Tính khoảng cách giữa các điểm theo tọa độ. Tính khoảng cách giữa các thành phố bằng tọa độ của chúng

Sẽ có một máy tính ở đây

Khoảng cách giữa hai điểm trên một đường thẳng

Xét một đường tọa độ trên đó đánh dấu 2 điểm: A A MỘT Và B B B. Để tìm khoảng cách giữa các điểm này, bạn cần tìm độ dài của đoạn A B AB A B. Điều này được thực hiện bằng cách sử dụng công thức sau:

Khoảng cách giữa hai điểm trên một đường thẳng

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣a−b∣,

Ở đâu a, b a, b một, b- tọa độ của các điểm này trên một đường thẳng (đường tọa độ).

Do công thức có chứa một mô đun nên khi giải nó, việc trừ tọa độ nào để trừ đi tọa độ nào không quan trọng (vì giá trị tuyệt đối của hiệu này được lấy).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣a−b ∣ =∣ b −a∣

Hãy xem một ví dụ để hiểu rõ hơn về giải pháp cho những vấn đề như vậy.

ví dụ 1

Điểm được đánh dấu trên đường tọa độ A A MỘT, có tọa độ bằng 9 9 9 và thời kỳ B B B với tọa độ − 1 -1 − 1 . Chúng ta cần tìm khoảng cách giữa hai điểm này.

Giải pháp

Đây a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 một =9 , b =− 1

Chúng tôi sử dụng công thức và thay thế các giá trị:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣a−b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Trả lời

Khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng

Xét hai điểm cho trên một mặt phẳng. Từ mỗi điểm đánh dấu trên mặt phẳng, hạ hai đường vuông góc: Về trục OX OX CON BÒ ĐỰC và trên trục ôi ôi ôi ôi. Khi đó tam giác được coi A B C ABC A B C. Vì nó là hình chữ nhật ( B C BC B C vuông góc A C AC AC), sau đó tìm đoạn A B AB A B, cũng là khoảng cách giữa các điểm, có thể được tính bằng định lý Pythagore. Chúng ta có:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2MỘT B 2 = MỘT C 2 + B C 2

Tuy nhiên, dựa trên thực tế là chiều dài A C AC AC tương đương với x B − x A x_B-x_A x B​ − x MỘT​ , và chiều dài B C BC B C tương đương với y B − y A y_B-y_A y B​ − y MỘT​ , công thức này có thể được viết lại như sau:

Khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B​ − x MỘT​ ) 2 + (y B​ − y MỘT​ ) 2 ​ ,

Ở đâu x A , y A x_A, y_A x MỘT​ , y MỘT​ Và x B , y B x_B, y_B x B​ , y B​ - tọa độ của điểm A A MỘT Và B B B tương ứng.

Ví dụ 2

Cần tìm khoảng cách giữa các điểm C C C Và F F F, nếu tọa độ đầu tiên (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , và thứ hai - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Giải pháp

X C = 8 x_C=8 x C​ = 8
y C = − 1 y_C=-1 y C​ = − 1
x F = 4 x_F=4 x F​ = 4
y F = 2 y_F=2 y F​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(x F​ − x C​ ) 2 + (y F​ − y C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Trả lời

Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian

Việc tìm khoảng cách giữa hai điểm trong trường hợp này cũng tương tự như trường hợp trước, ngoại trừ tọa độ của điểm trong không gian được xác định bằng ba số, theo đó, tọa độ của trục ứng dụng cũng phải được thêm vào công thức. Công thức sẽ trông như thế này:

Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B​ − x MỘT​ ) 2 + (y B​ − y MỘT​ ) 2 + (z B​ − zMỘT​ ) 2 ​

Ví dụ 3

Tìm độ dài của đoạn FK FKFK trong không gian nếu tọa độ các điểm ở hai đầu của nó như sau: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) Và (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Làm tròn câu trả lời đến số nguyên gần nhất.

Giải pháp

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K=(-3;6;0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x^{K-x^{F{)}^{2+(y^{K-y^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Tùy theo điều kiện của bài toán, ta cần làm tròn đáp số thành số nguyên.

Khoảng cách giữa hai điểm trên một mặt phẳng.
Hệ thống tọa độ

Mỗi điểm A của mặt phẳng được đặc trưng bởi tọa độ (x, y) của nó. Chúng trùng với tọa độ của vectơ 0A xuất phát từ điểm 0 - gốc tọa độ.

Gọi A và B là các điểm tùy ý của mặt phẳng có tọa độ lần lượt là (x 1 y 1) và (x 2, y 2).

Khi đó vectơ AB hiển nhiên có tọa độ (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Người ta biết rằng bình phương độ dài của một vectơ bằng tổng các bình phương tọa độ của nó. Do đó, khoảng cách d giữa các điểm A và B, hay độ dài của vectơ AB, được xác định từ điều kiện

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Công thức kết quả cho phép bạn tìm khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên mặt phẳng, nếu chỉ biết tọa độ của các điểm này

Mỗi khi chúng ta nói về tọa độ của một điểm cụ thể trên mặt phẳng, chúng ta muốn nói đến một hệ tọa độ được xác định rõ ràng x0y. Nói chung, hệ tọa độ trên mặt phẳng có thể được chọn theo nhiều cách khác nhau. Vì vậy, thay vì hệ tọa độ x0y, bạn có thể xem xét hệ tọa độ x"0y", hệ tọa độ này thu được bằng cách xoay các trục tọa độ cũ xung quanh điểm bắt đầu 0 ngược chiều kim đồng hồ mũi tên ở góc α .

Nếu một điểm nào đó của mặt phẳng trong hệ tọa độ x0y có tọa độ (x, y) thì trong hệ thống mới tọa độ x"0y" nó sẽ có tọa độ khác nhau (x", y").

Ví dụ, hãy xem xét điểm M, nằm trên trục 0x và cách điểm 0 một khoảng bằng 1.

Rõ ràng, trong hệ tọa độ x0y điểm này có tọa độ (cos α ,tội α ) và trong hệ tọa độ x"0y" tọa độ là (1,0).

Tọa độ của hai điểm bất kỳ trên mặt phẳng A và B phụ thuộc vào cách xác định hệ tọa độ trong mặt phẳng này. Nhưng khoảng cách giữa các điểm này không phụ thuộc vào phương pháp xác định hệ tọa độ. Chúng ta sẽ sử dụng đáng kể tình huống quan trọng này trong đoạn tiếp theo.

Bài tập

I. Tìm khoảng cách giữa các điểm trong mặt phẳng có tọa độ:

1) (3.5) và (3.4); 3) (0,5) và (5, 0); 5) (-3,4) và (9, -17);

2) (2, 1) và (- 5, 1); 4) (0, 7) và (3,3); 6) (8, 21) và (1, -3).

II. Tìm chu vi của một tam giác có các cạnh được cho bởi các phương trình:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 và y = 1.

III. Trong hệ tọa độ x0y, điểm M và N lần lượt có tọa độ (1, 0) và (0,1). Tìm tọa độ của các điểm này trong hệ tọa độ mới, có được bằng cách xoay các trục cũ quanh điểm bắt đầu một góc 30° ngược chiều kim đồng hồ.

IV. Trong hệ tọa độ x0y, điểm M và N có tọa độ (2, 0) và (\ / 3/2, - 1/2) tương ứng. Tìm tọa độ của các điểm này trong hệ tọa độ mới, có được bằng cách xoay các trục cũ quanh điểm bắt đầu một góc 30° theo chiều kim đồng hồ.

Đặt , (Hình 2.3). Bắt buộc phải tìm.

Hình 2.3. Khoảng cách giữa hai điểm.

Từ hình chữ nhật theo định lý Pytago ta có

Đó là ,

Công thức này đúng cho mọi vị trí của điểm và .

II. Việc chia một đoạn thành về vấn đề này:

Cho phép , . Cần tìm , nằm trên đoạn thẳng và chia nó theo một tỉ số cho trước (Hình 2.4.).

Hình 2.4. Phân chia một phân khúc về mặt này.

Từ sự giống nhau ~, tức là từ đâu. Tương tự như vậy.

Như vậy,

– công thức chia một đoạn cho .

Nếu , thì

- tọa độ điểm giữa của đoạn thẳng.

Bình luận. Các công thức dẫn xuất có thể được khái quát hóa cho trường hợp hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật không gian. Hãy để các điểm , . Sau đó

- công thức tìm khoảng cách giữa các điểm và .

Công thức chia một đoạn trong quan hệ.

Ngoài hệ tọa độ Descartes, một số lượng lớn các hệ tọa độ khác có thể được xây dựng trên mặt phẳng và trong không gian, nghĩa là các cách mô tả vị trí của một điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian bằng cách sử dụng hai hoặc ba tham số số (tọa độ). Chúng ta hãy xem xét một số hệ thống hiện có tọa độ

Trên mặt phẳng có thể xác định được hệ tọa độ cực , đặc biệt được sử dụng trong nghiên cứu chuyển động quay.

Hình 2.5. Hệ tọa độ cực.

Chúng ta hãy cố định một điểm trên mặt phẳng và một nửa đường thẳng nổi lên từ điểm đó, đồng thời chọn đơn vị tỷ lệ (Hình 2.5). Điểm đó được gọi là cây sào , nửa đường – trục cực . Chúng ta hãy gán hai số cho một điểm tùy ý:

– bán kính cực , bằng khoảng cách từ điểm M đến cực O;

– góc cực , bằng góc giữa trục cực và nửa đường thẳng.

Được đo bằng radian, hướng dương của các giá trị được tính từ ngược chiều kim đồng hồ, thường được giả định.

Bán kính cực tương ứng với cực; góc cực không được xác định cho nó.

Hãy tìm mối liên hệ giữa tọa độ chữ nhật và tọa độ cực (Hình 2.6).

Hình 2.6. Mối quan hệ giữa hệ tọa độ chữ nhật và hệ tọa độ cực.

Chúng ta sẽ coi gốc của hệ tọa độ chữ nhật là một cực và lấy tia là trục cực. Đặt - trong hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật và - trong hệ tọa độ cực. Hãy tìm mối quan hệ giữa tọa độ chữ nhật và tọa độ cực.

Từ hình chữ nhật và từ hình chữ nhật. Như vậy, các công thức

biểu thị tọa độ hình chữ nhật của một điểm theo tọa độ cực của nó.

Mối quan hệ nghịch đảo được thể hiện bằng các công thức

Bình luận. Góc cực cũng có thể được xác định từ công thức, trước đó đã được xác định từ tọa độ hình chữ nhật trong đó góc phần tư của điểm nằm.

Ví dụ 1. Tìm tọa độ cực của một điểm.

Giải pháp. Chúng tôi tính toán ; Góc cực được tìm thấy từ các điều kiện:

Vì vậy, , do đó.

Ví dụ 2. Tìm tọa độ hình chữ nhật của điểm.

Giải pháp. Chúng tôi tính toán

Chúng tôi nhận được.

Trong không gian ba chiều, ngoài hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật, người ta thường sử dụng hệ tọa độ trụ và tọa độ cầu.

Hệ tọa độ trụ là hệ tọa độ cực trong mặt phẳng, được thêm trục không gian vuông góc với mặt phẳng này (Hình 2.7). Vị trí của bất kỳ điểm nào được đặc trưng bởi ba số - tọa độ trụ của nó: , trong đó và là tọa độ cực (bán kính cực và góc cực) của hình chiếu của điểm lên mặt phẳng trong đó hệ tọa độ cực được chọn - ứng dụng, bằng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng xác định.

Hình 2.7. Hệ tọa độ trụ

Để thiết lập mối quan hệ giữa hệ tọa độ Descartes chữ nhật và hệ tọa độ hình trụ, ta đặt chúng tương đối với nhau như trên Hình 2.8 (ta đặt mặt phẳng trong mặt phẳng, trục cực trùng với chiều dương của trục, trục là phổ biến trong cả hai hệ tọa độ).

Gọi là tọa độ hình chữ nhật của điểm, là tọa độ hình trụ của điểm này và là hình chiếu của điểm lên mặt phẳng. Sau đó

công thức nối tọa độ hình chữ nhật và hình trụ của một điểm.

Hình 2.8. Mối quan hệ giữa hình chữ nhật Descartes

và hệ tọa độ trụ

Bình luận. Tọa độ trụ thường được sử dụng khi xét các vật thể xoay, với trục nằm dọc theo trục quay.

Hệ tọa độ cầu có thể được xây dựng như sau. Hãy chọn trục cực trong mặt phẳng. Qua điểm ta vẽ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (bình thường). Khi đó, bất kỳ điểm nào trong không gian đều có thể liên kết với ba số thực, trong đó là khoảng cách từ điểm đó đến, là góc giữa trục và hình chiếu của đoạn thẳng lên mặt phẳng và là góc giữa pháp tuyến và đoạn thẳng. Thông báo rằng , , .

Nếu đặt mặt phẳng trong mặt phẳng và chọn trục cực trùng với chiều dương của trục và chọn trục làm pháp tuyến (Hình 2.9) thì ta thu được công thức nối hai hệ tọa độ này

Hình 2.9. Mối quan hệ giữa hình cầu và hình chữ nhật Descartes

hệ thống tọa độ

Số lượng vô hướng, hoặc đại lượng vô hướng được đặc trưng hoàn toàn bằng giá trị số của chúng trong hệ đơn vị đã chọn. Số lượng vector hoặc vectơ, ngoài giá trị số còn có hướng. Ví dụ: nếu chúng ta nói rằng gió đang thổi với tốc độ 10 m/giây thì chúng ta sẽ đưa ra giá trị vô hướng của tốc độ gió, nhưng nếu chúng ta nói rằng gió tây nam đang thổi với tốc độ 10 m/giây, thì trong trường hợp này tốc độ gió sẽ là một vectơ.

Vectơđược gọi là đoạn được định hướng có độ dài nhất định, tức là một đoạn có độ dài nhất định, trong đó một trong các điểm giới hạn được lấy làm điểm bắt đầu và điểm thứ hai - làm điểm kết thúc. Chúng ta sẽ ký hiệu vectơ hoặc hoặc (Hình 2.10).

Độ dài của vectơ được biểu thị bằng ký hiệu hoặc và được gọi là mô đun của vectơ. Một vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là đơn . Vectơ được gọi là số không , nếu phần đầu và phần cuối của nó trùng nhau và được ký hiệu là θ hoặc . Vectơ null không có hướng cụ thể và có độ dài bằng 0. Các vectơ cùng nằm trên một đường thẳng hoặc song song gọi là thẳng hàng . Hai vectơ đó được gọi là bình đẳng , nếu chúng thẳng hàng thì có cùng độ dài và cùng hướng. Tất cả các vectơ 0 đều được coi là bằng nhau.

Hai vectơ thẳng hàng khác 0, có độ lớn bằng nhau nhưng ngược hướng được gọi là đối diện . Vectơ đối diện được ký hiệu là , cho vectơ đối diện.

Đến số hoạt động tuyến tính trên vectơ bao gồm các phép toán cộng, trừ vectơ và nhân vectơ với một số, tức là các phép toán có kết quả là một vectơ.

Hãy để chúng tôi xác định các hoạt động được chỉ định trên vectơ. Cho hai vectơ và được cho. Chúng ta hãy lấy một điểm O tùy ý và xây dựng một vectơ và vẽ vectơ từ điểm A. Khi đó vectơ nối phần đầu của số hạng thứ nhất với phần cuối của vectơ thứ hai được gọi là số lượng các vectơ này được ký hiệu là . Quy tắc được xem xét để tìm tổng các vectơ được gọi là quy tắc tam giác (Hình 2.11).

Tổng các vectơ tương tự có thể thu được bằng cách khác (Hình 2.12). Chúng ta hãy vẽ vectơ và vectơ từ điểm. Hãy dựng một hình bình hành trên các vectơ này như trên các cạnh. Vectơ, là đường chéo của hình bình hành vẽ từ đỉnh, sẽ là tổng. Quy tắc tìm tổng này được gọi là quy tắc hình bình hành .

Tổng của bất kỳ số hữu hạn vectơ nào cũng có thể thu được bằng cách sử dụng quy tắc đường gãy (Hình 2.13). Từ một điểm tùy ý, chúng ta vẽ một vectơ, sau đó chúng ta vẽ một vectơ, v.v. Vectơ nối điểm đầu của số đầu tiên với số cuối của số cuối cùng là tổng

vectơ dữ liệu, tức là . Rõ ràng, nếu phần cuối của số hạng cuối cùng của vectơ trùng với phần đầu của số hạng đầu tiên thì tổng các vectơ bằng vectơ null.

Bằng sự khác biệt hai vectơ và được gọi là vectơ như vậy, tổng của vectơ đó với vectơ bị trừ sẽ cho vectơ. Từ đây quy tắc xây dựng một vectơ khác biệt(Hình 2.14). Từ điểm chúng ta vẽ vectơ và vectơ . Vectơ nối hai đầu của vectơ bị trừ và vectơ bị trừ và hướng từ vectơ bị trừ đến vectơ bị trừ là hiệu.

Sản phẩm của một vectơ với số thực λ là một vectơ thẳng hàng với vectơ và có độ dài và cùng hướng với vectơ if , và có hướng ngược lại với vectơ if .

Đã nhập hoạt động tuyến tính trên vectơ có của cải :

10 . Tính giao hoán của phép cộng: .

20 . Tính kết hợp bổ sung: .

ba mươi . Sự tồn tại của phần tử trung hòa bằng phép cộng: .

4 0 . Sự tồn tại của phần tử đối diện bằng phép cộng:

50 . Phân phối của phép nhân với một số so với phép cộng các vectơ: .

6 0 . Phân phối của nhân một vectơ với tổng của hai số:

7 0 . Thuộc tính kết hợp liên quan đến phép nhân vectơ với tích các số: .

Cho hệ vectơ:

Biểu thức trong đó λ i (i = 1,2,…, n) là một số số được gọi là kết hợp tuyến tính hệ vectơ (2.1). Hệ vectơ (2.1) được gọi là phụ thuộc tuyến tính , nếu tổ hợp tuyến tính của chúng bằng 0, với điều kiện là không phải tất cả các số λ 1, λ 2, ..., λ n đều bằng 0. Hệ vectơ (2.1) được gọi là độc lập tuyến tính , nếu tổ hợp tuyến tính của chúng chỉ bằng 0 nếu tất cả các số λ i = 0 (). Chúng ta có thể đưa ra một định nghĩa khác về sự phụ thuộc tuyến tính của vectơ. Hệ vectơ (2.1) được gọi là phụ thuộc tuyến tính , nếu bất kỳ vectơ nào của hệ này được biểu diễn tuyến tính theo các vectơ khác, nếu không thì hệ vectơ (2.1) độc lập tuyến tính .

Với các vectơ nằm trong mặt phẳng, các khẳng định sau đây đúng.

10 . Ba vectơ bất kỳ trên một mặt phẳng đều phụ thuộc tuyến tính.

20 . Nếu số lượng vectơ này trên mặt phẳng nhiều hơn ba thì chúng cũng phụ thuộc tuyến tính.

ba mươi . Để hai vectơ trên một mặt phẳng độc lập tuyến tính thì điều cần và đủ là chúng không thẳng hàng.

Như vậy, Số lớn nhất các vectơ độc lập tuyến tính trên mặt phẳng bằng hai.

Các vectơ được gọi là đồng phẳng , nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc song song với cùng một mặt phẳng. Các phát biểu sau đây đúng với vectơ không gian.

10 . Bốn vectơ không gian đều phụ thuộc tuyến tính.

20 . Nếu số lượng vectơ này trong không gian lớn hơn bốn thì chúng cũng phụ thuộc tuyến tính.

ba mươi . Để ba vectơ độc lập tuyến tính, điều cần thiết và đủ là chúng không đồng phẳng.

Như vậy, số lượng vectơ độc lập tuyến tính tối đa trong không gian là ba.

Bất kỳ hệ thống con cực đại nào của các vectơ độc lập tuyến tính mà qua đó bất kỳ vectơ nào của hệ thống này được biểu diễn đều được gọi là nền tảng cái đang được xem xét hệ thống vectơ . Dễ dàng kết luận rằng cơ sở trên mặt phẳng gồm hai vectơ không thẳng hàng và cơ sở trong không gian gồm ba vectơ không đồng phẳng. Số vectơ cơ sở được gọi là thứ hạng hệ thống vectơ. Các hệ số khai triển của một vectơ thành các vectơ cơ sở được gọi là tọa độ vector trong cơ sở này.

Cho các vectơ tạo thành một cơ sở và đặt , khi đó các số λ 1, λ 2, λ 3 là tọa độ của vectơ trong cơ sở. Trường hợp này viết Có thể chứng minh rằng phân tích của vectơ trong cơ sở là duy nhất . Ý nghĩa chính của cơ sở là các phép toán tuyến tính trên vectơ trở thành phép toán tuyến tính thông thường trên các số - tọa độ của các vectơ này. Sử dụng tính chất của các phép toán tuyến tính trên vectơ, ta có thể chứng minh định lý sau.

Định lý. Khi hai vectơ được thêm vào, tọa độ tương ứng của chúng sẽ được thêm vào. Khi nhân một vectơ với một số thì tất cả tọa độ của nó đều được nhân với số đó.

Vì vậy, nếu và , thì , trong đó , và ở đâu , λ là một số nhất định.

Thông thường, tập hợp tất cả các vectơ trong mặt phẳng, được rút gọn về một gốc chung, với các phép toán tuyến tính được giới thiệu, được ký hiệu là V 2, và tập hợp tất cả các vectơ trong không gian, được rút gọn về một gốc chung, được ký hiệu là V 3. Các tập V 2 và V 3 được gọi là không gian của các vectơ hình học.

Góc giữa các vectơ và được gọi là góc nhỏ nhất () mà một trong các vectơ phải quay cho đến khi trùng với vectơ thứ hai sau khi đưa các vectơ này về một gốc chung.

Sản phẩm chấm hai vectơ là một số bằng tích mô đun của các vectơ này và cosin của góc giữa chúng. Tích vô hướng của vectơ và được ký hiệu là , hoặc

Nếu góc giữa các vectơ và bằng , thì

Từ quan điểm hình học, tích vô hướng của các vectơ bằng tích của mô đun của một vectơ và hình chiếu của một vectơ khác lên nó. Từ đẳng thức (2.2) suy ra rằng

Từ đây điều kiện trực giao của hai vectơ: hai vectơ Và trực giao khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0, tức là .

Tích vô hướng của vectơ không phải là phép toán tuyến tính vì kết quả của nó là một số chứ không phải vectơ.

Tính chất của tích vô hướng.

1 độ. – tính giao hoán.

2 độ. – tính phân phối.

3 độ. - tính kết hợp đối với một yếu tố số.

4 độ. - tính chất của bình phương vô hướng.

Từ tính chất 4° tuân theo định nghĩa chiều dài vectơ :

Cho một cơ sở trong không gian V 3, trong đó các vectơ là vectơ đơn vị (gọi là vectơ đơn vị), hướng của mỗi vectơ trùng với chiều dương của các trục tọa độ Ox, Oy, Oz của tọa độ Descartes hình chữ nhật hệ thống.

Ta khai triển vectơ không gian V 3 theo cơ sở sau (Hình 2.15):

Vector được gọi là thành phần vector dọc theo trục tọa độ, hay thành phần, số a x , a y , a z– tọa độ Descartes hình chữ nhật của vectơ MỘT. Hướng của vectơ được xác định bởi các góc α, β, γ tạo bởi nó với các đường tọa độ. Cosin của các góc này được gọi là vectơ chỉ phương. Khi đó cosin chỉ hướng được xác định theo công thức:

Thật dễ dàng để chứng minh điều đó

Hãy biểu diễn tích vô hướng ở dạng tọa độ.

Để cho nó được. Nhân các vectơ này dưới dạng đa thức và tính đến việc chúng ta thu được biểu thức tìm tích vô hướng ở dạng tọa độ:

những thứ kia. tích vô hướng của hai vectơ bằng tổng các tích cặp tọa độ cùng tên.

Từ (2.6) và (2.4) tuân theo công thức tìm chiều dài vectơ :

Từ (2.6) và (2.7) ta thu được công thức xác định góc giữa các vectơ:

Một bộ ba vectơ được gọi là có thứ tự nếu nó chỉ ra vectơ nào được coi là vectơ thứ nhất, vectơ nào được coi là vectơ thứ hai và vectơ nào được coi là vectơ thứ ba.

Đã đặt hàng ba vectơ gọi điện Phải , nếu sau khi đưa chúng về một gốc chung từ điểm cuối của vectơ thứ ba, quãng đường ngắn nhất từ ​​vectơ thứ nhất sang vectơ thứ hai được thực hiện ngược chiều kim đồng hồ. Ngược lại, bộ ba vectơ được gọi là bên trái . Ví dụ, trong Hình 2.15, các vectơ , , tạo thành bộ ba vectơ bên phải và các vectơ , , tạo thành bộ ba vectơ bên trái.

Theo cách tương tự, khái niệm hệ tọa độ phải và trái trong không gian ba chiều được giới thiệu.

tác phẩm nghệ thuật vector vectơ theo vectơ là một vectơ (ký hiệu khác) rằng:

1) có độ dài , ở đâu là góc giữa các vectơ và ;

2) vuông góc với các vectơ và (), tức là vuông góc với mặt phẳng chứa các vectơ và ;

Theo định nghĩa, ta tìm tích vectơ của vectơ đơn vị tọa độ , , :

Nếu , , thì tọa độ tích vectơ của một vectơ và một vectơ được xác định theo công thức:

Từ định nghĩa suy ra ý nghĩa hình học của nghệ thuật vector : độ lớn của vectơ bằng diện tích hình bình hành dựng trên vectơ và .

Thuộc tính của tích vectơ:

4 0 . , nếu các vectơ và thẳng hàng hoặc một trong các vectơ này bằng 0.

Ví dụ 3. Hình bình hành được xây dựng trên các vectơ và , trong đó , , . Tính độ dài các đường chéo của hình bình hành này, góc giữa hai đường chéo và diện tích của hình bình hành.

Giải pháp. Việc xây dựng các vectơ được thể hiện trên hình 2.16, việc xây dựng hình bình hành trên các vectơ này được thể hiện trên hình 2.17.

Hãy để chúng tôi thực hiện một giải pháp phân tích cho vấn đề này. Chúng ta hãy biểu diễn các vectơ xác định các đường chéo của hình bình hành được dựng thông qua các vectơ và , sau đó qua và . Chúng ta tìm thấy , . Tiếp theo, chúng ta tìm độ dài các đường chéo của hình bình hành bằng độ dài của các vectơ được dựng

Góc giữa các đường chéo của hình bình hành được ký hiệu là . Khi đó từ công thức tính tích vô hướng của vectơ ta có:

Kể từ đây, .

Sử dụng các tính chất của tích vectơ, chúng ta tính diện tích hình bình hành:

Cho ba vectơ , và , . Hãy tưởng tượng rằng vectơ được nhân với vectơ và vectơ và vectơ kết quả được nhân vô hướng với vectơ, từ đó xác định được số. Nó được gọi là vectơ vô hướng hoặc công việc hỗn hợp ba vectơ , và . Ký hiệu là hoặc.

Hãy cùng tìm hiểu ý nghĩa hình học của sản phẩm hỗn hợp (Hình 2.18). Cho , , không đồng phẳng. Hãy xây dựng một đường song song trên các vectơ này như trên các cạnh. Tích chéo là một vectơ có mô đun bằng diện tích của hình bình hành (đáy của hình bình hành), được xây dựng trên các vectơ và có hướng vuông góc với mặt phẳng của hình bình hành.

Tích chấm (bằng tích mô đun của vectơ và hình chiếu lên ). Chiều cao của hình bình hành được xây dựng là giá trị tuyệt đối của hình chiếu này. Do đó, giá trị tuyệt đối của tích hỗn hợp của ba vectơ bằng thể tích của hình bình hành dựng trên các vectơ , và , tức là. .

Do đó khối lượng Kim tự tháp hình tam giác, được xây dựng trên các vectơ , và , được tính theo công thức .

Hãy lưu ý thêm một số Tính chất của sản phẩm hỗn hợp vectơ.

1 giờ. Dấu của tích là dương nếu các vectơ , , và tạo thành một hệ thống có cùng tên với hệ thống chính và âm nếu ngược lại.

Thật sự, tích vô hướng là dương nếu góc giữa và là nhọn và âm nếu góc tù. Với một góc nhọn giữa và , các vectơ và nằm ở một phía so với đáy của hình bình hành, và do đó, từ phần cuối của vectơ, phép quay từ đến sẽ được nhìn thấy giống như từ phần cuối của vectơ. vectơ, tức là theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ).

Ở một góc tù, cả hai vectơ và đều nằm ở các cạnh khác nhau so với mặt phẳng của hình bình hành nằm ở đáy của hình bình hành, và do đó, từ đầu của vectơ, chuyển động quay từ đến có thể nhìn thấy theo hướng âm ( theo chiều kim đồng hồ).

2 o Một sản phẩm hỗn hợp không thay đổi khi các yếu tố của nó được sắp xếp lại theo vòng tròn: .

3 o Khi hai vectơ bất kỳ được sắp xếp lại, tích hỗn hợp chỉ thay đổi dấu. Ví dụ, , . , . - hệ thống chưa biết.

Hệ thống(3.1) được gọi là đồng nhất , nếu tất cả thành viên đều rảnh . Hệ thống (3.1) được gọi là không đồng nhất , nếu có ít nhất một trong số các thành viên miễn phí .

Giải pháp hệ thốngđược gọi là tập hợp số, khi thay chúng vào các phương trình của hệ thay cho ẩn số tương ứng thì mỗi phương trình của hệ trở thành một đơn vị. Một hệ không có nghiệm được gọi là không tương thích, hoặc gây tranh cãi . Một hệ có ít nhất một nghiệm được gọi là chung .

Hệ thống khớp được gọi là chắc chắn , nếu nó có nghiệm duy nhất. Nếu một hệ thống nhất quán có nhiều hơn một giải pháp thì nó được gọi là không chắc chắn . Một hệ thống đồng nhất luôn nhất quán vì nó có ít nhất nghiệm bằng 0. Một biểu thức cho những ẩn số mà từ đó có thể thu được nghiệm cụ thể của hệ được gọi là quyết định chung , và bất kỳ giải pháp cụ thể nào của hệ thống là của nó giải pháp riêng . Hai hệ thống có cùng ẩn số tương đương (tương đương ), nếu mỗi nghiệm của một trong chúng là nghiệm của hệ kia hoặc cả hai hệ đều không nhất quán.

Hãy xem xét các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính.

Một trong những phương pháp chính để giải hệ phương trình tuyến tính là phương pháp Gauss, hoặc phương pháp tuần tự loại trừ những điều chưa biết. Bản chất của phương pháp này là đưa hệ phương trình tuyến tính về dạng từng bước. Trong trường hợp này, các phương trình sau phải được thực hiện: các phép biến đổi cơ bản :

1. Sắp xếp lại các phương trình của hệ.

2. Thêm một phương trình khác vào một phương trình.

3. Nhân cả hai vế của phương trình với một số khác 0.

Kết quả là hệ thống sẽ có dạng:

Tiếp tục quá trình này hơn nữa, chúng tôi loại bỏ ẩn số khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ phương trình thứ ba. Để làm điều này, nhân phương trình thứ hai với các số và cộng với phương trình thứ 3, ..., của hệ thống. Các bước sau của phương pháp Gauss được thực hiện tương tự. Nếu kết quả của các phép biến đổi, chúng ta thu được một phương trình giống hệt nhau thì chúng ta sẽ xóa nó khỏi hệ thống. Nếu ở một bước nào đó của phương pháp Gaussian thu được phương trình có dạng:

thì hệ thống đang được xem xét không nhất quán và giải pháp tiếp theo của nó sẽ chấm dứt. Nếu không gặp phương trình có dạng (3.2) khi thực hiện các phép biến đổi cơ bản thì hệ (3.1) sẽ được chuyển thành dạng từng bước không quá - bước:

Để thu được một nghiệm cụ thể của hệ thống, cần phải gán các giá trị cụ thể cho các biến tự do trong (3.4).

Lưu ý rằng vì trong phương pháp Gauss, tất cả các phép biến đổi được thực hiện trên các hệ số của phương trình chưa biết và số hạng tự do, nên trong thực tế, phương pháp này thường được áp dụng cho ma trận gồm các hệ số của ẩn số và một cột các số hạng tự do. Ma trận này được gọi là mở rộng. Sử dụng các phép biến đổi cơ bản, ma trận này được giảm xuống dạng từng bước. Sau đó, bằng cách sử dụng ma trận thu được, hệ thống được xây dựng lại và tất cả các suy luận trước đó được áp dụng cho nó.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:

Giải pháp. Chúng tôi tạo một ma trận mở rộng và giảm nó thành dạng từng bước:

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - dòng thứ hai được nhân với và dòng thứ ba bị gạch bỏ.

Cho hệ tọa độ hình chữ nhật.

Định lý 1.1.Đối với hai điểm bất kỳ M 1 (x 1;y 1) và M 2 (x 2;y 2) của mặt phẳng, khoảng cách d giữa chúng được biểu thị bằng công thức

Bằng chứng. Thả các đường vuông góc M 1 B và M 2 A lần lượt từ các điểm M 1 và M 2

trên trục Oy và Ox và ký hiệu là K là giao điểm của đường M 1 B và M 2 A (Hình 1.4). Có thể xảy ra các trường hợp sau:

1) Điểm M 1, M 2 và K khác nhau. Hiển nhiên điểm K có tọa độ (x 2;y 1). Dễ dàng nhận thấy M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. Bởi vì ∆M 1 KM 2 là hình chữ nhật nên theo định lý Pytago d = M 1 M 2 = = .

2) Điểm K trùng với điểm M 2 nhưng khác điểm M 1 (Hình 1.5). Trong trường hợp này y 2 = y 1

và d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) Điểm K trùng với điểm M 1 nhưng khác điểm M 2. Trong trường hợp này x 2 = x 1 và d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) Điểm M 2 trùng với điểm M 1. Khi đó x 1 = x 2, y 1 = y 2 và

d = M 1 M 2 = O = .

Phân chia một phân khúc về mặt này.

Cho một đoạn tùy ý M 1 M 2 trên mặt phẳng và đặt M ─ bất kỳ điểm nào trong đó

đoạn khác với điểm M 2 (Hình 1.6). Số l, được xác định bởi đẳng thức l = , gọi điện thái độ, tại đó M chia đoạn M 1 M 2.

Định lý 1.2. Nếu một điểm M(x;y) chia đoạn M 1 M 2 theo l thì tọa độ của điểm này được xác định theo công thức

x = , y = , (4)

trong đó (x 1;y 1) ─ tọa độ điểm M 1, (x 2;y 2) ─ tọa độ điểm M 2.

Bằng chứng. Hãy chứng minh công thức đầu tiên (4). Công thức thứ hai được chứng minh tương tự. Có hai trường hợp có thể xảy ra.

x = x 1 = = = .

2) Đường thẳng M 1 M 2 không vuông góc với trục Ox (Hình 1.6). Ta hạ các đường vuông góc từ các điểm M 1, M, M 2 xuống trục Ox và ký hiệu các giao điểm của chúng với trục Ox lần lượt là P 1, P, P 2. Theo định lý phân đoạn tỉ lệ = tôi.

Bởi vì P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – phâny và các số (x – x 1) và (x 2 – x) cùng dấu (tại x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 là âm), thì

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Hệ quả 1.2.1. Nếu M 1 (x 1;y 1) và M 2 (x 2;y 2) là hai điểm tùy ý và điểm M(x;y) là trung điểm của đoạn M 1 M 2, thì

x = , y = (5)

Bằng chứng. Vì M 1 M = M 2 M nên l = 1 và sử dụng công thức (4) chúng ta thu được công thức (5).

Diện tích của một hình tam giác.

Định lý 1.3. Với mọi điểm A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) và C(x 3;y 3) không nằm trên cùng một điểm

đường thẳng thì diện tích S của tam giác ABC được biểu thị bằng công thức

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Bằng chứng. Diện tích ∆ ABC như hình vẽ. 1.7 thì ta tính như sau

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Ta tính diện tích hình thang:

S ADEC =
,

S BCEF =

Bây giờ chúng tôi có

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Đối với vị trí khác ∆ ABC, công thức (6) được chứng minh theo cách tương tự nhưng có thể có dấu “-”. Vì vậy, trong công thức (6) họ đặt dấu mô đun.

Bài giảng 2.

Phương trình đường thẳng trên mặt phẳng: phương trình đường thẳng có hệ số chính, phương trình tổng quát của đường thẳng, phương trình đường thẳng trên các đoạn thẳng, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. Góc giữa các đường thẳng, điều kiện về độ song song và vuông góc của các đường thẳng trên mặt phẳng.

2.1. Cho một hệ tọa độ hình chữ nhật và một số đường thẳng L trên mặt phẳng.

Định nghĩa 2.1. Phương trình có dạng F(x;y) = 0 nối biến x và y được gọi là phương trình đường L(V hệ thống nhất định tọa độ), nếu phương trình này được thỏa mãn bởi tọa độ của bất kỳ điểm nào nằm trên đường thẳng L, chứ không phải bởi tọa độ của bất kỳ điểm nào không nằm trên đường thẳng này.

Ví dụ về phương trình đường thẳng trên mặt phẳng.

1) Xét đường thẳng song song với trục Oy của hệ tọa độ chữ nhật (Hình 2.1). Chúng ta hãy biểu thị bằng chữ A điểm giao nhau của đường thẳng này với trục Ox, (a;o) ─ hoặc-

Dinata. Phương trình x = a là phương trình của đường thẳng đã cho. Thật vậy, phương trình này thỏa mãn tọa độ của bất kỳ điểm M(a;y) nào của đường thẳng này và không thỏa mãn bởi tọa độ của bất kỳ điểm nào không nằm trên đường thẳng. Nếu a = 0 thì đường thẳng trùng với trục Oy có phương trình x = 0.

2) Phương trình x - y = 0 xác định tập hợp các điểm của mặt phẳng tạo nên các đường phân giác của góc tọa độ I và III.

3) Phương trình x 2 - y 2 = 0 ─ là phương trình hai đường phân giác của các góc tọa độ.

4) Phương trình x 2 + y 2 = 0 xác định một điểm O(0;0) trên mặt phẳng.

5) Phương trình x 2 + y 2 = 25 ─ phương trình đường tròn bán kính 5 có tâm tại gốc tọa độ.

Bài học: Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm; phương trình của hình cầu

Khoảng cách giữa hai điểm

Để tìm khoảng cách giữa hai điểm trên một đường thẳng trong câu hỏi trước, chúng ta đã sử dụng công thức d = x 2 – x 1.

Nhưng đối với máy bay thì mọi chuyện lại khác. Chỉ tìm sự khác biệt về tọa độ là chưa đủ. Để tìm khoảng cách giữa các điểm bằng tọa độ của chúng, hãy sử dụng công thức sau:

Ví dụ: nếu bạn có hai điểm có tọa độ nhất định thì bạn có thể tìm khoảng cách giữa chúng như sau:

A (4;-1), B (-4;6):

AB = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2) 1/2 ≈ 10,6.

Nghĩa là, để tính khoảng cách giữa hai điểm trên một mặt phẳng, cần tìm căn bậc hai của tổng bình phương các hiệu tọa độ.

Nếu cần tìm khoảng cách giữa hai điểm trên một mặt phẳng, bạn nên sử dụng công thức tương tự với tọa độ bổ sung:

phương trình hình cầu

Để xác định một hình cầu trong không gian, bạn cần biết tọa độ tâm cũng như bán kính của nó để sử dụng công thức sau:

Phương trình này tương ứng với một hình cầu có tâm ở gốc tọa độ.

Nếu tâm của hình cầu bị dịch chuyển một số đơn vị nhất định dọc theo trục thì nên sử dụng công thức sau.