Noktalar arasındaki mesafenin koordinatlarla hesaplanması. Koordinatlarını kullanarak şehirler arasındaki mesafelerin hesaplanması

Burada bir hesap makinesi olacak

Bir doğru üzerindeki iki nokta arasındaki mesafe

Üzerinde 2 noktanın işaretlendiği bir koordinat çizgisi düşünün: bir bir A Ve B B B. Bu noktalar arasındaki mesafeyi bulmak için parçanın uzunluğunu bulmanız gerekir. A B AB AB. Bu, aşağıdaki formül kullanılarak yapılır:

Bir doğru üzerindeki iki nokta arasındaki mesafe

Bir B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|bir B =∣a−b∣,

Nerede a, b a, b a, b- bu noktaların düz bir çizgideki koordinatları (koordinat çizgisi).

Formülün bir modül içermesi nedeniyle çözerken hangi koordinatın hangisinden çıkarılacağı önemli değildir (çünkü bu farkın mutlak değeri alınır).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣a−b ∣ =∣ b -a∣

Bu tür sorunların çözümünü daha iyi anlamak için bir örneğe bakalım.

örnek 1

Koordinat çizgisi üzerinde noktalar işaretlenmiştir bir bir A koordinatı şuna eşit olan 9 9 9 ve dönem B B B koordinatlı − 1 -1 − 1 . Bu iki nokta arasındaki mesafeyi bulmamız gerekiyor.

Çözüm

Burada a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 bir =9, b =− 1

Formülü kullanıyoruz ve değerleri değiştiriyoruz:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10bir B =∣a−b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Cevap

Düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafe

Düzlem üzerinde verilen iki noktayı düşünün. Düzlemde işaretlenen her noktadan iki dik noktayı indirmeniz gerekir: Eksene O X ÖKÜZ ÖKÜZ ve aks üzerinde oy oy oy OY. Daha sonra üçgen dikkate alınır A B C ABC ABC. Dikdörtgen olduğundan ( M.C.M.Ö. M.Ö dik ACAC AC), ardından segmenti bulun A B AB AB Aynı zamanda noktalar arasındaki mesafe olan Pisagor teoremi kullanılarak yapılabilir. Sahibiz:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Ancak uzunluk gerçeğine dayanarak ACAC AC eşittir x B − x Bir x_B-x_A X B​ − X A​ ve uzunluk M.C.M.Ö. M.Ö eşittir y B − y A y_B-y_A sen B​ − sen A​ Bu formül şu şekilde yeniden yazılabilir:

Düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafe

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)bir B =(X B​ − X A​ ) 2 + (sen B​ − sen A​ ) 2 ​ ,

Nerede x Bir , y Bir x_A, y_A X A​ , sen A​ Ve x B , y B x_B, y_B X B​ , sen B​ - noktaların koordinatları bir bir A Ve B B B sırasıyla.

Örnek 2

Noktalar arasındaki mesafeyi bulmak gerekir CC C Ve F F F, eğer ilk koordinatlar (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , ve ikinci - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Çözüm

X C = 8 x_C=8 X C​ = 8
y C = − 1 y_C=-1 sen C​ = − 1
x F = 4 x_F=4 X F​ = 4
y F = 2 y_F=2 sen F​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(X F​ − X C​ ) 2 + (sen F​ − sen C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Cevap

Uzayda iki nokta arasındaki mesafe

Bu durumda iki nokta arasındaki mesafenin bulunması, uzaydaki noktanın koordinatlarının üç sayı ile belirtilmesi dışında öncekine benzer; buna göre, uygulanan eksenin koordinatının da formüle eklenmesi gerekir. Formül şöyle görünecek:

Uzayda iki nokta arasındaki mesafe

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)bir B =(X B​ − X A​ ) 2 + (sen B​ − sen A​ ) 2 + (z B​ − zA​ ) 2 ​

Örnek 3

Segmentin uzunluğunu bulun FK FKFk uzayda uçlarındaki noktaların koordinatları aşağıdaki gibi ise: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) Ve (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Cevabı en yakın tam sayıya yuvarlayın.

Çözüm

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K=(-3;6;0)k=(-3;6;0)$

$Fk=\sqrt{(X^{k-X^{F{)}^{2+({sen}^{k-{sen}^{F{)}^{2+(z^{k-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Problemin koşullarına göre cevabı tam sayıya yuvarlamamız gerekiyor.

Düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafe.
Koordinat sistemleri

Düzlemin her A noktası koordinatları (x, y) ile karakterize edilir. Koordinatların orijini olan 0 noktasından çıkan 0A vektörünün koordinatlarıyla çakışırlar.

A ve B'nin düzlemin sırasıyla (x 1 y 1) ve (x 2, y 2) koordinatlarına sahip rastgele noktaları olmasına izin verin.

O zaman AB vektörünün koordinatları olduğu açıktır (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Bir vektörün uzunluğunun karesinin, koordinatlarının karelerinin toplamına eşit olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, A ve B noktaları arasındaki d mesafesi veya aynı şey olan AB vektörünün uzunluğu şu koşuldan belirlenir:

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Ortaya çıkan formül, yalnızca bu noktaların koordinatları biliniyorsa, düzlemdeki herhangi iki nokta arasındaki mesafeyi bulmanızı sağlar.

Düzlemdeki belirli bir noktanın koordinatlarından bahsettiğimizde, iyi tanımlanmış bir x0y koordinat sistemini kastediyoruz. Genel olarak bir düzlemdeki koordinat sistemi farklı şekillerde seçilebilir. Yani x0y koordinat sistemi yerine eski koordinat eksenlerinin 0 başlangıç ​​noktası etrafında döndürülmesiyle elde edilen x"0y" koordinat sistemini düşünebilirsiniz. saat yönünün tersine köşedeki oklar α .

X0y koordinat sistemindeki düzlemin bir noktasının koordinatları (x, y) varsa, o zaman yeni sistem x"0y" koordinatları farklı koordinatlara (x", y") sahip olacaktır.

Örnek olarak, 0x ekseninde bulunan ve 0 noktasından 1 uzaklıkta ayrılan M noktasını düşünün.

Açıkçası, x0y koordinat sisteminde bu noktanın koordinatları vardır (çünkü α ,günah α ) ve x"0y" koordinat sisteminde koordinatlar (1,0)'dır.

A ve B düzlemindeki herhangi iki noktanın koordinatları, bu düzlemde koordinat sisteminin nasıl belirtildiğine bağlıdır. Ancak bu noktalar arasındaki mesafe koordinat sisteminin belirtilme yöntemine bağlı değildir. Bir sonraki paragrafta bu önemli durumdan önemli ölçüde yararlanacağız.

Egzersizler

I. Düzlemin noktaları arasındaki mesafeleri koordinatlarla bulun:

1) (3.5) ve (3.4); 3) (0,5) ve (5, 0); 5) (-3,4) ve (9, -17);

2) (2, 1) ve (- 5, 1); 4) (0, 7) ve (3,3); 6) (8, 21) ve (1, -3).

II. Kenarları denklemlerle verilen bir üçgenin çevresini bulun:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 ve y = 1.

III. x0y koordinat sisteminde M ve N noktaları sırasıyla (1, 0) ve (0,1) koordinatlarına sahiptir. Eski eksenlerin başlangıç ​​noktası etrafında saat yönünün tersine 30° açıyla döndürülmesiyle elde edilen yeni koordinat sisteminde bu noktaların koordinatlarını bulun.

IV. x0y koordinat sisteminde M ve N noktaları (2, 0) ve (\ / 3/2, - 1/2) sırasıyla. Eski eksenlerin başlangıç ​​noktası etrafında saat yönünde 30° açıyla döndürülmesiyle elde edilen yeni koordinat sisteminde bu noktaların koordinatlarını bulun.

, (Şekil 2.3) olsun. Bulmak için gerekli.

Şekil 2.3. İki nokta arasındaki mesafe.

Pisagor teoremine göre dikdörtgenden elimizdeki

Yani ,

Bu formül ve noktalarının herhangi bir konumu için geçerlidir.

II. Bir segmenti parçalara bölme bu konuda:

İzin vermek , . Segmentin üzerinde durup onu belirli bir oranda bölerek bulmak gerekir (Şekil 2.4.).

Şekil 2.4. Bu bakımdan bir segmentin bölünmesi.

Benzerlikten ~, yani nereden. Aynı şekilde.

Böylece,

– ile ilgili olarak bir segmenti bölme formülü.

Eğer öyleyse

– segmentin ortasının koordinatları.

Yorum. Türetilen formüller uzaysal dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi durumuna genelleştirilebilir. Noktalar olsun, . Daha sonra

- noktalar arasındaki mesafeyi bulmak için formül.

Bir segmenti ilişkili olarak bölme formülü.

Kartezyen olanlara ek olarak, bir düzlemde ve uzayda çok sayıda başka koordinat sistemi, yani iki veya üç sayısal parametre (koordinatlar) kullanılarak bir noktanın düzlemdeki veya uzaydaki konumunu karakterize etmenin yolları oluşturulabilir. Bazılarına bakalım mevcut sistemler koordinatlar

Bir uçakta belirlemek mümkündür kutupsal koordinat sistemi özellikle dönme hareketlerinin incelenmesinde kullanılır.

Şekil 2.5. Kutupsal koordinat sistemi.

Düzlem üzerinde bir nokta ve ondan çıkan yarım çizgiyi sabitleyelim ve ayrıca bir ölçek birimi seçelim (Şekil 2.5). Nokta denir kutup , yarım çizgi – kutup ekseni . Rastgele bir noktaya iki sayı atayalım:

– kutup yarıçapı , M noktasından O kutbuna olan mesafeye eşit;

– kutup açısı , kutup ekseni ile yarım çizgi arasındaki açıya eşittir.

Radyan cinsinden ölçülen değerlerin pozitif yönü genellikle varsayıldığı gibi saat yönünün tersine sayılır.

Kutup yarıçapı direğe karşılık gelir; kutup açısı bunun için tanımlanmamıştır.

Dikdörtgen ve kutupsal koordinatlar arasındaki ilişkiyi bulalım (Şekil 2.6).

Şekil 2.6. Dikdörtgen ve kutupsal koordinat sistemleri arasındaki ilişki.

Dikdörtgen koordinat sisteminin orijinini bir kutup, ışınını da kutup ekseni olarak kabul edeceğiz. - Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde ve - kutupsal koordinat sisteminde olsun. Dikdörtgen ve kutupsal koordinatlar arasındaki ilişkiyi bulalım.

Dikdörtgen ve dikdörtgenden. Böylece formüller

Bir noktanın dikdörtgen koordinatlarını kutupsal koordinatları cinsinden ifade edin.

Ters ilişki formüllerle ifade edilir

Yorum. Kutup açısı, noktanın bulunduğu çeyreğin bulunduğu dikdörtgen koordinatlardan önceden belirlenmiş olan formülden de belirlenebilir.

Örnek 1. Bir noktanın kutupsal koordinatlarını bulun.

Çözüm. Hesaplıyoruz; Kutup açısı şu koşullardan bulunur:

Bu nedenle, bu nedenle.

Örnek 2. Noktanın dikdörtgen koordinatlarını bulun.

Çözüm. Hesaplıyoruz

Anlıyoruz.

Üç boyutlu uzayda dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin yanı sıra silindirik ve küresel koordinat sistemleri de sıklıkla kullanılmaktadır.

Silindirik koordinat sistemi düzleme dik bir uzaysal eksenin eklendiği düzlemdeki kutupsal bir koordinat sistemidir (Şekil 2.7). Herhangi bir noktanın konumu üç sayı ile karakterize edilir - silindirik koordinatları: , burada ve noktanın kutupsal koordinat sisteminin seçildiği düzleme izdüşümünün kutupsal koordinatları (kutupsal yarıçap ve kutup açısı) - uygulama, bu, noktadan belirtilen düzleme olan mesafeye eşittir.

Şekil 2.7. Silindirik koordinat sistemi

Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi ile silindirik koordinat sistemi arasındaki ilişkiyi kurmak için, bunları Şekil 2.8'deki gibi birbirlerine göre konumlandırıyoruz (düzlemi düzleme yerleştiriyoruz ve kutupsal eksen, eksenin pozitif yönüne, eksene denk geliyor) her iki koordinat sisteminde de ortaktır).

Noktanın dikdörtgen koordinatları, bu noktanın silindirik koordinatları ve noktanın düzleme izdüşümü olsun. Daha sonra

Bir noktanın dikdörtgen ve silindirik koordinatlarını bağlayan formüller.

Şekil 2.8. Dikdörtgen Kartezyen arasındaki ilişki

ve silindirik koordinat sistemleri

Yorum. Silindirik koordinatlar genellikle dönme gövdeleri dikkate alınırken eksenin dönme ekseni boyunca konumlandırıldığı şekilde kullanılır.

Küresel koordinat sistemi aşağıdaki gibi inşa edilebilir. Düzlemde kutup eksenini seçelim. Noktadan düzleme dik (normal) düz bir çizgi çiziyoruz. O zaman uzaydaki herhangi bir nokta üç gerçek sayıyla ilişkilendirilebilir; burada noktadan uzaklık, eksen ile parçanın düzlem üzerindeki izdüşümü arasındaki açı ve normal ile parça arasındaki açıdır. Dikkat edin, , , .

Düzlemi düzlemde konumlandırıp kutup eksenini eksenin pozitif yönüne denk gelecek şekilde seçip ekseni normal olarak seçersek (Şekil 2.9), bu iki koordinat sistemini birbirine bağlayan formüller elde ederiz.

Şekil 2.9. Küresel ve dikdörtgen Kartezyen arasındaki ilişki

koordinat sistemleri

Skaler büyüklükler, veya skalerler, seçilen birim sistemindeki sayısal değerleriyle tamamen karakterize edilir. Vektör nicelikleri veya vektörlerin sayısal değerlerinin yanı sıra bir yönü de vardır. Örneğin rüzgarın 10 m/sn hızla estiğini söylersek rüzgar hızının skaler değerini ortaya koyacağız, ancak güneybatı rüzgarının 10 m/sn hızla estiğini söylersek, o zaman bu durumda rüzgar hızı zaten bir vektör olacaktır.

Vektör belirli bir uzunluğa sahip yönlendirilmiş bir bölüm olarak adlandırılır, yani. Sınırlayıcı noktalardan birinin başlangıç, ikincisinin son olarak alındığı belirli bir uzunlukta bir bölüm. Vektörü ya ya da olarak göstereceğiz (Şekil 2.10).

Bir vektörün uzunluğu veya sembolü ile gösterilir ve vektörün modülü olarak adlandırılır. Uzunluğu 1 olan vektöre denir Bekar . vektör denir sıfır , eğer başlangıcı ve sonu çakışıyorsa ve θ veya ile gösterilir. Boş vektörün belirli bir yönü yoktur ve uzunluğu sıfıra eşittir. Aynı doğru üzerinde veya paralel doğrular üzerinde bulunan vektörlere denir. doğrusal . İki vektör denir eşit , eğer doğrusallarsa, aynı uzunluğa ve aynı yöne sahiptirler. Sıfır vektörlerin tümü eşit kabul edilir.

Sıfırdan farklı, büyüklükleri eşit fakat yönleri zıt olan iki eşdoğrusal vektöre denir. zıt . Karşıt vektör, karşıt vektör için ile gösterilir.

Numaraya doğrusal işlemler Over vektörleri, vektörlerin toplanması, çıkarılması ve bir vektörün bir sayı ile çarpılması işlemlerini içerir; sonucu bir vektör olan işlemler.

Belirtilen işlemleri vektörler üzerinde tanımlayalım. İki vektör verilsin. Rastgele bir O noktası alalım ve bir vektör oluşturalım ve vektörü A noktasından çizelim. Bu durumda vektörün birinci teriminin başlangıcını ikinci teriminin sonuna bağlayan vektöre denir. miktar bu vektörler ile gösterilir. Vektörlerin toplamını bulmak için dikkate alınan kurala denir üçgen kuralları (Şekil 2.11).

Aynı vektör toplamı başka bir yolla da elde edilebilir (Şekil 2.12). Vektörü ve vektörü noktadan çizelim. Bu vektörlerin üzerine kenarlarda olduğu gibi bir paralelkenar oluşturalım. Köşeden çizilen paralelkenarın köşegeni olan vektör toplam olacaktır. Toplamı bulmak için kullanılan bu kurala denir paralelkenar kuralları .

Herhangi bir sonlu sayıda vektörün toplamı kesikli çizgi kuralı kullanılarak elde edilebilir (Şekil 2.13). Rasgele bir noktadan bir vektör çizeriz, sonra bir vektör çizeriz, vb. Birincinin başlangıcını sonuncunun sonuna bağlayan vektör toplamdır

veri vektörleri, yani . Açıkçası, eğer vektörün son teriminin sonu ilkinin başlangıcına denk geliyorsa, o zaman vektörlerin toplamı boş vektöre eşittir.

Farkına göre iki vektör ve vektörün çıkartılmasıyla toplamı vektörü veren böyle bir vektör denir. Buradan fark vektörü oluşturma kuralı(Şekil 2.14). Bu noktadan itibaren vektörü ve vektörü çiziyoruz. Çıkarılan vektör ile çıkarma vektörünün uçlarını birleştiren ve çıkandan eksilen vektörüne yönlendirilen vektör farktır.

Bir vektörün çarpımı bir gerçek sayı için λ, vektörle eşdoğrusal olan ve if vektörüyle aynı uzunlukta ve aynı yönde ve if vektörünün tersi yönde olan bir vektördür.

Girdi doğrusal işlemler fazla vektör var özellikler :

10. Toplamanın değişmezliği: .

20. İlave ilişkisellik: .

otuz. Nötr bir unsurun eklenmesiyle varlığı: .

4 0. Karşıt unsurun eklenmesiyle varlığı:

50. Vektörlerin toplanmasına göre bir sayı ile çarpmanın dağılımı: .

6 0. Bir vektörün iki sayının toplamı ile çarpılmasının dağılabilirliği:

7 0. Bir vektörün sayıların çarpımı ile çarpımına ilişkin birleşme özelliği: .

Bir vektör sistemi verilsin:

λ i (i = 1,2,…, n)’nin bazı sayılar olduğu ifadeye denir. doğrusal kombinasyon vektör sistemleri (2.1). Vektörler sistemi (2.1) denir doğrusal bağımlı , eğer doğrusal kombinasyonları sıfıra eşitse, tüm λ 1, λ 2, ..., λ n sayılarının sıfıra eşit olmaması koşuluyla. Vektörler sistemi (2.1) denir Doğrusal bağımsız , eğer doğrusal kombinasyonları sıfıra eşitse, yalnızca tüm sayılar λ i = 0 () ise. Vektörlerin doğrusal bağımlılığının başka bir tanımını verebiliriz. Vektörler sistemi (2.1) denir doğrusal bağımlı , eğer bu sistemin herhangi bir vektörü diğerleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilirse, aksi takdirde vektörler sistemi (2.1) Doğrusal bağımsız .

Düzlemde bulunan vektörler için aşağıdaki ifadeler doğrudur.

10. Bir düzlemdeki herhangi üç vektör doğrusal olarak bağımlıdır.

20. Bu vektörlerin düzlemdeki sayısı üçten fazla ise bunlar da doğrusal bağımlıdır.

otuz. Bir düzlemdeki iki vektörün doğrusal olarak bağımsız olabilmesi için doğrusal olmaması gerekli ve yeterlidir.

Böylece, azami sayı Düzlemdeki doğrusal bağımsız vektörler ikiye eşittir.

Vektörler denir aynı düzlemde , eğer aynı düzlemde yer alıyorlarsa veya aynı düzleme paralellerse. Aşağıdaki ifadeler uzay vektörleri için doğrudur.

10. Uzayın her dört vektörü doğrusal olarak bağımlıdır.

20. Bu vektörlerin uzaydaki sayısı dörtten fazla ise bunlar da doğrusal bağımlıdır.

otuz. Üç vektörün doğrusal bağımsız olabilmesi için eş düzlemli olmaması gerekli ve yeterlidir.

Böylece uzaydaki doğrusal bağımsız vektörlerin maksimum sayısı üçtür.

Bu sistemin herhangi bir vektörünün ifade edildiği doğrusal olarak bağımsız vektörlerin herhangi bir maksimum alt sistemine ne ad verilir? temel dikkate alınan vektör sistemleri . Düzlemdeki tabanın aynı doğrultuda olmayan iki vektörden, uzaydaki tabanın ise aynı düzlemde olmayan üç vektörden oluştuğu sonucuna varmak kolaydır. Temel vektörlerin sayısına denir rütbe vektör sistemleri. Bir vektörün temel vektörlere genişleme katsayılarına denir. vektör koordinatları bu temelde.

Vektörler bir taban oluştursun ve λ 1, λ 2, λ 3 sayıları tabandaki vektörün koordinatları olsun.Bu durumda yaz Vektörün tabandaki ayrışımının benzersiz olduğu gösterilebilir. . Temelin ana anlamı, vektörler üzerindeki doğrusal işlemlerin sayılar - bu vektörlerin koordinatları - üzerinde sıradan doğrusal işlemler haline gelmesidir. Vektörler üzerinde doğrusal işlemlerin özelliklerini kullanarak aşağıdaki teoremi kanıtlayabiliriz.

Teorem. İki vektör toplandığında karşılık gelen koordinatları da toplanır. Bir vektör bir sayıyla çarpıldığında tüm koordinatları bu sayıyla çarpılır.

Dolayısıyla, eğer ve , o zaman , nerede ve nerede , λ belirli bir sayıdır.

Tipik olarak, uygulanan doğrusal işlemlerle ortak bir orijine indirgenmiş düzlemdeki tüm vektörlerin kümesi V2 ile gösterilir ve ortak bir orijine indirgenmiş uzaydaki tüm vektörlerin kümesi V3 ile gösterilir. V 2 ve V 3 kümelerine denir geometrik vektörlerin uzayları.

Vektörler arasındaki açı ve bu vektörleri ortak bir orijine getirdikten sonra vektörlerden birinin ikinciye denk gelene kadar döndürülmesi gereken en küçük açı () olarak adlandırılır.

Nokta ürün iki vektör, bu vektörlerin modülleri ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşit bir sayıdır. Vektörlerin skaler çarpımı ve ile gösterilir veya

Ve vektörleri arasındaki açı eşitse, o zaman

Geometrik açıdan bakıldığında, vektörlerin skaler çarpımı, bir vektörün modülü ile başka bir vektörün ona izdüşümünün çarpımına eşittir. Eşitlik (2.2)'den şu sonuç çıkar:

Buradan iki vektörün diklik durumu: iki vektör Ve ancak ve ancak skaler çarpımları sıfıra eşitse diktirler, yani. .

Vektörlerin nokta çarpımı doğrusal bir işlem değildir çünkü sonucu bir vektör değil bir sayıdır.

Skaler çarpımın özellikleri.

1°. – değişme özelliği.

2°. - DAĞILMA.

3°. – sayısal bir faktöre göre ilişkisellik.

4°. - skaler karenin özelliği.

4° özelliğinden tanımı takip eder vektör uzunluğu :

Vektörlerin birim vektörler olduğu (bunlara birim vektörler denir) V 3 uzayında bir temel verilse, her birinin yönü dikdörtgen Kartezyen koordinatın Ox, Oy, Oz koordinat eksenlerinin pozitif yönüyle çakışır. sistem.

V3 uzay vektörünü bu esasa göre genişletelim (Şekil 2.15):

Vektörlere koordinat eksenleri boyunca vektör bileşenleri veya bileşenler, sayılar denir. ax, ay, az– vektörün dikdörtgen Kartezyen koordinatları A. Vektörün yönü, koordinat çizgileriyle oluşturduğu α, β, γ açılarıyla belirlenir. Bu açıların kosinüsüne yön vektörü denir. Daha sonra yön kosinüsleri aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Bunu göstermek kolaydır

Skaler çarpımı koordinat formunda ifade edelim.

Bırak olsun. Bu vektörleri polinom olarak çarpmak ve bulmak için bir ifade elde ettiğimizi hesaba katmak koordinat biçiminde skaler çarpım:

onlar. iki vektörün skaler çarpımı, aynı isimli koordinatların eşleştirilmiş çarpımlarının toplamına eşittir.

(2.6) ve (2.4)'ten bulma formülünü takip eder vektör uzunluğu :

(2.6) ve (2.7)'den, belirlemek için bir formül elde ederiz. vektörler arasındaki açı:

Hangisinin birinci, hangisinin ikinci, hangisinin üçüncü olduğu belirtilirse, üçlü vektöre sıralı vektör denir.

sipariş edildi üç vektör isminde Sağ , üçüncü vektörün sonundan ortak bir orijine getirildikten sonra birinci vektörden ikinci vektöre en kısa dönüş saat yönünün tersine yapılırsa. Aksi takdirde, vektörlerin üçlüsü denir sol . Örneğin, Şekil 2.15'te, , vektörleri, vektörlerin sağ üçlüsünü oluştururken, , vektörleri, vektörlerin sol üçlüsünü oluşturur.

Benzer şekilde üç boyutlu uzayda sağ ve sol koordinat sistemleri kavramı tanıtılmaktadır.

Vektör çizimleri vektöre göre vektör bir vektördür (başka bir gösterim):

1) uzunluğu vardır, burada ve vektörleri arasındaki açıdır;

2) vektörlere dik ve (), yani. ve vektörlerinin bulunduğu düzleme diktir;

Tanım gereği, koordinat birim vektörlerinin vektör çarpımını buluruz: , ,:

Eğer , ise, bir vektörün ve bir vektörün vektör çarpımının koordinatları aşağıdaki formülle belirlenir:

Aşağıdaki tanımdan vektör sanatının geometrik anlamı : vektörün büyüklüğü, vektörler üzerine inşa edilen paralelkenarın alanına eşittir ve .

Bir vektör ürününün özellikleri:

4 0. ve vektörleri doğrusalsa veya bu vektörlerden biri sıfırsa.

Örnek 3. Paralelkenar ve , nerede , , vektörleri üzerine kuruludur. Bu paralelkenarın köşegenlerinin uzunluğunu, köşegenler arasındaki açıyı ve paralelkenarın alanını hesaplayın.

Çözüm. Vektörlerin yapılışı Şekil 2.16'da, bu vektörler üzerindeki paralelkenarın yapımı ise Şekil 2.17'de gösterilmiştir.

Bu probleme analitik bir çözüm uygulayalım. Oluşturulan paralelkenarın köşegenlerini tanımlayan vektörleri ve vektörleri aracılığıyla ve ardından ve aracılığıyla ifade edelim. Bulduk , . Daha sonra, oluşturulan vektörlerin uzunlukları olarak paralelkenarın köşegenlerinin uzunluklarını buluyoruz.

Paralelkenarın köşegenleri arasındaki açı ile gösterilir. Daha sonra vektörlerin skaler çarpımı formülünden şunu elde ederiz:

Buradan, .

Vektör ürününün özelliklerini kullanarak paralelkenarın alanını hesaplıyoruz:

Üç vektör ve verilmiş olsun. Vektörün vektörel olarak çarpıldığını ve vektör ile elde edilen vektörün vektör ile skaler olarak çarpıldığını ve böylece sayının belirlendiğini düşünelim. Buna vektör-skaler veya denir karma çalışma üç vektör ve . Veya ile gösterilir.

Hadi bulalım karışık ürünün geometrik anlamı (Şekil 2.18). , eş düzlemli olmamasına izin verin. Bu vektörlerin üzerine kenarlarda olduğu gibi bir paralelyüz oluşturalım. Çapraz çarpım, modülü paralelkenarın alanına (paralelkenarın tabanı) eşit olan, vektörler üzerine inşa edilmiş ve paralelkenarın düzlemine dik olarak yönlendirilen bir vektördür.

Nokta çarpım (vektörün modülü ile izdüşümü çarpımına eşittir). Oluşturulan paralelyüzün yüksekliği bu projeksiyonun mutlak değeridir. Sonuç olarak, üç vektörün karışık ürününün mutlak değeri, vektörler üzerine inşa edilen paralelyüzün hacmine eşittir ve , yani. .

Bu nedenle hacim Üçgen piramit, vektörler üzerine kuruludur ve formülüyle hesaplanır.

Biraz daha not edelim karışık bir ürünün özellikleri vektörler.

10.00 , ve vektörleri ana sistemle aynı adı taşıyan bir sistem oluşturuyorsa çarpımın işareti pozitif, aksi halde negatiftir.

Gerçekten, arasındaki açı darsa skaler çarpım pozitif, açı genişse negatiftir. Arasında dar bir açı ile ve , vektörler ve paralel yüzün tabanına göre bir tarafta bulunur ve bu nedenle, vektörün ucundan itibaren, 'den'ye dönüş, sonundan itibaren aynı şekilde görülebilecektir. vektör, yani pozitif yönde (saat yönünün tersine).

Geniş bir açıyla, hem vektörler hem de paralelkenarın tabanında yatan paralelkenarın düzlemine göre farklı taraflarda bulunurlar ve bu nedenle vektörün ucundan itibaren, negatif yönde dönüş görülebilir ( saat yönünde).

2 o Karışık bir çarpım, faktörleri dairesel olarak yeniden düzenlendiğinde değişmez: .

3 o Herhangi iki vektör yeniden düzenlendiğinde karışık çarpım yalnızca işareti değiştirir. Örneğin, , . , . - bilinmeyen sistemler.

Sistem(3.1) denir homojen eğer tüm üyeler özgürse. Sistem (3.1) denir heterojen , eğer ücretsiz üyelerden en az biri.

Sistem çözümü sayılar kümesi denir, bunları karşılık gelen bilinmeyenler yerine sistemin denklemlerine yerleştirdiğinizde sistemin her denklemi bir kimliğe dönüşür. Çözümü olmayan sisteme denir uyumsuz, veya tartışmalı . En az bir çözümü olan sisteme denir eklem yeri .

Eklem sistemi denir kesin benzersiz bir çözümü varsa. Tutarlı bir sistemin birden fazla çözümü varsa buna denir. belirsiz . Homojen bir sistem en az sıfır çözüme sahip olduğundan her zaman tutarlıdır. Sistemin herhangi bir özel çözümünün elde edilebileceği bilinmeyenlere ilişkin ifadeye ne ad verilir? genel karar ve sistemin herhangi bir spesifik çözümü onun özel çözüm . Aynı bilinmeyenlere sahip iki sistem eş değer (eş değer ), eğer bunlardan birinin çözümü diğerinin çözümü ise veya her iki sistem de tutarsızsa.

Doğrusal denklem sistemlerini çözme yöntemlerini ele alalım.

Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin ana yöntemlerinden biri Gauss yöntemi, veya sıralı yöntem bilinmeyenlerin hariç tutulması. Bu yöntemin özü, doğrusal denklem sistemini adım adım forma indirgemektir. Bu durumda aşağıdaki denklemlerin yapılması gerekir: temel dönüşümler :

1. Sistemin denklemlerinin yeniden düzenlenmesi.

2. Bir denkleme başka bir denklem eklemek.

3. Denklemin her iki tarafının sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması.

Sonuç olarak sistem şu şekli alacaktır:

Bu süreci daha da sürdürerek üçüncüden başlayarak tüm denklemlerden bilinmeyenleri eliyoruz. Bunu yapmak için ikinci denklemi sayılarla çarpın ve sistemin 3., ..., -'inci denklemine ekleyin. Gauss yönteminin aşağıdaki adımları benzer şekilde gerçekleştirilir. Dönüşümler sonucunda aynı denklemi elde edersek onu sistemden sileriz. Gauss yönteminin herhangi bir adımında aşağıdaki formun bir denklemi elde edilirse:

o zaman söz konusu sistem tutarsızdır ve sonraki çözümü sona erer. Temel dönüşümler gerçekleştirilirken (3.2) formundaki bir denklemle karşılaşılmazsa, o zaman - adımlardan fazla olmamak kaydıyla sistem (3.1) aşamalı bir forma dönüştürülecektir:

Sistemin belirli bir çözümünü elde etmek için (3.4)'teki serbest değişkenlere belirli değerler atamak gerekecektir.

Gauss yönteminde tüm dönüşümler bilinmeyen denklemlerin ve serbest terimlerin katsayıları üzerinde gerçekleştirildiğinden, pratikte bu yöntemin genellikle bilinmeyenlerin katsayılarından ve bir serbest terimler sütunundan oluşan bir matrise uygulandığına dikkat edin. Bu matrise genişletilmiş denir. Temel dönüşümler kullanılarak bu matris adım adım forma indirgenir. Daha sonra, ortaya çıkan matris kullanılarak sistem yeniden yapılandırılır ve önceki tüm akıl yürütme ona uygulanır.

Örnek 1. Sistemi çözün:

Çözüm. Genişletilmiş bir matris oluşturuyoruz ve onu adım adım forma indiriyoruz:

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - ikinci satır ile çarpıldı ve üçüncü satırın üzeri çizildi.

Dikdörtgen bir koordinat sistemi verilsin.

Teorem 1.1. Düzlemin herhangi iki M 1 (x 1;y 1) ve M 2 (x 2;y 2) noktası için, aralarındaki d mesafesi aşağıdaki formülle ifade edilir:

Kanıt. Sırasıyla M 1 ve M 2 noktalarından M 1 B ve M 2 A dikmelerini bırakalım.

Oy ve Ox ekseninde ve M 1 B ve M 2 A çizgilerinin kesişme noktasını K ile belirtir (Şekil 1.4). Aşağıdaki durumlar mümkündür:

1) M 1, M 2 ve K noktaları farklıdır. Açıkçası, K noktasının koordinatları vardır (x 2;y 1). M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô olduğunu görmek kolaydır. Çünkü ∆M 1 KM 2 dikdörtgenseldir, bu durumda Pisagor teoremine göre d = M 1 M 2 = = .

2) K noktası, M2 noktasıyla çakışır, ancak M1 noktasından farklıdır (Şekil 1.5). Bu durumda y 2 = y 1

ve d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) K noktası M1 noktasıyla çakışır ancak M2 noktasından farklıdır. Bu durumda x 2 = x 1 ve d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) M2 noktası M1 noktasıyla çakışmaktadır. O halde x 1 = x 2, y 1 = y 2 ve

d = M 1 M 2 = Ö = .

Bu bakımdan bir segmentin bölünmesi.

Düzlemde keyfi bir M 1 M 2 parçası verilsin ve bunun herhangi bir noktası M ─ olsun

M2 noktasından farklı segment (Şekil 1.6). l = eşitliği ile tanımlanan l sayısı , isminde davranış, bu noktada M, M 1 M 2 parçasını böler.

Teorem 1.2. Bir M(x;y) noktası M 1 M 2 parçasını l'ye göre bölerse, bu noktanın koordinatları formüllerle belirlenir.

x = , y = , (4)

burada (x 1;y 1) ─ M 1 noktasının koordinatları, (x 2;y 2) ─ M 2 noktasının koordinatları.

Kanıt. Formüllerden (4) ilkini kanıtlayalım. İkinci formül de benzer şekilde kanıtlanmıştır. İki olası durum vardır.

x = x 1 = = = .

2) M 1 M 2 düz çizgisi Ox eksenine dik değildir (Şekil 1.6). Dikleri M 1, M, M 2 noktalarından Ox eksenine indirelim ve bunların Ox ekseni ile kesişme noktalarını sırasıyla P 1, P, P 2 olarak belirleyelim. Orantılı segmentler teoremine göre = 1.

Çünkü P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô ve (x – x 1) ve (x 2 – x) sayıları aynı işarete sahiptir (x 1'de)< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 negatif), o halde

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Sonuç 1.2.1. Eğer M 1 (x 1;y 1) ve M 2 (x 2;y 2) iki rastgele noktaysa ve M(x;y) noktası M 1 M 2 doğru parçasının ortasıysa, o zaman

x = , y = (5)

Kanıt. M 1 M = M 2 M olduğundan l = 1 olur ve formül (4)'ü kullanarak formül (5)'i elde ederiz.

Bir üçgenin alanı.

Teorem 1.3. Aynı üzerinde yer almayan herhangi bir A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) ve C(x 3;y 3) noktası için

düz çizgide ABC üçgeninin S alanı aşağıdaki formülle ifade edilir:

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Kanıt. Alan ∆ ABC Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.7, aşağıdaki gibi hesaplıyoruz

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Yamukların alanını hesaplıyoruz:

S ADEC =
,

S BCEF =

Şimdi elimizde

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Başka bir ∆ ABC konumu için formül (6) benzer şekilde kanıtlanır, ancak “-” işaretiyle sonuçlanabilir. Bu nedenle formül (6)'ya modül işaretini koydular.

Ders 2.

Düzlemde düz bir doğrunun denklemi: asal katsayılı bir doğrunun denklemi, bir doğrunun genel denklemi, bir doğrunun parçalar halinde denklemi, iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi. Düz çizgiler arasındaki açı, bir düzlemdeki düz çizgilerin paralellik ve diklik koşulları.

2.1. Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi ve bir L doğrusu verilsin.

Tanım 2.1. x ve y değişkenlerini birbirine bağlayan F(x;y) = 0 formundaki bir denklem denir. çizgi denklemi L(V verilen sistem Koordinatlar), eğer bu denklem, bu çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından değil, L çizgisi üzerinde bulunan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından karşılanıyorsa.

Düzlemdeki doğru denklemlerine örnekler.

1) Dikdörtgen koordinat sisteminin Oy eksenine paralel bir düz çizgi düşünün (Şekil 2.1). Bu doğrunun Ox ekseniyle kesiştiği noktayı (a;o) ─ or- ile A harfiyle gösterelim.

Dinata. Denklem x = a verilen doğrunun denklemidir. Aslında bu denklem, bu doğrunun herhangi bir M(a;y) noktasının koordinatları tarafından sağlanır ve bu doğru üzerinde yer almayan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından karşılanmaz. Eğer a = 0 ise düz çizgi, x = 0 denklemine sahip olan Oy ekseniyle çakışır.

2) x - y = 0 denklemi, I ve III koordinat açılarının açıortaylarını oluşturan düzlemin noktaları kümesini tanımlar.

3) Denklem x 2 - y 2 = 0 ─ iki koordinat açısının denklemidir.

4) x 2 + y 2 = 0 denklemi düzlem üzerinde tek bir O(0;0) noktasını tanımlar.

5) Denklem x 2 + y 2 = 25 ─ yarıçapı 5 olan ve merkezi orijinde olan bir dairenin denklemi.

Ders: İki nokta arasındaki mesafenin formülü; kürenin denklemi

İki nokta arasındaki mesafe

Bir önceki soruda bir doğru üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için d = x 2 – x 1 formülünü kullandık.

Ancak uçak söz konusu olduğunda işler farklıdır. Koordinatlardaki farkı bulmak yeterli değildir. Koordinatlarını kullanarak noktalar arasındaki mesafeyi bulmak için aşağıdaki formülü kullanın:

Örneğin belirli koordinatlara sahip iki noktanız varsa aralarındaki mesafeyi şu şekilde bulabilirsiniz:

A (4;-1), B (-4;6):

AB = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2) 1/2 ≈ 10,6.

Yani bir düzlem üzerinde iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamak için koordinat farklarının kareleri toplamının kökünü bulmak gerekir.

Düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafeyi bulmanız gerekiyorsa ek koordinatla benzer bir formül kullanmalısınız:

Küre denklemi

Uzayda bir küreyi tanımlamak için, aşağıdaki formülü kullanabilmeniz için merkezinin koordinatlarını ve yarıçapını bilmeniz gerekir:

Bu denklem, merkezi orijinde olan bir küreye karşılık gelir.

Kürenin merkezi eksenler boyunca belirli sayıda birim kaydırılırsa aşağıdaki formül kullanılmalıdır.