1. MATEMATIČNA ZNANOST, KI UGOTAVLJA ZAKONITOSTI NAKLJUČNIH POJAVOV, JE:
a) medicinska statistika
b) teorija verjetnosti
c) medicinska demografija
d) višja matematika
Pravilen odgovor: b
2. MOŽNOST URESNIČITVE KAKRŠNEGA KOLI DOGODKA JE:
a) poskus
b) diagram primera
c) pravilnost
d) verjetnost
Pravilen odgovor je d
3. POSKUS JE:
a) proces kopičenja empiričnega znanja
b) postopek merjenja ali opazovanja dejanja z namenom zbiranja podatkov
c) študija, ki zajema celotno populacijo opazovanih enot
d) matematično modeliranje procesov realnosti
Pravilen odgovor je b
4. IZID V TEORIJI VERJETNOSTI SE RAZUME:
a) negotov rezultat poskusa
b) določen rezultat poskusa
c) dinamika verjetnostnega procesa
d) razmerje med številom opazovanih enot in splošno populacijo
Pravilen odgovor je b
5. VZORČNI PROSTOR V TEORIJI VERJETNOSTI JE:
a) struktura pojava
b) vse možne rezultate poskusa
c) odnos med dvema neodvisnima populacijama
d) razmerje med dvema odvisnima populacijama
Pravilen odgovor je b
6. DEJSTVO, KI SE LAHKO ZGODI ALI NE, ČE JE IZVEDEN DOLOČEN SKUP POGOJEV:
a) pogostost pojavljanja
b) verjetnost
c) pojav
d) dogodek
Pravilen odgovor je d
7. DOGODKI, KI SE ZGAJAJO ENAKO POGOSTO IN NOBEEN OD NJIH NI OBJEKTIVNO BOLJ MOŽEN OD DRUGIH:
a) naključno
b) enako verjetno
c) enakovreden
d) selektivno
Pravilen odgovor je b
8. ZA DOGODEK, KI SE BO ZAGOTOVO ZGODIL, ČE BODO IZPOLNJENI DOLOČENI POGOJI, SE ŠTEJE:
a) potrebno
b) pričakovano
c) zanesljiv
d) prednost
Pravilen odgovor je v
8. NASPROTJE ZANESLJIVEGA DOGODKA JE DOGODEK:
a) nepotrebno
b) nepričakovano
c) nemogoče
d) neprednostna
Pravilen odgovor je v
10. VERJETNOST POJAVA NAKLJUČNEGA DOGODKA:
a) večji od nič in manjši od ena
b) več kot ena
c) manj kot nič
d) predstavljena s celimi števili
Pravilen odgovor je a
11. DOGODKI Tvorijo POLNO SKUPINO DOGODKOV, ČE SO URESNIČENI DOLOČENI POGOJI, VSAJ EDEN OD NJIH:
a) se bo zagotovo pojavilo
b) pojavi se v 90 % poskusov
c) se pojavi v 95 % poskusov
d) se pojavi v 99 % poskusov
Pravilen odgovor je a
12. VERJETNOST POJAVA KATEREGA KOLI DOGODKA IZ CELOTNE SKUPINE DOGODKOV JE OB IZPOLNJEVANJU DOLOČENIH POGOJEV ENAKA:
Pravilen odgovor je d
13. ČE SE DVA DOGODKA OB URESNIČENJU DOLOČENIH POGOJEV NE LAHKA POJAVITI ISTOČASNO, SE IMENUJETA:
a) zanesljiv
b) nezdružljivo
c) naključno
d) verjetno
Pravilen odgovor je b
14. ČE POD DOLOČENIMI POGOJI NOBEEN OD OCENJENIH DOGODKOV NI OBJEKTIVNO BOLJ MOŽEN OD DRUGIH, POTEM SO:
a) enaka
b) sklep
c) enako možno
d) nezdružljivo
Pravilen odgovor je v
15. VELIČINI, KI LAHKO ZARADI DOLOČENIH POGOJEV ZAJEMA RAZLIČNE VREDNOSTI, SE IMENUJE:
a) naključno
b) enako možno
c) selektivno
d) skupaj
Pravilen odgovor je a
16. ČE POZNAMO ŠTEVILO MOŽNIH IZIDOV NEKEGA DOGODKA IN SKUPNO ŠTEVILO IZIDOV V VZORČNEM PROSTORU, LAHKO IZRAČUNAMO:
a) pogojna verjetnost
b) klasična verjetnost
c) empirična verjetnost
d) subjektivna verjetnost
Pravilen odgovor je b
17. KO NIMAMO DOVOLJ INFORMACIJ O DOGAJANJU IN NE MOREMO DOLOČITI ŠTEVILA MOŽNIH IZIDOV DOGODKA, KI NAS ZANIMA, LAHKO IZRAČUNAMO:
a) pogojna verjetnost
b) klasična verjetnost
c) empirična verjetnost
d) subjektivna verjetnost
Pravilen odgovor je v
18. NA PODLAGI VAŠIH OSEBNIH OPAŽANJ DELUJETE:
a) objektivna verjetnost
b) klasična verjetnost
c) empirična verjetnost
d) subjektivna verjetnost
Pravilen odgovor je d
19. VSETA DVEH DOGODKOV A IN IN DOGODEK, IMENOVAN:
a) sestoji iz zaporednega pojavljanja dogodka A ali dogodka B, razen njunega skupnega pojavljanja
b) sestoji iz pojava dogodka A ali dogodka B
c) sestoji iz pojava dogodka A ali dogodka B ali dogodkov A in B skupaj
d) sestoji iz pojava dogodka A in dogodka B skupaj
Pravilen odgovor je v
20. PO PROIZVODU DVEH DOGODKOV A IN IN JE DOGODEK SESTAVLJEN IZ:
a) skupni pojav dogodkov A in B
b) zaporedno pojavljanje dogodkov A in B
c) pojav dogodka A ali dogodka B ali dogodkov A in B skupaj
d) pojav dogodka A ali dogodka B
Pravilen odgovor je a
21. ČE DOGODEK A NE VPLIVA NA VERJETNOST DOGODKA IN, IN NASPROTNO JIH LAHKO ŠTEJEMO:
a) neodvisen
b) nezdružene
c) na daljavo
d) heterogeni
Pravilen odgovor je a
22. ČE DOGODEK A VPLIVA NA VERJETNOST NASTANEKA DOGODKA IN, IN NASPROTNO JIH LAHKO ŠTEJEMO:
a) homogena
b) združeni
c) takojšnje
d) odvisni
Pravilen odgovor je d
23. IZREK SEŠTEVANJA VERJETNOSTI:
a) verjetnost vsote dveh skupnih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov
b) verjetnost zaporednega nastopa dveh skupnih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov
c) verjetnost vsote dveh nezdružljivih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov
d) verjetnost, da se dva nezdružljiva dogodka ne zgodita, je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov.
Pravilen odgovor je v
24. V SKLADU Z ZAKONOM VELIKIH ŠTEVIL, KO SE POSKUS IZVEDE VELIKO ŠTEVILO KRAT:
a) empirična verjetnost teži k klasični
b) empirična verjetnost se odmika od klasične
c) subjektivna verjetnost presega klasično
d) empirična verjetnost se ne spremeni glede na klasično
Pravilen odgovor je a
25. VERJETNOST DVEH DOGODKOV A IN IN ENAKO ZMNOŽKU VERJETNOSTI ENEGA OD NJIH ( A) O POGOJNI VERJETNOSTI DRUGEGA ( IN), IZRAČUNANO POD POGOJEM, DA SE JE ZGODILO PRVO:
a) izrek verjetnostnega množenja
b) izrek seštevanja verjetnosti
c) Bayesov izrek
d) Bernoullijev izrek
Pravilen odgovor je a
26. ENA OD POSLEDIC IZREKA O MNOŽENJU VERJETNOSTI:
b) če dogodek A vpliva na dogodek B, potem dogodek B vpliva tudi na dogodek A
d) če dogodek Ane vpliva na dogodek B, potem dogodek B ne vpliva na dogodek A
Pravilen odgovor je v
27. ENA OD POSLEDIC IZREKA O MNOŽENJU VERJETNOSTI:
a) če je dogodek A odvisen od dogodka B, potem je tudi dogodek B odvisen od dogodka A
b) verjetnost nastanka neodvisnih dogodkov je enaka produktu verjetnosti teh dogodkov
c) če dogodek A ni odvisen od dogodka B, tudi dogodek B ni odvisen od dogodka A
d) verjetnost nastanka odvisnih dogodkov je enaka produktu verjetnosti teh dogodkov
Pravilen odgovor je b
28. ZAČETNE VERJETNOSTI HIPOTEZ PRED PREJEMOM DODATNIH INFORMACIJ SE IMENUJE
a) a priori
b) a posteriori
c) predhodni
d) začetni
Pravilen odgovor je a
29. VERJETNOSTI, KI SE REVIDIRAJO PO PREJEMU DODATNIH INFORMACIJ, SE IMENUJEJO
a) a priori
b) a posteriori
c) predhodni
d) končno
Pravilen odgovor je b
30. KATERI IZREK TEORIJE VERJETNOSTI SE LAHKO UPORABI PRI POSTAVLJANJU DIAGNOZE
a) Bernoulli
b) Bayesov
c) Čebišev
d) Poisson
Pravilen odgovor je b
MOŽNOST 1
1. V naključnem poskusu se vržeta dve kocki. Poiščite verjetnost, da bo skupno 5 točk. Rezultat zaokrožite na stotinke.
2. V naključnem poskusu trikrat vržemo simetričen kovanec. Poiščite verjetnost, da dobite glave natanko dvakrat.
3. V povprečju od 1400 vrtnih črpalk v prodaji 7 pušča. Poiščite verjetnost, da ena črpalka, naključno izbrana za krmiljenje, ne pušča.
4. Tekmovanje nastopajočih poteka 3 dni. Skupaj je napovedanih 50 predstav – iz vsake države po ena. Prvi dan je na sporedu 34 predstav, ostale so enakomerno razporejene po preostalih dneh. Vrstni red nastopov se določi z žrebom. Kakšna je verjetnost, da bo tretji dan tekmovanja nastopil ruski predstavnik?
5. Taksi podjetje ima 50 avtomobilov; 27 jih je črnih z rumenimi napisi ob straneh, ostali so rumeni s črnimi napisi. Poiščite verjetnost, da se bo rumeni avto s črnimi črkami odzval na naključni klic.
6. Na rock festivalu nastopijo skupine – ena iz vsake od prijavljenih držav. Vrstni red nastopov se določi z žrebom. Kakšna je verjetnost, da bo za skupino iz Francije in za skupino iz Rusije nastopila skupina iz Nemčije? Rezultat zaokrožite na stotinke.
7. Kolikšna je verjetnost, da je naključno izbrano naravno število od 41 do 56 deljivo z 2?
8. V zbirki listkov za matematiko je samo 20 listkov, od tega jih 11 vsebuje vprašanje o logaritmih. Poiščite verjetnost, da bo študent na naključno izbrani izpitni listi dobil vprašanje o logaritmih.
9. Na sliki je labirint. Pajek se priplazi v labirint na vstopni točki. Pajek se ne more obrniti in priplaziti nazaj. Na vsakem razcepu si pajek izbere pot, po kateri se še ni splazil. Glede na to, da je izbira nadaljnje poti naključna, določite, s kakšno verjetnostjo bo pajek prišel do izhoda.
10. Za vstop na inštitut za specialnost "Prevajalec" mora kandidat doseči najmanj 79 točk na Enotnem državnem izpitu iz vsakega od treh predmetov - matematike, ruskega jezika in tujega jezika. Za vpis na posebnost "Carinske zadeve" morate zbrati najmanj 79 točk pri vsakem od treh predmetov - matematiki, ruskem jeziku in družboslovju.
Verjetnost, da bo vlagatelj B. prejel najmanj 79 točk pri matematiki, je 0,9, pri ruščini - 0,7, pri tujem jeziku - 0,8 in pri družboslovju - 0,9.
MOŽNOST 2
1. V trgovini so trije prodajalci. Vsak od njih je zaposlen s stranko z verjetnostjo 0,3. Poiščite verjetnost, da so v naključnem trenutku vsi trije prodajalci hkrati zasedeni (predpostavimo, da kupci prihajajo neodvisno drug od drugega).
2. V naključnem poskusu trikrat vržemo simetričen kovanec. Poiščite verjetnost, da bo prišlo do izida RRR (glave vse trikrat).
3. Tovarna proizvaja vrečke. V povprečju so na 200 kakovostnih vrečk štiri vrečke s skritimi napakami. Poiščite verjetnost, da bo kupljena torba kakovostna. Rezultat zaokrožite na stotinke.
4. Tekmovanje nastopajočih poteka 3 dni. Skupaj je napovedanih 55 predstav – po ena iz vsake države. Prvi dan je na sporedu 33 predstav, ostale so enakomerno razporejene po preostalih dneh. Vrstni red nastopov se določi z žrebom. Kakšna je verjetnost, da bo tretji dan tekmovanja nastopil ruski predstavnik?
5. Na tipkovnici telefona je 10 številk od 0 do 9. Kakšna je verjetnost, da bo naključno pritisnjena številka manjša od 4?
6. Biatlonec strelja na tarče 9-krat. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom je 0,8. Poiščite verjetnost, da biatlonec prve trikrat zadene tarčo in zadnjih šestkrat zgreši. Rezultat zaokrožite na stotinke.
7. Dve tovarni proizvajata enaka stekla za avtomobilske žaromete. Prva tovarna proizvede 30 teh kozarcev, druga - 70. Prva tovarna proizvede 4 okvarjena kozarca, druga pa 1. Poiščite verjetnost, da bo kozarec, ki ste ga slučajno kupili v trgovini, okvarjen.
8. V zbirki vstopnic za kemijo je samo 25 vstopnic, od tega jih 6 vsebuje vprašanje o ogljikovodikih. Poiščite verjetnost, da bo študent na naključno izbrani izpitni listi dobil vprašanje o ogljikovodikih.
9. Za vstop na inštitut za specialnost "Prevajalec" mora kandidat doseči najmanj 69 točk na Enotnem državnem izpitu iz vsakega od treh predmetov - matematike, ruskega jezika in tujega jezika. Za vpis na posebnost "Management" morate zbrati najmanj 69 točk pri vsakem od treh predmetov - matematiki, ruskem jeziku in družboslovju.
Verjetnost, da bo kandidat T. prejel najmanj 69 točk pri matematiki, je 0,6, pri ruščini - 0,6, pri tujem jeziku - 0,5 in pri družboslovju - 0,6.
Poiščite verjetnost, da se bo T. uspel vpisati na eno od dveh omenjenih specialnosti.
10. Na sliki je labirint. Pajek se priplazi v labirint na vstopni točki. Pajek se ne more obrniti in priplaziti nazaj. Na vsakem razcepu si pajek izbere pot, po kateri se še ni splazil. Glede na to, da je izbira nadaljnje poti naključna, določite, s kakšno verjetnostjo bo pajek prišel do izhoda.
MOŽNOST 3
1. Na prvenstvu v gimnastiki sodeluje 60 športnikov: 14 iz Madžarske, 25 iz Romunije, ostali iz Bolgarije. Vrstni red nastopov telovadcev določi žreb. Poiščite verjetnost, da je prvi športnik iz Bolgarije.
2. Avtomatska linija za proizvodnjo baterij. Verjetnost, da je končna baterija pokvarjena, je 0,02. Pred pakiranjem gre vsaka baterija skozi nadzorni sistem. Verjetnost, da bo sistem zavrnil pokvarjeno baterijo, je 0,97. Verjetnost, da bo sistem pomotoma zavrnil delujočo baterijo, je 0,02. Poiščite verjetnost, da bo naključno izbrana baterija iz paketa zavrnjena.
3. Za vstop na inštitut za specialnost "Mednarodni odnosi" mora kandidat doseči najmanj 68 točk na enotnem državnem izpitu iz vsakega od treh predmetov - matematike, ruskega jezika in tujega jezika. Za vpis na posebnost sociologije morate doseči najmanj 68 točk pri vsakem od treh predmetov - matematiki, ruskem jeziku in družboslovju.
Verjetnost, da bo vlagatelj V. prejel najmanj 68 točk pri matematiki, je 0,7, pri ruščini - 0,6, pri tujem jeziku - 0,6 in pri družboslovju - 0,7.
Poiščite verjetnost, da se bo V. uspel vpisati na eno od obeh omenjenih specialnosti.
4. Na sliki je labirint. Pajek se priplazi v labirint na vstopni točki. Pajek se ne more obrniti in priplaziti nazaj. Na vsakem razcepu si pajek izbere pot, po kateri se še ni splazil. Glede na to, da je izbira nadaljnje poti naključna, določite, s kakšno verjetnostjo bo pajek prišel do izhoda.
5. Kolikšna je verjetnost, da je naključno izbrano naravno število od 52 do 67 deljivo s 4?
6. Pri izpitu iz geometrije študent dobi eno vprašanje iz seznama izpitnih vprašanj. Verjetnost, da je to vprašanje včrtanega kroga, je 0,1. Verjetnost, da je to trigonometrično vprašanje, je 0,35. Ni vprašanj, ki bi se hkrati nanašala na ti dve temi. Poiščite verjetnost, da bo študent na izpitu dobil vprašanje o eni od teh dveh tem.
7. Seva, Slava, Anja, Andrej, Miša, Igor, Nadja in Karina so žrebali, kdo naj začne igro. Poiščite verjetnost, da bo fant začel igro.
8. Na seminar je prišlo 5 znanstvenikov iz Španije, 4 iz Danske in 7 iz Nizozemske. Vrstni red poročil se določi z žrebom. Poiščite verjetnost, da bo dvanajsto poročilo poročilo znanstvenika iz Danske.
9. V zbirki vstopnic o filozofiji je samo 25 vstopnic, od tega jih 8 vsebuje vprašanje o Pitagori. Poiščite verjetnost, da študent na naključno izbrani izpitni listič ne bo dobil vprašanja o Pitagori.
10. V trgovini sta dva plačilna avtomata. Vsak od njih je lahko pokvarjen z verjetnostjo 0,09, ne glede na drugi stroj. Poiščite verjetnost, da vsaj en stroj deluje.
MOŽNOST 4
1. Na rock festivalu nastopijo skupine – ena iz vsake od prijavljenih držav. Vrstni red nastopov se določi z žrebom. Kakšna je verjetnost, da bo za skupino iz Vietnama in za skupino iz Švedske nastopila skupina iz ZDA? Rezultat zaokrožite na stotinke.
2. Verjetnost, da bo učenec T pri testu zgodovine pravilno rešil več kot 8 nalog, je 0,58. Verjetnost, da bo T. pravilno rešil več kot 7 nalog, je 0,64. Poiščite verjetnost, da bo T. pravilno rešil točno 8 nalog.
3. Tovarna proizvaja vrečke. V povprečju je na 60 kakovostnih vrečk šest vrečk s skritimi napakami. Poiščite verjetnost, da bo kupljena torba kakovostna. Rezultat zaokrožite na stotinke.
4. Sasha je imel v žepu štiri bonbone - "Mishka", "Vzlyotnaya", "Belochka" in "Grilyazh", pa tudi ključe od stanovanja. Medtem ko je jemal ključe, je Saši iz žepa pomotoma padel bonbon. Poiščite verjetnost, da je bonbon "Vzlyotnaya" izgubljen.
5. Na sliki je labirint. Pajek se priplazi v labirint na vstopni točki. Pajek se ne more obrniti in priplaziti nazaj. Na vsakem razcepu si pajek izbere pot, po kateri se še ni splazil. Glede na to, da je izbira nadaljnje poti naključna, določite, s kakšno verjetnostjo bo pajek prišel do izhoda.
6. V naključnem poskusu se vržejo tri kocke. Poiščite verjetnost, da bo skupno 15 točk. Rezultat zaokrožite na stotinke.
7. Biatlonec strelja na tarče 10-krat. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom je 0,7. Poiščite verjetnost, da je biatlonec prvih 7-krat zadel tarčo in zadnje tri zgrešil. Rezultat zaokrožite na stotinke.
8. Na seminar je prišlo 5 znanstvenikov iz Švice, 7 iz Poljske in 2 iz Velike Britanije. Vrstni red poročil se določi z žrebom. Poiščite verjetnost, da bo trinajsto poročilo poročilo znanstvenika iz Poljske.
9. Za vstop na inštitut za specialnost "Mednarodno pravo" mora kandidat doseči najmanj 68 točk na enotnem državnem izpitu iz vsakega od treh predmetov - matematike, ruskega jezika in tujega jezika. Za vpis na posebnost sociologije morate zbrati najmanj 68 točk pri vsakem od treh predmetov - matematiki, ruskem jeziku in družboslovju.
Verjetnost, da bo kandidat B. prejel najmanj 68 točk pri matematiki, je 0,6, pri ruščini - 0,8, pri tujem jeziku - 0,5 in pri družboslovju - 0,7.
Poiščite verjetnost, da se bo B. lahko vpisal na eno od dveh omenjenih specialnosti.
10. V trgovskem centru dva enaka avtomata prodajata kavo. Verjetnost, da bo avtomatu do konca dneva zmanjkalo kave, je 0,25. Verjetnost, da bo v obeh avtomatih zmanjkalo kave, je 0,14. Poiščite verjetnost, da bo ob koncu dneva v obeh avtomatih ostala kava.
TEST št. 1
Tema: Vrste naključnih dogodkov, klasična definicija verjetnosti,
elementi kombinatorike.
Na voljo vam je 5 testnih nalog na temo: vrste naključnih dogodkov, klasična definicija verjetnosti, elementi kombinatorike. Med predlaganimi odgovori samo en je pravilen.
| telovadba | Predlagani odgovori |
|
| Če nastop dogodka A vpliva na vrednost verjetnosti dogodka B, nato o dogodkih A in IN pravijo, da ... | sklep; nezdružljivo; odvisen; neodvisen. |
|
| Na girlandi visi 5 zastavic različnih barv. Število možnih kombinacij lahko izračunate z: | formula za število umestitev; formula za število permutacij; formula za število kombinacij; |
|
| Med 100 bankovci, prejetimi v blagajno, je bilo 8 ponarejenih. Blagajničarka naključno vzame en bankovec. Verjetnost, da bo ta račun sprejet v banki, je: | ||
| 25-sedežni avtobus prevaža 4 potnike. V avtobusu lahko zasedejo katerikoli sedež. Število načinov za razporeditev teh ljudi na avtobus se izračuna po formuli: | število permutacij; število kombinacij; število postavitev; |
|
| Kocka se vrže enkrat. Če se na zgornjem robu pojavi številka "4", je to: | zanesljiv dogodek; nemogoč dogodek; naključen dogodek. |
TEST št. 2
Tema: Izreki seštevanja in množenja verjetnosti.
Na voljo vam je 5 testnih nalog na temo izrek o seštevanju in množenju verjetnosti. Med predlaganimi odgovori samo en je pravilen.
| telovadba | Predlagani odgovori |
|
| Dogodek, ki sestoji iz dejstva, da se bo kateri koli dogodek zgodil A ali dogodek IN lahko označimo: |
A–B; |
|
| Formula P(A+B) = P(A) + P(B), ustreza izreku seštevanja verjetnosti: | odvisni dogodki; samostojni dogodki; skupni dogodki; nezdružljivi dogodki. |
|
| Verjetnost zgrešitve torpednega čolna je . Čoln je izstrelil 6 strelov. Verjetnost, da je čoln zadel tarčo vseh 6-krat, je: | ||
| Verjetnost sočasnega dogajanja dogodkov A in IN stoji za: | |
|
| Dobimo nalogo: v prvi škatli je 5 belih in 3 rdeče kroglice, v drugi škatli pa 3 bele in 10 rdečih kroglic. Iz vsake škatle je bila naključno vzeta ena kroglica. Določite verjetnost, da sta obe krogli iste barve. Za rešitev težave uporabite: | Izrek za množenje verjetnosti nekompatibilnih dogodkov in izrek za seštevanje verjetnosti neodvisnih dogodkov. Izrek za seštevanje verjetnosti nekompatibilnih dogodkov; Izrek za množenje verjetnosti neodvisnih dogodkov in izrek za seštevanje verjetnosti nekompatibilnih dogodkov; Izrek za množenje verjetnosti odvisnih dogodkov; |
TEST št. 3
Tema: Naključni neodvisni testi z uporabo Bernoullijeve sheme.
Na voljo vam je 5 testnih nalog na temo naključnih neodvisnih poskusov z uporabo Bernoullijeve sheme. Med predlaganimi odgovori samo en je pravilen.
| Predlagani odgovori |
||
| Glede na težavo: Verjetnost, da je na strani študentovega eseja tipkarska napaka, je 0,03. Povzetek obsega 8 strani. Določite verjetnost, da jih natanko 5 vsebuje tipkarsko napako. | Bernoullijeva formula; Lokalni Laplaceov izrek; Laplaceov integralni izrek; Poissonova formula. |
|
| Družina načrtuje 5 otrok. Če upoštevamo, da je verjetnost, da bomo imeli fantka, 0,515, potem je najverjetnejše število deklet v družini enako: | ||
| Obstaja skupina, ki jo sestavlja 500 ljudi. Poiščite verjetnost, da imata dve osebi rojstni dan na novoletni dan. Predpostavimo, da je verjetnost rojstva na določen dan enaka . Za rešitev te težave uporabite: | Bernoullijeva formula; Lokalni Laplaceov izrek; Laplaceov integralni izrek; Poissonova formula. |
|
| Za ugotavljanje verjetnosti, da v 300 poskusih dogodek A se bo zgodilo vsaj 40-krat, če je verjetnost A v vsakem poskusu konstantna in enaka 0,15, uporabite: | Bernoullijeva formula in izrek za seštevanje verjetnosti nekompatibilnih dogodkov; Lokalni Laplaceov izrek; Laplaceov integralni izrek; Poissonova formula, izrek za seštevanje verjetnosti nekompatibilnih dogodkov, lastnost verjetnosti nasprotnih dogodkov. |
|
| Podan problem: znano je, da je na določenem območju v septembru 18 deževnih dni. Kakšna je verjetnost, da bosta od sedmih naključno izbranih dni tega meseca dva dneva deževna? Za rešitev te težave uporabite: | Bernoullijeva formula; Lokalni Laplaceov izrek; Laplaceov integralni izrek; Poissonova formula. |
TEST št. 4
Tema: Enodimenzionalne naključne spremenljivke.
Na voljo vam je 5 testnih nalog na temo enodimenzionalnih naključnih spremenljivk, njihovih načinov prirejanja in numeričnih značilnosti. Med predlaganimi odgovori samo en je pravilen.
A)!
B) 
B) 
G) P(A)= 
Pri uporabi vrstni red ni pomemben
A) umestitve
B) permutacije
B) kombinacije
D) permutacije in postavitve
A) 12 
131415=32760
B) 13 1415=2730
PRI 12 1314=2184
D) 14 15=210
Kombinacija n elementi po m-Ta
A) število podmnožic, ki vsebujejom elementi
B) število sprememb položaja elementa dane množice
C) število načinov izbirem elementi iz nc ob upoštevanju vrstnega reda
D) število načinov izbirem elementi iz nne glede na vrstni red
Na koliko načinov je mogoče sedeti kvartet iz istoimenske basne I.A.Krylova?
A) 24
B) 4
PRI 8
D) 6
Na koliko načinov lahko izberete enega vodjo in enega fizičnega vodjo v skupini 30 ljudi?
A) 30
B) 870
B) 435
D) 30!
A) 
B) 
IN) 
G) 
A) 
B) ( m-2)(m-1)m
B) (m-1)m
G) ( m-2)(m-1)
Na koliko načinov lahko skupina 30 ljudi pošlje 5 ljudi, da se udeležijo univerzitetne dirke?
A) 17100720
B) 142506
B) 120
D) 30!
Osem učencev se je rokovalo. Koliko stiskov rok je bilo?
A) 40320
B) 28
B) 16
D) 64
Na koliko načinov lahko izbereš 3 knjige izmed 9 ponujenih?
A) 
B) 
B) P 9
D) 3P 9
V vazi je 5 rdečih in 3 bele vrtnice. Na koliko načinov lahko vzamete 4 rože?
A) 
B) 
IN) 
G) 
V vazi je 8 rdečih in 3 bele vrtnice. Na koliko načinov lahko vzamete 2 rdeči in 1 belo vrtnico?
A) 
B) 
IN) 
G) 
A) 110
B) 108
PRI 12
D) 9
V nabiralniku je 38 poslovalnic. Na koliko načinov je mogoče 35 enakih razglednic dati v škatlo tako, da vsaka škatla ne vsebuje več kot eno razglednico?
A) 
B) 35!
IN) 
D) 38!
Koliko različnih permutacij lahko sestavimo iz besede "slon"?
A) 6
B) 4
B) 24
D) 8
Na koliko načinov lahko izbereš dva dela iz škatle z 10 deli?
A) 10!
B) 90
B) 45
D) 100
Koliko različnih dvomestnih števil lahko sestavimo iz števk 1,2,3,4?
A) 16
B) 24
PRI 12
D) 6
Za 5 zaposlenih so namenjeni 3 boni. Na koliko načinov jih je mogoče razdeliti, če so vsi boni različni?
A) 10
B) 60
B) 125
D) 243
A) (6;+ 
)
B) (- ;6)
B) (0; + )
G) (0;6)
A) 
B) 
IN) 
G) 
A) 4
B) 3
NA 2
D) 5
Zapišite besedno zvezo »število kombinacijnelementi 3 so 5-krat manjši od števila kombinacijn+2 elementa 4"
A) 
B) 
IN) 
G) 
Na koliko načinov lahko 28 študentov posadimo v predavalnico?
A) 2880
B) 5600
B) 28!
D) 7200
Na koliko načinov je mogoče 25 delavcev sestaviti v skupine po 5 ljudi?
A) 25!
B) 
IN) 
D) 125
V skupini je 26 učencev. Na koliko načinov sta lahko 2 osebi razporejeni na dolžnost, tako da je ena najstarejša?
A) 
B) 
B) 24!
D) 52
A) 6
B) 5
IN) 
D) 15
Koliko petmestnih števil lahko sestavimo iz števil 1,2,3,4,5 brez ponavljanja?
A) 24
B) 6
B) 120
D) 115
Koliko petmestnih števil lahko sestavimo iz števil 1,2,3,4,5 tako, da bosta 3 in 4 eno poleg drugega?
A) 120
B) 6
B) 117
D) 48
Znanstveno društvo sestavlja 25 ljudi. Izbrati je treba predsednika društva, podpredsednika, znanstvenega tajnika in blagajnika. Na koliko načinov se lahko ta izbira, če mora vsak član družbe zavzeti samo en položaj?
A) 303600
B) 25!
B) 506
D) 6375600
A) ( n-4)(n-5)
B) ( n-2)(n-1)n
IN) 
G) 
A) -2
B) -3
NA 2
D) 5
Na koliko načinov lahko postavimo 8 topov na šahovnico, da se ne morejo napadati?
A) 70
B) 1680
B) 64
D) 40320
A) 
B) (2 m-1)
IN) 2m
G) (2 m-2)!
A) ( n-5)!
B) 
IN) 
G) n(n-1)(n-2)
A) 6
B) 4
NA 5
D) 3
A) -1
B) 6
B) 27
D)-22
A) 1
B) 0
NA 3
D) 4
A) 9
B) 0,5
B) 1,5
D) 0,3
Kombinacija se izračuna po formuli
A)!
B)
B) P(A)=
G)
Umestitve se izračunajo po formuli
A) P(A)=
B)
B)
G)!
Permutacije iz n elementi so
A) izbor elementov iz niza "n»
B) število elementov v nizu "n»
B) podmnožica množicen elementi
D) vzpostavljen vrstni red v nizu "n»
Umestitve se uporabijo v nalogi, če
A) elementi so izbrani iz niza ob upoštevanju vrstnega reda
B) elementi so izbrani iz niza brez upoštevanja vrstnega reda
C) komplet je treba preurediti
D) če so vsi izbrani elementi enaki
V žari je 6 belih in 5 črnih kroglic. Na koliko načinov lahko iz nje odstranimo 2 beli in 3 črne kroglice?
A) 
B) 
IN) 
G) 
Med 100 srečkami je kar 45 dobitnih. Na koliko načinov lahko osvojite enega od treh kupljenih listkov?
A) 45 
B) 
IN) 
G) 
Odgovori na test št. 1
Odgovori na test št. 2
Test št. 2
"Osnove teorije verjetnosti"
Pokliče se naključni dogodek
A) izid poskusa, pri katerem se pričakovani rezultat lahko zgodi ali pa tudi ne
B) tak izid poskusa, ki je že vnaprej znan
C) izid poskusa, ki ga ni mogoče vnaprej določiti
D) tak izid poskusa, ki se ob ohranjanju eksperimentalnih pogojev nenehno ponavlja
Veznik "in" pomeni
A) seštevanje verjetnosti dogodkov
B) množenje verjetnosti dogodkov
D) delitev verjetnosti dogodkov
Veznik "ali" pomeni
A) delitev verjetnosti dogodkov
B) seštevanje verjetnosti dogodkov
C) razlika v verjetnosti dogodkov
D) množenje verjetnosti dogodkov
Imenujemo dogodke, pri katerih pojav enega od njih izključuje pojav drugega
A) nezdružljivo
B) neodvisen
B) odvisen
D) sklep
Celotno skupino dogodkov tvorijo
A) niz neodvisnih dogodkov, če se bo kot rezultat posameznih preskusov eden od teh dogodkov nujno zgodil
B) niz neodvisnih dogodkov, če se bodo vsi ti dogodki nujno zgodili kot rezultat posameznih preizkusov
C) niz nezdružljivih dogodkov, če se bo zaradi posameznih preizkusov eden od teh dogodkov nujno zgodil
D) niz nezdružljivih dogodkov, če se bodo vsi ti dogodki nujno zgodili kot rezultat posameznih testov
Nasprotja se imenujejo
A) dva neodvisna dogodka, ki tvorita popolno skupino
B) dva neodvisna dogodka
B) dva nezdružljiva dogodka
D) dva nezdružljiva dogodka, ki tvorita popolno skupino
Dva dogodka imenujemo neodvisna
A), ki se bo zagotovo pojavila kot rezultat testa
B), ki se kot rezultat preizkusa nikoli ne pojavijo skupaj
C) pri katerih izid enega od njih ni odvisen od izida drugega dogodka
D) pri katerih je izid enega od njih popolnoma odvisen od izida drugega dogodka
Dogodek, ki se bo zagotovo zgodil kot rezultat preizkusa
A) nemogoče
B) natančno
B) zanesljiv
D) naključno
Dogodek, ki se zaradi testa ne bo nikoli zgodil
A) nemogoče
B) natančno
B) zanesljiv
D) naključno
Največja vrednost verjetnosti je
A) 100 %
B) 1
B) neskončnost
D) 0
Vsota verjetnosti nasprotnih dogodkov je enaka
A) 0
B) 100 %
V 1
D) 1
Izraz "vsaj eden" pomeni
A) samo en element
B) niti enega elementa
D) en, dva in nič več elementov
Klasična definicija verjetnosti
A) verjetnost dogodka je razmerje med številom izidov, ki so ugodni za nastanek dogodka, in številom vseh nezdružljivih, edino možnih in enako možnih izidov, ki tvorijo popolno skupino dogodkov.
B) Verjetnost je merilo možnosti, da se dogodek zgodi v določenem testu
C) Verjetnost je razmerje med številom poskusov, v katerih se je dogodek zgodil, in številom vseh poskusov, v katerih se je dogodek morda zgodil ali ne.
D) Vsakemu naključnemu dogodku A iz polja dogodkov je pridruženo nenegativno število P(A), imenovano verjetnost.
Verjetnost je merilo možnosti, da se dogodek zgodi v določenem testu.
To je definicija verjetnosti
A) klasična
B) geometrijski
B) aksiomatično
D) statistični
Verjetnost je razmerje med številom poskusov, v katerih se je dogodek zgodil, in številom vseh poskusov, v katerih se je dogodek morda zgodil ali pa tudi ne. To je definicija verjetnosti
A) klasična
B) geometrijski
B) aksiomatično
D) statistični
Pogojna verjetnost se izračuna po formuli
A) P(A/B)= 
B) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
B) P(AB)=P(A)P(B)
D) P(A+B)=P(A)+P(B)
Ta formula P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) velja za dva
A) nezdružljivi dogodki
B) skupne prireditve
B) odvisni dogodki
D) samostojni dogodki
Za katera dva dogodka velja koncept pogojne verjetnosti?
A) nemogoče
B) zanesljiv
B) sklep
D) odvisen
Formula skupne verjetnosti
A) P( H jaz /A)=
B) P(A)=P(A/ H 1 ) p(H 1 )+ P(A/ H 2 ) p(H 2 )+...+ P(A/ H n ) p(H n )
IN) p n (m)=
D) P(A)=
B) Bayesov izrek
B) Bernoullijeva shema
A) formula popolne verjetnosti
B) Bayesov izrek
B) Bernoullijeva shema
D) klasična definicija verjetnosti
Vrženi sta dve kocki. Poiščite verjetnost, da je vsota izžrebanih točk 6
A) P(A)= 
B) P(A)=
B) P(A)= 
D) P(A)=
Vrženi sta dve kocki. Poiščite verjetnost, da je vsota izžrebanih točk 11, razlika pa 5
A) P(A)=0
B) P(A)=2/36
B) P(A)= 1
D) P(A)=1/6
Naprava, ki deluje čez dan, je sestavljena iz treh komponent, od katerih lahko vsaka neodvisno od druge v tem času odpove. Okvara katere koli komponente onemogoči celotno napravo. Verjetnost pravilnega delovanja čez dan prvega vozlišča je 0,9, drugega - 0,85, tretjega - 0,95. Kakšna je verjetnost, da bo naprava čez dan delovala brez napak?
A) P(A)=0,1·0,15·0,05=0,00075
B) P(A)=0,9·0,85·0,95=0,727
B) P(A)=0,1+0,85·0,95=0,91
D) P(A)=0,1·0,15·0,95=0,014
Zamišljeno je dvomestno število, katerega števke so različne. Poiščite verjetnost, da bo naključno imenovano dvomestno število enako želenemu številu?
A) P(A)=0,1
B) P(A)=2/90
B) P(A) = 1/100
D) P(A)=0,9
Dve osebi streljata v tarčo z enako verjetnostjo zadetka, ki je enaka 0,8. Kakšna je verjetnost, da zadene tarčo?
A) P(A)=0,8·0,8=0,64
B) P(A)=1-0,2·0,2=0,96
B) P(A)=0,8·0,2+0,2·0,2=0,2
D) P(A)=1-0,8=0,2
Dva učenca iščeta knjigo, ki jo potrebujeta. Verjetnost, da prvi učenec najde knjigo, je 0,6, drugi pa 0,7. Kolikšna je verjetnost, da bo samo eden od učencev našel pravo knjigo?
A) P(A)=1-0,6·0,7=0,58
B) P(A)=1-0,4·0,3=0,88
B) P(A)=0,6·0,3+0,7·0,4=0,46
D) P(A)=0,6·0,7+0,3·0,4=0,54
Iz kompleta 32 kart se naključno vzameta dve karti, ena za drugo. Poiščite verjetnost, da sta dva kralja vzeta?
A) P(A)=0,012
B) P(A) = 0,125
B) P(A)=0,0625
D) P(A) = 0,031
Trije strelci streljajo v tarčo neodvisno drug od drugega. Verjetnost zadetka tarče za prvega strelca je 0,75, za drugega 0,8, za tretjega 0,9. Poiščite verjetnost, da bo vsaj en strelec zadel tarčo?
A) P(A)= 0,25·0,2·0,1=0,005
B) P(A)=0,75·0,8·0,9=0,54
B) P(A)=1-0,25·0,2·0,1=0,995
D) P(A)=1-0,75·0,8·0,9=0,46
V škatli je 10 enakih delov, označenih s številkami od št. 1 do št. 10. Vzemite 6 delov naključno. Poiščite verjetnost, da bo med izvlečenimi deli del št. 5?
A) P(A)= 5/10=0,2
B) P(A)= 
B) P(A)= 1/10=0,1
D) P(A)= 
Poiščite verjetnost, da bodo med 4 naključno vzetimi izdelki 3 okvarjeni, če je v seriji 100 izdelkov 10 okvarjenih.
A) P(A)= 
B) P(A)= 
B) P(A)= 
D) P(A)= 
V vazi je 10 belih in 8 škrlatnih vrtnic. Naključno vzemite dve roži. Kakšna je verjetnost za to? Zakaj so različnih barv?
A) P(A)= 
B) P(A)= 
B) P(A)= 
D) P(A)= 2/18
Verjetnost, da zadene tarčo z enim strelom, je 1/8. Kakšna je verjetnost, da od 12 strelov ne bo nobenega zgrešenega?
A) R 12 (12)=
B) R 12 (1)=
B) P(A)= 
D) P(A)= 
Vratar odbije v povprečju 30 % vseh enajstmetrovk. Kakšna je verjetnost, da bo vzel 2 od 4 žog?
A) P 4 (2)=
B) R 4 (2)= 
B) P 4 (2)=
D) P 4 (2)= 
V vrtcu je 40 cepljenih in 10 kontrolnih kuncev. Zaporedoma se testira 14 kuncev, rezultat se zabeleži in kunci se pošljejo nazaj. Določite najverjetnejše število pojavov kontrolnega kunca.
A) 10
B) 14
B) 14
D) 14
Izdelki višjega cenovnega razreda v tovarni čevljev predstavljajo 10 % celotne proizvodnje. Koliko parov vrhunskih škornjev lahko pričakujete, da boste našli med 75 pari, ki so iz te tovarne prišli v trgovino?
A) 75
B) 75
B) 75
D) 75
A) Lokalna Laplaceova formula
B) Laplaceova integralska formula
B) Moivre-Laplaceova formula
D) Bernoullijeva shema
Pri reševanju problema »Verjetnost, da pride do napake v nizu delov, je 2 %. Kakšna je verjetnost, da bo v seriji 600 delov 20 okvarjenih delov?« bolj uporaben
A) Bernoullijeva shema
B) Moivre–Laplaceova formula
B) lokalna Laplaceova formula
Pri reševanju problema »V vsakem od 700 neodvisnih testov za napake pride do pojava standardne žarnice s konstantno verjetnostjo 0,65. Poiščite verjetnost, da se bo v takšnih pogojih pojavljanje pokvarjene žarnice pojavilo pogosteje kot v 230 poskusih, vendar manj pogosto kot v 270 primerih.
A) Bernoullijeva shema
B) Moivre–Laplaceova formula
B) lokalna Laplaceova formula
D) Laplaceova integralska formula
Med izbiranjem telefonske številke je naročnik številko pozabil in jo poklical naključno. Poiščite verjetnost, da je izbrana pravilna številka?
A) P(A)=1/9
B) P(A)=1/10
B) P(A)=1/99
D) P(A)=1/100
Vržena je kocka. Poiščite verjetnost, da dobite sodo število točk?
A) P(A)= 5/6
B) P(A)=1/6
B) P(A)=3/6
D) P(A)=1
V škatli je 50 enakih delov, od katerih je 5 pobarvanih. En kos se vzame naključno. Poiščite verjetnost, da bo izvlečeni del pobarvan?
A) P(A)=0,1
B) P(A)= 
B) P(A)= 
D) P(A)=0,3
V žari so 3 bele in 9 črnih kroglic. Iz žare se izvlečeta 2 žogi hkrati. Kolikšna je verjetnost, da sta obe žogi beli?
A) P(A)= 
B) P(A)= 
B) P(A)=2/12
D) P(A)= 
Na eni polici je naključno postavljenih 10 različnih knjig. Poiščite verjetnost, da bodo 3 določene knjige postavljene ena poleg druge?
A) P(A)= 
B) P(A)= 
B)P(A)=
D) P(A)= 
Udeleženci žrebanja iz škatle izžrebajo žetone s številkami od 1 do 100. Poiščite verjetnost, da številka prvega naključno izžrebanega žetona ne vsebuje števila 5?
A) P(A)=5/100
B) P(A)=1/100
B) P(A)= 
D) P(A)= 
Test št. 3
"Diskretne naključne spremenljivke"
Količina, ki lahko glede na rezultat poskusa prevzame različne številske vrednosti, se imenuje
A) naključno
B) diskretna
B) neprekinjeno
D) verjetnost
Kliče se diskretna naključna spremenljivka
A) količina, ki lahko glede na rezultat poskusa zavzame različne številske vrednosti
B) količina, ki se z določeno verjetnostjo spreminja od enega poskusa do drugega
B) vrednost, ki se med več preskusi ne spremeni
D) količina, ki lahko ne glede na rezultat poskusa zavzema različne številske vrednosti
Temu se reče moda
A) povprečna vrednost diskretne naključne spremenljivke
B) vsota produktov vrednosti naključne spremenljivke in njihove verjetnosti
C) matematično pričakovanje kvadrata odstopanja vrednosti od njenega matematičnega pričakovanja
D) vrednost diskretne naključne spremenljivke, katere verjetnost je največja
Povprečna vrednost diskretne naključne spremenljivke se imenuje
A) moda
B) matematično pričakovanje
B) mediana
Imenuje se vsota produktov vrednosti naključne spremenljivke in njihove verjetnosti
A) disperzija
B) matematično pričakovanje
B) moda
D) standardni odklon
Matematično pričakovanje kvadrata odstopanja količine od njenega matematičnega pričakovanja
A) moda
B) mediana
B) standardni odklon
D) disperzija
Formula za izračun variance
A) 
B) M(x 2)-M(x)
B) M(x 2)-(M(x)) 2
G) (M(x)) 2 -M(x 2)
Formula, po kateri se izračuna matematično pričakovanje
A)
B) M(x 2)-(M(x)) 2
IN) 
G) 
Za dano porazdelitveno vrsto diskretne naključne spremenljivke poiščite matematično pričakovanje
B) 1.3
B) 0,5
D) 0,8
Za dano porazdelitveno vrsto diskretne naključne spremenljivke poiščite M(x 2 )
B) 2,25
B) 2.9
D) 0,99
Poiščite neznano verjetnost
B) 0,75
B) 0
D) 1
Poiščite modo
B) 1.7
B) 0,28
D) 1.2
Poiščite mediano
B) 1.2
NA 4
D) 0,28
Poiščite mediano
B) 3,5
B) 0,25
D) 1.1
Poiščite neznano vrednost x, če je M(x)=1,1
B) 1.1
B) 1.2
D) 0
Matematično pričakovanje konstantne vrednosti je
Do danes je predstavljen v odprti banki problemov enotnega državnega izpita iz matematike (mathege.ru), katerih rešitev temelji na samo eni formuli, ki je klasična definicija verjetnosti.
Formulo najlažje razumemo s primeri.
Primer 1. V košari je 9 rdečih žog in 3 modre žoge. Žoge se razlikujejo le po barvi. Enega od njih naključno vzamemo ven (brez pogleda). Kolikšna je verjetnost, da bo tako izbrana krogla modra?
Komentar. Pri težavah v teoriji verjetnosti se zgodi nekaj (v tem primeru naše dejanje izvleka žogice), kar ima lahko drugačen rezultat – izid. Treba je opozoriti, da je na rezultat mogoče gledati na različne načine. "Izvlekli smo kakšno žogo" je tudi rezultat. "Izvlekli smo modro kroglo" - rezultat. "Iz vseh možnih žog smo izvlekli točno to žogo" - ta najmanj posplošen pogled na rezultat imenujemo elementarni izid. V formuli za izračun verjetnosti so mišljeni osnovni rezultati.
rešitev. Zdaj pa izračunajmo verjetnost, da izberemo modro kroglico.
Dogodek A: "izbrana žoga je bila modra"
Skupno število vseh možnih izidov: 9+3=12 (število vseh žogic, ki smo jih lahko izžrebali)
Število izidov, ugodnih za dogodek A: 3 (število takšnih izidov, v katerih se je zgodil dogodek A – to je število modrih kroglic)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Odgovor: 0,25
Za isti problem izračunajmo verjetnost, da izberemo rdečo kroglico.
Skupno število možnih izidov bo ostalo enako, 12. Število ugodnih izidov: 9. Iskana verjetnost: 9/12=3/4=0,75
Verjetnost katerega koli dogodka je vedno med 0 in 1.
Včasih je v vsakdanjem govoru (vendar ne v teoriji verjetnosti!) verjetnost dogodkov ocenjena v odstotkih. Prehod med matematičnimi in pogovornimi rezultati se doseže z množenjem (ali deljenjem) s 100 %.
Torej,
Poleg tega je verjetnost enaka nič za dogodke, ki se ne morejo zgoditi - neverjetno. Na primer, v našem primeru bi bila to verjetnost, da iz koša izvlečemo zeleno žogico. (Število ugodnih izidov je 0, P(A)=0/12=0, če se izračuna po formuli)
Verjetnost 1 ima dogodke, za katere je povsem gotovo, da se bodo zgodili, brez možnosti. Na primer, verjetnost, da bo "izbrana žoga rdeča ali modra", je za našo nalogo. (Število ugodnih izidov: 12, P(A)=12/12=1)
Ogledali smo si klasičen primer, ki ponazarja definicijo verjetnosti. Vse podobne težave Enotnega državnega izpita iz teorije verjetnosti so rešene s to formulo.
Namesto rdečih in modrih kroglic so lahko jabolka in hruške, fantje in dekleta, naučene in nenaučene vstopnice, lističi, ki vsebujejo in ne vsebujejo vprašanje na določeno temo (prototipi,), pokvarjene in kakovostne vrečke ali vrtne črpalke ( prototipi,) - princip ostaja enak.
Nekoliko se razlikujejo v formulaciji problema teorije verjetnosti Enotnega državnega izpita, kjer morate izračunati verjetnost, da se določen dogodek zgodi na določen dan. ( , ) Kot v prejšnjih nalogah, morate določiti, kaj je osnovni rezultat, in nato uporabiti isto formulo.
Primer 2. Konferenca traja tri dni. Prvi in drugi dan je 15 govorcev, tretji dan - 20. Kakšna je verjetnost, da bo poročilo profesorja M. padlo tretji dan, če se vrstni red poročil določi z žrebom?
Kaj je tukaj osnovni rezultat? – Dodelitev profesorjevemu poročilu ene od vseh možnih zaporednih številk za govor. V žrebanju sodeluje 15+15+20=50 oseb. Tako lahko poročilo profesorja M. dobi eno od 50 številk. To pomeni, da je le 50 osnovnih rezultatov.
Kakšni so ugodni rezultati? - Tisti, pri katerih se izkaže, da bo profesor govoril tretji dan. Se pravi zadnjih 20 številk.
Po formuli je verjetnost P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Odgovor: 0,4
Žrebanje tukaj predstavlja vzpostavitev naključne korespondence med ljudmi in urejenimi kraji. V primeru 2 smo ujemanje obravnavali z vidika, katero od mest bi določena oseba lahko zasedla. K isti situaciji lahko pristopite z druge strani: kateri od ljudi s kakšno verjetnostjo bi lahko prišel na določeno mesto (prototipi , , , ):
Primer 3. V žrebu je 5 Nemcev, 8 Francozov in 3 Estonci. Kakšna je verjetnost, da bo prvi (/drugi/sedmi/zadnji – ni pomembno) Francoz.
Število elementarnih rezultatov je število vseh možnih ljudi, ki bi z žrebom lahko prišli na določeno mesto. 5+8+3=16 oseb.
Ugodni rezultati - francoščina. 8 oseb.
Zahtevana verjetnost: 8/16=1/2=0,5
Odgovor: 0,5
Prototip je nekoliko drugačen. Še vedno obstajajo težave s kovanci () in kockami (), ki so nekoliko bolj kreativni. Rešitev teh težav najdete na straneh s prototipi.
Tukaj je nekaj primerov metanja kovanca ali kocke.
Primer 4. Ko vržemo kovanec, kakšna je verjetnost, da pristane na glavah?
Obstajata dva izida – glava ali rep. (verjame se, da kovanec nikoli ne pade na rob) Ugoden izid so repi, 1.
Verjetnost 1/2=0,5
Odgovor: 0,5.
Primer 5. Kaj če dvakrat vržemo kovanec? Kakšna je verjetnost, da bo obakrat udaril?
Glavna stvar je ugotoviti, katere osnovne rezultate bomo upoštevali pri metanju dveh kovancev. Po metu dveh kovancev se lahko zgodi eden od naslednjih rezultatov:
1) PP – obakrat je prišlo na glavo
2) PO – prvič glave, drugič glave
3) OP – prvič z glavo, drugič z repom
4) OO – obakrat so prišle glave
Drugih možnosti ni. To pomeni, da obstajajo 4 osnovni izidi. Samo prvi, 1, je ugoden.
Verjetnost: 1/4=0,25
Odgovor: 0,25
Kakšna je verjetnost, da se bosta dva meta kovanca končala z repom?
Število elementarnih izidov je enako, 4. Ugodna izida sta drugi in tretji, 2.
Verjetnost, da dobimo en rep: 2/4=0,5
Pri takih težavah je lahko koristna druga formula.
Če imamo pri enem metu kovanca 2 možni možnosti izida, bosta pri dveh metih rezultati 2 2 = 2 2 = 4 (kot v primeru 5), pri treh metih 2 2 2 = 2 3 = 8, pri štirih : 2·2·2·2=2 4 =16, ... za N metov bodo možni rezultati 2·2·...·2=2 N .
Torej lahko ugotovite verjetnost, da dobite 5 glav od 5 metov kovancev.
Skupno število elementarnih izidov: 2 5 =32.
Ugodni rezultati: 1. (RRRRRR – vseh 5 udarcev z glavo)
Verjetnost: 1/32=0,03125
Enako velja za kocke. Pri enem metu je možnih 6 rezultatov. Torej, pri dveh metih: 6 6 = 36, pri treh 6 6 = 216 itd.
Primer 6. Vržemo kocke. Kakšna je verjetnost, da bo padlo sodo število?
Skupni izidi: 6, glede na število strani.
Ugodno: 3 izidi. (2, 4, 6)
Verjetnost: 3/6=0,5
Primer 7. Vržemo dve kocki. Kakšna je verjetnost, da bo skupno 10? (zaokroži na najbližjo stotino)
Za eno kocko je možnih 6 izidov. To pomeni, da je za dva po zgornjem pravilu 6·6=36.
Kateri izidi bodo ugodni za skupno število 10?
10 je treba razstaviti na vsoto dveh števil od 1 do 6. To lahko storimo na dva načina: 10=6+4 in 10=5+5. To pomeni, da so za kocke možne naslednje možnosti:
(6 na prvem in 4 na drugem)
(4 na prvi in 6 na drugi)
(5 na prvi in 5 na drugi)
Skupaj 3 možnosti. Zahtevana verjetnost: 3/36=1/12=0,08
Odgovor: 0,08
O drugih vrstah težav B6 bomo razpravljali v prihodnjem članku Kako rešiti.
