"Năm 1740, nhà toán học Pierre Louis Moreau de Maupertuis, phân tích phê bình nguyên lý Fermat và theo những động cơ thần học về sự hoàn hảo và cấu trúc kinh tế nhất của Vũ trụ, ông tuyên bố […] nguyên tắc hành động tối thiểu. Maupertuis đã từ chối thời gian ít nhất của Fermat và đã giới thiệu một khái niệm mới - hoạt động. Tác dụng bằng tích của động lượng của cơ thể (lượng chuyển động P = mV) và đường đi của cơ thể.”
Golubintsev O., Các khái niệm về khoa học tự nhiên hiện đại, Rostov-on-Don, “Phoenix”, 2007, trang 144-147.
“Lượng hành động cần thiết để tạo ra bất kỳ thay đổi nào về bản chất là ở mức nhỏ nhất có thể.”
Pierre Maupertuis, Mối quan hệ giữa các nguyên lý chung của đứng yên và chuyển động / trong Thứ bảy. bài viết kinh điển của khoa học. Polak L.S., M. biên tập, “Fizmatgiz”, 1959, tr. 5.
“Cuốn hồi ký đã gây ra một cuộc tranh cãi gay gắt giữa các nhà khoa học thời bấy giờ, vượt xa phạm vi cơ học. Điểm tranh chấp chính là: các sự kiện xảy ra trên thế giới có được xác định theo nguyên nhân nhân quả hay chúng được điều khiển theo phương pháp mục đích luận bởi một trí tuệ cao hơn nào đó thông qua “các nguyên nhân cuối cùng”, tức là các mục tiêu?
Bản thân Maupertuis đã nhấn mạnh và bảo vệ tính chất mục đích luận trong nguyên tắc của mình và trực tiếp lập luận rằng “nền kinh tế hành động” trong tự nhiên chứng minh sự tồn tại của Chúa. Luận điểm cuối cùng đã gây ra sự phản đối gay gắt từ các nhà khoa học và nhà báo có tư tưởng duy vật thời bấy giờ (D'Alembert, Darcy, Voltaire).
Việc thảo luận còn diễn ra theo những hướng khác, đặc biệt, định nghĩa về hành động do Maupertuis đề xuất đã bị chỉ trích. Một số tác giả phủ nhận tính chất phổ quát của nguyên tắc này; một số đưa ra ví dụ về các chuyển động “thực sự”, trong đó “hành động” không phải là tối thiểu mà trái lại là tối đa. Cũng có những tranh chấp về vấn đề ưu tiên.”
Golitsyn G.A., Thông tin và sáng tạo: trên đường tới một nền văn hóa toàn diện, M., “Thế giới Nga”, 1997, tr. 20.
Khi lần đầu tiên biết đến nguyên tắc này, tôi đã có cảm giác thần bí nào đó. Có vẻ như thiên nhiên đã đi qua tất cả các con đường chuyển động có thể có của hệ thống một cách bí ẩn và chọn ra con đường tốt nhất.
Hôm nay tôi muốn nói một chút về một trong những nguyên lý vật lý đáng chú ý nhất - nguyên lý tác dụng tối thiểu.
Lý lịch
Kể từ thời Galileo, người ta đã biết rằng các vật thể không chịu tác dụng của bất kỳ lực nào sẽ chuyển động theo đường thẳng, nghĩa là theo con đường ngắn nhất. Tia sáng cũng truyền theo đường thẳng.Khi bị phản xạ, ánh sáng cũng di chuyển theo cách để đi từ điểm này sang điểm khác một cách ngắn nhất có thể. Trong ảnh, đường đi ngắn nhất sẽ là đường màu xanh lá cây, tại đó góc tới bằng góc phản xạ. Bất kỳ đường dẫn nào khác, chẳng hạn như màu đỏ, sẽ dài hơn.
Điều này dễ dàng được chứng minh bằng cách phản chiếu đường đi của các tia ở phía đối diện của gương. Chúng được hiển thị bằng các đường chấm trong hình.
Có thể thấy đường xanh ACB biến thành đường thẳng ACB'. Và đường màu đỏ biến thành đường đứt nét ADB', tất nhiên, đường này dài hơn đường màu xanh lá cây.
Năm 1662, Pierre Fermat cho rằng tốc độ ánh sáng trong vật chất đậm đặc, chẳng hạn như thủy tinh, nhỏ hơn trong không khí. Trước đó, phiên bản của Descartes nói chung đã được chấp nhận, theo đó tốc độ ánh sáng trong vật chất phải lớn hơn trong không khí để thu được định luật khúc xạ chính xác. Đối với Fermat, giả định rằng ánh sáng có thể chuyển động nhanh hơn trong môi trường đậm đặc hơn trong môi trường loãng có vẻ không tự nhiên. Do đó, ông cho rằng mọi thứ hoàn toàn ngược lại và chứng minh một điều đáng kinh ngạc - với giả định này, ánh sáng bị khúc xạ theo cách để đến đích trong thời gian tối thiểu.
Một lần nữa, màu xanh lá cây biểu thị đường đi mà chùm ánh sáng thực sự truyền đi. Đường đi được đánh dấu màu đỏ là đường đi ngắn nhất nhưng không phải là đường đi nhanh nhất vì ánh sáng có đường đi dài hơn khi truyền qua kính và ở đó chậm hơn. Đường đi nhanh nhất là đường đi thực sự của chùm sáng.
Tất cả những sự thật này cho thấy rằng thiên nhiên hành động theo một cách hợp lý nào đó, ánh sáng và các vật thể chuyển động theo cách tối ưu nhất, tiêu tốn ít công sức nhất có thể. Nhưng những nỗ lực này là gì và cách tính toán chúng vẫn còn là một bí ẩn.
Năm 1744, Maupertuis đưa ra khái niệm “tác dụng” và xây dựng nguyên lý theo đó quỹ đạo thực của một hạt khác với bất kỳ hạt nào khác ở chỗ tác dụng đối với nó là tối thiểu. Tuy nhiên, bản thân Maupertuis chưa bao giờ có thể đưa ra định nghĩa rõ ràng về ý nghĩa của hành động này. Một công thức toán học chặt chẽ của nguyên lý tác dụng tối thiểu đã được phát triển bởi các nhà toán học khác - Euler, Lagrange, và cuối cùng được đưa ra bởi William Hamilton:
Trong ngôn ngữ toán học, nguyên lý tác dụng tối thiểu được phát biểu khá ngắn gọn nhưng không phải người đọc nào cũng có thể hiểu được ý nghĩa của ký hiệu được sử dụng. Tôi muốn cố gắng giải thích nguyên tắc này rõ ràng hơn và bằng những thuật ngữ đơn giản hơn.
Cơ thể miễn phí
Vì vậy, hãy tưởng tượng rằng bạn đang ngồi trong một chiếc ô tô tại một thời điểm và tại thời điểm đó bạn được giao một nhiệm vụ đơn giản: vào thời điểm đó bạn cần phải lái ô tô đến điểm đó .
Nhiên liệu cho ô tô rất đắt và tất nhiên, bạn muốn chi tiêu càng ít càng tốt. Xe của bạn được chế tạo bằng công nghệ siêu việt mới nhất và có thể tăng tốc hoặc phanh nhanh tùy thích. Tuy nhiên, nó được thiết kế theo hướng càng đi nhanh thì càng tiêu hao nhiều nhiên liệu. Hơn nữa, mức tiêu thụ nhiên liệu tỷ lệ thuận với bình phương tốc độ. Nếu bạn lái xe nhanh gấp đôi, bạn sẽ tiêu tốn nhiên liệu gấp 4 lần trong cùng một khoảng thời gian. Ngoài tốc độ, mức tiêu hao nhiên liệu tất nhiên còn bị ảnh hưởng bởi trọng lượng của xe. Xe của chúng ta càng nặng thì càng tiêu tốn nhiều nhiên liệu. Mức tiêu thụ nhiên liệu của ô tô của chúng tôi tại mỗi thời điểm là bằng nhau, tức là đúng bằng động năng của ô tô.
Vậy bạn nên lái xe như thế nào để đến đích đúng giờ đã định và sử dụng ít nhiên liệu nhất có thể? Rõ ràng là bạn cần phải đi theo một đường thẳng. Khi quãng đường di chuyển tăng lên thì lượng nhiên liệu tiêu hao sẽ không ít. Và sau đó bạn có thể chọn các chiến thuật khác nhau. Ví dụ, bạn có thể nhanh chóng đến điểm trước và chỉ cần ngồi đợi cho đến khi thời gian đến. Tốc độ lái xe và do đó mức tiêu thụ nhiên liệu tại mỗi thời điểm sẽ cao nhưng thời gian lái xe cũng sẽ giảm đi. Có lẽ mức tiêu thụ nhiên liệu tổng thể sẽ không quá lớn. Hoặc bạn có thể lái xe đều đặn, với cùng tốc độ để không vội vã mà đến nơi chính xác vào đúng thời điểm. Hoặc lái xe một đoạn đường nhanh chóng và lái xe chậm hơn. Cách tốt nhất để đi là gì?
Hóa ra cách lái xe tối ưu nhất, tiết kiệm nhất là lái xe với tốc độ không đổi, sao cho bạn đến đích đúng giờ đã định. Bất kỳ lựa chọn nào khác sẽ tiêu tốn nhiều nhiên liệu hơn. Bạn có thể tự mình kiểm tra bằng cách sử dụng một số ví dụ. Nguyên nhân là do mức tiêu hao nhiên liệu tăng theo bình phương tốc độ. Do đó, khi tốc độ tăng, mức tiêu hao nhiên liệu tăng nhanh hơn thời gian lái xe giảm và mức tiêu hao nhiên liệu tổng thể cũng tăng.
Vì vậy, chúng tôi phát hiện ra rằng nếu một chiếc ô tô tại mỗi thời điểm tiêu thụ nhiên liệu tỷ lệ với động năng của nó, thì cách tiết kiệm nhất để đi từ điểm này sang điểm khác vào đúng thời gian đã định là lái xe đều và theo đường thẳng, chính xác. cách một vật chuyển động khi không có lực tác dụng lên nó. Bất kỳ phương pháp lái xe nào khác sẽ dẫn đến mức tiêu thụ nhiên liệu tổng thể cao hơn.
Trong lĩnh vực trọng lực
Bây giờ hãy cải thiện chiếc xe của chúng ta một chút. Hãy gắn động cơ phản lực vào nó để nó có thể bay tự do theo mọi hướng. Nhìn chung, thiết kế vẫn được giữ nguyên nên mức tiêu hao nhiên liệu lại vẫn tỷ lệ thuận với động năng của xe. Nếu bây giờ nhiệm vụ được giao là bay từ một điểm tại một thời điểm và đến một thời điểm tại một thời điểm, thì cách tiết kiệm nhất, như trước đây, tất nhiên, sẽ là bay đều và thẳng để kết thúc. lên tại một thời điểm vào thời gian được chỉ định chính xác. Điều này một lần nữa tương ứng với chuyển động tự do của một vật thể trong không gian ba chiều.
Tuy nhiên, một thiết bị bất thường đã được lắp đặt trong mẫu ô tô mới nhất. Thiết bị này có thể sản xuất nhiên liệu từ hư không theo đúng nghĩa đen. Nhưng thiết kế là xe càng lên cao thì thiết bị tạo ra càng nhiều nhiên liệu vào bất kỳ thời điểm nào. Việc sản xuất nhiên liệu tỷ lệ thuận với độ cao mà ô tô hiện đang ở. Ngoài ra, ô tô càng nặng thì thiết bị được lắp trên đó càng mạnh và tạo ra càng nhiều nhiên liệu và sản lượng sinh ra tỷ lệ thuận với trọng lượng của ô tô. Thiết bị hóa ra là sao cho việc sản xuất nhiên liệu hoàn toàn bằng (gia tốc rơi tự do bằng bao nhiêu), tức là. thế năng của ô tô.
Mức tiêu thụ nhiên liệu tại mỗi thời điểm bằng động năng trừ đi thế năng của ô tô (trừ thế năng, vì thiết bị lắp đặt tạo ra nhiên liệu và không tiêu thụ nó). Giờ đây, nhiệm vụ di chuyển ô tô giữa các điểm một cách hiệu quả nhất có thể của chúng ta trở nên khó khăn hơn. Chuyển động thẳng đều hóa ra không hiệu quả nhất trong trường hợp này. Hóa ra sẽ tối ưu hơn nếu tăng lên một chút độ cao, ở đó một lúc, tiêu hao nhiều nhiên liệu hơn rồi hạ xuống điểm . Với quỹ đạo bay chính xác, tổng lượng nhiên liệu tạo ra khi lên cao sẽ trang trải chi phí nhiên liệu bổ sung để tăng chiều dài đường bay và tăng tốc độ. Nếu bạn tính toán cẩn thận, cách tiết kiệm nhất cho một chiếc ô tô sẽ là bay theo hình parabol, theo cùng một quỹ đạo và với tốc độ giống hệt như một hòn đá bay trong trường hấp dẫn của Trái đất.
Cần phải làm rõ ở đây. Tất nhiên, bạn có thể ném một hòn đá từ một điểm theo nhiều cách khác nhau để nó chạm vào điểm đó. Nhưng bạn cần phải ném nó sao cho sau khi cất cánh từ điểm vào thời điểm đó, nó sẽ chạm điểm chính xác vào thời điểm đó. Chuyển động này sẽ tiết kiệm nhất cho xe của chúng ta.
Hàm Lagrange và nguyên lý tác dụng tối thiểu
Bây giờ chúng ta có thể chuyển sự tương tự này sang cơ thể vật lý thực. Một dạng tương tự của mức tiêu thụ nhiên liệu đối với cơ thể được gọi là hàm Lagrange hoặc Lagrange (để vinh danh Lagrange) và được ký hiệu bằng chữ cái . Lagrangian cho thấy cơ thể tiêu thụ bao nhiêu “nhiên liệu” tại một thời điểm nhất định. Đối với một vật chuyển động trong một trường thế năng, Lagrangian bằng động năng của nó trừ đi thế năng.Một sự tương tự của tổng lượng nhiên liệu tiêu thụ trong toàn bộ thời gian chuyển động, tức là. giá trị Lagrangian tích lũy trong toàn bộ thời gian chuyển động được gọi là “hành động”.
Nguyên tắc tác động tối thiểu là cơ thể chuyển động sao cho tác động (phụ thuộc vào quỹ đạo chuyển động) là tối thiểu. Đồng thời, chúng ta không được quên rằng các điều kiện ban đầu và cuối cùng đã được chỉ định, tức là. thân thể ở đâu vào lúc thời gian và vào lúc thời gian.
Trong trường hợp này, vật không nhất thiết phải chuyển động trong một trường hấp dẫn đều mà chúng ta đã xét cho ô tô của mình. Các tình huống hoàn toàn khác nhau có thể được xem xét. Một vật thể có thể dao động trên một dây đàn hồi, lắc lư trên một con lắc hoặc bay quanh Mặt trời, trong tất cả các trường hợp này, nó chuyển động theo cách giảm thiểu “tổng mức tiêu thụ nhiên liệu”, tức là. hoạt động.
Nếu một hệ bao gồm nhiều vật thể thì Lagrange của hệ đó sẽ bằng tổng động năng của tất cả các vật thể trừ đi tổng thế năng của tất cả các vật thể. Và một lần nữa, tất cả các vật thể sẽ chuyển động đồng bộ sao cho tác động của toàn bộ hệ thống trong quá trình chuyển động đó là tối thiểu.
Không đơn giản lắm
Thực ra, tôi đã gian lận một chút khi nói rằng các cơ thể luôn chuyển động theo cách giảm thiểu hành động. Mặc dù điều này đúng trong nhiều trường hợp, nhưng có thể nghĩ đến những tình huống trong đó hành động rõ ràng là không hề nhỏ.Ví dụ, hãy lấy một quả bóng và đặt nó vào một khoảng trống. Ở một khoảng cách nào đó, chúng ta sẽ đặt một bức tường đàn hồi. Giả sử chúng ta muốn quả bóng dừng lại ở vị trí cũ sau một thời gian. Trong những điều kiện nhất định, quả bóng có thể di chuyển theo hai cách khác nhau. Đầu tiên, nó chỉ có thể giữ nguyên vị trí. Thứ hai, bạn có thể đẩy nó về phía tường. Quả bóng sẽ bay vào tường, bật ra và quay trở lại. Rõ ràng là bạn có thể đẩy nó với tốc độ sao cho nó quay trở lại vào đúng thời điểm.
Cả hai phương án chuyển động của quả bóng đều có thể thực hiện được, nhưng tác dụng trong trường hợp thứ hai sẽ lớn hơn, bởi vì trong suốt thời gian này quả bóng sẽ chuyển động với động năng khác 0.
Làm thế nào chúng ta có thể bảo lưu nguyên tắc tác dụng tối thiểu để nó có giá trị trong những tình huống như vậy? Chúng ta sẽ nói về điều này trong.
Được đặt theo tên của William Hamilton, người đã sử dụng nguyên lý này để xây dựng cái gọi là chủ nghĩa hình thức Hamilton trong cơ học cổ điển.
Nguyên tắc về tính ổn định của hành động là nguyên tắc quan trọng nhất trong nhóm các nguyên tắc cực đoan. Không phải tất cả các hệ vật lý đều có phương trình chuyển động có thể thu được từ nguyên lý này, nhưng mọi tương tác cơ bản đều tuân theo nó, và do đó nguyên lý này là một trong những quy định then chốt của vật lý hiện đại. Các phương trình chuyển động thu được với sự trợ giúp của nó được gọi là phương trình Euler-Lagrange.
Công thức đầu tiên của nguyên lý này được P. Maupertuis (tiếng Pháp: P. Maupertuis) đưa ra vào năm 1744, ngay lập tức chỉ ra tính chất phổ quát của nó và coi nó có thể áp dụng được cho quang học và cơ học. Từ nguyên lý này ông rút ra định luật phản xạ và khúc xạ ánh sáng.
Năm 1746, Maupertuis, trong một tác phẩm mới, đã đồng ý với quan điểm của Euler và công bố phiên bản tổng quát nhất về nguyên lý của ông: “Khi một số thay đổi xảy ra trong tự nhiên, số lượng hành động cần thiết cho sự thay đổi này là ít nhất có thể. Lượng tác dụng là tích số của khối lượng vật thể với tốc độ và quãng đường chúng di chuyển.” Trong cuộc thảo luận rộng rãi diễn ra sau đó, Euler ủng hộ ưu tiên của Maupertuis và lập luận về bản chất phổ quát của định luật mới: “tất cả động lực học và thủy động lực học có thể được khám phá một cách dễ dàng đáng kinh ngạc chỉ thông qua phương pháp cực đại và cực tiểu”.
Một giai đoạn mới bắt đầu vào năm 1760-1761, khi Joseph Louis Lagrange đưa ra khái niệm chặt chẽ về biến phân của hàm số, đưa phép tính biến phân thành một dạng hiện đại và mở rộng nguyên lý tác dụng tối thiểu cho một hệ cơ học tùy ý (nghĩa là, không chỉ cho điểm tài liệu miễn phí). Điều này đánh dấu sự khởi đầu của cơ học phân tích. Một sự khái quát hóa sâu hơn về nguyên lý này được thực hiện bởi Carl Gustav Jacob Jacobi vào năm 1837 - ông đã xem xét bài toán về mặt hình học, như việc tìm ra các cực trị của một bài toán biến phân trong một không gian cấu hình có số liệu phi Euclide. Đặc biệt, Jacobi đã chỉ ra rằng khi không có ngoại lực, quỹ đạo của hệ biểu thị một đường trắc địa trong không gian cấu hình.
Cần lưu ý rằng nếu về nguyên tắc có thể tìm ra quy luật chuyển động từ các điều kiện của bài toán thì điều này tự động được thực hiện. Không có nghĩa là có thể xây dựng một hàm nhận giá trị đứng yên trong quá trình chuyển động thực. Một ví dụ là chuyển động chung của điện tích và đơn cực - điện tích từ - trong trường điện từ. Các phương trình chuyển động của chúng không thể suy ra từ nguyên lý tác dụng đứng yên. Tương tự như vậy, một số hệ Hamilton có phương trình chuyển động không thể suy ra từ nguyên lý này.
Các ví dụ tầm thường giúp đánh giá việc sử dụng nguyên lý hoạt động thông qua các phương trình Euler-Lagrange. Hạt tự do (khối lượng tôi và tốc độ v) trong không gian Euclide chuyển động theo đường thẳng. Sử dụng phương trình Euler-Lagrange, điều này có thể được biểu diễn dưới dạng tọa độ cực như sau. Trong trường hợp không có thế năng, hàm Lagrange đơn giản bằng động năng
Trong lý thuyết trường lượng tử, nguyên lý tác dụng đứng yên cũng được áp dụng thành công. Mật độ Lagrange ở đây bao gồm các toán tử của trường lượng tử tương ứng. Mặc dù ở đây về bản chất thì đúng hơn (ngoại trừ giới hạn cổ điển và một phần gần như cổ điển) khi nói không phải về nguyên lý dừng của tác dụng, mà là về sự tích hợp Feynman dọc theo các quỹ đạo trong cấu hình hoặc không gian pha của các trường này - sử dụng mật độ Lagrange vừa đề cập.
Nói rộng hơn, một hành động được hiểu là một hàm xác định ánh xạ từ không gian cấu hình đến một tập hợp số thực và nói chung, nó không nhất thiết phải là một tích phân, vì về nguyên tắc, ít nhất các hành động phi cục bộ có thể thực hiện được. về mặt lý thuyết. Hơn nữa, không gian cấu hình không nhất thiết phải là không gian chức năng, vì nó có thể có
2.2. Nguyên tắc hành động tối thiểu
Vào thế kỷ 18, sự tích lũy và hệ thống hóa hơn nữa các kết quả khoa học đã diễn ra, được đánh dấu bằng xu hướng kết hợp các thành tựu khoa học riêng lẻ thành một bức tranh mạch lạc, có trật tự chặt chẽ về thế giới thông qua việc áp dụng có hệ thống các phương pháp phân tích toán học vào nghiên cứu các hiện tượng vật lý. Công việc của nhiều bộ óc thông minh theo hướng này đã dẫn đến việc tạo ra lý thuyết cơ bản của chương trình nghiên cứu cơ học - cơ học phân tích, trên cơ sở các quy định mà các lý thuyết cơ bản khác nhau được tạo ra để mô tả một loại thành phần cụ thể.
các hiện tượng lý thuyết: thủy động lực học, lý thuyết đàn hồi, khí động học, v.v. Một trong những kết quả quan trọng nhất của cơ học phân tích là nguyên lý tác dụng tối thiểu (nguyên lý biến phân), rất quan trọng để hiểu các quá trình xảy ra trong vật lý vào cuối thế kỷ 20 .
Nguồn gốc của sự xuất hiện của các nguyên tắc biến phân trong khoa học có từ thời Hy Lạp cổ đại và gắn liền với tên tuổi của Người anh hùng đến từ Alexandria. Ý tưởng của bất kỳ nguyên tắc biến phân nào là thay đổi (thay đổi) một giá trị nhất định đặc trưng cho một quy trình nhất định và chọn từ tất cả các quy trình có thể có một quy trình mà giá trị này nhận giá trị cực trị (tối đa hoặc tối thiểu). Heron đã cố gắng giải thích các định luật phản xạ ánh sáng bằng cách thay đổi giá trị đặc trưng cho độ dài đường đi mà tia sáng truyền từ nguồn tới người quan sát khi phản xạ từ gương. Ông đi đến kết luận rằng, trong tất cả các đường đi có thể, một tia sáng chọn đường đi ngắn nhất (trong tất cả các đường đi có thể có về mặt hình học).
Vào thế kỷ 17, hai nghìn năm sau, nhà toán học người Pháp Fermat đã thu hút sự chú ý đến nguyên lý Heron, mở rộng nó sang các môi trường có chiết suất khác nhau, và trình bày lại nó theo thời gian. Nguyên lý Fermat phát biểu: trong một môi trường khúc xạ có tính chất không phụ thuộc vào thời gian, một tia sáng đi qua hai điểm sẽ chọn đường đi sao cho thời gian cần thiết để nó truyền từ điểm thứ nhất đến điểm thứ hai là tối thiểu. Nguyên lý Heron hóa ra là một trường hợp đặc biệt của nguyên lý Fermat đối với môi trường có chiết suất không đổi.
Nguyên lý Fermat thu hút sự chú ý của những người cùng thời với ông. Một mặt, nó minh chứng một cách tốt nhất có thể cho “nguyên lý kinh tế” trong tự nhiên, cho kế hoạch thiêng liêng hợp lý được thực hiện trong cấu trúc của thế giới, mặt khác, nó mâu thuẫn với lý thuyết hạt ánh sáng của Newton. Theo Newton, hóa ra là trong môi trường đặc hơn, tốc độ ánh sáng phải lớn hơn, trong khi theo nguyên lý Fermat thì trong môi trường đậm đặc hơn, tốc độ ánh sáng trở nên nhỏ hơn.
Năm 1740, nhà toán học Pierre Louis Moreau de Maupertuis, phân tích một cách phê phán nguyên lý Fermat và đi theo quan điểm thần học
động cơ hợp lý về sự hoàn hảo và cấu trúc tiết kiệm nhất của Vũ trụ, đã tuyên bố nguyên tắc tác dụng tối thiểu trong tác phẩm “Về các quy luật tự nhiên khác nhau dường như không tương thích với nhau”. Maupertuis đã từ bỏ thời gian ít nhất của Fermat và đưa ra một khái niệm mới - hành động. Tác dụng bằng tích của động lượng của cơ thể (lượng chuyển động P = mV) và đường đi của cơ thể. Thời gian không có bất kỳ lợi thế nào so với không gian và ngược lại. Do đó, ánh sáng không chọn con đường ngắn nhất và không phải thời gian di chuyển ngắn nhất, mà theo Maupertuis, “chọn con đường mang lại hiệu quả kinh tế thực tế nhất: con đường mà nó đi theo là con đường mà cường độ của hành động là tối thiểu.” Nguyên lý tác dụng tối thiểu được phát triển sâu hơn trong các tác phẩm của Euler và Lagrange; nó là cơ sở để Lagrange phát triển một lĩnh vực phân tích toán học mới - phép tính biến phân. Nguyên tắc này đã được khái quát hóa và hoàn thiện hơn nữa trong các công trình của Hamilton. Ở dạng tổng quát, nguyên lý tác dụng tối thiểu sử dụng khái niệm tác dụng được thể hiện không phải thông qua xung lực mà thông qua hàm Lagrange. Đối với trường hợp một hạt chuyển động trong một trường thế năng nhất định, hàm Lagrange có thể được biểu diễn dưới dạng hiệu động năng 
và thế năng:
(Khái niệm "năng lượng" được thảo luận chi tiết trong Chương 3 của phần này.)
Sản phẩm này được gọi là một hành động cơ bản. Tổng hành động là tổng của tất cả các giá trị trong toàn bộ khoảng thời gian được xem xét, nói cách khác là tổng hành động A:
Các phương trình chuyển động của hạt có thể thu được bằng cách sử dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu, theo đó chuyển động thực xảy ra sao cho tác dụng trở nên cực trị, nghĩa là biến thiên của nó trở thành 0:
Nguyên lý biến phân Lagrange-Hamilton dễ dàng cho phép mở rộng cho các hệ thống bao gồm các phần tử không
có bao nhiêu (nhiều) hạt. Chuyển động của các hệ thống như vậy thường được xem xét trong một không gian trừu tượng (một kỹ thuật toán học tiện lợi) có số lượng lớn các chiều. Giả sử, đối với N điểm, một không gian trừu tượng có tọa độ 3N của N hạt được đưa vào, tạo thành một hệ thống gọi là không gian cấu hình. Trình tự các trạng thái khác nhau của hệ thống được mô tả bằng một đường cong trong không gian cấu hình này - một quỹ đạo. Bằng cách xem xét tất cả các đường đi có thể nối hai điểm cho trước của không gian 3N chiều này, người ta có thể tin chắc rằng chuyển động thực sự của hệ xảy ra tuân theo nguyên lý tác dụng tối thiểu: trong số tất cả các quỹ đạo có thể có, quỹ đạo mà tác dụng là cực đại. trong toàn bộ khoảng thời gian chuyển động được thực hiện.
Khi giảm thiểu tác dụng trong cơ học cổ điển, người ta thu được các phương trình Euler-Lagrange, mối liên hệ của chúng với các định luật Newton đã được biết rõ. Các phương trình Euler-Lagrange cho Lagrange của trường điện từ cổ điển hóa ra là các phương trình Maxwell. Vì vậy, chúng ta thấy rằng việc sử dụng Lagrangian và nguyên lý tác dụng tối thiểu cho phép chúng ta xác định động lực học của các hạt. Tuy nhiên, Lagrangian còn có một đặc điểm quan trọng khác, nó đã làm cho hình thức luận Lagrange trở thành nền tảng trong việc giải quyết hầu hết các vấn đề của vật lý hiện đại. Thực tế là, cùng với cơ học Newton, các định luật bảo toàn đối với một số đại lượng vật lý đã được xây dựng trong vật lý từ thế kỷ 19: định luật bảo toàn năng lượng, định luật bảo toàn động lượng, định luật bảo toàn xung lượng góc, định luật về sự bảo toàn điện tích. Số lượng các định luật bảo toàn liên quan đến sự phát triển của vật lý lượng tử và vật lý hạt cơ bản trong thế kỷ của chúng ta thậm chí còn nhiều hơn. Câu hỏi đặt ra là làm thế nào để tìm ra cơ sở chung để viết cả các phương trình chuyển động (chẳng hạn như định luật Newton hoặc phương trình Maxwell) và các đại lượng được bảo toàn theo thời gian. Hóa ra cơ sở như vậy là việc sử dụng chủ nghĩa hình thức Lagrange, vì Lagrange của một lý thuyết cụ thể hóa ra là bất biến (không thể thay đổi) đối với các phép biến đổi tương ứng với không gian trừu tượng cụ thể được xem xét trong lý thuyết này, dẫn đến các định luật bảo toàn. Những đặc trưng Lagrange này
đã không dẫn tới tính hữu ích của việc xây dựng các lý thuyết vật lý bằng ngôn ngữ của Lagrange. Nhận thức về hoàn cảnh này đã đến với vật lý nhờ sự xuất hiện của thuyết tương đối của Einstein.
Khi tôi còn đi học, giáo viên vật lý của chúng tôi, tên là Bader, có lần gọi tôi sau giờ học và nói: “Trông em có vẻ mệt mỏi khủng khiếp với mọi thứ; nghe một điều thú vị.” Và anh ấy đã nói với tôi điều gì đó mà tôi nghĩ thực sự hấp dẫn. Ngay cả bây giờ, mặc dù đã rất nhiều thời gian trôi qua kể từ đó nhưng nó vẫn tiếp tục mê hoặc tôi. Và mỗi lần nhớ lại những gì mình đã nói, tôi lại quay lại làm việc. Và lần này, trong khi chuẩn bị cho bài giảng, tôi lại thấy mình đang phân tích những điều tương tự. Và thay vì chuẩn bị cho bài giảng, tôi lại giải quyết một vấn đề mới. Chủ đề tôi đang nói đến là nguyên tắc hành động tối thiểu.
Đây là điều mà giáo viên Bader của tôi đã nói với tôi khi đó: “Ví dụ, hãy để bạn có một hạt trong trường hấp dẫn; hạt này, đi ra từ đâu đó, tự do di chuyển từ nơi khác đến điểm khác. Bạn ném nó lên, chẳng hạn, nó bay lên rồi rơi xuống.
Cô phải mất một thời gian để đi từ nơi bắt đầu đến nơi cuối cùng. Bây giờ hãy thử một số chuyển động khác. Để cô ấy di chuyển “từ đây đến đây” không còn như trước nữa mà như thế này:
nhưng tôi vẫn thấy mình ở đúng nơi vào cùng thời điểm như trước.”
“Và như vậy,” giáo viên tiếp tục, “nếu các em tính động năng tại mỗi thời điểm dọc theo đường đi của hạt, trừ đi thế năng của nó và tích phân hiệu số trong toàn bộ thời gian chuyển động xảy ra, các em sẽ thấy rằng con số bạn nhận được sẽ lớn hơn chuyển động thực sự của hạt.
Nói cách khác, các định luật Newton có thể được xây dựng không phải dưới dạng mà như sau: động năng trung bình trừ thế năng trung bình đạt giá trị thấp nhất dọc theo quỹ đạo mà một vật thực sự chuyển động từ nơi này sang nơi khác.
Tôi sẽ cố gắng giải thích điều này cho bạn rõ ràng hơn một chút.
Nếu chúng ta lấy trường hấp dẫn và biểu thị quỹ đạo của hạt, trong đó chiều cao so với mặt đất (bây giờ chúng ta sẽ sử dụng một chiều; chỉ để quỹ đạo chạy lên và xuống chứ không chạy sang hai bên), thì động năng năng lượng sẽ là , và thế năng tại một thời điểm tùy ý sẽ bằng .
Bây giờ, đối với một số khoảnh khắc chuyển động dọc theo quỹ đạo, tôi lấy sự khác biệt giữa động năng và thế năng và tích phân trong toàn bộ thời gian từ đầu đến cuối. Hãy để chuyển động bắt đầu ở một độ cao nhất định vào thời điểm ban đầu và kết thúc ở một độ cao nhất định khác.
Khi đó tích phân bằng
.
Chuyển động thực xảy ra dọc theo một đường cong nhất định (là một hàm của thời gian, nó là một parabol) và dẫn đến một giá trị tích phân nhất định. Nhưng bạn có thể tưởng tượng một số chuyển động khác: đầu tiên là sự gia tăng mạnh mẽ, sau đó là một số biến động kỳ lạ.
Hãy cùng kiểm tra nào. Đầu tiên, chúng ta hãy xem trường hợp này: một hạt tự do không có thế năng nào cả. Khi đó quy luật nói rằng khi chuyển động từ điểm này sang điểm khác trong một thời gian nhất định, tích phân của động năng phải nhỏ nhất. Điều này có nghĩa là hạt phải chuyển động đều. (Và điều này đúng, bạn và tôi đều biết rằng tốc độ trong chuyển động như vậy là không đổi.) Tại sao lại đồng đều? Hãy tìm ra nó. Nếu không thì có lúc tốc độ của hạt sẽ vượt quá tốc độ trung bình, có lúc nó sẽ ở dưới tốc độ trung bình và tốc độ trung bình sẽ không đổi, bởi vì hạt sẽ phải đi “từ đây đến đây” trong thời gian đã thỏa thuận. Ví dụ: nếu bạn cần ô tô đi từ nhà đến trường trong một thời gian nhất định, thì bạn có thể thực hiện việc này theo nhiều cách khác nhau: lúc đầu bạn có thể lái xe như điên và giảm tốc độ khi về cuối hoặc lái xe với tốc độ như nhau, hoặc thậm chí bạn có thể đi sang phía đối diện, và chỉ sau đó rẽ về phía trường học, v.v. Trong mọi trường hợp, tốc độ trung bình tất nhiên phải bằng nhau - thương số của khoảng cách từ nhà đến trường chia cho thời gian. Nhưng ngay cả ở tốc độ trung bình này, đôi khi bạn di chuyển quá nhanh, đôi khi lại quá chậm. Và bình phương trung bình của một cái gì đó lệch khỏi mức trung bình, như đã biết, luôn lớn hơn bình phương của mức trung bình; Điều này có nghĩa là tích phân của động năng khi dao động tốc độ sẽ luôn lớn hơn khi chuyển động với tốc độ không đổi. Bạn thấy rằng tích phân sẽ đạt cực tiểu khi tốc độ không đổi (trong trường hợp không có lực). Cách đúng đắn là thế này.
Một vật được ném lên trong một trường trọng lực lúc đầu sẽ bay lên nhanh chóng, sau đó càng lúc càng chậm dần. Điều này xảy ra bởi vì nó cũng có thế năng và sự khác biệt giữa động năng và thế năng sẽ đạt giá trị tối thiểu. Vì thế năng tăng lên khi bạn lên cao, nên sẽ thu được một sự khác biệt nhỏ hơn nếu bạn đạt đến những độ cao mà ở đó thế năng cao càng nhanh càng tốt. Sau đó, trừ đi thế năng cao này khỏi động năng, chúng ta đạt được mức giảm trung bình. Vì vậy, sẽ có lợi hơn nếu đi theo con đường đi lên và cung cấp một phần năng lượng tiềm năng tiêu cực tốt.
Nhưng mặt khác, bạn không thể di chuyển quá nhanh hoặc đi quá cao, vì điều đó đòi hỏi quá nhiều động năng. Bạn phải di chuyển đủ nhanh để lên xuống trong thời gian nhất định dành cho bạn. Vì vậy, bạn không nên cố gắng bay quá cao mà chỉ cần đạt đến một mức độ hợp lý. Kết quả là, giải pháp là một dạng cân bằng giữa mong muốn thu được càng nhiều thế năng càng tốt và mong muốn giảm lượng động năng càng nhiều càng tốt - đây là mong muốn đạt được mức giảm tối đa trong sự khác biệt giữa động năng và thế năng.”
Đó là tất cả những gì giáo viên dạy tôi, bởi vì thầy là một giáo viên rất giỏi và biết khi nào nên dừng lại. Than ôi, bản thân tôi lại không như vậy. Thật khó để tôi dừng lại đúng giờ. Và vì vậy, thay vì chỉ khơi gợi sự quan tâm của bạn bằng câu chuyện của tôi, tôi muốn đe dọa bạn, tôi muốn làm cho bạn phát ngán với sự phức tạp của cuộc sống - tôi sẽ cố gắng chứng minh những gì tôi đã kể với bạn. Bài toán mà chúng ta sẽ giải là rất khó và độc đáo. Có một đại lượng nhất định gọi là hành động. Nó bằng động năng trừ đi thế năng tích phân theo thời gian:
.
Đừng quên p.e. và k.e. - cả hai chức năng của thời gian. Đối với bất kỳ con đường mới nào có thể hình dung được, hành động này đều mang ý nghĩa cụ thể của nó. Bài toán toán học là xác định đường cong nào có số này nhỏ hơn các đường cong khác.
Bạn nói: “Ồ, đây chỉ là một ví dụ đơn giản về mức tối đa và tối thiểu. Chúng ta cần tính toán hành động, vi phân nó và tìm mức tối thiểu.”
Nhưng chờ đã. Thông thường chúng ta có hàm của một số biến và chúng ta cần tìm giá trị của biến mà tại đó hàm trở thành nhỏ nhất hoặc lớn nhất. Giả sử có một thanh được nung nóng ở giữa. Nhiệt lan truyền khắp thanh và nhiệt độ riêng của nó được xác định tại mỗi điểm của thanh. Bạn cần tìm điểm cao nhất. Nhưng chúng ta đang nói về một điều hoàn toàn khác - mỗi đường đi trong không gian có số riêng và chúng ta phải tìm đường đi mà con số này là tối thiểu. Đây là một lĩnh vực toán học hoàn toàn khác. Đây không phải là phép tính thông thường mà là phép tính biến phân (như tên gọi của nó).
Lĩnh vực toán học này có nhiều vấn đề riêng. Ví dụ, một đường tròn thường được định nghĩa là quỹ tích hình học của các điểm có khoảng cách đến một điểm nhất định bằng nhau, nhưng đường tròn có thể được định nghĩa khác: đó là một trong những đường cong có độ dài nhất định giới hạn diện tích lớn nhất. Bất kỳ đường cong nào khác có cùng chu vi đều bao quanh một diện tích nhỏ hơn hình tròn. Vì vậy, nếu chúng ta đặt ra nhiệm vụ: tìm đường cong của một chu vi nhất định giới hạn diện tích lớn nhất, thì chúng ta sẽ gặp một bài toán từ phép tính biến phân chứ không phải từ phép tính mà bạn đã quen.
Vì vậy, chúng ta muốn lấy tích phân theo quãng đường mà vật đi được. Hãy làm theo cách này. Vấn đề là hãy tưởng tượng rằng có một đường đi thực sự và bất kỳ đường cong nào khác mà chúng ta vẽ không phải là đường đi thực sự, để nếu chúng ta tính toán hành động cho nó, chúng ta sẽ nhận được một con số cao hơn những gì chúng ta nhận được cho hành động tương ứng với cách thực sự.
Vì vậy, nhiệm vụ là tìm ra con đường thực sự. Nó nằm ở đâu? Tất nhiên, có một cách là đếm tác động đối với hàng triệu triệu đường đi và sau đó xem đường đi nào có tác dụng nhỏ nhất. Đây là con đường mà hành động ở mức tối thiểu và sẽ thành hiện thực.
Phương pháp này là hoàn toàn có thể. Tuy nhiên, nó có thể được thực hiện đơn giản hơn. Nếu có một đại lượng có giá trị cực tiểu (so với các hàm thông thường, chẳng hạn như nhiệt độ), thì một trong những tính chất của đại lượng tối thiểu là khi di chuyển ra xa nó một khoảng nhỏ bậc nhất, hàm số sẽ lệch khỏi giá trị cực tiểu của nó. chỉ có giá trị bằng giá trị bậc hai. Và ở bất kỳ vị trí nào khác trên đường cong, một sự dịch chuyển một khoảng cách nhỏ cũng sẽ thay đổi giá trị của hàm theo giá trị cấp độ nhỏ đầu tiên. Nhưng ở mức tối thiểu, những sai lệch nhỏ về phía không dẫn đến sự thay đổi hàm số như phép tính gần đúng đầu tiên.
Đây là thuộc tính mà chúng ta sẽ sử dụng để tính toán đường đi thực.
Nếu đường đi là chính xác thì một đường cong hơi khác so với nó sẽ không dẫn đến sự thay đổi về độ lớn của tác động, như một phép tính gần đúng đầu tiên. Tất cả những thay đổi, nếu đây thực sự là mức tối thiểu, sẽ chỉ xuất hiện ở phép tính gần đúng thứ hai.
Điều này rất dễ chứng minh. Nếu với bất kỳ độ lệch nào so với đường cong, những thay đổi xảy ra theo thứ tự đầu tiên thì những thay đổi hoạt động này tỷ lệ thuận với độ lệch. Chúng có khả năng làm tăng tác dụng; nếu không nó sẽ không phải là mức tối thiểu. Nhưng vì những thay đổi tỷ lệ thuận với độ lệch nên việc thay đổi dấu của độ lệch sẽ làm giảm tác dụng. Hóa ra khi lệch về một hướng thì hiệu ứng tăng lên, còn khi lệch về hướng ngược lại thì hiệu ứng giảm đi. Cách duy nhất để điều này thực sự ở mức tối thiểu là nếu, theo phép tính gần đúng đầu tiên, không có thay đổi nào xảy ra và những thay đổi đó tỷ lệ với bình phương độ lệch so với đường đi thực tế.
Vì vậy, chúng ta sẽ đi theo con đường sau: chúng ta sẽ biểu thị thông qua (có dòng bên dưới) con đường thực sự - con đường mà chúng ta muốn tìm. Chúng ta hãy đi theo một con đường thử nghiệm nào đó, khác với con đường mong muốn một chút, mà chúng ta biểu thị .
Ý tưởng là nếu chúng ta tính toán hành động trên đường đi, thì sự khác biệt giữa hành động này và hành động mà chúng ta đã tính toán cho đường đi (để đơn giản, nó sẽ được biểu thị) hoặc sự khác biệt giữa và, phải là xấp xỉ đầu tiên, số không. Chúng có thể khác nhau ở bậc thứ hai, nhưng ở bậc thứ nhất, sự khác biệt phải bằng 0.
Và điều này phải được quan sát đối với bất kỳ ai. Tuy nhiên, không hoàn toàn dành cho tất cả mọi người. Phương pháp này yêu cầu chỉ tính đến những đường đi bắt đầu và kết thúc tại cùng một cặp điểm, tức là mọi đường đi phải bắt đầu tại một thời điểm nhất định và kết thúc tại một thời điểm cụ thể khác. Những điểm và khoảnh khắc này được ghi lại. Vì vậy hàm (độ lệch) của chúng ta phải bằng 0 ở cả hai đầu: và . Trong điều kiện này, vấn đề toán học của chúng ta trở nên hoàn toàn được xác định.
Nếu bạn không biết phép tính vi phân, bạn có thể làm điều tương tự để tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số thông thường. Bạn sẽ nghĩ về điều gì sẽ xảy ra nếu bạn lấy và thêm một giá trị nhỏ vào , và sẽ lập luận rằng hiệu chỉnh cho bậc đầu tiên tối thiểu phải bằng 0. Thay vào đó, bạn sẽ thay thế và mở rộng đến mức độ đầu tiên, nói một cách dễ hiểu, bạn sẽ lặp lại mọi thứ mà chúng tôi định làm với .
Vì vậy, ý tưởng của chúng tôi là thay thế 
vào công thức hành động
,
trong đó năng lượng tiềm năng được biểu thị bằng. Tất nhiên, đạo hàm là đạo hàm của cộng đạo hàm của , vì vậy đối với hành động tôi nhận được biểu thức sau:
.
Bây giờ điều này cần được mô tả chi tiết hơn. Đối với số hạng bậc hai tôi nhận được
.
Nhưng đợi một chút! Suy cho cùng, tôi không cần phải lo lắng về những đơn hàng cao hơn đơn hàng đầu tiên. Tôi có thể loại bỏ tất cả các số hạng có lũy thừa cao hơn và đặt chúng vào một hộp có tên là “bậc thứ hai và bậc cao hơn”. Từ biểu thức này chỉ có một mức độ thứ hai sẽ đạt được điều đó, nhưng từ một biểu thức khác, những mức độ cao hơn cũng có thể đi vào. Vậy phần liên quan đến động năng là:
Tiếp theo chúng ta cần thế năng tại các điểm. Tôi coi nó nhỏ và có thể mở rộng nó thành chuỗi Taylor. Khoảng nó sẽ được; trong phép tính gần đúng tiếp theo (do thực tế là ở đây có đạo hàm thông thường), hiệu chỉnh bằng , nhân với tốc độ thay đổi đối với, v.v.:
.
Để tiết kiệm không gian, tôi ký hiệu nó bằng cách sử dụng đạo hàm đối với . Thuật ngữ c và mọi thứ đằng sau nó thuộc loại “cấp thứ hai và cấp cao hơn”. Và không cần phải lo lắng về họ nữa. Hãy kết hợp mọi thứ còn lại:
Nếu bây giờ chúng ta xem xét điều này một cách cẩn thận, chúng ta sẽ thấy rằng hai thuật ngữ đầu tiên được viết ở đây tương ứng với hành động mà tôi sẽ viết cho con đường chân chính đang được tìm kiếm. Tôi muốn tập trung sự chú ý của bạn vào sự thay đổi, tức là vào sự khác biệt giữa và những gì sẽ xảy ra đối với con đường chân chính. Chúng ta sẽ viết sự khác biệt này là và gọi nó là biến thể. Loại bỏ “bậc thứ hai và bậc cao hơn”, chúng ta thu được
.
Bây giờ nhiệm vụ trông như thế này. Ở đây trước mặt tôi là một số không thể thiếu. Tôi vẫn chưa biết nó là gì, nhưng tôi biết chắc chắn rằng, dù tôi có lấy thế nào đi nữa, tích phân này phải bằng 0. “Chà,” bạn có thể nghĩ, “khả năng duy nhất cho điều này là hệ số nhân tại bằng 0.” Nhưng còn thuật ngữ đầu tiên thì ở đâu? Bạn sẽ nói: “Nếu nó biến thành hư vô thì đạo hàm của nó cũng là hư vô; Điều này có nghĩa là hệ số tại cũng phải bằng 0.” Vâng, điều đó không hoàn toàn đúng. Điều này không hoàn toàn đúng vì có mối liên hệ giữa độ lệch và đạo hàm của nó; chúng không hoàn toàn độc lập, vì nó phải bằng 0 tại và tại .
Khi giải tất cả các bài toán vi tích phân, nguyên tắc chung luôn được sử dụng. Bạn dịch chuyển một chút những gì bạn muốn thay đổi (tương tự như những gì chúng tôi đã làm bằng cách thêm ), xem qua các số hạng bậc nhất, sau đó sắp xếp mọi thứ để bạn có được một tích phân có dạng: “dịch chuyển nhân với số bạn nhận được,” nhưng sao cho nó không chứa bất kỳ dẫn xuất nào của (bất kỳ). Nhất thiết phải biến đổi mọi thứ sao cho “thứ gì đó” còn lại được nhân với . Bây giờ bạn sẽ hiểu tại sao điều này lại quan trọng đến vậy. (Có những công thức sẽ cho bạn biết làm thế nào trong một số trường hợp bạn có thể thực hiện việc này mà không cần bất kỳ phép tính nào; nhưng chúng không quá tổng quát đến mức đáng để ghi nhớ; tốt nhất là thực hiện các phép tính theo cách chúng ta làm.)
Làm thế nào tôi có thể làm lại dương vật để nó xuất hiện? Tôi có thể đạt được điều này bằng cách tích hợp từng phần một. Hóa ra là trong phép tính biến phân, toàn bộ thủ thuật là viết ra biến thể rồi tích phân từng phần sao cho đạo hàm của chúng biến mất. Trong tất cả các bài toán có đạo hàm xuất hiện, cùng một thủ thuật được thực hiện.
Nhớ lại nguyên tắc chung về tích hợp từng phần. Nếu bạn có một hàm tùy ý được nhân và lấy tích phân, thì bạn viết đạo hàm của:
.
Trong tích phân mà bạn quan tâm chỉ có số hạng cuối cùng, vì vậy
.
Trong công thức của chúng tôi, hàm số được coi là tích của ; vì vậy tôi nhận được biểu thức
Các giới hạn của tích phân và phải được thay thế vào số hạng đầu tiên. Khi đó theo tích phân ta sẽ nhận được số hạng từ tích phân từng phần và số hạng cuối cùng không thay đổi trong quá trình biến đổi.
Và bây giờ điều luôn xảy ra đang xảy ra - phần tích hợp biến mất. (Và nếu nó không biến mất, thì bạn cần phải xây dựng lại nguyên tắc, thêm các điều kiện đảm bảo sự biến mất như vậy!) Chúng ta đã nói rằng ở cuối đường dẫn, nó phải bằng 0. Rốt cuộc nguyên tắc của chúng ta là gì? Thực tế là hành động này là tối thiểu với điều kiện là đường cong đa dạng bắt đầu và kết thúc tại các điểm đã chọn. Điều này có nghĩa là và . Do đó, số hạng tích phân hóa ra bằng 0. Chúng tôi tập hợp các thành viên còn lại lại với nhau và viết
.
Biến thể hiện đã có dạng mà chúng tôi muốn cung cấp cho nó: nội dung nào đó nằm trong ngoặc đơn (hãy biểu thị nó ) và tất cả điều này được nhân với và tích hợp từ đến .
Hóa ra tích phân của một số biểu thức nhân với luôn bằng 0:
.
Có một số chức năng từ ; Tôi nhân nó lên và tích phân nó từ đầu đến cuối. Và dù nó là gì đi nữa, tôi cũng nhận được con số 0. Điều này có nghĩa là hàm này bằng 0. Nói chung, điều này là hiển nhiên, nhưng để đề phòng, tôi sẽ chỉ cho bạn một cách để chứng minh điều đó.
Hãy để tôi chọn giá trị bằng 0 ở mọi nơi, cho tất cả ngoại trừ một giá trị được chọn trước. Nó vẫn bằng 0 cho đến khi tôi chạm tới nó, sau đó nó nhảy lên trong giây lát và ngay lập tức quay trở lại. Nếu bạn lấy tích phân của cái này nhân với một hàm nào đó, thì nơi duy nhất bạn sẽ nhận được giá trị khác 0 là nơi nó nhảy lên; và bạn sẽ nhận được giá trị ở vị trí này của tích phân khi nhảy. Bản thân tích phân nhảy không bằng 0, nhưng khi nhân với nó sẽ cho kết quả bằng 0. Điều này có nghĩa là hàm tại nơi xảy ra bước nhảy phải bằng 0. Nhưng bước nhảy vọt có thể được thực hiện ở bất cứ đâu; có nghĩa là nó phải bằng 0 ở mọi nơi.
Chúng ta thấy rằng nếu tích phân của chúng ta bằng 0 với bất kỳ , thì hệ số tại phải bằng 0. Tích phân tác dụng đạt đến mức tối thiểu dọc theo đường đi thỏa mãn phương trình vi phân phức tạp như vậy:
.
Nó thực sự không phức tạp đến thế; bạn đã gặp anh ấy trước đây Nó đơn giản. Số hạng đầu tiên là gia tốc khối lượng; thứ hai là đạo hàm của thế năng, tức là lực.
Vì vậy, chúng tôi đã chỉ ra (ít nhất là đối với một hệ thống bảo thủ) rằng nguyên tắc tác dụng tối thiểu sẽ dẫn đến câu trả lời đúng; ông phát biểu rằng đường đi có tác dụng cực tiểu là đường đi thỏa mãn định luật Newton.
Cần phải đưa ra một nhận xét nữa. Tôi chưa chứng minh được rằng đây là mức tối thiểu. Có lẽ đây là mức tối đa. Trên thực tế, điều này không nhất thiết phải là mức tối thiểu. Ở đây mọi thứ đều giống như trong “nguyên lý thời gian ngắn nhất”, mà chúng ta đã thảo luận khi nghiên cứu về quang học. Ở đó, lần đầu tiên chúng tôi nói về thời gian “ngắn nhất”. Tuy nhiên, hóa ra có những tình huống mà thời gian này không hẳn là “ngắn nhất”. Nguyên tắc cơ bản là đối với bất kỳ sai lệch bậc nhất nào so với đường quang, những thay đổi theo thời gian sẽ bằng 0; Đó là câu chuyện tương tự ở đây. Khi nói “tối thiểu”, chúng tôi thực sự muốn nói rằng, ở cấp độ nhỏ đầu tiên, những thay đổi về số lượng do độ lệch so với đường đi phải bằng 0. Và đây không hẳn là mức “tối thiểu”.
Bây giờ tôi muốn chuyển sang một số khái quát. Trước hết, toàn bộ câu chuyện này có thể được thực hiện dưới dạng ba chiều. Thay vì một cái đơn giản, khi đó tôi sẽ có , cả dưới dạng hàm và hành động sẽ trông phức tạp hơn. Trong chuyển động 3D, bạn phải sử dụng tổng động năng: , nhân với bình phương của tổng vận tốc. Nói cách khác,
.
Ngoài ra, thế năng bây giờ là hàm của , và . Bạn có thể nói gì về con đường? Đường đi là một đường cong tổng quát nhất định trong không gian; nó không dễ vẽ như vậy, nhưng ý tưởng vẫn như cũ. Còn tình hình thì sao? Vâng, nó có ba thành phần. Đường đi có thể được dịch chuyển dọc theo , dọc theo , và dọc theo , hoặc theo cả ba hướng cùng một lúc. Vì vậy bây giờ nó là một vector. Điều này không tạo ra bất kỳ biến chứng lớn nào. Vì chỉ các biến thể bậc nhất phải bằng 0 nên việc tính toán có thể được thực hiện tuần tự với ba ca. Đầu tiên, bạn chỉ có thể dịch chuyển theo hướng và nói rằng hệ số sẽ bằng 0. Bạn nhận được một phương trình. Sau đó chúng ta sẽ di chuyển theo hướng đó và lấy cái thứ hai. Sau đó, chúng tôi di chuyển nó theo hướng và chúng tôi nhận được cái thứ ba. Bạn có thể làm mọi thứ, nếu bạn thích, theo một thứ tự khác. Dù vậy, có ba phương trình xuất hiện. Nhưng định luật Newton cũng là ba phương trình trong ba chiều, một phương trình cho mỗi thành phần. Bạn còn lại để tự mình thấy rằng tất cả điều này hoạt động theo không gian ba chiều (không có nhiều công việc ở đây). Nhân tiện, bạn có thể lấy bất kỳ hệ tọa độ nào, cực, bất kỳ và ngay lập tức thu được các định luật Newton liên quan đến hệ này, xem xét điều gì sẽ xảy ra khi một sự dịch chuyển xảy ra dọc theo bán kính hoặc dọc theo góc, v.v.
Phương pháp này có thể được khái quát hóa thành số lượng hạt tùy ý. Giả sử, nếu bạn có hai hạt và có một số lực tác dụng giữa chúng và có thế năng tương hỗ, thì bạn chỉ cần cộng động năng của chúng và trừ đi thế năng tương tác khỏi tổng. Bạn có gì khác biệt? Đường đi của cả hai hạt. Khi đó đối với hai hạt chuyển động trong không gian ba chiều sẽ xuất hiện sáu phương trình. Bạn có thể thay đổi vị trí của hạt 1 theo hướng , theo hướng và theo hướng , và làm tương tự với hạt 2, do đó có sáu phương trình. Và đó là cách nó phải như vậy. Ba phương trình xác định gia tốc của hạt 1 do lực tác dụng lên nó, và ba phương trình còn lại xác định gia tốc của hạt 2 do lực tác dụng lên nó. Luôn tuân theo các quy tắc giống nhau của trò chơi và bạn sẽ nhận được định luật Newton cho số lượng hạt tùy ý.
Tôi đã nói chúng ta sẽ có được định luật Newton. Điều này không hoàn toàn đúng, vì định luật Newton còn bao gồm cả các lực không bảo toàn, chẳng hạn như lực ma sát. Newton lập luận rằng nó bằng với mọi . Nguyên lý tác dụng tối thiểu chỉ có hiệu lực đối với những hệ bảo toàn, những hệ mà mọi lực có thể thu được từ một hàm thế. Nhưng bạn biết rằng ở cấp độ vi mô, tức là ở cấp độ vật lý sâu sắc nhất, các lực không bảo toàn không tồn tại. Các lực không bảo toàn (chẳng hạn như ma sát) chỉ phát sinh do chúng ta bỏ qua các hiệu ứng phức tạp vi mô: đơn giản là có quá nhiều hạt để phân tích. Các luật cơ bản có thể được thể hiện dưới dạng nguyên tắc tác dụng tối thiểu.
Hãy để tôi chuyển sang khái quát hơn nữa. Giả sử chúng ta quan tâm đến điều gì sẽ xảy ra khi hạt chuyển động tương đối tính. Cho đến nay chúng ta vẫn chưa thu được phương trình chuyển động tương đối tính chính xác; chỉ đúng trong các chuyển động không tương đối tính. Câu hỏi được đặt ra: liệu có nguyên lý tác dụng tối thiểu tương ứng trong trường hợp tương đối tính không? Vâng, nó tồn tại. Công thức trong trường hợp tương đối tính là:
Phần đầu tiên của tích phân tác dụng là tích của khối lượng nghỉ và tích phân của hàm vận tốc. Khi đó, thay vì trừ đi thế năng, chúng ta có tích phân của thế năng vô hướng và thời gian của thế năng vectơ. Tất nhiên, ở đây chỉ tính đến lực điện từ. Mọi điện trường và từ trường đều được biểu diễn dưới dạng và. Hàm tác dụng này cung cấp một lý thuyết hoàn chỉnh về chuyển động tương đối tính của một hạt riêng lẻ trong trường điện từ.
Tất nhiên, bạn phải hiểu rằng chỗ nào tôi viết , trước khi tính toán, bạn nên thay thế, v.v. Ngoài ra, chỗ tôi viết đơn giản , , , bạn nên hình dung các điểm lúc đó: , , . Trên thực tế, chỉ sau khi thay thế và thay thế như vậy, bạn mới có được công thức hoạt động của một hạt tương đối tính. Hãy để người giỏi nhất trong số các bạn cố gắng chứng minh rằng công thức tác dụng này thực sự mang lại các phương trình chuyển động chính xác cho thuyết tương đối. Hãy để tôi khuyên bạn nên bắt đầu bằng cách loại bỏ , tức là hiện tại không có từ trường. Sau đó, bạn sẽ phải thu được các thành phần của phương trình chuyển động, trong đó, như bạn có thể nhớ, 
.
Việc xem xét tiềm năng vectơ khó khăn hơn nhiều. Các biến thể sau đó trở nên phức tạp hơn rất nhiều. Nhưng cuối cùng lực đó lại bằng giá trị của nó: . Nhưng hãy vui vẻ với nó.
Tôi muốn nhấn mạnh rằng trong trường hợp tổng quát (ví dụ, trong công thức tương đối tính), tích phân trong tác dụng không còn bao gồm hiệu giữa động năng và thế năng nữa. Điều này chỉ phù hợp trong một phép tính gần đúng phi tương đối tính. Ví dụ, thành viên 
- đây không phải là cái được gọi là động năng. Câu hỏi về hành động nên thực hiện đối với bất kỳ trường hợp cụ thể nào có thể được quyết định sau một số lần thử và sai. Đây là loại bài toán tương tự như bài toán xác định phương trình chuyển động sẽ như thế nào. Bạn chỉ cần thử nghiệm với các phương trình bạn biết và xem liệu chúng có thể được viết dưới dạng nguyên lý tác dụng tối thiểu hay không.
Một lưu ý nữa về thuật ngữ. Hàm được tích hợp theo thời gian để thu được hành động được gọi là Lagrangian. Đây là hàm số chỉ phụ thuộc vào vận tốc và vị trí của các hạt. Vậy nguyên lý tác dụng tối thiểu cũng được viết dưới dạng
,
ở đâu và có nghĩa là tất cả các thành phần của tọa độ và vận tốc. Nếu bạn từng nghe ai đó nói về "Lagrange", thì họ đang nói về hàm được sử dụng để lấy . Đối với chuyển động tương đối trong trường điện từ
.
Hơn nữa, tôi cần lưu ý rằng những người tỉ mỉ và mô phạm nhất không gọi hành động. Nó được gọi là "chức năng chính đầu tiên của Hamilton". Nhưng việc giảng bài về “Nguyên lý hàm số chính thứ nhất tối thiểu của Hamilton” là điều vượt quá khả năng của tôi. Tôi gọi nó là "hành động". Và bên cạnh đó, ngày càng có nhiều người gọi đó là “hành động”. Bạn thấy đấy, hành động trong lịch sử đã được gọi là một cái gì đó không hữu ích cho khoa học, nhưng tôi nghĩ sẽ hợp lý hơn nếu thay đổi định nghĩa. Bây giờ bạn cũng sẽ bắt đầu gọi hàm mới là một hành động và chẳng bao lâu nữa mọi người sẽ bắt đầu gọi nó bằng cái tên đơn giản này.
Bây giờ tôi muốn nói với bạn điều gì đó về chủ đề của chúng ta, nó tương tự như lý luận mà tôi đã đưa ra về nguyên lý thời gian ngắn nhất. Có một sự khác biệt về bản chất của định luật nói rằng tích phân nào đó lấy từ điểm này đến điểm khác có giá trị nhỏ nhất - định luật cho chúng ta biết điều gì đó về toàn bộ đường đi cùng một lúc, và định luật nói rằng khi bạn di chuyển thì , Điều này có nghĩa là có một lực dẫn đến gia tốc. Cách tiếp cận thứ hai báo cáo cho bạn về từng bước đi của bạn, nó theo dõi đường đi của bạn từng inch một và cách thứ nhất ngay lập tức đưa ra một số tuyên bố chung về toàn bộ con đường đã đi. Khi nói về ánh sáng, chúng tôi đã nói về mối liên hệ giữa hai phương pháp này. Bây giờ tôi muốn giải thích cho bạn tại sao phải tồn tại luật vi phân nếu có một nguyên tắc như vậy - nguyên tắc tác dụng tối thiểu. Lý do là: chúng ta hãy xem xét con đường thực sự di chuyển trong không gian và thời gian. Như trước đây, chúng ta sẽ thực hiện một phép đo để có thể vẽ đồ thị về sự phụ thuộc vào . Dọc theo con đường thực sự nó đạt đến mức tối thiểu. Giả sử rằng chúng ta có đường đi này và nó đi qua một điểm nhất định trong không gian và thời gian và đi qua một điểm lân cận khác.
Bây giờ, nếu toàn bộ tích phân từ đến đã đạt đến giá trị nhỏ nhất thì tích phân dọc theo một phần nhỏ từ đến cũng phải nhỏ nhất. Không thể có phần vượt quá mức tối thiểu dù chỉ một chút. Nếu không, bạn có thể di chuyển đường cong qua lại trong phần này và giảm nhẹ giá trị của toàn bộ tích phân.
Điều này có nghĩa là bất kỳ phần nào của đường dẫn cũng phải cung cấp mức tối thiểu. Và điều này đúng với bất kỳ phần nhỏ nào của con đường. Do đó, nguyên tắc toàn bộ đường đi phải đạt mức tối thiểu có thể được hình thành bằng cách nói rằng một đoạn vô cùng nhỏ của đường đi cũng là một đường cong mà trên đó tác động là tối thiểu. Và nếu chúng ta đi một đoạn đường khá ngắn - giữa các điểm và rất gần nhau - thì việc điện thế thay đổi như thế nào từ điểm này sang điểm khác xa địa điểm này không còn quan trọng nữa, bởi vì, khi đi qua toàn bộ đoạn đường ngắn của mình, bạn gần như không bao giờ rời khỏi vị trí của bạn. Điều duy nhất bạn cần xem xét là sự thay đổi độ nhỏ bậc nhất của thế năng. Câu trả lời có thể chỉ phụ thuộc vào đạo hàm của thế năng chứ không phụ thuộc vào thế năng ở nơi khác. Do đó, một tuyên bố về thuộc tính của toàn bộ đường dẫn trở thành một tuyên bố về những gì xảy ra trên một phần ngắn của đường dẫn, tức là một tuyên bố vi phân. Và công thức vi phân này bao gồm các đạo hàm của thế năng, tức là lực tại một điểm nhất định. Đây là sự giải thích định tính về mối liên hệ giữa luật nói chung và luật khác biệt.
Khi nói về ánh sáng, chúng ta cũng thảo luận câu hỏi: làm thế nào một hạt tìm được đường đi đúng? Từ một quan điểm khác biệt, điều này là dễ hiểu. Tại mỗi thời điểm, hạt chịu gia tốc và chỉ biết nó phải làm gì vào thời điểm đó. Nhưng tất cả bản năng về nguyên nhân và kết quả của bạn trỗi dậy khi bạn nghe thấy rằng một hạt “quyết định” con đường nào sẽ đi, cố gắng đạt được hành động tối thiểu. Không phải cô ấy đang “đánh hơi” những con đường lân cận, tìm hiểu xem chúng sẽ dẫn đến đâu - ít nhiều hành động? Khi chúng tôi đặt một màn hình trong đường đi của ánh sáng để các photon không thể thử tất cả các đường đi, chúng tôi phát hiện ra rằng chúng không thể quyết định nên đi theo đường nào và chúng tôi gặp phải hiện tượng nhiễu xạ.
Nhưng điều này có đúng với cơ khí không? Có đúng là một hạt không chỉ “đi đúng hướng” mà còn xem xét lại tất cả các quỹ đạo có thể hình dung được khác? Và điều gì sẽ xảy ra nếu bằng cách đặt chướng ngại vật trên đường đi của nó, chúng ta không cho phép nó nhìn về phía trước, khi đó chúng ta sẽ nhận được một loại tương tự nào đó của hiện tượng nhiễu xạ? Điều tuyệt vời nhất về tất cả những điều này là mọi thứ thực sự là như thế này. Đây chính xác là những gì các định luật cơ học lượng tử nói. Vì thế nguyên tắc hành động tối thiểu của chúng ta chưa được xây dựng đầy đủ. Nó không nằm ở chỗ hạt chọn đường đi có tác dụng tối thiểu, mà ở chỗ nó “cảm nhận” tất cả các đường đi lân cận và chọn đường đi có tác dụng tối thiểu, và phương pháp lựa chọn này tương tự như phương pháp cách ánh sáng chọn thời gian ngắn nhất. Bạn hãy nhớ rằng cách ánh sáng chọn thời gian ngắn nhất là như sau: nếu ánh sáng đi theo một đường đòi hỏi thời gian khác, nó sẽ đến với một pha khác. Và tổng biên độ tại một điểm nào đó là tổng đóng góp biên độ của tất cả các đường đi mà ánh sáng có thể chạm tới nó. Tất cả những đường đi có pha khác nhau rõ rệt sẽ không mang lại kết quả gì sau khi cộng. Nhưng nếu bạn tìm được toàn bộ chuỗi đường đi, các pha của chúng gần như giống nhau, thì những đóng góp nhỏ sẽ cộng lại và tại điểm đến, tổng biên độ sẽ nhận được một giá trị đáng chú ý. Đường đi quan trọng nhất là đường đi gần đó có nhiều đường dẫn gần nhau tạo ra cùng một pha.
Điều tương tự cũng xảy ra trong cơ học lượng tử. Cơ học lượng tử hoàn chỉnh (không tương đối và bỏ qua spin của electron) hoạt động như thế này: xác suất để một hạt rời khỏi điểm 1 tại thời điểm , sẽ đạt đến điểm 2 tại thời điểm , bằng bình phương biên độ xác suất. Tổng biên độ có thể được viết dưới dạng tổng biên độ của tất cả các đường đi có thể - cho bất kỳ đường đi nào. Đối với bất kỳ , có thể xảy ra đối với bất kỳ quỹ đạo tưởng tượng nào có thể hình dung được, biên độ phải được tính toán. Sau đó tất cả chúng cần phải được gấp lại. Chúng ta lấy bao nhiêu làm biên độ xác suất của một đường đi nhất định? Tích phân tác dụng của chúng ta cho chúng ta biết biên độ của một đường đi riêng lẻ sẽ là bao nhiêu. Biên độ tỷ lệ thuận với , ở đâu là hành động dọc theo đường dẫn này. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta biểu diễn pha của biên độ dưới dạng số phức thì góc pha sẽ bằng . Hành động có chiều năng lượng theo thời gian và hằng số Planck có cùng chiều. Đây là hằng số xác định khi nào cần đến cơ học lượng tử.
Và đó là cách mọi chuyện diễn ra. Đặt hành động rất lớn đối với tất cả các đường dẫn so với số lượng . Hãy để một số đường dẫn đến một giá trị biên độ nhất định. Pha của một đường dẫn gần đó sẽ hoàn toàn khác, bởi vì với một đường dẫn lớn, ngay cả những thay đổi nhỏ cũng làm thay đổi pha một cách mạnh mẽ (xét cho cùng thì nó cực kỳ nhỏ). Điều này có nghĩa là các đường dẫn liền kề thường tắt đi sự đóng góp của chúng khi được thêm vào. Và chỉ ở một khu vực thì điều này không đúng - ở nơi mà cả đường đi và hàng xóm của nó - cả hai, theo phép tính gần đúng đầu tiên, đều có cùng một pha (hay chính xác hơn là gần như cùng một hành động, thay đổi trong ). Chỉ những đường dẫn như vậy mới được tính đến. Và trong trường hợp giới hạn khi hằng số Planck tiến tới 0, các định luật cơ học lượng tử đúng có thể được tóm tắt bằng cách nói: “Hãy quên tất cả các biên độ xác suất này đi. Hạt thực sự chuyển động dọc theo một con đường đặc biệt - chính xác là dọc theo một con đường mà theo phép tính gần đúng đầu tiên, nó không thay đổi.” Đây là mối liên hệ giữa nguyên lý tác dụng tối thiểu và cơ học lượng tử. Việc cơ học lượng tử có thể được phát biểu theo cách này đã được phát hiện vào năm 1942 bởi một học trò của cùng một giáo viên, ông Bader, người mà tôi đã kể cho bạn nghe. [Cơ học lượng tử ban đầu được xây dựng bằng cách sử dụng phương trình vi phân biên độ (Schrödinger) cũng như một số toán học ma trận (Heisenberg).]
Bây giờ tôi muốn nói về những nguyên lý tối thiểu khác trong vật lý. Có rất nhiều nguyên tắc thú vị thuộc loại này. Tôi sẽ không liệt kê tất cả, nhưng tôi sẽ chỉ kể tên một người nữa. Sau này, khi chúng ta đề cập đến một hiện tượng vật lý có nguyên lý tối thiểu tuyệt vời, tôi sẽ kể cho bạn nghe về nó. Bây giờ tôi muốn chứng tỏ rằng không cần thiết phải mô tả tĩnh điện bằng phương trình vi phân của trường; thay vào đó người ta có thể yêu cầu tích phân nào đó có giá trị cực đại hoặc cực tiểu. Để bắt đầu, hãy xét trường hợp khi mật độ điện tích được biết ở mọi nơi, nhưng chúng ta cần tìm điện thế tại bất kỳ điểm nào trong không gian. Bạn đã biết rằng câu trả lời phải là:
Một cách khác để nói điều tương tự là tính tích phân
;
đây là tích phân thể tích. Nó được thực hiện khắp không gian. Với sự phân bố tiềm năng chính xác, biểu thức này đạt đến mức tối thiểu.
Chúng ta có thể chỉ ra rằng cả hai phát biểu này về tĩnh điện đều tương đương nhau. Giả sử rằng chúng ta đã chọn một hàm tùy ý. Chúng tôi muốn chứng minh rằng khi chúng tôi lấy giá trị đúng của điện thế cộng với một độ lệch nhỏ làm chất lượng, thì đến bậc nhỏ đầu tiên, sự thay đổi sẽ bằng 0. Vì vậy chúng tôi viết
đây là những gì chúng tôi đang tìm kiếm; nhưng chúng ta sẽ thay đổi để xem nó phải như thế nào để biến thể có mức độ nhỏ thứ nhất. Trong học kỳ đầu tiên chúng ta cần viết
Thuật ngữ thứ tự đầu tiên duy nhất sẽ thay đổi là:
Trong số hạng thứ hai, tích phân sẽ có dạng
phần thay đổi ở đây là . Chỉ để lại các số hạng thay đổi, chúng ta thu được tích phân
.
Điều này cần phải được tích hợp hơn nữa. Và ở đây thủ thuật tương tự cũng gợi ý: để loại bỏ , chúng ta tích phân từng phần. Điều này sẽ dẫn đến sự khác biệt bổ sung đối với . Đây chính là ý tưởng cơ bản mà chúng ta đã sử dụng để loại bỏ đạo hàm đối với . Chúng tôi sử dụng sự bình đẳng
.
Số hạng tích phân bằng 0, vì chúng ta coi bằng 0 ở vô cùng. (Điều này tương ứng với biến mất tại và . Vì vậy, nguyên tắc của chúng tôi được phát biểu chính xác hơn như sau: đối với cái đúng thì nó nhỏ hơn đối với bất kỳ cái nào khác có cùng giá trị ở vô cùng.) Sau đó, chúng ta sẽ làm tương tự với và với . Tích phân của chúng ta biến thành
.
Để biến thiên này bằng 0 đối với bất kỳ λ tùy ý nào, hệ số tại phải bằng 0. Có nghĩa,
Chúng ta quay lại phương trình cũ. Điều này có nghĩa là đề xuất “tối thiểu” của chúng tôi là chính xác. Nó có thể được khái quát hóa nếu các tính toán được sửa đổi một chút. Hãy quay lại và tích hợp từng phần, nhưng mô tả mọi thứ theo từng thành phần. Hãy bắt đầu bằng cách viết đẳng thức sau:
Bằng cách lấy vi phân vế trái, tôi có thể chỉ ra rằng nó bằng vế phải. Phương trình này phù hợp để thực hiện tích phân từng phần. Trong tích phân của chúng ta, chúng ta thay thế bằng 
và sau đó tích hợp nó theo khối lượng. Số hạng phân kỳ sau khi tích phân theo thể tích được thay thế bằng tích phân trên bề mặt:
Và vì chúng ta lấy tích phân trên toàn bộ không gian nên bề mặt của tích phân này nằm ở vô cùng. Điều này có nghĩa là , và chúng tôi nhận được kết quả tương tự.
Bây giờ chúng ta mới bắt đầu hiểu cách giải quyết các vấn đề mà chúng ta không biết tất cả các khoản phí nằm ở đâu. Hãy để chúng tôi có dây dẫn mà điện tích được phân phối bằng cách nào đó. Nếu điện thế trên tất cả các vật dẫn là cố định thì nguyên tắc tối thiểu của chúng ta vẫn được phép áp dụng. Chúng tôi sẽ chỉ tiến hành tích hợp vào khu vực nằm bên ngoài tất cả các dây dẫn. Nhưng vì chúng ta không thể thay đổi trên dây dẫn cũng như trên bề mặt của chúng và tích phân bề mặt
cũng bằng không. Tích hợp khối lượng còn lại
chỉ cần được thực hiện trong khoảng trống giữa các dây dẫn. Và tất nhiên, chúng ta lại có được phương trình Poisson
Do đó, chúng tôi đã chỉ ra rằng tích phân ban đầu của chúng tôi đạt đến mức tối thiểu ngay cả khi nó được tính toán trong khoảng không gian giữa các dây dẫn, mỗi dây dẫn có một điện thế cố định [điều này có nghĩa là mỗi chức năng thử nghiệm phải bằng một điện thế nhất định của dây dẫn, khi - các điểm trên bề mặt dây dẫn ].
Có một trường hợp đặc biệt thú vị khi điện tích chỉ nằm trên dây dẫn. Sau đó
và nguyên lý tối thiểu cho chúng ta biết rằng trong trường hợp mỗi dây dẫn có điện thế xác định trước riêng, thì điện thế trong khoảng trống giữa chúng được điều chỉnh sao cho tích phân càng nhỏ càng tốt. Đây là loại tích phân gì? Thành viên là một điện trường. Điều này có nghĩa là tích phân là năng lượng tĩnh điện. Trường đúng là trường duy nhất trong số tất cả các trường thu được dưới dạng gradient thế, có tổng năng lượng thấp nhất.
Tôi muốn sử dụng kết quả này để giải quyết một số vấn đề cụ thể và cho bạn thấy rằng tất cả những điều này đều có ý nghĩa thực tiễn thực sự. Giả sử tôi lấy hai dây dẫn ở dạng tụ điện hình trụ.
