İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formüller. Gerçek, çoklu ve karmaşık kök durumları dikkate alınır. İkinci dereceden bir trinomialın çarpanlara ayrılması. Geometrik yorumlama. Kök belirleme ve çarpanlara ayırma örnekleri.
İçerikAyrıca bakınız: İkinci dereceden denklemleri çevrimiçi çözme
Temel formüller
İkinci dereceden denklemi düşünün:
(1)
.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri(1) aşağıdaki formüllerle belirlenir:
;
.
Bu formüller şu şekilde birleştirilebilir:
.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri bilindiğinde, ikinci dereceden bir polinom, faktörlerin (çarpanlarına alınmış) bir ürünü olarak temsil edilebilir:
.
Daha sonra bunların gerçek sayılar olduğunu varsayacağız.
Hadi düşünelim ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı:
.
Diskriminant pozitifse, ikinci dereceden denklemin (1) iki farklı gerçek kökü vardır:
;
.
O zaman ikinci dereceden üç terimlinin çarpanlara ayrılması şu şekildedir:
.
Diskriminant sıfıra eşitse, ikinci dereceden denklemin (1) iki çoklu (eşit) gerçek kökü vardır:
.
Faktorizasyon:
.
Diskriminant negatifse, ikinci dereceden denklemin (1) iki karmaşık eşlenik kökü vardır:
;
.
İşte sanal birim;
ve köklerin gerçek ve sanal kısımları:
;
.
Daha sonra
.
Grafik yorumlama
Eğer fonksiyonun grafiğini çizerseniz
,
bu bir parabol ise, grafiğin eksenle kesişme noktaları denklemin kökleri olacaktır.
.
olduğunda, grafik x eksenini (ekseni) iki noktada () keser.
olduğunda, grafik x eksenine bir noktada () dokunur.
Grafik x eksenini () kesmediğinde.
İkinci dereceden denklemle ilgili faydalı formüller
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi
Dönüşümler gerçekleştiriyoruz ve (f.1) ve (f.3) formüllerini uyguluyoruz:
,
Nerede
;
.
Böylece ikinci dereceden bir polinomun formülünü şu şekilde elde ettik:
.
Bu, denklemin
gerçekleştirilen
Ve .
Yani ve ikinci dereceden denklemin kökleridir
.
İkinci dereceden bir denklemin köklerini belirleme örnekleri
örnek 1
(1.1)
.
.
Denklemimiz (1.1) ile karşılaştırıldığında katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant pozitif olduğundan denklemin iki gerçek kökü vardır:
;
;
.
Buradan ikinci dereceden üç terimlinin çarpanlara ayrılmasını elde ederiz:
.
y = fonksiyonunun grafiği 2 x 2 + 7 x + 3 x eksenini iki noktada keser.
Fonksiyonun grafiğini çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Apsis eksenini (ekseni) iki noktada keser:
Ve .
Bu noktalar orijinal denklemin (1.1) kökleridir.
;
;
.
Örnek 2
İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun:
(2.1)
.
İkinci dereceden denklemi genel biçimde yazalım:
.
Orijinal denklem (2.1) ile karşılaştırıldığında katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant sıfır olduğundan denklemin iki çoklu (eşit) kökü vardır:
;
.
O halde trinomiyalin çarpanlara ayrılması şu şekildedir:
.
y = x fonksiyonunun grafiği 2 - 4 x + 4 x eksenine bir noktada dokunuyor.
Fonksiyonun grafiğini çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. X eksenine (ekseni) bir noktada dokunuyor:
.
Bu nokta orijinal denklemin (2.1) köküdür. Çünkü bu kök iki kez çarpanlara ayrılır:
,
o zaman böyle bir köke genellikle kat denir. Yani iki eşit kök olduğuna inanıyorlar:
.
;
.
Örnek 3
İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun:
(3.1)
.
İkinci dereceden denklemi genel biçimde yazalım:
(1)
.
Orijinal denklemi (3.1) yeniden yazalım:
.
(1) ile karşılaştırarak katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant negatiftir. Bu nedenle gerçek kökler yoktur.
Karmaşık kökleri bulabilirsiniz:
;
;
.
Daha sonra
.
Fonksiyonun grafiği x eksenini kesmez. Gerçek kökler yoktur.
Fonksiyonun grafiğini çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. X eksenini (ekseni) kesmez. Bu nedenle gerçek kökler yoktur.
Gerçek kökler yoktur. Karmaşık kökler:
;
;
.
Matematikteki bazı problemler karekök değerini hesaplama becerisini gerektirir. Bu tür problemler ikinci dereceden denklemlerin çözülmesini içerir. Bu yazımızda sunacağımız etkili yöntem kareköklerin hesaplanması ve ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formüllerle çalışırken kullanılması.
Karekök nedir?
Matematikte bu kavram √ sembolüne karşılık gelir. Tarihsel veriler, ilk kez 16. yüzyılın ilk yarısında Almanya'da kullanıldığını söylüyor (Christoph Rudolf'un cebir üzerine ilk Alman çalışması). Bilim adamları, sembolün dönüştürülmüş bir Latin harfi r olduğuna inanıyor (radix, Latince'de "kök" anlamına gelir).
Herhangi bir sayının kökü, karesi radikal ifadeye karşılık gelen değere eşittir. Matematik dilinde bu tanım şu şekilde görünecektir: √x = y, eğer y 2 = x ise.
Pozitif bir sayının kökü (x > 0) da pozitif bir sayıdır (y > 0), ancak negatif bir sayının kökünü alırsanız (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.
İşte iki basit örnek:
√9 = 3, çünkü 3 2 = 9; √(-9) = 3i, çünkü i 2 = -1.
Heron'un karekök değerlerini bulmak için yinelemeli formülü
Yukarıdaki örnekler çok basittir ve bunların içindeki kökleri hesaplamak zor değildir. Kareyle ifade edilemeyen herhangi bir değerin kök değerlerini bulmakta zorluklar ortaya çıkmaya başlar doğal sayı, örneğin √10, √11, √12, √13, pratikte tam sayı olmayan sayıların köklerini bulmanın gerekli olduğu gerçeğinden bahsetmiyorum bile: örneğin √(12,15), √(8,5) ve benzeri.
Yukarıdaki durumların hepsinde karekök hesaplamak için özel bir yöntem kullanılmalıdır. Şu anda bu tür birkaç yöntem bilinmektedir: örneğin Taylor serisi genişletme, sütun bölme ve diğerleri. Bilinen tüm yöntemler arasında belki de en basit ve en etkili olanı, Babil'in karekökleri belirleme yöntemi olarak da bilinen Heron'un yinelemeli formülünün kullanılmasıdır (eski Babillilerin bunu pratik hesaplamalarında kullandıklarına dair kanıtlar vardır).
√x'in değerini belirlemek gerekli olsun. Karekök bulma formülü aşağıdaki gibidir:
a n+1 = 1/2(a n +x/a n), burada lim n->∞ (a n) => x.
Bu matematiksel gösterimi deşifre edelim. √x'i hesaplamak için belirli bir a 0 sayısını almalısınız (isteğe bağlı olabilir, ancak sonucu hızlı bir şekilde elde etmek için, onu (a 0) 2 x'e mümkün olduğunca yakın olacak şekilde seçmelisiniz. Sonra onu yerine koymalısınız) karekök hesaplamak için belirtilen formül ve istenen değere daha yakın olacak yeni bir 1 sayısı elde edin.Bundan sonra ifadeye 1'i koyup 2 almanız gerekir. Bu prosedür gerekli olana kadar tekrarlanmalıdır. doğruluk elde edilir.
Heron'un yinelemeli formülünü kullanma örneği
Belirli bir sayının karekökünü elde etmek için yukarıda açıklanan algoritma birçok kişiye oldukça karmaşık ve kafa karıştırıcı gelebilir, ancak gerçekte her şey çok daha basit hale gelir, çünkü bu formül çok hızlı bir şekilde yakınsar (özellikle başarılı bir sayı 0 seçilirse) .
Basit bir örnek verelim: √11'i hesaplamanız gerekiyor. 3 2 = 9 olduğundan, 11'e 4 2 = 16'dan daha yakın olduğundan 0 = 3'ü seçelim. Formülde yerine koyarsak şunu elde ederiz:
a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;
a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;
a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.
Hesaplamalara devam etmenin bir anlamı yok, çünkü a 2 ile a 3'ün yalnızca 5. ondalık basamakta farklılık göstermeye başladığını bulduk. Böylece √11'i 0,0001 doğrulukla hesaplamak için formülü yalnızca 2 kez uygulamak yeterliydi.
Günümüzde kökleri hesaplamak için hesap makineleri ve bilgisayarlar yaygın olarak kullanılmaktadır, ancak bunların tam değerini manuel olarak hesaplayabilmek için işaretli formülü hatırlamakta fayda vardır.
İkinci dereceden denklemler
Karekökün ne olduğunu anlamak ve onu hesaplama yeteneği ikinci dereceden denklemlerin çözümünde kullanılır. Bu denklemlere, genel formu aşağıdaki şekilde gösterilen bir bilinmeyenli eşitlikler denir.
Burada c, b ve a bazı sayıları temsil eder ve a sıfıra eşit olmamalıdır ve c ve b'nin değerleri sıfıra eşit olmak üzere tamamen keyfi olabilir.
Şekilde belirtilen eşitliği sağlayan herhangi bir x değerine kökleri denir (bu kavram, karekök √ ile karıştırılmamalıdır). Söz konusu denklem 2. dereceden (x 2) olduğundan, ikiden fazla kökü olamaz. Makalede bu kökleri nasıl bulacağımıza daha ayrıntılı olarak bakalım.
İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma (formül)
Söz konusu eşitlik türlerini çözmenin bu yöntemine evrensel yöntem veya ayırma yöntemi de denir. Herhangi ikinci dereceden denklemler için kullanılabilir. İkinci dereceden denklemin diskriminant ve köklerinin formülü aşağıdaki gibidir:
Köklerin denklemin üç katsayısının her birinin değerine bağlı olduğunu gösterir. Üstelik x 1'in hesaplanması, x 2'nin hesaplanmasından yalnızca karekökün önündeki işaret nedeniyle farklılık gösterir. b 2 - 4ac'ye eşit olan radikal ifadesi, söz konusu eşitliğin diskriminantından başka bir şey değildir. İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülündeki diskriminant önemli bir rol oynar çünkü çözümlerin sayısını ve türünü belirler. Yani sıfıra eşitse tek bir çözüm olacaktır, pozitifse denklemin iki gerçek kökü vardır ve son olarak negatif bir diskriminant iki karmaşık kök x 1 ve x 2'ye yol açar.
Vieta teoremi veya ikinci dereceden denklemlerin köklerinin bazı özellikleri
16. yüzyılın sonlarında modern cebirin kurucularından biri olan Fransız, ikinci dereceden denklemler üzerinde çalışarak cebirin köklerinin özelliklerini elde edebildi. Matematiksel olarak şu şekilde yazılabilirler:
x 1 + x 2 = -b / a ve x 1 * x 2 = c / a.
Her iki eşitlik de herkes tarafından kolayca elde edilebilir; bunun için, diskriminant formülü ile elde edilen köklerle uygun matematiksel işlemleri yapmanız yeterlidir.
Bu iki ifadenin birleşimi haklı olarak ikinci dereceden bir denklemin kökleri için ikinci formül olarak adlandırılabilir, bu da çözümlerini diskriminant kullanmadan tahmin etmeyi mümkün kılar. Burada her iki ifadenin de her zaman geçerli olmasına rağmen, yalnızca çarpanlarına ayrılabiliyorsa bir denklemi çözmek için bunları kullanmanın uygun olduğuna dikkat edilmelidir.
Edinilen bilgiyi pekiştirme görevi
Makalede tartışılan tüm teknikleri göstereceğimiz bir matematik problemini çözelim. Problemin koşulları şu şekildedir: Çarpımı -13 ve toplamı 4 olan iki sayı bulmanız gerekiyor.
Bu durum bize hemen Vieta teoremini hatırlatıyor; kareköklerin toplamı ve çarpımı formüllerini kullanarak şunu yazıyoruz:
x 1 + x 2 = -b / a = 4;
x 1 * x 2 = c/a = -13.
a = 1 olduğunu varsayarsak b = -4 ve c = -13 olur. Bu katsayılar ikinci dereceden bir denklem oluşturmamızı sağlar:
x 2 - 4x - 13 = 0.
Formülü diskriminantla birlikte kullanalım ve aşağıdaki kökleri elde edelim:
x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Yani sorun √68 sayısını bulmaya indirgenmişti. 68 = 4 * 17 olduğuna dikkat edin, o zaman karekök özelliğini kullanarak şunu elde ederiz: √68 = 2√17.
Şimdi dikkate alınan karekök formülünü kullanalım: a 0 = 4, o zaman:
a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;
a 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.
Bulunan değerler arasında sadece 0,02 fark olduğu için 3 hesaplamaya gerek yoktur. Böylece √68 = 8,246 olur. Bunu x 1,2 formülünde yerine koyarsak şunu elde ederiz:
x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 ve x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.
Gördüğümüz gibi bulunan sayıların toplamı gerçekte 4'e eşittir, ancak çarpımlarını bulursak o zaman -12,999'a eşit olacaktır, bu da problemin koşullarını 0,001 doğrulukla karşılar.
Size tam ikinci dereceden bir denklemin şu şekilde bir denklem olduğunu hatırlatırız:
İkinci dereceden denklemlerin tamamını çözmek bunlardan biraz daha zordur (sadece biraz).
Hatırlamak, Herhangi bir ikinci dereceden denklem bir diskriminant kullanılarak çözülebilir!
Hatta eksik.
Diğer yöntemler bunu daha hızlı yapmanıza yardımcı olacaktır, ancak ikinci dereceden denklemlerle ilgili sorunlarınız varsa, öncelikle diskriminant kullanarak çözümde ustalaşın.
1. İkinci dereceden denklemleri diskriminant kullanarak çözme.
Bu yöntemi kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek çok basittir, asıl önemli olan eylem sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır.
Eğer öyleyse denklemin 2 kökü vardır. 2. adıma özellikle dikkat etmeniz gerekiyor.
Diskriminant D bize denklemin kök sayısını söyler.
- Eğer öyleyse, adımdaki formül şuna indirgenecektir. Böylece denklemin yalnızca bir kökü olacaktır.
- Eğer öyleyse, bu adımda diskriminantın kökünü çıkaramayacağız. Bu da denklemin köklerinin olmadığını gösterir.
İkinci dereceden denklemin geometrik anlamına dönelim.
Fonksiyonun grafiği bir paraboldür:
Denklemlerimize geri dönelim ve bazı örneklere bakalım.
Örnek 9
Denklemi çözün
Aşama 1 atlıyoruz.
Adım 2.
Diskriminantı buluyoruz:
Bu, denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir.
Aşama 3.
Cevap:
Örnek 10
Denklemi çözün
Denklem standart biçimde sunulmuştur, bu nedenle Aşama 1 atlıyoruz.
Adım 2.
Diskriminantı buluyoruz:
Bu, denklemin tek kökü olduğu anlamına gelir.
Cevap:
Örnek 11
Denklemi çözün
Denklem standart biçimde sunulmuştur, bu nedenle Aşama 1 atlıyoruz.
Adım 2.
Diskriminantı buluyoruz:
Bu, diskriminantın kökünü çıkaramayacağımız anlamına gelir. Denklemin kökleri yoktur.
Artık bu tür cevapları nasıl doğru bir şekilde yazacağımızı biliyoruz.
Cevap: kök yok
2. İkinci dereceden denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözme
Hatırlarsanız, indirgenmiş olarak adlandırılan bir denklem türü vardır (a katsayısı şuna eşit olduğunda):
Bu tür denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözmek çok kolaydır:
Köklerin toplamı verildiİkinci dereceden denklem eşittir ve köklerin çarpımı eşittir.
Sadece çarpımı denklemin serbest terimine eşit olan ve toplamı ters işaretle alınan ikinci katsayıya eşit olan bir çift sayı seçmeniz yeterlidir.
Örnek 12
Denklemi çözün
Bu denklem Vieta teoremi kullanılarak çözülebilir çünkü .
Denklemin köklerinin toplamı eşittir, yani. ilk denklemi elde ederiz:
Ve ürün şuna eşittir:
Sistemi oluşturup çözelim:
- Ve. Tutar şuna eşittir;
- Ve. Tutar şuna eşittir;
- Ve. Miktar eşittir.
ve sistemin çözümü:
Cevap: ; .
Örnek 13
Denklemi çözün
Cevap:
Örnek 14
Denklemi çözün
Denklem verilmiştir, bunun anlamı şudur:
Cevap:
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER. ORTALAMA SEVİYE
İkinci dereceden denklem nedir?
Başka bir deyişle, ikinci dereceden bir denklem, bilinmeyenlerin, bazı sayıların ve olduğu formun bir denklemidir.
Sayıya en yüksek veya denir ilk katsayı ikinci dereceden denklem, - ikinci katsayı, A - Ücretsiz Üye.
Çünkü denklem hemen doğrusal hale gelirse, çünkü Kaybolacak.
Bu durumda ve sıfıra eşit olabilir. Bu sandalyede denklem denir tamamlanmamış.
Eğer tüm terimler yerindeyse, yani denklem şu şekildedir: tamamlamak.
Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri
Öncelikle, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemlerine bakalım - bunlar daha basittir.
Aşağıdaki denklem türlerini ayırt edebiliriz:
I., bu denklemde katsayı ve serbest terim eşittir.
II. , bu denklemde katsayı eşittir.
III. , bu denklemde serbest terim eşittir.
Şimdi bu alt türlerin her birinin çözümüne bakalım.
Açıkçası, bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır:
Kareli bir sayı negatif olamaz çünkü iki negatif veya iki pozitif sayıyı çarptığınızda sonuç her zaman pozitif bir sayı olacaktır. Bu yüzden:
eğer öyleyse denklemin çözümü yoktur;
eğer iki kökümüz varsa
Bu formülleri ezberlemenize gerek yok. Hatırlanması gereken en önemli şey, daha az olamayacağıdır.
İkinci dereceden denklemleri çözme örnekleri
Örnek 15
Cevap:
Negatif işaretli kökleri asla unutmayın!
Örnek 16
Bir sayının karesi negatif olamaz, yani denklem
kök yok.
Bir problemin çözümü olmadığını kısaca yazmak için boş küme simgesini kullanırız.
Cevap:
Örnek 17
Yani bu denklemin iki kökü var: ve.
Cevap:
Parantezlerin ortak çarpanını çıkaralım:
Faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda ürün sıfıra eşittir. Bu, aşağıdaki durumlarda denklemin bir çözümü olduğu anlamına gelir:
Yani bu ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır: ve.
Örnek:
Denklemi çözün.
Çözüm:
Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayıralım ve kökleri bulalım:
Cevap:
Tam ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri
1. Ayrımcı
İkinci dereceden denklemleri bu şekilde çözmek kolaydır, asıl önemli olan eylem sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır. Unutmayın, ikinci dereceden herhangi bir denklem diskriminant kullanılarak çözülebilir! Hatta eksik.
Kök formülündeki ayırıcının köküne dikkat ettiniz mi?
Ancak diskriminant negatif olabilir.
Ne yapalım?
2. adıma özellikle dikkat etmemiz gerekiyor. Diskriminant bize denklemin kök sayısını söyler.
- Eğer öyleyse, denklemin kökleri vardır:
- Eğer öyleyse, denklem aynı köklere ve aslında bir köke sahipse:
Bu tür köklere çift kök denir.
- Eğer öyleyse, diskriminantın kökü çıkarılmaz. Bu da denklemin köklerinin olmadığını gösterir.
Neden farklı sayıda kök mümkün?
İkinci dereceden denklemin geometrik anlamına dönelim. Fonksiyonun grafiği bir paraboldür:
İkinci dereceden bir denklem olan özel bir durumda, .
Bu, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin apsis ekseni (eksen) ile kesişme noktaları olduğu anlamına gelir.
Bir parabol ekseni hiç kesmeyebilir veya onu bir noktada (parabolün tepe noktası eksen üzerinde olduğunda) veya iki noktada kesebilir.
Ayrıca katsayı parabolün dallarının yönünden de sorumludur. Eğer öyleyse, parabolün dalları yukarıya, eğer ise aşağıya doğru yönlendirilir.
İkinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin 4 örnek
Örnek 18
Cevap:
Örnek 19
Cevap: .
Örnek 20
Cevap:
Örnek 21
Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.
Cevap: .
2. Vieta teoremi
Vieta teoremini kullanmak çok kolaydır.
Tum ihtiyacin olan sey toplamakürünü denklemin serbest terimine eşit olan ve toplamı ters işaretle alınan ikinci katsayıya eşit olan böyle bir sayı çifti.
Vieta teoreminin yalnızca indirgenmiş ikinci dereceden denklemler ().
Birkaç örneğe bakalım:
Örnek 22
Denklemi çözün.
Çözüm:
Bu denklem Vieta teoremi kullanılarak çözülebilir çünkü . Diğer katsayılar: ; .
Denklemin köklerinin toplamı:
Ve ürün şuna eşittir:
Çarpımları eşit olan sayı çiftlerini seçelim ve toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:
- Ve. Tutar şuna eşittir;
- Ve. Tutar şuna eşittir;
- Ve. Miktar eşittir.
ve sistemin çözümü:
Dolayısıyla ve denklemimizin kökleridir.
Cevap: ; .
Örnek 23
Çözüm:
Çarpımı veren sayı çiftlerini seçelim ve sonra toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:
ve: toplamda veriyorlar.
ve: toplamda veriyorlar. Elde etmek için, sözde köklerin ve sonuçta ürünün işaretlerini değiştirmek yeterlidir.
Cevap:
Örnek 24
Çözüm:
Denklemin serbest terimi negatif olduğundan köklerin çarpımı negatif bir sayıdır. Bu ancak köklerden birinin negatif, diğerinin pozitif olması durumunda mümkündür. Bu nedenle köklerin toplamı eşittir modüllerinin farklılıkları.
Çarpımı veren ve farkı eşit olan sayı çiftlerini seçelim:
ve: farkları eşit - uymuyor;
ve: - uygun değil;
ve: - uygun değil;
ve: - uygun. Geriye kalan tek şey köklerden birinin negatif olduğunu hatırlamak. Toplamlarının eşit olması gerektiğinden, modülü daha küçük olan kök negatif olmalıdır: . Kontrol ediyoruz:
Cevap:
Örnek 25
Denklemi çözün.
Çözüm:
Denklem verilmiştir, bunun anlamı şudur:
Serbest terim negatif olduğundan köklerin çarpımı negatiftir. Bu da ancak denklemin bir kökünün negatif, diğerinin pozitif olması durumunda mümkündür.
Çarpımları eşit olan sayı çiftlerini seçelim ve ardından hangi köklerin negatif işarete sahip olması gerektiğini belirleyelim:
Açıkçası, yalnızca kökler ve ilk koşul için uygundur:
Cevap:
Örnek 26
Denklemi çözün.
Çözüm:
Denklem verilmiştir, bunun anlamı şudur:
Köklerin toplamı negatiftir, yani köklerden en az biri negatiftir. Ancak çarpımları pozitif olduğundan her iki kökün de eksi işareti olduğu anlamına gelir.
Çarpımı şuna eşit olan sayı çiftlerini seçelim:
Açıkçası, kökler sayılardır ve.
Cevap:
Katılıyorum, bu kötü ayrımcıyı saymak yerine sözlü olarak kökleri bulmak çok uygun.
Vieta teoremini mümkün olduğunca sık kullanmaya çalışın!
Ancak kökleri bulmayı kolaylaştırmak ve hızlandırmak için Vieta teoremine ihtiyaç vardır.
Kullanımından faydalanabilmeniz için eylemleri otomatikleştirmeniz gerekmektedir. Bunun için beş örnek daha çözün.
Ama hile yapmayın: diskriminant kullanamazsınız! Sadece Vieta teoremi!
Bağımsız iş için Vieta teoreminin 5 örneği
Örnek 27
Görev 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Vieta teoremine göre:
Her zamanki gibi seçime şu parçayla başlıyoruz:
Uygun değil çünkü miktar;
: miktar tam ihtiyacınız olan şeydir.
Cevap: ; .
Örnek 28
Görev 2.
Ve yine en sevdiğimiz Vieta teoremi: toplam eşit olmalı ve çarpım da eşit olmalıdır.
Ama olmaması gerektiği için, köklerin işaretlerini değiştiriyoruz: ve (toplamda).
Cevap: ; .
Örnek 29
Görev 3.
Hımm... Nerede o?
Tüm terimleri tek bir bölüme taşımanız gerekir:
Köklerin toplamı çarpıma eşittir.
Tamam, dur! Denklem verilmemiştir.
Ancak Vieta teoremi yalnızca verilen denklemlere uygulanabilir.
Bu yüzden önce bir denklem vermeniz gerekiyor.
Eğer liderlik edemiyorsanız, bu fikirden vazgeçin ve sorunu başka bir yolla (örneğin, ayrımcıyla) çözün.
İkinci dereceden bir denklem vermenin baş katsayıyı eşitlemek anlamına geldiğini hatırlatmama izin verin:
O zaman köklerin toplamı eşittir ve çarpım.
Burada armut bombardımanı yapmak kadar kolay: sonuçta bu bir asal sayı (totoloji için özür dilerim).
Cevap: ; .
Örnek 30
Görev 4.
Ücretsiz üye negatiftir.
Bunun nesi özel?
Ve gerçek şu ki, köklerin farklı işaretleri olacak.
Ve şimdi seçim sırasında köklerin toplamını değil, modüllerindeki farkı kontrol ediyoruz: bu fark eşittir, ancak bir üründür.
Yani kökler ve'ye eşittir, ancak bunlardan biri eksidir.
Vieta teoremi bize köklerin toplamının zıt işaretli ikinci katsayıya eşit olduğunu söyler.
Bu, daha küçük kökün bir eksiye sahip olacağı anlamına gelir: ve, çünkü.
Cevap: ; .
Örnek 31
Görev 5.
İlk önce ne yapmalısın?
Bu doğru, denklemi verin:
Tekrar: Sayının faktörlerini seçiyoruz ve aralarındaki fark şuna eşit olmalıdır:
Kökler ve'ye eşittir, ancak bunlardan biri eksidir. Hangi? Toplamları eşit olmalıdır, yani eksi daha büyük bir köke sahip olacaktır.
Cevap: ; .
Özetle
- Vieta teoremi yalnızca verilen ikinci dereceden denklemlerde kullanılır.
- Vieta teoremini kullanarak kökleri seçim yoluyla sözlü olarak bulabilirsiniz.
- Denklem verilmezse veya serbest terimin uygun faktör çifti bulunmazsa, o zaman tam kök yoktur ve bunu başka bir şekilde (örneğin, bir diskriminant aracılığıyla) çözmeniz gerekir.
3. Tam kareyi seçme yöntemi
Bilinmeyeni içeren tüm terimler kısaltılmış çarpma formüllerinden (toplamın veya farkın karesi) terimler biçiminde temsil edilirse, değişkenleri değiştirdikten sonra denklem, türün tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi biçiminde sunulabilir.
Örneğin:
Örnek 32
Denklemi çözün: .
Çözüm:
Cevap:
Örnek 33
Denklemi çözün: .
Çözüm:
Cevap:
Genel olarak dönüşüm şöyle görünecek:
Bu şu anlama gelir: .
Sana hiçbir şey hatırlatmıyor mu?
Bu ayrımcılıktır! Diskriminant formülünü tam olarak bu şekilde elde ettik.
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA
İkinci dereceden denklem- bu, - bilinmeyenin, - ikinci dereceden denklemin katsayılarının, - serbest terimin olduğu formun bir denklemidir.
Tam ikinci dereceden denklem- katsayıların sıfıra eşit olmadığı bir denklem.
Azaltılmış ikinci dereceden denklem- katsayının olduğu bir denklem: .
Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem- katsayı ve/veya serbest terim c'nin sıfıra eşit olduğu bir denklem:
- katsayı ise denklem şuna benzer: ,
- serbest bir terim varsa denklem şu şekildedir: ,
- eğer ve ise denklem şuna benzer: .
1. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma
1.1. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:
1) Bilinmeyeni ifade edelim: ,
2) İfadenin işaretini kontrol edin:
- eğer öyleyse denklemin çözümü yok,
- eğer öyleyse denklemin iki kökü vardır.
1.2. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:
1) Parantez içindeki ortak çarpanı çıkaralım: ,
2) Faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda çarpım sıfıra eşittir. Bu nedenle denklemin iki kökü vardır:
1.3. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:
Bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır: .
2. Formun ikinci dereceden tam denklemlerini çözmek için algoritma
2.1. Diskriminant kullanarak çözüm
1) Denklemi şuna indirgeyelim: standart görünüm: ,
2) Denklemin kök sayısını gösteren formülü kullanarak diskriminantı hesaplayalım:
3) Denklemin köklerini bulun:
- eğer öyleyse, denklemin aşağıdaki formülle bulunan kökleri vardır:
- eğer öyleyse, denklemin aşağıdaki formülle bulunan bir kökü vardır:
- eğer öyleyse denklemin kökleri yoktur.
2.2. Vieta teoremini kullanarak çözüm
İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı (formun denklemi) eşittir ve köklerin çarpımı eşittir, yani. , A.
2.3. Tam kare seçme yöntemiyle çözüm
", yani birinci dereceden denklemler. Bu derste bakacağız ikinci dereceden denklem denir ve nasıl çözüleceği.
İkinci dereceden denklem nedir?
Önemli!
Bir denklemin derecesi bilinmeyenin bulunduğu en yüksek dereceye göre belirlenir.
Bilinmeyenlerin maksimum gücü “2” ise ikinci dereceden bir denkleminiz olur.
İkinci dereceden denklem örnekleri
- 5x2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Önemli! İkinci dereceden bir denklemin genel formu şöyle görünür:
bir x 2 + b x + c = 0
“a”, “b” ve “c” sayıları verilmiştir.- “a” birinci veya en yüksek katsayıdır;
- “b” ikinci katsayıdır;
- “c” ücretsiz bir üyedir.
“a”, “b” ve “c”yi bulmak için denkleminizi “ax 2 + bx + c = 0” ikinci dereceden denklemin genel formuyla karşılaştırmanız gerekir.
İkinci dereceden denklemlerde "a", "b" ve "c" katsayılarını belirlemeye çalışalım.
| Denklem | Oranlar | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- c =
1 3
- bir = 1
- b = 0,25
- c = 0
- bir = 1
- b = 0
- c = −8
İkinci Dereceden Denklemler Nasıl Çözülür?
İkinci dereceden denklemlerin çözümünde doğrusal denklemlerden farklı olarak özel bir yöntem kullanılır. kökleri bulma formülü.
Hatırlamak!
İkinci dereceden bir denklemi çözmek için ihtiyacınız olan:
- İkinci dereceden denklemi “ax 2 + bx + c = 0” genel formuna getirin. Yani sağ tarafta sadece “0” kalmalı;
- kökler için formülü kullanın:
İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için formülün nasıl kullanılacağına ilişkin bir örneğe bakalım. İkinci dereceden bir denklem çözelim.
X 2 - 3x - 4 = 0
"x 2 − 3x − 4 = 0" denklemi zaten "ax 2 + bx + c = 0" genel formuna indirgenmiştir ve ek basitleştirme gerektirmez. Bunu çözmek için uygulamamız yeterli İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü.
Bu denklem için “a”, “b” ve “c” katsayılarını belirleyelim.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
Herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek için kullanılabilir.
“x 1;2 =” formülünde radikal ifade sıklıkla değiştirilir
“D” harfine “b 2 − 4ac” denir ve diskriminant olarak adlandırılır. Diskriminant kavramı derste daha ayrıntılı olarak ele alınmaktadır. Diskriminant nedir? ».
İkinci dereceden denklemin başka bir örneğine bakalım.
x 2 + 9 + x = 7x
Bu formda “a”, “b” ve “c” katsayılarını belirlemek oldukça zordur. Öncelikle denklemi “ax 2 + bx + c = 0” genel formuna indirgeyelim.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Artık kökler için formülü kullanabilirsiniz.
X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Cevap: x = 3
İkinci dereceden denklemlerin köklerinin olmadığı zamanlar vardır. Bu durum, formülün kök altında negatif bir sayı içerdiğinde ortaya çıkar.
