Özellikler arasındaki stokastik ilişkileri incelemenin yöntemlerinden biri regresyon analizidir.
Regresyon analizi, başka bir (veya diğer) değişkenin (faktör nitelikleri) değeri biliniyorsa, rastgele bir değişkenin ortalama değerinin (sonuç niteliği) bulunduğu bir regresyon denkleminin türetilmesidir. Aşağıdaki adımları içerir:
- bağlantı biçiminin seçimi (analitik regresyon denkleminin türü);
- denklem parametrelerinin tahmini;
- analitik regresyon denkleminin kalitesinin değerlendirilmesi.
Doğrusal ikili ilişki durumunda regresyon denklemi şu formu alacaktır: y i =a+b·x i +u i . Bu denklemin a ve b parametreleri x ve y istatistiksel gözlem verilerinden tahmin edilir. Böyle bir değerlendirmenin sonucu aşağıdaki denklemdir: burada a ve b parametrelerinin tahminleri, regresyon denkleminden (hesaplanan değer) elde edilen sonuçtaki özelliğin (değişken) değeridir.
Parametreleri tahmin etmek için en sık kullanılanlar en küçük kareler yöntemi (LSM).
En küçük kareler yöntemi, regresyon denkleminin parametrelerinin en iyi (tutarlı, verimli ve tarafsız) tahminlerini sağlar. Ancak yalnızca rastgele terim (u) ve bağımsız değişken (x) ile ilgili belirli varsayımlar karşılanırsa (bkz. OLS varsayımları).
En küçük kareler yöntemini kullanarak bir doğrusal çift denklemin parametrelerini tahmin etme problemişu şekildedir: sonuçta ortaya çıkan özelliğin gerçek değerlerinin - hesaplanan değerlerden y i - sapmalarının karelerinin toplamının minimum olduğu bu tür parametre tahminlerini elde etmek.
Resmi olarak OLS testişu şekilde yazılabilir: 
.
En küçük kareler yöntemlerinin sınıflandırılması
- En küçük kareler yöntemi.
- Maksimum olabilirlik yöntemi (normal bir klasik doğrusal regresyon modeli için, regresyon artıklarının normalliği varsayılır).
- Genelleştirilmiş en küçük kareler OLS yöntemi, hataların otokorelasyonu ve değişen varyans durumunda kullanılır.
- Ağırlıklandırılmış en küçük kareler yöntemi (heteroskedastik artıklara sahip özel bir OLS durumu).
Konuyu açıklayalım klasik en küçük kareler yöntemi grafiksel olarak. Bunu yapmak için dikdörtgen bir koordinat sisteminde gözlemsel verilere (x i, y i, i=1;n) dayalı bir dağılım grafiği oluşturacağız (böyle bir dağılım grafiğine korelasyon alanı denir). Korelasyon alanının noktalarına en yakın düz çizgiyi seçmeye çalışalım. En küçük kareler yöntemine göre çizgi, korelasyon alanı noktaları ile bu çizgi arasındaki dikey mesafelerin karelerinin toplamı minimum olacak şekilde seçilir. 
Bu problemin matematiksel gösterimi: 
.
y i ve x i =1...n değerleri tarafımızdan bilinmektedir, bunlar gözlemsel verilerdir. S fonksiyonunda sabitleri temsil ederler. Bu fonksiyondaki değişkenler - , parametrelerinin gerekli tahminleridir. İki değişkenli bir fonksiyonun minimumunu bulmak için, bu fonksiyonun her bir parametre için kısmi türevlerini hesaplamak ve bunları sıfıra eşitlemek gerekir; 
.
Sonuç olarak, 2 normal doğrusal denklemden oluşan bir sistem elde ederiz: 
Bu sistemi çözerek gerekli parametre tahminlerini buluyoruz: 
Regresyon denkleminin parametrelerinin hesaplanmasının doğruluğu, miktarlar karşılaştırılarak kontrol edilebilir (hesaplamaların yuvarlanmasından dolayı bazı tutarsızlıklar olabilir).
Parametre tahminlerini hesaplamak için Tablo 1'i oluşturabilirsiniz.
Regresyon katsayısı b'nin işareti ilişkinin yönünü gösterir (b>0 ise ilişki doğrudandır, b ise ilişkidir)<0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
Resmi olarak, a parametresinin değeri, x'in sıfıra eşit olduğu y'nin ortalama değeridir. Nitelik faktörü sıfır değere sahip değilse ve olamıyorsa, a parametresinin yukarıdaki yorumu anlamlı değildir.
Özellikler arasındaki ilişkinin yakınlığının değerlendirilmesi
doğrusal çift korelasyon katsayısı - r x,y kullanılarak gerçekleştirilir. Aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir: 
. Ek olarak doğrusal çift korelasyon katsayısı, regresyon katsayısı b aracılığıyla belirlenebilir: 
.
Doğrusal çift korelasyon katsayısının kabul edilebilir değerleri aralığı –1 ile +1 arasındadır. Korelasyon katsayısının işareti ilişkinin yönünü gösterir. Eğer r x, y >0 ise bağlantı doğrudandır; eğer rx, y<0, то связь обратная.
Bu katsayı büyüklük olarak birliğe yakınsa, özellikler arasındaki ilişki oldukça yakın doğrusal bir ilişki olarak yorumlanabilir. Eğer modülü bir ê r x , y ê =1 ise, o zaman özellikler arasındaki ilişki fonksiyonel doğrusaldır. Eğer x ve y özellikleri doğrusal olarak bağımsızsa, o zaman r x,y 0'a yakındır.
r x,y'yi hesaplamak için Tablo 1'i de kullanabilirsiniz.
Ortaya çıkan regresyon denkleminin kalitesini değerlendirmek için teorik belirleme katsayısını hesaplayın - R 2 yx: 
,
burada d2, regresyon denklemiyle açıklanan y'nin varyansıdır;
e 2 - y'nin artık (regresyon denklemiyle açıklanmayan) varyansı;
s 2 y - y'nin toplam (toplam) varyansı.
Belirleme katsayısı, toplam değişkenlik (dağılım) y içindeki regresyonla (ve dolayısıyla x faktörüyle) açıklanan sonuçta ortaya çıkan y özelliğinin varyasyonunun (dağılımının) oranını karakterize eder. R 2 yx belirleme katsayısı 0'dan 1'e kadar değerler alır. Buna göre 1-R 2 yx değeri, modelde dikkate alınmayan diğer faktörlerin etkisinin ve spesifikasyon hatalarının neden olduğu varyans y oranını karakterize eder.
Eşleştirilmiş doğrusal regresyonla R 2 yx =r 2 yx.
Regresyon fonksiyonunun türünü seçtikten sonra, yani. Y'nin X'e (veya X'in Y'ye) bağımlılığının dikkate alınan modelinin türü, örneğin doğrusal bir model y x =a+bx, model katsayılarının belirli değerlerini belirlemek gerekir.
a ve b'nin farklı değerleri için, y x = a + bx biçiminde sonsuz sayıda bağımlılık oluşturmak mümkündür, yani koordinat düzleminde sonsuz sayıda düz çizgi vardır, ancak en iyi şekilde bir bağımlılığa ihtiyacımız vardır. gözlemlenen değerlere karşılık gelir. Böylece görev en iyi katsayıların seçilmesine gelir.
Yalnızca belirli sayıda mevcut gözleme dayanarak a+bx doğrusal fonksiyonunu ararız. Gözlemlenen değerlere en uygun fonksiyonu bulmak için en küçük kareler yöntemini kullanırız.
Şunu belirtelim: Y i - Y i =a+bx i denklemiyle hesaplanan değer. y ben - ölçülen değer, ε i =y i -Y i - denklemi kullanarak ölçülen ve hesaplanan değerler arasındaki fark, ε i =y i -a-bx i .
En küçük kareler yöntemi, ölçülen y i ile denklemden hesaplanan Y i değerleri arasındaki fark olan ε i'nin minimum olmasını gerektirir. Bu nedenle, a ve b katsayılarını, gözlemlenen değerlerin düz regresyon çizgisi üzerindeki değerlerden karesel sapmalarının toplamı en küçük olacak şekilde buluyoruz:
A ve ekstremum argümanlarının bu fonksiyonunu türevleri kullanarak inceleyerek, a ve b katsayılarının sistemin çözümleri olması durumunda fonksiyonun minimum değer aldığını kanıtlayabiliriz:
(2)
Normal denklemlerin her iki tarafını da n'ye bölersek şunu elde ederiz:
Hesaba katıldığında 
(3)
Aldık 
Buradan a'nın değerini ilk denklemde yerine koyarsak şunu elde ederiz:
Bu durumda b'ye regresyon katsayısı denir; a, regresyon denkleminin serbest terimi olarak adlandırılır ve aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
Ortaya çıkan düz çizgi, teorik regresyon çizgisi için bir tahmindir. Sahibiz:
Bu yüzden, 
doğrusal bir regresyon denklemidir.
Regresyon doğrudan (b>0) ve ters (b) olabilir. Örnek 1. X ve Y değerlerinin ölçülmesinin sonuçları tabloda verilmiştir:
| x ben | -2 | 0 | 1 | 2 | 4 |
| sen ben | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 3 |
X ile Y arasında doğrusal bir ilişki olduğunu varsayarak y=a+bx, en küçük kareler yöntemini kullanarak a ve b katsayılarını belirleyin.
Çözüm. Burada n=5
x ben =-2+0+1+2+4=5;
x ben 2 =4+0+1+4+16=25
x ben y ben =-2 0,5+0 1+1 1,5+2 2+4 3=16,5
y ben =0,5+1+1,5+2+3=8
ve normal sistem (2) şu şekle sahiptir: 
Bu sistemi çözdüğümüzde şunu elde ederiz: b=0,425, a=1,175. Dolayısıyla y=1,175+0,425x.
Örnek 2. Ekonomik göstergelere (X) ve (Y) ilişkin 10 gözlemden oluşan bir örnek bulunmaktadır.
| x ben | 180 | 172 | 173 | 169 | 175 | 170 | 179 | 170 | 167 | 174 |
| sen ben | 186 | 180 | 176 | 171 | 182 | 166 | 182 | 172 | 169 | 177 |
X üzerinde Y'nin örnek bir regresyon denklemini bulmanız gerekir. X üzerinde Y'nin örnek bir regresyon doğrusunu oluşturun.
Çözüm. 1. Verileri x i ve y i değerlerine göre sıralayalım. Yeni bir tablo alıyoruz:
| x ben | 167 | 169 | 170 | 170 | 172 | 173 | 174 | 175 | 179 | 180 |
| sen ben | 169 | 171 | 166 | 172 | 180 | 176 | 177 | 182 | 182 | 186 |
Hesaplamaları basitleştirmek için gerekli sayısal değerleri gireceğimiz bir hesaplama tablosu hazırlayacağız.
| x ben | sen ben | x ben 2 | x ben y ben |
| 167 | 169 | 27889 | 28223 |
| 169 | 171 | 28561 | 28899 |
| 170 | 166 | 28900 | 28220 |
| 170 | 172 | 28900 | 29240 |
| 172 | 180 | 29584 | 30960 |
| 173 | 176 | 29929 | 30448 |
| 174 | 177 | 30276 | 30798 |
| 175 | 182 | 30625 | 31850 |
| 179 | 182 | 32041 | 32578 |
| 180 | 186 | 32400 | 33480 |
| ∑x ben =1729 | ∑y ben =1761 | ∑x ben 2 299105 | ∑x ben y ben =304696 |
| x=172,9 | y=176.1 | x ben 2 =29910,5 | xy=30469.6 |
Formül (4)'e göre regresyon katsayısını hesaplıyoruz
ve formül (5)'e göre
Dolayısıyla örnek regresyon denklemi y=-59,34+1,3804x'tir.
Koordinat düzleminde (x i ; y i) noktalarını işaretleyelim ve regresyon doğrusunu işaretleyelim.
Şekil 4
Şekil 4, gözlemlenen değerlerin regresyon çizgisine göre nasıl konumlandırıldığını göstermektedir. Y i'nin gözlemlendiği ve Y i'nin regresyonla belirlenen değerler olduğu Y i'den sapmalarını sayısal olarak değerlendirmek için bir tablo oluşturalım:
| x ben | sen ben | ey ben | Y ben -y ben |
| 167 | 169 | 168.055 | -0.945 |
| 169 | 171 | 170.778 | -0.222 |
| 170 | 166 | 172.140 | 6.140 |
| 170 | 172 | 172.140 | 0.140 |
| 172 | 180 | 174.863 | -5.137 |
| 173 | 176 | 176.225 | 0.225 |
| 174 | 177 | 177.587 | 0.587 |
| 175 | 182 | 178.949 | -3.051 |
| 179 | 182 | 184.395 | 2.395 |
| 180 | 186 | 185.757 | -0.243 |
Yi değerleri regresyon denklemine göre hesaplanır.
Gözlemlenen bazı değerlerin regresyon çizgisinden gözle görülür şekilde sapması, gözlem sayısının az olmasıyla açıklanmaktadır. Y'nin X'e doğrusal bağımlılığının derecesi incelenirken gözlem sayısı dikkate alınır. Bağımlılığın gücü korelasyon katsayısının değeri ile belirlenir.
Deneysel verilere yaklaşım, deneysel olarak elde edilen verileri, orijinal değerlere (bir deney veya deney sırasında elde edilen veriler) en yakın şekilde geçen veya düğüm noktalarında çakışan bir analitik fonksiyonla değiştirmeye dayanan bir yöntemdir. Şu anda analitik bir fonksiyonu tanımlamanın iki yolu vardır:
Aşağıdakileri geçen n derecelik bir enterpolasyon polinomu oluşturarak tüm noktalardan doğrudan belirli bir veri dizisi. Bu durumda, yaklaşım fonksiyonu şu şekilde sunulur: Lagrange formunda bir enterpolasyon polinomu veya Newton formunda bir enterpolasyon polinomu.
n derecelik yaklaşık bir polinom oluşturarak noktaların hemen yakınında belirli bir veri dizisinden. Böylece, yaklaşıklaştırma fonksiyonu, deney sırasında ortaya çıkabilecek tüm rastgele gürültüyü (veya hataları) düzeltir: deney sırasında ölçülen değerler, kendi rastgele yasalarına göre dalgalanan rastgele faktörlere (ölçüm veya cihaz hataları, yanlışlık veya deneysel) bağlıdır. hatalar). Bu durumda yaklaşım fonksiyonu en küçük kareler yöntemi kullanılarak belirlenir.
En küçük kareler yöntemi(İngiliz literatüründe Sıradan En Küçük Kareler, OLS), belirli bir deneysel veri dizisinden noktalara en yakın mesafede oluşturulan bir yaklaşım fonksiyonunun belirlenmesine dayanan matematiksel bir yöntemdir. Orijinal ve yaklaşık fonksiyonlar F(x)'in yakınlığı sayısal bir ölçümle belirlenir, yani: deneysel verilerin F(x) yaklaşım eğrisinden sapmalarının karelerinin toplamı en küçük olmalıdır.
En küçük kareler yöntemi kullanılarak oluşturulan yaklaşık eğri
En küçük kareler yöntemi kullanılır:
Denklem sayısının bilinmeyen sayısından fazla olduğu durumlarda aşırı belirlenmiş denklem sistemlerini çözmek;
Sıradan (aşırı belirlenmemiş) doğrusal olmayan denklem sistemleri durumunda çözüm bulmak;
Bazı yaklaşma fonksiyonlarıyla nokta değerlerine yaklaşmak.
En küçük kareler yöntemini kullanan yaklaşım fonksiyonu, belirli bir deneysel veri dizisinden hesaplanan yaklaşım fonksiyonunun minimum karesel sapmalarının toplamı koşulundan belirlenir. En küçük kareler yönteminin bu kriteri aşağıdaki ifadeyle yazılır:
Düğüm noktalarında hesaplanan yaklaşım fonksiyonunun değerleri,
Düğüm noktalarında belirli bir deneysel veri dizisi.
İkinci dereceden kriter, polinom yaklaşım fonksiyonlarıyla yaklaşım problemine benzersiz bir çözüm sağlayan, türevlenebilirlik gibi bir dizi "iyi" özelliğe sahiptir.
Problemin koşullarına bağlı olarak, yaklaşım fonksiyonu m dereceli bir polinomdur.
Yaklaştırma fonksiyonunun derecesi düğüm noktalarının sayısına bağlı değildir ancak boyutu her zaman belirli bir deneysel veri dizisinin boyutundan (nokta sayısından) daha az olmalıdır.
∙ Yaklaştırma fonksiyonunun derecesi m=1 ise tablo fonksiyonuna düz bir çizgiyle yaklaşırız (doğrusal regresyon).
∙ Yaklaştırma fonksiyonunun derecesi m=2 ise, tablo fonksiyonuna ikinci dereceden bir parabol (ikinci dereceden yaklaşım) ile yaklaşırız.
∙ Yaklaştırma fonksiyonunun derecesi m=3 ise tablo fonksiyonuna kübik parabol (kübik yaklaşım) ile yaklaşırız.
Genel durumda, verilen tablo değerleri için m dereceli yaklaşık bir polinom oluşturmak gerektiğinde, tüm düğüm noktaları üzerindeki sapmaların karelerinin toplamının minimumunun koşulu aşağıdaki biçimde yeniden yazılır:
- m dereceli yaklaşık polinomun bilinmeyen katsayıları;
Belirtilen tablo değerlerinin sayısı.
Bir fonksiyonun minimumunun varlığı için gerekli koşul, bilinmeyen değişkenlere göre kısmi türevlerinin sıfıra eşit olmasıdır. . Sonuç olarak aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:
Ortaya çıkan doğrusal denklem sistemini dönüştürelim: parantezleri açın ve serbest terimleri ifadenin sağ tarafına taşıyın. Sonuç olarak, ortaya çıkan doğrusal cebirsel ifadeler sistemi aşağıdaki biçimde yazılacaktır:
Bu doğrusal cebirsel ifadeler sistemi matris biçiminde yeniden yazılabilir:
Sonuç olarak, m+1 bilinmeyenlerden oluşan, m+1 boyutunda bir doğrusal denklem sistemi elde edildi. Bu sistem, doğrusal cebirsel denklemleri çözmek için herhangi bir yöntem (örneğin, Gauss yöntemi) kullanılarak çözülebilir. Çözümün bir sonucu olarak, yaklaşıklık fonksiyonunun orijinal verilerden sapmalarının karelerinin minimum toplamını sağlayan, yaklaşıklık fonksiyonunun bilinmeyen parametreleri bulunacaktır; mümkün olan en iyi ikinci dereceden yaklaşım. Kaynak verinin tek bir değeri bile değişse tüm katsayıların değerlerinin tamamen kaynak veri tarafından belirlendiğinden dolayı değişeceği unutulmamalıdır.
Kaynak verilerine doğrusal bağımlılıkla yaklaşım
(doğrusal regresyon)
Örnek olarak, doğrusal bağımlılık biçiminde belirtilen yaklaşım fonksiyonunu belirleme tekniğini ele alalım. En küçük kareler yöntemine göre sapmaların kareleri toplamının minimumunun koşulu aşağıdaki biçimde yazılır:
Tablo düğümlerinin koordinatları;
Doğrusal bağımlılık olarak belirtilen, yaklaşıklık fonksiyonunun bilinmeyen katsayıları.
Bir fonksiyonun minimumunun varlığı için gerekli koşul, bilinmeyen değişkenlere göre kısmi türevlerinin sıfıra eşit olmasıdır. Sonuç olarak aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:
Ortaya çıkan doğrusal denklem sistemini dönüştürelim.
Ortaya çıkan doğrusal denklem sistemini çözüyoruz. Yaklaşım fonksiyonunun analitik formdaki katsayıları aşağıdaki şekilde belirlenir (Cramer yöntemi):
Bu katsayılar, yaklaşık fonksiyonun karelerinin toplamını verilen tablo değerlerinden (deneysel veriler) en aza indirme kriterine uygun olarak doğrusal bir yaklaşım fonksiyonunun oluşturulmasını sağlar.
En küçük kareler yöntemini uygulamaya yönelik algoritma
1. Başlangıç verileri:
Ölçüm sayısı N ile belirtilen bir deneysel veri dizisi
Yaklaşan polinomun (m) derecesi belirtilir
2. Hesaplama algoritması:
2.1. Katsayılar, boyutları olan bir denklem sistemi oluşturmak için belirlenir.
Denklem sisteminin katsayıları (denklemin sol tarafı)
- denklem sisteminin kare matrisinin sütun numarasının indeksi
Doğrusal denklem sisteminin serbest terimleri (denklemin sağ tarafı)
- denklem sisteminin kare matrisinin satır numarasının indeksi
2.2. Boyutlu doğrusal denklem sisteminin oluşturulması.
2.3. M dereceli yaklaşık bir polinomun bilinmeyen katsayılarını belirlemek için bir doğrusal denklem sisteminin çözülmesi.
2.4. Yaklaşan polinomun tüm düğüm noktalarında orijinal değerlerden karesel sapmalarının toplamının belirlenmesi
Sapmaların karelerinin toplamının bulunan değeri mümkün olan minimum değerdir.
Diğer fonksiyonları kullanarak yaklaşım
Orijinal verilere en küçük kareler yöntemine göre yaklaşılırken bazen yaklaşıklaştırma işlevi olarak logaritmik fonksiyonun, üstel fonksiyonun ve güç fonksiyonunun kullanıldığı unutulmamalıdır.
Logaritmik yaklaşım
Yaklaşım fonksiyonunun formun logaritmik fonksiyonu tarafından verildiği durumu ele alalım:
3. Yöntemi kullanarak fonksiyonlara yaklaşım
en küçük kareler
Deney sonuçları işlenirken en küçük kareler yöntemi kullanılır. yaklaşımlar (yaklaşımlar) deneysel veri analitik formül. Spesifik formül türü, kural olarak fiziksel nedenlerden dolayı seçilir. Bu tür formüller şunlar olabilir:
ve diğerleri.
En küçük kareler yönteminin özü aşağıdaki gibidir. Ölçüm sonuçlarının tabloda sunulmasına izin verin:
|
Masa 4 |
||||
|
xn |
||||
|
e-n |
||||
|
(3.1) |
nerede f - bilinen fonksiyon, a 0 , a 1 , …, a m - değerleri bulunması gereken bilinmeyen sabit parametreler. En küçük kareler yönteminde, koşulun karşılanması durumunda fonksiyonun (3.1) deneysel bağımlılığa yaklaşımı en iyi kabul edilir.
|
(3.2) |
yani miktarlar A İstenilen analitik fonksiyonun deneysel bağımlılıktan karesel sapmaları minimum düzeyde olmalıdır .
Fonksiyonun Q isminde kalıntı.
Farklılıktan bu yana
o zaman bir minimumu vardır. Çok değişkenli bir fonksiyonun minimumu için gerekli bir koşul, bu fonksiyonun parametrelere göre tüm kısmi türevlerinin sıfıra eşit olmasıdır. Böylece, yaklaşıklık fonksiyonunun (3.1) parametrelerinin en iyi değerlerinin, yani değerlerinin bulunması Q = Q (a 0, a 1,…, a m ) minimumdur, denklem sisteminin çözümüne indirgenir:
|
(3.3) |
En küçük kareler yöntemi şu geometrik yorumu verebilir: belirli bir türdeki sonsuz çizgi ailesi arasında, deneysel noktaların koordinatlarının kare farklarının toplamı ve bulunan noktaların karşılık gelen koordinatlarının toplamı olan bir çizgi bulunur. Bu doğrunun denklemine göre en küçük olacaktır.
Doğrusal bir fonksiyonun parametrelerini bulma
Deneysel verilerin doğrusal bir fonksiyonla temsil edilmesine izin verin:
Aşağıdaki değerlerin seçilmesi gerekmektedir a ve B , bunun için fonksiyon
|
(3.4) |
minimum düzeyde olacaktır. Minimum fonksiyon (3.4) için gerekli koşullar denklem sistemine indirgenmiştir:
|
|
Dönüşümlerden sonra iki bilinmeyenli iki doğrusal denklemden oluşan bir sistem elde ederiz:
|
|
(3.5) |
bunu çözerek parametrelerin gerekli değerlerini buluyoruz a ve B.
İkinci Dereceden Bir Fonksiyonun Parametrelerini Bulma
Yaklaşım fonksiyonu ikinci dereceden bir bağımlılık ise
daha sonra parametreleri a, b, c fonksiyonun minimum koşulundan bulunur:
|
(3.6) |
Minimum fonksiyon (3.6) için koşullar denklem sistemine indirgenmiştir:
|
|
Dönüşümlerden sonra, üç bilinmeyenli üç doğrusal denklemden oluşan bir sistem elde ederiz:
|
|
(3.7) |
en parametrelerin gerekli değerlerini bulduğumuz çözüm a, b ve c.
Örnek . Deneyin aşağıdaki değer tablosuyla sonuçlanmasına izin verin x ve y:
|
Masa 5 |
||||||||
|
sen ben |
0,705 |
0,495 |
0,426 |
0,357 |
0,368 |
0,406 |
0,549 |
0,768 |
Deneysel verilere doğrusal ve ikinci dereceden fonksiyonlarla yaklaşmak gerekir.
Çözüm. Yaklaşan fonksiyonların parametrelerini bulmak, doğrusal denklem (3.5) ve (3.7) sistemlerini çözmeye indirgenir. Sorunu çözmek için bir elektronik tablo işlemcisi kullanacağız Excel.
1. Öncelikle sayfa 1 ve 2'yi bağlayalım. Deneysel değerleri girin x ben ve sen ben sütunlara A ve B, ikinci satırdan başlayarak (sütun başlıklarını ilk satıra yerleştireceğiz). Daha sonra bu sütunların toplamlarını hesaplayıp onuncu sıraya yerleştiriyoruz.
C–G sütunlarında hesaplamayı ve toplamı sırasıyla yerleştirin
2. Sayfaları ayıralım, Sayfa 1'e doğrusal bağımlılık ve Sayfa 2'ye ikinci dereceden bağımlılık için benzer şekilde başka hesaplamalar yapacağız.
3. Ortaya çıkan tablonun altında katsayılardan oluşan bir matris ve serbest terimlerden oluşan bir sütun vektörü oluşturacağız. Aşağıdaki algoritmayı kullanarak doğrusal denklem sistemini çözelim:
Ters matrisi hesaplamak ve matrisleri çarpmak için şunu kullanırız: Usta işlevler ve işlevler MOBR Ve MUMNIF.
4. H2 hücre bloğunda: H 9 hesapladığımız elde edilen katsayılara göre yaklaşık değer polinomsen ben hesap., blok I 2'de: I 9 – sapmalar ben = sen ben tecrübe. - sen ben hesap., J sütununda – kalan:
Ortaya çıkan tablolar ve kullanılarak oluşturulanlar Grafik Sihirbazları grafikler Şekil 6, 7, 8'de gösterilmektedir.
Pirinç. 6. Doğrusal bir fonksiyonun katsayılarını hesaplama tablosu,
yaklaşık deneysel veri.
Pirinç. 7. İkinci dereceden bir fonksiyonun katsayılarını hesaplamak için tablo,
yaklaşıkdeneysel veri.
Pirinç. 8. Yaklaşım sonuçlarının grafiksel gösterimi
doğrusal ve ikinci dereceden fonksiyonlarla deneysel veriler.
Cevap. Deneysel verilere doğrusal bir bağımlılıkla yaklaşıldı sen = 0,07881 X + 0,442262 artık ile Q = 0,165167 ve ikinci dereceden bağımlılık sen = 3,115476 X 2 – 5,2175 X + 2,529631 artık ile Q = 0,002103 .
Görevler. Bir tablo, doğrusal ve ikinci dereceden fonksiyonlar tarafından verilen bir fonksiyonun yaklaşıkını hesaplayın.
|
Tablo 6 |
|||||||||
|
№0 |
X |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
|
sen |
3,030 |
3,142 |
3,358 |
3,463 |
3,772 |
3,251 |
3,170 |
3,665 |
|
|
№ 1 |
|||||||||
|
3,314 |
3,278 |
3,262 |
3,292 |
3,332 |
3,397 |
3,487 |
3,563 |
||
|
№ 2 |
|||||||||
|
1,045 |
1,162 |
1,264 |
1,172 |
1,070 |
0,898 |
0,656 |
0,344 |
||
|
№ 3 |
|||||||||
|
6,715 |
6,735 |
6,750 |
6,741 |
6,645 |
6,639 |
6,647 |
6,612 |
||
|
№ 4 |
|||||||||
|
2,325 |
2,515 |
2,638 |
2,700 |
2,696 |
2,626 |
2,491 |
2,291 |
||
|
№ 5 |
|||||||||
|
1.752 |
1,762 |
1,777 |
1,797 |
1,821 |
1,850 |
1,884 |
1,944 |
||
|
№ 6 |
|||||||||
|
1,924 |
1,710 |
1,525 |
1,370 |
1,264 |
1,190 |
1,148 |
1,127 |
||
|
№ 7 |
|||||||||
|
1,025 |
1,144 |
1,336 |
1,419 |
1,479 |
1,530 |
1,568 |
1,248 |
||
|
№ 8 |
|||||||||
|
5,785 |
5,685 |
5,605 |
5,545 |
5,505 |
5,480 |
5,495 |
5,510 |
||
|
№ 9 |
|||||||||
|
4,052 |
4,092 |
4,152 |
4,234 |
4,338 |
4,468 |
4,599 |
En küçük kareler yöntemi (OLS), rastgele hatalar içeren birçok ölçümün sonuçlarını kullanarak çeşitli miktarları tahmin etmenize olanak tanır. Çokuluslu Şirketlerin Özellikleri Bu yöntemin ana fikri, karesel hataların toplamının, en aza indirilmeye çalışılan problemin çözümünün doğruluğu için bir kriter olarak kabul edilmesidir. Bu yöntemi kullanırken hem sayısal hem de analitik yaklaşımlar kullanılabilir. Özellikle sayısal bir uygulama olarak en küçük kareler yöntemi, bilinmeyen bir rastgele değişkenin mümkün olduğu kadar çok ölçümünün alınmasını içerir. Üstelik ne kadar çok hesaplama yapılırsa çözüm o kadar doğru olacaktır. Bu hesaplama setine (ilk verilere) dayanarak, en iyisinin seçildiği başka bir tahmini çözüm seti elde edilir. Çözüm kümesi parametrelendirilmişse, en küçük kareler yöntemi parametrelerin optimal değerini bulmaya indirgenecektir. LSM'nin bir dizi başlangıç verisi (ölçümler) ve beklenen bir çözüm kümesi üzerinde uygulanmasına analitik bir yaklaşım olarak, onay gerektiren belirli bir hipotez olarak elde edilen bir formülle ifade edilebilecek belirli bir (işlevsel) belirlenir. Bu durumda, en küçük kareler yöntemi, orijinal verinin hata kareleri kümesinde bu fonksiyonelin minimumunu bulmaya gelir. Lütfen bunun hataların kendisi değil, hataların kareleri olduğunu unutmayın. Neden? Gerçek şu ki, ölçümlerin kesin değerden sapmaları çoğu zaman hem olumlu hem de olumsuzdur. Ortalamayı belirlerken pozitif ve negatif değerlerin iptali, birden fazla ölçümün örnekleme gücünü azaltacağından basit toplama, tahminin kalitesi hakkında yanlış bir sonuca yol açabilir. Ve sonuç olarak değerlendirmenin doğruluğu. Bunun olmasını önlemek için sapmaların kareleri toplanır. Ayrıca, ölçülen değerin ve nihai tahminin boyutunu eşitlemek için hataların kareleri toplamı çıkarılır. Bazı MNC uygulamaları MNC çeşitli alanlarda yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, olasılık teorisinde ve matematiksel istatistikte, rastgele değişkenin değer aralığının genişliğini belirleyen standart sapma gibi rastgele bir değişkenin böyle bir özelliğini belirlemek için yöntem kullanılır. Benzer makaleler
| ||
