Sāciet zinātnē. Pētnieciskais darbs "pīķa formula" Formula figūras laukuma aprēķināšanai pa šūnām

Darba teksts ievietots bez attēliem un formulām.
Pilna versija darbs ir pieejams cilnē "Darba faili" PDF formātā

Ievads

Esmu 6. klases skolniece. Ģeometriju sāku mācīties pagājušajā gadā, jo skolā mācos, izmantojot mācību grāmatu “Matemātika. Aritmētika. Ģeometrija”, ko rediģēja E.A. Bunimovičs, L.V.Kuzņecova, S.S. Minaeva un citi.

Vislielāko uzmanību piesaistīja tēmas “Figūras laukumi” un “Formulu sastādīšana”. Ievēroju, ka vienādu figūru laukumus var atrast Dažādi ceļi. Ikdienā mēs bieži saskaramies ar telpas atrašanas problēmu. Piemēram, atrodiet grīdas laukumu, kas būs jākrāso. Tas ir kuriozi, jo, lai iegādātos nepieciešamo tapešu daudzumu remontam, ir jāzina telpas lielums, t.i. sienas laukums. Kvadrāta, taisnstūra un taisnstūra trīsstūra laukuma aprēķināšana man nesagādāja nekādas grūtības.

Ieinteresējusies par šo tēmu, sāku meklēt papildus materiālus internetā. Meklēšanas rezultātā es uzgāju Picka formulu - tā ir formula daudzstūra laukuma aprēķināšanai, kas uzzīmēta uz rūtainā papīra. Man šķita, ka laukuma aprēķināšana pēc šīs formulas ir pieejama jebkuram skolēnam. Tāpēc nolēmu nodarboties ar pētniecisko darbu.

Tēmas atbilstība:

Šī tēma ir ģeometrijas kursa apguves papildinājums un padziļinājums.

Šīs tēmas apgūšana palīdzēs labāk sagatavoties olimpiādēm un eksāmeniem.

Darba mērķis:

Iepazīstieties ar Peak formulu.

Apgūstiet ģeometrisko uzdevumu risināšanas paņēmienus, izmantojot Pick formulu.

Sistematizēt un apkopot teorētiskos un praktiskos materiālus.

Pētījuma mērķi:

Risinot problēmas, pārbaudiet formulas izmantošanas efektivitāti un iespējamību.

Iemācieties pielietot Peak formulu dažādas sarežģītības problēmās.

Salīdziniet problēmas, kas atrisinātas, izmantojot Pick formulu un tradicionālo metodi.

Galvenā daļa

1.1. Vēsturiska atsauce

Georgs Aleksandrs Pīks — austriešu matemātiķis, dzimis 1859. gada 10. augustā. Viņš bija apdāvināts bērns, viņu mācīja tēvs, kurš vadīja privāto institūtu. 16 gadu vecumā Georgs absolvēja skolu un iestājās Vīnes Universitātē. 20 gadu vecumā viņš saņēma tiesības mācīt fiziku un matemātiku. Viņa formula daudzstūru režģa laukuma noteikšanai atnesa viņam pasaules slavu. Savu formulu viņš publicēja rakstā 1899. gadā. Tas kļuva populārs, kad poļu zinātnieks Hugo Steinhaus iekļāva to 1969. gada matemātisko momentuzņēmumu publikācijā.

Georgs Pīks ieguva izglītību Vīnes Universitātē un 1880. gadā aizstāvēja doktora grādu. Pēc doktora grāda iegūšanas viņš tika iecelts par Ernesta Mača asistentu Šerla-Ferdinanda universitātē Prāgā. Tur viņš kļuva par skolotāju. Viņš palika Prāgā līdz aiziešanai pensijā 1927. gadā un pēc tam atgriezās Vīnē.

Pikks vadīja Vācijas Prāgas universitātes komiteju, kas 1911. gadā iecēla Einšteinu par matemātiskās fizikas katedras profesoru.

Viņš tika ievēlēts par Čehijas Zinātņu un mākslas akadēmijas locekli, bet tika izslēgts pēc tam, kad nacisti ieņēma Prāgu.

Kad 1938. gada 12. martā nacisti ienāca Austrijā, viņš atgriezās Prāgā. 1939. gada martā nacisti iebruka Čehoslovākijā. 1942. gada 13. jūlijā Pīks tika deportēts uz Theresienstadt nometni, ko nacisti izveidoja Bohēmijas ziemeļos, kur viņš nomira divas nedēļas vēlāk 82 gadu vecumā.

1.2. Pētījumi un pierādījumi

Es sāku savu pētniecisko darbu, uzdodot jautājumu: kādus figūru laukumus es varu atrast? Es varētu izveidot formulu, lai aprēķinātu dažādu trīsstūru un četrstūru laukumu. Bet kā ir ar piecu, sešu un vispār daudzstūriem?

Veicot pētījumus dažādās vietnēs, es redzēju risinājumus problēmām, kas saistītas ar piecu, sešu un citu daudzstūru laukuma aprēķināšanu. Formulu, kas ļauj atrisināt šīs problēmas, sauca par Picka formulu. Viņa izskatās šādi :S =B+G/2-1, Kur IN- mezglu skaits, kas atrodas daudzstūra iekšpusē, G- mezglu skaits, kas atrodas uz daudzstūra robežas. Šīs formulas īpatnība ir tāda, ka to var izmantot tikai daudzstūriem, kas uzzīmēti uz rūtainā papīra.

Jebkuru šādu daudzstūri var viegli sadalīt trīsstūros ar virsotnēm režģa mezglos un nesatur mezglus ne iekšpusē, ne sānos. Var parādīt, ka visu šo trīsstūru laukumi ir vienādi un vienādi ar ½, un tāpēc daudzstūra laukums ir vienāds ar pusi no to skaita T.

Lai atrastu šo skaitli, apzīmēsim ar n daudzstūra malu skaitu, ar IN- mezglu skaits tajā, cauri G- mezglu skaits sānos, ieskaitot virsotnes. Visu trīsstūru kopējā leņķu summa ir 180°. T.

Tagad atradīsim summu citā veidā.

Leņķu summa ar virsotni jebkurā iekšējā mezglā ir 2,180°, t.i. kopējā leņķu summa ir 360°. IN; kopējā leņķu summa mezgliem sānos, bet ne virsotnēs ir ( G-n)180°, un leņķu summa daudzstūra virsotnēs būs vienāda ar ( G-2) 180°. Tādējādi T= 2,180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Atverot iekavas un dalot ar 360°, mēs iegūstam daudzstūra laukuma S formulu, kas pazīstama kā Picka formula.

2. Praktiskā daļa

Es nolēmu pārbaudīt šo formulu ar uzdevumiem no OGE-2017 kolekcijas. Radās problēmas ar trīsstūra, četrstūra un piecstūra laukuma aprēķināšanu. Es nolēmu salīdzināt atbildes, risinot divos veidos: 1) papildināju figūras līdz taisnstūrim un no iegūtā taisnstūra laukuma atņēmu taisnstūra trijstūri laukumu; 2) izmantoja Pick formulu.

S = 18-1,5-4,5 = 12 un S = 7+12/2-1 = 12

S = 24-9-3 = 12 un S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 = 49 un S = 43+14/2-1 = 49

Salīdzinot rezultātus, secinu, ka abas formulas sniedz vienu un to pašu atbildi. Figūras laukuma atrašana, izmantojot Picka formulu, izrādījās ātrāka un vienkāršāka, jo bija mazāk aprēķinu. Risinājuma vienkāršība un laika ietaupījums aprēķiniem man noderēs nākotnē, veicot OGE.

Tas mani pamudināja pārbaudīt iespēju piemērot Pick formulu sarežģītākām figūrām.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Secinājums

Peak formula ir viegli saprotama un viegli lietojama. Pirmkārt, pietiek ar spēju skaitīt, dalīt ar 2, saskaitīt un atņemt. Otrkārt, jūs varat atrast sarežģītas figūras laukumu, netērējot daudz laika. Treškārt, šī formula darbojas jebkuram daudzstūrim.

Trūkums ir tāds, ka Pick Formula ir piemērojama tikai tām figūrām, kuras ir uzzīmētas uz rūtainā papīra un kuru virsotnes atrodas uz rūtainā papīra mezgliem.

Esmu pārliecināts, ka, kārtojot gala eksāmenus, problēmas ar skaitļu laukuma aprēķināšanu nesagādās grūtības. Galu galā es jau zinu ar Peak formulu.

Bibliogrāfija

Bunimovičs E.A., Dorofejevs G.V., Suvorova S.B. un citi.. Matemātika. Aritmētika. Ģeometrija. 5. klase: izglītojoša. vispārējai izglītībai organizācijas ar adj. uz elektronu pārvadātājs - 3. izd. - M.: Izglītība, 2014.- 223, lpp. : slim. - (Sfēras).

Bunimovičs E.A., Kuzņecova L.V., Minaeva S.S. un citi.. Matemātika. Aritmētika. Ģeometrija. 6. klase: izglītojoša. vispārējai izglītībai organizācijas-5.izd.-M.: Izglītība, 2016.-240 lpp. : slim.- (Sfēras).

Vasiļjevs N.B. Ap Pick formulu. //Kvant.- 1974.-2.nr. -39.-43.lpp

Rassolovs V.V. Problēmas planimetrijā. / 5. izd., rev. Un papildus - M.: 2006.-640.gadi.

I.V. Jaščenko. OGE. Matemātika: standarta eksāmena iespējas: O-39 36 iespējas - M.: Tautas izglītības apgāds, 2017. -240 lpp. - (OGE. FIPI-skola).

“Es atrisināšu OGE”: matemātika. Dmitrija Guščina apmācības sistēma. OGE-2017: uzdevumi, atbildes, risinājumi [Elektroniskais resurss]. Piekļuves režīms: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (piekļuves datums 04.02.2017.)

Ir brīnišķīga formula, kas ļauj aprēķināt daudzstūra laukums uz koordinātu režģa gandrīz bez kļūdām. Tā pat nav formula, tā ir reāla. teorēma. No pirmā acu uzmetiena tas var šķist sarežģīti. Bet pietiek ar pāris problēmu atrisināšanu, un jūs sapratīsit, cik šī funkcija ir forša. Tātad uz priekšu!

Vispirms ieviesīsim jaunu definīciju:

Režģa mezgls ir jebkurš punkts, kas atrodas šī režģa vertikālo un horizontālo līniju krustpunktā.

Apzīmējums:

Pirmajā attēlā mezgli nav atzīmēti vispār. Otrajā ir redzami 4 mezgli. Visbeidzot, trešajā attēlā redzami visi 16 mezgli.

Kā tas ir saistīts ar uzdevumu B5? Fakts ir tāds, ka daudzstūra virsotnes šādās problēmās Vienmēr gulēt pie režģa mezgliem. Rezultātā viņiem darbojas šāda teorēma:

Teorēma. Aplūkosim koordinātu režģa daudzstūri, kura virsotnes atrodas šī režģa mezglos. Tad daudzstūra laukums ir:

kur n ir mezglu skaits dotajā daudzstūrī, k ir to mezglu skaits, kas atrodas uz tā robežas (robežmezgli).

Kā piemēru apsveriet parastu trīsstūri uz koordinātu režģa un mēģiniet atzīmēt iekšējos un robežmezglus.

Pirmajā attēlā redzams parasts trīsstūris. Otrajā attēlā redzami tā iekšējie mezgli, kuru skaits ir n = 10. Trešajā attēlā redzami mezgli, kas atrodas uz robežas, kopā ir k = 6.

Daudziem lasītājiem var būt neskaidrs, kā saskaitīt skaitļus n un k. Sāciet ar iekšējiem mezgliem. Šeit viss ir acīmredzams: krāsojiet trīsstūri ar zīmuli un skatiet, cik mezglu ir pārklāti.

Robežmezgli ir nedaudz sarežģītāki. Daudzstūra apmale - slēgta polilīnija, kas daudzos punktos krusto koordinātu režģi. Vienkāršākais veids ir atzīmēt kādu “sākuma” punktu un pēc tam apiet pārējo.

Robežmezgli būs tikai tie polilīnijas punkti, kuros tie vienlaikus krustojas trīs rindas:

Patiesībā tā ir pārtraukta līnija;
Horizontālā režģa līnija;
Vertikālā līnija.

Apskatīsim, kā tas viss darbojas reālās problēmās.

Uzdevums. Atrodiet trīsstūra laukumu, ja šūnas izmērs ir 1 x 1 cm:

Vispirms atzīmēsim mezglus, kas atrodas trīsstūra iekšpusē, kā arī uz tā robežas:

Izrādās, ka ir tikai viens iekšējais mezgls: n = 1. Ir pat seši robežmezgli: trīs sakrīt ar trijstūra virsotnēm, un vēl trīs atrodas sānos. Kopā k = 6.

Tagad mēs aprēķinām laukumu, izmantojot formulu:

Tas ir viss! Problēma ir atrisināta.

Uzdevums. Atrodiet četrstūra laukumu, kas attēlots uz rūtainā papīra, kura šūnas izmērs ir 1 x 1 cm. Atbildi sniedziet kvadrātcentimetros.

Atkal atzīmējiet iekšējos un robežmezglus. Ir tikai n = 2 iekšējie mezgli. K = 7 robežmezgli, no kuriem 4 ir četrstūra virsotnes, un vēl 3 atrodas sānos.

Atliek apgabala formulā aizstāt skaitļus n un k:

pievērs uzmanību pēdējais piemērs. Šis uzdevums faktiski tika ierosināts diagnostikas darba laikā 2012. gadā. Ja strādājat pēc standarta shēmas, jums būs jāveic daudz papildu konstrukciju. Un ar mezglu metodi viss tiek atrisināts gandrīz mutiski.

Svarīga piezīme par zonām

Bet formula nav viss. Nedaudz pārrakstīsim formulu, pievienojot terminus labajā pusē uz kopsaucēju. Mēs iegūstam:

Skaitļi n un k ir mezglu skaits, tie vienmēr ir veseli skaitļi. Tas nozīmē, ka viss skaitītājs ir arī vesels skaitlis. Mēs to sadalām ar 2, kas noved pie svarīga fakta:

Platība vienmēr ir izteikta vesels skaitlis vai daļskaitlis. Turklāt frakcijas beigās vienmēr ir “piecas desmitdaļas”: 10,5; 17.5 utt.

Tādējādi apgabals uzdevumā B5 vienmēr tiek izteikts kā formas ***,5 vesels skaitlis vai daļa. Ja atbilde ir atšķirīga, tas nozīmē, ka kaut kur ir bijusi kļūda. Atcerieties to, kārtojot īsto vienoto valsts eksāmenu matemātikā!

Gibadullina G.I. (Nurlat, MAOU 1. vidusskola)

1. Bunimovičs E.A., Dorofejevs G.V., Suvorova S.B. un citi.. Matemātika. Aritmētika. Ģeometrija. 5. klase: izglītojoša. vispārējai izglītībai organizācijas ar adj. uz elektronu pārvadātājs - 3. izd. – M.: Izglītība, 2014. – 223, lpp. : slim. – (Sfēras).

2. Bunimovičs E.A., Kuzņecova L.V., Minaeva S.S. un citi.. Matemātika. Aritmētika. Ģeometrija. 6. klase: izglītojoša. vispārējai izglītībai organizācijām. 5. izd. – M.: Izglītība, 2016. – 240 lpp.: ill. – (Sfēras).

3. Vasiļjevs N.B. Ap Pick formulu // Quantum. – 1974. – 2.nr. – 39.–43.lpp.

4. Rassolovs V.V. Problēmas planimetrijā. 5. izd., red. un papildu – M.: 2006. – 640 lpp.

5. Jaščenko I.V. OGE. Matemātika: eksāmena standarta varianti: O-39 36 iespējas - M.: Apgāds "Tautas izglītība", 2017. - 240 lpp. - (OGE. FIPI - skola).

6. Es atrisināšu OGE: matemātika. Dmitrija Guščina apmācības sistēma. OGE-2017: uzdevumi, atbildes, risinājumi [Elektroniskais resurss]. – Piekļuves režīms: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (piekļuves datums 04/02/2017).

Vislielāko uzmanību piesaistīja tēmas “Figūras laukumi” un “Formulu sastādīšana”. Es pamanīju, ka vienādu figūru laukumus var atrast dažādi. Ikdienā mēs bieži saskaramies ar telpas atrašanas problēmu. Piemēram, atrodiet grīdas laukumu, kas būs jākrāso. Tas ir kuriozi, jo, lai iegādātos nepieciešamo tapešu daudzumu remontam, ir jāzina telpas lielums, t.i. sienas laukums. Kvadrāta, taisnstūra un taisnstūra trīsstūra laukuma aprēķināšana man nesagādāja nekādas grūtības.

Tēmas atbilstība. Šī tēma ir ģeometrijas kursa apguves papildinājums un padziļinājums.

Šīs tēmas apgūšana palīdzēs labāk sagatavoties olimpiādēm un eksāmeniem.

Darba mērķis:

1. Iepazīstieties ar Pick formulu.

2. Apgūt ģeometrisko uzdevumu risināšanas paņēmienus, izmantojot Pick formulu.

3. Sistematizēt un vispārināt teorētiskos un praktiskos materiālus.

Pētījuma mērķi:

1. Pārbaudiet formulas izmantošanas efektivitāti un iespējamību problēmu risināšanā.

2. Iemācieties pielietot Pick formulu dažādas sarežģītības problēmās.

3. Salīdziniet problēmas, kas atrisinātas, izmantojot Pick formulu un tradicionālo metodi.

Galvenā daļa

Vēsturiska atsauce

Georgs Aleksandrs Pīks - austriešu matemātiķis, dzimis 10. augustā. Viņš bija apdāvināts bērns, viņu mācīja tēvs, kurš vadīja privāto institūtu. 16 gadu vecumā Georgs absolvēja skolu un iestājās Vīnes Universitātē. 20 gadu vecumā viņš saņēma tiesības mācīt fiziku un matemātiku. Viņa formula daudzstūru režģa laukuma noteikšanai atnesa viņam pasaules slavu. Savu formulu viņš publicēja rakstā 1899. gadā. Tas kļuva populārs, kad poļu zinātnieks Hugo Steinhaus iekļāva to 1969. gada matemātisko momentuzņēmumu publikācijā.

Pikks vadīja Vācijas Prāgas universitātes komiteju, kas 1911. gadā iecēla Einšteinu par matemātiskās fizikas katedras profesoru.

Viņš tika ievēlēts par Čehijas Zinātņu un mākslas akadēmijas locekli, bet tika izslēgts pēc tam, kad nacisti ieņēma Prāgu.

Pētījumi un pierādījumi

Veicot pētījumus dažādās vietnēs, es redzēju risinājumus problēmām, kas saistītas ar piecu, sešu un citu daudzstūru laukuma aprēķināšanu. Formulu, kas ļauj atrisināt šīs problēmas, sauca par Picka formulu. Tas izskatās šādi: S=B+G/2-1, kur B ir daudzstūra iekšpusē esošo mezglu skaits, G ir to mezglu skaits, kas atrodas uz daudzstūra robežas. Šīs formulas īpatnība ir tāda, ka to var izmantot tikai daudzstūriem, kas uzzīmēti uz rūtainā papīra.

Lai atrastu šo skaitli, apzīmēsim ar n daudzstūra malu skaitu, ar B – mezglu skaitu tā iekšpusē un ar G – mezglu skaitu malās, ieskaitot virsotnes. Visu trīsstūru kopējā leņķu summa ir 180°. T.

Tagad atradīsim summu citā veidā.

Leņķu summa ar virsotni jebkurā iekšējā mezglā ir 2,180°, t.i. kopējā leņķu summa ir 360°. IN; kopējā leņķu summa mezglos malās, bet ne virsotnēs, ir vienāda ar (Г - n)180°, un leņķu summa daudzstūra virsotnēs būs vienāda ar (Г - 2)180° . Tādējādi T=2,180°. B+(G-n)180°+(n-2)180°. Atverot iekavas un dalot ar 360°, mēs iegūstam daudzstūra laukuma S formulu, kas pazīstama kā Picka formula.

Praktiskā daļa

S = 18-1,5-4,5 = 12 un S = 7+12/2-1 = 12.

S = 24-9-3 = 12 un S = 7+12/2-1 = 12.

S = 77-7,5-12-4,5-4 = 49 un S = 43+14/2-1 = 49.

Tas mani pamudināja pārbaudīt iespēju piemērot Pick formulu sarežģītākām figūrām.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Secinājums

Trūkums ir tāds, ka Pick Formula ir piemērojama tikai tām figūrām, kuras ir uzzīmētas uz rūtainā papīra un kuru virsotnes atrodas uz rūtainā papīra mezgliem.

Esmu pārliecināts, ka, kārtojot gala eksāmenus, problēmas ar skaitļu laukuma aprēķināšanu nesagādās grūtības. Galu galā es jau zinu ar Peak formulu.

Bibliogrāfiskā saite

Gabbazovs N.N. PEAK FORMULA // Sāciet zinātnē. – 2017. – Nr.6-1. – P. 130-132;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=908 (piekļuves datums: 03.05.2020.).

Vikivārdnīcā ir ieraksts par "līdaku" Līdaka Karā: Līdaka ir aukstā caurduršanas ierocis, garo šķēpu veids. Pikemen ir kājnieku veids Eiropas armijās 16. un 18. gadsimta sākumā. Pickelhelm (p... Wikipedia

Picka teorēma (kombinatoriskā ģeometrija)- В=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Picka teorēma ir klasisks kombinatoriskās ģeometrijas un skaitļu ģeometrijas rezultāts. Daudzstūra laukums ar veselu skaitli ... Wikipedia

Trīsstūris- Šim terminam ir arī citas nozīmes, skat. Trīsstūris (nozīmes). Trijstūris (Eiklīda telpā) ir ģeometriska figūra, ko veido trīs segmenti, kas savieno trīs punktus, kas neatrodas vienā taisnē. Trīs punkti,... ... Vikipēdija

Trapecveida- Šim terminam ir citas nozīmes, skatiet Trapezium (nozīmes). Trapecveida forma (no citu grieķu valodas τραπέζιον “tabula”; ... Wikipedia

Četrstūris- QUADAGONS ┌─────────────┼───────────── pašmijiedarbības nekonvekcija

Diagonāli- Regulāra diagona uz sfēras virsmas. Diagons ģeometrijā ir ... Wikipedia

Pentagons- Regulārs piecstūris (piecstūris) Piecstūris ir daudzstūris ar pieciem leņķiem. Jebkuru šīs formas objektu sauc arī par piecstūri. Iekšējā ... Wikipedia apjoms

Sešstūris- Regulārs sešstūris Sešstūris ir daudzstūris ar sešiem stūriem. Jebkuru šīs formas objektu sauc arī par sešstūri. Izliekta sešstūra iekšējo leņķu summa p ... Wikipedia

Dodecagon- Pareizi dodecagon Dodecagon (grieķu... Wikipedia

Taisnstūris- Taisnstūris ir paralelograms, kura visi leņķi ir taisnleņķi (vienāds ar 90 grādiem). Piezīme. Eiklīda ģeometrijā, lai četrstūris būtu taisnstūris, pietiek ar to, ka vismaz trīs tā leņķi ir taisni. Ceturtais leņķis (sakarā ar ... Wikipedia

Grāmatas

Matemātikas klubs "Ķengurs". Izdevums Nr.8. Matemātika uz rūtainā papīra, . Izdevums veltīts dažādiem uzdevumiem un spēlēm, kas saistītas ar rūtainā papīra loksni. Jo īpaši tajā ir detalizēti apskatīts daudzstūra laukuma aprēķins, kura virsotnes atrodas...

Pick formula

Sažina Valērija Andrejevna, MAOU "11. vidusskolas" 9. klases skolniece Ust-Ilimskā, Irkutskas apgabalā

Pārraugs: Gubars Oksana Mihailovna, augstākās matemātikas skolotājs kvalifikācijas kategorija MAOU "11. vidusskola" Ust-Ilimsk, Irkutskas apgabals

2016. gads

Ievads

Studējot ģeometrijas tēmu “Daudzstūru apgabali”, es nolēmu noskaidrot: vai ir veids, kā atrast apgabalus, kas atšķiras no tiem, kurus mācījāmies stundā?

Šī metode ir Pick formula. L.V. Gorina “Skolēnu pašizglītības materiālos” šo formulu aprakstīja šādi: “Iepazīšanās ar Pīķa formulu ir īpaši svarīga vienotā valsts eksāmena un valsts eksāmena kārtošanas priekšvakarā. Izmantojot šo formulu, jūs varat viegli atrisināt lielu eksāmenos piedāvāto uzdevumu klasi - tās ir problēmas, kā atrast daudzstūra laukumu, kas attēlots uz rūtainā papīra. Pick mazā formula aizstās visu formulu komplektu, kas nepieciešams šādu problēmu risināšanai. Peak formula darbosies "viens par visiem..."!

Vienotā valsts eksāmena materiālos es saskāros ar problēmām ar praktisko saturu, meklējot zemes gabalu platību. Nolēmu pārbaudīt, vai šī formula ir piemērojama skolas teritorijas platības, pilsētas mikrorajonu, reģiona atrašanai. Un vai ir racionāli to izmantot problēmu risināšanai?

Pētījuma priekšmets: Picka formula.

Pētījuma priekšmets: Picka formulas racionāls pielietojums problēmu risināšanā.

Darba mērķis: pamatot Pick formulas izmantošanas racionalitāti, risinot uz rūtainā papīra attēloto figūru laukuma atrašanas problēmas.

Pētījuma metodes: modelēšana, salīdzināšana, vispārināšana, analoģijas, literāro un interneta resursu izpēte, informācijas analīze un klasifikācija.

Izvēlēties nepieciešamo literatūru, analizēt un sistematizēt saņemto informāciju;

Apsveriet dažādas metodes un paņēmienus problēmu risināšanai uz rūtainā papīra;

Eksperimentāli pārbaudiet Pick formulas izmantošanas racionalitāti;

Apsveriet šīs formulas piemērošanu.

Hipotēze: ja lietojat Picka formulu, lai atrastu daudzstūra laukumu, jūs varat atrast teritorijas laukumu, un uzdevumu risināšana uz rūtainā papīra būs racionālāka.

Galvenā daļa

Teorētiskā daļa

Rūtainais papīrs (precīzāk, tā mezgli), uz kura mēs bieži vien dodam priekšroku zīmēšanai un zīmēšanai, ir viens no svarīgākajiem punktu režģa piemēriem plaknē. Jau šis vienkāršais režģis kalpoja par sākumpunktu K. Gausam, lai salīdzinātu apļa laukumu ar punktu skaitu ar veseliem skaitļiem, kas atrodas tā iekšpusē. To, ka dažiem vienkāršiem ģeometriskiem apgalvojumiem par figūrām plaknē ir dziļas sekas aritmētiskajos pētījumos, G. Minkovskis skaidri pamanīja 1896. gadā, kad viņš pirmo reizi izmantoja ģeometriskās metodes, lai izskatītu skaitļu teorētiskās problēmas.

Uzzīmēsim uz rūtainā papīra kādu daudzstūri (1.pielikums, 1.attēls). Tagad mēģināsim aprēķināt tā platību. Kā to izdarīt? Iespējams, vienkāršākais veids ir sadalīt to taisnleņķa trīsstūros un trapecē, kuru laukumus ir viegli aprēķināt un saskaitīt rezultātus.

Izmantotā metode ir vienkārša, bet ļoti apgrūtinoša, turklāt tā nav piemērota visiem daudzstūriem. Tātad nākamo daudzstūri nevar sadalīt taisnleņķa trīsstūros, kā mēs to darījām iepriekšējā gadījumā (2. pielikums, 2. attēls). Varam, piemēram, mēģināt papildināt ar mums vajadzīgo “labo”, tas ir, tādam, kura laukumu varam aprēķināt aprakstītajā veidā, pēc tam no iegūtā skaitļa atņemt pievienoto daļu laukumus.

Tomēr izrādās, ka ir ļoti vienkārša formula, kas ļauj aprēķināt šādu daudzstūru laukumus ar virsotnēm kvadrātveida režģa mezglos.

Šo formulu 1899. gadā atklāja austriešu matemātiķis Pīks Georgs Aleksandrovs (1859 - 1943). Papildus šai formulai Georgs Pikks atklāja Pick, Pick-Julia, Pick-Nevalina teorēmas un pierādīja Švarca-Pika nevienādību.

Šī formula kādu laiku palika nepamanīta pēc Pica publicēšanas, bet 1949. gadā poļu matemātiķis Hugo Šteinhauss iekļāva teorēmu savā slavenajā "matemātiskajā kaleidoskopā". Kopš tā laika Picka teorēma ir kļuvusi plaši pazīstama. Vācijā Picka formula ir iekļauta skolu mācību grāmatās.

Tas ir klasisks kombinatoriskās ģeometrijas un skaitļu ģeometrijas rezultāts.

Picka formulas pierādījums

Lai ABCD ir taisnstūris ar virsotnēm mezglos un malām, kas iet gar režģa līnijām (3. pielikums, 3. attēls).

Apzīmēsim ar B to mezglu skaitu, kas atrodas taisnstūra iekšpusē, un ar G apzīmēsim mezglu skaitu uz tā robežas. Pārbīdīsim režģi par pusi šūnas pa labi un pusi šūnas

uz leju. Tad taisnstūra teritoriju starp mezgliem var “sadalīt” šādi: katrs no B mezgliem “kontrolē” veselu nobīdītā režģa šūnu, un katrs no G mezgliem kontrolē 4 robežmezglus, kas nav stūra mezgli – pusšūnas. , un katrs no stūra punktiem kontrolē ceturtdaļu šūnas. Tāpēc taisnstūra S laukums ir vienāds ar

S = B + + 4 · = B + - 1 .

Tātad taisnstūriem ar virsotnēm mezglos un malās gar režģa līnijām mēs izveidojām formulu S = B + - 1 . Šī ir Peak formula.

Izrādās, ka šī formula ir patiesa ne tikai taisnstūriem, bet arī patvaļīgiem daudzstūriem ar virsotnēm režģa mezglos.

Praktiskā daļa

Figūru laukuma atrašana, izmantojot ģeometrisko metodi un Pick formulu

Es nolēmu pārliecināties, vai Picka formula ir pareiza visiem aplūkotajiem piemēriem.

Izrādās, ja daudzstūri var sagriezt trijstūrī ar virsotnēm režģa mezglos, tad Picka formula ir patiesa.

Apskatīju dažas problēmas uz rūtainā papīra ar 1 cm1 cm kvadrātiem un izpildīju salīdzinošā analīze par problēmu risināšanu (tabula Nr. 1).

Tabula Nr.1 Problēmu risināšana dažādos veidos.

Zīmējums

Saskaņā ar ģeometrijas formulu

Pēc Picka formulas

Uzdevums Nr.1

S=S utt -(2S 1 +2S 2 )

S utt =4*5=20 cm 2

S 1 =(2*1)/2=1 cm 2

S 2 =(2*4)/2=4 cm 2

S=20-(2*1+2*4)=10 cm 2

Atbilde :10 cm ².

B = 8, D = 6

S= 8 + 6/2 - 1 = 10 (cm²)

Atbilde: 10 cm².

Uzdevums Nr.2

a = 2, h = 4

S=a*h=2*4=8 cm 2

Atbilde : 8 cm ².

B = 6, D = 6

S= 6 + 6/2 - 1 = 8 (cm²)

Atbilde: 8 cm².

Uzdevums Nr.3

S=S kv -(S 1 +2S 2 )

S kv =4 2 =16 cm 2

S 1 = (3 * 3) / 2 = 4,5 cm 2

S 2 = (1 * 4) / 2 = 2 cm 2

S=16-(4,5+2*2)=7,5 cm2

B = 6, D = 5

S= 6 + 5/2 - 1 = 7,5 (cm²)

Atbilde: 7,5 cm².

Uzdevums Nr.4

S=S utt -(S 1 +S 2+ S 3 )

S utt =4 * 3=12 cm 2

S 1 =(3*1)/2=1,5 cm 2

S 2 =(1*2)/2=1 cm 2

S 3 =(1+3)*1/2=2 cm 2

S=12-(1,5+1+2)=7,5 cm 2

B = 5, D = 7

S= 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (cm²)

Atbilde: 7,5 cm².

Uzdevums Nr. 5.

S=S utt -(S 1 +S 2+ S 3 )

S utt =6 * 5=30 cm 2

S 1 =(2*5)/2=5 cm 2

S 2 =(1*6)/2=3 cm 2

S 3 =(4*4)/2=8 cm 2

S=30-(5+3+8)=14 cm 2

Atbilde: 14 cm²

B = 12, D = 6

S= 12 + 6/2 - 1 = 14 (cm²)

Atbilde: 14 cm²

Uzdevums №6.

S tr =(4+9)/2*3=19,5 cm2

Atbilde: 19,5 cm2

H = 12, D = 17

S= 12 + 17/2 - 1 = 19,5 (cm²)

Atbilde: 19,5 cm2

Uzdevums №7. Atrodiet meža platību (m²), kas parādīta plānā ar kvadrātveida režģi 1 × 1 (cm) mērogā no 1 cm līdz 200 m

S = S 1 +S 2+ S 3

S 1 =(800*200)/2=80000 m 2

S 2 =(200*600)/2=60000 m 2

S 3 =(800+600)/2*400=

280000 m 2

S= 80000+60000+240000=

420 000 m2

Atbilde: 420 000 m²

B = 8, D = 7. S= 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S= 40 000 10,5 = 420 000 (m²)

Atbilde: 420 000 m²

Problēma Nr.8 . Atrodiet lauka laukumu (m²), kas parādīts plānā ar kvadrātveida režģi 1 × 1 (cm) mērogā

1 cm – 200 m.

S= S kv -2( S tr + S kāpnes)

S kvadrāts = 800 * 800 = 640 000 m 2

S tr =(200*600)/2=60000m2

S kāpnes =(200+800)/2*200=

100 000 m2

S=640000-2(60000+10000)=

320 000 m2

Atbilde: 320 000 m²

Risinājums. Atradīsim Sčetrstūra laukums, kas uzzīmēts uz rūtainā papīra, izmantojot Picka formulu:S= B + - 1

B = 7, D = 4. S= 7 + 4/2 - 1 = 8 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S= 40 000 8 = 320 000 (m²)

Atbilde: 320 000 m²

Problēma Nr.9 . Atrodiet apgabaluS sektoru, ņemot vērā kvadrātveida šūnu malas, kas vienādas ar 1. Atbildē norādiet .

Sektors ir viena ceturtā daļa no apļa, un tāpēc tā laukums ir viena ceturtā daļa no apļa laukuma. Apļa laukums ir πR 2 , Kur R – apļa rādiuss. Mūsu gadījumāR =√5 un līdz ar to arī apgabalsS sektors ir 5π/4. KurS/π=1,25.

Atbilde. 1.25.

Г = 5, В = 2, S= V + G/2 – 1 = 2 + 5/2 – 1 = 3,5, ≈ 1,11

Atbilde. 1.11.

Uzdevums Nr.10. Atrodiet apgabalu S gredzeni, ņemot vērā kvadrātveida šūnu malas, kas vienādas ar 1. Atbildē norādiet .

Gredzena laukums ir vienāds ar starpību starp ārējā un iekšējā apļa laukumiem. RādiussR ārējais aplis ir vienāds

2, rādiuss r iekšējais aplis ir 2. Tāpēc gredzena laukums ir 4un tāpēc. Atbilde: 4.

G = 8, B = 8, S= V + G/2 – 1 = 8 + 8/2 – 1 = 11, ≈ 3,5

Atbilde: 3.5

Secinājumi: Apskatītie uzdevumi ir līdzīgi uzdevumam no Vienotā valsts eksāmena matemātikā pārbaudes un mērīšanas materiālu variantiem (uzdevumi Nr. 5, 6).

No apskatītajiem uzdevumu risinājumiem es redzēju, ka dažus no tiem, piemēram, uzdevumus Nr. 2.6, ir vieglāk atrisināt, izmantojot ģeometriskās formulas, jo augstumu un pamatu var noteikt pēc zīmējuma. Bet lielākā daļa uzdevumu prasa figūras sadalīšanu vienkāršākos (uzdevums Nr. 7) vai uzbūvēt līdz taisnstūrim (uzdevumi Nr. 1,4,5), kvadrātā (uzdevumi Nr. 3,8).

Atrisinot uzdevumus Nr.9 un Nr.10, es redzēju, ka Pick formulas pielietošana skaitļiem, kas nav daudzstūri, dod aptuvenu rezultātu.

Lai pārbaudītu Peak formulas izmantošanas racionalitāti, veicu pētījumu par pavadīto laiku (4.pielikums, tabula Nr.2).

Secinājums: no tabulas un diagrammas (4.pielikums, diagramma 1) ir skaidrs, ka, risinot uzdevumus, izmantojot Peak formulu, tiek pavadīts daudz mazāk laika.

Telpisko formu virsmas laukuma atrašana

Pārbaudīsim šīs formulas pielietojamību telpiskām formām (5.pielikuma 4.attēls).

Atrodiet taisnstūra paralēlskaldņa kopējo virsmas laukumu, uzskatot, ka kvadrātveida šūnu malas ir vienādas ar 1.

Tas ir formulas trūkums.

Pīka formulas pielietojums, lai atrastu teritorijas laukumu

Risinot problēmas ar praktisko saturu (uzdevumi Nr. 7, 8; tabula Nr. 1), es nolēmu izmantot šo metodi, lai atrastu mūsu skolas teritorijas teritoriju, Ust-Ilimskas pilsētas mikrorajonus. , Irkutskas apgabals.

Iepazīstoties ar “Ust-Ilimskas zemes gabala MAOUSOSH Nr. 11 robežu projektu” (6.pielikums), atradu mūsu skolas teritorijas platību un salīdzināju to ar platību saskaņā ar zemesgabala projekta robežas (9.pielikuma 3.tabula).

Izpētījis Ust-Ilimskas labā krasta daļas karti (7.pielikums), aprēķināju mikrorajonu platības un salīdzināju tās ar datiem no “Irkutskas apgabala Ust-Ilimskas ģenerālplāna”. Rezultāti tika atspoguļoti tabulā (9.pielikums, 4.tabula).

Izpētījis Irkutskas apgabala karti (7.pielikums), atradu teritorijas platību un salīdzināju to ar Vikipēdijas datiem. Rezultāti tika atspoguļoti tabulā (9.pielikums, 5.tabula).

Pēc rezultātu analīzes nonācu pie secinājuma: izmantojot Peak formulu, šīs zonas var atrast daudz vieglāk, taču rezultāti ir aptuveni.

No veiktā pētījuma es ieguvu visprecīzāko vērtību, nosakot skolas teritorijas platību (10. pielikums, 2. diagramma). Lielāka rezultātu neatbilstība tika iegūta, meklējot Irkutskas apgabala apgabalu (10. pielikums, 3. diagramma). Tas ir saistīts ar to. Ka ne visas apgabala robežas ir daudzstūru malas un virsotnes nav mezglu punkti.

Secinājums

Darba rezultātā paplašināju zināšanas par uzdevumu risināšanu uz rūtaina papīra un noteicu sev pētāmo uzdevumu klasifikāciju.

Darba gaitā tika atrisinātas problēmas, lai atrastu uz rūtainā papīra attēloto daudzstūru laukumu divos veidos: ģeometriski un izmantojot Pick formulu.

Risinājumu analīze un eksperiments pavadītā laika noteikšanai parādīja, ka formulas izmantošana ļauj racionālāk atrisināt daudzstūra laukuma atrašanas problēmas. Tas ļauj ietaupīt laiku vienotajam valsts eksāmenam matemātikā.

Dažādu uz rūtainā papīra attēloto figūru laukuma atrašana ļāva secināt, ka Pick formulas izmantošana apļveida sektora un gredzena laukuma aprēķināšanai nav piemērota, jo tā dod aptuvenu rezultātu, un Pick formula nav piemērota. izmanto, lai atrisinātu problēmas kosmosā.

Darbā tika atrasti arī dažādu teritoriju apgabali, izmantojot Peak formulu. Varam secināt: izmantojot formulu, var atrast dažādu teritoriju platību, taču rezultāti ir aptuveni.

Manis izvirzītā hipotēze apstiprinājās.

Nonācu pie secinājuma, ka tēma, kas mani interesēja, ir diezgan daudzšķautņaina, problēmas uz rūtainā papīra bija daudzveidīgas, arī to risināšanas metodes un paņēmieni bija daudzveidīgi. Tāpēc es nolēmu turpināt darbu šajā virzienā.