Vienādsānu trīsstūra īpašības ir izteiktas ar šādām teorēmām.
Teorēma 1. Vienādsānu trijstūrī leņķi pie pamatnes ir vienādi.
2. teorēma. Vienādsānu trijstūrī bisektrise, kas novilkta uz pamatni, ir mediāna un augstums.
3. teorēma. Vienādsānu trijstūrī mediāna, kas novilkta uz pamatni, ir bisektrise un augstums virs jūras līmeņa.
4. teorēma. Vienādsānu trijstūrī augstums, kas novilkts uz pamatni, ir bisektrise un mediāna.
Pierādīsim vienu no tiem, piemēram, teorēmu 2.5.
Pierādījums. Aplūkosim vienādsānu trijstūri ABC ar bāzi BC un pierādīsim, ka ∠ B = ∠ C. Lai AD ir trijstūra ABC bisektrise (1. att.). Trijstūri ABD un ACD ir vienādi pēc trijstūra pirmās vienādības zīmes (AB = AC pēc nosacījuma, AD ir kopējā mala, ∠ 1 = ∠ 2, jo AD ir bisektrise). No šo trīsstūru vienādības izriet, ka ∠ B = ∠ C. Teorēma ir pierādīta.
Izmantojot 1. teorēmu, tiek izveidota šāda teorēma.
5. teorēma. Trešais trīsstūru vienādības kritērijs. Ja viena trijstūra trīs malas ir attiecīgi vienādas ar cita trijstūra trim malām, tad šādi trijstūri ir kongruenti (2. att.).
komentēt. 1. un 2. piemērā izveidotie teikumi izsaka segmenta perpendikulārās bisektrise īpašības. No šiem priekšlikumiem izriet, ka perpendikulāras bisektrise trijstūra malām krustojas vienā punktā.
1. piemērs. Pierādīt, ka punkts plaknē vienādā attālumā no segmenta galiem atrodas uz perpendikulāras bisektrise šim segmentam.
Risinājums. Lai punkts M atrodas vienādā attālumā no segmenta AB galiem (3. att.), t.i., AM = BM.
Tad Δ AMV ir vienādsānu. Novelkam taisni p caur punktu M un nogriežņa AB viduspunktu O. Pēc konstrukcijas segments MO ir vienādsānu trijstūra AMB mediāna, un tāpēc (3. teorēma), un augstums, t.i., taisne MO, ir perpendikulāra bisektrise segmentam AB.
2. piemērs. Pierādīt, ka katrs nogriežņa perpendikulāras bisektrise punkts atrodas vienādā attālumā no tā galiem.
Risinājums. Lai p ir perpendikulāra bisektrise segmentam AB un punkts O ir segmenta AB viduspunkts (sk. 3. att.).
Apsveriet patvaļīgu punktu M, kas atrodas uz taisnes p. Zīmēsim segmentus AM un BM. Trijstūri AOM un BOM ir vienādi, jo to leņķi virsotnē O ir taisni, kājs OM ir kopīgs, un posms OA ir vienāds ar kāju OB pēc nosacījuma. No trīsstūru AOM un BOM vienādības izriet, ka AM = BM.
3. piemērs. Trijstūrī ABC (skat. 4. att.) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; trijstūrī DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Salīdziniet trīsstūrus ABC un DEF. Atrodiet atbilstošos vienādus leņķus.
Risinājums. Šie trīsstūri ir vienādi saskaņā ar trešo kritēriju. Attiecīgi vienādi leņķi: A un E (atrodas pretī vienādām malām BC un FD), B un F (atrodas pretī vienādām malām AC un DE), C un D (atrodas pretī vienādām malām AB un EF).
4. piemērs. 5. attēlā AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Atrodiet leņķi D.
Risinājums. Apsveriet trīsstūrus ABC un ADC. Tie ir vienādi saskaņā ar trešo kritēriju (AB = DC, BC = AD pēc nosacījuma un sānu AC ir izplatīta). No šo trīsstūru vienādības izriet, ka ∠ B = ∠ D, bet leņķis B ir vienāds ar 100°, kas nozīmē, ka leņķis D ir vienāds ar 100°.
5. piemērs. Vienādsānu trijstūrī ABC ar pamatni AC ārējais leņķis virsotnē C ir 123°. Atrodiet leņķa ABC lielumu. Sniedziet atbildi grādos.
Video risinājums.
Pirmie mūsu civilizācijas vēsturnieki – senie grieķi – Ēģipti min kā ģeometrijas dzimteni. Viņiem ir grūti nepiekrist, zinot, ar kādu apbrīnojamu precizitāti tika uzceltas faraonu milzu kapenes. Piramīdu plakņu relatīvais novietojums, to proporcijas, orientācija uz kardinālajiem punktiem - nebūtu iedomājams sasniegt šādu pilnību, nezinot ģeometrijas pamatus.
Pats vārds “ģeometrija” var tikt tulkots kā “zemes mērījums”. Turklāt vārds “zeme” neparādās kā planēta - daļa Saules sistēma, bet kā lidmašīna. Apkopes vietu marķēšana Lauksaimniecība, visticamāk, ir ļoti oriģināls ģeometrisko figūru, to veidu un īpašību zinātnes pamats.
Trijstūris ir vienkāršākā planimetrijas telpiskā figūra, kas satur tikai trīs punktus - virsotnes (nav mazāk). Pamatu pamats, iespējams, tāpēc viņā šķiet kaut kas noslēpumains un sens. Visu redzošā acs trīsstūrī ir viena no agrākajām zināmajām okultajām zīmēm, un tās izplatības ģeogrāfija un laika posms ir vienkārši pārsteidzošs. No seno ēģiptiešu, šumeru, acteku un citām civilizācijām līdz modernākām okultisma cienītāju kopienām, kas izkaisītas visā pasaulē.
Kas ir trīsstūri?
Parasts skalēnas trīsstūris ir slēgta ģeometriska figūra, kas sastāv no trim dažāda garuma segmentiem un trim leņķiem, no kuriem neviens nav taisns. Papildus tam ir vairāki īpaši veidi.
Akūtam trīsstūrim visi leņķi ir mazāki par 90 grādiem. Citiem vārdiem sakot, visi šāda trīsstūra leņķi ir asi.
Taisnleņķa trīsstūrim, pār kuru skolēni vienmēr ir raudājuši teorēmu pārpilnības dēļ, ir viens 90 grādu leņķis jeb, kā to sauc arī, taisne.
Strups trīsstūris atšķiras ar to, ka viens no tā leņķiem ir neass, tas ir, tā izmērs ir lielāks par 90 grādiem.
Vienādmalu trīsstūrim ir trīs vienāda garuma malas. Šādā attēlā visi leņķi arī ir vienādi.
Un visbeidzot, vienādsānu trīsstūrim ir trīs malas, divas vienādas viena ar otru.
Specifiskas īpatnības
Vienādsānu trīsstūra īpašības nosaka arī tā galveno, galveno atšķirību - tā abu malu vienādību. Šīs vienādas malas parasti sauc par gurniem (vai biežāk sāniem), bet trešo pusi sauc par “bāzi”.
Apskatāmajā attēlā a = b.
Otrais vienādsānu trīsstūra kritērijs izriet no sinusu teorēmas. Tā kā malas a un b ir vienādas, to pretējo leņķu sinusi ir vienādi:
a/sin γ = b/sin α, no kurienes mums ir: sin γ = sin α.
No sinusu vienādības izriet leņķu vienādība: γ = α.
Tātad, otrā vienādsānu trijstūra zīme ir divu leņķu vienādība, kas atrodas blakus pamatnei.
Trešā zīme. Trijstūrī ir tādi elementi kā augstums, bisektrise un mediāna.
Ja uzdevuma risināšanas procesā izrādās, ka attiecīgajā trīsstūrī sakrīt kādi divi no šiem elementiem: augstums ar bisektri; bisektors ar mediānu; mediāna ar augstumu - mēs noteikti varam secināt, ka trīsstūris ir vienādsānu.
Figūras ģeometriskās īpašības
1. Vienādsānu trīsstūra īpašības. Viena no figūras atšķirīgajām īpašībām ir leņķu vienādība, kas atrodas blakus pamatnei:
<ВАС = <ВСА.
2. Iepriekš tika apspriesta vēl viena īpašība: mediāna, bisektrise un augstums vienādsānu trīsstūrī sakrīt, ja tie ir veidoti no tā virsotnes līdz pamatnei.
3. Bisektriņu vienādība, kas novilkta no pamatnes virsotnēm:
Ja AE ir leņķa BAC bisektrise un CD ir leņķa BCA bisektrise, tad: AE = DC.
4. Vienādsānu trijstūra īpašības nodrošina arī augstumu vienādību, kas tiek novilkta no virsotnēm pie pamatnes.
Ja konstruēsim trijstūra ABC (kur AB = BC) augstumus no virsotnēm A un C, tad iegūtie segmenti CD un AE būs vienādi.
5. Mediānas, kas novilktas no stūriem pie pamatnes, arī būs vienādas.
Tātad, ja AE un DC ir mediānas, tas ir, AD = DB un BE = EC, tad AE = DC.
Vienādsānu trīsstūra augstums
Sānu un leņķu vienādība ar tām ievieš dažas iezīmes aplūkojamās figūras elementu garumu aprēķināšanā.
Augstums vienādsānu trijstūrī sadala figūru 2 simetriskos taisnleņķa trīsstūros, kuru hipotenūzas atrodas sānos. Augstumu šajā gadījumā nosaka saskaņā ar Pitagora teorēmu kā kāju.
Trīsstūrim var būt vienādas visas trīs malas, tad to sauks vienādmalu. Augstumu vienādmalu trijstūrī nosaka līdzīgi, tikai aprēķiniem pietiek zināt tikai vienu vērtību - šī trijstūra malas garumu.
Augstumu var noteikt citā veidā, piemēram, zinot pamatni un tai piegulošo leņķi.
Vienādsānu trīsstūra mediāna
Aplūkojamo trīsstūra veidu tā ģeometrisko īpašību dēļ var atrisināt pavisam vienkārši, izmantojot minimālu sākotnējo datu kopu. Tā kā mediāna vienādsānu trijstūrī ir vienāda gan ar tā augstumu, gan bisektrisi, tās noteikšanas algoritms neatšķiras no šo elementu aprēķināšanas procedūras.
Piemēram, jūs varat noteikt mediānas garumu pēc zināmās sānu malas un virsotnes leņķa lieluma.
Kā noteikt perimetru
Tā kā aplūkojamās planimetriskās figūras abas malas vienmēr ir vienādas, lai noteiktu perimetru, pietiek zināt pamatnes garumu un vienas malas garumu.
Apskatīsim piemēru, kad jums ir jānosaka trijstūra perimetrs, izmantojot zināmu pamatni un augstumu.
Perimetrs ir vienāds ar pamatnes summu un divkāršu sānu garumu. Savukārt sānu malu definē, izmantojot Pitagora teorēmu kā taisnleņķa trijstūra hipotenūzu. Tā garums ir vienāds ar kvadrātsakni no augstuma kvadrāta summas un kvadrātveida pusi pamatnes.
Vienādsānu trīsstūra laukums
Kā likums, vienādsānu trīsstūra laukuma aprēķināšana nesagādā grūtības. Universālais noteikums trijstūra laukuma noteikšanai kā puse no pamatnes un tā augstuma reizinājuma ir piemērojams, protams, mūsu gadījumā. Tomēr vienādsānu trīsstūra īpašības atkal atvieglo uzdevumu.
Pieņemsim, ka ir zināms augstums un leņķis, kas atrodas blakus pamatnei. Ir nepieciešams noteikt figūras laukumu. To var izdarīt šādā veidā.
Tā kā jebkura trīsstūra leņķu summa ir 180°, nav grūti noteikt leņķa lielumu. Tālāk, izmantojot proporciju, kas sastādīta saskaņā ar sinusu teorēmu, tiek noteikts trijstūra pamatnes garums. Ir pieejams viss, pamatne un augstums - pietiekami daudz datu, lai noteiktu platību.
Citas vienādsānu trīsstūra īpašības
Ap vienādsānu trīsstūri apzīmētā riņķa centra atrašanās vieta ir atkarīga no virsotnes leņķa lieluma. Tātad, ja vienādsānu trīsstūris ir akūts, apļa centrs atrodas figūras iekšpusē.
Tā apļa centrs, kas apvilkts ap neasu vienādsānu trīsstūri, atrodas ārpus tā. Un visbeidzot, ja leņķis virsotnē ir 90°, centrs atrodas tieši pamatnes vidū, un apļa diametrs iet caur pašu pamatni.
Lai noteiktu ap vienādsānu trijstūri apvilkta riņķa rādiusu, pietiek ar malas garumu dalīt ar divkāršu kosinusu no virsotnes leņķa puses.
Starp visiem trijstūriem ir divi īpaši veidi: taisnstūri un vienādsānu trīsstūri. Kāpēc šie trīsstūri ir tik īpaši? Pirmkārt, šādi trīsstūri ārkārtīgi bieži izrādās pirmās daļas vienotā valsts eksāmena problēmu galvenie varoņi. Un, otrkārt, uzdevumus par taisnstūriem un vienādsānu trīsstūriem ir daudz vieglāk atrisināt nekā citas ģeometrijas problēmas. Jums vienkārši jāzina daži noteikumi un īpašības. Visas interesantākās lietas tiek apspriestas attiecīgajā tēmā, bet tagad apskatīsim vienādsānu trīsstūrus. Un, pirmkārt, kas ir vienādsānu trīsstūris? Vai arī, kā saka matemātiķi, kāda ir vienādsānu trīsstūra definīcija?
Skatiet, kā tas izskatās:
Tāpat kā taisnstūrim, arī vienādsānu trīsstūrim tā malām ir īpaši nosaukumi. Tiek sauktas divas vienādas puses puses, un trešā puse - pamata.
Un atkal pievērsiet uzmanību attēlam:
Tas, protams, varētu būt šādi:
Tāpēc esiet uzmanīgi: sānu puse - viena no divām vienādām pusēm vienādsānu trīsstūrī, un pamats ir trešā persona.
Kāpēc vienādsānu trīsstūris ir tik labs? Lai to saprastu, uzzīmēsim augstumu līdz pamatnei. Vai atceries, kāds ir augums?
Kas notika? No viena vienādsānu trijstūra iegūstam divus taisnstūrveida.
Tas jau ir labi, bet tas notiks jebkurā, pat "slīpākajā" trīsstūrī.
Kā attēls atšķiras vienādsānu trīsstūrī? Paskaties vēlreiz:
Pirmkārt, protams, šiem dīvainajiem matemātiķiem nepietiek tikai ar to, ka viņi redz - viņiem noteikti jāpierāda. Pretējā gadījumā pēkšņi šie trīsstūri nedaudz atšķiras, bet mēs tos uzskatīsim par vienādiem.
Bet neuztraucieties: šajā gadījumā pierādīt ir gandrīz tikpat viegli kā redzēt.
Sāksim? Paskatieties uzmanīgi, mums ir:
Un tas nozīmē! Kāpēc? Jā, mēs vienkārši atradīsim un, un no Pitagora teorēmas (tajā pašā laikā to atceroties)
Vai tu esi pārliecināts? Nu, tagad mums ir
Un no trim pusēm - vienkāršākā (trešā) trijstūra vienlīdzības zīme.
Nu, mūsu vienādsānu trīsstūris ir sadalīts divos identiskos taisnstūrveida.
Redzi, cik tas ir interesanti? Izrādījās, ka:
Kā matemātiķi parasti par to runā? Ejam secībā:
(Šeit atcerieties, ka mediāna ir līnija, kas novilkta no virsotnes, kas sadala malu uz pusēm, un bisektrise ir leņķis.)
Nu, šeit mēs apspriedām, ko labu var redzēt, ja dots vienādsānu trīsstūris. Mēs secinājām, ka vienādsānu trīsstūrī leņķi pie pamatnes ir vienādi, un augstums, bisektrise un mediāna, kas novilkta uz pamatni, sakrīt.
Un tagad rodas vēl viens jautājums: kā atpazīt vienādsānu trīsstūri? Tas ir, kā saka matemātiķi, kas ir vienādsānu trīsstūra pazīmes?
Un izrādās, ka jums vienkārši "jāapgriež" visi apgalvojumi otrādi. Tas, protams, ne vienmēr notiek, bet vienādsānu trīsstūris joprojām ir lieliska lieta! Kas notiek pēc “apgrozījuma”?
Nu paskaties:
Ja augstums un mediāna sakrīt, tad:
Ja augstums un bisektrise sakrīt, tad: 
Ja bisektrise un mediāna sakrīt, tad:
Nu, neaizmirstiet un izmantojiet:
- Ja jums ir dots vienādsānu trīsstūris, droši uzzīmējiet augstumu, iegūstiet divus taisnleņķa trīsstūrus un atrisiniet uzdevumu par taisnstūra trīsstūri.
- Ja tas tiek dots divi leņķi ir vienādi, tad trīsstūris tieši tā vienādsānu, un jūs varat uzzīmēt augstumu un… (Māja, ko Džeks uzcēla…).
- Ja izrādās, ka augstums ir dalīts uz pusēm, tad trīsstūris ir vienādsānu ar visiem no tā izrietošajiem bonusiem.
- Ja izrādās, ka augstums sadala leņķi starp stāviem - tas arī ir vienādsānu!
- Ja bisektrise dala malu uz pusēm vai mediāna sadala leņķi, tad arī tas notiek tikai vienādsānu trīsstūrī
Paskatīsimies, kā tas izskatās uzdevumos.
1. problēma(vienkāršākais)
Trijstūrī malas un ir vienādas, a. Atrast.
Mēs nolemjam:
Vispirms zīmējums.
Kāds šeit ir pamats? Noteikti,.
Atcerēsimies, ja būtu, tad un.
Atjaunināts zīmējums:
Apzīmēsim ar. Kāda ir trijstūra leņķu summa? ?
Mēs izmantojam:
Tas ir atbilde: .
Nav grūti, vai ne? Man pat nebija jāpielāgo augstums.
2. problēma(Arī nav ļoti viltīgs, bet mums ir jāatkārto tēma)
Trīsstūrī,. Atrast.
Mēs nolemjam:
Trīsstūris ir vienādsānu! Uzzīmējam augstumu (tas ir triks, ar kuru tagad viss izšķirsies).
Tagad “izsvītrosim no dzīves”, paskatīsimies uz to.
Tātad, mums ir:
Atcerēsimies kosinusu tabulas vērtības (nu, vai paskatīsimies uz apkrāptu lapu...)
Atliek tikai atrast: .
Atbilde: .
Ņemiet vērā, ka mēs šeit Ļoti nepieciešamās zināšanas par taisnleņķa trijstūriem un “tabulas” sinusiem un kosinusiem. Ļoti bieži tā notiek: tēmas “Vienādsānu trīsstūris” un uzdevumos iet kopā, bet nav īpaši draudzīgas ar citām tēmām.
Vienādsānu trīsstūris. Vidējais līmenis.
Šie divas vienādas puses tiek saukti puses, A trešā mala ir vienādsānu trīsstūra pamats.
Apskatiet attēlu: un - malas, - vienādsānu trīsstūra pamatu.
Izmantosim vienu attēlu, lai saprastu, kāpēc tas notiek. Zīmēsim augstumu no punkta.
Tas nozīmē, ka visi atbilstošie elementi ir vienādi.
Visi! Vienā rāvienā (augstumā) viņi pierādīja visus apgalvojumus uzreiz.
Un atcerieties: lai atrisinātu uzdevumu par vienādsānu trijstūri, bieži vien ir ļoti noderīgi pazemināt augstumu līdz vienādsānu trijstūra pamatnei un sadalīt to divos vienādos taisnstūra trīsstūros.
Vienādsānu trīsstūra zīmes
Arī pretējie apgalvojumi ir patiesi:
Gandrīz visus šos apgalvojumus atkal var pierādīt “ar vienu rāvienu”.
1. Tātad, ielaist izrādījās vienāds un.
Pārbaudīsim augstumu. Tad
2. a) Tagad ielaidiet kādu trīsstūri augstums un bisektrise sakrīt.
2. b) Un ja augstums un mediāna sakrīt? Viss ir gandrīz vienāds, ne sarežģītāk!
 |
- no divām pusēm |
2. c) Bet ja nav augstuma, kuru nolaiž līdz vienādsānu trijstūra pamatnei, tad sākotnēji taisnleņķa trijstūri nav. Slikti!
Bet ir izeja - izlasiet to nākamajā teorijas līmenī, jo šeit pierādījums ir sarežģītāks, bet pagaidām atcerieties, ka, ja mediāna un bisektrise sakrīt, tad arī trīsstūris izrādīsies vienādsānu, un augstums joprojām sakritīs ar šīm bisektrijām un mediānu.
Apkoposim:
- Ja trīsstūris ir vienādsānu, tad leņķi pie pamatnes ir vienādi, un augstums, bisektrise un mediāna, kas novilkta uz pamatni, sakrīt.
- Ja kādā trijstūrī ir divi vienādi leņķi vai kādas divas no trim taisnēm (bisektrise, mediāna, augstums) sakrīt, tad šāds trīsstūris ir vienādsānu.
Vienādsānu trīsstūris. Īss apraksts un pamatformulas
Vienādsānu trīsstūris ir trijstūris, kuram ir divas vienādas malas.
Vienādsānu trīsstūra pazīmes:
- Ja noteiktā trijstūrī divi leņķi ir vienādi, tad tas ir vienādsānu.
- Ja kādā trijstūrī tie sakrīt:
A) augstums un bisektrise vai
b) augstums un mediāna vai
V) mediāna un bisektori,
novilkts uz vienu pusi, tad šāds trīsstūris ir vienādsānu.
PĀRĒJIE 2/3 RAKSTI IR PIEEJAMI TIKAI YOUCLEVER STUDENTIEM!
Kļūsti par YouClever studentu,
Sagatavojies vienotajam valsts eksāmenam vai vienotajam valsts eksāmenam matemātikā par cenu “tase kafijas mēnesī”,
Un arī iegūstiet neierobežotu piekļuvi mācību grāmatai “YouClever”, sagatavošanas programmai “100gia” (risinātāju grāmatai), neierobežotam izmēģinājuma Vienotajam valsts eksāmenam un Vienotajam valsts eksāmenam, 6000 problēmu ar risinājumu analīzi un citiem YouClever un 100gia pakalpojumiem.
