulma alanında ilk çalışmalar yapanlar Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) olmuştur.
Bu nedenle günümüzde herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için yukarıda belirtilen fonksiyonun artımının argümanın artımına oranının limitini hesaplamanıza gerek yoktur, yalnızca tabloyu kullanmanız gerekir. türevler ve türev alma kuralları. Aşağıdaki algoritma türevi bulmak için uygundur.
Türevi bulmak için, asal işaretin altında bir ifadeye ihtiyacınız var basit işlevleri bileşenlere ayırın ve hangi eylemlerin gerçekleştirileceğini belirleyin (çarpım, toplam, bölüm) bu işlevler birbiriyle ilişkilidir. Daha sonra, türev tablosunda temel fonksiyonların türevlerini ve türev kurallarında ürünün, toplamın ve bölümün türevlerinin formüllerini buluyoruz. Türev tablosu ve türev kuralları ilk iki örnekten sonra verilmiştir.
Örnek 1. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Türev alma kurallarından, bir fonksiyon toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamı olduğunu öğreniyoruz;
Türev tablosundan "x" türevinin bire, sinüs türevinin kosinüse eşit olduğunu öğreniyoruz. Bu değerleri türevlerin toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği türevi buluruz:
Örnek 2. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. İkinci terimin sabit bir faktöre sahip olduğu bir toplamın türevi olarak türev alıyoruz; bu, türevin işaretinden çıkarılabilir:
Bir şeyin nereden geldiğine dair hâlâ sorular ortaya çıkıyorsa, bunlar genellikle türev tablosuna ve türev almanın en basit kurallarına aşina olduktan sonra açıklığa kavuşturulur. Şu anda onlara doğru ilerliyoruz.
Basit fonksiyonların türevleri tablosu
| 1. Bir sabitin (sayı) türevi. İşlev ifadesinde yer alan herhangi bir sayı (1, 2, 5, 200...). Her zaman sıfıra eşittir. Bunu hatırlamak çok önemlidir, çünkü çok sık ihtiyaç duyulur. | |
| 2. Bağımsız değişkenin türevi. Çoğu zaman "X". Her zaman bire eşittir. Bunu uzun süre hatırlamak da önemlidir | |
| 3. Derecenin türevi. Problem çözerken karekök olmayanları kuvvetlere dönüştürmeniz gerekir. | |
| 4. Bir değişkenin -1 kuvvetine göre türevi | |
| 5. Karekökün türevi | |
| 6. Sinüs türevi | |
| 7. Kosinüs Türevi |  |
| 8. Teğetin türevi |  |
| 9. Kotanjantın Türevi |  |
| 10. Arsinüsün türevi |  |
| 11. Ark kosinüsün türevi |  |
| 12. Arktanjantın türevi |  |
| 13. Ark kotanjantının türevi |  |
| 14. Doğal logaritmanın türevi | |
| 15. Logaritmik bir fonksiyonun türevi |  |
| 16. Üssün türevi | |
| 17. Üstel bir fonksiyonun türevi |
Farklılaşma kuralları
| 1. Bir toplamın veya farkın türevi |  |
| 2. Ürünün türevi |  |
| 2a. Bir ifadenin sabit bir faktörle çarpılmasının türevi | |
| 3. Bölümün türevi |  |
| 4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi |  |
Kural 1.Eğer işlevler
Bir noktada türevlenebilirse fonksiyonlar aynı noktada türevlenebilirdir
Ve
onlar. cebirsel fonksiyon toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir.
Sonuçlar. İki türevlenebilir fonksiyonun farkı sabit bir terim ise türevleri eşittir yani
Kural 2.Eğer işlevler
Bir noktada türevlenebilirse çarpımları aynı noktada türevlenebilirdir
Ve
onlar. İki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımları ile diğerinin türevinin toplamına eşittir.
Sonuç 1. Türevin işaretinden sabit faktör çıkarılabilir:
Sonuç 2. Çeşitli türevlenebilir fonksiyonların çarpımının türevi, her faktörün ve diğerlerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir.
Örneğin üç çarpan için:
Kural 3.Eğer işlevler
bir noktada farklılaşabilir Ve , o zaman bu noktada onların bölümü de türevlenebiliru/v ve
onlar. iki fonksiyonun bölümünün türevi, pay, paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve paydanın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir ve payda, karesidir. eski pay.
Diğer sayfalardaki şeyleri nerede arayabilirim?
Gerçek problemlerde bir çarpımın ve bölümün türevini bulurken her zaman birkaç türev alma kuralını aynı anda uygulamak gerekir, bu nedenle makalede bu türevlerle ilgili daha fazla örnek vardır."Çarpının türevi ve fonksiyonların bölümü".
Yorum. Bir sabiti (yani bir sayıyı) toplamdaki bir terim ve sabit bir faktör olarak karıştırmamalısınız! Bir terim olması durumunda türevi sıfıra eşit olur ve sabit bir faktör olması durumunda türevlerin işareti dışına çıkarılır. Bu, türevleri çalışmanın ilk aşamasında meydana gelen tipik bir hatadır, ancak ortalama bir öğrenci birkaç bir ve iki parçalı örnekleri çözdükçe artık bu hatayı yapmaz.
Ve eğer bir ürünü veya bölümü farklılaştırırken bir teriminiz varsa sen"v, hangisinde sen- bir sayı, örneğin 2 veya 5, yani bir sabit, o zaman bu sayının türevi sıfıra eşit olacaktır ve dolayısıyla tüm terim sıfıra eşit olacaktır (bu durum örnek 10'da tartışılmıştır).
Diğer bir yaygın hata, karmaşık bir fonksiyonun türevini basit bir fonksiyonun türevi olarak mekanik olarak çözmektir. Bu yüzden karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrı bir makale ayrılmıştır. Ama önce basit fonksiyonların türevlerini bulmayı öğreneceğiz.
Yol boyunca ifadeleri dönüştürmeden yapamazsınız. Bunu yapmak için kılavuzu yeni pencerelerde açmanız gerekebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler Ve Kesirlerle işlemler .
Kesirlerin kuvvetleri ve kökleri olan türevlerine çözüm arıyorsanız, yani fonksiyon şöyle göründüğünde 
, ardından “Küsleri ve kökleri olan kesirlerin toplamlarının türevi” dersini takip edin.
gibi bir göreviniz varsa 
, daha sonra “Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri” dersini alacaksınız.
Adım adım örnekler - türev nasıl bulunur
Örnek 3. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Fonksiyon ifadesinin bölümlerini tanımlarız: ifadenin tamamı bir çarpımı temsil eder ve faktörleri toplamlardır; ikincisinde terimlerden biri sabit bir faktör içerir. Çarpım farklılaşma kuralını uyguluyoruz: iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımlarının diğerinin türevine göre toplamına eşittir:
Daha sonra, toplamın türev alma kuralını uyguluyoruz: Cebirsel fonksiyonların toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir. Bizim durumumuzda, her toplamın ikinci teriminde bir eksi işareti vardır. Her toplamda hem türevi bire eşit olan bağımsız bir değişken hem de türevi sıfıra eşit olan bir sabit (sayı) görüyoruz. Yani “X” bire, eksi 5 ise sıfıra dönüşüyor. İkinci ifadede "x" 2 ile çarpıldığından ikiyi "x"in türeviyle aynı birim ile çarpıyoruz. Türevlerin aşağıdaki değerlerini elde ederiz:
Bulunan türevleri çarpımların toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği tüm fonksiyonun türevini elde ederiz:
Örnek 4. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Bölümün türevini bulmamız gerekiyor. Bölümün türevini almak için formülü uyguluyoruz: iki fonksiyonun bölümünün türevi, payı paydanın çarpımları ile payın türevi ve pay ile payın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir. payda ve payda önceki payın karesidir. Şunu elde ederiz:
Örnek 2'de paydaki faktörlerin türevini zaten bulmuştuk. Mevcut örnekte payda ikinci faktör olan çarpımın eksi işaretiyle alındığını da unutmayalım:
Bir fonksiyonun türevini bulmanız gereken, sürekli bir kök ve kuvvet yığınının bulunduğu sorunlara çözüm arıyorsanız, örneğin, 
, o zaman sınıfa hoş geldiniz "Kuvvetleri ve kökleri olan kesirlerin toplamlarının türevi" .
Sinüs, kosinüs, teğet ve diğer trigonometrik fonksiyonların türevleri hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız, yani fonksiyon şu şekilde görünür: o zaman sana bir ders "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" .
Örnek 5. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Bu fonksiyonda, türev tablosunda türevine aşina olduğumuz, faktörlerinden biri bağımsız değişkenin karekökü olan bir çarpım görüyoruz. Çarpımı ve karekök türevinin tablo değerini farklılaştırma kuralını kullanarak şunu elde ederiz:
Örnek 6. Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Bu fonksiyonda, payı bağımsız değişkenin karekökü olan bir bölüm görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uyguladığımız bölümlerin farklılaşma kuralını ve karekök türevinin tablolaştırılmış değerini kullanarak şunu elde ederiz:
Paydaki kesirden kurtulmak için pay ve paydayı ile çarpın.
İLE “Türev” konulu materyallerin düzenlenmesi. Temel okul seviyesi.
Matematikte öğrenciler, öğretmenler ve öğretmenler için teorik bilgiler. Derslerin yürütülmesine yardımcı olmak.
Tanım: bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun artışının değişkenin artışına oranının limitidir, yani
Temel matematiksel fonksiyonların türevleri tablosu:
Türevlerin hesaplanmasına ilişkin kurallar
Bir toplamın türevi herhangi iki ifade bu ifadelerin türevlerinin toplamına eşittir (toplamın türevi türevlerin toplamına eşittir)
Farkın türevi herhangi iki ifade bu terimlerin türevlerinin farkına eşittir (farkın türevi, türevlerin farkına eşittir).
Ürünün türevi iki faktör, birinci faktör ile ikincinin türevinin çarpımı artı birinci faktörün ve ikincinin türevinin çarpımına (sırasıyla alınan faktörlerin türevlerinin toplamına) eşittir.
Matematik öğretmeni yorumu: Bir öğrenciye bir çarpımın türevini hesaplama kuralını kısaca hatırlattığımda şunu söylüyorum: birinci faktörün ikinci artıya göre türevi vuruşları değiştirin!
Bölümün türevi iki ifade, sırasıyla alınan faktörlerin türevleri ile paydanın karesi arasındaki farkın bölümüne eşittir.
Bir sayı ile bir fonksiyonun çarpımının türevi. Bir sayının ve bir değişmez ifadenin (fonksiyonun) çarpımının türevini bulmak için, bu sayıyı bu değişmez ifadenin türeviyle çarpmanız gerekir.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi:
Karmaşık bir fonksiyonun türevini hesaplamak için dış fonksiyonun türevini bulmanız ve bunu iç fonksiyonun türeviyle çarpmanız gerekir.
Türevler sayfasındaki yorumlarınız ve geri bildirimleriniz:
Alexander S.
Gerçekten bir masaya ihtiyacım vardı. İnternetteki en popülerlerden biri. Açıklamalar ve kurallar için de çok teşekkür ederim. En azından bir örnek daha onlar için harika olurdu. Tekrar çok teşekkür ederim.
Kolpakov A.N., matematik öğretmeni: tamam, yakın gelecekte sayfayı örneklerle güncellemeye çalışacağım.
Sanal matematik referans kitabı.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, matematik öğretmeni.
Tanımı takip ederseniz, bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, Δ fonksiyonunun artış oranının limitidir. sen argüman artışına Δ X:
Her şey açık görünüyor. Ancak fonksiyonun türevini hesaplamak için bu formülü kullanmayı deneyin. F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X günah X. Her şeyi tanımı gereği yaparsanız, birkaç sayfalık hesaplamalardan sonra uykuya dalacaksınız. Bu nedenle daha basit ve etkili yollar var.
Başlangıç olarak, tüm fonksiyon çeşitliliğinden, temel fonksiyonlar olarak adlandırılanları ayırt edebildiğimizi not ediyoruz. Bunlar, türevleri uzun süredir hesaplanan ve tabloya eklenen nispeten basit ifadelerdir. Bu tür fonksiyonların türevleriyle birlikte hatırlanması oldukça kolaydır.
Temel fonksiyonların türevleri
Temel işlevler aşağıda listelenenlerin tamamıdır. Bu fonksiyonların türevlerinin ezbere bilinmesi gerekir. Üstelik bunları ezberlemek hiç de zor değil; bu yüzden temel düzeydedirler.
Yani, temel fonksiyonların türevleri:
| İsim | İşlev | Türev |
| Devamlı | F(X) = C, C ∈ R | 0 (evet, sıfır!) |
| Rasyonel üslü kuvvet | F(X) = X N | N · X N − 1 |
| Sinüs | F(X) = günah X | çünkü X |
| Kosinüs | F(X) = çünkü X | −günah X(eksi sinüs) |
| Teğet | F(X) = tg X | 1/çünkü 2 X |
| Kotanjant | F(X) = ctg X | − 1/günah 2 X |
| Doğal logaritma | F(X) = günlük X | 1/X |
| Keyfi logaritma | F(X) = günlük A X | 1/(X içinde A) |
| Üstel fonksiyon | F(X) = e X | e X(hiçbirşey değişmedi) |
Bir temel fonksiyon keyfi bir sabitle çarpılırsa, yeni fonksiyonun türevi de kolaylıkla hesaplanır:
(C · F)’ = C · F ’.
Genel olarak sabitler türevin işaretinden çıkarılabilir. Örneğin:
(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .
Açıkçası, temel işlevler birbirine eklenebilir, çarpılabilir, bölünebilir ve çok daha fazlası yapılabilir. Artık özellikle temel olmayan, aynı zamanda belirli kurallara göre farklılaştırılmış yeni işlevler bu şekilde ortaya çıkacak. Bu kurallar aşağıda tartışılmaktadır.
Toplam ve farkın türevi
Fonksiyonlar verilsin F(X) Ve G(X), türevleri tarafımızca bilinmektedir. Örneğin yukarıda tartışılan temel işlevleri alabilirsiniz. Daha sonra bu fonksiyonların toplamının ve farkının türevini bulabilirsiniz:
- (F + G)’ = F ’ + G ’
- (F − G)’ = F ’ − G ’
Yani iki fonksiyonun toplamının (farkının) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Daha fazla şart olabilir. Örneğin, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.
Açıkça söylemek gerekirse cebirde “çıkarma” kavramı yoktur. “Negatif unsur” diye bir kavram var. Bu nedenle fark F − G toplam olarak yeniden yazılabilir F+ (−1) G ve sonra yalnızca bir formül kalır - toplamın türevi.
F(X) = X 2 + günah x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.
İşlev F(X) iki temel fonksiyonun toplamıdır, dolayısıyla:
F ’(X) = (X 2 + günah X)’ = (X 2)’ + (günah X)’ = 2X+ çünkü x;
İşlev için de benzer şekilde mantık yürütüyoruz G(X). Sadece zaten üç terim var (cebir açısından):
G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).
Cevap:
F ’(X) = 2X+ çünkü x;
G ’(X) = 4X · ( X
2 + 1).
Ürünün türevi
Matematik mantıksal bir bilimdir, pek çok kişi bir toplamın türevinin türevlerin toplamına eşit olması durumunda çarpımın türevinin alınacağına inanır. çarpmak">türevlerin çarpımına eşittir. Ama canınız cehenneme! Bir çarpımın türevi tamamen farklı bir formül kullanılarak hesaplanır. Yani:
(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’
Formül basit ama sıklıkla unutuluyor. Ve sadece okul çocukları değil, öğrenciler de. Sonuç yanlış çözülmüş problemlerdir.
Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(X) = X 3 çünkü x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .
İşlev F(X) iki temel fonksiyonun ürünüdür, dolayısıyla her şey basittir:
F ’(X) = (X 3 çünkü X)’ = (X 3) çünkü X + X 3 (çünkü X)’ = 3X 2 çünkü X + X 3 (−sin X) = X 2 (3cos X − X günah X)
İşlev G(X) ilk çarpan biraz daha karmaşıktır ancak genel şema değişmez. Açıkçası, fonksiyonun ilk faktörü G(X) bir polinomdur ve türevi toplamın türevidir. Sahibiz:
G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .
Cevap:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X günah X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e
X
.
Lütfen son adımda türevin çarpanlara ayrıldığını unutmayın. Resmi olarak bunun yapılmasına gerek yoktur, ancak çoğu türev kendi başına hesaplanmaz, fonksiyonu incelemek için hesaplanır. Bu, türevin ayrıca sıfıra eşitleneceği, işaretlerinin belirleneceği vb. anlamına gelir. Böyle bir durumda, bir ifadenin çarpanlara ayrılması daha iyidir.
İki fonksiyon varsa F(X) Ve G(X), Ve G(X) ≠ 0 ilgilendiğimiz kümede yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz H(X) = F(X)/G(X). Böyle bir fonksiyonun türevini de bulabilirsiniz:
Zayıf değil, değil mi? Eksi nereden geldi? Neden G 2? Ve bunun gibi! Bu en karmaşık formüllerden biridir; şişe olmadan çözemezsiniz. Bu nedenle spesifik örneklerle incelemek daha iyidir.
Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun:
Her kesrin payı ve paydası temel fonksiyonlar içerir, bu nedenle ihtiyacımız olan tek şey bölümün türevinin formülüdür:
Geleneğe göre, payı çarpanlara ayıralım - bu, cevabı büyük ölçüde basitleştirecektir:
Karmaşık bir fonksiyonun mutlaka yarım kilometre uzunluğunda bir formül olması gerekmez. Örneğin fonksiyonu almanız yeterli F(X) = günah X ve değişkeni değiştirin X diyelim ki X 2 + ln X. Bu işe yarayacak F(X) = günah ( X 2 + ln X) - bu karmaşık bir fonksiyondur. Onun da bir türevi var ama yukarıda tartışılan kuralları kullanarak onu bulmak mümkün olmayacak.
Ne yapmalıyım? Bu gibi durumlarda, karmaşık bir fonksiyonun türevi için bir değişkeni ve formülü değiştirmek yardımcı olur:
F ’(X) = F ’(T) · T', Eğer Xşununla değiştirilir: T(X).
Kural olarak, bu formülün anlaşılmasındaki durum, bölümün türevinden daha da üzücüdür. Bu nedenle, bunu belirli örneklerle ve her adımın ayrıntılı bir açıklamasıyla açıklamak daha iyidir.
Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = günah ( X 2 + ln X)
Fonksiyonda ise şunu unutmayın F(X) ifade 2 yerine X+3 kolay olacak X sonra temel bir fonksiyon elde ederiz F(X) = e X. Bu nedenle bir değişiklik yapıyoruz: 2 olsun X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Aşağıdaki formülü kullanarak karmaşık bir fonksiyonun türevini ararız:
F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’
Ve şimdi - dikkat! Ters değiştirme işlemini gerçekleştiriyoruz: T = 2X+ 3. Şunu elde ederiz:
F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3
Şimdi fonksiyona bakalım G(X). Açıkçası değiştirilmesi gerekiyor X 2 + ln X = T. Sahibiz:
G ’(X) = G ’(T) · T' = (günah T)’ · T' = çünkü T · T ’
Ters değiştirme: T = X 2 + ln X. Daha sonra:
G ’(X) = çünkü ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = çünkü ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).
Bu kadar! Son ifadeden de anlaşılacağı üzere bütün sorun türev toplamının hesaplanmasına indirgenmiştir.
Cevap:
F ’(X) = 2 · e
2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) çünkü ( X 2 + ln X).
Derslerimde sıklıkla "türev" terimi yerine "asal" kelimesini kullanıyorum. Örneğin, toplamın vuruşu vuruşların toplamına eşittir. Bu daha açık mı? Tamam bu harika.
Dolayısıyla türevi hesaplamak, yukarıda tartışılan kurallara göre aynı vuruşlardan kurtulmak anlamına gelir. Son bir örnek olarak rasyonel üslü türev gücüne dönelim:
(X N)’ = N · X N − 1
Bu rolde çok az kişi bunu biliyor N kesirli bir sayı olabilir. Örneğin, kök X 0,5. Ya kökün altında süslü bir şey varsa? Sonuç yine karmaşık bir işlev olacaktır - bu tür yapıları testlerde ve sınavlarda vermeyi severler.
Görev. Fonksiyonun türevini bulun:
Öncelikle kökü rasyonel üssü olan bir kuvvet olarak yeniden yazalım:
F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .
Şimdi bir değişiklik yapıyoruz: izin ver X 2 + 8X − 7 = T. Türevi aşağıdaki formülü kullanarak buluyoruz:
F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' · T' = 0,5 · T−0,5 · T ’.
Ters değiştirme işlemini yapalım: T = X 2 + 8X− 7. Elimizde:
F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .
Son olarak köklere dönelim:
Bu derste fonksiyonların türevlerini incelemeye devam ediyoruz ve daha ileri bir konuya, yani çarpımların ve bölümlerin türevlerine geçiyoruz. Önceki dersi izlediyseniz muhtemelen yalnızca en basit yapıları, yani bir kuvvet fonksiyonunun türevini, toplamını ve farkını dikkate aldığımızı fark etmişsinizdir. Özellikle, bir toplamın türevinin toplamlarına eşit olduğunu ve bir farkın türevinin sırasıyla farklarına eşit olduğunu öğrendik. Maalesef bölüm ve çarpım türevleri durumunda formüller çok daha karmaşık olacaktır. Fonksiyonların çarpımının türevinin formülüyle başlayacağız.
Trigonometrik fonksiyonların türevleri
Başlangıç olarak küçük bir lirik inceleme yapayım. Gerçek şu ki, standart kuvvet fonksiyonuna - $y=((x)^(n))$ ek olarak, bu derste $y=\sin x$ ve $ gibi diğer fonksiyonlarla da karşılaşacağız. y=\ cos x$ ve diğer trigonometri - $y=tgx$ ve tabii ki $y=ctgx$.
Eğer hepimiz bir kuvvet fonksiyonunun türevini çok iyi biliyorsak, yani $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, o zaman Trigonometrik fonksiyonlardan ayrıca bahsetmek gerekir. Hadi yazalım:
\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
Ama siz bu formülleri çok iyi biliyorsunuz, devam edelim.
Bir ürünün türevi nedir?
İlk olarak, en önemli şey: Eğer bir fonksiyon diğer iki fonksiyonun çarpımı ise, örneğin $f\cdot g$, o zaman bu yapının türevi aşağıdaki ifadeye eşit olacaktır:
Gördüğünüz gibi bu formül, daha önce incelediğimiz formüllerden önemli ölçüde farklı ve daha karmaşıktır. Örneğin, bir toplamın türevi temel bir şekilde hesaplanır - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$ veya türevi aynı zamanda temel bir şekilde hesaplanan bir fark - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.
Problemde bize verilen iki fonksiyonun türevlerini hesaplamak için ilk formülü uygulamaya çalışalım. İlk örnekle başlayalım:
Açıkçası, aşağıdaki yapı bir çarpım, daha doğrusu çarpan görevi görüyor: $((x)^(3))$, bunu $f$ ve $\left(x-5 \right) olarak düşünebiliriz. $'ı $g$ olarak düşünebiliriz. O zaman ürünleri tam olarak iki fonksiyonun ürünü olacaktır. Biz karar veriyoruz:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \) sağ))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(hizala)\].
Şimdi her bir terimimize daha yakından bakalım. Hem birinci hem de ikinci terimde $x$ kuvvetinin olduğunu görüyoruz: ilk durumda bu $((x)^(2))$, ikinci durumda ise $((x)^(3) ))$. Parantez içinde bırakarak en küçük dereceyi parantezlerden çıkaralım:
\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2) ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(hizala)\]
İşte bu, cevabı bulduk.
Sorunlarımıza dönelim ve çözmeye çalışalım:
O halde yeniden yazalım:
Yine, iki fonksiyonun çarpımının çarpımından bahsettiğimize dikkat edelim: $f$ ile gösterilebilen $x$ ve $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, $g$ ile gösterilir.
Böylece yine iki fonksiyonun çarpımı elde edilmiş olur. $f\left(x \right)$ fonksiyonunun türevini bulmak için yine formülümüzü kullanacağız. Şunu elde ederiz:
\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]
Cevap bulundu.
Neden faktör türevleri?
Az önce türevlerle ilgili olmayan, ancak onların bilgisi olmadan çok önemli birkaç matematiksel gerçeği kullandık, bu konuyla ilgili daha fazla çalışmanın hiçbir anlamı yok.
Öncelikle ilk problemi çözüp türevlerin tüm işaretlerinden kurtulduktan sonra, bir nedenden dolayı bu ifadeyi çarpanlarına ayırmaya başladık.
İkinci olarak, aşağıdaki problemi çözerken, ayrı ayrı tekrarlamaya değer olan 8-9. sınıf formülünü kullanarak kökten rasyonel üslü kuvvete ve geriye doğru birkaç kez geçtik.
Çarpanlara ayırmayla ilgili olarak tüm bu ek çabalara ve dönüşümlere neden ihtiyaç duyuldu? Aslında problem basitçe "bir fonksiyonun türevini bulun" diyorsa bu ek adımlara gerek yoktur. Ancak her türlü sınav ve testte sizi bekleyen gerçek problemlerde sadece türevi bulmak çoğu zaman yeterli değildir. Gerçek şu ki, türev yalnızca bir fonksiyonun artışını veya azalmasını öğrenebileceğiniz bir araçtır ve bunun için denklemi çözmeniz ve onu çarpanlara ayırmanız gerekir. Ve bu tekniğin çok uygun olacağı yer burasıdır. Ve genel olarak, herhangi bir dönüşüm gerekiyorsa gelecekte çarpanlara ayrılmış bir fonksiyonla çalışmak çok daha rahat ve keyifli. Bu nedenle kural 1: Eğer türev çarpanlarına ayrılabiliyorsa, yapmanız gereken de budur. Ve hemen 2 numaralı kural (esasen bu 8-9. sınıf materyalidir): eğer problem bir kök içeriyorsa N-inci derece ve kök açıkça ikiden büyükse, bu kökün yerini rasyonel bir üsle sıradan bir derece alabilir ve üs içinde bir kesir görünecektir; N- tam da bu derece - bu kesrin paydasında olacaktır.
Tabii kökün altında bir derece varsa (bizim durumumuzda bu derecedir) k), o zaman hiçbir yere gitmez, sadece bu derecenin payına düşer.
Artık bunları anladığınıza göre çarpımın türevlerine geri dönelim ve birkaç denklem daha hesaplayalım.
Ancak doğrudan hesaplamalara geçmeden önce aşağıdaki kalıpları hatırlatmak isterim:
\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
İlk örneği ele alalım:
Yine iki fonksiyonun çarpımı var: birincisi $f$, ikincisi $g$. Formülü hatırlatayım:
\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]
Karar verelim:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]
Gelelim ikinci fonksiyona:
Yine, $\left(3x-2 \right)$ $f$'ın bir fonksiyonudur, $\cos x$ $g$'ın bir fonksiyonudur. Toplamda iki fonksiyonun çarpımının türevi şuna eşit olacaktır:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]
Ayrı ayrı yazalım:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]
Bu ifadeyi çarpanlara ayırmıyoruz çünkü bu henüz nihai cevap değil. Şimdi ikinci kısmı çözmemiz gerekiyor. Bunu yazalım:
\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]
Şimdi asıl görevimize dönelim ve her şeyi tek bir yapıda bir araya getirelim:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]
İşte bu, bu son cevap.
Son örneğe geçelim - hesaplamalar açısından en karmaşık ve en hacimli olacak. Yani bir örnek:
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]
Her parçayı ayrı ayrı sayıyoruz:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \sağ))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Orijinal fonksiyona dönersek türevini bir bütün olarak hesaplayalım:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2))))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Aslında türev çalışmalarla ilgili size anlatmak istediğim tek şey buydu. Gördüğünüz gibi formüldeki asıl sorun onu ezberlemek değil, oldukça fazla miktarda hesaplama içermesidir. Ama sorun değil, çünkü şimdi gerçekten çok çalışmamız gereken bölüm türevine geçiyoruz.
Bir bölümün türevi nedir?
Yani bölümün türevinin formülü. Bu belki de okuldaki türev dersindeki en karmaşık formüldür. Diyelim ki $\frac(f)(g)$ biçiminde bir fonksiyonumuz var; burada $f$ ve $g$ aynı zamanda asal sayıyı da kaldırabileceğimiz fonksiyonlardır. Daha sonra aşağıdaki formüle göre hesaplanacaktır:
Pay bize bir bakıma çarpımın türev formülünü hatırlatıyor ama terimler arasında eksi işareti var ve orijinal paydanın karesi de paydaya eklenmiş. Bunun pratikte nasıl çalıştığını görelim:
Çözmeye çalışalım:
\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left) (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]
Her bölümü ayrı ayrı yazıp şunları yazmanızı öneririm:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ sağ))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\son(hizala)\]
İfademizi yeniden yazalım:
\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2))))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right) ))^(2)))) \\\end(hizala)\]
Cevabı bulduk. Gelelim ikinci fonksiyona:
Payı sadece bir olduğu için buradaki hesaplamalar biraz daha basit olacaktır. O halde şunu yazalım:
\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))))(( (\left(((x)^(2))+4 \right))^(2))))\]
Örneğin her bölümünü ayrı ayrı hesaplayalım:
\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]
İfademizi yeniden yazalım:
\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \sağ))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]
Cevabı bulduk. Beklendiği gibi, hesaplama miktarının ilk fonksiyona göre önemli ölçüde daha az olduğu ortaya çıktı.
Tanımlamalar arasındaki fark nedir?
Dikkatli öğrencilerin muhtemelen zaten bir sorusu vardır: Neden bazı durumlarda fonksiyonu $f\left(x \right)$ olarak belirtiyoruz ve diğer durumlarda sadece $y$ yazıyoruz? Aslında matematik açısından kesinlikle hiçbir fark yoktur - hem birinciyi hem de ikinciyi kullanma hakkına sahipsiniz ve sınavlarda veya testlerde herhangi bir ceza alınmayacaktır. Hâlâ ilgilenenler için, ders kitaplarının ve problemlerin yazarlarının neden bazı durumlarda $f\left(x \right)$ yazdıklarını ve diğerlerinde (çok daha sık) - sadece $y$ yazdıklarını açıklayacağım. Gerçek şu ki, \ biçiminde bir fonksiyon yazarak, hesaplamalarımızı okuyanlara, özellikle fonksiyonel bağımlılığın cebirsel yorumundan bahsettiğimizi dolaylı olarak ima ediyoruz. Yani belli bir $x$ değişkeni var, bu değişkene olan bağımlılığı dikkate alıyoruz ve onu $f\left(x \right)$ olarak gösteriyoruz. Aynı zamanda, böyle bir atamayı gören, hesaplamalarınızı okuyan kişi, örneğin müfettiş, bilinçaltında gelecekte onu yalnızca cebirsel dönüşümlerin beklediğini bekleyecektir - grafik yok ve geometri yok.
Öte yandan, \ biçimindeki notasyonları kullanarak, yani bir değişkeni tek bir harfle göstererek, gelecekte fonksiyonun geometrik yorumuyla ilgilendiğimizi, yani öncelikle ilgilendiğimizi hemen açıkça ortaya koyarız. hepsi grafiğinde. Buna göre, okuyucunun formun bir kaydıyla karşılaştığında grafik hesaplamalar, yani grafikler, yapılar vb. bekleme hakkı vardır, ancak hiçbir durumda analitik dönüşümler beklenmez.
Bugün ele aldığımız görevlerin tasarımının bir özelliğine de dikkatinizi çekmek isterim. Pek çok öğrenci hesaplamaları çok detaylı verdiğimi ve birçoğunun atlanabileceğini ya da basitçe kafalarında çözülebileceğini düşünüyor. Bununla birlikte, saldırgan hatalardan kurtulmanıza ve örneğin testler veya sınavlar için kendi kendine hazırlık durumunda, doğru çözülen sorunların yüzdesini önemli ölçüde artırmanıza olanak tanıyan tam da bu kadar ayrıntılı bir kayıttır. Bu nedenle, yeteneklerinizden hala emin değilseniz, bu konuyu çalışmaya yeni başlıyorsanız acele etmeyin - her adımı ayrıntılı olarak açıklayın, her faktörü, her vuruşu yazın ve çok yakında bu tür örnekleri daha iyi çözmeyi öğreneceksiniz. birçok okul öğretmeninden daha fazla. Umarım açık olmuştur. Birkaç örnek daha sayalım.
Birkaç ilginç görev
Bu sefer, gördüğümüz gibi, hesaplanan türevlerde trigonometri mevcut. Bu nedenle şunu hatırlatmama izin verin:
\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]
Elbette bölümün türevi olmadan yapamayız:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2))))\]
İlk fonksiyonu ele alalım:
\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2))))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\bit(hizala)\]
Böylece bu ifadeye bir çözüm bulduk.
İkinci örneğe geçelim:
Açıkçası, bu fonksiyonun hem payında hem de paydasında trigonometri mevcut olduğu için türevi daha karmaşık olacaktır. Biz karar veriyoruz:
\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))))(((\left(\cos x \right)) ^(2))))\]
Ürünün bir türevine sahip olduğumuzu unutmayın. Bu durumda şuna eşit olacaktır:
\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \) sağ))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]
Hesaplamalarımıza dönelim. Şunları yazıyoruz:
\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(hizala)\]
Bu kadar! Matematiği yaptık.
Bir bölümün türevi, bir ürünün türevi için basit bir formüle nasıl indirgenir?
Ve burada trigonometrik fonksiyonlarla ilgili çok önemli bir açıklama yapmak istiyorum. Gerçek şu ki, orijinal yapımız $\frac(\sin x)(\cos x)$ biçiminde bir ifade içerir ve bu ifade kolayca $tgx$ ile değiştirilebilir. Böylece bir bölümün türevini, bir çarpımın türevi için daha basit bir formüle indirgemiş oluyoruz. Bu örneği tekrar hesaplayalım ve sonuçları karşılaştıralım.
O halde şimdi şunları dikkate almamız gerekiyor:
\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
Bu gerçeği hesaba katarak orijinal fonksiyonumuzu $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ yeniden yazalım. Şunu elde ederiz:
Hadi sayalım:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]
Şimdi elde edilen sonucu daha önce farklı bir şekilde hesaplarken aldığımız sonuçla karşılaştırırsak aynı ifadeyi aldığımıza ikna olacağız. Yani türev hesabında hangi yöne gidersek gidelim her şey doğru hesaplanırsa cevap aynı olacaktır.
Sorunları çözerken önemli nüanslar
Sonuç olarak size bir bölümün türevinin hesaplanmasıyla ilgili bir incelikten daha bahsetmek istiyorum. Şimdi anlatacaklarım video dersinin orijinal senaryosunda yoktu. Ancak çekimlerden birkaç saat önce öğrencilerimden biriyle çalışıyordum ve sadece bölüm türevleri konusunu tartışıyorduk. Ve ortaya çıktığı gibi, birçok öğrenci bu noktayı anlamıyor. Diyelim ki aşağıdaki fonksiyonun kaldırma vuruşunu hesaplamamız gerekiyor:
Prensip olarak, ilk bakışta bunda doğaüstü hiçbir şey yok. Ancak hesaplama sürecinde pek çok aptalca ve saldırgan hata yapabiliriz, bunu şimdi tartışmak istiyorum.
Bu türevi hesaplıyoruz. Öncelikle $3((x)^(2))$ terimine sahip olduğumuzu not edelim, dolayısıyla aşağıdaki formülü hatırlamamız yerinde olacaktır:
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Ek olarak, $\frac(48)(x)$ terimine sahibiz - bunu bölümün türevi aracılığıyla ele alacağız, yani:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2))))\]
O halde şuna karar verelim:
\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]
İlk dönemde herhangi bir sorun yok, bakınız:
\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]
Ancak ilk terim olan $\frac(48)(x)$ ile ayrı ayrı çalışmanız gerekir. Gerçek şu ki, birçok öğrenci $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ bulmaları gerektiğinde ve $((\left) bulmaları gerektiğinde durumu karıştırıyor (\frac (48)(x) \sağ))^(\prime ))$. Yani, sırasıyla sabit payda olduğunda ve sabit payda olduğunda, değişken payda veya paydada olduğunda kafaları karışır.
İlk seçenekle başlayalım:
\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]
Öte yandan aynı şeyi ikinci kesir için de yapmaya çalışırsak şunu elde ederiz:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right) ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(hizalama)\]
Ancak aynı örnek farklı şekilde de hesaplanabilir: bölümün türevine geçtiğimiz aşamada $\frac(1)(x)$'ı negatif üslü bir kuvvet olarak ele alabiliriz, yani aşağıdaki sonucu elde ederiz: :
\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(-) 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1) )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]
Ve böylece aynı cevabı aldık.
Böylece iki önemli gerçeğe bir kez daha ikna olduk. İlk olarak, aynı türev tamamen farklı şekillerde hesaplanabilir. Örneğin, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ hem bir bölümün türevi hem de bir kuvvet fonksiyonunun türevi olarak düşünülebilir. Üstelik tüm hesaplamalar doğru yapılırsa cevap her zaman aynı olacaktır. İkinci olarak, hem değişken hem de sabit içeren türevleri hesaplarken, değişkenin payda veya paydada nerede bulunduğu temel olarak önemlidir. İlk durumda değişken payda olduğunda kolayca hesaplanabilen basit bir doğrusal fonksiyon elde ederiz. Ve eğer değişken paydadaysa, daha önce verilen hesaplamalarla daha karmaşık bir ifade elde ederiz.
Bu noktada ders tamamlanmış sayılabilir, dolayısıyla bir bölümün veya çarpımın türevleri hakkında hiçbir şey anlamıyorsanız ve genel olarak bu konuyla ilgili herhangi bir sorunuz varsa tereddüt etmeyin - web siteme gidin , yazın, arayın, size yardımcı olabilir miyim diye mutlaka deneyeceğim.
Türevler karmaşık bir konu değildir ancak çok kapsamlıdır ve şu anda üzerinde çalıştığımız şeyler gelecekte daha karmaşık problemleri çözerken kullanılacaktır. Bu nedenle bir bölümün veya çarpımın türevlerinin hesaplanmasıyla ilgili tüm yanlış anlamaları hemen şimdi tespit etmek daha iyidir. Büyük bir yanlış anlama kartopu olduklarında değil, başa çıkması kolay küçük bir tenis topu olduklarında.
Türev bilgisi ve onu hesaplama yöntemleri olmadan fiziksel problemleri veya matematikteki örnekleri çözmek tamamen imkansızdır. Türev matematiksel analizdeki en önemli kavramlardan biridir. Bugünkü makalemizi bu temel konuya ayırmaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlamı nedir, bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: Türev nasıl anlaşılır?
Türevin geometrik ve fiziksel anlamı
Bir fonksiyon olsun f(x) , belirli bir aralıkta belirtilir (a, b) . x ve x0 noktaları bu aralığa aittir. X değiştiğinde fonksiyonun kendisi de değişir. Argümanı değiştirme - değerlerindeki fark x-x0 . Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, bir fonksiyonun iki noktadaki değerleri arasındaki farktır. Türevin tanımı:
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun belirli bir noktadaki artışının, argümanın sıfıra yaklaştığı durumdaki artışına oranının limitidir.
Aksi takdirde şu şekilde yazılabilir:
Böyle bir sınır bulmanın amacı nedir? Ve işte şu:
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni arasındaki açının belirli bir noktadaki fonksiyonun grafiğine olan teğetine eşittir.
Türevin fiziksel anlamı: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.
Aslında okul günlerinden beri herkes hızın belirli bir yol olduğunu biliyor x=f(t) ve zaman T . Belirli bir süredeki ortalama hız:
Belirli bir andaki hareketin hızını bulmak için t0 limiti hesaplamanız gerekir:
Birinci kural: bir sabit belirleyin
Sabit türev işaretinden çıkarılabilir. Üstelik bunun yapılması gerekiyor. Matematikteki örnekleri çözerken bunu kural olarak alın - Bir ifadeyi basitleştirebiliyorsanız, onu basitleştirdiğinizden emin olun. .
Örnek. Türevini hesaplayalım:
İkinci kural: Fonksiyonların toplamının türevi
İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı durum fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.
Bu teoremin kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örnek ele alacağız.
Fonksiyonun türevini bulun:
Üçüncü kural: Fonksiyonların çarpımının türevi
İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:
Örnek: Bir fonksiyonun türevini bulun:
Çözüm: 
Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanmasından bahsetmek önemlidir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin ve ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin çarpımına eşittir.
Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:
Bu durumda ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için, önce dış fonksiyonun ara argümana göre türevini hesaplarız ve ardından ara argümanın bağımsız değişkene göre türevini çarparız.
Kural dört: iki fonksiyonun bölümünün türevi
İki fonksiyonun bölümünün türevini belirlemek için formül:
Sıfırdan aptallar için türevler hakkında konuşmaya çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değil, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde sıklıkla tuzaklar bulunur, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.
Bu ve diğer konularla ilgili sorularınız için öğrenci hizmetleriyle iletişime geçebilirsiniz. Kısa sürede, daha önce hiç türev hesaplama yapmamış olsanız bile, en zor testi çözmenize ve görevleri anlamanıza yardımcı olacağız.
