Tekst rada je objavljen bez slika i formula.
Puna verzija rad je dostupan na kartici "Radni fajlovi" u PDF formatu

Uvod

Ja sam učenik 6. razreda. Geometriju sam počeo da učim prošle godine, jer u školi učim po udžbeniku „Matematika. Aritmetika. Geometrija” priredio E.A. Bunimović, L.V. Kuznjecova, S.S. Minaeva i drugi.

Najveću pažnju privukle su teme „Površine figura“ i „Izrada formula“. Primijetio sam da se mogu naći površine istih figura Različiti putevi. U svakodnevnom životu često se suočavamo s problemom pronalaska prostora. Na primjer, pronađite površinu poda koju ćete morati obojiti. Zanimljivo je jer da biste kupili potrebnu količinu tapeta za renoviranje, morate znati veličinu prostorije, tj. područje zida. Izračunavanje površine kvadrata, pravougaonika i pravokutnog trokuta nije mi izazvalo nikakve poteškoće.

Zainteresovavši se za ovu temu, počeo sam tražiti dodatni materijal na Internetu. Kao rezultat mojih pretraga, naišao sam na Pickovu formulu - ovo je formula za izračunavanje površine poligona nacrtanog na kariranom papiru. Činilo mi se da je izračunavanje površine pomoću ove formule dostupno svakom studentu. Zato sam odlučio da se bavim istraživačkim radom.

Relevantnost teme:

Ova tema je dopuna i produbljivanje proučavanja kursa geometrije.

Proučavanje ove teme pomoći će vam da se bolje pripremite za olimpijade i ispite.

Cilj rada:

Upoznajte se sa formulom Peak.

Ovladajte tehnikama za rješavanje geometrijskih problema pomoću Pick formule.

Sistematizirati i sumirati teorijske i praktične materijale.

Ciljevi istraživanja:

Provjerite efikasnost i izvodljivost korištenja formule prilikom rješavanja problema.

Naučite primijeniti Peak formulu u problemima različite složenosti.

Uporedite probleme riješene korištenjem Pick formule i tradicionalne metode.

Glavni dio

1.1. Istorijska referenca

Georg Alexander Pieck - austrijski matematičar, rođen 10. avgusta 1859. Bio je nadareno dijete, podučavao ga je otac, koji je vodio privatni institut. Sa 16 godina Georg je završio školu i upisao se na Univerzitet u Beču. Sa 20 godina dobio je pravo da predaje fiziku i matematiku. Njegova formula za određivanje površine poligonske mreže donijela mu je svjetsku slavu. Svoju formulu je objavio u članku 1899. Postao je popularan kada ga je poljski naučnik Hugo Steinhaus uključio u publikaciju matematičkih snimaka iz 1969. godine.

Georg Pieck se školovao na Univerzitetu u Beču i odbranio doktorat 1880. Nakon što je doktorirao, postavljen je za asistenta Ernesta Macha na Univerzitetu Scherl-Ferdinand u Pragu. Tamo je postao učitelj. U Pragu je ostao do penzionisanja 1927. godine, a zatim se vratio u Beč.

Pick je predsjedavao komitetom na njemačkom univerzitetu u Pragu koji je imenovao Ajnštajna za profesora na odsjeku za matematičku fiziku 1911. godine.

Izabran je za člana Češke akademije nauka i umjetnosti, ali je izbačen nakon što su nacisti zauzeli Prag.

Kada su nacisti 12. marta 1938. ušli u Austriju, vratio se u Prag. U martu 1939. nacisti su napali Čehoslovačku. Pieck je 13. jula 1942. deportovan u logor Theresienstadt, koji su osnovali nacisti u sjevernoj Bohemiji, gdje je umro dvije sedmice kasnije u 82. godini.

1.2. Istraživanje i dokaz

Započeo sam svoj istraživački rad postavljanjem pitanja: koje oblasti figura mogu pronaći? Mogao bih napraviti formulu za izračunavanje površine različitih trokuta i četverokuta. Ali šta je sa pet-, šest- i generalno poligonima?

Tokom mog istraživanja na raznim stranicama, vidio sam rješenja za probleme koji uključuju izračunavanje površine pet, šest i drugih poligona. Formula koja omogućava rješavanje ovih problema nazvana je Pikova formula. Ona izgleda ovako :S =B+G/2-1, Gdje IN- broj čvorova koji leže unutar poligona, G- broj čvorova koji leže na granici poligona. Posebnost ove formule je da se može koristiti samo za poligone nacrtane na kariranom papiru.

Svaki takav poligon može se lako podijeliti na trokute sa vrhovima u čvorovima rešetke i koji ne sadrže čvorove ni unutar ni sa strane. Može se pokazati da su površine svih ovih trokuta jednake i jednake ½, pa je stoga površina poligona jednaka polovini njihovog broja T.

Da bismo pronašli ovaj broj, označimo sa n broj stranica poligona sa IN- broj čvorova unutar njega, kroz G- broj čvorova na stranama, uključujući vrhove. Ukupan zbir uglova svih trouglova je 180°. T.

Sada pronađimo zbir na drugi način.

Zbir uglova sa vrhom u bilo kom unutrašnjem čvoru je 2,180°, tj. ukupan zbir uglova je 360°. IN; ukupan zbir uglova za čvorove na stranama, ali ne i na vrhovima je ( G-n)180°, a zbir uglova na vrhovima poligona bit će jednak ( G- 2)180°. dakle, T= 2.180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Otvaranjem zagrada i dijeljenjem za 360° dobijamo formulu za površinu S poligona, poznatu kao Pikova formula.

2. Praktični dio

Odlučio sam da testiram ovu formulu na zadacima iz kolekcije OGE-2017. Uzeo je probleme s izračunavanjem površine trokuta, četverokuta i peterokuta. Odlučio sam uporediti odgovore, rješavajući na dva načina: 1) dopunio figure u pravougaonik i oduzeo površinu pravokutnih trokuta od površine rezultirajućeg pravokutnika; 2) primijenili Pick formulu.

S = 18-1,5-4,5 = 12 i S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 i S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 =49 i S = 43+14/2-1 = 49

Upoređujući rezultate, zaključujem da obje formule daju isti odgovor. Pronalaženje površine figure pomoću Pickove formule pokazalo se bržim i lakšim, jer je bilo manje proračuna. Lakoća rješenja i ušteda vremena na proračunima će mi biti od koristi u budućnosti kada uzimam OGE.

To me je navelo da testiram mogućnost primjene Pick formule na složenije figure.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Zaključak

Formula Peak je laka za razumevanje i korišćenje. Prvo, dovoljno je znati brojati, dijeliti sa 2, sabirati i oduzimati. Drugo, možete pronaći područje složene figure bez trošenja puno vremena. Treće, ova formula radi za bilo koji poligon.

Nedostatak je što je Pick Formula primjenjiva samo za figure koje su nacrtane na kariranom papiru i čiji vrhovi leže na čvorovima kariranog papira.

Siguran sam da pri polaganju završnih ispita, problemi s izračunavanjem površine ​​figura neće uzrokovati poteškoće. Na kraju krajeva, već sam upoznat sa Peak formulom.

Bibliografija

Bunimovich E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. i dr. Matematika. Aritmetika. Geometrija. 5. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje organizacije sa pril. po elektronu nosilac - 3. izd. - M.: Prosveta, 2014.- 223, str. : ill. - (Sfere).

Bunimović E.A., Kuznjecova L.V., Minaeva S.S. i dr. Matematika. Aritmetika. Geometrija. 6. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje organizacije-5. izd.-M.: Obrazovanje, 2016.-240 str. : ilustr.- (Spheres).

Vasiliev N.B. Oko formule Pick. //Kvant.- 1974.-br.2. -str.39-43

Rassolov V.V. Problemi u planimetriji. / 5. izd., rev. I dodatni - M.: 2006.-640s.

I.V. Yashchenko OGE. Matematika: standardne ispitne opcije: O-39 36 opcija - M.: Nacionalna prosvetna izdavačka kuća, 2017. -240 str. - (OGE. FIPI-škola).

“Rešiću OGE”: matematika. Sistem obuke Dmitrija Guščina. OGE-2017: zadaci, odgovori, rješenja [Elektronski izvor]. Način pristupa: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (datum pristupa 02.04.2017.)

Postoji divna formula koja vam omogućava da izračunate površina poligona na koordinatnoj mreži gotovo bez grešaka. To čak nije ni formula, to je stvarno. teorema. Na prvi pogled može izgledati komplikovano. Ali dovoljno je da riješite nekoliko problema i shvatit ćete koliko je ova funkcija super. Zato samo naprijed!

Prvo, uvedemo novu definiciju:

Mrežni čvor je svaka tačka koja leži na presjeku vertikalnih i horizontalnih linija te mreže.

Oznaka:

Na prvoj slici čvorovi uopće nisu označeni. Drugi prikazuje 4 čvora. Konačno, treća slika prikazuje svih 16 čvorova.

Kako se ovo odnosi na zadatak B5? Činjenica je da su vrhovi poligona u takvim problemima Uvijek leže na čvorovima mreže. Kao posljedica toga, sljedeća teorema radi za njih:

Teorema. Razmotrimo poligon na koordinatnoj mreži, čiji vrhovi leže u čvorovima ove mreže. Tada je površina poligona:

gdje je n broj čvorova unutar datog poligona, k je broj čvorova koji leže na njegovoj granici (granični čvorovi).

Kao primjer, razmotrite običan trokut na koordinatnoj mreži i pokušajte označiti unutrašnje i granične čvorove.

Prva slika prikazuje običan trougao. Druga slika prikazuje njene unutrašnje čvorove, čiji je broj n = 10. Treća slika prikazuje čvorove koji leže na granici, ukupno ih ima k = 6.

Mnogim čitaocima može biti nejasno kako brojati brojeve n i k. Počnite s unutrašnjim čvorovima. Ovdje je sve očigledno: obojite trokut olovkom i pogledajte koliko je čvorova pokriveno.

Granični čvorovi su malo složeniji. Granica poligona - zatvorena polilinija, koji siječe koordinatnu mrežu u mnogim tačkama. Najlakši način je označiti neku „početnu“ tačku, a zatim zaobići ostatak.

Granični čvorovi će biti samo one tačke na poliliniji u kojima se istovremeno sijeku tri reda:

1. Zapravo, to je isprekidana linija;
2. Horizontalna linija mreže;
3. Vertikalna linija.

Hajde da vidimo kako sve ovo funkcioniše u stvarnim problemima.

Zadatak. Pronađite površinu trokuta ako je veličina ćelije 1 x 1 cm:

Prvo, označimo čvorove koji leže unutar trokuta, kao i na njegovoj granici:

Ispostavilo se da postoji samo jedan unutrašnji čvor: n = 1. Postoji čak šest graničnih čvorova: tri se poklapaju sa vrhovima trougla, a još tri leže sa strane. Ukupno k = 6.

Sada izračunavamo površinu koristeći formulu:

To je sve! Problem je riješen.

Zadatak. Pronađite površinu četverokuta prikazanog na kariranom papiru s veličinom ćelije 1 cm x 1 cm. Odgovor dajte u kvadratnim centimetrima.

Opet označite unutrašnje i granične čvorove. Unutrašnjih čvorova ima samo n = 2. K = 7 graničnih čvorova, od kojih su 4 vrhove četvorougla, a još 3 leže sa strane.

Ostaje zamijeniti brojeve n i k u formulu površine:

obratite pažnju na posljednji primjer. Ovaj zadatak je zapravo predložen tokom dijagnostičkog rada 2012. godine. Ako radite prema standardnoj shemi, morat ćete napraviti puno dodatnih konstrukcija. A metodom čvora sve se rješava gotovo verbalno.

Važna napomena o područjima

Ali formula nije sve. Prepišimo malo formulu, dodajući pojmove na desnoj strani na zajednički imenilac. Dobijamo:

Brojevi n i k su broj čvorova, oni su uvijek cijeli brojevi. To znači da je cijeli brojnik također cijeli broj. Dijelimo ga sa 2, što dovodi do važne činjenice:

Područje je uvijek izraženo cijeli broj ili razlomak. Štaviše, na kraju razlomka uvijek je „pet desetinki“: 10,5; 17.5 itd.

Dakle, površina u zadatku B5 se uvijek izražava kao cijeli broj ili razlomak oblika ***,5. Ako je odgovor drugačiji, to znači da je negdje došlo do greške. Zapamtite ovo kada budete polagali pravi Jedinstveni državni ispit iz matematike!

1

Gibadullina G.I. (Nurlat, MAOU srednja škola br. 1)

1. Bunimovich E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. i dr. Matematika. Aritmetika. Geometrija. 5. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje organizacije sa pril. po elektronu nosilac - 3. izd. – M.: Obrazovanje, 2014. – 223, str. : ill. – (Sfere).

2. Bunimovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. i dr. Matematika. Aritmetika. Geometrija. 6. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje organizacije. 5th ed. – M.: Obrazovanje, 2016. – 240 str.: ilustr. – (Sfere).

3. Vasiliev N.B. Oko formule Pick // Quantum. – 1974. – br. 2. – str. 39–43.

4. Rassolov V.V. Problemi u planimetriji. 5. izdanje, rev. i dodatne – M.: 2006. – 640 str.

5. Yashchenko I.V. OGE. Matematika: standardne ispitne opcije: O-39 36 opcija - M.: Izdavačka kuća "Narodno obrazovanje", 2017. - 240 str. - (OGE. FIPI - škola).

6. Riješit ću OGE: matematika. Sistem obuke Dmitrija Guščina. OGE-2017: zadaci, odgovori, rješenja [Elektronski izvor]. – Način pristupa: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (datum pristupa 02.04.2017.).

Ja sam učenik 6. razreda. Geometriju sam počeo da učim prošle godine, jer u školi učim po udžbeniku „Matematika. Aritmetika. Geometrija” priredio E.A. Bunimović, L.V. Kuznjecova, S.S. Minaeva i drugi.

Najveću pažnju privukle su teme „Površine figura“ i „Izrada formula“. Primijetio sam da se površine istih figura mogu pronaći na različite načine. U svakodnevnom životu često se suočavamo s problemom pronalaska prostora. Na primjer, pronađite površinu poda koju ćete morati obojiti. Zanimljivo je jer da biste kupili potrebnu količinu tapeta za renoviranje, morate znati veličinu prostorije, tj. područje zida. Izračunavanje površine kvadrata, pravougaonika i pravokutnog trokuta nije mi izazvalo nikakve poteškoće.

Zainteresovavši se za ovu temu, počeo sam tražiti dodatni materijal na Internetu. Kao rezultat mojih pretraga, naišao sam na Pickovu formulu - ovo je formula za izračunavanje površine poligona nacrtanog na kariranom papiru. Činilo mi se da je izračunavanje površine pomoću ove formule dostupno svakom studentu. Zato sam odlučio da se bavim istraživačkim radom.

Relevantnost teme. Ova tema je dopuna i produbljivanje proučavanja kursa geometrije.

Proučavanje ove teme pomoći će vam da se bolje pripremite za olimpijade i ispite.

Cilj rada:

1. Upoznajte se sa Pick formulom.

2. Savladajte tehnike rješavanja geometrijskih problema koristeći Pick formulu.

3. Sistematizirati i generalizirati teorijske i praktične materijale.

Ciljevi istraživanja:

1. Provjerite efikasnost i izvodljivost korištenja formule prilikom rješavanja problema.

2. Naučite primijeniti Pick formulu u problemima različite složenosti.

3. Uporedite probleme riješene korištenjem Pick formule i tradicionalne metode.

Glavni dio

Istorijska referenca

Georg Alexander Pieck - austrijski matematičar, rođen 10. avgusta. Bio je nadareno dijete, podučavao ga je otac, koji je vodio privatni institut. Sa 16 godina Georg je završio školu i upisao se na Univerzitet u Beču. Sa 20 godina dobio je pravo da predaje fiziku i matematiku. Njegova formula za određivanje površine poligonske mreže donijela mu je svjetsku slavu. Svoju formulu je objavio u članku 1899. Postao je popularan kada ga je poljski naučnik Hugo Steinhaus uključio u publikaciju matematičkih snimaka iz 1969. godine.

Georg Pieck se školovao na Univerzitetu u Beču i odbranio doktorat 1880. Nakon što je doktorirao, postavljen je za asistenta Ernesta Macha na Univerzitetu Scherl-Ferdinand u Pragu. Tamo je postao učitelj. U Pragu je ostao do penzionisanja 1927. godine, a zatim se vratio u Beč.

Pick je predsjedavao komitetom na njemačkom univerzitetu u Pragu koji je imenovao Ajnštajna za profesora na odsjeku za matematičku fiziku 1911. godine.

Izabran je za člana Češke akademije nauka i umjetnosti, ali je izbačen nakon što su nacisti zauzeli Prag.

Kada su nacisti 12. marta 1938. ušli u Austriju, vratio se u Prag. U martu 1939. nacisti su napali Čehoslovačku. Pieck je 13. jula 1942. deportovan u logor Theresienstadt, koji su osnovali nacisti u sjevernoj Bohemiji, gdje je umro dvije sedmice kasnije u 82. godini.

Istraživanje i dokaz

Započeo sam svoj istraživački rad postavljanjem pitanja: koje oblasti figura mogu pronaći? Mogao bih napraviti formulu za izračunavanje površine različitih trokuta i četverokuta. Ali šta je sa pet-, šest- i generalno poligonima?

Tokom mog istraživanja na raznim stranicama, vidio sam rješenja za probleme koji uključuju izračunavanje površine pet, šest i drugih poligona. Formula koja omogućava rješavanje ovih problema nazvana je Pikova formula. To izgleda ovako: S=B+G/2-1, gdje je B broj čvorova koji leže unutar poligona, G je broj čvorova koji leže na granici poligona. Posebnost ove formule je da se može koristiti samo za poligone nacrtane na kariranom papiru.

Svaki takav poligon može se lako podijeliti na trokute sa vrhovima u čvorovima rešetke i koji ne sadrže čvorove ni unutar ni sa strane. Može se pokazati da su površine svih ovih trokuta jednake i jednake ½, pa je stoga površina poligona jednaka polovini njihovog broja T.

Da bismo pronašli ovaj broj, označimo sa n broj stranica poligona, sa B broj čvorova unutar njega, a sa G broj čvorova na stranicama, uključujući vrhove. Ukupan zbir uglova svih trouglova je 180°. T.

Sada pronađimo zbir na drugi način.

Zbir uglova sa vrhom u bilo kom unutrašnjem čvoru je 2,180°, tj. ukupan zbir uglova je 360°. IN; ukupan zbir uglova u čvorovima na stranama, ali ne i na vrhovima, jednak je (G - n)180°, a zbir uglova na vrhovima poligona će biti jednak (G - 2)180° . Dakle, T=2,180°. B+(G-n)180°+(n-2)180°. Otvaranjem zagrada i dijeljenjem za 360° dobijamo formulu za površinu S poligona, poznatu kao Pikova formula.

Praktični dio

Odlučio sam da testiram ovu formulu na zadacima iz kolekcije OGE-2017. Uzeo je probleme s izračunavanjem površine trokuta, četverokuta i peterokuta. Odlučio sam uporediti odgovore, rješavajući na dva načina: 1) dopunio figure u pravougaonik i oduzeo površinu pravokutnih trokuta od površine rezultirajućeg pravokutnika; 2) primijenili Pick formulu.

S = 18-1,5-4,5 = 12 i S = 7+12/2-1= 12.

S = 24-9-3 = 12 i S = 7+12/2-1 = 12.

S = 77-7,5-12-4,5-4 =49 i S = 43+14/2-1 = 49.

Upoređujući rezultate, zaključujem da obje formule daju isti odgovor. Pronalaženje površine figure pomoću Pickove formule pokazalo se bržim i lakšim, jer je bilo manje proračuna. Lakoća rješenja i ušteda vremena na proračunima će mi biti od koristi u budućnosti kada uzimam OGE.

To me je navelo da testiram mogućnost primjene Pick formule na složenije figure.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Zaključak

Formula Peak je laka za razumevanje i korišćenje. Prvo, dovoljno je znati brojati, dijeliti sa 2, sabirati i oduzimati. Drugo, možete pronaći područje složene figure bez trošenja puno vremena. Treće, ova formula radi za bilo koji poligon.

Nedostatak je što je Pick Formula primjenjiva samo za figure koje su nacrtane na kariranom papiru i čiji vrhovi leže na čvorovima kariranog papira.

Siguran sam da pri polaganju završnih ispita, problemi s izračunavanjem površine ​​figura neće uzrokovati poteškoće. Na kraju krajeva, već sam upoznat sa Peak formulom.

Bibliografska veza

Gabbazov N.N. PEAK FORMULA // Početak u nauci. – 2017. – br. 6-1. – str. 130-132;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=908 (datum pristupa: 05.03.2020.).

Vikirječnik ima unos za "štuka" Štuka U ratovanju: Štuka je hladno probijajuće oružje, vrsta dugog koplja. Pikinari su vrsta pešadije u evropskim vojskama 16. i ranog 18. veka. Pickelhelm (str... Wikipedia

Pickova teorema (kombinatorna geometrija)- V=7, G=8, V + G/2 − 1= 10 Pikova teorema je klasičan rezultat kombinatorne geometrije i geometrije brojeva. Površina poligona sa cijelim brojem ... Wikipedia

Trougao- Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Trougao (značenja). Trougao (u Euklidskom prostoru) je geometrijska figura formirana od tri segmenta koji spajaju tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji. Tri tačke,... ... Wikipedia

Trapez- Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Trapez (značenja). Trapez (od drugog grčkog τραπέζιον „stol”; ... Wikipedia

Quadrangle- KVADAGONI ┌─────────────┼─────────────┐ nekonveksan konveksan samopresijecajući ... Wikipedia

Dijagonala- Pravilan dijagon na površini kugle Dijagon u geometriji je ... Wikipedia

Pentagon- Pravilni petougao (pentagon) Pentagon je mnogougao sa pet uglova. Svaki objekat ovog oblika naziva se i pentagon. Količina internih ... Wikipedia

Hexagon- Pravilni šestougao Šestougao je poligon sa šest uglova. Svaki predmet ovog oblika naziva se i šesterokut. Zbir unutrašnjih uglova konveksnog šestougla p ... Wikipedia

Dodekagon- Ispravan dvanaestougao Dodekagon (grčki... Wikipedia

Pravougaonik- Pravougaonik je paralelogram čiji su svi uglovi pravi uglovi (jednaki 90 stepeni). Bilješka. U euklidskoj geometriji, da bi četvorougao bio pravougaonik, dovoljno je da mu najmanje tri ugla budu prava. Četvrti ugao (zbog ... Wikipedije

Knjige

• Matematički klub "Kengur". Broj 8. Matematika na kariranom papiru, . Broj je posvećen raznim zadacima i igrama vezanim za list kariranog papira. Posebno se detaljno razmatra izračunavanje površine poligona čiji se vrhovi nalaze u...

Pikova formula

Sazhina Valeria Andreevna, Učenik 9. razreda MAOU "Srednja škola br. 11" u Ust-Ilimsku, Irkutsk regija

Supervizor: Gubar Oksana Mihajlovna, viši nastavnik matematike kvalifikacionu kategoriju MAOU "Srednja škola br. 11" Ust-Ilimsk, oblast Irkutsk

2016

Uvod

Proučavajući temu geometrije „Površine poligona“, odlučio sam da saznam: postoji li način da se pronađe područja koja se razlikuju od onih koje smo učili u razredu?

Ova metoda je Pick formula. L.V. Gorina u „Materijali za samoobrazovanje učenika” ovako je opisao ovu formulu: „Upoznavanje sa formulom Peak posebno je važno uoči polaganja Jedinstvenog državnog ispita i državnog ispita. Koristeći ovu formulu, možete lako riješiti veliku klasu zadataka ponuđenih na ispitima - to su problemi pronalaženja površine poligona prikazanog na kariranom papiru. Pickova mala formula će zamijeniti cijeli skup formula potrebnih za rješavanje takvih problema. Formula Peak će raditi “jedan za sve...”!”

U materijalima za Jedinstveni državni ispit naišao sam na probleme sa praktičnim sadržajem u pronalaženju površine zemljišnih parcela. Odlučio sam provjeriti da li je ova formula primjenjiva za pronalaženje područja školskog područja, mikropodručja grada, regije. I da li je racionalno koristiti ga za rješavanje problema?

Predmet proučavanja: Pikova formula.

Predmet istraživanja: racionalna primjena Pick formule u rješavanju problema.

Svrha rada: potkrijepiti racionalnost korištenja Pick formule pri rješavanju problema pronalaženja površine figura prikazanih na kariranom papiru.

Metode istraživanja: modeliranje, poređenje, generalizacija, analogije, proučavanje književnih i internet izvora, analiza i klasifikacija informacija.

Odabrati potrebnu literaturu, analizirati i sistematizovati primljene informacije;

Razmotriti različite metode i tehnike za rješavanje problema na kariranom papiru;

Eksperimentalno provjerite racionalnost korištenja Pick formule;

Razmotrite primjenu ove formule.

Hipoteza: ako primijenite Pickovu formulu za pronalaženje površine poligona, možete pronaći površinu teritorije, a rješavanje problema na kariranom papiru bit će racionalnije.

Glavni dio

Teorijski dio

Karirani papir (tačnije, njegovi čvorovi), na kojem često radije crtamo i crtamo, jedan je od najvažnijih primjera tačkaste rešetke na ravni. Ova jednostavna rešetka je već poslužila kao polazna tačka za K. Gaussa da uporedi površinu kruga sa brojem tačaka sa celobrojnim koordinatama koje se nalaze unutar nje. Činjenicu da neki jednostavni geometrijski iskazi o figurama na ravni imaju duboke posljedice u aritmetičkim istraživanjima eksplicitno je primijetio G. Minkowski 1896. godine, kada je prvi put upotrijebio geometrijske metode za razmatranje problema teorijskih brojeva.

Nacrtajmo neki poligon na kariranom papiru (Prilog 1, slika 1). Pokušajmo sada izračunati njegovu površinu. Kako uraditi? Vjerojatno je najlakši način podijeliti na pravokutne trokute i trapez, čije je površine lako izračunati i sabrati rezultate.

Metoda koja se koristi je jednostavna, ali vrlo glomazna, a osim toga, nije prikladna za sve poligone. Dakle, sljedeći poligon se ne može podijeliti na pravokutne trougle, kao što smo to učinili u prethodnom slučaju (Dodatak 2, slika 2). Možemo ga, na primjer, pokušati dopuniti onim „dobrim“ koji nam je potreban, odnosno onom čiju površinu možemo izračunati na opisani način, a zatim od dobivenog broja oduzeti površine dodatih dijelova.

Međutim, ispostavilo se da postoji vrlo jednostavna formula koja vam omogućava da izračunate površine takvih poligona s vrhovima na čvorovima kvadratne mreže.

Ovu formulu je otkrio austrijski matematičar Peak Georg Aleksandrov (1859 - 1943) 1899. godine. Osim ove formule, Georg Pick je otkrio Pick, Pick-Julia, Pick-Nevalina teoreme i dokazao Schwartz-Pickovu nejednakost.

Ova formula je prošla nezapaženo neko vrijeme nakon što ju je Pick objavio, ali je 1949. godine poljski matematičar Hugo Steinhaus uključio teoremu u svoj čuveni "Matematički kaleidoskop". Od tada je Pikova teorema postala široko poznata. U Njemačkoj je Pikova formula uključena u školske udžbenike.

To je klasičan rezultat kombinatorne geometrije i geometrije brojeva.

Dokaz Pickove formule

Neka je ABCD pravougaonik sa vrhovima u čvorovima i stranicama koji idu duž linija mreže (Dodatak 3, slika 3).

Označimo sa B broj čvorova koji leže unutar pravougaonika, a sa G broj čvorova na njegovoj granici. Pomaknimo mrežu pola ćelije udesno i pola ćelije

dolje. Tada se teritorija pravougaonika može "raspodijeliti" između čvorova na sljedeći način: svaki od B čvorova "kontrolira" cijelu ćeliju pomaknute mreže, a svaki od G čvorova kontrolira 4 granična čvora bez ugla - pola ćelije , a svaka od kutnih tačaka kontrolira četvrtinu ćelije. Dakle, površina pravokutnika S jednaka je

S = B + + 4 · = B + - 1 .

Dakle, za pravokutnike s vrhovima u čvorovima i stranama duž linija mreže, uspostavili smo formulu S = B + - 1 . Ovo je formula Peak.

Ispostavilo se da ova formula vrijedi ne samo za pravokutnike, već i za proizvoljne poligone s vrhovima u čvorovima mreže.

Praktični dio

Pronalaženje površine figura pomoću geometrijske metode i pomoću formule Pick

Odlučio sam se uvjeriti da je Pikova formula tačna za sve razmatrane primjere.

Ispada da ako se poligon može rezati na trokute sa vrhovima u čvorovima mreže, onda je Pikova formula tačna za njega.

Pogledao sam neke probleme na kariranom papiru sa kvadratima od 1 cm1 cm i izveo komparativna analiza o rješavanju problema (Tabela br. 1).

Tabela br. 1 Rješavanje problema na različite načine.

Crtanje

Prema formuli geometrije

Prema Pickovoj formuli

Zadatak br. 1

S=S itd -(2S 1 +2S 2 )

S itd =4*5=20 cm 2

S 1 =(2*1)/2=1 cm 2

S 2 =(2*4)/2=4 cm 2

S=20-(2*1+2*4)=10 cm 2

Odgovori :10 cm ².

B = 8, D = 6

S= 8 + 6/2 – 1 = 10 (cm²)

Odgovor: 10 cm².

Zadatak br. 2

a=2, h=4

S=a*h=2*4=8 cm 2

Odgovori : 8 cm ².

B = 6, D = 6

S= 6 + 6/2 – 1 = 8 (cm²)

Odgovor: 8 cm².

Zadatak br. 3

S=S kv -(S 1 +2S 2 )

S kv =4 2 =16 cm 2

S 1 =(3*3)/2=4,5cm 2

S 2 =(1*4)/2=2cm 2

S=16-(4,5+2*2)=7,5 cm 2

B = 6, D = 5

S= 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (cm²)

Odgovor: 7,5 cm².

Zadatak br. 4

S=S itd -(S 1 +S 2+ S 3 )

S itd =4 * 3=12 cm 2

S 1 =(3*1)/2=1,5 cm 2

S 2 =(1*2)/2=1 cm 2

S 3 =(1+3)*1/2=2 cm 2

S=12-(1,5+1+2)=7,5 cm 2

B = 5, D = 7

S= 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (cm²)

Odgovor: 7,5 cm².

Zadatak br. 5.

S=S itd -(S 1 +S 2+ S 3 )

S itd =6 * 5=30 cm 2

S 1 =(2*5)/2=5 cm 2

S 2 =(1*6)/2=3 cm 2

S 3 =(4*4)/2=8 cm 2

S=30-(5+3+8)=14 cm 2

Odgovor: 14 cm²

B = 12, D = 6

S= 12 + 6/2 – 1 = 14 (cm²)

Odgovor: 14 cm²

Zadatak №6.

S tr =(4+9)/2*3=19,5 cm 2

Odgovor: 19,5 cm 2

H = 12, D = 17

S= 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (cm²)

Odgovor: 19,5 cm 2

Zadatak №7. Pronađite površinu šume (u m²) prikazanu na planu s kvadratnom mrežom 1 × 1 (cm) na skali od 1 cm - 200 m

S= S 1 +S 2+ S 3

S 1 =(800*200)/2=80000 m 2

S 2 =(200*600)/2=60000 m 2

S 3 =(800+600)/2*400=

280000 m 2

S= 80000+60000+240000=

420000m 2

Odgovor: 420.000 m²

B = 8, D = 7. S= 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S= 40.000 10.5 = 420.000 (m²)

Odgovor: 420.000 m²

Problem br. 8 . Pronađite površinu polja (u m²) prikazanu na planu s kvadratnom mrežom 1 × 1 (cm) u mjerilu

1 cm – 200 m.

S= S kv -2( S tr + S merdevine)

S sq =800 * 800 = 640000 m 2

S tr =(200*600)/2=60000m 2

S ljestvice =(200+800)/2*200=

100000m 2

S=640000-2(60000+10000)=

320000 m2

Odgovor: 320.000 m²

Rješenje. Hajde da nađemo Spovršina četverokuta nacrtana na kariranom papiru koristeći Pickovu formulu:S= B + - 1

B = 7, D = 4. S= 7 + 4/2 – 1 = 8 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S= 40.000 8 = 320.000 (m²)

Odgovor: 320.000 m²

Problem br. 9 . Pronađite područjeS sektora, s obzirom da su stranice kvadratnih ćelija jednake 1. U svom odgovoru naznačite .

Sektor je jedna četvrtina kruga i stoga je njegova površina jedna četvrtina površine kruga. Površina kruga je πR 2 , Gdje R – radijus kružnice. U našem slučajuR =√5 a samim tim i područjeS sektor je 5π/4. GdjeS/π=1,25.

Odgovori. 1.25.

G= 5, V= 2, S= V + G/2 – 1= 2 + 5/2 – 1= 3,5, ≈ 1,11

Odgovori. 1.11.

Zadatak br. 10. Pronađite područje S prstenova, s obzirom da su stranice kvadratnih ćelija jednake 1. U svom odgovoru naznačite .

Površina prstena jednaka je razlici između površina vanjskog i unutrašnjeg kruga. RadijusR spoljni krug je jednak

2 , poluprečnik r unutrašnji krug je 2. Dakle, površina prstena je 4i zbog toga. Odgovor: 4.

G= 8, B= 8, S= V + G/2 – 1= 8 + 8/2 – 1=11, ≈ 3,5

Odgovor: 3.5

Zaključci: Razmatrani zadaci su slični zadacima iz varijanti materijala za ispitivanje i mjerenje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (zadaci br. 5, 6).

Iz razmatranih rješenja zadataka vidio sam da je neke od njih, na primjer zadatke br. 2.6, lakše riješiti pomoću geometrijskih formula, jer se visina i osnova mogu odrediti iz crteža. Ali većina zadataka zahtijeva razbijanje figure na jednostavnije (zadatak br. 7) ili je sastavljanje u pravougaonik (zadaci br. 1,4,5), kvadrat (zadaci br. 3,8).

Iz rješavanja zadataka br. 9 i br. 10 vidio sam da primjena Pick formule na figure koje nisu poligoni daje približan rezultat.

Kako bih provjerio racionalnost korištenja Peak formule, sproveo sam istraživanje o utrošenom vremenu (Prilog 4, tabela br. 2).

Zaključak: iz tabele i dijagrama (Dodatak 4, dijagram 1) jasno je da se pri rješavanju problema pomoću formule Peak troši mnogo manje vremena.

Pronalaženje površine prostornih oblika

Provjerimo primjenjivost ove formule na prostorne forme (Prilog 5, slika 4).

Nađite ukupnu površinu pravokutnog paralelepipeda, smatrajući da su stranice kvadratnih ćelija jednake 1.

Ovo je mana u formuli.

Primjena Peakove formule za pronalaženje površine teritorije

Rešavajući probleme sa praktičnim sadržajem (zadaci br. 7,8; ​​tabela br. 1), odlučio sam da koristim ovu metodu da pronađem područje teritorije naše škole, mikrookrug grada Ust-Ilimsk , oblast Irkutsk.

Upoznavši se sa „Nacrtom granica zemljišne parcele MAOUSOSH br. 11 Ust-Ilimsk“ (Prilog 6), pronašao sam površinu teritorije naše škole i uporedio je sa površinom prema projektne granice zemljišne parcele (Prilog 9, tabela 3).

Pregledavši kartu desnoobalnog dijela Ust-Ilimska (Dodatak 7), izračunao sam površine mikrookruga i uporedio ih sa podacima iz „Generalnog plana Ust-Ilimsk, Irkutska oblast“. Rezultati su prikazani u tabeli (Prilog 9, Tabela 4).

Pregledavši kartu Irkutske regije (Dodatak 7), pronašao sam područje teritorije i uporedio je sa podacima sa Wikipedije. Rezultati su prikazani u tabeli (Prilog 9, Tabela 5).

Nakon analize rezultata, došao sam do zaključka: korištenjem Peak formule ova područja se mogu pronaći mnogo lakše, ali rezultati su približni.

Iz provedenog istraživanja dobio sam najprecizniju vrijednost pri pronalaženju površine školske teritorije (Prilog 10, Dijagram 2). Veće odstupanje u rezultatima dobijeno je pri pronalaženju područja Irkutske regije (Prilog 10, dijagram 3). Ovo je povezano sa tim. Da nisu sve granice područja stranice poligona, a vrhovi nisu tačke čvorova.

Zaključak

Kao rezultat svog rada, proširio sam svoja znanja o rješavanju zadataka na kariranom papiru i sebi odredio klasifikaciju problema koji se proučavaju.

Tokom rada rješavani su problemi da se na dva načina pronađu površine poligona prikazanih na kariranom papiru: geometrijski i korištenjem Pick formule.

Analiza rješenja i eksperiment za određivanje utrošenog vremena pokazali su da korištenje formule omogućava racionalnije rješavanje problema pronalaženja površine poligona. Ovo vam omogućava da uštedite vrijeme na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike.

Pronalaženje površine različitih figura prikazanih na kariranom papiru omogućilo nam je da zaključimo da je korištenje Pick formule za izračunavanje površine kružnog sektora i prstena neprikladno, jer daje približan rezultat, a da Pick formula nije koristi se za rješavanje problema u svemiru.

Rad je također pronašao područja različitih teritorija koristeći formulu Peak. Možemo zaključiti: korištenje formule za pronalaženje površine ​​​različitih teritorija je moguće, ali rezultati su približni.

Hipoteza koju sam izneo je potvrđena.

Došao sam do zaključka da je tema koja me zanima prilično višestruka, problemi na kariranom papiru raznovrsni, a metode i tehnike rješavanja istih. Stoga sam odlučio da nastavim raditi u ovom pravcu.

Književnost

Volkov S.D. Projekt granica zemljišta, 2008, str. 16.

Gorina L.V., matematika. Sve za nastavnika, M:Nauka, 2013. br. 3, str. 28.

Prokopyeva V.P., Petrov A.G., Generalni plan grada Ust-Ilimsk, Irkutska oblast, Gosstroy Rusije, 2004. str. 65.

Riess E. A., Zharkovskaya N. M., Geometrija kariranog papira. Peakova formula. - Moskva, 2009, br. 17, str. 24-25.

Smirnova I. M. ,. Smirnov V. A. Geometrija na kariranom papiru. – Moskva, Chistye Prudy, 2009, str. 120.

Smirnova I. M., Smirnov V. A., Geometrijski problemi sa praktičnim sadržajem. – Moskva, Čiste prude, 2010, str. 150

Problemi otvorene banke zadataka iz matematike FIPI, 2015.

Karta grada Ust-Ilimsk.

Karta regije Irkutsk.

Wikipedia.