Ta članek je posvečen pravokotnim ravninam. Podane bodo definicije in oznake skupaj s primeri. Formuliran bo znak pravokotnosti ravnin in pogoj, pod katerim je izpolnjen. Rešitve podobnih problemov bomo obravnavali na primerih.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Če je med sekajočima se premicama kot, lahko govorimo o določitvi pravokotnih ravnin.
Definicija 1
Pod pogojem, da je kot med pravokotnima črtama 90 stopinj, se imenujejo pravokotno.
Oznaka pravokotnosti je običajno zapisana z znakom "⊥". Če pogoj navaja, da sta ravnini α in β pravokotni, ima vnos obliko α ⊥ β. Spodnja slika prikazuje podrobnosti.
Če je v zavihku podano, da sta ravnini α in β pravokotni, to pomeni, da je α pravokotna na β in obratno. Take ravnine imenujemo medsebojno pravokotne. Na primer, stena in strop v prostoru sta medsebojno pravokotna, saj ob sekanju tvorita pravi kot.
Pravokotnost ravnin - znak in pogoj pravokotnosti
V praksi lahko naletite na naloge, kjer je treba določiti pravokotnost danih ravnin. Najprej morate določiti kot med njimi. Če je enak 90 stopinj, se štejejo za pravokotne glede na definicijo.
Za dokaz pravokotnosti dveh ravnin se uporablja znak pravokotnosti dveh ravnin. Formulacija vsebuje koncepta pravokotnice in ravnine. Zapišimo natančno definicijo kriterija pravokotnosti v obliki izreka.
1. izrek
Če ena od dveh danih ravnin seka premico, pravokotno na drugo ravnino, sta dani ravnini pravokotni.
Dokaz je na voljo v učbeniku geometrije za 10.-11. razred, kjer je podroben opis. Iz znaka sledi, da če je ravnina pravokotna na presečišče dveh danih ravnin, potem je pravokotna na vsako od teh ravnin.
Obstaja nujen in zadosten pogoj za dokazovanje. Upoštevajmo jih za pravokotnost dveh danih ravnin, ki se uporablja kot preverjanje njihove pravokotnosti, ki se nahajajo v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora. Da je dokaz veljaven, je treba uporabiti definicijo normalnega vektorja ravnine, ki pomaga dokazati nujni in zadostni pogoj za pravokotnost ravnin.
2. izrek
Da bi bila pravokotnost sekajočih se ravnin očitna, je nujno in zadostno, da se normalni vektorji danih ravnin sekata pod pravim kotom.
Dokaz
Naj bo v tridimenzionalnem prostoru določen pravokotni koordinatni sistem. Če imamo n 1 → = (A 1, B 1, C 1) in n 2 → = (A 2, B 2, C 2), ki sta normalna vektorja danih ravnin α in β, potem je potrebna in zadostna pogoj pravokotnosti vektorjev n 1 → in n 2 → bo imel obliko
n 1 → , n 2 → = 0 ⇔ A 1 · A 2 + B 1 · B 2 + C 1 · C 2 = 0
Od tod dobimo, da sta n 1 → = (A 1, B 1, C 1) in n 2 → = (A 2, B 2, C 2) normalna vektorja danih ravnin in za resničnost pravokotnosti α in β je potrebno in zadostno, tako da je skalarni produkt vektorjev n 1 → in n 2 → enak nič, zato ima obliko n 1 → , n 2 → = 0 ⇔ A 1 · A 2 + B 1 · B 2 + C 1 · C 2 = 0 .
Enakost je izpolnjena.
Oglejmo si primere podrobneje.
Primer 1
Določite pravokotnost ravnin, določenih v pravokotnem koordinatnem sistemu O x y z tridimenzionalnega prostora, določenega z enačbama x - 3 y - 4 = 0 in x 2 3 + y - 2 + z 4 5 = 1?
rešitev
Če želite najti odgovor na vprašanje o pravokotnosti, morate najprej poiskati koordinate normalnih vektorjev danih ravnin, nato pa lahko preverite pravokotnost.
x - 3 y - 4 = 0 je splošna enačba ravnine, iz katere lahko takoj transformirate koordinate normalnega vektorja, ki je enak n 1 → = (1, - 3, 0).
Za določitev koordinate normalnega vektorja ravnine x 2 3 + y - 2 + z 4 5 = 1 preidemo iz enačbe ravnine v segmentih na splošno.
Potem dobimo:
x 2 3 + y - 2 + z 4 5 ⇔ 3 2 x - 1 2 y + 5 4 z - 1 = 0
Potem so n 2 → = 3 2, - 1 2, 5 4 koordinate vektorja normale ravnine x 2 3 + y - 2 + z 4 5 = 1.
Preidimo na izračun skalarnega produkta vektorjev n 1 → = (1, - 3, 0) in n 2 → = 3 2, - 1 2, 5 4.
Dobimo, da je n 1 → , n 2 → = 1 · 3 2 + (- 3) · - 1 2 + 0 · 5 4 = 3 .
Vidimo, da ni enak nič, kar pomeni, da dani vektorji niso pravokotni. Iz tega sledi, da tudi ravnini nista pravokotni. Pogoj ni izpolnjen.
odgovor: ravnine niso pravokotne.
Primer 2
Pravokotni koordinatni sistem O x y z ima štiri točke s koordinatami A - 15 4, - 7 8, 1, B 17 8, 5 16, 0, C 0, 0, 3 7, D - 1, 0, 0. Preverite, ali sta ravnini A B C in A B D pravokotni.
rešitev
Najprej morate izračunati skalarni produkt vektorjev teh ravnin. Če je enak nič, le v tem primeru lahko štejemo, da sta pravokotna. Poiščemo koordinate normalnih vektorjev n 1 → in n 2 → ravnini A B C in A B D.
Iz danih koordinat točk izračunamo koordinate vektorjev A B → , A C → , A D → . To dobimo:
A B → = 47 8, 19 16, - 1, A C → = 15 4, 7 8, - 4 7, A D → = 11 4, 7 8, - 1.
Normalni vektor ravnine A B C je vektorski produkt vektorjev A B → in A C →, za A B D pa vektorski produkt A B → in A D →. Od tod to razumemo
n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → 47 8 19 16 - 1 15 4 7 8 - 4 7 = 11 56 i → - 11 28 j → + 11 16 k → ⇔ n 1 → = 11 56 , - 11 28 , 11 16 n 2 → = A B → × A D → = i → j → k → 47 8 19 16 - 1 11 4 7 8 - 1 = - 5 16 i → + 25 8 j → + 15 8 k → ⇔ n 2 → = - 5 16 , 25 8 , 15 8
Začnimo iskati skalarni produkt n 1 → = 11 56, - 11 28, 11 16 in n 2 → = - 5 16, 25 8, 15 8.
Dobimo: n 1 → , n 2 → = 11 56 · - 5 16 + - 11 28 · 25 8 + 11 16 · 15 8 = 0 .
Če je enak nič, potem sta vektorja ravnin A B C in A B D pravokotna, potem sta ravnini sami pravokotni.
odgovor: ravnine so pravokotne.
Reševanja se je dalo lotiti drugače in uporabiti enačbi ravnin A B C in A B D. Po iskanju koordinat normalnih vektorjev teh ravnin bi bilo mogoče preveriti, ali je pogoj pravokotnosti normalnih vektorjev ravnin izpolnjen.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Predavanje na temo “Preizkus pravokotnosti dveh ravnin”
Zamisel o ravnini v prostoru nam omogoča, da dobimo na primer površino mize ali stene. Vendar ima miza ali stena končne dimenzije in ravnina se razteza čez njene meje v neskončnost.Razmislite o dveh sekajočih se ravninah. Ko se sekajo, tvorijo štiri diedrske kote s skupnim robom.
Spomnimo se, kaj je diedrski kot.
V resnici se srečujemo s predmeti, ki imajo obliko diedričnega kota: na primer rahlo odprta vrata ali na pol odprta mapa.
Ko se ravnini alfa in beta sekata, dobimo štiri diedrske kote. Naj bo eden od diedrskih kotov enak (phi), potem je drugi enak (180 0 –), tretji, četrti (180 0 -).
α inβ, 0°< 90 °
Razmislite o primeru, ko je eden od diedrskih kotov 90 0 .
Potem so vsi diedrski koti v tem primeru enaki 90 0 .
diedrski kot med ravninamaα inβ,
90º
Uvedimo definicijo pravokotnih ravnin:
Dve ravnini se imenujeta pravokotni, če je diedrski kot med njima 90°.
Kot med ravninama sigma in epsilon je 90 stopinj, kar pomeni, da sta ravnini pravokotni
Ker =90°
Navedimo primere pravokotnih ravnin.
Stena in strop.
Stranska stena in mizna plošča.
Stena in strop
Oblikujmo znak pravokotnosti dveh ravnin:
IZREK:Če ena od dveh ravnin poteka skozi premico, pravokotno na drugo ravnino, sta ti ravnini pravokotni.
Dokažimo ta znak.
Po pogoju je znano, da ravna črtaAM leži v ravnini α, premica AM je pravokotna na ravnino β,
Dokaži: ravnini α in β sta pravokotni.
Dokaz:
1) Ravnini α inβ sekata vzdolž premice AR in AM AR, saj je AM β po pogoju, to je, da je AM pravokotna na katero koli premico, ki leži v ravnini β.
2) Narišimo premico v ravnini βAT pravokotnoAR.
Dobimo kot TAM je linearni kot diedričnega kota. Toda kot TAM = 90°, ker je MA β. Torej α β.
Q.E.D.
IZREK:Če gre ravnina skozi premico, pravokotno na drugo ravnino, potem sta ti ravnini pravokotni.
podano:α, β, AM α, AMβ, AM∩=A
Dokaži: αβ.
Dokaz:
1) α∩β = AR, medtem ko je AM AR, saj je AM β po pogoju, to je AM pravokotna na katero koli ravno črto, ki leži v ravnini β.
2) ATβ,ATAR.
TAM je linearni kot diedričnega kota. TAM = 90°, ker MA β. Torej α β.
Q.E.D
Iz znaka pravokotnosti dveh ravnin imamo pomembno posledico:
VPLIV:Ravnina, pravokotna na premico, po kateri se sekata dve ravnini, je pravokotna na vsako od teh ravnin.
Dokažimo to posledico: če je ravnina gama pravokotna na premico c, potem je glede na vzporednost obeh ravnin gama pravokotna na alfa. Podobno je gama pravokotna na beta
Se pravi: če je α∩β=с in γс, potem γα in γβ.
Kerγс in сα od znaka pravokotnosti γα.
Podobno kot γ β
Preformulirajmo to posledico za diedrski kot:
Ravnina, ki poteka skozi linearni kot diedrskega kota, je pravokotna na rob in ploskve tega diedrskega kota. Z drugimi besedami, če smo zgradili linearni kot diedričnega kota, potem je ravnina, ki poteka skozenj, pravokotna na rob in ploskve tega diedričnega kota.
Naloga.
Podano: ΔАВС, С = 90°, АС leži v ravnini α, kot med ravninama α inABC= 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Ugotovite: razdaljo od točke B do ravnine α.
rešitev:
1) Konstruirajmo VC α. Potem je KS projekcija sonca na to ravnino.
2) BC AC (po pogoju), kar pomeni po izreku treh navpičnic (TPP) KS AC. Zato je VSK linearni kot diedričnega kota med ravnino α in ravnino trikotnika ABC. To je VSK = 60 °.
3) Iz ΔBCA po Pitagorovem izreku:
Iz ΔVKS: 
Vsaka ravnina, ki je pravokotna na presečišče pravokotnih ravnin, jih seka vzdolž pravokotnih črt.
Znak pravokotnosti ravnin
Izrek 1. Če gre ravnina skozi premico, pravokotno na drugo ravnino, potem sta ti ravnini pravokotni (glej sliko). 
Izrek 2. Če je premica, ki leži v eni od dveh pravokotnih ravnin, pravokotna na premico njunega presečišča, potem je pravokotna tudi na drugo ravnino (glej sliko).
Primer uporabe izreka 2
Naj obstajata dve pravokotni ravnini, ki se sekata v ravni črti a(glej sliko). Poiščite razdaljo od točke A, ki leži v ravnini in ne leži v ravnini, ravnina.
V ravnini sestavimo navpičnico na a skozi točko A. Naj prečka a na točki B. AB- zahtevana razdalja.
Bodite pozorni na to.
1. Skozi točko zunaj ravnine lahko narišemo veliko ravnin, pravokotnih na to ravnino (glej sliko). (Vendar bodo vsi šli skozi ravno črto, pravokotno na to ravnino, ki poteka skozi dano točko.)
2. Če je ravnina pravokotna na dano ravnino, to še ne pomeni, da je pravokotna na poljubno premico, vzporedno s to ravnino.
Na primer na spodnji sliki in se sekata v ravni črti b, in a vstopi v eno od letal in . Zato naravnost a hkrati vzporedno z dvema pravokotnima ravninama.
PREPIS BESEDILA LEKCIJE:
Zamisel o ravnini v prostoru nam omogoča, da dobimo na primer površino mize ali stene. Vendar ima miza ali stena končne dimenzije in ravnina se razteza čez njene meje v neskončnost.
Razmislite o dveh sekajočih se ravninah. Ko se sekajo, tvorijo štiri diedrske kote s skupnim robom.
Spomnimo se, kaj je diedrski kot.
V resnici se srečujemo s predmeti, ki imajo obliko diedričnega kota: na primer rahlo odprta vrata ali na pol odprta mapa.
Ko se ravnini alfa in beta sekata, dobimo štiri diedrske kote. Naj bo eden od diedričnih kotov enak (phi), potem je drugi enak (1800 -), tretji, četrti (1800 -).
Razmislite o primeru, ko je eden od diedrskih kotov 900.
Potem so vsi diedrski koti v tem primeru enaki 900.
Uvedimo definicijo pravokotnih ravnin:
Dve ravnini se imenujeta pravokotni, če je diedrski kot med njima 90°.
Kot med ravninama sigma in epsilon je 90 stopinj, kar pomeni, da sta ravnini pravokotni
Navedimo primere pravokotnih ravnin.
Stena in strop.
Stranska stena in mizna plošča.
Oblikujmo znak pravokotnosti dveh ravnin:
IZREK: Če ena od dveh ravnin poteka skozi premico, pravokotno na drugo ravnino, sta ti ravnini pravokotni.
Dokažimo ta znak.
Po pogoju je znano, da premica AM leži v ravnini α, premica AM je pravokotna na ravnino β,
Dokaži: ravnini α in β sta pravokotni.
Dokaz:
1) Ravnini α in β se sekata vzdolž ravne črte AR, medtem ko je AM AR, saj je AM po pogoju β, to pomeni, da je AM pravokoten na katero koli ravno črto, ki leži v ravnini β.
2) Narišimo premico AT pravokotno na AP v ravnini β.
Dobimo kot TAM - linearni kot diedričnega kota. Toda kot TAM = 90°, ker je MA β. Torej α β.
Q.E.D.
Iz znaka pravokotnosti dveh ravnin imamo pomembno posledico:
POSLEDICA: Ravnina, pravokotna na premico, po kateri se sekata dve ravnini, je pravokotna na vsako od teh ravnin.
Se pravi: če je α∩β=с in γ с, potem γ α in γ β.
Dokažimo to posledico: če je ravnina gama pravokotna na premico c, potem je glede na vzporednost obeh ravnin gama pravokotna na alfa. Podobno je gama pravokotna na beta
Preformulirajmo to posledico za diedrski kot:
Ravnina, ki poteka skozi linearni kot diedrskega kota, je pravokotna na rob in ploskve tega diedrskega kota. Z drugimi besedami, če smo zgradili linearni kot diedričnega kota, potem je ravnina, ki poteka skozenj, pravokotna na rob in ploskve tega diedričnega kota.
Podano: ΔABC, C = 90°, AC leži v ravnini α, kot med ravninama α in ABC = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Ugotovite: razdaljo od točke B do ravnine α.
1) Konstruirajmo VC α. Potem je KS projekcija sonca na to ravnino.
2) BC AC (po pogoju), kar pomeni po izreku treh navpičnic (TPP) KS AC. Zato je VSK linearni kot diedričnega kota med ravnino α in ravnino trikotnika ABC. To je VSK = 60 °.
3) Iz ΔBCA po Pitagorovem izreku:
Odgovor VK je enak 6 korenin iz treh cm
Praktična uporaba (aplikativna narava) pravokotnosti dveh ravnin.
Opredelitev. Diedrski kot je lik, ki ga sestavljata premica a in dve polravnini s skupno mejo a, ki ne pripadata isti ravnini.
Opredelitev. Stopinjska mera diedrskega kota je stopinjska mera katerega koli od njegovih linearnih kotov.
Opredelitev. Dve sekajoči se ravnini imenujemo pravokotni, če je kot med njima 90 o.
Znak pravokotnosti dveh ravnin.
Lastnosti.
- V kvadru je vseh šest ploskev pravokotnikov.
- Vsi diedrski koti kvadra so pravi koti
- Kvadrat diagonale pravokotnega paralelepipeda je enak vsoti kvadratov njegovih treh dimenzij.
Težave in testi na temo "Tema 7. "Dvostranski kot. Pravokotnost ravnin."
- Diedrski kot. Pravokotnost ravnin
- Pravokotnost premice in ravnine - Pravokotnost premic in ravnin, 10. razred
Lekcije: 1 Naloge: 10 Testi: 1
- Pravokotno in poševno. Kot med premico in ravnino - Pravokotnost premic in ravnin, 10. razred
Lekcije: 2 Nalogi: 10 Testov: 1
- Vzporednost ravnin - Vzporednost premic in ravnin, 10. razred
Lekcije: 1 Naloge: 8 Testi: 1
- Pravokotne črte - Osnove geometrijskih informacij 7. razred
Lekcije: 1 Naloge: 17 Testi: 1
Gradivo o temi povzema in sistematizira informacije, ki jih poznate iz planimetrije o pravokotnosti ravnih črt. Učenje izrekov o razmerju vzporednosti in pravokotnosti premic in ravnin v prostoru ter snovi o pravokotnici in nagnjenosti je priporočljivo kombinirati s sistematičnim ponavljanjem ustrezne snovi iz planimetrije.
Rešitve skoraj vseh računskih problemov se zmanjšajo na uporabo Pitagorovega izreka in njegovih posledic. Pri številnih nalogah možnost uporabe Pitagorovega izreka ali njegovih posledic utemeljuje izrek treh navpičnic oziroma lastnosti vzporednosti in pravokotnosti ravnin.
