Khi học đại số ở trường THCS (lớp 9) một trong chủ đề quan trọng là nghiên cứu về dãy số, bao gồm các cấp số - hình học và số học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một cấp số cộng và các ví dụ có nghiệm.
Một cấp số cộng là gì?
Để hiểu điều này, cần phải xác định tiến trình đang được đề cập, cũng như cung cấp các công thức cơ bản sẽ được sử dụng sau này để giải các bài toán.
Một cấp số số học hoặc đại số là một tập hợp các số hữu tỷ có thứ tự, mỗi số hạng của số đó khác với số trước một một giá trị không đổi nào đó. Giá trị này được gọi là sự khác biệt. Nghĩa là, biết bất kỳ thành viên nào của dãy số có thứ tự và sự khác biệt, bạn có thể khôi phục toàn bộ cấp số cộng.
Hãy đưa ra một ví dụ. Dãy số sau đây sẽ là một cấp số cộng: 4, 8, 12, 16, ..., vì hiệu trong trường hợp này là 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Nhưng tập hợp các số 3, 5, 8, 12, 17 không còn có thể được quy cho loại cấp số đang được xem xét nữa, vì hiệu của nó không phải là một giá trị không đổi (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Công thức quan trọng
Bây giờ chúng ta hãy trình bày các công thức cơ bản cần thiết để giải các bài toán bằng cách sử dụng cấp số cộng. Chúng ta hãy biểu thị bằng ký hiệu a n thành viên thứ n của dãy, trong đó n là số nguyên. Chúng tôi biểu thị sự khác biệt bằng chữ cái Latin d. Khi đó các biểu thức sau là hợp lệ:
- Để xác định giá trị của số hạng thứ n, công thức sau đây phù hợp: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Để xác định tổng của n số hạng đầu tiên: S n = (a n +a 1)*n/2.
Để hiểu bất kỳ ví dụ nào về cấp số cộng có lời giải ở lớp 9, chỉ cần nhớ hai công thức này là đủ, vì bất kỳ bài toán nào thuộc loại đang xem xét đều dựa trên cách sử dụng chúng. Bạn cũng nên nhớ rằng chênh lệch lũy tiến được xác định theo công thức: d = a n - a n-1.
Ví dụ #1: tìm một thuật ngữ chưa biết
Hãy đưa ra một ví dụ đơn giản về cấp số cộng và các công thức cần sử dụng để giải nó.
Cho dãy 10, 8, 6, 4, ..., bạn cần tìm năm số hạng trong đó.
Từ điều kiện của bài toán, ta suy ra rằng 4 số hạng đầu tiên đã biết. Thứ năm có thể được định nghĩa theo hai cách:
- Đầu tiên chúng ta hãy tính sự khác biệt. Ta có: d = 8 - 10 = -2. Tương tự, người ta có thể lấy bất kỳ hai số hạng nào khác, đứng gần đó cùng nhau. Ví dụ: d = 4 - 6 = -2. Vì đã biết d = a n - a n-1 nên d = a 5 - a 4, từ đó ta có: a 5 = a 4 + d. Chúng tôi thay thế các giá trị đã biết: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Phương pháp thứ hai cũng yêu cầu kiến thức về sự khác biệt của cấp số đang được đề cập, vì vậy trước tiên bạn cần xác định nó như minh họa ở trên (d = -2). Biết rằng số hạng đầu tiên a 1 = 10, chúng ta sử dụng công thức tính số n của dãy. Chúng ta có: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Thay n = 5 vào biểu thức cuối cùng, chúng ta nhận được: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Như bạn có thể thấy, cả hai giải pháp đều dẫn đến cùng một kết quả. Lưu ý rằng trong ví dụ này, chênh lệch lũy tiến d là giá trị âm. Những chuỗi như vậy được gọi là giảm dần vì mỗi số hạng tiếp theo nhỏ hơn số hạng trước.
Ví dụ #2: sự khác biệt về tiến trình
Bây giờ hãy phức tạp hóa nhiệm vụ một chút, hãy đưa ra một ví dụ về cách
Được biết, trong một số số hạng, số hạng thứ 1 bằng 6 và số hạng thứ 7 bằng 18. Cần phải tìm ra sự khác biệt và khôi phục dãy này về số hạng thứ 7.
Hãy sử dụng công thức để xác định số hạng chưa biết: a n = (n - 1) * d + a 1 . Thay dữ liệu đã biết từ điều kiện vào đó, tức là các số a 1 và a 7, ta có: 18 = 6 + 6 * d. Từ biểu thức này, bạn có thể dễ dàng tính được hiệu: d = (18 - 6) /6 = 2. Như vậy, chúng ta đã trả lời được phần đầu của bài toán.
Để khôi phục dãy số về số hạng thứ 7, bạn nên sử dụng định nghĩa cấp số đại số, nghĩa là a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, v.v. Kết quả là chúng ta khôi phục toàn bộ chuỗi: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Ví dụ số 3: vẽ tiến trình
Hãy làm vấn đề trở nên phức tạp hơn nữa. Bây giờ chúng ta cần trả lời câu hỏi làm thế nào để tìm được một cấp số cộng. Có thể đưa ra ví dụ sau: cho hai số, ví dụ - 4 và 5. Cần tạo một cấp số đại số để đặt thêm ba số hạng giữa các số này.
Trước khi bắt đầu giải bài toán này, bạn cần hiểu vị trí của các số đã cho trong tiến trình tương lai. Vì sẽ có thêm ba số hạng nữa giữa chúng, nên 1 = -4 và 5 = 5. Sau khi thiết lập được điều này, chúng ta chuyển sang bài toán tương tự như bài toán trước. Một lần nữa, đối với số hạng thứ n, chúng ta sử dụng công thức, chúng ta nhận được: a 5 = a 1 + 4 * d. Từ: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Những gì chúng ta nhận được ở đây không phải là giá trị nguyên của hiệu, mà nó là một số hữu tỷ, vì vậy các công thức cấp số đại số vẫn giữ nguyên.
Bây giờ, hãy thêm hiệu tìm được vào 1 và khôi phục các số hạng còn thiếu của cấp số nhân. Chúng ta nhận được: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, trùng khớp với điều kiện của bài toán.
Ví dụ số 4: số hạng lũy tiến đầu tiên
Hãy tiếp tục đưa ra các ví dụ về cấp số cộng có nghiệm. Trong tất cả các bài toán trước, số đầu tiên của cấp số đại số đã được biết. Bây giờ chúng ta hãy xem xét một bài toán thuộc một dạng khác: cho hai số, trong đó 15 = 50 và 43 = 37. Cần phải tìm xem chuỗi này bắt đầu bằng số nào.
Các công thức được sử dụng cho đến nay giả định kiến thức về a 1 và d. Trong báo cáo vấn đề, không có gì được biết về những con số này. Tuy nhiên, chúng ta sẽ viết ra các biểu thức cho mỗi số hạng về những thông tin có sẵn: a 15 = a 1 + 14 * d và a 43 = a 1 + 42 * d. Ta nhận được hai phương trình trong đó có 2 đại lượng chưa biết (a 1 và d). Điều này có nghĩa là bài toán được rút gọn thành việc giải một hệ phương trình tuyến tính.
Cách dễ nhất để giải hệ này là biểu thị số 1 trong mỗi phương trình và sau đó so sánh các biểu thức thu được. Phương trình thứ nhất: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; phương trình thứ hai: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Đánh đồng các biểu thức này, chúng ta nhận được: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, từ đó chênh lệch d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (chỉ cho 3 chữ số thập phân).
Biết d, bạn có thể sử dụng bất kỳ biểu thức nào trong 2 biểu thức trên cho số 1. Ví dụ: thứ nhất: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Nếu bạn nghi ngờ về kết quả thu được, bạn có thể kiểm tra nó, chẳng hạn như xác định số hạng thứ 43 của cấp số, được chỉ định trong điều kiện. Chúng ta nhận được: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Lỗi nhỏ là do việc làm tròn đến phần nghìn đã được sử dụng trong tính toán.
Ví dụ số 5: số tiền
Bây giờ chúng ta hãy xem một số ví dụ có nghiệm về tổng của một cấp số cộng.
Cho một cấp số cộng có dạng sau: 1, 2, 3, 4, ...,. Làm thế nào để tính tổng 100 của những số này?
Nhờ sự phát triển công nghệ máy tính bạn có thể giải quyết vấn đề này, tức là cộng tất cả các số một cách tuần tự, việc này máy tính sẽ thực hiện ngay khi một người nhấn phím Enter. Tuy nhiên, vấn đề có thể được giải quyết về mặt tinh thần nếu bạn chú ý rằng chuỗi số được trình bày là một cấp số đại số và hiệu của nó bằng 1. Áp dụng công thức tính tổng, chúng ta nhận được: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Thật thú vị khi lưu ý rằng bài toán này được gọi là “Gaussian” vì vào đầu thế kỷ 18, một cậu bé nổi tiếng người Đức, mới 10 tuổi, đã có thể giải nó trong đầu trong vài giây. Cậu bé không biết công thức tính tổng của một cấp số đại số, nhưng cậu nhận thấy rằng nếu cộng các số ở cuối dãy theo cặp, bạn luôn nhận được kết quả như nhau, đó là 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., và vì các tổng này sẽ chính xác là 50 (100/2), nên để có câu trả lời đúng, chỉ cần nhân 50 với 101 là đủ.
Ví dụ 6: tổng các số hạng từ n đến m
Một ví dụ điển hình khác về tổng của một cấp số cộng như sau: cho một dãy số: 3, 7, 11, 15, ..., bạn cần tìm tổng các số hạng của nó từ 8 đến 14 sẽ bằng bao nhiêu? .
Vấn đề được giải quyết theo hai cách. Việc đầu tiên liên quan đến việc tìm các số hạng chưa biết từ 8 đến 14, sau đó tính tổng chúng một cách tuần tự. Vì có ít thuật ngữ nên phương pháp này không tốn nhiều công sức. Tuy nhiên, người ta đề xuất giải quyết vấn đề này bằng phương pháp thứ hai, phổ biến hơn.
Ý tưởng là thu được một công thức tính tổng cấp số đại số giữa các số hạng m và n, trong đó n > m là số nguyên. Đối với cả hai trường hợp, chúng ta viết hai biểu thức tính tổng:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (an + a 1) / 2.
Vì n > m nên hiển nhiên tổng thứ 2 bao gồm tổng thứ nhất. Kết luận cuối cùng có nghĩa là nếu chúng ta lấy hiệu giữa các tổng này và cộng số hạng a m vào nó (trong trường hợp lấy hiệu thì lấy tổng Sn trừ đi), chúng ta sẽ thu được đáp án cần thiết cho bài toán. Chúng ta có: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + an n * n/2 + a m * (1- m/2). Cần phải thay thế các công thức của n và a m vào biểu thức này. Khi đó ta được: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Công thức tính được có phần phức tạp, tuy nhiên tổng S mn chỉ phụ thuộc vào n, m, a 1 và d. Trong trường hợp của chúng ta, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Thay các số này vào, chúng ta được: S mn = 301.
Như có thể thấy từ các lời giải trên, tất cả các bài toán đều dựa trên kiến thức về biểu thức của số hạng thứ n và công thức tính tổng của tập hợp số hạng thứ nhất. Trước khi bắt đầu giải quyết bất kỳ vấn đề nào trong số này, bạn nên đọc kỹ điều kiện, hiểu rõ ràng những gì bạn cần tìm và chỉ sau đó mới tiến hành giải pháp.
Một mẹo khác là cố gắng đạt được sự đơn giản, tức là nếu bạn có thể trả lời một câu hỏi mà không cần sử dụng các phép tính toán học phức tạp, thì bạn chỉ cần làm như vậy, vì trong trường hợp này khả năng mắc lỗi sẽ ít hơn. Ví dụ, trong ví dụ về cấp số cộng với nghiệm số 6, người ta có thể dừng lại ở công thức S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, và chia bài toán tổng thể thành các nhiệm vụ con riêng biệt (trong trường hợp này, trước tiên hãy tìm các số hạng a n và a m).
Nếu bạn có nghi ngờ về kết quả thu được, bạn nên kiểm tra nó, như đã làm trong một số ví dụ đã cho. Chúng tôi đã tìm ra cách tìm một cấp số cộng. Nếu bạn tìm ra nó, nó không phải là khó khăn.
Một số người coi từ “tiến trình” một cách thận trọng, như một thuật ngữ rất phức tạp trong các nhánh của toán học cao cấp. Trong khi đó, cấp số cộng đơn giản nhất là công việc của đồng hồ tính tiền taxi (nơi chúng vẫn tồn tại). Và việc hiểu bản chất (và trong toán học không có gì quan trọng hơn việc “hiểu bản chất”) của một dãy số học không quá khó nếu đã phân tích một vài khái niệm cơ bản.
Dãy số toán học
Dãy số thường được gọi là dãy số, mỗi dãy số có một số riêng.
số 1 là thành viên đầu tiên của dãy;
và 2 là số hạng thứ hai của dãy;
và 7 là thành viên thứ bảy của dãy;
và n là thành viên thứ n của dãy;
Tuy nhiên, không phải bất kỳ bộ số và số tùy ý nào cũng khiến chúng ta quan tâm. Chúng ta sẽ tập trung chú ý vào một dãy số trong đó giá trị của số hạng thứ n liên hệ với số thứ tự của nó bằng một mối quan hệ có thể được hình thành rõ ràng bằng toán học. Nói cách khác: giá trị số của số thứ n là một hàm nào đó của n.
a là giá trị thành phần của dãy số;
n là số sê-ri của nó;
f(n) là một hàm, trong đó số thứ tự trong dãy số n là đối số.
Sự định nghĩa
Một cấp số cộng thường được gọi là một dãy số trong đó mỗi số hạng tiếp theo lớn hơn (nhỏ hơn) số hạng trước đó bằng cùng một số. Công thức tính số hạng thứ n của dãy số như sau:
a n - giá trị của thành viên hiện tại của cấp số cộng;
a n+1 - công thức của số tiếp theo;
d - chênh lệch (số nhất định).
Dễ dàng xác định rằng nếu hiệu là dương (d>0), thì mỗi phần tử tiếp theo của chuỗi đang được xem xét sẽ lớn hơn phần tử trước đó và cấp số cộng như vậy sẽ tăng lên.
Trong biểu đồ bên dưới, thật dễ dàng để hiểu tại sao dãy số được gọi là “tăng”.
Trong trường hợp chênh lệch âm (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Giá trị thành viên được chỉ định
Đôi khi cần phải xác định giá trị của bất kỳ số hạng tùy ý nào của một cấp số cộng. Điều này có thể được thực hiện bằng cách tính toán tuần tự các giá trị của tất cả các thành viên trong cấp số cộng, bắt đầu từ giá trị đầu tiên đến giá trị mong muốn. Tuy nhiên, đường dẫn này không phải lúc nào cũng được chấp nhận nếu, chẳng hạn, cần tìm giá trị của số hạng thứ năm nghìn hoặc tám triệu. Tính toán truyền thống sẽ mất rất nhiều thời gian. Tuy nhiên, một cấp số cộng cụ thể có thể được nghiên cứu bằng cách sử dụng các công thức nhất định. Ngoài ra còn có một công thức cho số hạng thứ n: giá trị của bất kỳ số hạng nào của cấp số cộng có thể được xác định bằng tổng của số hạng đầu tiên của cấp số với hiệu của cấp số nhân, nhân với số của số hạng mong muốn, giảm đi một.
Công thức phổ biến cho việc tăng và giảm tiến độ.
Một ví dụ về tính giá trị của một thuật ngữ nhất định
Chúng ta hãy giải bài toán sau đây về việc tìm giá trị của số hạng thứ n trong một cấp số cộng.
Điều kiện: có một cấp số cộng với các tham số:
Số hạng đầu tiên của dãy là 3;
Sự khác biệt trong chuỗi số là 1,2.
Nhiệm vụ: bạn cần tìm giá trị của 214 số hạng
Giải: Để xác định giá trị của một số hạng cho trước, ta sử dụng công thức:
a(n) = a1 + d(n-1)
Thay thế dữ liệu từ câu lệnh bài toán vào biểu thức, ta có:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Trả lời: Số hạng thứ 214 của dãy bằng 258,6.
Ưu điểm của phương pháp tính toán này là rõ ràng - toàn bộ giải pháp không quá 2 dòng.
Tổng của một số số hạng nhất định
Rất thường xuyên, trong một chuỗi số học nhất định, cần phải xác định tổng các giá trị của một số phân đoạn của nó. Để làm được điều này, cũng không cần phải tính giá trị của từng số hạng rồi cộng chúng lại. Phương pháp này có thể áp dụng nếu số lượng số hạng cần tìm tổng nhỏ. Trong các trường hợp khác, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng công thức sau.
Tổng các số hạng của một cấp số cộng từ 1 đến n bằng tổng của số hạng thứ nhất và số hạng thứ n nhân với số của số hạng n rồi chia cho hai. Nếu trong công thức, giá trị của số hạng thứ n được thay thế bằng biểu thức ở đoạn trước của bài viết, chúng ta sẽ nhận được:
Ví dụ tính toán
Ví dụ, hãy giải một bài toán với điều kiện sau:
Số hạng đầu tiên của dãy bằng 0;
Sự khác biệt là 0,5.
Bài toán yêu cầu xác định tổng các số hạng của dãy từ 56 đến 101.
Giải pháp. Hãy sử dụng công thức để xác định mức độ tiến triển:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Đầu tiên, chúng ta xác định tổng các giá trị của 101 số hạng cấp số bằng cách thay các điều kiện đã cho của bài toán vào công thức:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Rõ ràng, để tìm ra tổng các số hạng của cấp số từ số 56 đến số 101, cần phải trừ S 55 khỏi S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Vì vậy, tổng cấp số cộng của ví dụ này là:
giây 101 - giây 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5
Ví dụ về ứng dụng thực tế của cấp số cộng
Cuối bài viết chúng ta hãy quay lại ví dụ về dãy số học ở đoạn đầu - đồng hồ tính thuế (taxi car clock). Hãy xem xét ví dụ này.
Lên xe taxi (bao gồm quãng đường 3 km) có giá 50 rúp. Mỗi km tiếp theo được trả với mức 22 rúp/km. Quãng đường di chuyển là 30 km. Tính toán chi phí của chuyến đi.
1. Hãy loại bỏ 3 km đầu tiên, giá của nó đã bao gồm chi phí hạ cánh.
30 - 3 = 27 km.
2. Tính toán sâu hơn không gì khác hơn là phân tích một chuỗi số học.
Số thành viên - số km đã đi (trừ ba số đầu tiên).
Giá trị của thành viên là tổng.
Số hạng đầu tiên trong bài toán này sẽ bằng 1 = 50 rúp.
Chênh lệch tiến triển d = 22 r.
con số chúng ta quan tâm là giá trị của số hạng thứ (27+1) của cấp số cộng - chỉ số công tơ ở cuối km thứ 27 là 27,999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Việc tính toán dữ liệu lịch trong một khoảng thời gian dài tùy ý dựa trên các công thức mô tả các dãy số nhất định. Trong thiên văn học, độ dài của quỹ đạo phụ thuộc về mặt hình học vào khoảng cách từ thiên thể đến ngôi sao. Ngoài ra, nhiều dãy số khác nhau được sử dụng thành công trong thống kê và các lĩnh vực ứng dụng khác của toán học.
Một loại dãy số khác là dãy số hình học
Cấp số nhân được đặc trưng bởi tốc độ thay đổi lớn hơn so với cấp số cộng. Không phải ngẫu nhiên mà trong chính trị, xã hội học và y học, để chỉ ra tốc độ lây lan cao của một hiện tượng cụ thể, chẳng hạn như một căn bệnh trong một trận dịch, người ta nói rằng quá trình này phát triển theo cấp số nhân.
Số hạng thứ N của dãy số hình học khác với số trước ở chỗ nó được nhân với một số không đổi nào đó - mẫu số, ví dụ số hạng đầu tiên là 1, mẫu số tương ứng bằng 2, khi đó:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - giá trị số hạng hiện tại của cấp số nhân;
b n+1 - công thức số hạng tiếp theo của cấp số nhân;
q là mẫu số của cấp số nhân (một số không đổi).
Nếu đồ thị của một cấp số cộng là một đường thẳng thì cấp số nhân sẽ vẽ ra một bức tranh hơi khác:
Giống như trong trường hợp số học, cấp số nhân có công thức tính giá trị của một số hạng tùy ý. Bất kỳ số hạng thứ n nào của một cấp số nhân đều bằng tích của số hạng thứ nhất và mẫu số của cấp số mũ của n giảm đi một:
Ví dụ. Chúng ta có một cấp số nhân với số hạng đầu tiên bằng 3 và mẫu số của cấp số cộng là 1,5. Hãy tìm số hạng thứ 5 của cấp số
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Tổng của một số số hạng nhất định cũng được tính bằng một công thức đặc biệt. Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân bằng hiệu giữa tích của số hạng thứ n của cấp số cộng với mẫu số của nó và số hạng đầu tiên của cấp số cộng, chia cho mẫu số giảm đi một:
Nếu b n được thay thế bằng công thức đã thảo luận ở trên, giá trị của tổng n số hạng đầu tiên của dãy số đang xét sẽ có dạng:
Ví dụ. Cấp số nhân bắt đầu với số hạng đầu tiên bằng 1. Mẫu số được đặt thành 3. Hãy tìm tổng của tám số hạng đầu tiên.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Có, vâng: cấp số cộng không phải là đồ chơi dành cho bạn :) Chà, các bạn ơi, nếu bạn đang đọc văn bản này thì bằng chứng giới hạn nội bộ cho tôi biết rằng bạn chưa biết cấp số cộng là gì, nhưng bạn thực sự (không, như thế: SOOOOO!) muốn biết. Vì vậy, tôi sẽ không làm phiền bạn bằng những lời giới thiệu dài dòng mà sẽ đi thẳng vào vấn đề.
Đầu tiên, một vài ví dụ. Chúng ta hãy xem xét một số bộ số:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Tất cả những bộ này có điểm gì chung? Thoạt nhìn thì không có gì. Nhưng thực ra có một cái gì đó. Cụ thể là: mỗi phần tử tiếp theo khác phần tử trước đó bởi cùng một số.
Phán xét cho chính mình. Bộ đầu tiên chỉ đơn giản là các số liên tiếp, số tiếp theo nhiều hơn số trước một đơn vị. Trong trường hợp thứ hai, chênh lệch giữa các số liền kề đã là năm, nhưng chênh lệch này vẫn không đổi. Trong trường hợp thứ ba, hoàn toàn có rễ. Tuy nhiên, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ và $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tức là. và trong trường hợp này, mỗi phần tử tiếp theo chỉ tăng thêm $\sqrt(2)$ (và đừng sợ rằng con số này là vô tỷ).
Vì vậy: tất cả các dãy như vậy được gọi là cấp số cộng. Hãy đưa ra một định nghĩa chặt chẽ:
Sự định nghĩa. Một dãy số mà mỗi số tiếp theo khác số trước đó một khoảng bằng nhau được gọi là cấp số cộng. Lượng chênh lệch giữa các số được gọi là chênh lệch lũy tiến và thường được biểu thị bằng chữ cái $d$.
Ký hiệu: $\left(((a)_(n)) \right)$ là chính tiến trình đó, $d$ là sự khác biệt của nó.
Và chỉ một vài lưu ý quan trọng. Thứ nhất, sự tiến triển chỉ được xem xét ra lệnh dãy số: chúng được phép đọc theo đúng thứ tự được viết - và không có gì khác. Các số không thể được sắp xếp lại hoặc hoán đổi.
Thứ hai, bản thân dãy có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Ví dụ, tập hợp (1; 2; 3) rõ ràng là một cấp số cộng hữu hạn. Nhưng nếu bạn viết điều gì đó theo tinh thần (1; 2; 3; 4; ...) - thì đây đã là một sự tiến triển vô hạn. Dấu chấm lửng sau số 4 dường như gợi ý rằng còn khá nhiều con số nữa sắp xuất hiện. Vô số nhiều chẳng hạn. :)
Tôi cũng muốn lưu ý rằng sự tiến bộ có thể tăng hoặc giảm. Chúng tôi đã thấy những cái tăng dần - cùng một bộ (1; 2; 3; 4; ...). Dưới đây là ví dụ về sự tiến triển giảm dần:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Được rồi, được rồi: ví dụ cuối cùng có vẻ quá phức tạp. Nhưng phần còn lại, tôi nghĩ, bạn hiểu. Vì vậy, chúng tôi đưa ra các định nghĩa mới:
Sự định nghĩa. Một cấp số cộng được gọi là:
- tăng nếu mỗi phần tử tiếp theo lớn hơn phần tử trước;
- ngược lại, giảm nếu mỗi phần tử tiếp theo nhỏ hơn phần tử trước.
Ngoài ra, còn có cái gọi là chuỗi "đứng yên" - chúng bao gồm cùng một số lặp lại. Ví dụ: (3; 3; 3; ...).
Chỉ còn lại một câu hỏi: làm thế nào để phân biệt tiến trình tăng dần với tiến trình giảm dần? May mắn thay, mọi thứ ở đây chỉ phụ thuộc vào dấu của số $d$, tức là. sự khác biệt về tiến triển:
- Nếu $d \gt 0$, thì cấp số tăng dần;
- Nếu $d \lt 0$, thì cấp số nhân rõ ràng đang giảm dần;
- Cuối cùng, có trường hợp $d=0$ - trong trường hợp này toàn bộ tiến trình được rút gọn thành một chuỗi dừng gồm các số giống nhau: (1; 1; 1; 1; ...), v.v.
Hãy thử tính hiệu $d$ cho ba cấp số giảm dần nêu trên. Để làm điều này, chỉ cần lấy bất kỳ hai phần tử liền kề nào (ví dụ: phần tử thứ nhất và thứ hai) và trừ số ở bên trái khỏi số ở bên phải. Nó sẽ trông giống thế này:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Như chúng ta có thể thấy, trong cả ba trường hợp, sự khác biệt thực sự đều âm. Và bây giờ chúng ta đã ít nhiều tìm ra các định nghĩa, đã đến lúc tìm hiểu cách mô tả các cấp số nhân và chúng có những đặc tính gì.
Thuật ngữ lũy tiến và công thức lặp lại
Vì các phần tử trong dãy của chúng ta không thể hoán đổi nên chúng có thể được đánh số:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Phải\)\]
Các phần tử riêng lẻ của tập hợp này được gọi là thành viên của một cấp số cộng. Chúng được biểu thị bằng một số: thành viên thứ nhất, thành viên thứ hai, v.v.
Ngoài ra, như chúng ta đã biết, các số hạng lân cận của cấp số liên hệ với nhau theo công thức:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Tóm lại, để tìm số hạng thứ $n$ của một cấp số, bạn cần biết số hạng thứ $n-1$ và hiệu $d$. Công thức này được gọi là định kỳ, vì với sự trợ giúp của nó, bạn chỉ có thể tìm thấy bất kỳ số nào khi biết số trước đó (và trên thực tế là tất cả các số trước đó). Điều này rất bất tiện, vì vậy có một công thức xảo quyệt hơn giúp giảm bất kỳ phép tính nào về số hạng đầu tiên và sự khác biệt:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
Có lẽ bạn đã từng gặp công thức này. Họ thích đưa nó vào đủ loại sách tham khảo và sách giải pháp. Và trong bất kỳ cuốn sách giáo khoa toán học nhạy cảm nào, nó là một trong những cuốn sách đầu tiên.
Tuy nhiên, tôi khuyên bạn nên luyện tập một chút.
Nhiệm vụ số 1. Viết ba số hạng đầu tiên của cấp số cộng $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.
Giải pháp. Vì vậy, chúng ta biết số hạng đầu tiên $((a)_(1))=8$ và sự khác biệt của cấp số $d=-5$. Hãy sử dụng công thức vừa cho và thay thế $n=1$, $n=2$ và $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(căn chỉnh)\]
Đáp án: (8; 3; −2)
Đó là tất cả! Xin lưu ý: sự tiến bộ của chúng tôi đang giảm dần.
Tất nhiên, $n=1$ không thể thay thế được - chúng ta đã biết số hạng đầu tiên. Tuy nhiên, bằng cách thay thế sự thống nhất, chúng tôi tin rằng ngay cả đối với số hạng đầu tiên, công thức của chúng tôi vẫn đúng. Trong những trường hợp khác, mọi thứ đều trở thành số học tầm thường.
Nhiệm vụ số 2. Viết ba số hạng đầu tiên của một cấp số cộng nếu số hạng thứ bảy của nó bằng −40 và số hạng thứ mười bảy của nó bằng −50.
Giải pháp. Hãy viết điều kiện bài toán bằng những thuật ngữ quen thuộc:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(căn chỉnh) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Phải.\]
Tôi đặt dấu hiệu hệ thống vì những yêu cầu này phải được đáp ứng đồng thời. Bây giờ hãy lưu ý rằng nếu chúng ta trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai (chúng ta có quyền làm điều này vì chúng ta có một hệ), chúng ta sẽ nhận được điều này:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(căn chỉnh)\]
Thật dễ dàng để tìm thấy sự khác biệt về tiến trình! Tất cả những gì còn lại là thay số tìm được vào bất kỳ phương trình nào của hệ. Ví dụ: trong lần đầu tiên:
\[\begin(ma trận) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(ma trận)\]
Bây giờ, đã biết số hạng đầu tiên và sự khác biệt, vẫn còn phải tìm số hạng thứ hai và thứ ba:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(căn chỉnh)\]
Sẵn sàng! Vấn đề đã được giải quyết.
Đáp án: (−34; −35; −36)
Hãy lưu ý đặc tính thú vị của cấp số nhân mà chúng tôi đã khám phá: nếu chúng tôi lấy các số hạng $n$th và $m$th và trừ chúng với nhau, chúng tôi sẽ nhận được hiệu của cấp số nhân nhân với số $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Một thuộc tính đơn giản nhưng rất hữu ích mà bạn chắc chắn cần biết - với sự trợ giúp của nó, bạn có thể tăng tốc đáng kể việc giải quyết nhiều vấn đề cấp tiến. Đây là một ví dụ rõ ràng về điều này:
Nhiệm vụ số 3. Số hạng thứ năm của cấp số cộng là 8,4 và số hạng thứ mười của nó là 14,4. Tìm số hạng thứ mười lăm của tiến trình này.
Giải pháp. Vì $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, và chúng ta cần tìm $((a)_(15))$, chúng ta lưu ý như sau:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(căn chỉnh)\]
Nhưng theo điều kiện $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, do đó $5d=6$, từ đó chúng ta có:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(căn chỉnh)\]
Đáp án: 20,4
Đó là tất cả! Chúng tôi không cần phải tạo bất kỳ hệ phương trình nào cũng như tính số hạng đầu tiên và hiệu - mọi thứ đã được giải chỉ trong vài dòng.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một loại vấn đề khác - tìm kiếm số hạng phủ định và khẳng định của một cấp số. Không có gì bí mật rằng nếu một tiến trình tăng lên và số hạng đầu tiên của nó là số âm, thì sớm hay muộn số hạng dương sẽ xuất hiện trong đó. Và ngược lại: số hạng của một lũy tiến giảm dần sớm hay muộn sẽ trở thành số âm.
Đồng thời, không phải lúc nào cũng có thể tìm thấy khoảnh khắc này một cách “trực diện” bằng cách lần lượt xem xét các yếu tố. Thông thường, các bài toán được viết theo cách mà nếu không biết công thức, việc tính toán sẽ mất vài tờ giấy - chúng ta sẽ ngủ quên trong khi tìm ra câu trả lời. Vì vậy, chúng ta hãy cố gắng giải quyết những vấn đề này một cách nhanh hơn.
Nhiệm vụ số 4. Có bao nhiêu số hạng âm trong cấp số cộng −38,5; −35,8; ...?
Giải pháp. Vì vậy, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, từ đó chúng ta tìm thấy ngay sự khác biệt:
Lưu ý rằng sự khác biệt là tích cực, do đó tiến trình tăng lên. Số hạng đầu tiên là số âm, vì vậy thực sự tại một thời điểm nào đó chúng ta sẽ bắt gặp những số dương. Câu hỏi duy nhất là khi nào điều này sẽ xảy ra.
Chúng ta hãy thử tìm xem tính âm của các số hạng tồn tại trong bao lâu (tức là lên đến số tự nhiên $n$):
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \phải. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(căn chỉnh)\]
Dòng cuối cùng yêu cầu một số lời giải thích. Vì vậy, chúng tôi biết rằng $n \lt 15\frac(7)(27)$. Mặt khác, chúng tôi chỉ hài lòng với các giá trị nguyên của số (hơn nữa: $n\in \mathbb(N)$), vì vậy số lớn nhất cho phép chính xác là $n=15$, và không có trường hợp nào là 16 .
Nhiệm vụ số 5. Trong cấp số cộng $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Tìm số hạng dương đầu tiên của cấp số này.
Đây chính xác là vấn đề tương tự như vấn đề trước, nhưng chúng ta không biết $((a)_(1))$. Nhưng các số hạng lân cận đều đã biết: $((a)_(5))$ và $((a)_(6))$, vì vậy chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy sự khác biệt của cấp số:
Ngoài ra, chúng ta hãy thử biểu diễn số hạng thứ năm thông qua số hạng đầu tiên và hiệu bằng cách sử dụng công thức chuẩn:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(căn chỉnh)\]
Bây giờ chúng ta tiến hành tương tự với nhiệm vụ trước đó. Chúng ta hãy tìm hiểu xem các số dương trong chuỗi của chúng ta sẽ xuất hiện tại điểm nào:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(căn chỉnh)\]
Nghiệm số nguyên nhỏ nhất của bất đẳng thức này là số 56.
Xin lưu ý: trong nhiệm vụ cuối cùng, mọi thứ đều dẫn đến sự bất bình đẳng nghiêm ngặt, vì vậy tùy chọn $n=55$ sẽ không phù hợp với chúng tôi.
Bây giờ chúng ta đã học được cách giải những bài toán đơn giản, hãy chuyển sang những bài toán phức tạp hơn. Nhưng trước tiên, hãy nghiên cứu một tính chất rất hữu ích khác của cấp số cộng, tính chất này sẽ giúp chúng ta tiết kiệm rất nhiều thời gian và các ô không bằng nhau trong tương lai. :)
Giá trị trung bình số học và vết lõm bằng nhau
Chúng ta hãy xem xét một số số hạng liên tiếp của cấp số cộng tăng dần $\left(((a)_(n)) \right)$. Hãy thử đánh dấu chúng trên trục số:
Thuật ngữ của cấp số cộng trên trục sốTôi đã đánh dấu cụ thể các thuật ngữ tùy ý $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ chứ không phải một số $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, v.v. Bởi vì quy tắc mà tôi sẽ cho bạn biết hiện hoạt động tương tự cho bất kỳ “phân đoạn” nào.
Và quy tắc rất đơn giản. Hãy nhớ công thức lặp lại và viết nó ra cho tất cả các thuật ngữ được đánh dấu:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(căn chỉnh)\]
Tuy nhiên, những đẳng thức này có thể được viết lại khác nhau:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(căn chỉnh)\]
Vâng, vậy thì sao? Và thực tế là các số hạng $((a)_(n-1))$ và $((a)_(n+1))$ nằm ở cùng một khoảng cách với $((a)_(n)) $ . Và khoảng cách này bằng $d$. Điều tương tự cũng có thể nói về các thuật ngữ $((a)_(n-2))$ và $((a)_(n+2))$ - chúng cũng bị xóa khỏi $((a)_(n) )$ ở cùng một khoảng cách bằng $2d$. Chúng ta có thể tiếp tục đến vô tận, nhưng ý nghĩa được minh họa rõ ràng qua bức tranh
Các điều khoản của sự tiến triển nằm ở cùng một khoảng cách từ trung tâm Điều này có ý nghĩa gì với chúng ta? Điều này có nghĩa là có thể tìm thấy $((a)_(n))$ nếu biết các số lân cận:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Chúng ta đã rút ra một phát biểu xuất sắc: mọi số hạng của một cấp số cộng đều bằng trung bình số học của các số hạng lân cận nó! Hơn nữa: chúng ta có thể lùi từ $((a)_(n))$ sang trái và sang phải không phải một bước mà là $k$ bước - và công thức sẽ vẫn đúng:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Những thứ kia. chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy một số $((a)_(150))$ nếu chúng ta biết $((a)_(100))$ và $((a)_(200))$, bởi vì $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Thoạt nhìn, có vẻ như thực tế này không mang lại cho chúng ta điều gì hữu ích. Tuy nhiên, trong thực tế, nhiều bài toán được thiết kế đặc biệt để sử dụng trung bình số học. Hãy xem:
Nhiệm vụ số 6. Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho các số $-6((x)^(2))$, $x+1$ và $14+4((x)^(2))$ là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng (theo thứ tự được chỉ ra).
Giải pháp. Vì những số này là thành viên của một cấp số, điều kiện trung bình số học được thỏa mãn đối với chúng: phần tử trung tâm $x+1$ có thể được biểu diễn theo các phần tử lân cận:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(căn chỉnh)\]
Kết quả là một phương trình bậc hai cổ điển. Nguồn gốc của nó: $x=2$ và $x=-3$ là câu trả lời.
Đáp án: −3; 2.
Nhiệm vụ số 7. Tìm các giá trị của $$ mà các số $-1;4-3;(()^(2))+1$ tạo thành một cấp số cộng (theo thứ tự đó).
Giải pháp. Chúng ta hãy biểu diễn lại số hạng ở giữa thông qua trung bình số học của các số hạng lân cận:
\[\begin(căn chỉnh) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(căn chỉnh)\]
Phương trình bậc hai nữa. Và một lần nữa có hai nghiệm: $x=6$ và $x=1$.
Trả lời 1; 6.
Nếu trong quá trình giải một bài toán, bạn đưa ra một số con số khủng khiếp hoặc bạn không hoàn toàn chắc chắn về tính đúng đắn của các câu trả lời tìm được, thì có một kỹ thuật tuyệt vời cho phép bạn kiểm tra: chúng ta đã giải bài toán một cách chính xác chưa?
Giả sử trong bài toán số 6, chúng ta nhận được câu trả lời −3 và 2. Làm cách nào chúng ta có thể kiểm tra xem những câu trả lời này có đúng không? Hãy cắm chúng vào tình trạng ban đầu và xem điều gì sẽ xảy ra. Hãy để tôi nhắc bạn rằng chúng ta có ba số ($-6(()^(2))$, $+1$ và $14+4(()^(2))$), chúng phải tạo thành một cấp số cộng. Hãy thay thế $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(căn chỉnh)\]
Chúng ta có các số −54; −2; 50 chênh lệch 52 chắc chắn là một cấp số cộng. Điều tương tự cũng xảy ra với $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(căn chỉnh)\]
Lại là một tiến trình, nhưng có chênh lệch là 27. Như vậy, vấn đề đã được giải quyết một cách chính xác. Những ai muốn có thể tự mình kiểm tra vấn đề thứ hai, nhưng tôi sẽ nói ngay: mọi thứ đều đúng ở đó.
Nói chung, trong khi giải các bài toán cuối cùng, chúng tôi phát hiện ra một sự thật thú vị khác cũng cần được ghi nhớ:
Nếu ba số sao cho số thứ hai là trung bình số học của số đầu tiên và số cuối cùng thì các số này tạo thành một cấp số cộng.
Trong tương lai, việc hiểu được tuyên bố này sẽ cho phép chúng ta “xây dựng” các tiến trình cần thiết theo đúng nghĩa đen dựa trên các điều kiện của bài toán. Nhưng trước khi tiến hành “xây dựng” như vậy, chúng ta nên chú ý đến một thực tế nữa, tiếp theo trực tiếp từ những gì đã được thảo luận.
Nhóm và tổng hợp các phần tử
Hãy quay trở lại trục số một lần nữa. Chúng ta hãy lưu ý rằng có một số thành viên của quá trình tiến triển, có lẽ nằm trong số đó. có giá trị rất nhiều thành viên khác:
Có 6 phần tử được đánh dấu trên trục sốHãy thử biểu diễn “đuôi bên trái” thông qua $((a)_(n))$ và $d$, và “đuôi bên phải” thông qua $((a)_(k))$ và $d$. Nó rất đơn giản:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(căn chỉnh)\]
Bây giờ lưu ý rằng số tiền sau đây bằng nhau:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(căn chỉnh)\]
Nói một cách đơn giản, nếu chúng ta coi hai phần tử bắt đầu của tiến trình, tổng cộng bằng một số $S$, và sau đó bắt đầu bước từ các phần tử này theo hướng ngược nhau (hướng về nhau hoặc ngược lại để di chuyển ra xa), sau đó tổng các phần tử mà chúng ta sẽ gặp cũng sẽ bằng nhau$S$. Điều này có thể được thể hiện rõ ràng nhất bằng đồ họa:
Các vết lõm bằng nhau cho số lượng bằng nhau Hiểu được thực tế này sẽ cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề về cơ bản có mức độ phức tạp cao hơn những vấn đề mà chúng ta đã xem xét ở trên. Ví dụ:
Nhiệm vụ số 8. Xác định hiệu của một cấp số cộng trong đó số hạng thứ nhất là 66, tích của số hạng thứ hai và thứ mười hai là nhỏ nhất có thể.
Giải pháp. Hãy viết ra tất cả những gì chúng ta biết:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(căn chỉnh)\]
Vì vậy, chúng ta không biết sự khác biệt lũy tiến $d$. Trên thực tế, toàn bộ giải pháp sẽ được xây dựng xung quanh sự khác biệt, vì tích $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ có thể được viết lại như sau:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(căn chỉnh)\]
Đối với những người trong nhóm: Tôi lấy tổng hệ số nhân là 11 trong khung thứ hai. Do đó, tích mong muốn là hàm bậc hai đối với biến $d$. Do đó, hãy xem xét hàm $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - đồ thị của nó sẽ là một parabol với các nhánh hướng lên, bởi vì nếu chúng ta mở rộng dấu ngoặc, chúng ta sẽ nhận được:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(căn chỉnh)\]
Như bạn có thể thấy, hệ số của số hạng cao nhất là 11 - đây là một số dương, vì vậy chúng ta thực sự đang xử lý một parabol có các nhánh hướng lên trên:
đồ thị của hàm số bậc hai - parabol
Xin lưu ý: parabol này lấy giá trị tối thiểu tại đỉnh của nó với hoành độ $((d)_(0))$. Tất nhiên, chúng ta có thể tính hoành độ này bằng cách sử dụng sơ đồ tiêu chuẩn (có công thức $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), nhưng sẽ hợp lý hơn nhiều khi lưu ý rằng đỉnh mong muốn nằm trên trục đối xứng của parabol, do đó điểm $((d)_(0))$ cách đều các nghiệm của phương trình $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(căn chỉnh) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(căn chỉnh)\]
Đó là lý do tại sao tôi không vội mở dấu ngoặc: ở dạng ban đầu, rễ rất rất dễ tìm. Do đó, trục hoành bằng trung bình số học của các số −66 và −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Con số được phát hiện cho chúng ta điều gì? Với nó, sản phẩm được yêu cầu sẽ có giá trị nhỏ nhất (nhân tiện, chúng tôi chưa bao giờ tính $((y)_(\min ))$ - điều này không bắt buộc đối với chúng tôi). Đồng thời, con số này là sự khác biệt của tiến trình ban đầu, tức là. chúng tôi đã tìm thấy câu trả lời. :)
Đáp án: −36
Nhiệm vụ số 9. Giữa các số $-\frac(1)(2)$ và $-\frac(1)(6)$ chèn ba số sao cho cùng với các số này, chúng tạo thành một cấp số cộng.
Giải pháp. Về cơ bản, chúng ta cần tạo một chuỗi gồm năm số, đã biết số đầu tiên và số cuối cùng. Hãy biểu thị các số còn thiếu bằng các biến $x$, $y$ và $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Lưu ý rằng số $y$ là số “ở giữa” trong dãy của chúng ta - nó cách đều các số $x$ và $z$, cũng như các số $-\frac(1)(2)$ và $-\frac (1)( 6)$. Và nếu hiện tại chúng ta không thể thu được $y$ từ các số $x$ và $z$, thì tình hình sẽ khác ở các điểm cuối của cấp số cộng. Chúng ta hãy nhớ ý nghĩa số học:
Bây giờ, khi biết $y$, chúng ta sẽ tìm được các số còn lại. Lưu ý rằng $x$ nằm giữa các số $-\frac(1)(2)$ và $y=-\frac(1)(3)$ mà chúng ta vừa tìm thấy. Đó là lý do tại sao
Sử dụng lý luận tương tự, chúng tôi tìm thấy số còn lại:
Sẵn sàng! Chúng tôi tìm thấy cả ba số. Hãy viết chúng trong câu trả lời theo thứ tự chúng sẽ được chèn vào giữa các số ban đầu.
Trả lời: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Nhiệm vụ số 10. Giữa các số 2 và 42, hãy chèn một số số cùng với các số này tạo thành một cấp số cộng, nếu bạn biết rằng tổng của số đầu tiên, số thứ hai và số cuối cùng của các số được chèn là 56.
Giải pháp. Tuy nhiên, một vấn đề thậm chí còn phức tạp hơn được giải theo sơ đồ tương tự như các vấn đề trước đó - thông qua trung bình số học. Vấn đề là chúng ta không biết chính xác cần chèn bao nhiêu số. Do đó, chúng ta hãy giả sử để chắc chắn rằng sau khi chèn mọi thứ sẽ có chính xác $n$ số, số đầu tiên là 2 và số cuối cùng là 42. Trong trường hợp này, cấp số cộng cần thiết có thể được biểu diễn dưới dạng:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Tuy nhiên, lưu ý rằng các số $((a)_(2))$ và $((a)_(n-1))$ được lấy từ các số 2 và 42 ở các cạnh cách nhau một bước, I E. . vào trung tâm của chuỗi. Và điều này có nghĩa là
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Nhưng khi đó biểu thức viết ở trên có thể được viết lại như sau:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(căn chỉnh)\]
Biết $((a)_(3))$ và $((a)_(1))$, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy sự khác biệt của cấp số:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Mũi tên phải d=5. \\ \end(căn chỉnh)\]
Tất cả những gì còn lại là tìm các số hạng còn lại:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(căn chỉnh)\]
Như vậy, ở bước thứ 9, chúng ta sẽ đến đầu bên trái của dãy - số 42. Tổng cộng, chỉ cần chèn 7 số: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Trả lời: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Các vấn đề về từ với sự tiến triển
Để kết luận, tôi muốn xem xét một vài vấn đề tương đối đơn giản. Chà, đơn giản như vậy: đối với hầu hết học sinh học toán ở trường và chưa đọc những gì được viết ở trên, những vấn đề này có vẻ khó khăn. Tuy nhiên, đây là những loại bài toán xuất hiện trong OGE và Kỳ thi Thống nhất về toán học, vì vậy tôi khuyên bạn nên tự làm quen với chúng.
Nhiệm vụ số 11. Nhóm đã sản xuất được 62 bộ phận trong tháng 1 và trong mỗi tháng tiếp theo, họ đã sản xuất nhiều hơn 14 bộ phận so với tháng trước. Nhóm đã sản xuất được bao nhiêu bộ phận trong tháng 11?
Giải pháp. Rõ ràng, số lượng các bộ phận được liệt kê theo tháng sẽ thể hiện cấp số cộng ngày càng tăng. Hơn thế nữa:
\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Tháng 11 là tháng thứ 11 trong năm nên ta cần tìm $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Vì vậy, 202 bộ phận sẽ được sản xuất vào tháng 11.
Nhiệm vụ số 12. Xưởng đóng sách đã đóng 216 cuốn sách trong tháng Giêng, và mỗi tháng tiếp theo xưởng đóng sách nhiều hơn tháng trước 4 cuốn. Hội thảo đã đóng bao nhiêu cuốn sách trong tháng 12?
Giải pháp. Tất cả đều giống nhau:
$\begin(căn chỉnh) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Tháng 12 là tháng cuối cùng, tháng thứ 12 trong năm, vì vậy chúng tôi đang tìm kiếm $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Đây là câu trả lời - 260 cuốn sách sẽ được đóng bìa vào tháng 12.
Chà, nếu bạn đã đọc đến đây, tôi xin chúc mừng bạn: bạn đã hoàn thành xuất sắc “khóa học dành cho võ sĩ trẻ” về cấp số cộng. Bạn có thể yên tâm chuyển sang bài học tiếp theo, nơi chúng ta sẽ nghiên cứu công thức tính tổng của tiến trình, cũng như những hệ quả quan trọng và rất hữu ích từ nó.
Ví dụ: dãy \(2\); \(5\); \(số 8\); \(mười một\); \(14\)... là một cấp số cộng, bởi vì mỗi phần tử tiếp theo khác với phần tử trước đó ba (có thể thu được từ phần tử trước bằng cách thêm ba):
Trong tiến trình này, hiệu \(d\) là dương (bằng \(3\)) và do đó mỗi số hạng tiếp theo sẽ lớn hơn số hạng trước. Những tiến triển như vậy được gọi là tăng dần.
Tuy nhiên, \(d\) cũng có thể là số âm. Ví dụ, theo cấp số cộng \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... chênh lệch lũy tiến \(d\) bằng âm sáu.
Và trong trường hợp này, mỗi phần tử tiếp theo sẽ nhỏ hơn phần tử trước. Những tiến triển này được gọi là giảm dần.
Ký hiệu cấp số cộng
Sự tiến triển được biểu thị bằng một chữ cái Latinh nhỏ.
Các số tạo thành một cấp số cộng được gọi là các thành viên(hoặc phần tử).
Chúng được biểu thị bằng cùng một chữ cái như một cấp số cộng, nhưng có chỉ số bằng số của phần tử theo thứ tự.
Ví dụ: cấp số cộng \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) bao gồm các phần tử \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) v.v.
Nói cách khác, đối với cấp số cộng \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Giải các bài toán cấp số cộng
Về nguyên tắc, thông tin được trình bày ở trên đã đủ để giải quyết hầu hết mọi vấn đề về cấp số cộng (bao gồm cả những vấn đề được cung cấp tại OGE).
Ví dụ (OGE).
Cấp số cộng được xác định bởi các điều kiện \(b_1=7; d=4\). Tìm \(b_5\).
Giải pháp:
Trả lời: \(b_5=23\)
Ví dụ (OGE).
Ba số hạng đầu tiên của một cấp số cộng đã cho: \(62; 49; 36…\) Tìm giá trị của số hạng âm đầu tiên của cấp số cộng này..
Giải pháp:
|
Chúng ta được cho các phần tử đầu tiên của dãy và biết rằng đó là một cấp số cộng. Nghĩa là, mỗi phần tử khác với phần tử lân cận của nó cùng một số. Chúng ta hãy tìm ra cái nào bằng cách trừ phần tử trước khỏi phần tử tiếp theo: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Bây giờ chúng ta có thể khôi phục tiến trình của mình về phần tử (phủ định đầu tiên) mà chúng ta cần. |
|
|
Sẵn sàng. Bạn có thể viết một câu trả lời. |
Trả lời: \(-3\)
Ví dụ (OGE).
Cho một số phần tử liên tiếp của một cấp số cộng: \(…5; x; 10; 12.5...\) Tìm giá trị của phần tử được chỉ định bởi chữ cái \(x\).
Giải pháp:
|
|
Để tìm \(x\), chúng ta cần biết phần tử tiếp theo khác phần tử trước đó bao nhiêu, hay nói cách khác là sự khác biệt cấp số nhân. Hãy tìm nó từ hai phần tử lân cận đã biết: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
Và bây giờ chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy những gì chúng ta đang tìm kiếm: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Sẵn sàng. Bạn có thể viết một câu trả lời. |
Trả lời: \(7,5\).
Ví dụ (OGE).
Cấp số cộng được xác định bởi các điều kiện sau: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Tìm tổng của sáu số hạng đầu tiên của cấp số này.
Giải pháp:
|
Chúng ta cần tìm tổng của sáu số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Nhưng chúng ta không biết ý nghĩa của chúng; chúng ta chỉ được cung cấp phần tử đầu tiên. Do đó, trước tiên chúng tôi tính toán từng giá trị một, sử dụng những gì được cung cấp cho chúng tôi: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Số tiền cần thiết đã được tìm thấy. |
Trả lời: \(S_6=9\).
Ví dụ (OGE).
Trong cấp số cộng \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Tìm sự khác biệt của sự tiến triển này.
Giải pháp:
Trả lời: \(d=7\).
Các công thức quan trọng của cấp số cộng
Như bạn có thể thấy, nhiều vấn đề về cấp số cộng có thể được giải quyết đơn giản bằng cách hiểu điều chính - rằng cấp số cộng là một chuỗi số và mỗi phần tử tiếp theo trong chuỗi này thu được bằng cách cộng cùng một số với số trước đó ( sự khác biệt của sự tiến triển).
Tuy nhiên, đôi khi có những tình huống quyết định “trực diện” lại rất bất tiện. Ví dụ, hãy tưởng tượng rằng trong ví dụ đầu tiên, chúng ta không cần tìm phần tử thứ năm \(b_5\), mà là phần tử thứ ba trăm tám mươi sáu \(b_(386)\). Chúng ta có nên cộng bốn \(385\) lần không? Hoặc hãy tưởng tượng rằng trong ví dụ áp chót, bạn cần tìm tổng của 73 phần tử đầu tiên. Bạn sẽ mệt mỏi khi đếm...
Vì vậy, trong những trường hợp như vậy, họ không giải quyết mọi việc một cách “trực tiếp” mà sử dụng các công thức đặc biệt rút ra từ cấp số cộng. Và những cái chính là công thức tính số hạng thứ n của cấp số nhân và công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên.
Công thức của số hạng thứ \(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\), trong đó \(a_1\) là số hạng đầu tiên của cấp số nhân;
\(n\) – số phần tử được yêu cầu;
\(a_n\) – số hạng của cấp số \(n\).
Công thức này cho phép chúng ta nhanh chóng tìm thấy ngay cả phần tử thứ ba trăm hoặc phần triệu, chỉ biết phần tử đầu tiên và sự khác biệt của cấp số nhân.
Ví dụ.
Cấp số cộng được xác định bởi các điều kiện: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Tìm \(b_(246)\).
Giải pháp:
Trả lời: \(b_(246)=1850\).
Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), trong đó
\(a_n\) – số hạng tổng hợp cuối cùng;
Ví dụ (OGE).
Cấp số cộng được xác định bởi các điều kiện \(a_n=3.4n-0.6\). Tìm tổng các số hạng \(25\) đầu tiên của cấp số này.
Giải pháp:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Để tính tổng của 25 số hạng đầu tiên, chúng ta cần biết giá trị của số hạng thứ nhất và 25 số hạng. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\) |
Bây giờ chúng ta hãy tìm số hạng thứ 25 bằng cách thay thế 25 thay vì \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\) |
Chà, bây giờ chúng ta có thể dễ dàng tính toán số tiền cần thiết. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Câu trả lời đã sẵn sàng. |
Trả lời: \(S_(25)=1090\).
Đối với tổng \(n\) của các số hạng đầu tiên, bạn có thể nhận được một công thức khác: bạn chỉ cần \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) thay vì \(a_n\) thay thế công thức cho nó \(a_n=a_1+(n-1)d\). Chúng tôi nhận được:
Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), trong đó
\(S_n\) – tổng yêu cầu của \(n\) phần tử đầu tiên;
\(a_1\) – số hạng tổng hợp đầu tiên;
\(d\) – chênh lệch tiến triển;
\(n\) – tổng số phần tử.
Ví dụ.
Tìm tổng các số hạng \(33\)-ex đầu tiên của cấp số cộng: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Giải pháp:
Trả lời: \(S_(33)=-231\).
Các vấn đề cấp số cộng phức tạp hơn
Bây giờ bạn có tất cả thông tin cần thiết để giải hầu hết mọi bài toán cấp số cộng. Hãy kết thúc chủ đề bằng cách xem xét các vấn đề mà bạn không chỉ cần áp dụng công thức mà còn phải suy nghĩ một chút (trong toán học, điều này có thể hữu ích ☺)
Ví dụ (OGE).
Tìm tổng của tất cả các số hạng âm của cấp số nhân: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Giải pháp:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Nhiệm vụ này rất giống với nhiệm vụ trước. Chúng ta bắt đầu giải quyết vấn đề tương tự: đầu tiên chúng ta tìm \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Bây giờ tôi muốn thay thế \(d\) vào công thức tính tổng... và ở đây xuất hiện một sắc thái nhỏ - chúng tôi không biết \(n\). Nói cách khác, chúng tôi không biết sẽ cần thêm bao nhiêu thuật ngữ. Làm thế nào để tìm hiểu? Nghĩ thử xem. Chúng tôi sẽ ngừng thêm các phần tử khi đạt đến phần tử dương đầu tiên. Tức là bạn cần tìm ra số lượng của phần tử này. Làm sao? Hãy viết ra công thức tính bất kỳ phần tử nào của cấp số cộng: \(a_n=a_1+(n-1)d\) cho trường hợp của chúng ta. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\) |
Chúng ta cần \(a_n\) lớn hơn 0. Hãy cùng tìm hiểu xem \(n\) điều này sẽ xảy ra như thế nào. |
|
|
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\) |
||
|
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Chúng tôi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Ta chuyển trừ một, không quên đổi dấu |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
Hãy tính toán... |
|
|
\(n>65,333…\) |
...và hóa ra phần tử dương đầu tiên sẽ có số \(66\). Theo đó, số âm cuối cùng có \(n=65\). Để đề phòng, hãy kiểm tra điều này. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) |
Vì vậy, chúng ta cần thêm các phần tử \(65\) đầu tiên. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Câu trả lời đã sẵn sàng. |
Trả lời: \(S_(65)=-630.5\).
Ví dụ (OGE).
Cấp số cộng được xác định bởi các điều kiện: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Tìm tổng từ phần tử \(26\)th đến phần tử \(42\).
Giải pháp:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Trong bài toán này, bạn cũng cần tìm tổng các phần tử, nhưng không bắt đầu từ phần tử đầu tiên mà từ phần tử thứ \(26\). Đối với trường hợp như vậy, chúng tôi không có công thức. Làm thế nào để quyết định? |
|
|
Đối với tiến trình của chúng tôi \(a_1=-33\) và sự khác biệt \(d=4\) (xét cho cùng, đó là bốn phần mà chúng tôi thêm vào phần tử trước để tìm phần tử tiếp theo). Biết được điều này, chúng ta tìm được tổng của các phần tử \(42\)-y đầu tiên. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Bây giờ là tổng của các phần tử \(25\) đầu tiên. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Và cuối cùng, chúng tôi tính toán câu trả lời. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Trả lời: \(S=1683\).
Đối với cấp số cộng, có một số công thức nữa mà chúng tôi không xem xét trong bài viết này do tính hữu ích thực tế thấp của chúng. Tuy nhiên, bạn có thể dễ dàng tìm thấy chúng.
