Các tính chất của tam giác cân được thể hiện bằng các định lý sau.
Định lý 1. Trong một tam giác cân, các góc ở đáy bằng nhau.
Định lý 2. Trong một tam giác cân, đường phân giác kéo về đáy là đường trung tuyến và đường cao.
Định lý 3. Trong một tam giác cân, đường trung tuyến kéo về đáy là đường phân giác và đường cao.
Định lý 4. Trong một tam giác cân, đường cao hạ xuống là đường phân giác và đường trung tuyến.
Chúng ta hãy chứng minh một trong số chúng, ví dụ Định lý 2.5.
Bằng chứng. Xét tam giác cân ABC có đáy BC và chứng minh ∠ B = ∠ C. Giả sử AD là phân giác của tam giác ABC (Hình 1). Tam giác ABD và ACD bằng nhau theo dấu thứ nhất đẳng thức của tam giác (AB = AC theo điều kiện, AD là cạnh chung, ∠ 1 = ∠ 2, vì AD là phân giác). Từ sự bằng nhau của các tam giác này suy ra ∠ B = ∠ C. Định lý đã được chứng minh.
Sử dụng Định lý 1, định lý sau được thiết lập.
Định lý 5. Tiêu chuẩn thứ ba về sự bằng nhau của các tam giác. Nếu ba cạnh của một tam giác này lần lượt bằng ba cạnh của tam giác kia thì các tam giác đó bằng nhau (Hình 2).
Bình luận. Các câu trong ví dụ 1 và 2 thể hiện tính chất đường trung trực của một đoạn. Từ những đề xuất này suy ra rằng các đường phân giác của các cạnh của tam giác cắt nhau tại một điểm.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng một điểm trong mặt phẳng cách đều hai đầu của một đoạn thẳng thì nằm trên đường phân giác của đoạn đó.
Giải pháp. Đặt điểm M cách đều hai đầu đoạn AB (Hình 3), tức là AM = BM.
Khi đó Δ AMV là cân. Vẽ đường thẳng p đi qua M và trung điểm O của đoạn AB. Theo cách xây dựng, đoạn MO là đường trung bình của tam giác cân AMB, và do đó (Định lý 3), và chiều cao, tức là đường thẳng MO, là đường trung trực của đoạn AB.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng mỗi điểm của đường trung trực của một đoạn đều cách đều hai đầu của đoạn đó.
Giải pháp. Gọi p là đường trung trực của đoạn AB và điểm O là trung điểm của đoạn AB (xem Hình 3).
Xét một điểm M tùy ý nằm trên đường thẳng p. Hãy vẽ các đoạn AM và BM. Tam giác AOM và BOM bằng nhau vì các góc của chúng ở đỉnh O vuông, chân OM chung và chân OA bằng chân OB theo điều kiện. Từ đẳng thức của các tam giác AOM và BOM suy ra AM = BM.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC (xem hình 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; trong tam giác DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
So sánh tam giác ABC và DEF. Tìm các góc bằng nhau tương ứng.
Giải pháp. Các tam giác này bằng nhau theo tiêu chí thứ ba. Tương ứng, các góc bằng nhau: A và E (nằm đối diện các cạnh bằng nhau BC và FD), B và F (nằm đối diện các cạnh bằng nhau AC và DE), C và D (nằm đối diện bằng nhau AB và EF).
Ví dụ 4. Trong Hình 5, AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Tìm góc D.
Giải pháp. Xét các tam giác ABC và ADC. Chúng bằng nhau theo tiêu chí thứ ba (AB = DC, BC = AD theo điều kiện và cạnh AC là chung). Từ sự bằng nhau của các tam giác này, suy ra ∠ B = ∠ D, nhưng góc B bằng 100°, nghĩa là góc D bằng 100°.
Ví dụ 5. Cho tam giác cân ABC có đáy AC, góc ngoài tại đỉnh C là 123°. Tìm độ lớn của góc ABC. Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.
Giải pháp video.
Các nhà sử học đầu tiên của nền văn minh của chúng ta - những người Hy Lạp cổ đại - đã đề cập đến Ai Cập là nơi khai sinh ra hình học. Thật khó để không đồng ý với họ khi biết những ngôi mộ khổng lồ của các pharaoh đã được dựng lên với độ chính xác đáng kinh ngạc. Sự sắp xếp tương đối của các mặt phẳng của kim tự tháp, tỷ lệ của chúng, hướng của chúng đến các điểm chính - sẽ không thể đạt được sự hoàn hảo như vậy nếu không biết những điều cơ bản về hình học.
Bản thân từ “hình học” có thể được dịch là “phép đo của trái đất”. Hơn nữa, từ “trái đất” không xuất hiện dưới dạng một hành tinh - một phần hệ mặt trời, nhưng như một chiếc máy bay. Đánh dấu khu vực cần bảo trì Nông nghiệp, rất có thể, là cơ sở ban đầu của khoa học về các hình hình học, các loại và tính chất của chúng.
Hình tam giác là hình không gian đơn giản nhất của phép đo mặt phẳng, chỉ chứa ba điểm - đỉnh (không có ít hơn). Cơ sở của những nền tảng, có lẽ vì thế mà trong anh dường như có điều gì đó huyền bí và cổ xưa. Con mắt có khả năng nhìn thấy mọi thứ bên trong một hình tam giác là một trong những dấu hiệu huyền bí được biết đến sớm nhất và địa lý phân bố cũng như khung thời gian của nó đơn giản là đáng kinh ngạc. Từ nền văn minh Ai Cập cổ đại, Sumer, Aztec và các nền văn minh khác cho đến những cộng đồng hiện đại hơn gồm những người yêu thích những điều huyền bí nằm rải rác trên toàn cầu.
Hình tam giác là gì?
Một tam giác cân thông thường là một hình hình học khép kín bao gồm ba đoạn có độ dài và ba góc khác nhau, không có đoạn nào đúng. Ngoài ra còn có một số loại đặc biệt.
Một tam giác nhọn có tất cả các góc nhỏ hơn 90 độ. Nói cách khác, tất cả các góc của một tam giác như vậy đều nhọn.
Một tam giác vuông, mà học sinh luôn khóc vì vô số định lý, có một góc 90 độ hay còn gọi là một đường thẳng.
Một tam giác tù được phân biệt bởi thực tế là một trong các góc của nó bị tù, nghĩa là kích thước của nó lớn hơn 90 độ.
Một tam giác đều có ba cạnh có độ dài bằng nhau. Trong hình như vậy, tất cả các góc cũng bằng nhau.
Và cuối cùng, một tam giác cân có ba cạnh, hai cạnh bằng nhau.
Tính năng đặc biệt
Các tính chất của một tam giác cân cũng quyết định sự khác biệt chính, chính của nó - sự bằng nhau của hai cạnh. Những cạnh bằng nhau này thường được gọi là hông (hoặc thường xuyên hơn là hai bên) và cạnh thứ ba được gọi là “đế”.
Trong hình đang xét, a = b.
Tiêu chí thứ hai cho một tam giác cân được rút ra từ định lý sin. Vì cạnh a và b bằng nhau nên sin của các góc đối diện của chúng bằng nhau:
a/sin γ = b/sin α, từ đó ta có: sin γ = sin α.
Từ sự bằng nhau của các sin dẫn đến sự bằng nhau của các góc: γ = α.
Vì vậy, dấu hiệu thứ hai của tam giác cân là sự bằng nhau của hai góc kề đáy.
Dấu hiệu thứ ba. Trong một tam giác có các yếu tố như đường cao, đường phân giác và đường trung tuyến.
Nếu trong quá trình giải bài toán, trong tam giác đang xét, bất kỳ hai phần tử nào trong số này trùng nhau: chiều cao với đường phân giác; đường phân giác có đường trung tuyến; đường trung tuyến với chiều cao - chúng ta có thể kết luận chắc chắn rằng tam giác đó là tam giác cân.
Tính chất hình học của một hình
1. Tính chất của tam giác cân. Một trong những đặc điểm nổi bật của hình là sự bằng nhau của các góc kề với đáy:
<ВАС = <ВСА.
2. Một tính chất nữa đã được thảo luận ở trên: đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao trong một tam giác cân trùng nhau nếu chúng được dựng từ đỉnh đến đáy.
3. Tính đẳng thức của các đường phân giác vẽ từ các đỉnh ở đáy:
Nếu AE là phân giác của góc BAC, CD là phân giác của góc BCA thì: AE = DC.
4. Các tính chất của một tam giác cân cũng quy định sự bằng nhau của các đường cao tính từ các đỉnh ở đáy.
Nếu chúng ta dựng các đường cao của tam giác ABC (trong đó AB = BC) từ đỉnh A và C thì các đoạn CD và AE sẽ bằng nhau.
5. Các đường trung tuyến vẽ từ các góc ở đáy cũng sẽ bằng nhau.
Vì vậy, nếu AE và DC là trung tuyến, nghĩa là AD = DB và BE = EC thì AE = DC.
Chiều cao của một tam giác cân
Sự bằng nhau của các cạnh và các góc với chúng đưa ra một số tính năng khi tính độ dài của các phần tử của hình đang xét.
Độ cao trong một tam giác cân chia hình thành 2 hình tam giác vuông đối xứng, các cạnh huyền nằm ở hai bên. Chiều cao trong trường hợp này được xác định theo định lý Pythagore như một cái chân.
Một tam giác có thể có ba cạnh bằng nhau thì gọi là tam giác đều. Chiều cao trong một tam giác đều được xác định theo cách tương tự, chỉ để tính toán, chỉ cần biết một giá trị - độ dài cạnh của tam giác này là đủ.
Bạn có thể xác định chiều cao theo một cách khác, ví dụ, bằng cách biết đáy và góc kề với nó.
Đường trung bình của một tam giác cân
Loại tam giác đang được xem xét, do đặc điểm hình học của nó, có thể được giải khá đơn giản bằng cách sử dụng một bộ dữ liệu ban đầu tối thiểu. Vì đường trung tuyến trong một tam giác cân bằng cả chiều cao và đường phân giác của nó nên thuật toán xác định nó không khác gì quy trình tính các phần tử này.
Ví dụ: bạn có thể xác định độ dài của đường trung tuyến bằng cạnh bên đã biết và độ lớn của góc đỉnh.
Cách xác định chu vi
Vì hai cạnh của hình phẳng đang xét luôn bằng nhau nên để xác định chu vi, chỉ cần biết chiều dài đáy và chiều dài một cạnh là đủ.
Hãy xem xét một ví dụ khi bạn cần xác định chu vi của một hình tam giác bằng cách sử dụng đáy và chiều cao đã biết.
Chu vi bằng tổng độ dài đáy và gấp đôi chiều dài cạnh. Ngược lại, cạnh bên được xác định bằng định lý Pythagore là cạnh huyền của một tam giác vuông. Chiều dài của nó bằng căn bậc hai của tổng bình phương chiều cao và bình phương nửa đáy.
Diện tích của một tam giác cân
Theo nguyên tắc, việc tính diện tích của tam giác cân không gây khó khăn. Tất nhiên, quy tắc chung để xác định diện tích của một hình tam giác bằng một nửa tích của đáy và chiều cao của nó có thể áp dụng được trong trường hợp của chúng ta. Tuy nhiên, các đặc tính của tam giác cân lại khiến công việc trở nên dễ dàng hơn.
Giả sử rằng chiều cao và góc kề với đáy đã biết. Cần phải xác định diện tích của hình. Điều này có thể được thực hiện theo cách này.
Vì tổng các góc của một tam giác bất kỳ là 180° nên không khó để xác định kích thước của góc đó. Tiếp theo, sử dụng tỷ lệ được biên soạn theo định lý sin, độ dài đáy của tam giác được xác định. Mọi thứ, chân đế và chiều cao - đủ dữ liệu để xác định diện tích - đều có sẵn.
Các tính chất khác của tam giác cân
Vị trí tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác cân phụ thuộc vào độ lớn của góc ở đỉnh. Vì vậy, nếu một tam giác cân là nhọn thì tâm của đường tròn nằm bên trong hình.
Tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác cân tù nằm bên ngoài đường tròn đó. Và cuối cùng, nếu góc ở đỉnh là 90° thì tâm nằm chính xác ở giữa đáy và đường kính của đường tròn đi qua chính đáy.
Để xác định bán kính của một đường tròn ngoại tiếp một tam giác cân, chỉ cần chia chiều dài của cạnh đó cho hai lần cosin của một nửa góc ở đỉnh là đủ.
Trong số tất cả các hình tam giác, có hai loại đặc biệt: tam giác vuông và tam giác cân. Tại sao những loại hình tam giác này lại đặc biệt đến vậy? Chà, trước tiên, những hình tam giác như vậy cực kỳ thường xuyên trở thành nhân vật chính trong các bài toán của Kỳ thi Thống nhất ở phần đầu tiên. Và thứ hai, các bài toán về tam giác vuông và tam giác cân dễ giải hơn nhiều so với các bài toán hình học khác. Bạn chỉ cần biết một vài quy tắc và tính chất. Tất cả những điều thú vị nhất sẽ được thảo luận trong chủ đề tương ứng, nhưng bây giờ chúng ta hãy xem xét các tam giác cân. Và trước hết, tam giác cân là gì? Hoặc, như các nhà toán học nói, định nghĩa của tam giác cân là gì?
Xem nó trông như thế nào:
Giống như tam giác vuông, tam giác cân có tên đặc biệt cho các cạnh của nó. Hai cạnh bằng nhau gọi là bên, và bên thứ ba - nền tảng.
Và một lần nữa chú ý đến hình ảnh:
Tất nhiên nó có thể như thế này:
Vì vậy hãy cẩn thận: bên bên - một trong hai bên bằng nhau trong một tam giác cân và cơ sở là bên thứ ba.
Tại sao tam giác cân lại tốt như vậy? Để hiểu điều này, hãy vẽ chiều cao đến đáy. Bạn có nhớ chiều cao là bao nhiêu không?
Chuyện gì đã xảy ra thế? Từ một tam giác cân ta có hai hình chữ nhật.
Điều này đã tốt rồi, nhưng điều này sẽ xảy ra ở bất kỳ tam giác nào, kể cả tam giác “xiên” nhất.
Hình ảnh của một tam giác cân có gì khác biệt? Nhìn lại:
Chà, trước tiên, tất nhiên, chỉ nhìn thôi là chưa đủ đối với những nhà toán học kỳ lạ này - họ chắc chắn phải chứng minh. Nếu không, đột nhiên những hình tam giác này hơi khác một chút, nhưng chúng ta sẽ coi chúng giống nhau.
Nhưng đừng lo lắng: trong trường hợp này, việc chứng minh gần như dễ dàng như việc nhìn thấy.
Chúng ta bắt đầu nhé? Nhìn kỹ, chúng ta có:
Và điều đó có nghĩa! Tại sao? Vâng, chúng ta sẽ chỉ cần tìm và, và từ định lý Pythagore (đồng thời nhớ rằng)
Bạn có chắc không? Bây giờ chúng ta có
Và trên ba cạnh - dấu hiệu (thứ ba) dễ nhất của sự bằng nhau của các hình tam giác.
Chà, tam giác cân của chúng ta đã chia thành hai hình chữ nhật giống hệt nhau.
Bạn thấy nó thú vị thế nào? Hóa ra nó như thế này:
Các nhà toán học thường nói về điều này như thế nào? Hãy đi theo thứ tự:
(Ở đây hãy nhớ rằng đường trung tuyến là đường thẳng vẽ từ một đỉnh chia cạnh đó làm đôi và đường phân giác là góc.)
Chà, ở đây chúng ta đã thảo luận về những điều tốt đẹp có thể thấy nếu có một tam giác cân. Chúng ta suy ra rằng trong một tam giác cân, các góc ở đáy bằng nhau và chiều cao, đường phân giác và đường trung tuyến của đáy trùng nhau.
Và bây giờ một câu hỏi khác được đặt ra: làm thế nào để nhận biết một tam giác cân? Đó là, như các nhà toán học nói, cái gì là dấu hiệu của tam giác cân?
Và hóa ra bạn chỉ cần “xoay chuyển” tất cả các câu nói theo hướng ngược lại. Tất nhiên, điều này không phải lúc nào cũng xảy ra, nhưng một tam giác cân vẫn là một điều tuyệt vời! Điều gì xảy ra sau “doanh thu”?
Nhìn có vẻ tốt:
Nếu chiều cao và đường trung tuyến trùng nhau thì:
Nếu đường cao và đường phân giác trùng nhau thì: 
Nếu đường phân giác và đường trung tuyến trùng nhau thì:
Chà, đừng quên và sử dụng:
- Nếu bạn được cho một tam giác cân, hãy thoải mái vẽ đường cao, lấy hai tam giác vuông và giải bài toán về một tam giác vuông.
- Nếu cho điều đó hai góc bằng nhau, thì một hình tam giác chính xác cân và bạn có thể vẽ chiều cao và….(Ngôi nhà mà Jack xây dựng…).
- Nếu chiều cao được chia đôi thì tam giác đó là cân với tất cả các phần thưởng tiếp theo.
- Nếu chiều cao chia góc giữa các tầng - thì đó cũng là cân đối!
- Nếu đường phân giác chia một cạnh làm đôi hoặc đường trung tuyến chia một góc thì điều này cũng xảy ra chỉ một trong một tam giác cân
Hãy xem nó trông như thế nào trong các nhiệm vụ.
Vấn đề 1(điều đơn giản nhất)
Trong một tam giác, các cạnh bằng nhau a. Tìm thấy.
Chúng tôi quyết định:
Đầu tiên là bản vẽ.
Cơ sở ở đây là gì? Chắc chắn, .
Chúng ta hãy nhớ những gì nếu, sau đó và.
Bản vẽ cập nhật:
Hãy ký hiệu bằng. Tổng các góc của một tam giác là bao nhiêu? ?
Chúng tôi sử dụng:
Đó là trả lời: .
Không khó phải không? Tôi thậm chí không phải điều chỉnh chiều cao.
Vấn đề 2(Cũng không khó lắm nhưng chúng ta cần nhắc lại chủ đề)
Trong một tam giác, . Tìm thấy.
Chúng tôi quyết định:
Tam giác là cân! Chúng tôi vẽ chiều cao (đây là thủ thuật mà mọi thứ sẽ được quyết định ngay bây giờ).
Bây giờ chúng ta hãy “vượt qua cuộc sống”, hãy nhìn vào nó.
Vì vậy chúng tôi có:
Chúng ta hãy nhớ các giá trị bảng của cosin (tốt, hoặc nhìn vào bảng cheat ...)
Tất cả những gì còn lại là tìm: .
Trả lời: .
Lưu ý rằng chúng tôi ở đây Rất kiến thức cần thiết về tam giác vuông và các sin và cosin “dạng bảng”. Điều này rất thường xuyên xảy ra: các chủ đề “Tam giác cân” và các vấn đề đi cùng nhau, nhưng lại không mấy thân thiện với các chủ đề khác.
Tam giác cân. Mức độ trung bình.
Những cái này hai cạnh bằng nhauđược gọi là bên, MỘT cạnh thứ ba là đáy của một tam giác cân.
Nhìn vào hình: và - các cạnh, - đáy của tam giác cân.
Hãy sử dụng một hình ảnh để hiểu tại sao điều này xảy ra. Hãy vẽ chiều cao từ một điểm.
Điều này có nghĩa là tất cả các phần tử tương ứng đều bằng nhau.
Tất cả! Bằng một cú ngã (độ cao), họ đã chứng minh tất cả các phát biểu cùng một lúc.
Và hãy nhớ: để giải một bài toán về tam giác cân, việc hạ chiều cao xuống đáy của tam giác cân và chia nó thành hai tam giác vuông bằng nhau thường rất hữu ích.
Dấu hiệu của tam giác cân
Các phát biểu ngược lại cũng đúng:
Hầu như tất cả những tuyên bố này một lần nữa có thể được chứng minh “chỉ trong một cú trượt ngã”.
1. Vì vậy, let in hóa ra bằng và.
Hãy kiểm tra chiều cao. Sau đó
2. a) Bây giờ hãy cho vào một số hình tam giác đường cao và đường phân giác trùng nhau.
2. b) Và nếu chiều cao và đường trung tuyến trùng nhau? Mọi thứ gần như giống nhau, không phức tạp hơn!
 |
- ở hai bên |
2. c) Nhưng nếu không có chiều cao, được hạ xuống đáy của một tam giác cân, thì ban đầu không có tam giác vuông nào. Tệ!
Nhưng có một lối thoát - hãy đọc nó ở cấp độ tiếp theo của lý thuyết, vì bằng chứng ở đây phức tạp hơn, nhưng bây giờ chỉ cần nhớ rằng nếu đường trung tuyến và đường phân giác trùng nhau thì tam giác cũng sẽ trở thành tam giác cân, và chiều cao sẽ vẫn trùng với các đường phân giác và đường trung tuyến này.
Hãy tóm tắt:
- Nếu tam giác cân thì các góc ở đáy bằng nhau và đường cao, đường phân giác và đường trung tuyến của đáy trùng nhau.
- Nếu trong một tam giác nào đó có hai góc bằng nhau hoặc hai trong ba đường thẳng (đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Tam giác cân. Mô tả ngắn gọn và công thức cơ bản
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Dấu hiệu của tam giác cân:
- Nếu trong một tam giác nào đó có hai góc bằng nhau thì đó là tam giác cân.
- Nếu trong một tam giác nào đó chúng trùng nhau:
MỘT) chiều cao và đường phân giác hoặc
b) chiều cao và trung vị hoặc
V) đường trung tuyến và đường phân giác,
kéo về một phía thì tam giác đó là tam giác cân.
2/3 BÀI VIẾT CÒN LẠI CHỈ DÀNH CHO BẠN HỌC VIÊN!
Trở thành sinh viên YouClever,
Chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất hoặc Kỳ thi Toán Thống nhất với giá “một tách cà phê mỗi tháng”,
Và còn có quyền truy cập không giới hạn vào sách giáo khoa “YouClever”, chương trình luyện thi “100gia” (sách bài tập), dùng thử không giới hạn Kỳ thi cấp bang thống nhất và Kỳ thi cấp bang thống nhất, 6000 bài toán phân tích lời giải và các dịch vụ khác của YouClever và 100gia.
