Hoạt động tìm đạo hàm được gọi là vi phân.
Là kết quả của việc giải bài toán tìm đạo hàm của các hàm đơn giản nhất (và không đơn giản lắm) bằng cách định nghĩa đạo hàm là giới hạn của tỷ số giữa gia số và gia số của đối số, một bảng đạo hàm và quy tắc vi phân được xác định chính xác đã xuất hiện . Những người đầu tiên làm việc trong lĩnh vực tìm đạo hàm là Isaac Newton (1643-1727) và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Vì vậy, ở thời đại chúng ta, để tìm đạo hàm của bất kỳ hàm số nào, bạn không cần tính giới hạn nêu trên của tỉ số giữa gia số của hàm và gia số của đối số mà chỉ cần sử dụng bảng đạo hàm và quy luật vi phân. Thuật toán sau đây phù hợp để tìm đạo hàm.
Để tìm đạo hàm, bạn cần một biểu thức dưới dấu nguyên tố chia nhỏ các chức năng đơn giản thành các thành phần và xác định những hành động (sản phẩm, tổng, thương) các chức năng này có liên quan. Tiếp theo, chúng ta tìm đạo hàm của các hàm cơ bản trong bảng đạo hàm và công thức đạo hàm của tích, tổng và thương - theo quy tắc vi phân. Bảng đạo hàm và quy tắc vi phân được đưa ra sau hai ví dụ đầu tiên.
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của một hàm số
Giải pháp. Từ quy tắc đạo hàm, chúng ta phát hiện ra rằng đạo hàm của một tổng các hàm là tổng các đạo hàm của các hàm, tức là
Từ bảng đạo hàm ta thấy đạo hàm của "x" bằng 1 và đạo hàm của sin bằng cosin. Ta thay các giá trị này vào tổng các đạo hàm và tìm đạo hàm theo yêu cầu của bài toán:
Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của một hàm số
Giải pháp. Chúng ta vi phân dưới dạng đạo hàm của một tổng trong đó số hạng thứ hai có thừa số không đổi; nó có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm:
Nếu vẫn còn thắc mắc về nguồn gốc của một thứ gì đó, chúng thường được làm sáng tỏ sau khi bạn làm quen với bảng đạo hàm và các quy tắc phân biệt đơn giản nhất. Chúng tôi đang chuyển sang chúng ngay bây giờ.
Bảng đạo hàm của hàm số đơn giản
| 1. Đạo hàm của một hằng số (số). Bất kỳ số nào (1, 2, 5, 200...) có trong biểu thức hàm. Luôn bằng 0. Điều này rất quan trọng cần nhớ vì nó được yêu cầu rất thường xuyên. | |
| 2. Đạo hàm của biến độc lập. Thường xuyên nhất là "X". Luôn bằng một. Điều này cũng quan trọng cần nhớ lâu | |
| 3. Đạo hàm của bằng cấp. Khi giải bài toán, bạn cần chuyển căn bậc hai thành lũy thừa. | |
| 4. Đạo hàm của một biến lũy thừa -1 | |
| 5. Đạo hàm căn bậc hai | |
| 6. Đạo hàm của sin | |
| 7. Đạo hàm của cosin |  |
| 8. Đạo hàm của tiếp tuyến |  |
| 9. Đạo hàm của cotang |  |
| 10. Dẫn xuất của arcsine |  |
| 11. Đạo hàm của cung cosin |  |
| 12. Đạo hàm của arctang |  |
| 13. Đạo hàm của cotang cung |  |
| 14. Đạo hàm logarit tự nhiên | |
| 15. Đạo hàm của hàm logarit |  |
| 16. Đạo hàm của số mũ | |
| 17. Đạo hàm của hàm số mũ |
Quy luật phân biệt
| 1. Đạo hàm của tổng hoặc chênh lệch |  |
| 2. Công cụ phái sinh của sản phẩm |  |
| 2a. Đạo hàm của một biểu thức nhân với một hệ số không đổi | |
| 3. Đạo hàm của thương |  |
| 4. Đạo hàm của hàm phức |  |
Quy tắc 1.Nếu các chức năng
khả vi tại một điểm nào đó thì các hàm số khả vi tại cùng một điểm
Và
những thứ kia. đạo hàm của một tổng đại số của các hàm bằng tổng đại số của các đạo hàm của các hàm này.
Kết quả. Nếu hai hàm khả vi khác nhau một số hạng không đổi thì đạo hàm của chúng bằng nhau, I E.
Quy tắc 2.Nếu các chức năng
khả vi tại một điểm nào đó thì sản phẩm của họ khả vi tại cùng một điểm
Và
những thứ kia. Đạo hàm của tích hai hàm số bằng tổng tích của từng hàm này và đạo hàm của hàm kia.
Hệ quả 1. Hệ số không đổi có thể được loại bỏ khỏi dấu của đạo hàm:
Hệ quả 2. Đạo hàm của tích của một số hàm khả vi bằng tổng các tích của đạo hàm của từng thừa số và của tất cả các thừa số khác.
Ví dụ: đối với ba số nhân:
Quy tắc 3.Nếu các chức năng
có thể phân biệt được tại một số điểm Và , thì lúc này thương của chúng cũng khả viu/v , và
những thứ kia. đạo hàm của thương của hai hàm số bằng một phân số, tử số của nó là hiệu giữa tích của mẫu số với đạo hàm của tử số và tử số và đạo hàm của mẫu số, mẫu số là bình phương của tử số cũ.
Nơi tìm kiếm nội dung trên các trang khác
Khi tìm đạo hàm của tích và thương trong bài toán thực tế, luôn phải áp dụng cùng lúc nhiều quy tắc đạo hàm để có thêm ví dụ về đạo hàm này trong bài viết."Đạo hàm của tích và thương của hàm số".
Bình luận. Bạn không nên nhầm lẫn một hằng số (tức là một số) với một số hạng trong một tổng và như một thừa số không đổi! Trong trường hợp một số hạng, đạo hàm của nó bằng 0, và trong trường hợp thừa số không đổi, nó được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm. Đây là một lỗi điển hình xảy ra ở giai đoạn đầu học đạo hàm, nhưng khi một học sinh bình thường giải được một số ví dụ một và hai phần thì anh ta không còn mắc phải lỗi này nữa.
Và nếu khi phân biệt một sản phẩm hoặc thương số, bạn có một thuật ngữ bạn"v, trong đó bạn- một số, ví dụ 2 hoặc 5, nghĩa là một hằng số, khi đó đạo hàm của số này sẽ bằng 0 và do đó, toàn bộ số hạng sẽ bằng 0 (trường hợp này được thảo luận trong ví dụ 10).
Một lỗi phổ biến khác là giải một cách máy móc đạo hàm của một hàm phức bằng đạo hàm của một hàm đơn. Đó là lý do tại sao đạo hàm của hàm phức một bài viết riêng được dành. Nhưng trước tiên chúng ta sẽ học cách tìm đạo hàm của các hàm đơn giản.
Trong quá trình thực hiện, bạn không thể làm gì nếu không chuyển đổi biểu thức. Để thực hiện việc này, bạn có thể cần mở hướng dẫn sử dụng trong cửa sổ mới. Hành động có quyền hạn và nguồn gốc Và Các thao tác với phân số .
Nếu bạn đang tìm lời giải cho đạo hàm của các phân số có lũy thừa và căn, tức là khi hàm có dạng như sau: 
, sau đó học tiếp bài “Đạo hàm tổng các phân số có lũy thừa và căn”.
Nếu bạn có một nhiệm vụ như 
, sau đó các em sẽ học bài “Đạo hàm của hàm số lượng giác đơn giản”.
Ví dụ từng bước - cách tìm đạo hàm
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của một hàm số
Giải pháp. Chúng ta xác định các phần của biểu thức hàm: toàn bộ biểu thức đại diện cho một tích và các thừa số của nó là tổng, trong phần thứ hai trong đó một trong các số hạng chứa một thừa số không đổi. Ta áp dụng quy tắc phân biệt tích: đạo hàm của tích hai hàm số bằng tổng các tích của từng hàm này với đạo hàm của hàm kia:
Tiếp theo, chúng ta áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng: đạo hàm của tổng đại số của các hàm bằng tổng đại số của đạo hàm của các hàm này. Trong trường hợp của chúng ta, trong mỗi tổng số hạng thứ hai có dấu trừ. Trong mỗi tổng, chúng ta thấy cả một biến độc lập, đạo hàm của nó bằng 1 và một hằng số (số), đạo hàm của nó bằng 0. Vì vậy, “X” biến thành một và âm 5 biến thành 0. Trong biểu thức thứ hai, "x" được nhân với 2, vì vậy chúng ta nhân hai với cùng một đơn vị là đạo hàm của "x". Chúng tôi thu được các giá trị đạo hàm sau:
Chúng ta thay các đạo hàm tìm được vào tổng các tích và thu được đạo hàm của toàn bộ hàm theo yêu cầu của bài toán:
Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của một hàm số
Giải pháp. Chúng ta được yêu cầu tìm đạo hàm của thương. Ta áp dụng công thức vi phân thương: đạo hàm của thương của hai hàm số bằng một phân số, tử số của nó là hiệu giữa tích của mẫu số với đạo hàm của tử số và tử số và đạo hàm của mẫu số, và mẫu số là bình phương của tử số trước. Chúng tôi nhận được:
Chúng ta đã tìm được đạo hàm của các thừa số trong tử số trong ví dụ 2. Chúng ta cũng đừng quên rằng tích, là thừa số thứ hai trong tử số trong ví dụ hiện tại, được lấy bằng dấu trừ:
Nếu bạn đang tìm giải pháp cho các vấn đề mà bạn cần tìm đạo hàm của một hàm, trong đó có một tập hợp các nghiệm và lũy thừa liên tục, chẳng hạn như, 
, sau đó chào mừng đến lớp "Đạo hàm của tổng các phân số có lũy thừa và căn" .
Nếu bạn cần tìm hiểu thêm về đạo hàm của sin, cosin, tiếp tuyến và các hàm lượng giác khác, tức là khi hàm đó trông như thế nào , vậy thì một bài học cho bạn "Đạo hàm của hàm lượng giác đơn giản" .
Ví dụ 5. Tìm đạo hàm của một hàm số
Giải pháp. Trong hàm này, chúng ta thấy một tích, một trong các thừa số của nó là căn bậc hai của biến độc lập, đạo hàm mà chúng ta đã làm quen trong bảng đạo hàm. Sử dụng quy tắc đạo hàm tích và giá trị bảng của đạo hàm căn bậc hai, ta thu được:
Ví dụ 6. Tìm đạo hàm của một hàm số
Giải pháp. Trong hàm này, chúng ta thấy một thương có cổ tức là căn bậc hai của biến độc lập. Sử dụng quy tắc vi phân thương mà chúng tôi đã lặp lại và áp dụng trong ví dụ 4 và giá trị được lập bảng của đạo hàm của căn bậc hai, chúng tôi thu được:
Để loại bỏ một phân số ở tử số, hãy nhân tử số và mẫu số với .
VỚI biên tập tài liệu về chủ đề “phái sinh”. Cấp học cơ bản.
Thông tin lý thuyết cho học sinh, giáo viên và gia sư môn toán. Để giúp tiến hành các lớp học.
Sự định nghĩa:đạo hàm của hàm số tại một điểm là giới hạn của tỉ số giữa độ tăng của hàm và độ tăng của biến, nghĩa là
Bảng đạo hàm của các hàm toán học cơ bản:
Quy tắc tính đạo hàm
Đạo hàm của một tổng hai biểu thức bất kỳ bằng tổng các đạo hàm của các biểu thức này (đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm)
Đạo hàm của sự khác biệt hai biểu thức bất kỳ bằng hiệu của đạo hàm của các số hạng này (đạo hàm của hiệu bằng hiệu của các đạo hàm).
Dẫn xuất của sản phẩm hai thừa số bằng tích của đạo hàm của thừa số thứ nhất và thừa số thứ hai cộng với tích của thừa số thứ nhất và đạo hàm của thừa số thứ hai (tổng các đạo hàm của các thừa số được lấy lần lượt).
Nhận xét của gia sư toán: Khi nhắc ngắn gọn cho học sinh về quy tắc tính đạo hàm của một tích, tôi nói thế này: đạo hàm của thừa số thứ nhất với thừa số thứ hai đổi nét!
Đạo hàm của thương hai biểu thức bằng thương của hiệu giữa đạo hàm của các thừa số được lấy lần lượt và bình phương của mẫu số.
Đạo hàm của tích của một số và một hàm. Để tìm đạo hàm của tích của một số và một biểu thức trực tiếp (hàm số), bạn cần nhân số này với đạo hàm của biểu thức trực tiếp này.
Đạo hàm của hàm phức:
Để tính đạo hàm của một hàm phức, bạn cần tìm đạo hàm của hàm ngoài và nhân nó với đạo hàm của hàm bên trong.
Ý kiến và phản hồi của bạn trên trang phái sinh:
Alexander S.
Tôi thực sự cần một cái bàn. Một trong những thứ nhiều nhất trên Internet. Cảm ơn bạn rất nhiều vì những lời giải thích và quy tắc. Ít nhất một ví dụ nữa sẽ tuyệt vời cho họ. Cảm ơn bạn rất nhiều một lần nữa.
Kolpkov A.N., gia sư toán:được rồi, tôi sẽ cố gắng cập nhật trang với các ví dụ trong thời gian tới.
Sách tham khảo toán học ảo.
Kolpkov Alexander Nikolaevich, gia sư toán.
Nếu bạn làm theo định nghĩa thì đạo hàm của hàm số tại một điểm là giới hạn của tỉ số gia tăng của hàm Δ yđến mức tăng đối số Δ x:
Mọi thứ dường như đã rõ ràng. Nhưng hãy thử sử dụng công thức này để tính đạo hàm của hàm số f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x tội x. Nếu bạn làm mọi thứ theo định nghĩa, thì sau một vài trang tính toán, bạn sẽ chìm vào giấc ngủ. Vì vậy, có những cách đơn giản và hiệu quả hơn.
Để bắt đầu, chúng tôi lưu ý rằng từ toàn bộ các chức năng, chúng tôi có thể phân biệt cái gọi là chức năng cơ bản. Đây là những biểu thức tương đối đơn giản, đạo hàm của chúng đã được tính toán và lập bảng từ lâu. Các hàm như vậy khá dễ nhớ - cùng với các dẫn xuất của chúng.
Đạo hàm của hàm cơ bản
Các chức năng cơ bản là tất cả những chức năng được liệt kê dưới đây. Đạo hàm của những hàm số này phải thuộc lòng. Hơn nữa, việc ghi nhớ chúng không hề khó khăn - đó là lý do tại sao chúng rất sơ cấp.
Vì vậy, đạo hàm của các hàm cơ bản:
| Tên | Chức năng | Phát sinh |
| Không thay đổi | f(x) = C, C ∈ R | 0 (vâng, không!) |
| Sức mạnh với số mũ hợp lý | f(x) = x N | N · x N − 1 |
| xoang | f(x) = tội lỗi x | vì x |
| Cô sin | f(x) = cos x | −tội lỗi x(trừ sin) |
| Đường tiếp tuyến | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| cotang | f(x) = ctg x | − 1/sin 2 x |
| logarit tự nhiên | f(x) = nhật ký x | 1/x |
| Logarit tùy ý | f(x) = nhật ký Một x | 1/(x ln Một) |
| hàm số mũ | f(x) = e x | e x(không có gì thay đổi) |
Nếu nhân một hàm cơ bản với một hằng số tùy ý thì đạo hàm của hàm mới cũng dễ dàng tính được:
(C · f)’ = C · f ’.
Nói chung, các hằng số có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm. Ví dụ:
(2x 3)’ = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Rõ ràng, các hàm cơ bản có thể được cộng, nhân, chia - và nhiều hơn thế nữa. Đây là cách các chức năng mới sẽ xuất hiện, không còn mang tính cơ bản nữa mà còn được phân biệt theo những quy tắc nhất định. Những quy tắc này sẽ được thảo luận dưới đây.
Đạo hàm của tổng và hiệu
Hãy để các chức năng được đưa ra f(x) Và g(x), các dẫn xuất của chúng đã được chúng ta biết đến. Ví dụ: bạn có thể lấy các hàm cơ bản được thảo luận ở trên. Sau đó, bạn có thể tìm đạo hàm của tổng và hiệu của các hàm này:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Vì vậy, đạo hàm của tổng (chênh lệch) của hai hàm số bằng tổng (chênh lệch) của các đạo hàm. Có thể có nhiều điều khoản hơn. Ví dụ, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Nói đúng ra, không có khái niệm “trừ” trong đại số. Có khái niệm “yếu tố tiêu cực”. Do đó sự khác biệt f − g có thể được viết lại dưới dạng tổng f+ (−1) g, và khi đó chỉ còn lại một công thức - đạo hàm của tổng.
f(x) = x 2 + tội x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Chức năng f(x) là tổng của hai hàm cơ bản, do đó:
f ’(x) = (x 2 + tội lỗi x)’ = (x 2)' + (tội lỗi x)’ = 2x+ cos x;
Chúng ta suy luận tương tự cho hàm g(x). Chỉ có ba số hạng (theo quan điểm của đại số):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Trả lời:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Dẫn xuất của sản phẩm
Toán học là một môn khoa học logic nên nhiều người cho rằng nếu đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm thì đạo hàm của tích đánh đập">bằng tích của đạo hàm. Nhưng kệ bạn! Đạo hàm của một tích được tính bằng một công thức hoàn toàn khác. Cụ thể là:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Công thức rất đơn giản nhưng thường bị quên. Và không chỉ học sinh, mà cả học sinh. Kết quả là giải quyết vấn đề không chính xác.
Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .
Chức năng f(x) là tích của hai hàm cơ bản, nên mọi thứ đều đơn giản:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ vì x + x 3 (vì x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (- tội lỗi x) = x 2 (3cos x − x tội x)
Chức năng g(x) số nhân đầu tiên phức tạp hơn một chút, nhưng sơ đồ chung không thay đổi. Rõ ràng, thừa số đầu tiên của hàm g(x) là một đa thức và đạo hàm của nó là đạo hàm của tổng. Chúng ta có:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Trả lời:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x tội x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Xin lưu ý rằng ở bước cuối cùng đạo hàm được phân tích thành thừa số. Về mặt hình thức, điều này không cần phải được thực hiện, nhưng hầu hết các đạo hàm không được tính toán riêng mà để kiểm tra hàm. Điều này có nghĩa là đạo hàm tiếp theo sẽ bằng 0, dấu của nó sẽ được xác định, v.v. Đối với trường hợp như vậy, tốt hơn là nên phân tích biểu thức thành nhân tử.
Nếu có hai hàm f(x) Và g(x), Và g(x) ≠ 0 trên tập ta quan tâm, ta có thể định nghĩa một hàm mới h(x) = f(x)/g(x). Đối với hàm như vậy, bạn cũng có thể tìm đạo hàm:
Không yếu nhỉ? Điểm trừ đến từ đâu? Tại sao g 2? Và như thế này! Đây là một trong những công thức phức tạp nhất - bạn không thể tìm ra nó nếu không có chai. Vì vậy, tốt hơn là nghiên cứu nó với các ví dụ cụ thể.
Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số:
Tử số và mẫu số của mỗi phân số đều chứa các hàm cơ bản, vì vậy tất cả những gì chúng ta cần là công thức tính đạo hàm của thương:
Theo truyền thống, hãy phân tích tử số thành nhân tử - điều này sẽ đơn giản hóa rất nhiều câu trả lời:
Một hàm số phức không nhất thiết phải là một công thức dài nửa km. Ví dụ, chỉ cần lấy hàm f(x) = tội lỗi x và thay thế biến x, nói, trên x 2 + ln x. Nó sẽ làm việc bên ngoài f(x) = tội lỗi ( x 2 + ln x) - đây là một hàm phức tạp. Nó cũng có đạo hàm, nhưng sẽ không thể tìm được nó bằng cách sử dụng các quy tắc đã thảo luận ở trên.
Tôi nên làm gì? Trong những trường hợp như vậy, việc thay thế một biến và công thức cho đạo hàm của hàm phức sẽ giúp:
f ’(x) = f ’(t) · t', Nếu như xđược thay thế bởi t(x).
Theo quy luật, tình huống hiểu công thức này thậm chí còn đáng buồn hơn so với việc hiểu đạo hàm của thương. Vì vậy, tốt hơn hết bạn nên giải thích bằng các ví dụ cụ thể, kèm theo mô tả chi tiết từng bước.
Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = tội lỗi ( x 2 + ln x)
Lưu ý rằng nếu trong hàm f(x) thay cho biểu thức 2 x+ 3 sẽ dễ dàng x, khi đó chúng ta nhận được một hàm cơ bản f(x) = e x. Vì vậy, chúng tôi thực hiện thay thế: hãy để 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Chúng ta tìm đạo hàm của hàm phức bằng công thức:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
Và bây giờ - chú ý! Chúng tôi thực hiện thay thế ngược lại: t = 2x+ 3. Ta có:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào chức năng g(x). Rõ ràng là cần phải thay thế x 2 + ln x = t. Chúng ta có:
g ’(x) = g ’(t) · t’ = (tội lỗi t)’ · t’ = vì t · t ’
Thay thế ngược lại: t = x 2 + ln x. Sau đó:
g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).
Đó là tất cả! Như có thể thấy từ biểu thức cuối cùng, toàn bộ vấn đề đã được quy giản thành việc tính tổng đạo hàm.
Trả lời:
f ’(x) = 2 · e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).
Rất thường xuyên trong các bài học của tôi, thay vì thuật ngữ “phái sinh”, tôi sử dụng từ “số nguyên tố”. Ví dụ: nét của tổng bằng tổng của các nét. Điều đó có rõ ràng hơn không? Ồ tốt đấy.
Do đó, việc tính đạo hàm nhằm loại bỏ các nét tương tự theo các quy tắc đã thảo luận ở trên. Ví dụ cuối cùng, chúng ta hãy quay trở lại lũy thừa đạo hàm với số mũ hữu tỉ:
(x N)’ = N · x N − 1
Ít người biết rằng trong vai diễn N cũng có thể là một số phân số. Ví dụ, gốc là x 0,5. Điều gì sẽ xảy ra nếu có thứ gì đó lạ mắt dưới gốc? Một lần nữa, kết quả sẽ là một hàm phức tạp - họ thích đưa ra những công trình như vậy trong các bài kiểm tra và bài kiểm tra.
Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số:
Đầu tiên, hãy viết lại căn thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Bây giờ chúng ta thực hiện thay thế: hãy x 2 + 8x − 7 = t. Chúng ta tìm đạo hàm bằng công thức:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.
Hãy thực hiện thay thế ngược lại: t = x 2 + 8x− 7. Ta có:
f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Cuối cùng, quay trở lại cội nguồn:
Trong bài này chúng ta tiếp tục nghiên cứu đạo hàm của hàm số và chuyển sang một chủ đề nâng cao hơn đó là đạo hàm của tích và thương. Nếu bạn đã xem bài học trước, có thể bạn đã nhận ra rằng chúng ta chỉ xét những cách xây dựng đơn giản nhất, cụ thể là đạo hàm của hàm lũy thừa, tổng và hiệu. Cụ thể, chúng ta đã biết rằng đạo hàm của một tổng bằng tổng của chúng và đạo hàm của hiệu tương ứng bằng hiệu của chúng. Thật không may, trong trường hợp đạo hàm thương và tích, các công thức sẽ phức tạp hơn nhiều. Chúng ta sẽ bắt đầu với công thức tính đạo hàm của tích các hàm số.
Đạo hàm của hàm lượng giác
Để bắt đầu, hãy để tôi thực hiện một đoạn lạc đề trữ tình nhỏ. Thực tế là ngoài hàm lũy thừa tiêu chuẩn - $y=((x)^(n))$, trong bài học này chúng ta cũng sẽ gặp các hàm khác, cụ thể là $y=\sin x$, cũng như $ y=\ cos x$ và các phép lượng giác khác - $y=tgx$ và, tất nhiên, $y=ctgx$.
Nếu tất cả chúng ta đều biết rất rõ đạo hàm của hàm lũy thừa, cụ thể là $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, thì đối với các hàm lượng giác cần được đề cập riêng. Hãy viết nó ra:
\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
Nhưng bạn biết rất rõ những công thức này, hãy tiếp tục nhé.
Sản phẩm phái sinh của một sản phẩm là gì?
Đầu tiên, điều quan trọng nhất: nếu một hàm là tích của hai hàm khác, ví dụ: $f\cdot g$, thì đạo hàm của cách xây dựng này sẽ bằng biểu thức sau:
Như bạn có thể thấy, công thức này khác biệt đáng kể và phức tạp hơn các công thức chúng ta đã xem xét trước đó. Ví dụ: đạo hàm của một tổng được tính theo cách cơ bản - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, hoặc đạo hàm của một sự khác biệt, cũng được tính toán theo cách cơ bản - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.
Chúng ta hãy thử áp dụng công thức đầu tiên để tính đạo hàm của hai hàm số đã cho trong bài toán. Hãy bắt đầu với ví dụ đầu tiên:
Rõ ràng, cách xây dựng sau đây đóng vai trò như một tích, hay chính xác hơn là như một số nhân: $((x)^(3))$, chúng ta có thể coi nó là $f$, và $\left(x-5 \right) $ chúng ta có thể coi là $g$. Khi đó tích của họ sẽ chính xác là tích của hai hàm số. Chúng tôi quyết định:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ phải))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(căn chỉnh)\].
Bây giờ chúng ta hãy xem xét kỹ hơn từng điều khoản của chúng tôi. Chúng ta thấy rằng cả số hạng thứ nhất và thứ hai đều chứa bậc $x$: trong trường hợp đầu tiên là $((x)^(2))$, và trong trường hợp thứ hai là $((x)^(3)) $. Hãy lấy mức độ nhỏ nhất ra khỏi ngoặc, để lại trong ngoặc:
\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(căn chỉnh)\]
Vậy là chúng ta đã tìm được câu trả lời.
Hãy quay lại vấn đề của chúng ta và cố gắng giải quyết:
Vì vậy, hãy viết lại:
Một lần nữa, chúng ta lưu ý rằng chúng ta đang nói về tích của tích của hai hàm: $x$, có thể được ký hiệu là $f$, và $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, có thể được ký hiệu là $g$.
Vì vậy, chúng ta lại có trước mặt tích của hai hàm số. Để tìm đạo hàm của hàm $f\left(x \right)$, chúng ta sẽ lại sử dụng công thức của mình. Chúng tôi nhận được:
\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]
Câu trả lời đã được tìm thấy.
Tại sao phải dẫn xuất nhân tố?
Chúng ta vừa sử dụng một số sự kiện toán học rất quan trọng, bản thân chúng không liên quan đến đạo hàm, nhưng nếu không có kiến thức về chúng thì mọi nghiên cứu sâu hơn về chủ đề này đơn giản là vô nghĩa.
Đầu tiên, giải quyết vấn đề đầu tiên và đã loại bỏ tất cả các dấu của đạo hàm, vì lý do nào đó, chúng tôi bắt đầu phân tích biểu thức này thành nhân tử.
Thứ hai, khi giải bài toán sau, chúng ta đã ôn nhiều lần từ căn thức đến lũy thừa với số mũ hữu tỉ và ngược lại, đồng thời sử dụng công thức lớp 8-9, cần nhắc lại riêng.
Về hệ số hóa - tại sao lại cần tất cả những nỗ lực và chuyển đổi bổ sung này? Trên thực tế, nếu bài toán chỉ đơn giản là “tìm đạo hàm của một hàm số” thì các bước bổ sung này là không cần thiết. Tuy nhiên, trong những bài toán thực tế đang chờ đợi bạn trong tất cả các loại bài kiểm tra và bài kiểm tra, việc chỉ tìm đạo hàm thường là không đủ. Thực tế là đạo hàm chỉ là một công cụ mà bạn có thể tìm ra, chẳng hạn như sự tăng hoặc giảm của một hàm, và để làm được điều này, bạn cần phải giải phương trình và phân tích nó. Và đây là lúc kỹ thuật này sẽ rất thích hợp. Và nói chung, sẽ thuận tiện và dễ chịu hơn nhiều khi làm việc với một hàm được nhân tử hóa trong tương lai nếu có bất kỳ phép biến đổi nào được yêu cầu. Do đó, quy tắc số 1: nếu đạo hàm có thể được phân tích thành nhân tử, đó là điều bạn nên làm. Và ngay quy tắc số 2 (thực chất đây là tài liệu lớp 8-9): nếu bài toán có gốc N- bậc thứ và căn bậc hai rõ ràng là lớn hơn hai, thì căn này có thể được thay thế bằng bậc thông thường bằng số mũ hữu tỷ và một phân số sẽ xuất hiện trong số mũ, trong đó N― chính mức độ đó ― sẽ nằm trong mẫu số của phân số này.
Tất nhiên, nếu có một mức độ nào đó dưới gốc (trong trường hợp của chúng tôi thì đây là mức độ k), thì nó sẽ không đi đâu cả mà chỉ dừng lại ở tử số ở mức độ này.
Bây giờ bạn đã hiểu tất cả những điều này, hãy quay lại đạo hàm của tích và tính thêm một vài phương trình.
Nhưng trước khi chuyển thẳng sang phần tính toán, tôi muốn nhắc bạn về các mẫu sau:
\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Hãy xem xét ví dụ đầu tiên:
Chúng ta lại có tích của hai hàm: hàm thứ nhất là $f$, hàm thứ hai là $g$. Hãy để tôi nhắc bạn công thức:
\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]
Hãy quyết định:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(căn chỉnh)\]
Hãy chuyển sang chức năng thứ hai:
Một lần nữa, $\left(3x-2 \right)$ là một hàm của $f$, $\cos x$ là một hàm của $g$. Tổng cộng, đạo hàm của tích hai hàm số sẽ bằng:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]
Hãy viết nó ra một cách riêng biệt:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]
Chúng tôi không phân tích biểu thức này thành nhân tử vì đây chưa phải là câu trả lời cuối cùng. Bây giờ chúng ta phải giải phần thứ hai. Hãy viết nó ra:
\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]
Bây giờ hãy quay lại nhiệm vụ ban đầu của chúng ta và đặt mọi thứ lại với nhau thành một cấu trúc duy nhất:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]
Vậy đó, đây là câu trả lời cuối cùng.
Hãy chuyển sang ví dụ cuối cùng - nó sẽ phức tạp nhất và đồ sộ nhất về mặt tính toán. Vì vậy, một ví dụ:
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]
Chúng tôi tính từng phần riêng biệt:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Quay trở lại hàm ban đầu, hãy tính toàn bộ đạo hàm của nó:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Trên thực tế, đó là tất cả những gì tôi muốn nói với bạn về các tác phẩm phái sinh. Như bạn có thể thấy, vấn đề chính của công thức không nằm ở việc ghi nhớ nó mà thực tế là nó liên quan đến một lượng phép tính khá lớn. Nhưng không sao, vì bây giờ chúng ta đang chuyển sang đạo hàm thương, nơi chúng ta sẽ phải làm việc rất chăm chỉ.
Đạo hàm của một thương số là gì?
Vì vậy, công thức tính đạo hàm của thương. Đây có lẽ là công thức phức tạp nhất trong khóa học về đạo hàm ở trường. Giả sử chúng ta có một hàm có dạng $\frac(f)(g)$, trong đó $f$ và $g$ cũng là các hàm mà từ đó chúng ta cũng có thể loại bỏ số nguyên tố. Khi đó sẽ được tính theo công thức sau:
Tử số phần nào gợi cho chúng ta nhớ đến công thức tính đạo hàm của một tích, tuy nhiên dấu trừ giữa các số hạng và bình phương của mẫu số ban đầu cũng đã được thêm vào mẫu số. Hãy xem cách này hoạt động trong thực tế:
Hãy thử giải quyết:
\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]
Tôi đề nghị viết ra từng phần riêng biệt và viết ra:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ phải))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(căn chỉnh)\]
Hãy viết lại biểu thức của chúng tôi:
\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right ))^(2))) \\\end(căn chỉnh)\]
Chúng tôi đã tìm thấy câu trả lời. Hãy chuyển sang chức năng thứ hai:
Đánh giá thực tế là tử số của nó chỉ đơn giản là một, nên việc tính toán ở đây sẽ đơn giản hơn một chút. Vì vậy, hãy viết:
\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]
Hãy tính riêng từng phần của ví dụ:
\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]
Hãy viết lại biểu thức của chúng tôi:
\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \right))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]
Chúng tôi đã tìm thấy câu trả lời. Đúng như dự đoán, lượng tính toán hóa ra ít hơn đáng kể so với hàm đầu tiên.
Sự khác biệt giữa các chỉ định là gì?
Những học sinh chú ý có lẽ đã có câu hỏi: tại sao trong một số trường hợp chúng ta biểu thị hàm này là $f\left(x \right)$, và trong những trường hợp khác chúng ta chỉ đơn giản viết $y$? Trên thực tế, theo quan điểm của toán học, hoàn toàn không có sự khác biệt - bạn có quyền sử dụng cả chỉ định thứ nhất và chỉ định thứ hai, và sẽ không có hình phạt nào trong các kỳ thi hoặc bài kiểm tra. Đối với những người vẫn quan tâm, tôi sẽ giải thích lý do tại sao các tác giả sách giáo khoa và các bài toán trong một số trường hợp lại viết $f\left(x \right)$, và trong những trường hợp khác (thường xuyên hơn nhiều) - chỉ đơn giản là $y$. Thực tế là bằng cách viết một hàm ở dạng \, chúng ta đã ngầm gợi ý cho những người đọc các phép tính của chúng ta rằng chúng ta đang nói cụ thể về cách giải thích đại số của sự phụ thuộc hàm. Tức là có một biến $x$ nào đó, ta xét sự phụ thuộc vào biến này và ký hiệu là $f\left(x \right)$. Đồng thời, khi nhìn thấy ký hiệu như vậy, người đọc các phép tính của bạn, chẳng hạn như thanh tra, sẽ vô thức mong đợi rằng trong tương lai chỉ có các phép biến đổi đại số đang chờ đợi anh ta - không có đồ thị và không có hình học.
Mặt khác, bằng cách sử dụng các ký hiệu có dạng \, tức là biểu thị một biến bằng một chữ cái duy nhất, chúng tôi ngay lập tức làm rõ rằng trong tương lai chúng tôi quan tâm đến việc giải thích hình học của hàm, tức là, trước hết chúng tôi quan tâm đến tất cả, trong biểu đồ của nó. Theo đó, khi đối mặt với một bản ghi có dạng\, người đọc có quyền mong đợi các phép tính đồ họa, tức là đồ thị, cấu trúc, v.v., nhưng không có trường hợp nào là các phép biến đổi phân tích.
Tôi cũng muốn bạn chú ý đến một đặc điểm trong việc thiết kế các nhiệm vụ mà chúng ta đang xem xét ngày hôm nay. Nhiều học sinh cho rằng tôi đưa ra những phép tính quá chi tiết và nhiều em có thể bỏ qua hoặc chỉ giải trong đầu một cách đơn giản. Tuy nhiên, chính một bản ghi chi tiết như vậy sẽ cho phép bạn loại bỏ những sai lầm khó chịu và tăng đáng kể tỷ lệ giải quyết đúng các vấn đề, chẳng hạn như trong trường hợp tự chuẩn bị cho các bài kiểm tra hoặc bài kiểm tra. Vì vậy, nếu bạn vẫn chưa chắc chắn về khả năng của mình, nếu bạn mới bắt đầu học chủ đề này, đừng vội - hãy mô tả chi tiết từng bước, viết ra từng yếu tố, từng nét, và chẳng bao lâu nữa bạn sẽ học cách giải những ví dụ đó tốt hơn hơn nhiều giáo viên trong trường. Tôi hy vọng nó sẽ rõ ràng. Hãy đếm thêm một vài ví dụ.
Một số nhiệm vụ thú vị
Lần này, như chúng ta thấy, lượng giác có mặt trong các đạo hàm đang được tính. Vì vậy, hãy để tôi nhắc bạn những điều sau:
\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(căn chỉnh )\]
Tất nhiên, chúng ta không thể làm gì nếu không có đạo hàm của thương, cụ thể là:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Hãy xem xét chức năng đầu tiên:
\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(căn chỉnh)\]
Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy một giải pháp cho biểu thức này.
Hãy chuyển sang ví dụ thứ hai:
Rõ ràng, đạo hàm của nó sẽ phức tạp hơn, nếu chỉ vì lượng giác có mặt ở cả tử số và mẫu số của hàm số này. Chúng tôi quyết định:
\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]
Lưu ý rằng chúng tôi có một dẫn xuất của sản phẩm. Trong trường hợp này nó sẽ bằng:
\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ phải))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]
Hãy quay trở lại tính toán của chúng tôi. Chúng tôi viết ra:
\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(căn chỉnh)\]
Đó là tất cả! Chúng tôi đã làm toán.
Làm thế nào để quy đổi đạo hàm của một thương thành một công thức đơn giản để tính đạo hàm của một tích?
Và ở đây tôi muốn đưa ra một nhận xét rất quan trọng liên quan đến các hàm lượng giác. Thực tế là cấu trúc ban đầu của chúng ta chứa một biểu thức có dạng $\frac(\sin x)(\cos x)$, có thể dễ dàng được thay thế bằng $tgx$. Vì vậy, chúng ta quy đổi đạo hàm của thương thành một công thức đơn giản hơn để tính đạo hàm của tích. Hãy tính lại ví dụ này và so sánh kết quả.
Vì vậy bây giờ chúng ta cần xem xét những điều sau:
\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
Hãy viết lại hàm ban đầu của chúng ta $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ có tính đến thực tế này. Chúng tôi nhận được:
Hãy đếm:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]
Bây giờ, nếu chúng ta so sánh kết quả thu được với kết quả chúng ta nhận được trước đó khi tính toán theo một cách khác, thì chúng ta sẽ tin chắc rằng chúng ta đã nhận được biểu thức tương tự. Như vậy, dù chúng ta tính đạo hàm theo cách nào, nếu mọi thứ được tính đúng thì đáp án sẽ giống nhau.
Những sắc thái quan trọng khi giải quyết vấn đề
Để kết luận, tôi muốn mách bạn một điều tinh tế hơn liên quan đến việc tính đạo hàm của thương. Những gì tôi sắp nói với bạn bây giờ không có trong kịch bản gốc của bài học video. Tuy nhiên, vài giờ trước khi quay phim, tôi đang học với một trong những học sinh của mình và chúng tôi chỉ đang thảo luận về chủ đề đạo hàm thương. Và hóa ra nhiều học sinh không hiểu được điểm này. Vì vậy, giả sử chúng ta cần tính toán hành trình loại bỏ của hàm sau:
Về nguyên tắc, thoạt nhìn không có gì siêu nhiên về nó. Tuy nhiên, trong quá trình tính toán chúng ta có thể mắc nhiều sai lầm ngu ngốc và phản cảm mà bây giờ tôi muốn bàn đến.
Vì vậy, chúng tôi tính toán đạo hàm này. Trước hết, chúng ta lưu ý rằng chúng ta có số hạng $3((x)^(2))$, vì vậy việc nhớ lại công thức sau là thích hợp:
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Ngoài ra, chúng ta còn có thuật ngữ $\frac(48)(x)$ - chúng ta sẽ giải quyết nó thông qua đạo hàm của thương, cụ thể là:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Vì vậy, hãy quyết định:
\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]
Không có vấn đề gì với thuật ngữ đầu tiên, xem:
\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\nguyên tố ))=3k.2x=6x\]
Nhưng với số hạng đầu tiên, $\frac(48)(x)$, bạn cần phải làm việc riêng. Thực tế là nhiều học sinh nhầm lẫn giữa tình huống khi họ cần tìm $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ và khi họ cần tìm $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Nghĩa là, họ bị nhầm lẫn khi hằng số nằm ở mẫu số và khi hằng số nằm ở tử số tương ứng, khi biến nằm ở tử số hoặc mẫu số.
Hãy bắt đầu với tùy chọn đầu tiên:
\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]
Mặt khác, nếu cố gắng làm tương tự với phân số thứ hai, chúng ta sẽ nhận được kết quả sau:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(căn chỉnh)\]
Tuy nhiên, ví dụ tương tự có thể được tính theo cách khác: ở giai đoạn mà chúng ta chuyển sang đạo hàm của thương, chúng ta có thể coi $\frac(1)(x)$ là lũy thừa với số mũ âm, tức là, chúng ta nhận được kết quả sau :
\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]
Và thế là chúng tôi nhận được cùng một câu trả lời.
Vì vậy, một lần nữa chúng ta bị thuyết phục bởi hai sự thật quan trọng. Thứ nhất, cùng một đạo hàm có thể được tính theo những cách hoàn toàn khác nhau. Ví dụ: $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ có thể được coi vừa là đạo hàm của thương số vừa là đạo hàm của hàm lũy thừa. Hơn nữa, nếu tất cả các phép tính được thực hiện chính xác thì câu trả lời sẽ luôn giống nhau. Thứ hai, khi tính đạo hàm chứa cả biến và hằng, điều quan trọng cơ bản là vị trí của biến - ở tử số hoặc mẫu số. Trong trường hợp đầu tiên, khi biến ở tử số, chúng ta nhận được một hàm tuyến tính đơn giản có thể dễ dàng tính toán. Và nếu biến nằm ở mẫu số, thì chúng ta sẽ có được một biểu thức phức tạp hơn với các phép tính đi kèm được đưa ra trước đó.
Đến đây, bài học có thể được coi là hoàn chỉnh, vì vậy nếu bạn chưa hiểu gì về đạo hàm của thương hoặc tích và nói chung, nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào về chủ đề này, đừng ngần ngại - hãy truy cập trang web của tôi , viết thư, gọi điện và tôi chắc chắn sẽ cố gắng giúp bạn.
Bản thân đạo hàm không phải là một chủ đề phức tạp nhưng chúng rất sâu rộng và những gì chúng ta đang nghiên cứu sẽ được sử dụng trong tương lai khi giải các bài toán phức tạp hơn. Đó là lý do tại sao tốt hơn hết bạn nên xác định ngay mọi hiểu lầm liên quan đến việc tính đạo hàm của thương hoặc tích ngay lập tức. Không phải khi họ là một quả cầu tuyết khổng lồ gây hiểu lầm, mà khi họ là một quả bóng tennis nhỏ rất dễ giải quyết.
Việc giải các bài toán vật lý hoặc các ví dụ trong toán học là hoàn toàn không thể nếu không có kiến thức về đạo hàm và phương pháp tính đạo hàm. Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong phân tích toán học. Chúng tôi quyết định dành bài viết hôm nay cho chủ đề cơ bản này. Đạo hàm là gì, ý nghĩa vật lý và hình học của nó là gì, cách tính đạo hàm của một hàm số? Tất cả những câu hỏi này có thể được kết hợp thành một: làm thế nào để hiểu đạo hàm?
Ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm
Hãy để có một chức năng f(x) , được chỉ định trong một khoảng nhất định (a, b) . Điểm x và x0 thuộc khoảng này. Khi x thay đổi thì bản thân hàm số cũng thay đổi. Thay đổi đối số - sự khác biệt về giá trị của nó x-x0 . Sự khác biệt này được viết là đồng bằng x và được gọi là tăng đối số. Sự thay đổi hoặc tăng của hàm là sự khác biệt giữa các giá trị của hàm tại hai điểm. Định nghĩa đạo hàm:
Đạo hàm của hàm tại một điểm là giới hạn của tỷ lệ giữa mức tăng của hàm tại một điểm nhất định với mức tăng của đối số khi đối số có xu hướng về 0.
Nếu không nó có thể được viết như thế này:
Điểm của việc tìm kiếm một giới hạn như vậy là gì? Và đây là nó:
đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng tiếp tuyến của góc giữa trục OX và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm cho trước.
Ý nghĩa vật lý của đạo hàm: đạo hàm của đường đi theo thời gian bằng tốc độ của chuyển động thẳng.
Quả thực, từ ngày đi học ai cũng biết tốc độ là một con đường riêng x=f(t) và thời gian t . Tốc độ trung bình trong một khoảng thời gian nhất định:
Để tìm tốc độ chuyển động tại một thời điểm t0 bạn cần tính giới hạn:
Quy tắc một: đặt hằng số
Hằng số có thể được lấy ra khỏi dấu đạo hàm. Hơn nữa, điều này phải được thực hiện. Khi giải các ví dụ trong toán học, hãy coi nó như một quy luật - Nếu bạn có thể đơn giản hóa một biểu thức, hãy đảm bảo đơn giản hóa nó .
Ví dụ. Hãy tính đạo hàm:
Quy tắc hai: đạo hàm của tổng các hàm
Đạo hàm của tổng hai hàm số bằng tổng đạo hàm của các hàm số này. Điều tương tự cũng đúng đối với đạo hàm của hiệu của hàm số.
Chúng tôi sẽ không đưa ra chứng minh cho định lý này mà chỉ xem xét một ví dụ thực tế.
Tìm đạo hàm của hàm số:
Quy tắc ba: đạo hàm của tích các hàm
Đạo hàm của tích hai hàm khả vi được tính theo công thức:
Ví dụ: tìm đạo hàm của hàm số:
Giải pháp: 
Điều quan trọng là phải nói về việc tính đạo hàm của các hàm phức ở đây. Đạo hàm của một hàm phức bằng tích của đạo hàm của hàm này đối với đối số trung gian và đạo hàm của đối số trung gian đối với biến độc lập.
Trong ví dụ trên chúng ta gặp biểu thức:
Trong trường hợp này, đối số trung gian là 8x mũ năm. Để tính đạo hàm của một biểu thức như vậy, trước tiên chúng ta tính đạo hàm của hàm ngoài theo đối số trung gian, sau đó nhân với đạo hàm của chính đối số trung gian đối với biến độc lập.
Quy tắc 4: đạo hàm thương của hai hàm số
Công thức xác định đạo hàm thương của hai hàm số:
Chúng tôi đã cố gắng nói về các công cụ phái sinh cho người giả từ đầu. Chủ đề này không đơn giản như vẻ ngoài của nó, vì vậy hãy lưu ý: các ví dụ thường có cạm bẫy, vì vậy hãy cẩn thận khi tính đạo hàm.
Nếu có bất kỳ câu hỏi nào về chủ đề này và các chủ đề khác, bạn có thể liên hệ với dịch vụ sinh viên. Trong thời gian ngắn, chúng tôi sẽ giúp bạn giải bài kiểm tra khó nhất và hiểu các nhiệm vụ, ngay cả khi bạn chưa từng thực hiện phép tính đạo hàm trước đây.
