Bắt đầu trong khoa học. Công trình nghiên cứu “công thức đỉnh” Công thức tính diện tích hình bằng ô

Nội dung tác phẩm được đăng tải không có hình ảnh, công thức.
Phiên bản đầy đủ công việc có sẵn trong tab "Tệp công việc" ở định dạng PDF

Giới thiệu

Tôi là học sinh lớp 6. Tôi bắt đầu học hình học từ năm ngoái vì tôi học ở trường bằng sách giáo khoa “Toán học. Môn số học. Hình học” do E.A. Bunimovich, L.V. Kuznetsova, S.S. Minaeva và những người khác.

Chủ đề được quan tâm nhiều nhất là “Diện tích các hình” và “Viết công thức”. Tôi nhận thấy rằng diện tích của những hình giống nhau có thể được tìm thấy những cách khác. Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta thường phải đối mặt với vấn đề tìm kiếm không gian. Ví dụ: tìm diện tích sàn sẽ phải sơn. Thật tò mò vì để mua đủ số lượng giấy dán tường cần thiết để cải tạo, bạn cần biết kích thước của căn phòng, tức là. khu vực tường. Việc tính diện tích hình vuông, hình chữ nhật và hình tam giác vuông không gây khó khăn gì cho tôi.

Bắt đầu quan tâm đến chủ đề này, tôi bắt đầu tìm kiếm thêm tài liệu trên Internet. Kết quả tìm kiếm của tôi, tôi đã tìm thấy công thức của Pick - đây là công thức tính diện tích của một đa giác được vẽ trên giấy ca rô. Đối với tôi, dường như bất kỳ học sinh nào cũng có thể tính diện tích bằng công thức này. Chính vì vậy tôi quyết định thực hiện công việc nghiên cứu.

Sự liên quan của chủ đề:

Chủ đề này là sự bổ sung và đào sâu nghiên cứu của khóa học hình học.

Nghiên cứu chủ đề này sẽ giúp bạn chuẩn bị tốt hơn cho các kỳ thi Olympic và kỳ thi.

Mục tiêu của công việc:

Làm quen với công thức Peak.

Nắm vững các kỹ thuật giải các bài toán hình học bằng công thức Pick.

Hệ thống hóa và tổng hợp các tài liệu lý thuyết và thực tiễn.

Mục tiêu nghiên cứu:

Kiểm tra tính hiệu quả và khả thi của việc sử dụng công thức khi giải bài toán.

Tìm hiểu cách áp dụng công thức Đỉnh trong các bài toán có độ phức tạp khác nhau.

So sánh các vấn đề được giải quyết bằng công thức Pick và phương pháp truyền thống.

Phần chính

1.1. Tài liệu tham khảo lịch sử

Georg Alexander Pieck - Nhà toán học người Áo, sinh ngày 10 tháng 8 năm 1859. Anh là một đứa trẻ có năng khiếu, được dạy dỗ bởi cha mình, người đứng đầu một học viện tư nhân. Năm 16 tuổi, Georg tốt nghiệp ra trường và vào Đại học Vienna. Năm 20 tuổi, ông nhận được quyền dạy vật lý và toán học. Công thức xác định diện tích của lưới đa giác đã mang lại cho ông danh tiếng trên toàn thế giới. Ông đã công bố công thức của mình trong một bài báo vào năm 1899. Nó trở nên phổ biến khi nhà khoa học người Ba Lan Hugo Steinhaus đưa nó vào ấn phẩm năm 1969 về các bức ảnh toán học.

Georg Pieck được đào tạo tại Đại học Vienna và bảo vệ bằng tiến sĩ năm 1880. Sau khi nhận bằng tiến sĩ, ông được bổ nhiệm làm trợ lý cho Ernest Mach tại Đại học Scherl-Ferdinand ở Praha. Ở đó, ông trở thành một giáo viên. Ông ở lại Praha cho đến khi nghỉ hưu vào năm 1927 rồi trở lại Vienna.

Pick làm chủ tịch ủy ban tại Đại học Praha của Đức và bổ nhiệm Einstein làm giáo sư tại khoa vật lý toán học vào năm 1911.

Ông được bầu làm thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học và Nghệ thuật Séc, nhưng bị trục xuất sau khi Đức Quốc xã chiếm Praha.

Khi Đức Quốc xã tiến vào Áo vào ngày 12 tháng 3 năm 1938, ông trở lại Praha. Vào tháng 3 năm 1939, Đức Quốc xã xâm chiếm Tiệp Khắc. Vào ngày 13 tháng 7 năm 1942, Pieck bị trục xuất đến trại Theresienstadt do Đức Quốc xã thành lập ở miền bắc Bohemia, nơi ông qua đời hai tuần sau đó ở tuổi 82.

1.2. Nghiên cứu và chứng minh

Tôi bắt đầu công việc nghiên cứu của mình bằng cách đặt câu hỏi: tôi có thể tìm thấy những lĩnh vực nào của hình? Tôi có thể tạo một công thức để tính diện tích của các hình tam giác và tứ giác khác nhau. Nhưng còn các đa giác năm, sáu và nói chung thì sao?

Trong quá trình nghiên cứu trên nhiều trang web khác nhau, tôi đã thấy giải pháp cho các vấn đề liên quan đến việc tính diện tích của các đa giác năm, sáu và các đa giác khác. Công thức cho phép giải những bài toán này được gọi là công thức Pick. Cô ấy trông như thế này :S =B+G/2-1, Ở đâu TRONG- số nút nằm bên trong đa giác, G- số nút nằm trên ranh giới của đa giác. Điểm đặc biệt của công thức này là nó chỉ có thể được sử dụng cho các đa giác được vẽ trên giấy ca-rô.

Bất kỳ đa giác nào như vậy đều có thể dễ dàng chia thành các hình tam giác có đỉnh ở các nút mạng và không chứa nút nào ở bên trong hoặc ở hai bên. Có thể chỉ ra rằng diện tích của tất cả các hình tam giác này đều bằng nhau và bằng ½, và do đó diện tích của đa giác bằng một nửa số của chúng T.

Để tìm số này, chúng ta hãy biểu thị bằng n số cạnh của đa giác, bằng TRONG- số lượng nút bên trong nó, thông qua G- số nút ở các cạnh, bao gồm cả các đỉnh. Tổng các góc của tất cả các tam giác là 180°. T.

Bây giờ hãy tìm tổng theo cách khác.

Tổng các góc với đỉnh tại bất kỳ nút bên trong nào là 2,180°, tức là tổng các góc là 360°. TRONG; tổng các góc của các nút ở hai bên nhưng không ở các đỉnh là ( Gn)180° và tổng các góc ở các đỉnh của đa giác sẽ bằng ( G-2)180°. Như vậy, T= 2,180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Bằng cách mở dấu ngoặc và chia cho 360°, chúng ta thu được công thức tính diện tích S của một đa giác, được gọi là công thức Pick.

2. Phần thực hành

Tôi quyết định thử nghiệm công thức này trên các tác vụ từ bộ sưu tập OGE-2017. Giải các bài toán tính diện tích hình tam giác, tứ giác và ngũ giác. Tôi quyết định so sánh các câu trả lời, giải theo hai cách: 1) bổ sung các hình thành hình chữ nhật và trừ diện tích của các hình tam giác vuông khỏi diện tích của hình chữ nhật thu được; 2) áp dụng công thức Pick.

S = 18-1,5-4,5 = 12 và S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 và S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 =49 và S = 43+14/2-1 = 49

Sau khi so sánh kết quả, tôi kết luận rằng cả hai công thức đều cho cùng một câu trả lời. Việc tìm diện tích của một hình bằng công thức Pick hóa ra nhanh hơn và dễ dàng hơn vì có ít phép tính hơn. Sự dễ dàng trong giải pháp và tiết kiệm thời gian tính toán sẽ rất hữu ích cho tôi sau này khi thi OGE.

Điều này thôi thúc tôi kiểm tra khả năng áp dụng công thức Pick cho các số liệu phức tạp hơn.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Phần kết luận

Công thức Peak rất dễ hiểu và dễ sử dụng. Đầu tiên, chỉ cần có khả năng đếm, chia cho 2, cộng và trừ. Thứ hai, bạn có thể tìm diện tích của một hình phức tạp mà không tốn nhiều thời gian. Thứ ba, công thức này áp dụng được cho mọi đa giác.

Điểm bất lợi là Công thức chọn chỉ áp dụng cho các hình được vẽ trên giấy ca rô và có các đỉnh nằm trên các nút của tờ giấy ca rô.

Tôi tin chắc rằng khi vượt qua các kỳ thi cuối kỳ, các bài toán tính diện tích các hình sẽ không gây khó khăn. Suy cho cùng thì tôi đã quen với công thức Peak.

Thư mục

Bunimovich E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. và những thứ khác. Môn số học. Hình học. Lớp 5: giáo dục. cho giáo dục phổ thông các tổ chức với adj. mỗi điện tử nhà cung cấp dịch vụ - tái bản lần thứ 3. - M.: Education, 2014.- 223, p. : ốm. - (Quả cầu).

Bunimovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. và những thứ khác. Môn số học. Hình học. Lớp 6: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức-ấn bản thứ 5-M.: Giáo dục, 2016.-240 tr. : bệnh.- (Quả cầu).

Vasiliev N.B. Xung quanh công thức Pick. //Kvant.- 1974.-Số 2. -p.39-43

Rassolov V.V. Các vấn đề trong phép đo mặt phẳng. / tái bản lần thứ 5, rev. Và bổ sung - M.: 2006.-640s.

I.V. Yashchenko.OGE. Toán: các phương án thi tiêu chuẩn: O-39 36 phương án - M.: Nhà xuất bản Giáo dục Quốc gia, 2017. -240 tr. - (OGE. FIPI-trường).

“Tôi sẽ giải OGE”: toán học. Hệ thống đào tạo của Dmitry Gushchin. OGE-2017: nhiệm vụ, đáp án, giải pháp [Tài nguyên điện tử]. Chế độ truy cập: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (ngày truy cập 04/02/2017)

Có một công thức tuyệt vời cho phép bạn tính toán diện tích của đa giác trên lưới tọa độ hầu như không có lỗi. Nó thậm chí không phải là một công thức, nó là sự thật. định lý. Thoạt nhìn, nó có vẻ phức tạp. Nhưng nó đủ để giải quyết một số vấn đề và bạn sẽ hiểu tính năng này thú vị như thế nào. Vậy thì cứ đi!

Đầu tiên, hãy giới thiệu một định nghĩa mới:

Nút lưới là bất kỳ điểm nào nằm ở giao điểm của các đường thẳng đứng và nằm ngang của lưới đó.

Chỉ định:

Trong hình ảnh đầu tiên, các nút không được đánh dấu chút nào. Cái thứ hai hiển thị 4 nút. Cuối cùng, hình ảnh thứ ba hiển thị tất cả 16 nút.

Điều này liên quan thế nào đến nhiệm vụ B5? Thực tế là các đỉnh của đa giác trong những bài toán như vậy Luôn luôn nằm ở các nút lưới. Kết quả là, định lý sau đây có tác dụng với họ:

Định lý. Xét một đa giác trên lưới tọa độ, các đỉnh của nó nằm ở các nút của lưới này. Khi đó diện tích của đa giác là:

Trong đó n là số nút bên trong một đa giác nhất định, k là số nút nằm trên đường viền của nó (các nút viền).

Ví dụ, hãy xem xét một tam giác thông thường trên lưới tọa độ và cố gắng đánh dấu các nút bên trong và ranh giới.

Hình ảnh đầu tiên cho thấy một hình tam giác bình thường. Hình ảnh thứ hai hiển thị các nút bên trong của nó, số lượng là n = 10. Hình ảnh thứ ba hiển thị các nút nằm trên ranh giới, tổng cộng có k = 6.

Có thể nhiều bạn đọc chưa rõ cách đếm các số n và k. Bắt đầu với các nút bên trong. Mọi thứ đều rõ ràng ở đây: vẽ hình tam giác bằng bút chì và xem có bao nhiêu nút được che phủ.

Các nút ranh giới phức tạp hơn một chút. Đường viền đa giác - đa tuyến đóng, giao lưới tọa độ tại nhiều điểm. Cách dễ nhất là đánh dấu một số điểm “bắt đầu” và sau đó đi vòng quanh phần còn lại.

Các nút biên sẽ chỉ là những điểm trên đường đa tuyến mà chúng đồng thời giao nhau ba dòng:

Thực ra đó là một đường đứt đoạn;
Đường lưới ngang;
Đường dọc.

Chúng ta hãy xem tất cả điều này hoạt động như thế nào trong các vấn đề thực tế.

Nhiệm vụ. Tìm diện tích của hình tam giác nếu kích thước ô là 1 x 1 cm:

Trước tiên, hãy đánh dấu các nút nằm bên trong hình tam giác cũng như trên đường viền của nó:

Hóa ra chỉ có một nút bên trong: n = 1. Có tới sáu nút biên: ba nút trùng nhau có đỉnh tam giác, và ba cái nữa nằm ở hai bên. Tổng số k = 6.

Bây giờ chúng ta tính diện tích bằng công thức:

Đó là tất cả! Vấn đề đã được giải quyết.

Nhiệm vụ. Tìm diện tích của một hình tứ giác được vẽ trên giấy ca rô có kích thước ô 1 cm x 1 cm, đưa ra câu trả lời của bạn bằng cm vuông.

Một lần nữa, đánh dấu các nút bên trong và ranh giới. Chỉ có n = 2 nút bên trong. K = 7 nút biên, trong đó có 4 nút các đỉnh của tứ giác, và 3 cái nữa nằm ở hai bên.

Vẫn còn phải thay thế các số n và k vào công thức tính diện tích:

chú ý đến ví dụ cuối cùng. Nhiệm vụ này thực sự đã được đề xuất trong quá trình chẩn đoán vào năm 2012. Nếu bạn làm việc theo sơ đồ tiêu chuẩn, bạn sẽ phải thực hiện rất nhiều công trình bổ sung. Và với phương pháp thắt nút, mọi việc gần như được giải quyết bằng lời nói.

Lưu ý quan trọng về các khu vực

Nhưng công thức không phải là tất cả. Hãy viết lại công thức một chút, thêm các số hạng ở vế phải đến một mẫu số chung. Chúng tôi nhận được:

Các số n và k là số nút, chúng luôn là số nguyên. Điều này có nghĩa là toàn bộ tử số cũng là một số nguyên. Chúng tôi chia nó cho 2, điều này dẫn đến một thực tế quan trọng:

Diện tích luôn được thể hiện số nguyên hoặc phân số. Hơn nữa, ở cuối phân số luôn có “năm phần mười”: 10,5; 17,5, v.v.

Như vậy, diện tích trong bài toán B5 luôn được biểu diễn dưới dạng số nguyên hoặc phân số có dạng ***,5. Nếu câu trả lời khác thì có nghĩa là đã sai ở đâu đó. Hãy nhớ điều này khi bạn tham gia Kỳ thi Toán học thực sự của Bang Thống nhất!

Gibadullina G.I. (Nurlat, trường trung học số 1 MAOU)

1. Bunimovich E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. và những thứ khác. Môn số học. Hình học. Lớp 5: giáo dục. cho giáo dục phổ thông các tổ chức với adj. mỗi điện tử nhà cung cấp dịch vụ - 3rd ed. – M.: Giáo dục, 2014. – 223, tr. : ốm. – (Quả cầu).

2. Bunimovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. và những thứ khác. Môn số học. Hình học. Lớp 6: giáo dục. cho giáo dục phổ thông các tổ chức. tái bản lần thứ 5. – M.: Giáo dục, 2016. – 240 trang.: bệnh. – (Quả cầu).

3. Vasiliev N.B. Xung quanh công thức Pick // Quantum. – 1974. – Số 2. – trang 39–43.

4. Rassolov V.V. Các vấn đề trong phép đo mặt phẳng. tái bản lần thứ 5, rev. và bổ sung – M.: 2006. – 640 tr.

5. Yashchenko I.V. OGE. Toán: các phương án thi tiêu chuẩn: O-39 36 phương án - M.: Nhà xuất bản "Giáo dục Quốc gia", 2017. - 240 tr. - (OGE. FIPI - trường học).

6. Tôi sẽ giải OGE: toán học. Hệ thống đào tạo của Dmitry Gushchin. OGE-2017: nhiệm vụ, đáp án, giải pháp [Tài nguyên điện tử]. – Chế độ truy cập: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (ngày truy cập 04/02/2017).

Chủ đề được quan tâm nhiều nhất là “Diện tích các hình” và “Viết công thức”. Tôi nhận thấy rằng diện tích của những hình giống nhau có thể được tìm theo nhiều cách khác nhau. Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta thường phải đối mặt với vấn đề tìm kiếm không gian. Ví dụ: tìm diện tích sàn sẽ phải sơn. Thật tò mò vì để mua đủ số lượng giấy dán tường cần thiết để cải tạo, bạn cần biết kích thước của căn phòng, tức là. khu vực tường. Việc tính diện tích hình vuông, hình chữ nhật và hình tam giác vuông không gây khó khăn gì cho tôi.

Sự liên quan của chủ đề. Chủ đề này là sự bổ sung và đào sâu nghiên cứu của khóa học hình học.

Nghiên cứu chủ đề này sẽ giúp bạn chuẩn bị tốt hơn cho các kỳ thi Olympic và kỳ thi.

Mục tiêu của công việc:

1. Làm quen với công thức Pick.

2. Nắm vững kỹ thuật giải các bài toán hình học bằng công thức Pick.

3. Hệ thống hóa, khái quát hóa các tài liệu lý luận và thực tiễn.

Mục tiêu nghiên cứu:

1. Kiểm tra tính hiệu quả, khả thi của việc sử dụng công thức khi giải bài toán.

2. Học cách áp dụng công thức Pick trong các bài toán có độ phức tạp khác nhau.

3. So sánh các bài toán được giải bằng công thức Pick và phương pháp truyền thống.

Phần chính

Tài liệu tham khảo lịch sử

Georg Alexander Pieck - Nhà toán học người Áo, sinh ngày 10/8. Anh là một đứa trẻ có năng khiếu, được dạy dỗ bởi cha mình, người đứng đầu một học viện tư nhân. Năm 16 tuổi, Georg tốt nghiệp ra trường và vào Đại học Vienna. Năm 20 tuổi, ông nhận được quyền dạy vật lý và toán học. Công thức xác định diện tích của lưới đa giác đã mang lại cho ông danh tiếng trên toàn thế giới. Ông đã công bố công thức của mình trong một bài báo vào năm 1899. Nó trở nên phổ biến khi nhà khoa học người Ba Lan Hugo Steinhaus đưa nó vào ấn phẩm năm 1969 về các bức ảnh toán học.

Pick làm chủ tịch ủy ban tại Đại học Praha của Đức và bổ nhiệm Einstein làm giáo sư tại khoa vật lý toán học vào năm 1911.

Ông được bầu làm thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học và Nghệ thuật Séc, nhưng bị trục xuất sau khi Đức Quốc xã chiếm Praha.

Nghiên cứu và chứng minh

Trong quá trình nghiên cứu trên nhiều trang web khác nhau, tôi đã thấy giải pháp cho các vấn đề liên quan đến việc tính diện tích của các đa giác năm, sáu và các đa giác khác. Công thức cho phép giải những bài toán này được gọi là công thức Pick. Nó trông như thế này: S=B+G/2-1, trong đó B là số nút nằm bên trong đa giác, G là số nút nằm trên đường viền của đa giác. Điểm đặc biệt của công thức này là nó chỉ có thể được sử dụng cho các đa giác được vẽ trên giấy ca-rô.

Để tìm số này, chúng ta hãy ký hiệu n là số cạnh của đa giác, B là số nút bên trong nó và bằng G là số nút trên các cạnh, bao gồm cả các đỉnh. Tổng các góc của tất cả các tam giác là 180°. T.

Bây giờ hãy tìm tổng theo cách khác.

Tổng các góc với đỉnh tại bất kỳ nút bên trong nào là 2,180°, tức là tổng các góc là 360°. TRONG; tổng các góc tại các nút ở các cạnh chứ không phải ở các đỉnh, bằng (Г - n)180°, và tổng các góc tại các đỉnh của một đa giác sẽ bằng (Г - 2)180° . Do đó, T=2,180°. B+(G-n)180°+(n-2)180°. Bằng cách mở dấu ngoặc và chia cho 360°, chúng ta thu được công thức tính diện tích S của một đa giác, được gọi là công thức Pick.

Phần thực hành

S = 18-1,5-4,5 = 12 và S = 7+12/2-1= 12.

S = 24-9-3 = 12 và S = 7+12/2-1 = 12.

S = 77-7,5-12-4,5-4 =49 và S = 43+14/2-1 = 49.

Điều này thôi thúc tôi kiểm tra khả năng áp dụng công thức Pick cho các số liệu phức tạp hơn.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Phần kết luận

Điểm bất lợi là Công thức chọn chỉ áp dụng cho các hình được vẽ trên giấy ca rô và có các đỉnh nằm trên các nút của tờ giấy ca rô.

Tôi tin chắc rằng khi vượt qua các kỳ thi cuối kỳ, các bài toán tính diện tích các hình sẽ không gây khó khăn. Suy cho cùng thì tôi đã quen với công thức Peak.

Liên kết thư mục

Gabbazov N.N. CÔNG THỨC ĐỈNH // Bắt đầu trong khoa học. – 2017. – Số 6-1. – P. 130-132;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=908 (ngày truy cập: 03/05/2020).

Wiktionary có một mục dành cho "pike" Pike Trong chiến tranh: Pike là một loại vũ khí xuyên thấu lạnh lùng, một loại giáo dài. Pikemen là một loại lính bộ binh trong quân đội châu Âu vào thế kỷ 16 và đầu thế kỷ 18. Pickelhelm (p... Wikipedia

Định lý Pick (hình học tổ hợp)- В=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Định lý Pick là kết quả kinh điển của hình học tổ hợp và hình học của số. Diện tích của đa giác có số nguyên ... Wikipedia

Tam giác- Thuật ngữ này còn có ý nghĩa khác, xem Tam giác (ý nghĩa). Một hình tam giác (trong không gian Euclide) là một hình hình học được hình thành bởi ba đoạn nối ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng. Ba dấu chấm,... ... Wikipedia

Hình thang- Thuật ngữ này còn có ý nghĩa khác, xem Hình thang (ý nghĩa). Hình thang (từ tiếng Hy Lạp khác τραπέζιον “bàn”; ... Wikipedia

tứ giác- BỘ PHẬN ┌─────────────┼────────────┐ không lồi lồi tự giao nhau ... Wikipedia

Đường chéo- Đường chéo đều trên bề mặt hình cầu. Đường chéo trong hình học là ... Wikipedia

Hình năm góc- Ngũ giác đều (ngũ giác) Ngũ giác là một đa giác có năm góc. Bất kỳ vật thể nào có hình dạng này cũng được gọi là hình ngũ giác. Số lượng nội bộ ... Wikipedia

Hình lục giác- Hình lục giác đều Hình lục giác là hình đa giác có sáu góc. Bất kỳ vật thể nào có hình dạng này cũng được gọi là hình lục giác. Tổng các góc trong của một hình lục giác lồi p ... Wikipedia

Hình mười hai cạnh- Đúng dodecagon Dodecagon (tiếng Hy Lạp... Wikipedia

Hình chữ nhật- Hình chữ nhật là hình bình hành có các góc đều là góc vuông (bằng 90 độ). Ghi chú. Trong hình học Euclide, để một tứ giác là hình chữ nhật, chỉ cần có ít nhất ba góc vuông là đủ. Góc thứ tư (do ... Wikipedia

Sách

Câu lạc bộ toán học "Kangaroo". Số 8. Toán trên giấy ca-rô, . Số này dành riêng cho các nhiệm vụ và trò chơi khác nhau liên quan đến một tờ giấy ca rô. Đặc biệt, nó thảo luận chi tiết về cách tính diện tích của một đa giác có các đỉnh nằm trong...

công thức chọn

Sazhina Valeria Andreevna, Học sinh lớp 9 của MAOU "Trường trung học số 11" ở Ust-Ilimsk, vùng Irkutsk

Người giám sát: Gubar Oksana Mikhailovna, giáo viên toán cao cấp hạng mục trình độ chuyên môn MAOU "Trường trung học số 11" Ust-Ilimsk, vùng Irkutsk

2016

Giới thiệu

Khi nghiên cứu chủ đề hình học “Diện tích đa giác”, tôi quyết định tìm hiểu: có cách nào để tìm những diện tích khác với những diện tích chúng ta đã học trên lớp không?

Phương pháp này là công thức Pick. L.V. Gorina trong “Tài liệu tự giáo dục cho học sinh” đã mô tả công thức này như sau: “Việc làm quen với công thức Đỉnh đặc biệt quan trọng trước thềm Kỳ thi Thống nhất và Kỳ thi cấp Bang. Sử dụng công thức này, bạn có thể dễ dàng giải được một lượng lớn các bài toán được đưa ra trong các kỳ thi - đây là những bài toán tìm diện tích của một đa giác được mô tả trên giấy ca rô. Công thức nhỏ của Pick sẽ thay thế toàn bộ bộ công thức cần thiết để giải những bài toán như vậy. Công thức Peak sẽ hoạt động “một cho tất cả…”!”

Trong tài liệu thi Thống nhất tôi đã gặp những bài toán có nội dung thực tiễn về tìm diện tích các thửa đất. Tôi quyết định kiểm tra xem công thức này có thể áp dụng để tìm diện tích lãnh thổ trường học, các quận của thành phố, khu vực hay không. Và việc sử dụng nó để giải quyết vấn đề có hợp lý không?

Đối tượng nghiên cứu: Công thức Pick.

Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng hợp lý công thức Pick vào giải quyết vấn đề.

Mục đích của việc làm: chứng minh tính hợp lý của việc sử dụng công thức Pick khi giải bài toán tìm diện tích các hình vẽ trên giấy ca-rô.

Phương pháp nghiên cứu: mô hình hóa, so sánh, khái quát hóa, loại suy, nghiên cứu tài nguyên văn học và Internet, phân tích và phân loại thông tin.

Chọn tài liệu cần thiết, phân tích và hệ thống hóa thông tin nhận được;

Xem xét các phương pháp và kỹ thuật khác nhau để giải quyết vấn đề trên giấy ca rô;

Kiểm tra bằng thực nghiệm tính hợp lý của việc sử dụng công thức Pick;

Hãy xem xét việc áp dụng công thức này.

Giả thuyết: nếu áp dụng công thức Pick để tìm diện tích của một đa giác thì có thể tìm được diện tích lãnh thổ và việc giải bài toán trên giấy ca rô sẽ hợp lý hơn.

Phần chính

Phần lý thuyết

Giấy ca rô (chính xác hơn là các nút của nó), mà chúng ta thường thích vẽ và vẽ trên đó, là một trong những ví dụ quan trọng nhất về mạng chấm trên mặt phẳng. Mạng đơn giản này đã đóng vai trò là điểm khởi đầu để K. Gauss so sánh diện tích của một hình tròn với số điểm có tọa độ nguyên nằm bên trong nó. Việc một số phát biểu hình học đơn giản về các hình trên mặt phẳng có những hệ quả sâu sắc trong nghiên cứu số học đã được G. Minkowski chú ý một cách rõ ràng vào năm 1896, khi ông lần đầu tiên sử dụng các phương pháp hình học để xem xét các bài toán lý thuyết số.

Hãy vẽ một số đa giác trên giấy ca-rô (Phụ lục 1, Hình 1). Bây giờ chúng ta thử tính diện tích của nó. Làm thế nào để làm nó? Có lẽ cách dễ nhất là chia nó thành các hình tam giác vuông và hình thang, diện tích của chúng dễ dàng tính toán và cộng kết quả.

Phương pháp được sử dụng rất đơn giản nhưng rất cồng kềnh và hơn nữa, nó không phù hợp với tất cả các đa giác. Vì vậy, đa giác tiếp theo không thể chia thành các tam giác vuông, như chúng ta đã làm ở trường hợp trước (Phụ lục 2, Hình 2). Ví dụ, chúng ta có thể cố gắng bổ sung nó thành phần "tốt" mà chúng ta cần, tức là với phần có diện tích mà chúng ta có thể tính theo cách được mô tả, sau đó trừ đi diện tích của các phần được thêm vào từ số kết quả.

Tuy nhiên, hóa ra có một công thức rất đơn giản cho phép bạn tính diện tích của các đa giác đó với các đỉnh tại các nút của lưới vuông.

Công thức này được nhà toán học người Áo Peak Georg Alexandrov (1859 - 1943) phát hiện vào năm 1899. Ngoài công thức này, Georg Pick còn phát hiện ra các định lý Pick, Pick-Julia, Pick-Nevalina và chứng minh được bất đẳng thức Schwartz-Pick.

Công thức này không được chú ý một thời gian sau khi Pick xuất bản nó, nhưng vào năm 1949, nhà toán học người Ba Lan Hugo Steinhaus đã đưa định lý này vào cuốn "Kính vạn hoa toán học" nổi tiếng của ông. Kể từ đó, định lý Pick đã được biết đến rộng rãi. Ở Đức, công thức Pick được đưa vào sách giáo khoa phổ thông.

Nó là kết quả cổ điển của hình học tổ hợp và hình học của các con số.

Chứng minh công thức Pick

Cho ABCD là hình chữ nhật có các đỉnh tại các nút và các cạnh chạy dọc theo các đường lưới (Phụ lục 3, Hình 3).

Chúng ta hãy ký hiệu B là số nút nằm bên trong hình chữ nhật và bằng G là số nút trên đường viền của nó. Hãy dịch chuyển lưới một nửa ô sang bên phải và một nửa ô

xuống. Khi đó, lãnh thổ của hình chữ nhật có thể được “phân bổ” giữa các nút như sau: mỗi nút B “điều khiển” toàn bộ một ô của lưới đã dịch chuyển và mỗi nút G điều khiển 4 nút không viền – một nửa ô và mỗi điểm góc điều khiển một phần tư ô. Do đó, diện tích hình chữ nhật S bằng

S = B + + 4 · = B + - 1 .

Vì vậy, đối với hình chữ nhật có đỉnh tại các nút và các cạnh dọc theo đường lưới ta thiết lập công thức S = B + - 1 . Đây là công thức Đỉnh.

Hóa ra công thức này không chỉ đúng với hình chữ nhật mà còn đúng với các đa giác tùy ý có đỉnh tại các nút lưới.

Phần thực hành

Tìm diện tích các hình bằng phương pháp hình học và sử dụng công thức Pick

Tôi quyết định đảm bảo rằng công thức của Pick là chính xác cho tất cả các ví dụ được xem xét.

Hóa ra là nếu một đa giác có thể được cắt thành các hình tam giác có các đỉnh tại các nút lưới thì công thức Pick là đúng cho nó.

Tôi đã xem một số bài toán trên giấy kẻ ô vuông có cạnh 1 cm1 cm và thực hiện phân tích so sánh về giải quyết vấn đề (Bảng số 1).

Bảng số 1 Giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau.

Vẽ

Theo công thức hình học

Theo công thức Pick

Nhiệm vụ số 1

S=S vân vân -(2S 1 +2S 2 )

S vân vân =4*5=20 cm 2

S 1 =(2*1)/2=1 cm 2

S 2 =(2*4)/2=4 cm 2

S=20-(2*1+2*4)=10 cm 2

Trả lời :10 cm ².

B = 8, D = 6

S= 8 + 6/2 – 1 = 10 (cm²)

Đáp số: 10cm2.

Nhiệm vụ số 2

a=2, h=4

S=a*h=2*4=8 cm 2

Trả lời : 8 cm ².

B = 6, D = 6

S= 6 + 6/2 – 1 = 8 (cm²)

Đáp án: 8cm2.

Nhiệm vụ số 3

S=S kv -(S 1 +2S 2 )

S kv =4 2 =16 cm 2

S 1 =(3*3)/2=4,5cm 2

S 2 =(1*4)/2=2cm 2

S=16-(4,5+2*2)=7,5 cm 2

B = 6, D = 5

S= 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (cm²)

Đáp án: 7,5cm2.

Nhiệm vụ số 4

S=S vân vân -(S 1 +S 2+ S 3 )

S vân vân =4 * 3=12 cm 2

S 1 =(3*1)/2=1,5 cm 2

S 2 =(1*2)/2=1 cm 2

S 3 =(1+3)*1/2=2 cm 2

S=12-(1,5+1+2)=7,5 cm 2

B = 5, D = 7

S= 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (cm²)

Đáp án: 7,5cm2.

Số nhiệm vụ 5.

S=S vân vân -(S 1 +S 2+ S 3 )

S vân vân =6 * 5=30 cm 2

S 1 =(2*5)/2=5 cm 2

S 2 =(1*6)/2=3 cm 2

S 3 =(4*4)/2=8 cm 2

S=30-(5+3+8)=14 cm 2

Đáp án: 14cm2

B = 12, D = 6

S= 12 + 6/2 – 1 = 14 (cm²)

Đáp án: 14cm2

Nhiệm vụ №6.

S tr =(4+9)/2*3=19,5 cm 2

Đáp án: 19,5cm2

H = 12, D = 17

S= 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (cm²)

Đáp án: 19,5cm2

Nhiệm vụ №7. Tìm diện tích rừng (tính bằng m2) thể hiện trên sơ đồ ô vuông 1×1 (cm) trên thang tỷ lệ 1 cm - 200 m

S=S 1 +S 2+ S 3

S 1 =(800*200)/2=80000 tôi 2

S 2 =(200*600)/2=60000 tôi 2

S 3 =(800+600)/2*400=

280000 tôi 2

S= 80000+60000+240000=

420000m 2

Đáp số: 420.000 m2

B = 8, D = 7. S= 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (cm²)

1cm2 - 2002m2; S= 40.000 10,5 = 420.000 (m2)

Đáp số: 420.000 m2

Vấn đề số 8 . Tìm diện tích thửa ruộng (tính bằng m2) thể hiện trên sơ đồ có ô vuông 1×1 (cm) để chia tỷ lệ

1cm – 200m.

S= S kv -2( S tr + S thang)

S mét vuông =800 * 800 = 640000 m 2

S tr =(200*600)/2=60000m 2

S thang =(200+800)/2*200=

100000m 2

S=640000-2(60000+10000)=

320000 m2

Đáp số: 320.000 m2

Giải pháp. Hãy tìm Sdiện tích hình tứ giác vẽ trên giấy kẻ ô vuông bằng công thức Pick:S= B + - 1

B = 7, D = 4. S= 7 + 4/2 – 1 = 8 (cm²)

1cm2 - 2002m2; S= 40.000 8 = 320.000 (m2)

Đáp số: 320.000 m2

Vấn đề số 9 . Tìm khu vựcS khu vực, xem xét các cạnh của ô vuông bằng 1. Trong câu trả lời của bạn, hãy cho biết .

Một hình tròn bằng 1/4 hình tròn và do đó diện tích của nó bằng 1/4 diện tích hình tròn. Diện tích hình tròn là πR 2 , Ở đâu R - bán kính của đường tròn. Trong trường hợp của chúng taR =√5 và do đó diện tíchS ngành là 5π/4. Ở đâuS/π=1,25.

Trả lời. 1,25.

Г= 5, В= 2, S= V + G/2 – 1= 2 + 5/2 – 1= 3,5, ≈ 1,11

Trả lời. 1.11.

Nhiệm vụ số 10. Tìm khu vực S vòng, coi các cạnh của ô vuông bằng 1. Trong câu trả lời của bạn, hãy chỉ ra .

Diện tích của vòng bằng hiệu giữa diện tích của hình tròn bên ngoài và bên trong. Bán kínhR vòng tròn bên ngoài bằng nhau

2 , bán kính r vòng tròn bên trong là 2. Do đó, diện tích của vòng là 4và do đó. Trả lời: 4.

G=8, B=8, S= V + G/2 – 1= 8 + 8/2 – 1=11, ≈ 3,5

Đáp án: 3,5

Kết luận: Các nhiệm vụ được xem xét tương tự như nhiệm vụ từ các biến thể của tài liệu kiểm tra và đo lường của kỳ thi Thống nhất môn toán (nhiệm vụ số 5, 6).

Từ các lời giải đã xem xét cho các bài toán, tôi thấy rằng một số trong số đó, chẳng hạn như bài toán số 2.6, dễ giải hơn bằng cách sử dụng các công thức hình học, vì chiều cao và đáy có thể được xác định từ hình vẽ. Nhưng hầu hết các nhiệm vụ đều yêu cầu chia hình thành các hình đơn giản hơn (nhiệm vụ số 7) hoặc xây dựng nó thành hình chữ nhật (nhiệm vụ số 1,4,5), hình vuông (nhiệm vụ số 3,8).

Qua việc giải bài toán số 9 và số 10, tôi thấy rằng việc áp dụng công thức Pick cho các hình không phải là đa giác sẽ cho kết quả gần đúng.

Để kiểm tra tính hợp lý của việc sử dụng công thức Peak, tôi đã tiến hành nghiên cứu về thời gian sử dụng (Phụ lục 4, bảng số 2).

Kết luận: từ bảng và sơ đồ (Phụ lục 4, sơ đồ 1) có thể thấy rõ rằng khi giải bài toán bằng công thức Đỉnh sẽ tốn ít thời gian hơn rất nhiều.

Tìm diện tích bề mặt của các hình không gian

Hãy kiểm tra khả năng ứng dụng của công thức này vào các dạng không gian (Phụ lục 5, Hình 4).

Tìm tổng diện tích toàn phần của hình bình hành hình chữ nhật, coi cạnh của các ô hình vuông bằng 1.

Đây là một lỗ hổng trong công thức.

Áp dụng công thức Peak để tìm diện tích một lãnh thổ

Giải các bài toán có nội dung thực tiễn (bài toán số 7,8; bảng số 1), tôi quyết định sử dụng phương pháp này để tìm diện tích lãnh thổ của trường chúng tôi, các quận của thành phố Ust-Ilimsk, Irkutsk vùng đất.

Sau khi làm quen với “Dự thảo ranh giới lô đất MAOUSOSH số 11 của Ust-Ilimsk” (Phụ lục 6), tôi tìm diện tích lãnh thổ của trường chúng tôi và so sánh với diện tích theo ranh giới dự án của lô đất (Phụ lục 9, bảng 3).

Sau khi xem xét bản đồ phần bờ phải của Ust-Ilimsk (Phụ lục 7), tôi đã tính toán diện tích của các tiểu quận và so sánh chúng với dữ liệu từ “Quy hoạch chung của Ust-Ilimsk, Vùng Irkutsk”. Kết quả được trình bày ở bảng (Phụ lục 9, Bảng 4).

Sau khi xem xét bản đồ vùng Irkutsk (Phụ lục 7), tôi đã tìm ra diện tích của lãnh thổ và so sánh với dữ liệu từ Wikipedia. Kết quả được trình bày ở bảng (Phụ lục 9, Bảng 5).

Sau khi phân tích kết quả, tôi đi đến kết luận: sử dụng công thức Peak, những khu vực này có thể được tìm thấy dễ dàng hơn nhiều, nhưng kết quả chỉ mang tính tương đối.

Từ nghiên cứu đã thực hiện, tôi thu được giá trị chính xác nhất khi tìm diện tích lãnh thổ của trường (Phụ lục 10, Sơ đồ 2). Kết quả có sự khác biệt lớn hơn khi tìm diện tích vùng Irkutsk (Phụ lục 10, Sơ đồ 3). Điều này có liên quan đến điều đó. Rằng không phải tất cả ranh giới khu vực đều là các cạnh của đa giác và các đỉnh không phải là điểm nút.

Phần kết luận

Qua quá trình làm việc, tôi đã mở rộng kiến thức về giải các bài toán trên giấy ca-rô và tự mình xác định cách phân loại các bài toán đang nghiên cứu.

Trong quá trình làm việc, các bài toán đã được giải quyết để tìm diện tích của các hình đa giác được vẽ trên giấy ca rô theo hai cách: hình học và sử dụng công thức Pick.

Phân tích các giải pháp và một thử nghiệm để xác định thời gian sử dụng cho thấy rằng việc sử dụng công thức giúp giải quyết các vấn đề tìm diện tích đa giác một cách hợp lý hơn. Điều này cho phép bạn tiết kiệm thời gian trong Kỳ thi Thống nhất môn toán.

Việc tìm diện tích của các hình khác nhau được mô tả trên giấy ca rô cho phép chúng tôi kết luận rằng việc sử dụng công thức Pick để tính diện tích của hình tròn và hình tròn là không phù hợp, vì nó cho kết quả gần đúng và công thức Pick thì không dùng để giải các bài toán trong không gian.

Công trình cũng tìm ra diện tích của nhiều vùng lãnh thổ khác nhau bằng công thức Đỉnh. Chúng ta có thể kết luận: có thể sử dụng công thức để tìm diện tích của các vùng lãnh thổ khác nhau, nhưng kết quả chỉ mang tính tương đối.

Giả thuyết tôi đưa ra đã được xác nhận.

Tôi đi đến kết luận rằng chủ đề mà tôi quan tâm khá đa dạng, các bài toán trên giấy ca-rô rất đa dạng và phương pháp, kỹ thuật giải cũng rất đa dạng. Vì vậy, tôi quyết định tiếp tục làm việc theo hướng này.

Văn học

Volkov S.D.. Đề án ranh giới đất đai, 2008, tr. 16.

Gorina L.V., Toán học. Mọi thứ vì giáo viên, M:Nauka, 2013. Số 3, tr. 28.

Prokopyeva V.P., Petrov A.G., Quy hoạch chung thành phố Ust-Ilimsk, vùng Irkutsk, Gosstroy của Nga, 2004. p. 65.

Riess E. A., Zharkovskaya N. M., Hình học của giấy ca rô. Công thức đỉnh. - Mátxcơva, 2009, số 17, tr. 24-25.

Smirnova I.M.,. Smirnov V. A. Hình học trên giấy ca-rô. – Mátxcơva, Chistye Prudy, 2009, tr. 120.

Smirnova I. M., Smirnov V. A., Các bài toán hình học có nội dung thực tiễn. – Mátxcơva, Chistye Prudy, 2010, tr. 150

Các bài toán về ngân hàng nhiệm vụ mở trong toán học FIPI, 2015.

Bản đồ của thành phố Ust-Ilimsk.

Bản đồ vùng Irkutsk.

Wikipedia.