Eserin metni görseller ve formüller olmadan yayınlanmaktadır.
Tam versiyonÇalışmaya PDF formatında "Çalışma Dosyaları" sekmesinden ulaşılabilir

giriiş

Ben 6. sınıf öğrencisiyim. Geçen yıl geometri çalışmaya başladım çünkü okulda “Matematik” ders kitabını kullanarak çalışıyorum. Aritmetik. Geometri”, E.A. Bunimovich, L.V. Kuznetsova, S.S. Minaeva ve diğerleri.

En çok ilgi gören konular ise “Şekillerin Alanları” ve “Formüllerin Çizilmesi” oldu. Aynı rakamların alanlarının bulunabileceğini fark ettim Farklı yollar. Günlük yaşamda sıklıkla yer bulma sorunuyla karşı karşıya kalıyoruz. Örneğin zeminin boyanması gereken alanını bulun. İlginç çünkü yenileme için gerekli miktarda duvar kağıdını satın almak için odanın boyutunu bilmeniz gerekiyor, yani. duvar alanı. Kare, dikdörtgen ve dik üçgenin alanını hesaplamak benim için hiçbir zorluk yaratmadı.

Bu konuyla ilgilenmeye başladıktan sonra internette ek materyal aramaya başladım. Aramalarım sonucunda Pick'in formülüyle karşılaştım - bu, kareli kağıda çizilen çokgenin alanını hesaplamak için kullanılan bir formül. Bana öyle geldi ki, bu formülü kullanarak alanı hesaplamak her öğrencinin erişimine açıktır. Bu yüzden araştırma çalışması yapmaya karar verdim.

Konunun alaka düzeyi:

Bu konu geometri dersi çalışmasının tamamlayıcısı ve derinleştirilmesidir.

Bu konuyu incelemek Olimpiyatlara ve sınavlara daha iyi hazırlanmanıza yardımcı olacaktır.

Çalışmanın amacı:

Peak formülünü öğrenin.

Pick formülünü kullanarak geometrik problemleri çözme tekniklerinde ustalaşın.

Teorik ve pratik materyalleri sistematikleştirin ve özetleyin.

Araştırma hedefleri:

Sorunları çözerken formülü kullanmanın etkinliğini ve uygulanabilirliğini kontrol edin.

Tepe formülünü değişen karmaşıklıktaki problemlere uygulamayı öğrenin.

Pick formülü ve geleneksel yöntem kullanılarak çözülen problemleri karşılaştırın.

Ana bölüm

1.1. Tarihsel referans

Georg Alexander Pieck, 10 Ağustos 1859'da doğan Avusturyalı matematikçi. Üstün yetenekli bir çocuktu, özel bir enstitünün başında olan babası tarafından eğitilmişti. Georg, 16 yaşındayken okuldan mezun oldu ve Viyana Üniversitesi'ne girdi. 20 yaşında fizik ve matematik öğretmeye hak kazandı. Çokgen ızgarasının alanını belirleme formülü ona dünya çapında ün kazandırdı. Formülünü 1899'da bir makalede yayınladı. Polonyalı bilim adamı Hugo Steinhaus'un 1969'da matematiksel anlık görüntüler yayınına dahil etmesiyle popüler oldu.

Georg Pieck, Viyana Üniversitesi'nde eğitim gördü ve 1880'de doktorasını savundu. Doktorasını aldıktan sonra Prag'daki Scherl-Ferdinand Üniversitesi'nde Ernest Mach'ın asistanı olarak atandı. Orada öğretmen oldu. 1927'de emekli olana kadar Prag'da kaldı ve ardından Viyana'ya döndü.

Pick, Prag Alman Üniversitesi'nde, Einstein'ı 1911'de matematiksel fizik bölümüne profesör olarak atayan komiteye başkanlık etti.

Çek Bilim ve Sanat Akademisi üyeliğine seçildi, ancak Nazilerin Prag'ı ele geçirmesinden sonra ihraç edildi.

Naziler 12 Mart 1938'de Avusturya'ya girdiğinde Prag'a döndü. Mart 1939'da Naziler Çekoslovakya'yı işgal etti. 13 Temmuz 1942'de Pieck, Naziler tarafından kuzey Bohemya'da kurulan Theresienstadt kampına sürüldü ve burada iki hafta sonra 82 yaşında öldü.

1.2. Araştırma ve kanıt

Araştırma çalışmalarıma şu soruyu sorarak başladım: Rakamların hangi alanlarını bulabilirim? Çeşitli üçgenlerin ve dörtgenlerin alanını hesaplamak için bir formül oluşturabilirim. Peki ya beş, altı ve genel olarak çokgenler?

Çeşitli sitelerde yaptığım araştırmalar sırasında beşli, altılı ve diğer çokgenlerin alanlarının hesaplanmasıyla ilgili problemlerin çözümlerini gördüm. Bu problemlerin çözülmesini sağlayan formüle Pick formülü adı verildi. Şuna benziyor :S =B+G/2-1, Nerede İÇİNDE- poligonun içinde yer alan düğümlerin sayısı, G- poligonun sınırında bulunan düğümlerin sayısı. Bu formülün özelliği yalnızca kareli kağıda çizilen çokgenler için kullanılabilmesidir.

Bu tür herhangi bir çokgen, köşeleri kafes düğümlerinde olan ve ne içte ne de yanlarda hiçbir düğüm içermeyen üçgenlere kolayca bölünebilir. Tüm bu üçgenlerin alanlarının aynı ve ½'ye eşit olduğu ve dolayısıyla çokgenin alanının kendi sayısının yarısına eşit olduğu gösterilebilir. T.

Bu sayıyı bulmak için çokgenin kenar sayısını n ile gösterelim. İÇİNDE- içindeki düğümlerin sayısı G- köşeler dahil kenarlardaki düğüm sayısı. Tüm üçgenlerin açılarının toplamı 180°'dir. T.

Şimdi toplamı başka bir şekilde bulalım.

Herhangi bir iç düğümdeki tepe noktasıyla olan açıların toplamı 2,180°'dir, yani. açıların toplamı 360°'dir. İÇİNDE; köşelerdeki değil, yanlardaki düğümler için açıların toplam toplamı ( G-n)180° ve çokgenin köşelerindeki açıların toplamı ( G-2)180°. Böylece, T= 2,180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Parantezleri açıp 360°'ye bölerek, bir çokgenin S alanı için Pick formülü olarak bilinen bir formül elde ederiz.

2. Pratik kısım

Bu formülü OGE-2017 koleksiyonundaki görevlerde test etmeye karar verdim. Üçgen, dörtgen ve beşgenin alanının hesaplanmasında problemler oluştu. Cevapları iki şekilde çözerek karşılaştırmaya karar verdim: 1) rakamları bir dikdörtgene tamamladım ve ortaya çıkan dikdörtgenin alanından dik üçgenlerin alanını çıkardım; 2) Seçim formülünü uyguladık.

S = 18-1,5-4,5 = 12 ve S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 ve S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 =49 ve S = 43+14/2-1 = 49

Sonuçları karşılaştırdığımda her iki formülün de aynı cevabı verdiği sonucuna vardım. Pick formülünü kullanarak bir şeklin alanını bulmanın daha hızlı ve daha kolay olduğu ortaya çıktı çünkü daha az hesaplama vardı. Çözüm kolaylığı ve hesaplamalarda zaman tasarrufu, gelecekte OGE sınavına girerken işime yarayacak.

Bu beni Pick formülünü daha karmaşık şekillere uygulama olasılığını test etmeye yöneltti.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Çözüm

Peak formülünün anlaşılması ve kullanılması kolaydır. Öncelikle sayabilmek, 2'ye bölmek, toplama ve çıkarma yapabilmek yeterlidir. İkincisi, karmaşık bir şeklin alanını çok fazla zaman harcamadan bulabilirsiniz. Üçüncüsü, bu formül her çokgen için işe yarar.

Dezavantajı, Seçim Formülünün yalnızca kareli kağıda çizilen ve köşeleri kareli kağıdın düğümleri üzerinde bulunan şekiller için geçerli olmasıdır.

Final sınavlarını geçerken şekillerin alanlarının hesaplanmasında yaşanacak sorunların sorun yaratmayacağından eminim. Sonuçta Peak formülüne zaten aşinayım.

Kaynakça

Bunimovich E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. ve diğerleri Matematik. Aritmetik. Geometri. 5. sınıf: eğitici. genel eğitim için adj'lı kuruluşlar elektron başına taşıyıcı - 3. baskı - M.: Eğitim, 2014.- 223, s. : hasta. - (Küreler).

Bunimovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. ve diğerleri Matematik. Aritmetik. Geometri. 6. sınıf: eğitici. genel eğitim için kuruluşlar-5. baskı-M.: Eğitim, 2016.-240 s. : hasta.- (Küreler).

Vasilyev N.B. Seçim formülünün etrafında. //Kvant.- 1974.-No.2. -s.39-43

Rassolov V.V. Planimetride sorunlar. / 5. baskı, rev. Ve ek - M.: 2006.-640'lar.

IV. Yashchenko.OGE. Matematik: Standart sınav seçenekleri: O-39 36 seçenek - M.: Milli Eğitim Yayınevi, 2017. -240 s. - (OGE. FIPI-okulu).

“OGE'yi çözeceğim”: matematik. Dmitry Gushchin'in eğitim sistemi. OGE-2017: görevler, cevaplar, çözümler [Elektronik kaynak]. Erişim modu: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (erişim tarihi 04/02/2017)

Hesaplamanızı sağlayan harika bir formül var poligonun alanı koordinat ızgarasında neredeyse hiç hata olmadan. Bu bir formül bile değil, gerçek. teorem. İlk bakışta karmaşık görünebilir. Ancak birkaç sorunu çözmek için yeterli ve bu özelliğin ne kadar harika olduğunu anlayacaksınız. O zaman devam et!

Öncelikle yeni bir tanım verelim:

Bir ızgara düğümü, o ızgaranın dikey ve yatay çizgilerinin kesişiminde bulunan herhangi bir noktadır.

Tanım:

İlk resimde düğümler hiç işaretlenmemiştir. İkincisi 4 düğümü gösterir. Son olarak, üçüncü resim 16 düğümün tamamını göstermektedir.

Bunun B5 göreviyle nasıl bir ilişkisi var? Gerçek şu ki, bu tür problemlerde çokgenin köşeleri Her zamanızgara düğümlerinde bulunur. Sonuç olarak, aşağıdaki teorem onlar için işe yarar:

Teorem. Koordinat ızgarasında, köşeleri bu ızgaranın düğüm noktalarında bulunan bir çokgen düşünün. O halde çokgenin alanı:

burada n, belirli bir çokgenin içindeki düğümlerin sayısıdır, k, sınırında bulunan düğümlerin (sınır düğümleri) sayısıdır.

Örnek olarak, bir koordinat ızgarası üzerindeki sıradan bir üçgeni düşünün ve iç ve sınır düğümlerini işaretlemeye çalışın.

İlk resim sıradan bir üçgeni gösteriyor. İkinci resim, sayısı n = 10 olan iç düğümlerini göstermektedir. Üçüncü resim ise sınırda yer alan düğümleri göstermektedir, toplamda k = 6 vardır.

Pek çok okuyucu için n ve k sayılarının nasıl sayılacağı açık olmayabilir. İç düğümlerle başlayın. Burada her şey açık: üçgeni bir kalemle boyayın ve kaç düğümün kaplandığını görün.

Sınır düğümleri biraz daha karmaşıktır. Çokgen kenarlığı - kapalı çoklu çizgi Koordinat ızgarasını birçok noktada kesen. En kolay yol, bir "başlangıç" noktası işaretlemek ve sonra geri kalanını dolaşmaktır.

Sınır düğümleri yalnızca sürekli çizgi üzerinde aynı anda kesiştikleri noktalar olacaktır. üç satır:

1. Aslında bu kesikli bir çizgi;
2. Yatay ızgara çizgisi;
3. Dikey çizgi.

Tüm bunların gerçek problemlerde nasıl çalıştığını görelim.

Görev. Hücre boyutu 1 x 1 cm ise üçgenin alanını bulun:

Öncelikle üçgenin içinde ve sınırında bulunan düğümleri işaretleyelim:

Yalnızca bir dahili düğüm olduğu ortaya çıktı: n = 1. Altı taneye kadar sınır düğümü var: üçü çakışıyor üçgen köşeli ve yanlarda üç tane daha yatıyor. Toplam k = 6.

Şimdi aşağıdaki formülü kullanarak alanı hesaplıyoruz:

Bu kadar! Problem çözüldü.

Görev. Hücre boyutu 1 cm x 1 cm olan kareli kağıt üzerinde gösterilen dörtgenin alanını bulun ve cevabınızı santimetre kare olarak verin.

Yine iç ve sınır düğümlerini işaretleyin. Yalnızca n = 2 dahili düğüm vardır K = 7 sınır düğümü vardır, bunlardan 4'ü bir dörtgenin köşeleri ve yanlarda 3 tane daha yatıyor.

Geriye n ve k sayılarını alan formülünde değiştirmek kalıyor:

dikkat et son örnek. Bu görev aslında 2012'deki teşhis çalışması sırasında önerildi. Standart şemaya göre çalışırsanız çok sayıda ek inşaat yapmanız gerekecektir. Ve düğüm yöntemiyle her şey neredeyse sözlü olarak çözülür.

Alanlarla ilgili önemli not

Ancak formül her şey değildir. Sağ tarafa terimleri ekleyerek formülü biraz yeniden yazalım. ortak bir paydaya. Şunu elde ederiz:

n ve k sayıları düğüm sayısıdır ve her zaman tamsayılardır. Bu, payın tamamının da bir tam sayı olduğu anlamına gelir. Bunu 2'ye bölüyoruz, bu da önemli bir gerçeğe yol açıyor:

Alan her zaman ifade edilir tam sayı veya kesir. Üstelik kesrin sonunda her zaman “onda beş” bulunur: 10,5; 17.5 vb.

Bu nedenle, B5 problemindeki alan her zaman ***,5 formunun bir tamsayı veya kesiri olarak ifade edilir. Cevap farklı ise bir yerde yanlışlık var demektir. Matematikte gerçek Birleşik Devlet Sınavına girdiğinizde bunu unutmayın!

1

Gibadullina G.I. (Nurlat, MAOU ortaokulu No.1)

1. Bunimovich E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. ve diğerleri Matematik. Aritmetik. Geometri. 5. sınıf: eğitici. genel eğitim için adj'lı kuruluşlar elektron başına taşıyıcı - 3. baskı. – M.: Eğitim, 2014. – 223, s. : hasta. – (Küreler).

2. Bunimovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. ve diğerleri Matematik. Aritmetik. Geometri. 6. sınıf: eğitici. genel eğitim için kuruluşlar. 5. baskı. – M.: Eğitim, 2016. – 240 s.: hasta. – (Küreler).

3. Vasiliev N.B. Seçim formülü etrafında // Kuantum. – 1974. – No.2. – sayfa 39–43.

4. Rassolov V.V. Planimetride sorunlar. 5. baskı, rev. ve ek – M.: 2006. – 640 s.

5. Yaşçenko I.V. OGE. Matematik: standart sınav seçenekleri: O-39 36 seçenek - M.: "Milli Eğitim" yayınevi, 2017. - 240 s. - (OGE. FIPI - okul).

6. OGE: matematik konusunu çözeceğim. Dmitry Gushchin'in eğitim sistemi. OGE-2017: görevler, cevaplar, çözümler [Elektronik kaynak]. – Erişim modu: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (erişim tarihi 04/02/2017).

Ben 6. sınıf öğrencisiyim. Geçen yıl geometri çalışmaya başladım çünkü okulda “Matematik” ders kitabını kullanarak çalışıyorum. Aritmetik. Geometri”, E.A. Bunimoviç, L.V. Kuznetsova, S.S. Minaeva ve diğerleri.

En çok ilgi gören konular ise “Şekillerin Alanları” ve “Formüllerin Çizilmesi” oldu. Aynı şekillerin alanlarının farklı şekillerde bulunabileceğini fark ettim. Günlük yaşamda sıklıkla yer bulma sorunuyla karşı karşıya kalıyoruz. Örneğin zeminin boyanması gereken alanını bulun. İlginç çünkü yenileme için gerekli miktarda duvar kağıdını satın almak için odanın boyutunu bilmeniz gerekiyor, yani. duvar alanı. Kare, dikdörtgen ve dik üçgenin alanını hesaplamak benim için hiçbir zorluk yaratmadı.

Bu konuyla ilgilenmeye başladıktan sonra internette ek materyal aramaya başladım. Aramalarım sonucunda Pick'in formülüyle karşılaştım - bu, kareli kağıda çizilen çokgenin alanını hesaplamak için kullanılan bir formül. Bana öyle geldi ki, bu formülü kullanarak alanı hesaplamak her öğrencinin erişimine açıktır. Bu yüzden araştırma çalışması yapmaya karar verdim.

Konunun alaka düzeyi. Bu konu geometri dersi çalışmasının tamamlayıcısı ve derinleştirilmesidir.

Bu konuyu incelemek Olimpiyatlara ve sınavlara daha iyi hazırlanmanıza yardımcı olacaktır.

Çalışmanın amacı:

1. Pick formülünü öğrenin.

2. Pick formülünü kullanarak geometrik problemleri çözme tekniklerinde ustalaşın.

3. Teorik ve pratik materyalleri sistematik hale getirip genelleştirebilecektir.

Araştırma hedefleri:

1. Sorunları çözerken formülü kullanmanın etkinliğini ve uygulanabilirliğini kontrol edin.

2. Seçim formülünü değişen karmaşıklıktaki problemlere uygulamayı öğrenin.

3. Seçim formülü ve geleneksel yöntem kullanılarak çözülen problemleri karşılaştırın.

Ana bölüm

Tarihsel referans

Georg Alexander Pieck - Avusturyalı matematikçi, 10 Ağustos'ta doğdu. Üstün yetenekli bir çocuktu, özel bir enstitünün başında olan babası tarafından eğitilmişti. Georg, 16 yaşındayken okuldan mezun oldu ve Viyana Üniversitesi'ne girdi. 20 yaşında fizik ve matematik öğretmeye hak kazandı. Çokgen ızgarasının alanını belirleme formülü ona dünya çapında ün kazandırdı. Formülünü 1899'da bir makalede yayınladı. Polonyalı bilim adamı Hugo Steinhaus'un 1969'da matematiksel anlık görüntüler yayınına dahil etmesiyle popüler oldu.

Georg Pieck, Viyana Üniversitesi'nde eğitim gördü ve 1880'de doktorasını savundu. Doktorasını aldıktan sonra Prag'daki Scherl-Ferdinand Üniversitesi'nde Ernest Mach'ın asistanı olarak atandı. Orada öğretmen oldu. 1927'de emekli olana kadar Prag'da kaldı ve ardından Viyana'ya döndü.

Pick, Prag Alman Üniversitesi'nde, Einstein'ı 1911'de matematiksel fizik bölümüne profesör olarak atayan komiteye başkanlık etti.

Çek Bilim ve Sanat Akademisi üyeliğine seçildi, ancak Nazilerin Prag'ı ele geçirmesinden sonra ihraç edildi.

Naziler 12 Mart 1938'de Avusturya'ya girdiğinde Prag'a döndü. Mart 1939'da Naziler Çekoslovakya'yı işgal etti. 13 Temmuz 1942'de Pieck, Naziler tarafından kuzey Bohemya'da kurulan Theresienstadt kampına sürüldü ve burada iki hafta sonra 82 yaşında öldü.

Araştırma ve kanıt

Araştırma çalışmalarıma şu soruyu sorarak başladım: Rakamların hangi alanlarını bulabilirim? Çeşitli üçgenlerin ve dörtgenlerin alanını hesaplamak için bir formül oluşturabilirim. Peki ya beş, altı ve genel olarak çokgenler?

Çeşitli sitelerde yaptığım araştırmalar sırasında beşli, altılı ve diğer çokgenlerin alanlarının hesaplanmasıyla ilgili problemlerin çözümlerini gördüm. Bu problemlerin çözülmesini sağlayan formüle Pick formülü adı verildi. Şuna benzer: S=B+G/2-1, burada B çokgenin içinde yer alan düğümlerin sayısıdır, G ise çokgenin sınırında yer alan düğümlerin sayısıdır. Bu formülün özelliği yalnızca kareli kağıda çizilen çokgenler için kullanılabilmesidir.

Bu tür herhangi bir çokgen, köşeleri kafes düğümlerinde olan ve ne içte ne de yanlarda hiçbir düğüm içermeyen üçgenlere kolayca bölünebilir. Tüm bu üçgenlerin alanlarının aynı ve ½'ye eşit olduğu ve dolayısıyla çokgenin alanının T sayısının yarısına eşit olduğu gösterilebilir.

Bu sayıyı bulmak için çokgenin kenar sayısını n ile, içindeki düğüm sayısını B ile ve köşeler dahil kenarlardaki düğüm sayısını G ile gösterelim. Tüm üçgenlerin açılarının toplamı 180°'dir. T.

Şimdi toplamı başka bir şekilde bulalım.

Herhangi bir iç düğümdeki tepe noktasıyla olan açıların toplamı 2,180°'dir, yani. açıların toplamı 360°'dir. İÇİNDE; köşelerdeki değil, kenarlardaki düğümlerdeki açıların toplamı (Г - n)180°'ye eşittir ve bir çokgenin köşelerindeki açıların toplamı (Г - 2)180°'ye eşit olacaktır . Böylece T=2,180° olur. B+(G-n)180°+(n-2)180°. Parantezleri açıp 360°'ye bölerek, bir çokgenin S alanı için Pick formülü olarak bilinen bir formül elde ederiz.

Pratik kısım

Bu formülü OGE-2017 koleksiyonundaki görevlerde test etmeye karar verdim. Üçgen, dörtgen ve beşgenin alanının hesaplanmasında problemler oluştu. Cevapları iki şekilde çözerek karşılaştırmaya karar verdim: 1) rakamları bir dikdörtgene tamamladım ve ortaya çıkan dikdörtgenin alanından dik üçgenlerin alanını çıkardım; 2) Seçim formülünü uyguladık.

S = 18-1,5-4,5 = 12 ve S = 7+12/2-1= 12.

S = 24-9-3 = 12 ve S = 7+12/2-1 = 12.

S = 77-7,5-12-4,5-4 =49 ve S = 43+14/2-1 = 49.

Sonuçları karşılaştırdığımda her iki formülün de aynı cevabı verdiği sonucuna vardım. Pick formülünü kullanarak bir şeklin alanını bulmanın daha hızlı ve daha kolay olduğu ortaya çıktı çünkü daha az hesaplama vardı. Çözüm kolaylığı ve hesaplamalarda zaman tasarrufu, gelecekte OGE sınavına girerken işime yarayacak.

Bu beni Pick formülünü daha karmaşık şekillere uygulama olasılığını test etmeye yöneltti.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Çözüm

Peak formülünün anlaşılması ve kullanılması kolaydır. Öncelikle sayabilmek, 2'ye bölmek, toplama ve çıkarma yapabilmek yeterlidir. İkincisi, karmaşık bir şeklin alanını çok fazla zaman harcamadan bulabilirsiniz. Üçüncüsü, bu formül her çokgen için işe yarar.

Dezavantajı, Seçim Formülünün yalnızca kareli kağıda çizilen ve köşeleri kareli kağıdın düğümleri üzerinde bulunan şekiller için geçerli olmasıdır.

Final sınavlarını geçerken şekillerin alanlarının hesaplanmasında yaşanacak sorunların sorun yaratmayacağından eminim. Sonuçta Peak formülüne zaten aşinayım.

Bibliyografik bağlantı

Gabbazov N.N. ZİRVE FORMÜLÜ // Bilime başlayın. – 2017. – Sayı 6-1. – S.130-132;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=908 (erişim tarihi: 03/05/2020).

Vikisözlük'te "mızrak" için bir girdi bulunmaktadır Pike Savaşta: Turna, soğuk delici bir silahtır, bir tür uzun mızraktır. Mızraklılar, 16. ve 18. yüzyılın başlarında Avrupa ordularında kullanılan bir piyade türüdür. Pickelhelm (p... Vikipedi)

Pick teoremi ( kombinatoryal geometri )- В=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Pick teoremi kombinatoryal geometrinin ve sayıların geometrisinin klasik bir sonucudur. Tamsayılı bir çokgenin alanı ... Vikipedi

Üçgen- Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Üçgen (anlamlar). Bir üçgen (Öklid uzayında), aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktayı birbirine bağlayan üç parçadan oluşan geometrik bir şekildir. Üç nokta,... ... Vikipedi

Yamuk- Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Trapez (anlamlar). Yamuk (diğer Yunanca τραπέζιον “masa”dan; ... Vikipedi)

Dörtgen- QUADAGONS ┌─────────────┼────────────┐ dışbükey olmayan dışbükey kendi kendine kesişen ... Wikipedia

Diyagonal- Bir kürenin yüzeyindeki düzenli bir köşegen Geometride bir köşegen ... Vikipedi

Pentagon- Düzgün beşgen (beşgen) Beşgen, beş açısı olan bir çokgendir. Bu şekle sahip herhangi bir nesneye beşgen de denir. Dahili miktar ... Wikipedia

Altıgen- Düzenli altıgen Altıgen, altı köşesi olan bir çokgendir. Bu şekle sahip herhangi bir nesneye altıgen de denir. Dışbükey altıgenin iç açılarının toplamı ... Vikipedi

Onikigen- Doğru onikigen Onikigen (Yunanca... Vikipedi)

Dikdörtgen- Dikdörtgen, tüm açıları dik olan (90 dereceye eşit) bir paralelkenardır. Not. Öklid geometrisinde bir dörtgenin dikdörtgen olabilmesi için en az üç açısının dik olması yeterlidir. Dördüncü açı (nedeniyle ... Wikipedia

Kitabın

• Matematik kulübü "Kanguru". Sayı No. 8. Kareli kağıt üzerinde matematik, . Sayı, bir kareli kağıtla ilgili çeşitli görevlere ve oyunlara adanmıştır. Özellikle köşeleri ...

Seçim formülü

Sazhina Valeria Andreevna, Irkutsk bölgesindeki Ust-Ilimsk'teki MAOU "Ortaokul No. 11" 9. sınıf öğrencisi

Danışman: Gubar Oksana Mihaylovna, yüksek matematik öğretmeni yeterlilik kategorisi MAOU "Ortaokul No. 11" Ust-Ilimsk, Irkutsk bölgesi

2016

giriiş

"Çokgenlerin Alanları" geometri konusunu incelerken şunu bulmaya karar verdim: sınıfta okuduklarımızdan farklı alanlar bulmanın bir yolu var mı?

Bu yöntem Pick formülüdür. L.V. Gorina, “Öğrencilerin kendi kendine eğitimine yönelik materyaller” de bu formülü şu şekilde tanımladı: “Zirve formülüne aşina olmak, Birleşik Devlet Sınavını ve Devlet Sınavını geçmenin arifesinde özellikle önemlidir. Bu formülü kullanarak, sınavlarda sunulan çok sayıda problemi kolayca çözebilirsiniz - bunlar kareli kağıt üzerinde gösterilen bir çokgenin alanını bulma problemleridir. Pick'in küçük formülü, bu tür sorunları çözmek için gereken tüm formüllerin yerini alacak. Zirve formülü "birimiz hepimiz için..." işe yarayacak!"

Birleşik Devlet Sınavı materyallerinde arsaların alanını bulma konusunda pratik içerikli sorunlarla karşılaştım. Bu formülün okul bölgesinin alanını, şehrin mikro bölgelerini, bölgesini bulmak için geçerli olup olmadığını kontrol etmeye karar verdim. Sorunları çözmek için bunu kullanmak mantıklı mı?

Çalışmanın amacı: Pick formülü.

Araştırma konusu: Pick formülünün problem çözmede rasyonel uygulaması.

Çalışmanın amacı: Kareli kağıt üzerinde gösterilen şekillerin alanını bulma problemlerini çözerken Pick formülünü kullanmanın rasyonelliğini kanıtlamak.

Araştırma yöntemleri: modelleme, karşılaştırma, genelleme, analojiler, edebi ve İnternet kaynaklarının incelenmesi, bilgilerin analizi ve sınıflandırılması.

Gerekli literatürü seçin, alınan bilgileri analiz edin ve sistemleştirin;

Kareli kağıt üzerindeki problemleri çözmek için çeşitli yöntem ve teknikleri düşünün;

Pick formülünü kullanmanın rasyonelliğini deneysel olarak kontrol edin;

Bu formülün uygulamasını düşünün.

Hipotez: Bir çokgenin alanını bulmak için Pick formülünü uygularsanız, bölgenin alanını bulabilirsiniz ve kareli kağıt üzerindeki problemleri çözmek daha rasyonel olacaktır.

Ana bölüm

Teorik kısım

Çoğunlukla çizmeyi ve çizmeyi tercih ettiğimiz kareli kağıt (daha doğrusu düğümleri), düzlemdeki nokta kafesin en önemli örneklerinden biridir. Zaten bu basit kafes, K. Gauss'un bir dairenin alanını içinde bulunan tamsayı koordinatları olan noktaların sayısıyla karşılaştırması için bir başlangıç ​​​​noktası görevi gördü. Düzlemdeki şekillerle ilgili bazı basit geometrik ifadelerin aritmetik araştırmalarda derin sonuçlar doğurduğu gerçeği, 1896'da G. Minkowski tarafından sayı teorik problemlerini ele almak için geometrik yöntemleri ilk kez kullandığında açıkça fark edildi.

Kareli kağıda bir çokgen çizelim (Ek 1, Şekil 1). Şimdi alanını hesaplamaya çalışalım. Nasıl yapılır? Muhtemelen en kolay yol, alanları hesaplaması ve sonuçları toplaması kolay olan dik üçgenlere ve yamuğa bölmektir.

Kullanılan yöntem basit ama çok hantaldır ve ayrıca her çokgen için uygun değildir. Yani bir sonraki çokgen önceki durumda yaptığımız gibi dik üçgenlere bölünemez (Ek 2, Şekil 2). Örneğin, ihtiyacımız olan “iyi” olana, yani alanını anlatılan şekilde hesaplayabildiğimize eklemeye çalışabilir, ardından eklenen parçaların alanlarını ortaya çıkan sayıdan çıkarabiliriz.

Bununla birlikte, kare bir ızgaranın düğüm noktalarında köşeleri olan bu tür çokgenlerin alanlarını hesaplamanıza olanak tanıyan çok basit bir formül olduğu ortaya çıktı.

Bu formül 1899 yılında Avusturyalı matematikçi Peak Georg Alexandrov (1859 - 1943) tarafından keşfedilmiştir. Bu formüle ek olarak Georg Pick, Pick, Pick-Julia, Pick-Nevalina teoremlerini keşfetti ve Schwartz-Pick eşitsizliğini kanıtladı.

Bu formül Pick'in yayınlamasından sonra bir süre fark edilmedi, ancak 1949'da Polonyalı matematikçi Hugo Steinhaus teoremi ünlü "Matematiksel Kaleydoskop"una dahil etti. O zamandan beri Pick teoremi yaygın olarak biliniyor. Almanya'da Pick'in formülü okul ders kitaplarında yer almaktadır.

Kombinatoryal geometrinin ve sayıların geometrisinin klasik bir sonucudur.

Seçim Kanıtı formülü

ABCD'nin düğüm noktalarında ve kenarlarında köşeleri ızgara çizgileri boyunca uzanan bir dikdörtgen olmasına izin verin (Ek 3, Şekil 3).

Dikdörtgenin içindeki düğümlerin sayısını B ile, kenarındaki düğümlerin sayısını da G ile gösterelim. Izgarayı yarım hücre sağa ve yarım hücre sağa kaydıralım

aşağı. Daha sonra dikdörtgenin bölgesi düğümler arasında şu şekilde "dağıtılabilir": B düğümlerinin her biri kaydırılan ızgaranın bir hücresini "kontrol eder" ve G düğümlerinin her biri 4 kenar köşe olmayan düğümü (bir hücrenin yarısı) kontrol eder. ve köşe noktalarının her biri hücrenin dörtte birini kontrol eder. Bu nedenle S dikdörtgeninin alanı eşittir

S = B + + 4 · = B + - 1 .

Böylece, düğüm noktalarında ve ızgara çizgileri boyunca kenarlarda köşeleri olan dikdörtgenler için S = B + - 1 formülünü oluşturduk. . Bu Tepe formülüdür.

Bu formülün yalnızca dikdörtgenler için değil, aynı zamanda ızgara düğümlerinde köşeleri olan rastgele çokgenler için de geçerli olduğu ortaya çıktı.

Pratik kısım

Geometrik yöntemi kullanarak ve Pick formülünü kullanarak şekillerin alanını bulma

Dikkate alınan tüm örnekler için Pick'in formülünün doğru olduğundan emin olmaya karar verdim.

Eğer bir çokgen ızgara düğümlerinde köşeleri olan üçgenlere kesilebiliyorsa, Pick formülünün bunun için doğru olduğu ortaya çıktı.

1 cm1 cm karelerden oluşan kareli kağıt üzerinde bazı problemlere baktım ve Karşılaştırmalı analiz problem çözme üzerine (Tablo No. 1).

Tablo No. 1 Sorunları çeşitli şekillerde çözme.

Çizim

Geometri formülüne göre

Pick'in formülüne göre

Görev No.1

S=S vesaire -(2S 1 +2S 2 )

S vesaire =4*5=20 santimetre 2

S 1 =(2*1)/2=1 santimetre 2

S 2 =(2*4)/2=4 santimetre 2

S=20-(2*1+2*4)=10 santimetre 2

Cevap :10 santimetre ².

B = 8, D = 6

S= 8 + 6/2 – 1 = 10 (cm²)

Cevap: 10 cm².

Görev No.2

a=2, h=4

S=a*h=2*4=8 santimetre 2

Cevap : 8 santimetre ².

B = 6, D = 6

S= 6 + 6/2 – 1 = 8 (cm²)

Cevap: 8 cm².

Görev No.3

S=S KV -(S 1 +2S 2 )

S KV =4 2 =16 santimetre 2

S 1 =(3*3)/2=4,5 cm 2

S 2 =(1*4)/2=2cm2

S=16-(4,5+2*2)=7,5 cm2

B = 6, D = 5

S= 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (cm²)

Cevap: 7,5 cm².

Görev No.4

S=S vesaire -(S 1 +S 2+ S 3 )

S vesaire =4 * 3=12 santimetre 2

S 1 =(3*1)/2=1,5 santimetre 2

S 2 =(1*2)/2=1 santimetre 2

S 3 =(1+3)*1/2=2 santimetre 2

S=12-(1,5+1+2)=7,5 santimetre 2

B = 5, D = 7

S= 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (cm²)

Cevap: 7,5 cm².

Görev No. 5.

S=S vesaire -(S 1 +S 2+ S 3 )

S vesaire =6 * 5=30 santimetre 2

S 1 =(2*5)/2=5 santimetre 2

S 2 =(1*6)/2=3 santimetre 2

S 3 =(4*4)/2=8 santimetre 2

S=30-(5+3+8)=14 santimetre 2

Cevap: 14 cm²

B = 12, D = 6

S= 12 + 6/2 – 1 = 14 (cm²)

Cevap: 14 cm²

Görev №6.

S tr =(4+9)/2*3=19,5 cm2

Cevap: 19,5 cm2

H = 12, D = 17

S= 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (cm²)

Cevap: 19,5 cm2

Görev №7. 1 cm - 200 m ölçeğinde 1 × 1 (cm) kare ızgaralı planda gösterilen orman alanını (m² cinsinden) bulun

S= S 1 +S 2+ S 3

S 1 =(800*200)/2=80000 M 2

S 2 =(200*600)/2=60000 M 2

S 3 =(800+600)/2*400=

280000 M 2

S= 80000+60000+240000=

420000m2

Cevap: 420.000 m²

B = 8, D = 7. S= 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S= 40.000 10,5 = 420.000 (m²)

Cevap: 420.000 m²

Sorun No. 8 . Ölçekli 1 × 1 (cm) kare ızgaralı bir planda gösterilen alanın alanını (m² cinsinden) bulun

1 cm – 200 m.

S= S kv-2( S TR + S merdiven)

S metrekare =800 * 800 = 640000 m2

S tr =(200*600)/2=60000m 2

S merdiven =(200+800)/2*200=

100000m2

S=640000-2(60000+10000)=

320000 m2

Cevap: 320.000 m²

Çözüm. Bulalım SPick formülü kullanılarak kareli kağıda çizilen dörtgenin alanı:S= B + - 1

B = 7, D = 4. S= 7 + 4/2 – 1 = 8 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S= 40.000 8 = 320.000 (m²)

Cevap: 320.000 m²

Sorun No. 9 . Alanı bulS kare hücrelerin kenarlarının 1'e eşit olduğunu dikkate alarak sektör. Cevabınızda belirtin .

Bir sektör bir dairenin dörtte biridir ve bu nedenle alanı dairenin alanının dörtte biridir. Bir dairenin alanı π'dirR 2 , Nerede R – dairenin yarıçapı. Bizim durumumuzdaR =√5 ve dolayısıyla alanS sektör 5π/4'tür. NeredeS/π=1,25.

Cevap. 1.25.

Г= 5, В= 2, S= V + G/2 – 1= 2 + 5/2 – 1= 3,5, ≈ 1,11

Cevap. 1.11.

Görev No. 10. Alanı bul S kare hücrelerin kenarlarının 1'e eşit olduğunu düşünerek halkalar. Cevabınızda belirtin .

Halkanın alanı dış ve iç dairelerin alanları arasındaki farka eşittir. YarıçapR dış çember eşittir

2, yarıçap R iç daire 2'dir. Dolayısıyla halkanın alanı 4'türve bu nedenle. Cevap:4.

G= 8, B= 8, S= V + G/2 – 1= 8 + 8/2 – 1=11, ≈ 3,5

Cevap: 3.5

Sonuçlar: Göz önünde bulundurulan görevler, Birleşik Devlet Sınavının matematikteki test ve ölçüm materyallerinin varyantlarındaki göreve benzer (görevler No. 5, 6).

Sorunların ele alınan çözümlerinden bazılarının, örneğin 2.6 numaralı problemlerin, çizimden yükseklik ve taban belirlenebildiği için geometrik formüller kullanılarak çözülmesinin daha kolay olduğunu gördüm. Ancak çoğu görev, şekli daha basit parçalara ayırmayı (görev No. 7) veya onu bir dikdörtgene (görev No. 1,4,5), kareye (görev No. 3,8) oluşturmayı gerektirir.

9 ve 10 numaralı problemleri çözerken, Pick formülünü çokgen olmayan şekillere uygulamanın yaklaşık bir sonuç verdiğini gördüm.

Zirve formülünü kullanmanın rasyonelliğini kontrol etmek için harcanan süreye ilişkin bir çalışma yaptım (Ek 4, tablo No. 2).

Sonuç: tablo ve diyagramdan (Ek 4, diyagram 1), Tepe formülünü kullanarak problemleri çözerken çok daha az zaman harcandığı açıktır.

Uzaysal şekillerin yüzey alanını bulma

Bu formülün mekansal formlara uygulanabilirliğini kontrol edelim (Ek 5, Şekil 4).

Kare hücrelerin kenarlarının 1'e eşit olduğunu dikkate alarak dikdörtgen paralel borunun toplam yüzey alanını bulun.

Bu formüldeki bir kusurdur.

Bir bölgenin alanını bulmak için Peak formülünün uygulanması

Pratik içerikli problemleri çözerken (sorun No. 7,8; ​​tablo No. 1), okulumuzun topraklarının alanını, Ust-Ilimsk şehrinin mikro bölgelerini bulmak için bu yöntemi kullanmaya karar verdim. , Irkutsk bölgesi.

“Ust-Ilimsk MAOUSOSH No. 11 arsa sınırlarının taslağı” (Ek 6) hakkında bilgi sahibi olduktan sonra, okulumuzun toprak alanını buldum ve bunu alanla karşılaştırdım. arsanın proje sınırları (Ek 9, tablo 3).

Ust-Ilimsk'in sağ kıyı kısmının haritasını inceledikten sonra (Ek 7), mikro bölgelerin alanlarını hesapladım ve bunları “Irkutsk Bölgesi Ust-Ilimsk Genel Planı” verileriyle karşılaştırdım. Sonuçlar tabloda sunuldu (Ek 9, Tablo 4).

Irkutsk bölgesinin haritasını (Ek 7) inceledikten sonra bölgenin alanını buldum ve Wikipedia'daki verilerle karşılaştırdım. Sonuçlar tabloda sunuldu (Ek 9, Tablo 5).

Sonuçları analiz ettikten sonra şu sonuca vardım: Zirve formülü kullanılarak bu alanlar çok daha kolay bulunabilir ancak sonuçlar yaklaşıktır.

Yapılan araştırmadan okul bölgesinin alanını bulurken en doğru değeri elde ettim (Ek 10, Diyagram 2). Irkutsk bölgesinin alanını bulurken sonuçlarda daha büyük bir tutarsızlık elde edildi (Ek 10, Diyagram 3). Bu bununla alakalı. Tüm alan sınırlarının çokgenlerin kenarları olmadığı ve köşelerin düğüm noktaları olmadığı.

Çözüm

Çalışmamın sonucunda kareli kağıt üzerinde problem çözme konusundaki bilgimi genişlettim ve incelenen problemlerin sınıflandırmasını kendim belirledim.

Çalışma sırasında kareli kağıt üzerinde gösterilen çokgenlerin alanını iki şekilde bulmak için problemler çözüldü: geometrik ve Pick formülü kullanılarak.

Çözümlerin analizi ve harcanan süreyi belirlemek için yapılan bir deney, formülün kullanılmasının bir çokgenin alanını bulma problemlerini daha rasyonel bir şekilde çözmeyi mümkün kıldığını gösterdi. Bu, matematikte Birleşik Devlet Sınavında zaman kazanmanıza olanak tanır.

Kareli kağıt üzerinde gösterilen çeşitli şekillerin alanını bulmak, dairesel bir sektörün ve halkanın alanını hesaplamak için Pick formülünü kullanmanın yaklaşık bir sonuç verdiğinden ve Pick formülünün uygun olmadığı sonucuna varmamızı sağladı. Uzaydaki problemleri çözmek için kullanılır.

Çalışma aynı zamanda Zirve formülünü kullanarak çeşitli bölgelerin alanlarını da buldu. Şu sonuca varabiliriz: Çeşitli bölgelerin alanını bulmak için formülü kullanmak mümkündür, ancak sonuçlar yaklaşıktır.

Öne sürdüğüm hipotez doğrulandı.

İlgimi çeken konunun oldukça çok yönlü olduğu, kareli kağıt üzerindeki sorunların çok çeşitli olduğu, bunları çözme yöntem ve tekniklerinin de çeşitli olduğu sonucuna vardım. Bu nedenle çalışmalarıma bu yönde devam etmeye karar verdim.

Edebiyat

Volkov S.D.. Arazi sınırları projesi, 2008, s. 16.

Gorina L.V., Matematik. Öğretmen için her şey, M:Nauka, 2013. Sayı 3, s. 28.

Prokopyeva V.P., Petrov A.G., Ust-Ilimsk şehrinin genel planı, Irkutsk bölgesi, Rusya'nın Gosstroy'u, 2004. s. 65.

Riess E. A., Zharkovskaya N. M., Damalı kağıdın geometrisi. Peak'in formülü. - Moskova, 2009, Sayı 17, s. 24-25.

Smirnova I.M.,. Smirnov V. A. Kareli kağıt üzerinde geometri. – Moskova, Chistye Prudy, 2009, s. 120.

Smirnova I.M., Smirnov V.A., Pratik içerikli geometrik problemler. – Moskova, Chistye Prudy, 2010, s. 150

Matematikte açık görev bankasının sorunları FIPI, 2015.

Ust-Ilimsk şehrinin haritası.

Irkutsk bölgesinin haritası.

Vikipedi.