"1740 yılında matematikçi Pierre Louis Moreau de Maupertuis, eleştirel analiz Fermat'ın ilkesi Evrenin mükemmelliği ve en ekonomik yapısı hakkındaki teolojik güdüleri takip ederek şunu ilan etti: […] en az eylem ilkesi. Maupertuis, Fermat'ın en az zamanını reddetti ve yeni bir konsept tanıttı - aksiyon. Eylem, cismin momentumu (hareket miktarı P = mV) ile cismin kat ettiği yolun çarpımına eşittir.”
Golubintsev O., Modern doğa bilimi kavramları, Rostov-on-Don, “Phoenix”, 2007, s. 144-147.
“Doğada herhangi bir değişiklik yaratmak için gereken eylem miktarı mümkün olan en azdır.”
Pierre Maupertuis, Dinlenme ve hareketin genel prensipleri arasındaki ilişkiler / Sat. bilim klasiklerinden makaleler. Polak L.S., M., “Fizmatgiz”, 1959, s. 5.
“Anı, o zamanın bilim adamları arasında mekaniğin kapsamının çok ötesinde şiddetli tartışmalara neden oldu. Asıl tartışma konusu şuydu: Dünyada meydana gelen olaylar nedensel olarak mı belirleniyor yoksa bunlar bir üst akıl tarafından “nihai nedenler” yani amaçlar üzerinden teleolojik olarak mı yönlendiriliyor?
Maupertuis'in kendisi de ilkesinin teleolojik karakterini vurgulayıp savundu ve doğadaki "eylem ekonomisinin" Tanrı'nın varlığını kanıtladığını doğrudan savundu. Son tez, dönemin materyalist düşünceli bilim adamlarının ve yayıncılarının (D'Alembert, Darcy, Voltaire) sert bir şekilde reddedilmesine neden oldu.
Tartışma başka yönlerde de devam etti, özellikle Maupertuis'in önerdiği eylem tanımı eleştirildi. Bazı yazarlar bu prensibin evrensel doğasını inkar etti; bazıları “eylem”in minimum değil, tam tersine maksimum olduğu “gerçek” hareketlere örnekler verdi. Ayrıca öncelik konusunda da anlaşmazlıklar vardı.”
Golitsyn G.A., Bilgi ve yaratıcılık: bütünsel bir kültüre giden yolda, M., “Rus Dünyası”, 1997, s. 20.
Bu prensibi ilk öğrendiğimde bir tür tasavvuf hissine kapıldım. Görünüşe göre doğa gizemli bir şekilde sistemin tüm olası hareket yollarından geçiyor ve en iyisini seçiyor.
Bugün fiziğin en dikkat çekici ilkelerinden biri olan en az eylem ilkesi hakkında biraz konuşmak istiyorum.
Arka plan
Galileo'dan bu yana, herhangi bir kuvvetin etkisi altında olmayan cisimlerin düz bir çizgide, yani en kısa yol boyunca hareket ettiği bilinmektedir. Işık ışınları da düz çizgiler halinde hareket eder.Işık da yansıdığında bir noktadan diğerine en kısa sürede ulaşacak şekilde hareket eder. Resimde en kısa yol, gelme açısının yansıma açısına eşit olduğu yeşil yol olacaktır. Kırmızı yol gibi başka herhangi bir yol daha uzun olacaktır.
Işınların yollarını aynanın karşı tarafına yansıtarak bunu kanıtlamak kolaydır. Resimde noktalı çizgilerle gösterilmiştir.
Yeşil ACB yolunun düz ACB'ye dönüştüğü görülmektedir. Ve kırmızı yol, elbette yeşil olandan daha uzun olan kesikli bir ADB çizgisine dönüşüyor.
1662'de Pierre Fermat, cam gibi yoğun maddelerdeki ışığın hızının havadakinden daha düşük olduğunu öne sürdü. Bundan önce, doğru kırılma yasasını elde etmek için ışığın maddedeki hızının havadakinden daha yüksek olması gerektiğini söyleyen Descartes'ın versiyonu genel olarak kabul ediliyordu. Fermat'a göre ışığın daha yoğun bir ortamda, seyrekleştirilmiş bir ortamdan daha hızlı hareket edebileceği varsayımı doğal görünmüyordu. Dolayısıyla her şeyin tam tersi olduğunu varsaydı ve şaşırtıcı bir şeyi kanıtladı: Bu varsayımla ışık, hedefine en kısa sürede ulaşacak şekilde kırılıyor.
Yine yeşil renk, ışık ışınının gerçekte gittiği yolu gösterir. Kırmızıyla işaretlenmiş yol en kısa olanıdır ancak en hızlısı değildir çünkü ışığın camın içinden geçmesi için daha uzun bir yol vardır ve orada daha yavaştır. En hızlı yol, ışık ışınının gerçek yoludur.
Tüm bu gerçekler, doğanın rasyonel bir şekilde hareket ettiğini, ışığın ve cisimlerin mümkün olduğunca az çaba harcayarak en optimal şekilde hareket ettiğini gösteriyordu. Ancak bunların ne tür çabalar olduğu ve nasıl hesaplanacağı bir sır olarak kaldı.
1744'te Maupertuis "eylem" kavramını ortaya attı ve bir parçacığın gerçek yörüngesinin, etkisinin minimum olması nedeniyle diğerlerinden farklı olduğu ilkesini formüle etti. Ancak Maupertuis'in kendisi bu eylemin ne anlama geldiğine dair hiçbir zaman net bir tanım yapamadı. En az etki ilkesinin titiz bir matematiksel formülasyonu Euler ve Lagrange gibi diğer matematikçiler tarafından zaten geliştirildi ve sonunda William Hamilton tarafından verildi:
Matematiksel dilde en az eylem ilkesi oldukça kısa bir şekilde formüle edilmiştir, ancak tüm okuyucular kullanılan gösterimin anlamını anlayamayabilir. Bu prensibi daha açık ve daha basit bir şekilde anlatmaya çalışmak istiyorum.
Serbest gövde
Yani, bir noktada bir arabanın içinde oturduğunuzu ve o anda size basit bir görev verildiğini hayal edin: o anda arabayı o noktaya kadar sürmeniz gerekiyor.
Bir arabanın yakıtı pahalıdır ve elbette mümkün olduğunca az harcamak istersiniz. Arabanız en son süper teknolojiler kullanılarak üretilmiştir ve istediğiniz kadar hızlanabilir veya frenlenebilir. Ancak ne kadar hızlı giderse o kadar fazla yakıt tüketecek şekilde tasarlanmıştır. Ayrıca yakıt tüketimi hızın karesiyle orantılıdır. İki kat hızlı giderseniz aynı sürede 4 kat daha fazla yakıt tüketirsiniz. Hızın yanı sıra yakıt tüketimi de elbette aracın ağırlığından etkileniyor. Arabamız ne kadar ağırsa o kadar çok yakıt tüketir. Aracımızın her an yakıt tüketimi eşittir, yani. arabanın kinetik enerjisine tam olarak eşittir.
Peki hedefinize tam olarak belirlenen zamanda varmak ve mümkün olduğunca az yakıt kullanmak için nasıl araç kullanmalısınız? Düz bir çizgide gitmeniz gerektiği açıktır. Kat edilen mesafe arttıkça daha az yakıt tüketilmeyecektir. Ve sonra farklı taktikler seçebilirsiniz. Örneğin, önceden hızlı bir şekilde noktaya varabilir ve oturup zamanı gelene kadar bekleyebilirsiniz. Sürüş hızı ve dolayısıyla yakıt tüketimi her an yüksek olacak ancak sürüş süresi de kısalacak. Belki de genel yakıt tüketimi o kadar büyük olmayacaktır. Veya aynı hızda, eşit bir şekilde ilerleyebilirsiniz, böylece acele etmeden tam zamanında varırsınız. Veya yolun bir kısmını hızlı, bir kısmını daha yavaş sürün. Gitmenin en iyi yolu nedir?
Araç kullanmanın en uygun, en ekonomik yolunun, varış noktasına tam olarak belirlenen zamanda varacak şekilde sabit bir hızda araç kullanmak olduğu ortaya çıktı. Diğer seçenekler daha fazla yakıt tüketecektir. Birkaç örnek kullanarak bunu kendiniz kontrol edebilirsiniz. Bunun nedeni yakıt tüketiminin hızın karesiyle artmasıdır. Bu nedenle hız arttıkça yakıt tüketimi sürüş süresinin azalmasından daha hızlı artar ve toplam yakıt tüketimi de artar.
Böylece, eğer bir araba zamanın her anında kinetik enerjisiyle orantılı olarak yakıt tüketiyorsa, o zaman bir noktadan diğerine tam olarak belirlenen zamanda gitmenin en ekonomik yolunun, tam olarak eşit ve düz bir çizgide gitmek olduğunu öğrendik. Üzerine etki eden kuvvetlerin yokluğunda bir cismin hareket etme şekli. Başka herhangi bir sürüş yöntemi daha yüksek toplam yakıt tüketimine neden olacaktır.
Yerçekimi alanında
Şimdi arabamızı biraz geliştirelim. Ona jet motorları takalım ki her yöne serbestçe uçabilsin. Genel olarak tasarım aynı kaldı, bu nedenle yakıt tüketimi yine otomobilin kinetik enerjisiyle tam olarak orantılı kaldı. Şimdi görev, zamanın belirli bir noktasından uçmak ve belirli bir noktaya ulaşmak olarak verilirse, o zaman elbette en ekonomik yol, daha önce olduğu gibi, tekdüze ve doğrusal olarak uçmak olacaktır. tam olarak belirlenen zamanda bir noktada. Bu da yine bir cismin üç boyutlu uzayda serbest hareketine karşılık gelir.
Ancak en son araba modeline alışılmadık bir cihaz takıldı. Bu cihaz kelimenin tam anlamıyla sıfırdan yakıt üretebilir. Ancak tasarım öyledir ki, araba ne kadar yüksekte olursa, cihaz herhangi bir zamanda o kadar fazla yakıt üretir. Yakıt üretimi, aracın o anda bulunduğu rakımla doğru orantılıdır. Ayrıca araba ne kadar ağırsa, üzerine takılan cihaz da o kadar güçlü olur ve o kadar fazla yakıt üretir ve üretim, arabanın ağırlığıyla doğru orantılıdır. Cihazın, yakıt üretiminin tam olarak eşit olduğu (serbest düşüşün hızlanmasının olduğu yer) olduğu ortaya çıktı. Arabanın potansiyel enerjisi.
Her an yakıt tüketimi, kinetik enerjiden aracın potansiyel enerjisine eşittir (eksi potansiyel enerji, çünkü kurulu cihaz yakıt üretir ve onu tüketmez). Artık arabayı noktalar arasında mümkün olduğunca verimli bir şekilde hareket ettirme görevimiz daha da zorlaşıyor. Doğrusal düzgün hareketin bu durumda en etkili olmadığı ortaya çıkıyor. Biraz irtifa kazanmanın, orada bir süre kalmanın, daha fazla yakıt tüketmenin ve ardından noktaya inmenin daha uygun olduğu ortaya çıktı. Doğru uçuş yörüngesi ile tırmanıştan kaynaklanan toplam yakıt üretimi, yolun uzunluğunun ve hızın arttırılmasından kaynaklanan ek yakıt maliyetlerini karşılayacaktır. Dikkatlice hesaplarsanız, bir araba için en ekonomik yol, bir parabol üzerinde, bir taşın Dünya'nın çekim alanında uçmasıyla tamamen aynı yörüngede ve tam olarak aynı hızda uçması olacaktır.
Burada bir açıklama yapmakta yarar var. Elbette bir taşı bir noktadan, noktaya çarpacak şekilde birçok farklı şekilde atabilirsiniz. Ancak onu öyle bir şekilde atmanız gerekiyor ki, o anki noktadan havalandıktan sonra tam o anda o noktaya çarpacak. Arabamız için en ekonomik olacak olan bu harekettir.
Lagrange fonksiyonu ve en az eylem ilkesi
Artık bu benzetmeyi gerçek fiziksel bedenlere aktarabiliriz. Vücutlar için yakıt tüketim oranının bir analoguna Lagrange fonksiyonu veya Lagrangian (Lagrange onuruna) denir ve harfle gösterilir. Lagrangian, bir vücudun belirli bir zamanda ne kadar "yakıt" tükettiğini gösterir. Potansiyel bir alanda hareket eden bir cisim için Lagrangian, kinetik enerjisinin potansiyel enerjisinin çıkarılmasına eşittir.Tüm hareket süresi boyunca tüketilen toplam yakıt miktarının bir benzeri, yani. Hareketin tüm süresi boyunca biriken Lagrangian değerine “eylem” adı verilir.
En az eylem ilkesi, vücudun eylemin (hareketin yörüngesine bağlı olan) minimum düzeyde olacak şekilde hareket etmesidir. Aynı zamanda başlangıç ve son koşulların da belirtildiğini unutmamalıyız. Bedenin zamanın anında ve zamanın anında olduğu yer.
Bu durumda, arabamız için düşündüğümüz gibi, cismin mutlaka düzgün bir yerçekimi alanında hareket etmesi gerekmez. Tamamen farklı durumlar düşünülebilir. Bir cisim elastik bir bant üzerinde salınabilir, bir sarkaç üzerinde sallanabilir veya Güneş etrafında uçabilir, tüm bu durumlarda “toplam yakıt tüketimini” en aza indirecek şekilde hareket eder, yani. aksiyon.
Bir sistem birkaç cisimden oluşuyorsa, böyle bir sistemin Lagrangianı, tüm cisimlerin toplam kinetik enerjisinden tüm cisimlerin toplam potansiyel enerjisinin çıkarılmasına eşit olacaktır. Ve yine tüm vücutlar uyum içinde hareket edecek ve bu hareket sırasında tüm sistemin etkisi minimum düzeyde olacaktır.
O kadar basit değil
Aslında bedenlerin her zaman eylemi en aza indirecek şekilde hareket ettiğini söyleyerek biraz hile yaptım. Bu birçok durumda doğru olmakla birlikte, eylemin açıkça asgari düzeyde olmadığı durumları da düşünmek mümkündür.Örneğin bir top alıp onu boş bir alana koyalım. Ondan biraz uzakta elastik bir duvar yerleştireceğiz. Diyelim ki topun bir süre sonra aynı yere gelmesini istiyoruz. Verilen bu koşullar altında top iki farklı şekilde hareket edebilir. İlk olarak, yerinde kalabilir. İkinci olarak duvara doğru itebilirsiniz. Top duvara uçacak, sekecek ve geri dönecek. Onu öyle bir hızla itebileceğiniz açıktır ki, tam olarak doğru zamanda geri dönecektir.
Topun hareketi için her iki seçenek de mümkündür, ancak ikinci durumdaki hareket daha büyük olacaktır çünkü top tüm bu süre boyunca sıfır olmayan kinetik enerjiyle hareket edecektir.
Bu tür durumlarda geçerli olması için en az eylem ilkesini nasıl koruyabiliriz? Bunu içinde konuşacağız.
Adını klasik mekanikte Hamilton formalizmini oluşturmak için bu prensibi kullanan William Hamilton'dan almıştır.
Eylemin durağanlığı ilkesi ekstremal ilkeler ailesinin en önemli ilkesidir. Tüm fiziksel sistemlerin bu prensipten elde edilebilecek hareket denklemleri yoktur, ancak tüm temel etkileşimler buna tabidir ve bu nedenle bu prensip, modern fiziğin temel hükümlerinden biridir. Yardımıyla elde edilen hareket denklemlerine Euler-Lagrange denklemleri denir.
İlkenin ilk formülasyonu 1744'te P. Maupertuis (Fransızca: P. Maupertuis) tarafından verilmiş, hemen evrensel doğasına dikkat çekilmiş ve optik ve mekaniğe uygulanabilir olduğu düşünülmüştür. Bu prensipten ışığın yansıma ve kırılma yasalarını çıkardı.
1746'da Maupertuis yeni bir çalışmasında Euler'in görüşüne katıldı ve ilkesinin en genel versiyonunu ilan etti: “Doğada bir değişiklik meydana geldiğinde, bu değişiklik için gereken eylem miktarı mümkün olan en az düzeydedir. Eylem miktarı, cisimlerin kütlesinin, hızlarına ve kat ettikleri mesafeye göre çarpımıdır." Ardından gelen geniş tartışmada Euler, Maupertuis'in önceliğini destekledi ve yeni yasanın evrensel doğasını savundu: "tüm dinamikler ve hidrodinamikler, yalnızca maksimum ve minimum yöntemiyle inanılmaz bir kolaylıkla ortaya çıkarılabilir."
1760-1761'de Joseph Louis Lagrange'ın bir fonksiyonun varyasyonu ile ilgili kesin bir kavram ortaya koymasıyla, varyasyonlar hesabına modern bir biçim vermesiyle ve en az etki ilkesini keyfi bir mekanik sisteme (yani sadece ücretsiz maddi puanlar). Bu analitik mekaniğin başlangıcını işaret ediyordu. İlkenin daha ileri bir genellemesi 1837'de Carl Gustav Jacob Jacobi tarafından gerçekleştirildi - problemi geometrik olarak, Öklidyen olmayan bir metrikle bir konfigürasyon uzayında varyasyonel bir problemin ekstremlerini bulmak olarak değerlendirdi. Jacobi özellikle dış kuvvetlerin yokluğunda sistemin yörüngesinin konfigürasyon uzayındaki jeodezik bir çizgiyi temsil ettiğine dikkat çekti.
Sorunun koşullarından hareket yasasını prensipte bulmak mümkünse, o zaman bunun otomatik olarak gerçekleştiğine dikkat edilmelidir. Olumsuz gerçek hareket sırasında durağan bir değer alan bir fonksiyonel oluşturmanın mümkün olduğu anlamına gelir. Bir örnek, bir elektromanyetik alanda elektrik yüklerinin ve monopollerin (manyetik yükler) ortak hareketidir. Hareket denklemleri durağan eylem ilkesinden türetilemez. Benzer şekilde, bazı Hamilton sistemleri bu prensipten türetilemeyen hareket denklemlerine sahiptir.
Önemsiz örnekler, Euler-Lagrange denklemleri aracılığıyla çalışma ilkesinin kullanımının değerlendirilmesine yardımcı olur. Serbest parçacık (kütle M ve hız v) Öklid uzayında düz bir çizgide hareket eder. Euler-Lagrange denklemleri kullanılarak bu durum kutupsal koordinatlarda aşağıdaki gibi gösterilebilir. Potansiyelin yokluğunda Lagrange fonksiyonu basitçe kinetik enerjiye eşittir.
Kuantum alan teorisinde de durağan etki ilkesi başarıyla uygulanmaktadır. Buradaki Lagrangian yoğunluğu karşılık gelen kuantum alanlarının operatörlerini içerir. Her ne kadar burada özünde (klasik limit ve kısmen klasikler hariç) eylemin durağanlığı ilkesinden değil, bu alanların konfigürasyonu veya faz uzayındaki yörüngeler boyunca Feynman entegrasyonu hakkında konuşmak daha doğru olsa da - kullanarak az önce bahsedilen Lagrangian yoğunluğu.
Daha geniş anlamda, bir eylem, bir konfigürasyon alanından bir dizi gerçek sayıya eşlemeyi tanımlayan bir işlevsel olarak anlaşılır ve genel olarak bir integral olması gerekmez, çünkü yerel olmayan eylemler prensipte en azından mümkündür. teorik olarak. Ayrıca konfigürasyon uzayının mutlaka fonksiyon uzayı olması gerekmez, çünkü
2.2. En az eylem ilkesi
18. yüzyılda, bireysel bilimsel başarıları, matematiksel analiz yöntemlerinin fiziksel olayların incelenmesine sistematik olarak uygulanması yoluyla dünyanın kesin olarak düzenlenmiş, tutarlı bir resminde birleştirme eğilimi ile işaretlenen bilimsel sonuçların daha fazla birikmesi ve sistemleştirilmesi gerçekleşti. Pek çok parlak zekanın bu yönde çalışması, belirli bir bileşen sınıfını tanımlayan çeşitli temel teorilerin oluşturulduğu hükümlere dayanarak, mekanik bir araştırma programının temel teorisinin (analitik mekanik) yaratılmasına yol açtı.
teorik olaylar: hidrodinamik, esneklik teorisi, aerodinamik, vb. Analitik mekaniğin en önemli sonuçlarından biri, 20. yüzyılın sonunda fizikte meydana gelen süreçleri anlamak için önemli olan en az etki ilkesidir (değişim ilkesi). .
Bilimde varyasyonel ilkelerin ortaya çıkışının kökleri Antik Yunan'a kadar uzanır ve İskenderiyeli Kahraman'ın adıyla ilişkilendirilir. Herhangi bir varyasyon ilkesinin fikri, belirli bir süreci karakterize eden belirli bir değeri çeşitlendirmek (değiştirmek) ve tüm olası süreçlerden bu değerin aşırı (maksimum veya minimum) bir değer aldığı değeri seçmektir. Heron, bir ışık ışınının aynadan yansıdığında kaynaktan gözlemciye kadar kat ettiği yolun uzunluğunu karakterize eden değeri değiştirerek ışığın yansıması yasalarını açıklamaya çalıştı. Bir ışık ışınının tüm olası yollar arasında en kısa olanı (geometrik olarak mümkün olan) seçtiği sonucuna vardı.
17. yüzyılda, yani iki bin yıl sonra, Fransız matematikçi Fermat, Heron ilkesine dikkat çekti, onu farklı kırılma indislerine sahip ortamlara genişletti ve zaman açısından yeniden formüle etti. Fermat ilkesi şunu belirtir: Özellikleri zamana bağlı olmayan bir kırılma ortamında, iki noktadan geçen bir ışık ışını öyle bir yol seçer ki, birinci noktadan ikinciye gitmesi için gereken süre minimumdur. Heron ilkesinin, sabit kırılma indisine sahip ortamlar için Fermat ilkesinin özel bir durumu olduğu ortaya çıkıyor.
Fermat'ın ilkesi çağdaşlarının yakından ilgisini çekti. Bir yandan doğadaki “ekonomi ilkesine”, dünyanın yapısında gerçekleşen rasyonel ilahi plana en iyi şekilde tanıklık ederken, diğer yandan Newton’un ışık parçacık teorisiyle çelişiyordu. Newton'a göre, daha yoğun ortamlarda ışığın hızının daha yüksek olması gerektiği ortaya çıktı, Fermat ilkesine göre ise bu tür ortamlarda ışığın hızının azaldığı ortaya çıktı.
1740 yılında matematikçi Pierre Louis Moreau de Maupertuis, Fermat'nın ilkesini eleştirel bir şekilde analiz etti ve teolojik teorileri takip etti.
Evrenin mükemmelliği ve en ekonomik yapısı hakkındaki mantıksal motifler, "Uyumsuz görünen çeşitli doğa yasaları üzerine" adlı çalışmasında en az eylem ilkesini ilan etti. Maupertuis, Fermat'ın en az zamanını terk etti ve yeni bir konsept olan eylemi tanıttı. Eylem, cismin momentumu (hareket miktarı P = mV) ile cismin kat ettiği yolun çarpımına eşittir. Zamanın uzaya üstünlüğü yoktur, ya da tam tersi. Bu nedenle, ışık en kısa yolu veya yolculuk için en kısa süreyi seçmez, Maupertuis'e göre "en gerçek ekonomiyi sağlayan yolu seçer: izlediği yol, eylemin büyüklüğünün belirlendiği yoldur." minimum düzeydedir.” En az eylem ilkesi Euler ve Lagrange'ın çalışmalarında daha da geliştirildi; Lagrange'ın yeni bir matematiksel analiz alanı olan varyasyonlar hesabını geliştirmesinin temeli buydu. Bu prensip Hamilton'un çalışmalarında daha da genelleştirilmiş ve tamamlanmıştır. Genelleştirilmiş haliyle, en az eylem ilkesi, dürtü yoluyla değil, Lagrange işlevi aracılığıyla ifade edilen eylem kavramını kullanır. Belirli bir potansiyel alanda hareket eden bir parçacık durumunda Lagrange fonksiyonu kinetikteki fark olarak temsil edilebilir. 
ve potansiyel enerji:
("Enerji" kavramı bu bölümün 3. Bölümünde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.)
Ürüne temel eylem denir. Toplam eylem, söz konusu zaman aralığının tamamındaki tüm değerlerin toplamıdır, başka bir deyişle toplam A eylemidir:
Parçacık hareketinin denklemleri, gerçek hareketin, eylemin aşırı olacağı, yani değişiminin 0 olacağı şekilde gerçekleştiği en az eylem ilkesi kullanılarak elde edilebilir:
Lagrange-Hamilton varyasyon ilkesi, olmayanlardan oluşan sistemlere kolayca genişletilmesine izin verir.
kaç (birçok) parçacık. Bu tür sistemlerin hareketi genellikle çok sayıda boyuta sahip soyut bir uzayda (uygun bir matematik tekniği) dikkate alınır. Diyelim ki, N nokta için, N parçacığın 3N koordinatından oluşan bir soyut uzay tanıtılıyor ve konfigürasyon uzayı adı verilen bir sistem oluşturuyor. Sistemin farklı durumlarının sırası, bu konfigürasyon uzayındaki bir eğri (bir yörünge) ile gösterilmektedir. Bu 3N boyutlu uzayın belirli iki noktasını birbirine bağlayan tüm olası yollar göz önüne alındığında, sistemin gerçek hareketinin en az eylem ilkesine göre gerçekleştiğine ikna edilebilir: tüm olası yörüngeler arasında eylemin en uç noktada olduğu yol. hareketin tüm zaman aralığı boyunca gerçekleştirilir.
Klasik mekanikte etkiyi en aza indirirken, Newton yasalarıyla bağlantısı iyi bilinen Euler-Lagrange denklemleri elde edilir. Klasik elektromanyetik alanın Lagrange denklemleri için Euler-Lagrange denklemlerinin Maxwell denklemleri olduğu ortaya çıktı. Böylece Lagrangian'ın ve en az etki ilkesinin kullanılmasının parçacıkların dinamiklerini belirlememize olanak sağladığını görüyoruz. Ancak Lagrangian'ın, Lagrangian formalizmini modern fiziğin hemen hemen tüm problemlerinin çözümünde temel haline getiren önemli bir özelliği daha vardır. Gerçek şu ki, Newton mekaniğinin yanı sıra, bazı fiziksel büyüklükler için korunum yasaları da 19. yüzyılda fizikte formüle edilmişti: enerjinin korunumu yasası, momentumun korunumu yasası, açısal momentumun korunumu yasası, yasa. elektrik yükünün korunumu. Yüzyılımızda kuantum fiziğinin ve temel parçacık fiziğinin gelişmesiyle bağlantılı korunum yasalarının sayısı daha da arttı. Hem hareket denklemlerini (örneğin Newton yasaları ya da Maxwell denklemleri) hem de zaman içinde korunan nicelikleri yazmak için ortak bir temelin nasıl bulunacağı sorusu ortaya çıkıyor. Böyle bir temelin Lagrangian formalizminin kullanılması olduğu ortaya çıktı, çünkü belirli bir teorinin Lagrangianı, bu teoride dikkate alınan spesifik soyut uzaya karşılık gelen dönüşümlere göre değişmez (değişemez) ve bu da koruma yasalarıyla sonuçlanır. Bu Lagrange özellikleri
fiziksel teorileri Lagrangianların dilinde formüle etmenin faydasına yol açmadı. Bu durumun farkındalığı, Einstein'ın görelilik teorisinin ortaya çıkması sayesinde fizik bilimine geldi.
Okuldayken Bader adındaki fizik öğretmenimiz dersten sonra beni yanına çağırdı ve şöyle dedi: “Sanki her şeyden fena halde yorulmuş gibi görünüyorsun; İlginç bir şey dinle.” Ve bana gerçekten büyüleyici olduğunu düşündüğüm bir şey söyledi. Şimdi bile, o zamandan bu yana çok zaman geçmesine rağmen beni büyülemeye devam ediyor. Ve söylediklerimi her hatırladığımda işime geri dönüyorum. Ve bu sefer derse hazırlanırken kendimi yine aynı şeyleri analiz ederken buldum. Ve derse hazırlanmak yerine yeni bir problemle karşılaştım. Bahsettiğim konu en az eylem ilkesidir.
Bader hocamın o zamanlar bana söylediği şey şuydu: “Örneğin, çekim alanında bir parçacığınız olsun; bir yerden çıkan bu parçacık serbestçe başka bir yerden başka bir noktaya hareket eder. Diyelim ki yukarı fırlattınız, önce uçtu, sonra düştü.
Başlangıç noktasından son noktaya kadar seyahat etmesi biraz zaman aldı. Şimdi başka bir hareket deneyin. Artık “buradan buraya” eskisi gibi değil, şöyle hareket etsin:
ama yine de kendimi daha önce olduğu gibi aynı anda doğru yerde buldum.
"Ve böylece" diye devam etti öğretmen, "parçacığın yolu boyunca zamanın her anında kinetik enerjiyi hesaplarsanız, bundan potansiyel enerjiyi çıkarırsanız ve farkı hareketin meydana geldiği tüm zaman boyunca entegre ederseniz, şunu göreceksiniz: elde edeceğiniz sayı parçacığın gerçek hareketinden daha büyük olacaktır.
Başka bir deyişle, Newton yasaları şu şekilde değil şu şekilde formüle edilebilir: ortalama kinetik enerji eksi ortalama potansiyel enerji, bir nesnenin gerçekte bir yerden diğerine hareket ettiği yörünge boyunca en düşük değerine ulaşır.
Bunu size biraz daha açık bir şekilde anlatmaya çalışacağım.
Yerçekimi alanını alırsak ve parçacığın yörüngesini belirtirsek, yerden yüksekliği nerede olur (şimdilik tek boyutla yetineceğiz; yörüngenin yanlara doğru değil, yalnızca yukarı ve aşağı gitmesine izin verin), o zaman kinetik enerji olacak ve zamanın keyfi bir anında potansiyel enerji eşit olacaktır.
Şimdi, yörünge boyunca bir anlık hareket için, kinetik ve potansiyel enerjiler arasındaki farkı alıyorum ve baştan sona tüm zaman boyunca bütünleşiyorum. Hareket, zamanın ilk anında belli bir yükseklikte başlasın ve belli bir yükseklikte bitsin.
O halde integral eşittir
.
Gerçek hareket belirli bir eğri boyunca meydana gelir (zamanın bir fonksiyonu olarak bir paraboldür) ve belirli bir integral değerine yol açar. Ancak başka bir hareket hayal edebilirsiniz: önce keskin bir yükseliş, ardından bazı tuhaf dalgalanmalar.
Hadi kontrol edelim. Öncelikle şu duruma bakalım: Serbest parçacığın hiçbir potansiyel enerjisi yoktur. Daha sonra kural, belirli bir sürede bir noktadan diğerine hareket ederken kinetik enerjinin integralinin en küçük olması gerektiğini söylüyor. Bu, parçacığın düzgün bir şekilde hareket etmesi gerektiği anlamına gelir. (Ve bu doğru, siz ve ben böyle bir harekette hızın sabit olduğunu biliyoruz.) Neden eşit şekilde? Hadi çözelim. Aksi takdirde parçacığın hızı bazen ortalamayı aşacak, bazen de altına düşecek ve ortalama hız aynı kalacaktı, çünkü parçacığın “buradan buraya” ulaşması gerekecekti. kararlaştırılan süre. Örneğin evden okula belirli bir sürede arabanızla gitmeniz gerekiyorsa bunu farklı şekillerde yapabilirsiniz: İlk başta deli gibi sürüp sonunda yavaşlayabilirsiniz veya aynı hızda gidebilirsiniz, hatta karşı tarafa gidebilir ve ancak o zaman okula dönebilirsiniz vb. Her durumda, ortalama hız elbette aynı olmalıdır - evden okula olan mesafenin zamana bölümü. Ancak bu ortalama hızda bile bazen çok hızlı, bazen de çok yavaş hareket ediyordunuz. Ve bilindiği gibi ortalamadan sapan bir şeyin ortalama karesi her zaman ortalamanın karesinden büyüktür; Bu, hareket hızındaki dalgalanmalar sırasında kinetik enerjinin integralinin her zaman sabit hızda hareket ederken olduğundan daha büyük olacağı anlamına gelir. Hız sabit olduğunda (kuvvetlerin yokluğunda) integralin minimuma ulaşacağını görüyorsunuz. Doğru yol şudur.
Yerçekimi alanında yukarıya doğru fırlatılan bir cisim önce hızla, sonra giderek daha yavaş bir şekilde yükselir. Bunun nedeni onun da potansiyel enerjiye sahip olması ve kinetik ve potansiyel enerjiler arasındaki farkın minimum değere ulaşması gerektiğidir. Potansiyel enerji yükseldikçe arttığından, potansiyel enerjinin yüksek olduğu yüksekliklere mümkün olduğunca çabuk ulaşırsanız daha küçük bir fark elde edilecektir. Daha sonra bu yüksek potansiyeli kinetik enerjiden çıkararak ortalamada bir düşüş elde ederiz. Bu yüzden yukarı çıkan ve iyi bir negatif potansiyel enerji sağlayan yolu seçmek daha karlı olur.
Ancak öte yandan çok hızlı hareket edemezsiniz veya çok yükseğe çıkamazsınız çünkü bu çok fazla kinetik enerji gerektirir. Size verilen süre içinde yukarı ve aşağı kalkacak kadar hızlı hareket etmelisiniz. Bu yüzden çok yükseğe uçmaya çalışmamalı, sadece makul bir seviyeye ulaşmalısınız. Sonuç olarak, çözümün mümkün olduğu kadar çok potansiyel enerji elde etme arzusu ile kinetik enerji miktarını mümkün olduğu kadar azaltma arzusu arasında bir tür denge olduğu ortaya çıktı - bu, maksimum azalma elde etme arzusudur kinetik ve potansiyel enerjiler arasındaki farkta.”
Öğretmenimin bana söylediği tek şey buydu, çünkü o çok iyi bir öğretmendi ve ne zaman durma zamanı geldiğini biliyordu. Ne yazık ki ben öyle değilim. Zamanında durmak benim için zor. Ve böylece, hikayemle ilginizi uyandırmak yerine, sizi korkutmak istiyorum, hayatın karmaşıklığından bıkmanızı istiyorum - size anlattıklarımı kanıtlamaya çalışacağım. Çözeceğimiz matematik problemi oldukça zor ve benzersizdir. Eylem denilen belli bir nicelik vardır. Kinetik enerji eksi zamanla entegre edilen potansiyel enerjiye eşittir:
.
Bunu unutma. ve k.e. - zamanın her iki işlevi de. Akla gelebilecek her yeni yol için bu eylem kendi özel anlamını kazanır. Matematiksel problem hangi eğrinin bu sayının diğerlerinden daha az olduğunu belirlemektir.
“Ah, bu sadece maksimum ve minimumun basit bir örneği. Eylemi hesaplamamız, farklılaştırmamız ve minimumu bulmamız gerekiyor.”
Fakat bekle. Genellikle bir değişkenin fonksiyonuna sahibiz ve fonksiyonun en küçük veya en büyük olduğu değişkenin değerini bulmamız gerekiyor. Diyelim ki ortasında ısıtılan bir çubuk var. Üzerine ısı yayılır ve çubuğun her noktasında kendi sıcaklığı oluşur. En yüksek olduğu noktayı bulmanız gerekiyor. Ancak biz tamamen farklı bir şeyden bahsediyoruz; uzaydaki her yolun kendi numarası vardır ve bizim bu sayının minimum olduğu yolu bulmamız gerekiyor. Bu tamamen farklı bir matematik alanıdır. Bu sıradan bir hesap değil, varyasyonel bir hesaptır (adlandırıldığı gibi).
Bu matematik alanının kendine has birçok sorunu vardır. Örneğin, bir daire genellikle belirli bir noktadan uzaklıkları aynı olan noktaların geometrik yeri olarak tanımlanır, ancak bir daire farklı şekilde tanımlanabilir: en büyük alanı sınırlayan, belirli bir uzunluktaki eğrilerden biridir. Aynı çevreye sahip diğer herhangi bir eğri, daireden daha küçük bir alanı çevreler. Dolayısıyla, eğer görevi belirlersek: belirli bir çevrenin en büyük alanı sınırlayan eğrisini bulmak, o zaman alışık olduğunuz hesaptan değil, varyasyonlar hesabından kaynaklanan bir sorunumuz olacaktır.
Yani integrali cismin kat ettiği yol üzerinden almak istiyoruz. Bu şekilde yapalım. Bütün mesele, doğru bir yol olduğunu ve çizdiğimiz herhangi bir eğrinin gerçek yol olmadığını hayal etmektir, böylece bunun için eylemi hesaplarsak, karşılık gelen eylem için elde ettiğimizden daha yüksek bir sayı elde ederiz. gerçek yol.
Yani görev doğru yolu bulmaktır. Nerede yatıyor? Elbette bunun bir yolu, eylemi milyonlarca ve milyonlarca yol için saymak ve ardından hangi yolun en küçük eyleme sahip olduğunu görmek olacaktır. Bu, eylemin minimum düzeyde olduğu ve gerçek olacağı yoldur.
Bu yöntem oldukça mümkündür. Ancak daha basit bir şekilde yapılabilir. Minimuma sahip bir miktar varsa (örneğin, sıradan işlevlerden, sıcaklık), o zaman minimumun özelliklerinden biri, ondan birinci dereceden küçük bir mesafe kadar uzaklaşıldığında, fonksiyonun minimumundan sapmasıdır. yalnızca ikinci dereceden bir değere göre değer. Ve eğrinin herhangi başka bir yerinde küçük bir mesafe kadar kayma, fonksiyonun değerini birinci dereceden küçük bir değerle de değiştirir. Ancak en azından yana doğru hafif sapmalar, ilk yaklaşım olarak fonksiyonda bir değişikliğe yol açmaz.
Gerçek yolu hesaplamak için kullanacağımız bu özelliktir.
Yol doğruysa, bundan biraz farklı bir eğri, ilk yaklaşım olarak, eylemin büyüklüğünde bir değişikliğe yol açmayacaktır. Tüm değişiklikler, eğer bu gerçekten minimum ise, yalnızca ikinci yaklaşımda görünecektir.
Bunu kanıtlamak kolaydır. Eğriden herhangi bir sapma ile ilk sırada değişiklikler meydana gelirse, bu durumda bu değişiklikler sapma ile orantılıdır. Etkiyi artırmaları muhtemeldir; aksi halde minimum olmayacaktır. Ancak değişiklikler sapma ile orantılı olduğundan sapmanın işaretini değiştirmek eylemi azaltacaktır. Bir yöne sapıldığında etkinin arttığı, ters yöne sapıldığında ise azaldığı ortaya çıktı. Bunun gerçekten minimum olmasının tek yolu, ilk yaklaşıma göre hiçbir değişiklik olmaması ve değişikliklerin gerçek yoldan sapmanın karesiyle orantılı olmasıdır.
Yani, şu yolu izleyeceğiz: Bulmak istediğimiz gerçek yolu (aşağıda bir çizgi ile) göstereceğiz. İstenilen yoldan küçük bir miktar farklılık gösteren, belirttiğimiz bir deneme yolunu ele alalım.
Buradaki fikir şu ki, eğer yol üzerindeki eylemi hesaplarsak, o zaman bu ile yol için hesapladığımız eylem arasındaki fark (basitlik açısından belirtilecektir) veya ve arasındaki fark, ilk yaklaşıma göre şöyle olmalıdır: sıfır. İkinci derecede farklılık gösterebilirler ama ilkinde fark sıfır olmalıdır.
Ve bu herkes için dikkate alınmalıdır. Ancak herkes için pek uygun değil. Yöntem yalnızca tümü aynı nokta çiftinde başlayan ve biten yolları dikkate almayı gerektirir; yani her yol, zamanda belirli bir noktada başlamalı ve zamanda belirli bir başka noktada bitmelidir. Bu noktalar ve anlar kayıt altına alınır. Yani fonksiyonumuz (sapma) her iki uçta da sıfır olmalıdır: ve. Bu durumda matematik problemimiz tamamen tanımlanmış hale gelir.
Diferansiyel hesabı bilmiyorsanız, sıradan bir fonksiyonun minimumunu bulmak için aynı şeyi yapabilirsiniz. 'ye küçük bir değer alıp eklerseniz ne olacağını düşünürsünüz ve birinci dereceden düzeltmenin minimumda sıfıra eşit olması gerektiğini savunursunuz. Onun yerine ikame edersiniz ve birinci dereceye kadar genişletirsiniz, kısacası yapmayı düşündüğümüz her şeyi tekrarlarsınız.
Yani bizim düşüncemiz, yerine 
eylem formülüne
,
burada potansiyel enerji ile gösterilir. Türev elbette ki artı türevidir, dolayısıyla eylem için şu ifadeyi elde ederim:
.
Şimdi bunun daha detaylı anlatılması gerekiyor. İkinci dereceden terim için elde ettiğim
.
Ama durun bir dakika! Sonuçta, ilkinden daha yüksek siparişler için endişelenmeme gerek yok. Daha yüksek güçler içeren tüm terimleri kaldırabilir ve onları "ikinci ve daha yüksek dereceler" adı verilen bir kutuya koyabilirim. Bu ifadeden yalnızca bir ikinci derece oraya ulaşacaktır, ancak başka bir şeyden daha yüksek olanlar da girebilir. Yani kinetik enerjiyle ilgili kısım:
Daha sonra noktalardaki potansiyele ihtiyacımız var. Bunu küçük buluyorum ve onu bir Taylor serisine genişletebilirim. Yaklaşık olarak şöyle olacak; bir sonraki yaklaşımda (burada sıradan türevlerin olması nedeniyle), düzeltme eşittir , vs.'ye göre değişim oranıyla çarpılır:
.
Yerden tasarruf etmek için bunu 'ye göre türevi kullanarak gösterdim. C terimi ve arkasındaki her şey “ikinci ve daha yüksek derece” kategorisine girer. Ve artık onlar için endişelenmenize gerek yok. Geriye kalan her şeyi birleştirelim:
Şimdi buna dikkatlice bakarsak, burada yazılan ilk iki terimin aranılan doğru yol için yazacağım eyleme karşılık geldiğini göreceğiz. Dikkatinizi değişime, yani gerçek yol ile ne olacağı arasındaki farka odaklamak istiyorum. Bu farkı şu şekilde yazıp varyasyon adını vereceğiz. “İkinci ve daha yüksek dereceleri” bir kenara bırakırsak, şunu elde ederiz:
.
Şimdi görev şuna benziyor. Burada önümde bir integral var. Henüz ne olduğunu bilmiyorum ama ne alırsam alayım bu integralin sıfıra eşit olması gerektiğinden eminim. "Pekala," diye düşünebilirsiniz, "bunun için tek olasılık çarpanın sıfıra eşit olmasıdır." Peki ya ilk terim, nerede? Diyeceksiniz ki: “Hiçliğe dönüşüyorsa türevi de aynı hiçliktir; Bu, at katsayısının da sıfır olması gerektiği anlamına gelir.” Bu tamamen doğru değil. Bu tamamen doğru değil çünkü sapma ile türevi arasında bir bağlantı var; tamamen bağımsız değiller çünkü sıfır olmalı ve sıfır olmalıdır.
Varyasyon hesabının tüm problemlerini çözerken her zaman aynı genel prensip kullanılır. Değiştirmek istediğiniz şeyi biraz kaydırırsınız (ekleyerek yaptığımıza benzer şekilde), birinci dereceden terimlere göz atarsınız, sonra her şeyi şu şekilde bir integral elde edecek şekilde düzenlersiniz: "kaydırma çarpı elde ettiğiniz", ancak (herhangi birinin) herhangi bir türevini içermiyordu. Her şeyi "bir şey" ile çarpılacak şekilde dönüştürmek kesinlikle gereklidir. Şimdi bunun neden bu kadar önemli olduğunu anlayacaksınız. (Bazı durumlarda bunu herhangi bir hesaplama yapmadan nasıl yapabileceğinizi anlatan formüller vardır; ancak bunlar ezberlenmeye değer olacak kadar genel değildir; hesaplamaları bizim yaptığımız gibi yapmak en iyisidir.)
Bir penisi görünecek şekilde nasıl yeniden yapabilirim? Bunu parça parça entegre ederek başarabilirim. Varyasyon hesabında asıl püf noktasının, varyasyonu yazmak ve daha sonra türevlerini ortadan kaldıracak şekilde parçalara ayırmak olduğu ortaya çıktı. Türevlerin ortaya çıktığı tüm problemlerde aynı numara gerçekleştirilir.
Parçalara göre integral almanın genel ilkesini hatırlayın. Eğer çarpılan ve integrali alınan keyfi bir fonksiyonunuz varsa, o zaman türevini yazarsınız:
.
İlgilendiğiniz integralde sadece son terim var, yani
.
Formülümüzde fonksiyona ait çarpım alınıyor; bu yüzden ifadeyi alıyorum
İntegral sınırları ve birinci terim yerine konulmalıdır. Daha sonra integralin altında kısmi integralden terimi ve dönüşüm sırasında değişmeden kalan son terimi alacağım.
Ve şimdi her zaman olan şey oluyor; bütünleşik kısım kayboluyor. (Ve eğer ortadan kaybolmazsa, o zaman böyle bir ortadan kaybolmayı sağlayan koşulları ekleyerek prensibi yeniden formüle etmeniz gerekir!) Yolun sonunda sıfıra eşit olması gerektiğini zaten söylemiştik. Sonuçta prensibimiz nedir? Önemli olan, çeşitli eğrinin seçilen noktalarda başlaması ve bitmesi koşuluyla eylemin minimum düzeyde olmasıdır. Bu şu anlama gelir ve . Bu nedenle entegre terimin sıfır olduğu ortaya çıkar. Geri kalan üyeleri bir araya toplayıp yazıyoruz.
.
Çeşit artık ona vermek istediğimiz biçimi almıştır: parantez içinde bir şey vardır (onu gösterelim) ve tüm bunlar ile çarpılır ve ile ile bütünleştirilir.
Bazı ifadelerin çarpımının integralinin her zaman sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı:
.
'den bazı işlevler var; Başından sonuna kadar çarpıyorum ve entegre ediyorum. Ve her ne ise, sıfır alıyorum. Bu, fonksiyonun sıfıra eşit olduğu anlamına gelir. Genel olarak bu açıktır, ancak her ihtimale karşı size bunu kanıtlamanın bir yolunu göstereceğim.
Önceden seçilmiş bir değer dışında her yerde sıfıra eşit bir şey seçeyim. Ben ona ulaşana kadar sıfırda kalıyor, sonra bir anlığına yükseliyor ve hemen geri düşüyor. Bunun bir fonksiyonla çarpımının integralini alırsanız, sıfırdan farklı bir şey elde edeceğiniz tek yer onun atladığı yerdir; ve bu noktada integralin değerini atlama üzerinden elde edeceksiniz. Atlama integralinin kendisi sıfır değildir ancak onunla çarpıldığında sıfır vermelidir. Bu, sıçramanın olduğu yerdeki fonksiyonun sıfır olması gerektiği anlamına gelir. Ancak bu sıçrama herhangi bir yerde yapılabilirdi; bu da her yerde sıfır olması gerektiği anlamına gelir.
Eğer integralimiz herhangi biri için sıfıra eşitse, o zaman at katsayısının da sıfır olması gerektiğini görüyoruz. Eylem integrali, böylesine karmaşık bir diferansiyel denklemi sağlayacak yol boyunca bir minimuma ulaşır:
.
Aslında o kadar da karmaşık değil; onunla daha önce tanışmıştın. Basit . İlk terim kütle çarpı ivmedir; ikincisi potansiyel enerjinin yani kuvvetin türevidir.
Böylece (en azından tutucu bir sistem için) en az eylem ilkesinin doğru cevaba yol açtığını gösterdik; minimum eyleme sahip yolun Newton yasasını karşılayan yol olduğunu belirtir.
Bir açıklama daha yapmak gerekiyor. Bunun minimum olduğunu kanıtlamadım. Belki bu maksimumdur. Aslında bu minimum olmak zorunda değil. Burada her şey optik çalışırken tartıştığımız "en kısa zaman ilkesi" ile aynıdır. Orada da ilk kez “en kısa” süreden bahsettik. Ancak bu sürenin mutlaka "en kısa" olmadığı durumların da olduğu ortaya çıktı. Temel prensip, optik yoldan birinci dereceden herhangi bir sapma için zaman içindeki değişikliklerin sıfır olması gerektiğidir; Burada da aynı hikaye var. “Minimum” derken aslında birinci dereceden küçüklükte, yoldan sapmalardan kaynaklanan nicelik değişikliklerinin sıfıra eşit olması gerektiğini kastediyoruz. Ve bu mutlaka “minimum” değildir.
Şimdi bazı genellemelere geçmek istiyorum. Öncelikle tüm bu hikaye üç boyutlu olarak yapılabilir. Basit bir tane yerine, her ikisini de fonksiyon olarak alırdım ve eylem daha karmaşık görünürdü. 3 boyutlu harekette toplam kinetik enerjiyi kullanmanız gerekir: çarpı toplam hızın karesi. Başka bir deyişle,
.
Ek olarak, potansiyel enerji artık ve'nin bir fonksiyonudur. Yol hakkında neler söyleyebilirsiniz? Yol, uzaydaki belirli bir genel eğridir; çizmek o kadar kolay değil ama fikir aynı kalıyor. Peki ya durum? Aslında üç bileşeni var. Yol, boyunca, boyunca ve boyunca veya aynı anda her üç yönde de kaydırılabilir. Yani artık bir vektör. Bu herhangi bir büyük komplikasyon yaratmaz. Yalnızca birinci dereceden değişimlerin sıfıra eşit olması gerektiğinden, hesaplama üç vardiya ile ardışık olarak gerçekleştirilebilir. Öncelikle sadece yöne kaydırıp katsayının sıfıra gitmesi gerektiğini söyleyebilirsiniz. Bir denklem elde edersiniz. Sonra o yöne doğru ilerleyip ikincisini alacağız. Sonra onu o yöne doğru hareket ettiriyoruz ve üçüncüyü elde ediyoruz. İsterseniz her şeyi farklı bir sırayla yapabilirsiniz. Öyle olsa bile üçlü bir denklem ortaya çıkıyor. Ancak Newton yasası aynı zamanda her bileşen için bir tane olmak üzere üç boyutlu üç denklemdir. Tüm bunların üç boyutta yürüdüğünü kendiniz görmek size kaldı (burada pek fazla iş yok). Bu arada, herhangi bir koordinat sistemini (kutupsal, herhangi biri) alabilir ve yarıçap boyunca veya açı vb. boyunca bir kayma meydana geldiğinde ne olacağını göz önünde bulundurarak bu sistemle ilgili Newton yasalarını hemen elde edebilirsiniz.
Yöntem isteğe bağlı sayıda parçacığa genelleştirilebilir. Diyelim ki iki parçacığınız varsa ve aralarında etki eden bazı kuvvetler varsa ve karşılıklı potansiyel enerji varsa, o zaman basitçe onların kinetik enerjilerini toplar ve etkileşim potansiyel enerjisini toplamdan çıkarırsınız. Neyi değiştiriyorsun? Her iki parçacığın yolları. Daha sonra üç boyutta hareket eden iki parçacık için altı denklem ortaya çıkar. Parçacık 1'in konumunu yönünde, yönünde ve yönünde değiştirebilirsiniz ve aynısını parçacık 2 için de yapabilirsiniz, böylece altı denklem elde edersiniz. Ve böyle olması gerekiyor. Üç denklem, üzerine etki eden kuvvet nedeniyle parçacık 1'in ivmesini belirler ve diğer üçü, üzerine etki eden kuvvet nedeniyle parçacık 2'nin ivmesini belirler. Her zaman oyunun aynı kurallarını takip ederseniz, keyfi sayıda parçacık için Newton yasasını elde edersiniz.
Newton yasasını bulacağımızı söyledim. Bu tamamen doğru değil çünkü Newton yasası aynı zamanda sürtünme gibi korunumlu olmayan kuvvetleri de içeriyor. Newton bunun herkese eşit olduğunu savundu. En az etki ilkesi yalnızca tüm kuvvetlerin potansiyel bir fonksiyondan elde edilebildiği konservatif sistemler için geçerlidir. Ancak mikroskobik seviyede, yani en derin fiziksel seviyede korunumlu olmayan kuvvetlerin mevcut olmadığını biliyorsunuz. Korunumsuz kuvvetler (sürtünme gibi) yalnızca mikroskobik karmaşık etkileri ihmal ettiğimiz için ortaya çıkar: analiz edilecek çok fazla parçacık vardır. Temel yasalar en az eylem ilkesi şeklinde ifade edilebilir.
Daha genellemelere geçeyim. Parçacık göreceli olarak hareket ettiğinde ne olacağıyla ilgilendiğimizi varsayalım. Şu ana kadar doğru göreli hareket denklemini elde edemedik; yalnızca göreceli olmayan hareketler için doğrudur. Şu soru ortaya çıkıyor: Görelilik durumunda buna karşılık gelen en az eylem ilkesi var mı? Evet var. Göreli durumdaki formül şöyledir:
Eylem integralinin ilk kısmı, kalan kütlenin çarpımı ile hız fonksiyonunun integralidir. Daha sonra, potansiyel enerjiyi çıkarmak yerine, skaler potansiyelin ve vektör potansiyelinin çarpımlarının integrallerini elde ederiz. Elbette burada sadece elektromanyetik kuvvetler dikkate alınmaktadır. Tüm elektrik ve manyetik alanlar ve cinsinden ifade edilir. Bu etki fonksiyonu, bir elektromanyetik alandaki tek bir parçacığın göreli hareketinin tam bir teorisini sağlar.
Elbette şunu anlamalısınız ki, yazdığım her yerde, hesaplama yapmadan önce yerine koymanız gerekir, vb. Ayrıca, basitçe yazdığım yerde, şu anda noktaları hayal etmelisiniz: , , . Aslında ancak bu tür ikame ve değiştirmelerden sonra göreli bir parçacığın hareketi için bir formül elde edeceksiniz. Aranızdan en yetenekli olanınız, bu eylem formülünün aslında görelilik teorisi için doğru hareket denklemlerini verdiğini kanıtlamaya çalışsın. Şimdilik, atarak, yani manyetik alanlar olmadan yaparak başlamanızı tavsiye edeyim. O zaman hareket denkleminin bileşenlerini elde etmeniz gerekecek; burada, muhtemelen hatırladığınız gibi, 
.
Vektör potansiyelini dikkate almak çok daha zordur. Daha sonra varyasyonlar kıyaslanamayacak kadar karmaşık hale gelir. Ama sonunda kuvvetin olması gerekene eşit olduğu ortaya çıkıyor: . Ama kendinizle biraz eğlenin.
Genel durumda (örneğin, göreli formülde), eylem halindeki integralin artık kinetik ve potansiyel enerjiler arasındaki farkı içermediğini vurgulamak isterim. Bu yalnızca göreceli olmayan bir yaklaşım için uygundu. Örneğin, üye 
- kinetik enerji denilen şey bu değil. Belirli bir durum için eylemin ne olması gerektiği sorusu, bazı deneme yanılmalardan sonra kararlaştırılabilir. Bu, hareket denklemlerinin ne olması gerektiğini belirlemekle aynı türde bir problemdir. Sadece bildiğiniz denklemlerle oynamanız ve bunların en az eylem ilkesi olarak yazıp yazılamayacaklarını görmeniz gerekiyor.
Terminolojiyle ilgili bir not daha. Eylemi elde etmek için zamanla entegre edilen fonksiyona Lagrangian adı verilir. Bu sadece parçacıkların hızlarına ve konumlarına bağlı bir fonksiyondur. Yani en az eylem ilkesi de şu şekilde yazılmıştır:
,
nerede ve koordinatların ve hızların tüm bileşenleri anlamına gelir. Birisinin "Lagrangian" hakkında konuştuğunu duyarsanız, elde etmek için kullanılan fonksiyondan bahsediyordur. Elektromanyetik alanda göreli hareket için
.
Üstelik şunu da belirtmeliyim ki, en titiz ve bilgiç insanlar harekete geçme çağrısı yapmazlar. Buna "Hamilton'un ilk temel işlevi" denir. Ancak “Hamilton'un en az ilk temel işlev ilkesi” üzerine bir konferans vermek benim gücümün ötesindeydi. Ben buna "eylem" adını verdim. Üstelik giderek daha fazla insan buna "eylem" diyor. Görüyorsunuz, tarihsel olarak eylem, bilime o kadar yararlı olmayan başka bir şey olarak adlandırılmıştır, ancak bence tanımı değiştirmek daha mantıklıdır. Artık siz de yeni işlevi eylem olarak adlandırmaya başlayacaksınız ve yakında herkes onu bu basit adla adlandırmaya başlayacak.
Şimdi konumuzla ilgili olarak size en kısa süre ilkesiyle ilgili yaptığım muhakemeye benzer bir şey anlatmak istiyorum. Bir noktadan diğerine alınan bazı integrallerin minimuma sahip olduğunu söyleyen yasanın özünde bir fark vardır; bize tüm yol hakkında bir kerede bir şeyler söyleyen yasa ile hareket ettiğinizde, o zaman hareket ettiğinizi söyleyen yasa Bu, ivmeye yol açan bir kuvvetin var olduğu anlamına gelir. İkinci yaklaşım size her adımınızı bildirir, yolunuzu santim santim takip eder ve ilki, katedilen yolun tamamı hakkında hemen genel bir açıklama verir. Işıktan bahsederken bu iki yaklaşımın arasındaki bağlantıdan bahsettik. Şimdi size, eğer böyle bir ilke varsa, yani en az etki ilkesi varsa diferansiyel yasaların neden var olması gerektiğini açıklamak istiyorum. Sebebi şudur: Uzay ve zamanda gerçekte katedilen yolu ele alalım. Daha önce olduğu gibi, bağımlılığın bir grafiğini çizebilmek için tek bir ölçümle yetineceğiz. Gerçek yol boyunca minimuma ulaşır. Diyelim ki bu yolumuz var ve bu yol uzay ve zamanda belirli bir noktadan ve komşu başka bir noktadan geçiyor.
Şimdi, eğer 'den'ye kadar olan integralin tamamı minimuma ulaştıysa, 'den'ye kadar olan küçük bir bölüm boyunca integralin de minimum olması gerekir. 'dan'a kadar olan kısım minimumu biraz bile aşamaz. Aksi takdirde, eğriyi bu bölümde ileri geri hareket ettirebilir ve tüm integralin değerini bir miktar azaltabilirsiniz.
Bu, yolun herhangi bir bölümünün de minimumu sağlaması gerektiği anlamına gelir. Ve bu, yolun herhangi bir küçük kısmı için geçerlidir. Bu nedenle, yolun tamamının bir minimum vermesi gerektiği ilkesi, yolun sonsuz küçük bir bölümünün aynı zamanda üzerinde eylemin minimum olduğu bir eğri olduğu söylenerek formüle edilebilir. Ve yolun oldukça kısa bir bölümünü (noktalar arasında ve birbirine çok yakın) alırsak, o zaman potansiyelin bu yerden uzakta bir noktadan diğerine nasıl değiştiği artık önemli değildir, çünkü tüm kısa bölümünüzü geçerken neredeyse asla bulunduğunuz yerden ayrılmayın. Dikkate almanız gereken tek şey potansiyeldeki birinci dereceden küçüklük değişimidir. Cevap, başka bir yerdeki potansiyele değil, yalnızca potansiyelin türevine bağlı olabilir. Böylece, bir bütün olarak yolun tamamının özelliğine ilişkin bir ifade, yolun kısa bir bölümünde ne olduğuna ilişkin bir ifadeye, yani diferansiyel bir ifadeye dönüşür. Ve bu diferansiyel formülasyon, potansiyelin, yani belirli bir noktadaki kuvvetin türevlerini içerir. Bu, bir bütün olarak yasa ile diferansiyel yasa arasındaki bağlantının niteliksel bir açıklamasıdır.
Işıktan bahsederken aynı zamanda şu soruyu da tartıştık: Bir parçacık doğru yolu nasıl bulur? Farklı bir bakış açısından bunu anlamak kolaydır. Parçacık her an hızlanma yaşar ve yalnızca o anda ne yapması gerektiğini bilir. Ancak bir parçacığın minimum eylem için çabalayarak hangi yolu seçeceğine "karar verdiğini" duyduğunuzda tüm neden-sonuç içgüdüleriniz harekete geçer. Komşu yolları "koklamıyor", bunların neye yol açacağını, az ya da çok eyleme yol açacağını çözmüyor mu? Fotonların tüm yolları deneyememeleri için ışığın yoluna bir ekran yerleştirdiğimizde hangi yolu izleyeceklerine karar veremediklerini gördük ve kırınım olayını elde ettik.
Peki bu aynı zamanda mekanik için de geçerli mi? Bir parçacığın yalnızca "doğru yola gitmekle" kalmayıp, akla gelebilecek diğer tüm yörüngeleri de yeniden değerlendirdiği doğru mu? Peki ya yoluna engeller koyarak ileriye bakmasına izin vermezsek, o zaman kırınım olgusunun bir tür benzerini elde edersek? Tüm bunların en harika yanı, her şeyin gerçekte böyle olmasıdır. Kuantum mekaniğinin kanunları tam olarak bunu söylüyor. Dolayısıyla en az eylem ilkemiz tam olarak formüle edilmemiştir. Parçacığın en az eylem yolunu seçmesi değil, tüm komşu yolları "algılaması" ve eylemin minimum olduğu yolu seçmesi gerçeğinden oluşur ve bu seçimin yöntemi şuna benzer: ışığın en kısa süreyi seçme şekli. Işığın en kısa süreyi seçme şeklinin şöyle olduğunu hatırlarsınız: Işık farklı bir süre gerektiren bir yoldan giderse farklı bir aşamada gelecektir. Ve bir noktadaki toplam genlik, ışığın ona ulaşabileceği tüm yolların genlik katkılarının toplamıdır. Aşamaları çok farklı olan tüm bu yollar, toplandıktan sonra hiçbir şey vermez. Ancak, aşamaları neredeyse aynı olan tüm yol dizisini bulmayı başardıysanız, o zaman küçük katkılar toplanacak ve varış noktasında toplam genlik gözle görülür bir değer alacaktır. En önemli yol, yakınında aynı fazı veren birçok yakın yolun bulunduğu yoldur.
Kuantum mekaniğinde de tam olarak aynı şey oluyor. Tam kuantum mekaniği (göreceli olmayan ve elektronun dönüşünü ihmal eden) şu şekilde çalışır: 1 noktasından zamanında ayrılan bir parçacığın 2 noktasına ulaşma olasılığı, olasılık genliğinin karesine eşittir. Toplam genlik, herhangi bir varış yolu için tüm olası yolların genliklerinin toplamı olarak yazılabilir. Akla gelebilecek herhangi bir hayali yörünge için meydana gelebilecek herhangi bir şey için genliğin hesaplanması gerekir. O zaman hepsinin katlanması gerekiyor. Belirli bir yolun olasılık genliği olarak neyi alıyoruz? Eylem integralimiz bize bireysel bir yolun genliğinin ne olması gerektiğini söyler. Genlik, bu yol boyunca eylemin nerede olduğu ile orantılıdır. Bu, genliğin fazını karmaşık bir sayı olarak temsil edersek, faz açısının eşit olacağı anlamına gelir. Eylemin zaman içindeki enerji boyutu vardır ve Planck sabiti de aynı boyuttadır. Bu, kuantum mekaniğinin ne zaman gerekli olduğunu belirleyen sabittir.
Ve her şey böyle yürüyor. Eylemin sayıya kıyasla tüm yollar için çok büyük olmasına izin verin. Bir yolun belirli bir genlik değerine çıkmasına izin verin. Yakındaki bir yolun fazı tamamen farklı olacaktır, çünkü çok büyük bir yolda, küçük değişiklikler bile fazı keskin bir şekilde değiştirir (sonuçta son derece küçüktür). Bu, bitişik yolların genellikle eklendiklerinde katkılarını ortadan kaldırdığı anlamına gelir. Ve bu yalnızca tek bir alanda doğru değildir - hem yolun hem de komşusunun - ilk yaklaşımda her ikisinin de aynı faza sahip olduğu (veya daha kesin olarak, hemen hemen aynı eylemin, içinde değiştiği). Yalnızca bu tür yollar dikkate alınır. Ve Planck sabitinin sıfıra gittiği sınırlayıcı durumda, doğru kuantum mekaniği yasaları şu şekilde özetlenebilir: “Bütün bu olasılık genliklerini unutun. Parçacık aslında özel bir yol boyunca hareket eder; ilk tahmine göre değişmeyen bir yol boyunca." Bu, en az etki ilkesi ile kuantum mekaniği arasındaki bağlantıdır. Kuantum mekaniğinin bu şekilde formüle edilebileceği gerçeği, 1942'de size bahsettiğim aynı öğretmenin öğrencisi Bay Bader tarafından keşfedildi. [Kuantum mekaniği başlangıçta genlik için bir diferansiyel denklem (Schrödinger) ve bazı matris matematiği (Heisenberg) kullanılarak formüle edildi.]
Şimdi fizikte minimumun diğer prensiplerinden bahsetmek istiyorum. Bu türden pek çok ilginç ilke vardır. Hepsini listelemeyeceğim, ancak yalnızca bir tanesinin adını vereceğim. Daha sonra, mükemmel bir minimum ilkesinin olduğu bir fiziksel olaya geldiğimizde, size onu anlatacağım. Şimdi elektrostatiği alan için bir diferansiyel denklem kullanarak tanımlamanın gerekli olmadığını göstermek istiyorum; bunun yerine bazı integrallerin maksimum veya minimuma sahip olması gerekebilir. Başlangıç olarak, yük yoğunluğunun her yerde bilindiği ancak uzayın herhangi bir noktasındaki potansiyeli bulmamız gerektiği durumunu ele alalım. Cevabın şöyle olması gerektiğini zaten biliyorsunuz:
Aynı şeyi söylemenin başka bir yolu da integrali değerlendirmektir.
;
bu bir hacim integralidir. Uzayın her yerinde alınır. Doğru potansiyel dağılımı ile bu ifade minimuma ulaşır.
Elektrostatikle ilgili bu ifadelerin her ikisinin de eşdeğer olduğunu gösterebiliriz. İsteğe bağlı bir fonksiyon seçtiğimizi varsayalım. Potansiyelin doğru değerini artı küçük bir sapmayı kalite olarak aldığımızda, birinci dereceden küçüklüğe göre değişimin sıfıra eşit olacağını göstermek istiyoruz. Bu yüzden yazıyoruz
işte aradığımız şey; ancak varyasyonun birinci dereceden küçük olması için ne olması gerektiğini görmek için değişiklik yapacağız. İlk dönemde yazmamız gerekiyor
Değişecek tek birinci dereceden terim:
İkinci dönemde integrand şu şekli alacaktır:
burada değişen kısım şu. Yalnızca değişen terimleri bırakarak integrali elde ederiz
.
Bunun defalarca entegre edilmesi gerekiyor. Ve burada aynı numara kendini gösteriyor: kurtulmak için parçalara ayırıyoruz. Bu, açısından ek farklılaşmaya yol açacaktır. Bu, 'ye göre türevlerden kurtulmak için kullandığımız temel fikrin aynısıdır. Eşitlik kullanıyoruz
.
Sonsuzda sıfıra eşit olduğunu düşündüğümüz için entegre terim sıfıra eşittir. (Bu, ve 'de kaybolmaya karşılık gelir. Yani prensibimiz daha kesin olarak şu şekilde formüle edilmiştir: doğru olan için, sonsuzlukta aynı değerlere sahip olan diğerlerinden daha azdır.) O zaman aynısını ve ile yapacağız. İntegralimiz şuna dönüşür:
.
Herhangi bir keyfi değer için bu değişimin sıfıra eşit olması için, at katsayısının sıfıra eşit olması gerekir. Araç,
Eski denklemimize geri döndük. Bu, “minimum” önerimizin doğru olduğu anlamına gelir. Hesaplamalar biraz değiştirilirse genelleştirilebilir. Geriye dönüp parçalara göre integral alalım, ancak her şeyi bileşen bileşen açıklayalım. Aşağıdaki eşitliği yazarak başlayalım:
Sol tarafın türevini alarak sağa tam olarak eşit olduğunu gösterebilirim. Bu denklem parçalara göre entegrasyon gerçekleştirmek için uygundur. İntegralimizde şunu değiştiririz: 
ve ardından bunu hacim üzerinden entegre edin. Hacim üzerinde integral alındıktan sonra diverjans teriminin yerini yüzey üzerinde bir integral alır:
Ve uzayın tamamı üzerinde integral aldığımız için bu integralin yüzeyi sonsuzda yer alır. Bu şu anlama gelir ve aynı sonucu elde ederiz.
Tüm yüklerin nerede olduğunu bilmediğimiz sorunların nasıl çözüleceğini ancak şimdi anlamaya başlıyoruz. Yüklerin bir şekilde dağıtıldığı iletkenlerimiz olsun. Tüm iletkenlerdeki potansiyeller sabitse, minimum prensibimizin hâlâ uygulanmasına izin verilir. Sadece tüm iletkenlerin dışında kalan bölgeye entegrasyon yapacağız. Ancak iletkenleri değiştiremediğimiz için yüzeylerini ve yüzey integralini değiştiremeyiz.
aynı zamanda sıfırdır. Kalan birim entegrasyonu
sadece iletkenler arasındaki boşluklarda yapılması gerekir. Ve elbette Poisson denklemini tekrar elde ederiz
Bu nedenle, başlangıç integralimizin, her biri sabit bir potansiyelde olan iletkenler arasındaki boşlukta hesaplandığında bile bir minimuma ulaştığını gösterdik [bu, her test fonksiyonunun iletkenin belirli bir potansiyeline eşit olması gerektiği anlamına gelir, ne zaman - iletkenin yüzeyindeki noktalar ].
Yüklerin yalnızca iletkenler üzerinde bulunduğu ilginç bir özel durum vardır. Daha sonra
ve minimum prensibimiz bize, her iletkenin kendi önceden belirlenmiş potansiyeline sahip olduğu durumda, aralarındaki boşluklardaki potansiyellerin, integralin mümkün olduğu kadar küçük olacağı şekilde ayarlandığını söyler. Bu ne tür bir integraldir? Üye bir elektrik alanıdır. Bu, integralin elektrostatik enerji olduğu anlamına gelir. Doğru alan, potansiyel gradyan olarak elde edilen tüm alanlar arasında en düşük toplam enerjiye sahip olan tek alandır.
Bu sonucu belirli bir sorunu çözmek ve size tüm bunların gerçekten pratik öneme sahip olduğunu göstermek için kullanmak istiyorum. Diyelim ki silindirik bir kapasitör şeklinde iki iletken aldım.
